四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)课件 新人教A版选修21
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
知识点二 双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式 下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双 曲线顶点.
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思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在 实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
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学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为 答案 解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
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类型四 直线与双曲线位置关系 命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题 例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围； 解答
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跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案 解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14， 所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线2双曲线的简单几何性质1课件新人教A版选修2
渐近线方程为
y＝±
2 2 x.
典例剖析
一.已知双曲线的方程，研究其几何性质
• 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长 、离心率和渐近线方程，并作出草图．
• [分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依 据各几何量的定义作答．
[解析] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1， 即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
∴双曲线的标准方程为y22－x42＝1.
三.双曲线的离心率
已知 F1、F2 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦．如果∠PF2Q＝90°，求 双曲线的离心率．
• [解析] 设F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|， ∠PF2Q＝90°，
)
B．x42－y52＝1 D．x22－ y25＝1
• [答案] B
[解析] e＝32，c＝3，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5， 即双曲线的标准方程为x42－y52＝1.
4．已知双曲线ax22－y52＝1 的右焦点为(3,0)，则该双曲线的
离心率等于( )
A．3 1414
B．3 4 2
C．32
D．43
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
• 1.类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质 ．
• 2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 第1课时 双曲线
|PQ|＝ x2＋y－52＝ 54y－42＋5－b2，
其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2． 从而，5－b2＝4，即 b2＝1，双曲线方程为y42－x2＝1． 若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而54(2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝72或 b ＝32(与 b>2 矛盾)． 所以双曲线方程为4y92 －44x92＝1． 故所求双曲线方程为y42－x2＝1 或4y92 －44x92＝1.
离心率 渐近线
c e＝__a____∈_____(_1_，__＋__∞_)____
____y＝__±__ba_x _____
___y_＝__±_ab_x______
• 2.等轴双曲线 • 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方x2程－为y2＝__a2____________.
1．双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 A．4 C． 3
『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝ac化为 e 的方 程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相 等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同．
B．2 D．1
( A)
[解析] ∵双曲线ax22－by22＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 2a ＝4．
2．(江西九江一中 2017－2018 期末)双曲线y42－x2＝1 的离心率 e＝
2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质讲义苏教版选修2_1
2.3.2 双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别.1.通过双曲线性质的学习，提升直观想象素养．2.借助性质的应用，提升数学运算素养.1．双曲线的简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abx(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①等轴双曲线的离心率e＝2；②等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，它们互相垂直． 思考：(1)渐近线一样的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线一样的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值一样．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，那么双曲线的离心率为________．53 [因为渐近线方程为y ＝43x ，所以b a ＝43， 所以离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.]由双曲线的方程求其几何性质【例1】 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路探究] 此题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出根本量a ，b ，c 即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．[解] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .作草图，如下图：用双曲线标准方程研究几何性质的步骤1．将双曲线方程化为标准方程形式； 2．判断焦点的位置； 3．写出a 2与b 2的值； 4．写出双曲线的几何性质．1．求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率． [解] 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝43，焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2. 求双曲线的标准方程【例2】 求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．[思路探究] 利用待定系数法，当渐近线方程时，可利用双曲线设出方程进展求解． [解] (1)设以直线y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.双曲线方程的求解方法1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a ，b ，c 的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．2．以y ＝±n m x 为渐近线的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可防止分类讨论．2．求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，假设焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b2＝1. ②由①②联立，无解．假设焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b2＝1. ④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.求双曲线的离心率及其取值范围ABC ABC A B C 曲线的离心率为________．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．[思路探究] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有b a≥tan 60°.(1)1＋32 [由题意2c ＝AB ＝BC ，∴AC ＝2×2c ×sin 60°＝23c ， 由双曲线的定义，有2a ＝AC －BC ＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ， ∴e ＝c a＝13－1＝1＋32.] (2)[解] 因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a， 直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，故有b a≥3，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2， 所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．双曲线离心率的求法1．求双曲线的离心率就是求a 和c 的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a ，b ，c 三者中两者的关系，进而利用c 2＝a 2＋b 2进展转化．2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c >a ，或c >b .3．F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．[解] 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°， 知PF 1＝F 1F 2，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0， 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为准确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x .( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的一个焦点是(10，0)，那么双曲线的方程是________．x 2－y 29＝1 [双曲线的焦点在x 轴上，那么c ＝10，b a∵a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝1，b 2＝9， ∴方程为x 2－y 29＝1.]4．求适合以下条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．[解] (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y216＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a 2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A 版选修2
2.线的草图，首先在坐标系中画出渐近线 y＝±32x，顶 点－23，0，23，0，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标， 比如取 y＝1，算出 x＝232≈0.94，可知点(0.94,1)，(0.94，－1) 在双曲线上，将三点(0.94，－1)，(23，0)，(0.94,1)依次连成光滑 曲线并让它随 x 的增大逐步接近渐近线，画出位于第一、四象限 内双曲线的一支．最后由对称性可画出位于第二、三象限内双曲 线的另一支，得双曲线的草图如图所示.
