火线100天(四川专版)中考数学专题复习八 二次函数与几何综合

二次函数与几何综合二次函数与几何综合是四川中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．(2015·自贡)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性，BC 与对称轴的交点即为M ，继而求出其坐标；(3)设P(－1，t)，用含t 的代数式表示PB 、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t 的值．【解答】 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴直线y ＝mx ＋n 的解析式为y ＝x ＋3.(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M(－1，2)，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时，M 的坐标为(－1，2)．(3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18；解得t ＝3＋17，t ＝3－17.综上所述，P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)． (2015·攀枝花)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c 即可求出b 和c 的值，进而求出抛物线的解析式；(2)设D(t ，－t 2＋2t ＋3)，作DH ⊥x 轴，则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ，进而得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的性质，确定D 点坐标与S △BCD 的最大值；(3)因为两三角形的底边MB 相同，所以只需满足MB 上的高相等即可满足题意．【解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)设D(t ，－t 2＋2t ＋3)，作DH ⊥x 轴．令x ＝0，则y ＝3，∴C(0，3)．则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC＝12(－t 2＋2t ＋3＋3)t ＋12(3－t)(－t 2＋2t ＋3)－12×3×3 ＝－32t 2＋92t. ∵－32＜0， ∴当t ＝－922×（－32）＝32时，即D(32，154)时，S △BCD 有最大值，且最大面积为278. (3)∵P(1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求Q 点之一，∵直线BC 为y ＝－x ＋3，∴过点P 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x 2＋2x ＋3，解得Q 1(2，3)； ∵直线PM 为x ＝1，直线BC 为y ＝－x ＋3，∴M(1，2)．∴过点E 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋1.从而过点E 且与BC 平行的直线与抛物线的交点也为所求Q 点之一．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3，解得Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)． ∴满足条件的Q 点为Q 1(2，3)，Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)．(2013·绵阳)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点C 的坐标为(0，－2)，交x 轴于A 、B 两点，其中A(－1，0)，直线l ：x ＝m(m ＞1)与x 轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B 的坐标；(2)在直线l 上找点P(P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为C(0，－2)，∴b ＝0，c ＝－2.∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(－1，0)，∴0＝a ＋0－2，a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－2.当y ＝0时，2x 2－2＝0，解得x ＝±1，∴点B 的坐标为(1，0)．(2)连接BC.设P(m ，n)．∵∠PDB ＝∠BOC＝90°，∴当以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△OCB∽△DBP，则OB DP ＝OC DB ，即1n ＝2m －1，解得n ＝m －12. ∴此时点P 坐标为(m ，m －12)； ②若△OCB∽△DPB，则OB DB ＝OC DP ，即1m －1＝2n，解得n ＝2m －2. ∴此时点P 坐标为(m ，2m －2)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(m ，m －12)或(m ，2m －2)． (3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x ，2x 2－2)，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 如图，过点Q 作QE⊥l 于点E.∵∠DBP ＋∠BPD＝90°，∠QPE ＋∠BPD＝90°，∴∠DBP ＝∠QPE.在△DBP 与△EPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDP＝∠PEQ＝90°，∠DBP ＝∠EPQ，BP ＝PQ ，∴△DBP ≌△EPQ.∴BD ＝PE ，DP ＝EQ.分两种情况：①当P(m ，m －12)时， ∵B(1，0)，D(m ，0)，E(m ，2x 2－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2x 2－2－m －12，m －12＝m －x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，m 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，m 2＝0.