0时间序列初探—平稳性分析及R实现
时间序列平稳性检验
时间序列平稳性检验分析姓名xxx学院xx学院专业xxxx学号xxxxxxxxxx时间序列平稳性分析检验时间序列是一个计量经济学中的概念,时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。
一、时间序列平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程(stochasticprocess)生成的,即假定时间序列{Xt}(t=1,2,•)•的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到,如果满足下列条件:1)均值E(Xt)=u是与时间t无关的常数;2)方差Var(Xt)=o2是与时间t无关的常数;3)协方差Cov(Xt,Xt+k尸条是只与时期间隔k有关,与时间t无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochasticprocess)。
eg:一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列:Xt=Mt,Mt~N(0,o2)该序列常被称为是一个白噪声。
由于Xt具有相同的均值与方差,且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。
eg:另一个简单的随机时间列序被称为随机游走,该序列由如下随机过程生成:Xt=Xt-1+」t这里,出是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值:E(Xt)=E(Xt-1)为了检验该序列是否具有相同的方差,可假设Xt的初值为X0,则易知X1=X0+」1X2=X1+」2=X0+J1+J2xt=X0+出+也++M由于X0为常数,%是一个白噪声,因此Var(Xt)=to2即Xt的方差与时间t有关而非常数,它是一非平稳序列二、时间序列平稳性检验的方法对时间序列进行平稳性检验中,实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。
但在实际检验中,时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的,或者随机误差项并非是白噪声,这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation),导致DF检验无效。
时间序列的平稳性及其检验
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伪回归spurious regression
如果时间序列是有趋势的,那么一定是非平稳 的,从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无 效的。
两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系, 在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系 数
出现伪回归时,一种处理办法是加入趋势变量, 另一种办法是把非平稳的序列平稳化
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平稳的概念
假定某个时间序列是由某一随机过程生成的,即假定时 间序列{Xt}(t=1, 2, …)的每一个数值都是从一个概率 分布中随机得到,如果满足下列条件: 1)均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数; 2)方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数; 3)协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关,与时 间t 无关的常数;则称该随机时间序列是平稳的 (stationary),而该随机过程是一平稳随机过程 (stationary stochastic process)。
1. 序列的时间路径图判断 2. 样本相关函数判断 3. Q 统计量 4. 单位根检验
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一、平稳性的简单图示判断
给出一个随机时间序列,首先可通过该序列的 时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种 围绕其均值不断波动的过程。
而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具 有不同的均值(如持续上升或持续下降)。
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随机过程与时间序列的关系
随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,} 第1次观测:{x11, x21, …, xT-11, xT1} 第2次观测:{x12, x22, …, xT-12, xT2}
第n次观测:{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn}
时间序列初探—平稳性分析及R实现
1基本概念时间序列的平稳性假定某个时间序列是由某一随机过程<stochastic process)生成的,即假定时间序列{Xt}<t=1, 2, …)的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到,如果满足下列条件:b5E2RGbCAP1)均值E(Xt>=是与时间t 无关的常数;2)方差Var(Xt>=2是与时间t 无关的常数;3)协方差Cov(Xt,Xt+k>=k 是只与时期间隔k有关,与时间t 无关的常数;则称该随机时间序列是平稳的<stationary>,而该随机过程是一平稳随机过程<stationary stochastic process)。