(2a，－ 3b)，代入直线方程得－ 3b＝ba(2a－c)，化简可得离心 率 e＝ac＝2＋ 3.
【答案】 2＋ 3
法二：∵渐近线 y＝12x 过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线 y＝12x 的下方， 在 y＝－12x 的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在 x 轴上，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你 们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
【解析】 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率
为ba，又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因 为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y ＝－ 3b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为
2019_2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
为 y=±x,离心率等于 2.
课前篇自主预习
【做一做1】 若点M(x0,y0)是双曲线
������2 4
−
������2 25
=1上支上的任意一点,
则x0的取值范围是
,y0的取值范围是
.
解析因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.
答案(-∞,+∞) [2,+∞)
【做一做2】 双曲线4x2-2y2=1的实轴长等于
探究二
探究三
当堂检测
解(1)设双曲线方程为������������22 − ������������22=1(a>0,b>0).
∵双曲线过点 P( 6,2),∴���4���2 − ���6���2=1.
由题意得
������ ������
=
2 3
,
4 ������2
-
6 ������2
=
解得 1,
������2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 ( )
A.2
B.2 2
C.4
D.4 2
(2)双曲线���4���2 − ���9���2=1 的渐近线方程是(
)
A.y=±23x B.y=±49x
C.y=±32x D.y=±94x
解析(1)双曲线方程可变形为���8���2 − ���4���2=1,所以 a2=8,a=2 2,故实轴
,虚轴长
等于
,焦距等于
Байду номын сангаас
.
解析双曲线方程化为
������2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
1
答案:B
【做一做 1-2】
2 A.y=± ������B. ������ = 3 3 C.y=± ������D. ������ = 2 ������2 �����4 ± ������ 9 9 ± ������ 4
������2 − 9
2
∵双曲线过点 P( 6, 2), 且点P 在直线 y= 3 ������的左上方, ∴m<0,n<0,∴焦点在 y 轴上.
又渐近线的斜率 k=± ,
6 4 - = 1, ������ = -3, ������ ������ 4 ∴ 解得 -������ 2 ������ = - . = , 3 3 -������
������2 已知双曲线 ������ ������2 − 12-������
= 1 是等轴双曲线, 则������ =
= 1 是等轴双曲线,
∴n=12-n,∴n=6.
答案:6
有共同渐近线的双曲线系方程
������'2 ������'2 ������ ������ ������ ±1(������′ > 0, ������′ > 0)有相同的渐近线,即两条渐近线方程 ± = 0 与 ������ ������ ������ ������ ������ ������ 1 ± = 0 分别重合,则必有 = = (������ > 0), 故a'=ka,b'=kb. ������' ������' ������' ������' ������ 2 2 ������ ������ ������2 ������2 反之,易求得双曲线 2 − 2 = ±1 与 2− 2 = ±1 有 ������ (������������) (������������) ������ ������ ������2 ������2 相同的渐近线y=± ������, 故与双曲线 2 − 2 = ±1 有相同渐近线的双 ������ ������ ������ ������2 ������2 ������2 ������2 曲线系方程为 2− 2 = ±1. 上述方程可简化为 ������2 − 2 = (������������) (������������) ������ ������2 ������(������≠0).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程 2 − ������ 2 ������ ������
四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质2课件
双曲线系：
( 0)
焦半径公式：
由双曲线的第二定义， 得
( x0 , y0 )
| MF1 | | MF2 | e， e， F 2 2 1 a a | x0 | | x0 | c c
F2
2 a x c y
化 简 得: | MF1 | | a ex 0 | ，
| MF2 | | a ex 0 | .
y y 设 P( x, y ), 则Q( , y ), R( , y ). 2 2
y
R Q
F1
y y PQ ( x,0), PR ( x,0). 2 2
2 y PQ PR x 2 2. 4
P
F2
oA
x
又点P在双曲线上， a 2 2
x2 y2 ∴所求双曲线方程为 1. 2 8
故所求直线AB方程： x 2 y 1 0 .