(均不合题意，舍去) ②当P(m ，2m －2)时，∵B(1，0)，D(m ，0)，E(m ，2x 2－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2x 2－2－2（m －1），2（m －1）＝m －x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，m 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－52，m 2＝92.(均不合题意，舍去) 综上所述，不存在满足条件的点Q.(2015·绵阳)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋a(a≠0)与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y ＝12x －a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA相交于点N 点．(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M 、A 的坐标；(2)将△NAC 沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的面积；(3)在抛物线y ＝－x 2－2x ＋a(a ＞0)上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围．利用二次函数解析式求得M 、A 的坐标；(2)求出两直线的交点N ，从而求出其对称点P ，利用面积之差得△PCD 的面积；函数解析式，求得a ；②当P 在y 轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a.【解答】 (1)由题意联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋a ，y ＝12x －a.整理得2x 2＋5x －4a ＝0.由Δ＝25＋32a ＞0，解得a ＞－2532. ∵a ≠0，∴a ＞－2532且a≠0. 令x ＝0，得y ＝a ，∴A(0，a)．由y ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，得M(－1，1＋a)．(2)设直线MA 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝－k ＋b ，a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝a. 故直线MA 的解析式为y ＝－x ＋a.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝12x －a.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝－a 3. ∴N(4a 3，－a 3)． 由于P 点是N 点关于y 轴的对称点，∴P(－4a 3，－a 3)． 代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得－a 3＝－169a 2＋83a ＋a ， 解得a ＝94或a ＝0(舍去)． ∴A(0，94)，C(0，－94)，M(－1，134)，|AC|＝92. ∴S △PCD ＝S △PAC －S △DAC＝12|AC|×|x P |－12|AC|×|x D | ＝12×92(3－1)＝92. (3)①当点P 在y 轴左侧时，四边形APCN 为平行四边形，则AC 与PN 相互平分，点P 与N 关于原点(0，0)中心对称，而N(4a 3，－a 3)，故P(－4a 3，a 3)． 代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得a 3＝－169a 2＋83a ＋a ， 解得a ＝158或a ＝0(舍去)，∴P(－52，58)．②当点P 在y 轴右侧时，四边形ACPN 为平行四边形，则NP∥AC 且NP ＝AC ，而N(4a 3，－a 3)、A(0，a)、C(0，－a)，故P(4a 3，－7a 3)． 代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得－7a 3＝－169a 2－83a ＋a ， 解得a ＝38或a ＝0(舍去)，∴P(12，－78)． ∴当P 点为(－52，58)或(12，－78)时，以A 、C 、P 、N 为顶点能构成平行四边形．1．(2015·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l⊥y 轴于点B(0，－2)，A 为OB 的中点，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋c(a≠0)与x 轴分别交于C 、D 两点，且CD ＝4，点P 为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P 与y 轴的另一交点为E ，且OE ＝2，求点P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．2．(2014·绵阳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象过点M(－2，3)，顶点坐标为N(－1，433)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．3．(2013·南充)如图，二次函数y＝x2＋bx－3b＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C，且经过点(b－2，2b2－5b－1)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；(3)连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F.若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．4．(2015·乐山)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－8，2.(1)求二次函数的解析式；(2)直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连接EF ，求△PEF 周长的最小值．5．(2015·雅安)如图，已知抛物线C 1：y ＝－12x 2，平移抛物线y ＝x 2，使其顶点D 落在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C 2，且C 2与y 轴交于C(0，2)．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右方)．求点A 、B 的坐标及过点A 、B 、C 的圆的圆心E 的坐标；(3)在过点(0，12)且平行于x 轴的直线上是否存在点F ，使四边形CEBF 为菱形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．