p1EanqFDPw时间序列的非平稳性平稳时间序列的均值为常数,自协方差函数与起点无关,而非平稳时间序列则不满足这两条要求。
常见的非平稳类型有趋势和突变DXDiTa9E3d趋势趋势是指变量随时间持续长期的运动,时间序列变量围绕其趋势波动。
可以用线性趋势、二次趋势、季节性均值趋势和余弦趋势来估计一般的非常数均值趋势模型的参数。
RTCrpUDGiT突变突变来自总体回归系数在某一特定日期上的离散变化或来自系数在长时期内的渐变。
平稳性判断图示判断•给出一个随机时间序列,首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
•一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程;•而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值<如持续上升或持续下降)。
函数1:时间序列及趋势绘制参数1:时间序列功能:绘制时间序列绘制时间序列的趋势函数返回值:无单位根检验单位根检验<unit root test)是针对宏观经济数据序列、货币金融数据序列中是否具有某种统计特性而提出的一种平稳性检验的特殊方法,单位根检验的方法有很多种,包括DF检验、ADF检验、PP检验、NP检验等。
5PCzVD7HxA单位根检验时间序列的单位根研究是时间序列分析的一个热点问题。
时间序列中的时间序列平稳性检验
时间序列中的时间序列平稳性检验时间序列平稳性是时间序列分析中的重要概念,对时间序列模型和预测有着重要的影响。
时间序列平稳性指的是时间序列中各时点的特征均匀分布、稳定不变,不随时间而发生显著变化的性质。
本文将介绍时间序列平稳性检验的相关理论与方法。
一、时间序列平稳性检验的基本理论在进行时间序列分析前,需要先确定该时间序列是否具有平稳性。
时间序列平稳性则是指时间序列中各时点的特征均匀分布、稳定不变,不随时间而发生显著变化,比如说均值、方差、自相关系数等都不应该与时间有关。
若时间序列不具有平稳性,则其分析结果会受到时间变量的影响,预测结果也不够准确。
对于时间序列平稳性的检验,主要考虑3个方面,即序列的均值、序列的方差、序列的自相关。
时间序列平稳性检验的基本理论是根据大数定理和中心极限定理进行的。
在此基础上,常用的做法是,检验序列均值是否随时间变化而变化、检验方差是否随时间变化而变化、检验自相关系数是否与时间有关。
二、时间序列平稳性检验的方法1.图示法:通过绘制时间序列图、自相关图、偏自相关图可以直观地了解时间序列的平稳性。
时间序列图是反映序列随时间变化时的整体变化趋势的图形;自相关图表达的是序列在不同时滞下的线性相关程度,若相关系数呈现规律性或趋势性,则序列不平稳;偏自相关图是用来判断序列是否具有趋势或季节性,若序列的偏自相关系数在超过置信度时突破界限,则序列不具有平稳性。
2.计量经济学检验法:常用的计量经济学检验法有DF检验、ADF检验、KPSS检验等,其中ADF检验最为常用。
ADF检验分为一般ADF检验、增广ADF检验、阶数选择ADF检验等,在跨期比较和模型选择方面有效,而且误判率较低。
3.波动函数法:通过测量时间序列各部分的波动函数,从而判断序列是否平稳。
包括周期波动函数法、空间波动函数法等。
周期波动函数法是通过加权平均数对序列进行周期性处理,得到波动函数,然后计算波动函数的标准偏差,以此来判断序列平稳性;空间波动函数法则是通过空间均方差来判断时间序列的平稳性。
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法,它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性,并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先,让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合,它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析,揭示出时间序列中的内在规律和趋势,并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列,即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点:1)均值是常数,不随时间变化;2)方差是常数,不随时间变化;3)协方差只与时间间隔有关,与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析,我们需要进行以下几个步骤:1. 数据准备:收集所需的时间序列数据,并将其整理成适合分析的格式。
通常,我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解:时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解,将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验:对于时间序列分析,我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立:如果时间序列被证实是平稳的,我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型(ARMA模型)、自回归积分滑动平均模型(ARIMA模型)等。
5. 模型识别与估计:在模型建立的基础上,我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数,常用的方法有自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验:建立模型后,我们需要对模型进行检验,验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