(2) 假设过N 的直线交双曲线于 C ( x1 ， y1 ) ， D( x2 ， y2 ) ，则
x1 y1 2 1 相减 y1 y2 1 x1 x2 1 x N 4 2 2 1 x2 y2 2 x1 x2 2 y1 y2 2 y N 1 4 2 ( x1 x2 ) 即 kCD 1，
同理可得焦点在 y 轴上的焦半径公式：
2 a x c
F2 x F1
| MF1 | | a ey0 | ， | MF2 | | a ey0 | .
2
2 此时， (2) 4 (9) 40 0 故直线AB：x 2 y 1 0 .
y 解2： (1) 设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，则
2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质a21a高二21数学
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(2)①若双曲线的渐近线方程为 y＝±mn x，则双曲线方程可表示为mx22－ ny22＝λ(λ≠0)；②与双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方 程可表示为xa22－by22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)；与双曲线ay22－xb22＝1(a>0， b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为ay22－xb22＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
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1.xa22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，原点到直线 AB 的距离为 23，其中
A(0，－b)、B(a,0)，求该双曲线的标准方程．
解析：∵e＝2，∴1＋ba22＝4，
∴b2＝3a2
①
又∵AB 的方程为 bx－ay－ab＝0，
由点到直线的距离公式可得
长： 2b ；半实轴长： a ，半虚轴长： b c
e＝ a ∈ (1，＋∞)
y＝±bax
y＝±abx
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二、直线与双曲线的位置关系及判定
直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
两方程联立消去 y，得 mx2＋nx＋q＝0.
位置关系 公共点个数
2.3.2 双曲线的简单几何性质
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考纲定位
重难突破
重点：双曲线的几何性质． 掌握双曲线的几何性质.
难点：能解决一些简单的双曲线问题.
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高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1(2021年整理)
2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1的全部内容。
2.3。
2 双曲线的几何性质学习目标1。
了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。
2。
理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。
3。
掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。
它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。
2.3.2 双曲线的简单几何性质 2
(2)直线的方程: y=±－x a
x
渐渐接近但永不相交
x a
2 2
-
y b
2 2
= 1
•
y
N Q B2 A1 O M
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
c (2)定义式: e=－
b A2 a
B1
a
x
(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
k = b a = c - a a
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x a
2y a
2 2
-
x b
2 2
= 1
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？
x a
2
2
-
y b
2 2
= 1
k=
b a
=
c - a a
2
2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大,其开口越阔.
例1 求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程： 可得:实半轴长 a=4 虚半轴长 b=3 半焦距 c= 4 2 32 5 焦点坐标是 (0,-5),(0,5) 离心率
2 2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
y
B
图形
A1
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何
4
|x|≥ 4 2
4 2,0
6,0
e3 2 2
y 2x 4
9x 2 y 2 81 x 2 y 2 4
6
4
x 2 y 2 1 49 25
10
18
4
14
|x|≥3
|y|≥2
|y|≥5
(±3,0)
3 10 ,0
(0,±2)
0,2 2
(0,±5)
1、范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 A1 3、顶点: B1（0，-a），B2（0，a）
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
x 5、渐近线方程： a
y b
0
6、离心率： e=c/a
F2 B2
A2 X o
B1
F2
例题1:求双曲线 9x2 16 y2 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率，渐近线方程。