过点A和点C，对称轴为直线l：x＝－1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；(3)点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．7．(2015·德阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB.(1)求此抛物线的解析式；(3)点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针方向旋转90°后，点A 的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．8．(2014·成都)如图，已知抛物线y ＝k8(x ＋2)(x －4)(k 为常数，且k ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y ＝－33x ＋b 与抛物线的另一交点为D. (1)若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；(3)在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？9．(2015·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.(1)求抛物线解析式；(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1<x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值．10．(2014·攀枝花)如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D的坐标为(－6，0)，且∠ACD＝90°.(1)请直接写出A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；(4)平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H(t ，0)．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．11．(2015·成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)；(2)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为45，求a 的值；(3)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．1．(1)∵A 为OB 的中点，B(0，－2)，∴A(0，－1)．∵抛物线y ＝ax 2＋c 对称轴为y 轴，CD ＝4， ∴C(－2，0)，D(2，0)．把A(0，－1)，D(2，0)代入抛物线y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，4a ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝x24－1.(2)设点P(x ，x 24－1)，过P 作PM⊥y 轴于点M ，则OM ＝12OE ＝1.∴|x 24－1|＝1.∴x 24－1＝1或x24－1＝－1.解得x 1＝22，x 2＝－22，x 3＝0.∴点P 坐标是P 1(22，1)，P 2(－22，1)，P 3(0，－1)．(3)直线l 与⊙P 相切．设点P(x ，x24－1)，过P 作PN⊥l 于点N ，交x 轴于点Q.在Rt △POQ 中，PO 2＝x 2＋(x 24－1)2＝x 2＋x 416－x 22＋1＝x 416＋x 22＋1.PN 2＝[x 24－1－(－2)]2＝x 416＋x 22＋1.∴PN＝PO.∴直线l 与⊙P 相切．2.(1)由抛物线顶点坐标为N(－1，433)，可设其解析式为y ＝a(x ＋1)2＋433.将M(－2，3)代入，得3＝a(－2＋1)2＋433，解得a ＝－33.故所求抛物线的解析式为y ＝－33x 2－233x ＋ 3. (2)∵y＝－33x 2－233x ＋3，∴x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3)． y ＝0时，－33x 2－233x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－3， ∴A(1，0)，B(－3，0)， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝2 3.设P(－1，m)，当CP ＝CB 时，有CP ＝1＋（m －3）2＝23，解得m ＝3±11； 当BP ＝BC 时，有BP ＝（－1＋3）2＋m 2＝23，解得m ＝±22； 当PB ＝PC 时，（－1＋3）2＋m 2＝1＋（m －3）2，解得m ＝0.综上所述，当△PBC 为等腰三角形时，点P 的坐标为(－1，3＋11)，(－1，3－11)，(－1，22)，(－1，－22)，(－1，0)．(3)由(2)知BC ＝23，AC ＝2，AB ＝4，所以BC 2＋AC 2＝AB 2，即BC⊥AC.连接BC 并延长至B′，使B′C＝BC ，∵B 、B′关于直线AC 对称，∴QB ＝QB′，∴QB ＋QM ＝QB′＋QM ＝MB′，又BM ＝2，所以此时△QBM 的周长最小． 由B(－3，0)，C(0，3)，易得B′(3，23)．设直线MB′的解析式为y ＝kx ＋n ，将M(－2，3)，B ′(3，23)代入，得⎩⎨⎧－2k ＋n ＝3，3k ＋n ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，n ＝735.即直线MB′的解析式为y ＝35x ＋735. 同理可求得直线AC 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋735，y ＝－3x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝433，即Q(－13，433)．所以在直线AC 上存在一点Q(－13，433)，使△QBM 的周长最小．3.(1)把点(b －2，2b 2－5b －1) 代入解析式，得2b 2－5b －1＝(b －2)2＋b(b －2)－3b ＋3.解得b ＝2.∴抛物线解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3或x ＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． ∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1， ∴圆心M 在直线x ＝－1上． ∴设M(－1，n)，作MG⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC ，MB. ∴MH ＝1，BG ＝2.