基于R语言的时间序列平稳性检验及实证分析
单位根检验;最后开展实证分析,以国家外汇管理局官网公布的中国宏观经济变量为研究对象,对经常项目差额、人民币汇率日对数收
益率与出口额等3个变量的序列数据,用R语言进行单位根检验和时间序列平稳性分析。
关键词:单位根检验 R语言 时间序列
中图分类号:F224
文献标识码:A
文章编号:2096-0298(2017)06(a)-150-04
表2)。
150 2017年6月
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表1 R包中的单位根检验
urca:ur.df
ADF 检验
零假设是非平稳的,备择假设是平稳的。 执行增广单位根检验 , 如果类型设置为 “否”,则在测试回归中既不包含截距 也不包含趋势,如果设置是“漂移”则 截距增加,如果设置是“趋势”则截距 和趋势都增加。
Forum 学术论坛
基于R语言的时间序列平稳性检验及实证分析①
——以中国宏观经济变量为研究对象
上海对外经贸大学统计与信息学院 李文 刘永辉 杨娇
摘 要:平稳性检验是时间序列分析中的基础内容,R语言是数据分析的重要工具,本文把两者结合在一起研究时间序列的平稳性。首
先基于单位根检验的基本原理,简要介绍了ADF检验法、PP检验法、DF-GLS检验法;KPSS检验法和NP检验法,其次分析了R语言中的
Quah检验、LLC检验、IPS检验、崔仁检验、MW检验、Bai-Ng检验、
Hadri检验、Breitung检验。退势单位根检验有GLS退势检验、KGLS
退势检验、ROLS退势检验。结构突变序列的单位根检验有Perron
检验、Zivot-Andrews方法、BLS检验的方法、递归检验的方法、滚
r语言实现时间序列之8种平稳化方法
r语言实现时间序列之8种平稳化方法下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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时间序列的平稳性及其检验
由Random1表示的白噪声。
样本自相关系数显示:r1=0.48, 落在了区间[-0.4497, 0.4497] 之外,因此在5%的显著性水平上
拒绝 1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
图形表示出:该序列具有相同的 均值,但从样本自相关图看,虽 然自相关系数迅速下降到0,但 随着时间的推移,则在0附近波
-0.031 0.157 0.264
-0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236
0.000
1.000 0.480 0.018 -0.069 0.028 -0.016 -0.219 -0.063 0.126 0.024 -0.249 -0.404 -0.284 -0.088 -0.066 0.037 0.105 0.093
• 然而,对X取一阶差分(first difference): Xt=Xt-Xt-1=t
由于t是一个白噪声,则序列{Xt}是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的,它常 常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
• 事实上,随机游走过程是下面我们称之为1阶自回归 AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
5.116 5.123 5.241 5.261 5.269 6.745 6.876 7.454 7.477 10.229 18.389 22.994 23.514 23.866 24.004 25.483 27.198
0.6 0.4 0.2 0.0 - 0.2 - 0.4 - 0.6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 R AND OM 1
时间序列分析实验平稳性
时间序列数据平稳性检验实验指导一、实验目的:理解经济时间序列存在的不平稳性,掌握对时间序列平稳性检验的步骤和各种方法,认识利用不平稳的序列进行建模所适成的影响。
二、基本概念;如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数,并且在任何两时期的协方差值仅依赖于该两个时期间的间隔,而不依赖于汁算这个协方差的实际时间,就称它是宽平稳的。
时序图ADF检验PP检验三、实验内容及要求:1、实验内容:用Eviews5.1来分析1964年到1999年中国纱产量的时间序列,主要内容:(1)、通过时序图看时间序列的平稳性,这个方法很直观,但比较粗糙:(2)、通过汁算序列的自相关和偏自相关系数,根据平稳时间序列的性质观察其平稳性:(3)、进行纯随机性检验:(4)、平稳性的ADF检验;(5)、平稳性的pp检验。
2、实验要求:(1)理解不平稳的含义和影响:(2)熟悉对序列平稳化处理的各种方法:(2)对相应过程会熟练软件操作,对软件分析结果进行分析。
四、实验指导(1)、绘制时间序列图时序图可以大致看出序列的平稳性,平稳序列的时序图应该显示出序列始终用绕一个常数值波动,且波动的范用不大。
如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期, 那它通常不是平稳序列,现以1964-1999年中国纱年产量序列(单位:万吨)来说明。
在EVIEWS 中建立工作文件,在“Workfile stmeture type M栏中选择"Dated-regular frequency 在右边的“Date specification "中输入起始年1964,终止年1999,点击ok则建立了工作文件。