0, 74
e 10
y=±3x
e 2
x y
e 74 5
x7 y 5
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. Y
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
x 5、渐近线方程： a
y b
0
c
6、离心率： e=
a
Y
B2
X
A1
A2
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质11b21b高二21数学
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教学(jiāo xué)过程----启发探究，突破难点
问题(wèntí)环环相扣，层层设疑，逐个击破
突破难点
层层深入，启发探究
突破难点
合作交流，展示点评
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第九页，共十九页。
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教学(jiāo xué)过程----启发探究，突破难点
问题环环相扣，层层(cénɡ cénɡ)设疑，逐个击破
探讨了什 么问题？
小结
运用了那些 方法与思想
？
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第十三页，共十九页。
返回
教学过程----布置(bùzhì)作业、分层巩固
必做题：教材56页 练习 A 1，2
选做题：教材56页 练习 B 1，2
课外研讨题：
❖
❖
（1）如果把双曲线
果与双曲线之间的关系？
x2 16
y 2 的1 渐近线方程变形为和之后相乘，研究所得结 9
❖
❖
（曲线2）呢曲？线如果方是程双曲x92线，1y6它2 们中m(t的āmme取n值)的分渐别近为线1分，别4是，什-么1？，-4，方程表示什么
❖ （3）通过以上的求解过程，我们可以得到什么样的结论？
针对学生素质的差异布置弹性作业，既 使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生 有所提高，从而达到(dá dào)因材施教的目的
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❖板书设计
2.3.2双曲线的几何(jǐ hé)性质
一、几何性质 二、渐近线
三、离心率
例一
变式1
变式2、
投影(tóuyǐng)屏幕
课件展示：
总结归纳(guīnà)： 布置作业：
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质3b21b高二21数学
动脑思考 探索新知
2.顶点
双曲线与坐标轴的交点称为双曲线的顶点。
顶点：
A1（－a，0），A2（a，0）
实轴：
线段A1A2，长度为2a，a叫 做实半轴长；
特殊点： B1（0，－b），B2（0，b） 虚轴： 线段B1B2，长度为2b，b叫 做虚半轴长．
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动x22≥1，即 x2≥a2，
所以 x≥a 或 x≤－a， 因此双曲线在直线 x＝a 与直 线 x＝－a 的外侧．
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x=－a
x=a
动脑思考 探索新知
4.渐近线
y＝－bax
y＝bax
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经过点 A1、A2 分别作 y 轴的平 行线 x＝±a，经过点 B1、B2 作 x 轴的平行线 y＝±b，四条直 线围成一个矩形．
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理论升华 整体构建
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应用知识 强化训练
.
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离心率 e 越大，ba就越大，双曲线的开口就会 越开阔；反之，离心率 e 越小，双曲线的开口 就会越狭窄．
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动脑思考 探索新知 等轴双曲线 在双曲线ax22－by22＝1 中，如果 a＝b，那么它的实轴 和虚轴的长度都等于 2a，我们把实轴和虚轴等长的 双曲线叫做等轴双曲线．
.
等轴双曲线的离心率为 2． 渐近线方程为 y＝±x．
巩固知识，典型例题
例3 求双曲线9x2－4y2＝36的实半轴长、虚半轴长、顶点坐标、焦 点坐标、离心率和渐近线方程．
解： 因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以 顶点坐标是（－2，0），（2，0）， 焦点坐标是（－ 13，0），（ 13，0）， 离心率 e＝ac＝ 213，渐近线方程为 y＝±32x．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用课件1新人教A版选修
（D）2
7．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)
的双曲线标准方程．
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，
所以设双曲线的方程为1x62 －y92＝λ，
由题意知λ>0，所以 16λ＋9λ＝16，所以λ＝1265.
x2
y2
所以所求的双曲线标准方程为256－144＝1.
25 25
解： 如图,建立冷却塔的轴截面所在 平面的直角坐标系 xOy, 使小圆的直 径 A A 在 x轴 上 ,圆 心 与 原 点 重 合 .
y
C' 13 C
12
A' O A
x
这时,上、下口的直径CC,BB 都平行 B' 于 x 轴 ,且 | CC | 13 2,| BB | 25 2.
5
4
yl
解：设 d 是 点 M 到 直 线 l的 距 离 ， 根
H d.M
据题意，所求轨迹就是集合
P
M
| MF | d
5 4
,
.
.
O
F
x
由此得
(x 5)2 y2 | 16 x |
5 4
.
将
上
式
两
边
平
方
，
并
化
简
，
得
5
9x2 16y2 144.
即 x2 y2 1.
D.3
2
2
【解题关键】先讨论焦点所在坐标轴，再代入公式 e 1 (b)2 .