∵MB＝MC ，∴BG 2＋MG 2＝MH 2＋CH 2.∴4＋n 2＝1＋(3＋n)2.解得n ＝－1. ∴点M 的坐标为(－1，－1)．(3)由M(－1，－1)，得MG ＝MH.∵MA＝MD ， ∴Rt △AMG ≌Rt △DMH.∴∠MAG ＝∠MDH.由旋转可知∠AME＝∠DMF.∴△AME≌△DMF.若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形．设E(x ，0)．△AME 为等腰三角形，分三种情况：①当AE ＝AM ＝5时，则x ＝5－3，∴E(5－3，0)．②当AM ＝ME 时，∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA ＝ME ＝MB ，∴E(1，0)．③当AE ＝ME 时，则点E 在AM 的垂直平分线上．AE ＝x ＋3，ME 2＝MG 2＋EG 2＝1＋(－1－x)2.∴(x ＋3)2＝1＋(1＋x)2.解得x ＝－74.∴E(－74，0)．∴所求点E 的坐标为(5－3，0)，(1，0)或(－74，0)．4.(1)∵函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，且一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0两根为－8，2，∴A(－8，0)、B(2，0)，即OB ＝2.又tan ∠ABC ＝3，∴OC ＝6，即C(0，－6)．将A(－8，0)、B(2，0)代入y ＝ax 2＋bx －6中，得a ＝38，b ＝94，∴二次函数解析式为y ＝38x 2＋94x －6.(2)①当l 在AB 位置时，P 即为AB 中点H ，当l 运动到AC 位置时，P 即为AC 中点K ，∴点P 的运动路程为△ABC 的中位线HK.∴HK＝12BC.在Rt △BOC 中，OB ＝2，OC ＝6.∴BC ＝210.∴HK ＝10. 即点P 的运动路程为10. ②∠EPF 的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt △AED 中，P 为斜边AD 的中点，∴PE ＝12AD ＝PA ，∴∠PAE ＝∠PEA＝12∠EPD.同理可得：∠PAF＝∠PFA＝12∠DPF ，∴∠EPF ＝∠EPD＋∠DPF＝2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF＝2∠EAF.又∵∠EAF 大小不变，∴∠EPF 的大小不会改变． (3)设△PEF 的周长为C ，则C ＝PE ＋PF ＋EF ， ∵PE ＝12AD ，PF ＝12AD ，∴C ＝AD ＋EF.在等腰三角形PEF 中，过P 作PG⊥EF 于点G ，∴∠EPG ＝12∠EPF＝∠BAC.∵tan ∠BAC ＝OC AO ＝34.∴tan ∠EPG ＝EG PG ＝34.∴EG ＝35PE ，EF ＝65PE ＝35AD.∴C ＝AD ＋EF ＝(1＋35)AD ＝85AD.又当AD⊥BC 时，AD 最小，此时C 最小，又S △ABC ＝30，∴12BC ·AD ＝30，∴AD ＝310.∴C 最小值为85AD ＝24510.5.(1)由题意，设D(a ，－12a 2)．则抛物线C 2的解析式为y ＝(x －a)2－12a 2.又∵点C 在抛物线C 2上，将C(0，2)代入上式，解得a ＝±2.又因为D 在y 轴右侧，所以a ＝2.∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －2)2－2.(2)由题意，在y ＝(x －2)2－2中，令y ＝0，则x ＝2± 2. ∵点B 在点A 的右侧，∴A(2－2，0)，B(2＋2，0)．又∵过点A 、B 、C 的圆的圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则设E(2，m)，且|CE|＝|AE|.则22＋(2－m)2＝m 2＋(2－2＋2)2，解得m ＝32.∴圆心E 的坐标为(2，32)．(3)假设存在F(t ，12)，使得四边形CEBF 为菱形，则|BF|＝|CF|＝|CE|.∴(12)2＋(2＋2－t)2＝(2－12)2＋t 2，解得t ＝ 2.当t ＝2时，F(2，12)．此时|CE|＝172，|CF|＝22＋（2－12）2＝2＋94＝172. ∴|CF|＝|BF|＝|BE|＝|CE|.即存在点F(2，12)，使得四边形CEBF 为菱形．6．(1)对于y ＝－3x ＋3，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝1， ∴点C(0，3)，点A(1，0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＋b ＋3＝0，－b 2a＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴此抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)如图1，点A 关于直线l 的对称点是点B(－3，0)，连接BC 交直线l 于点P ，连接PA ，则此时△PAC 周长最小．设BC 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点B(－3，0)、点C(0，3)代入解析式中，则⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋m ＝0，m ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝3.∴BC 的解析式为y ＝x ＋3.当x ＝－1时，y ＝2，∴点P 为(－1，2). (3)如图2，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能为平行四边形．满足要求的点M 有3个，分别是M 1(－2，3)，M 2(－4，－5)，M 3(4，－21)． 7.(1)∵B 点坐标为(－3，0)，OC ＝OB ，∴OC ＝OB ＝3，∴C(0，3)．将A(1，0)、B(－3，0)、C(0，3)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴此抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. (2)过点E 作直线EF 平行于BC. ∵直线BC 过B(－3，0)、C(0，3)，∴y BC ＝x ＋3.设直线EF 的解析式为y EF ＝x ＋b. ∵△BOC 面积为定值，S 四边形BOCE ＝S △BOC ＋S △BCE ， ∴四边形BOCE 面积最大时，△BCE 面积最大．∵BC 为定值，∴当BC 上的高最大时，△BCE 面积最大，此时直线EF 与抛物线有且只有一个交点．故一元二次方程x ＋b ＝－x 2－2x ＋3有两个相等的实数根．整理得x 2＋3x ＋b －3＝0.