找到中国纱年产量序列的excel文件并导入命名该序列为sha,见图1-2。
一Createorkftlc ztrucfjrc typo- ar ErewJ !Irrrcnl«r Ihted and Panel vHorkfilcs n<iy be node iren Vnstructm-ed byOK | CgL ZndKm” (optional) VF I£21Dqg ci Ei cation Frequency X HTI U M I图1-1建立工作文件OK J J图1-2创建新序列SHA,如图1-2。
R与时间序列的平稳性[转]
R与时间序列的平稳性[转]R与时间序列的平稳性“协整”是计量经济学里面的明星。
不了解计量经济学的人更容易被它所笼罩的计量经济学光环给吓到。
然而,协整其实是个十分简单的概念,并不神秘,更非高不可攀。
要了解“协整”,首先得提到一个名词——平稳。
1.关于平稳金融领域有很多种时间序列。
通常为了研究的方便,人们会对这些时间序列进行分类。
比如按照时间序列时间间隔的长短可以简单的分为高频时间序列和非高频时间序列。
那么,按照时间序列的平稳性,便可以将时间序列分为平稳的时间序列和非平稳的时间序列。
平稳时间序列和非平稳时间的区别在于三个方面:①时间序列(随机过程)的均值是否是常数?或者说时间序列(随机过程)的均值是不是跟时间无关?如果不是常数则该时间序列是非平稳的;如果是常数,则该时间序列可能是平稳的,但不肯定,须进入第二步。
②时间序列(随机过程)的方差是否是常数?或者说时间序列(随机过程)的方差是不是跟时间无关?如果不是常数则该时间序列是非平稳的;如果是常数,则该时间序列可能是平稳的,但不肯定,须进入第三步。
③任意两个时期的时间序列之间的协方差是否仅仅依赖于两个时间序列的时间间隔。
如果一个时间序列同时满足①②③,那么该时间序列就是平稳的。
(注:由于均值、方差和协方差可以被统一的成为统计特性,因此也可以说,如果时间序列的统计特性不随着时间的推移而发生变化,则说明时间序列是平稳的。
) 平稳时间序列还可以进一步细分。
根据平稳时间序列进行差分的次数,可以将平稳时间序列分为不同阶的平稳时间序列。
如果一个时间序列本身是平稳的,那么该时间序列可被记作I(0),括号里面的0表示该时间序列没有进行差分。
如果一个时间序列一阶差分之后平稳,那么可被记作I(1),以此类推。
2.平稳性的检验在应用过程中,时间序列的平稳性的判断要简单的多。
常用的判断时间序列平稳性的方法有两个:图示法和单位根检验法。
图示法,顾名思义,就是画出时间序列的时序图,来目测时间序列是否平稳。
理解:时间序列的平稳性
理解:时间序列的平稳性为什么要平稳?原因⼀:时间序列数据的数据结构与传统的统计数据结构不同。
最⼤的区别在于,传统随机变量可以得到多个观测值(⽐如骰⼦点数,可以反复掷得到多个观测值,忽略时间的差异)。
⽽时间序列数据中,每个随机变量只有⼀个观测值(⽐如设收盘价为研究的随机变量,每天只有⼀个收盘价,不同⽇⼦的价格服从的分布不同,即考虑时间的差异)。
这样⼀来,每个分布只能得到⼀个观测值,数⽬太少,⽆法研究分布的性质。
但是通过平稳性,从不同⽇期的分布之间发现内在关联,缓解了由于样本容量少导致的估计精度低的问题。
原因⼆:研究时间序列的最终⽬的是,预测未来。
但是未来是不可知的,我们拥有的数据都是历史,因此只能⽤历史数据来预测未来。
但是,如果过去的数据与未来的数据没有某种“相似度”,那这种预测就毫⽆道理了。
平稳性就是保证这种过去与未来的相似性,如果数据是平稳的,那么可以认为过去的数据表现出的某些性质,未来也会表现。
什么是严平稳?对于⼀个时间序列{X t},其中每个数据X都是随机变量,都有其的分布(如图)。
取其中连续的m个数据,X1到X m,则可以构成⼀个m维的随机向量,(X1,X2,...,X m)由于单独的每个随机变量X都有各⾃的分布,那么组合成⼀个m维随机向量后,这个多维向量整体就有⼀个“联合分布”。
严平稳的本质就是,这种联合分布不随着时间的推移⽽变化。
也就是说,取数据时,任意连续取出的m个数据(⽆论是从X1取到X m,还是从X t取到X t+m),他们组成的多维向量的联合分布都是相同的。
此时,再放宽⼀个条件,让这个m的取值也任意。
即⽆论这取数据的窗⼝设定为多宽,只要连续取相同数⽬个数据,他们构成的联合分布都是相同的。
⽐如,(X1,X2,X3)与(X6,X7,X8)有相同的3维联合分布,(X1,X2,X3,X4)与(X6,X7,X8,X9)有相同的4维联合分布。
综上,符合上述性质的时间序列,是严平稳的。
有了严平稳为什么还要有宽平稳?很多情况下,我们⽆从得知这些随机变量的分布到底是什么样⼦。
时间序列分析及应用R语言第二版课程设计 (2)
时间序列分析及应用R语言第二版课程设计
一、课程介绍
本课程主要介绍时间序列分析的基本概念、方法和应用,以及R语言在时间序
列分析中的实践应用。
通过本课程的学习,学生将了解时间序列数据的特征和性质,掌握基本的时间序列模型、预测方法和验证技巧,了解常见的时间序列分析问题和解决方案,并能够使用R语言进行时间序列数据的处理、建模和预测。
二、教学内容
本课程的教学内容包括以下部分:
1.时间序列分析基础概念
•时间序列的定义及特征
•时间序列的基础统计量和时间序列图
•时间序列的平稳性、白噪声和自相关性检验
2.常见时间序列模型
•ARIMA模型的基本原理和模型参数估计
•季节性时间序列模型及其应用
•非线性时间序列模型和ARCH/GARCH模型
3.时间序列预测与验证
•简单时间序列预测方法和移动平均预测法
•ARIMA模型预测和模型误差的检验
•时间序列交叉验证和预测效果评估
4.R语言在时间序列分析中的应用
•R语言环境的配置和基础语法
•R语言中时间序列数据的读取、处理和转换