a
4.(2015·山东高考)过双曲线 C:
x2 a2
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质1数学教案
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abx实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.[点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A.x 225－y 29＝1B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2.答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22.故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)；当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2.所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.[答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8， ∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1. (3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3.[答案] 2＋3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c2>a ，所以e ＝ca>2. 答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案：3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22 C ．4D ．42解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )A.x 225－y 225＝1B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a.即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23，从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝ca＝2.答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1.答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)， 即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ， 所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4.又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B.5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D.3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D.2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a2a 2－3a2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3. 所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0， 与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ， 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k2，x 1x 2＝－21－k2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD－S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22， 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
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x2 a2
y2 b2
1 的渐近线为 y b x 即
a
x a
y b
0
渐近线为
yb a
x的双曲线标准方程一定是
x2 a2
y2 b2
1？
问：当渐近线的方程为y b x 时，双曲线的标准方程
一定是
x2 a2
y2 b2
1
吗？
a
答：不一定，例如：双曲线
x2 2a 2
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
16 9
（2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ; 3
（3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点； 85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：（3）由椭圆 x2 y2 1 的焦点 ( 3,0), ( 3,0),
85
得到双曲线的顶点 A1( 3,0), A2( 3,0),
知双曲线的焦点在x轴上，且焦点为 F1(2 2,0), F2(2 2,0),
a 3, c 2 2, b2 c2 a2 5. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
B1
B2
O
x
A1 F1
在双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1(
y2 a2
x2 b2
1 )中
如果 a b，那么双曲线叫做 等轴双曲线.
此时双曲线方程为:
x2 y2 a2 ( y2 x2 a2 )
它的渐近线方程为:
y x ( y x).
利用双曲线的渐近线 , 可以帮助
例1.求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.
解：原方程可化为 :
y2 42
x2虚半轴长 b 3 .
c a2 b2 42 32 5
4
焦点坐标 (0， 5)，(0，5) .
x2 a2
y2 b2
1a 0，b 0
| x|a
对称性 顶点 离心率
关于坐标轴对称、 关于原点对称．
A1(-a,0), A2(a,0),
B2(0,-b), B1(0,b).
e c a
(0 e 1)
关于坐标轴对称、 关于原点对称．
A线线实虚1(段段轴轴-aAB长长,011)AB||A,B22叫叫11AAB2实虚22(||a==轴轴,220ab) ...,.
(2)定义式: e=－ca
x (3)范围: e>1 (c>a>0)
(4)双曲线的形状与e的关系
k b a
c2 a2
a
e2 1
即 的:绝e越对大值,越渐大近,线其开y 口 ab越x阔斜.率
双曲线的简单几何性质
双曲线标准方程： y2
双曲线性质：
a2
x2 b2
1
1、范围： y a 或 y a
16 9
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称.
3、顶点：A1 （0，-a ），A2（0， a ） 线段A1A2叫实轴 . 线段B1B2叫虚轴 .
实轴长|A1A2|=2a ，虚轴 |B1B2|=2b .
4、渐近线方程：
y
a b
x
即 y x 0 ab
5、离心率： e c (e 1) a
y
A2 F2
y
我们较准确地画出双曲线的草图 .具体
做法是 : 画出双曲线的渐近线 ,先确
定双曲线顶点及第一象限内任意一点的
B2
位置 , 然后过这两点并根据双曲线在 第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐 近线的特点画出双曲线的一部分 , 最后
A1
A2
F1 O
F2
x
利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .
B1
应用举例:
y2 2b2
1
它的渐近线
方程是
y
b a
x
.
注意：以 y b x 即 x y 0 为渐近线的双曲线方程有：
a ab
x2
a2
y2
b2
1 (
0)
即
x2 a2
y2 b2
(
0)
即为以
x a
y b
0
为渐近线的双 曲 线 系 方 程
.
例3 求与双曲线 x2 y2 1 共渐近线且过点 (2 3， 3)
e
c a
(e 1)
双曲线的简单几何性质:
y
渐近线:
yb x a
B2
即
x a
y b
0
A1 F1 O
A2 F2
从图可以看出，双曲线的各支向外 x 延伸时，与这两条直线逐渐接近.
B1
x2 y2 a2 b2 1
双曲线的简单几何性质
y
B2
A1 F1 O
A2 F2
B1
离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
离心率
e
c a
5 4
.
渐近线方程为:
y
4 3
x
.
-3 O 3
x
-4
例2.求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8， e 5 ;
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
35
（4）一个焦点是F1(－6，0)的等轴双曲线.
解：设双曲线为
x2 a2
y2 a2
1
则由 c2 a2 b2 得 62 a2 a2 a2 18.
故所求标准方程为：x2 y2 1.
18 18
【说明】
(1)得到双曲线的标准方程需要三个条件：a,b及焦点位置；
(2)对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用.
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：（2）由题意
2c 16 c4 a3
a 6, c 8
b2 c2 a2 28.
∵双曲线焦点在y轴上， 故所求标准方程为： y2 x2 1.
36 28
（3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点； 85
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2