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1基本概念1.1时间序列的平稳性假定某个时间序列是由某一随机过程(stochastic process)生成的,即假定时间序列{Xt}(t=1, 2, …)的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到,如果满足下列条件:1)均值是与时间t 无关的常数;2)方差是与时间t 无关的常数;3)协方差是只与时期间隔k有关,与时间t 无关的常数;则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochastic process)。
1.2时间序列的非平稳性平稳时间序列的均值为常数,自协方差函数与起点无关,而非平稳时间序列则不满足这两条要求。
常见的非平稳类型有趋势和突变1.2.1趋势趋势是指变量随时间持续长期的运动,时间序列变量围绕其趋势波动。
可以用线性趋势、二次趋势、季节性均值趋势和余弦趋势来估计一般的非常数均值趋势模型的参数。
1.2.2突变突变来自总体回归系数在某一特定日期上的离散变化或来自系数在长时期内的渐变。
1.3平稳性判断1.3.1图示判断•给出一个随机时间序列,首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
•一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程;•而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值(如持续上升或持续下降)。
函数1:时间序列及趋势绘制参数1:时间序列功能:绘制时间序列绘制时间序列的趋势函数返回值:无1.3.2单位根检验单位根检验(unit root test)是针对宏观经济数据序列、货币金融数据序列中是否具有某种统计特性而提出的一种平稳性检验的特殊方法,单位根检验的方法有很多种,包括DF检验、ADF 检验、PP检验、NP检验等。
单位根检验时间序列的单位根研究是时间序列分析的一个热点问题。
时间序列特性的时变行为实际上反映了时间序列的非平稳性质。
对非平稳时间序列的处理方法一般是将其转变为平稳序列,这样就可以应用有关平稳时间序列的方法来进行相应得研究。
对时间序列单位根的检验就是对时间序列平稳性的检验,非平稳时间序列如果存在单位根,则一般可以通过差分的方法来消除单位根,得到平稳序列。
对于存在单位根的时间序列,一般都显示出明显的记忆性和波动的持续性,因此单位根检验是有关协整关系存在性检验和序列波动持续性讨论的基础。
1.3.3自相关函数(ACF)判断平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的,要么是拖尾的。
因此我们可以根据这个特性来判断时间序列是否为平稳序列。
若时间序列具有上升或下降的趋势,那么对于所有短时滞来说,自相关系数大且为正,而且随着时滞k的增加而缓慢地下降。
若序列无趋势,但是具有季节那么于按月采集的数据,时滞12,24,36……的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集,则最大自相关系数出现在4,8,12,……),并且随着时滞的增加变得较小。
2平稳时间序列模型2.1自回归AR模型由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型:X t =φXt-1+εt常记作AR(1)。
其中{Xt }为零均值(即已中心化处理)平稳序列,φ为Xt对Xt-1的依赖程度,εt为随机扰动项序列(外部冲击)。
若φ=1则X t 包含了一个随机性趋势,是非平稳的。
若φ的绝对值<1则其是平稳的。
如果X t 与过去时期直到X t-p 的取值相关,则需要使用包含X t -1 ,……X t-p 在内的p 阶自回归模型来加以刻画。
P 阶自回归模型的一般形式为:X t =φ1 X t -1+φ2 X t -2+…+φp X t -p +εt为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。
设B 为滞后算子,即BX t =X t-1, 则B(B k-1X t )=B k X t =X t-kX t =φ1BX t +φ2B 2X t +φ3B 3X t +……+φp B p X t +εt从而有:(1-φ1B-φ2B 2-……-φp B p)X t =εt记算子多项式φ(B )=(1-φ1B-φ2B 2-……-φp B P ),则模型可以表示成φ(B )X t =εt例如,二阶自回归模型X t =0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt 可写成(1-0.7B-0.3B 2)X t =εt若AR(P)有一个等于1的根,则称序列有一个单位自回归根或称为单位根,从而也说明它包含了随机性趋势,是非平稳的。
当且仅当AR 特征方程的每一个根绝对值大于1,时间序列是平稳的。
2.2 滑动平均模型(MA )有时,序列X t 的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况下,X t 可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即X t =εt -θ1εt-1-θ2εt-2-……-θq εt-q此模型常称为序列X t 的滑动平均模型,记为MA(q), 其中q 为滑动平均的阶数,θ1,θ2…θq 为参滑动平均的权数。
相应的序列X t 称为滑动平均序列。
X t =(1-θ1B-θ2B 2-……- θq B q )q t =θ(B)εt2.3 自回归滑动平均模型(ARMA )如果序列{X t }的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击,这种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为:X t =φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p +εt -θ1εt-1-θ2εt-2-……-θq εt-q简记为ARMA(p, q)。
利用滞后算子,此模型可写为φ(B )X t =θ(B)εt3R中实现判断时间序列的平稳性3.1例一> x=rnorm(500) #生成500个服从正太分布的数> y=cumsum(x) #累加x的数对应得到y3.1.1绘制时序图> plot.ts(x)> plot.ts(y)从两个图的不同可以看出x时间序列趋势不随时间的变化而变化,其随机性比较强。
而y序列则有明显的时间趋势。
3.1.2ADF.test检验install.packages("tseries")#安装时间序列包library("tseries",lib.loc=#载入时间序列包> adf.test(x)Augmented Dickey-Fuller Testdata: xDickey-Fuller = -8.0878, Lag order = 7, p-value = 0.01alternative hypothesis: stationary结论:p-value = 0.01拒绝原假设(原假设认为时间序列是非平稳的),即可认为x是平稳的。
> adf.test(y)Augmented Dickey-Fuller Testdata: yDickey-Fuller = -1.1291, Lag order = 7, p-value = 0.9179alternative hypothesis: stationary结论:p-value = 0.9179不能拒绝原假设,所以认为y是非平稳的。
函数2:ADF检验时间序列的平稳性:ADFTEST参数1:时间序列P临界值,默认值为0.05返回结果:用框架来组织返回结果结论(1:平稳,0:不平稳)adf.test函数的返回值3.1.3PP检验> pp.test(x)Phillips-Perron Unit Root Testdata: xDickey-Fuller Z(alpha) = -510.4566, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.01alternative hypothesis: stationary警告信息:In pp.test(x) : p-value smaller than printed p-value结论:p-value = 0.01拒绝非平稳性假设,即认为x是平稳的。
> pp.test(y)Phillips-Perron Unit Root Testdata: yDickey-Fuller Z(alpha) = -3.9888, Truncation lag parameter = 5, p-value = 0.8872alternative hypothesis: stationary结论:p-value = 0.8872不能拒绝原假设y是非平稳的,所以认为y是非平稳的。
函数3:PP检验时间序列的平稳性:PPTEST参数1:时间序列P临界值,默认值为0.05返回结果:用框架来组织返回结果结论(1:平稳,0:不平稳)R语言pp检验函数的返回值3.1.4ACF自相关函数判断> modelx=lm(x~time(x))> summary(modelx)Call:lm(formula = x ~ time(x))Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-2.87920 -0.75003 0.01103 0.70595 3.15625Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.1524849 0.0915359 1.666 0.0964 .time(x) -0.0005077 0.0003166 -1.603 0.1095---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 1.022 on 498 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.005136, Adjusted R-squared: 0.003138F-statistic: 2.571 on 1 and 498 DF, p-value: 0.1095> acf(rstudent(modelx),main='关于x的acf自相关系数')从图中可以看出其K阶滞后自相关系数都非常小呈截现象,因此判断时间系列为平稳性是合理的。
函数4:ACF检验函数参数:时间序列检验p值,默认为0.05图形保存路径,默认为空返回值:以框架形式线性回归函数各个系数的检验p值ACF函数的返回值> modely=lm(y~time(y))> summary(modely)Call:lm(formula = y ~ time(y))Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-13.2206 -5.6292 -0.6742 6.3185 13.6971Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 8.659376 0.620538 13.96 <2e-16 ***time(y) 0.032966 0.002146 15.36 <2e-16 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 6.927 on 498 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.3214, Adjusted R-squared: 0.3201F-statistic: 235.9 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16> acf(rstudent(modely),main='关于y的acf自相关系数')从图中可以看出ACF随着k的增大而缓慢下降,自相关系数大且为正因此判断y序列为非平稳时间序列是合理的。