Δ＝9－4(b －3)＝0.解得b ＝214，x 1＝x 2＝－32.∵当x ＝－32时，y ＝154，∴点E 的坐标为(－32，154)．当E 点的坐标为(－32，154)时，S 四边形BOCE ＝12×(32＋3)×154－12×32×(154－3)＝638.(3)∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝－1，点P 在抛物线的对称轴上，∴设P(－1，m)．∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，∴PA ＝PA′，∠APA ′＝90°，如图，过A′作A′N⊥对称轴于N ，设对称轴与x 轴交于点M ，∴∠NPA ′＋∠MPA＝∠NA′P＋∠NPA′＝90°，∴∠NA ′P ＝∠MPA， 在△A′NP 与△PMA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A′NP＝∠PMA＝90°，∠NA ′P ＝∠MPA，PA ′＝AP ，∴△A ′NP ≌△PMA.∴A′N＝PM ＝|m|，PN ＝AM ＝2.∴A′(|m|－1，m ＋2)，代入y ＝－x 2－2x ＋3，得m ＋2＝－(|m|－1)2－2(|m|－1)＋3，解得m ＝1，m ＝－2.∴P 1(－1，1)，P 2(－1，－2)．8.(1)∵抛物线解析式为y ＝k8(x ＋2)(x －4)，令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线y ＝－33x ＋b 经过点B(4，0)，∴－33×4＋b ＝0，解得b ＝433.∴直线BD 解析式为y ＝－33x ＋433. 当x ＝－5时，y ＝33，∴D(－5，33)．∵点D(－5，33)在抛物线y ＝k8(x ＋2)(x －4)上，∴k8(－5＋2)(－5－4)＝33， ∴k ＝839.∴抛物线的函数表达式为y ＝839(x ＋2)(x －4)．(2)由抛物线解析式，令x ＝0，得y ＝－k.∴C(0，－k)，OC ＝k. ∵点P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB.①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如图1所示．设P(x ，y)，过点P 作PN⊥x 轴于点N ，则ON ＝x ，PN ＝y.tan ∠BAC ＝tan ∠PAB ，即k 2＝yx ＋2，∴y ＝k 2x ＋k.∴P(x，k 2x ＋k)，代入抛物线解析式y ＝k 8(x ＋2)·(x－4)，得k 8(x ＋2)(x －4)＝k2x ＋k ，整理得x 2－6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2(与点A 重合，舍去)， ∴P(8，5k)．∵△ABC ∽△APB ，∴AC AB ＝AB AP ，即k 2＋46＝625k 2＋100，解得k ＝455.②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如图2所示．与①同理，可求得k ＝ 2.综上所述，k ＝455或k ＝ 2.(3)由(1)知D(－5，33)．过点D 作DN⊥x 轴于点N ，则DN ＝33，ON ＝5，BN ＝4＋5＝9， ∴tan ∠DBA ＝DN BN ＝339＝33，∴∠DBA ＝30°.过点D 作DK∥x 轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°. 过点F 作FG⊥DK 于点G ，则FG ＝12DF.由题意，动点M 运动的路径为折线AF ＋DF.所用时间为AF 1＋DF2＝AF ＋FG.由垂线段最短可知，折线AF ＋FG最小值就是点A 到直线DK 的垂线段AH 的长度． 所以F 点的横坐标为－2.把x ＝－2代入y ＝－33x ＋433，得y ＝－33×(－2)＋433＝23， ∴F(－2，23)．∴当点F 坐标为(－2，23)时，点M 在整个运动过程中用时最少．9.(1)由已知对称轴为x ＝1，得－b2×（－1）＝1，∴b ＝2.∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(m －2，0)和B(2m ＋1，0)，∴－x 2＋bx ＋c ＝0的解为m －2和2m ＋1.∴(m－2)＋(2m ＋1)＝b ，(m －2)(2m ＋1)＝－c.∴m＝1，c ＝3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝－x 2＋2x ＋3，得x 2＋(k －2)x －1＝0.∴x 1＋x 2＝－(k －2)，x 1x 2＝－1， ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(k －2)2＋4.∴当k ＝2时，(x 1－x 2)2的最小值为4，即|x 1－x 2|的最小值为2.∴x 2－1＝0，x 1＝－1，x 2＝1，则y 1＝0，y 2＝4.∴当|x 1－x 2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)． (3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)．∵O，B ，P ，C 构成多边形的周长L ＝OB ＋BP ＋PC ＋CO ，又∵线段OB 平移过程中，OB 、PC 的长度不变， ∴要使L 最小，只需BP ＋CO 最短．如图，平移线段OC 到BC′，四边形OBC′C 是矩形．∴C′(3，3)．作点P 关于x 轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x 轴交于点B′.设C′P′解析式为y ＝ax ＋n.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋n ＝－4，3a ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72，n ＝－152.∴y ＝72x －152.当y ＝0时，x ＝157，∴B ′(157，0)．又3－157＝67，故点B 向左平移67，平移到B′.同时，点O 向左平移67，平移到O′(－67，0)即线段OB 向左平移67时，周长L 最短．此时，线段BP ，CO 之和最短为P′C′＝72＋22＝53，O ′B ′＝OB ＝3，CP ＝ 2.∴当线段OB 向左平移67，即点O 平移到O′(－67，0)，点B 平移到B′(157，0)时，周长L 最短为53＋2＋3. 10.(1)抛物线的解析式为y ＝ax 2－8ax ＋12a(a ＞0)，令y ＝0，即ax 2－8ax ＋12a ＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，∴A(2，0)，B(6，0)．(2)抛物线的解析式为y ＝ax 2－8ax ＋12a(a ＞0)，令x ＝0，得y ＝12a ，∴C(0，12a)，OC ＝12a.在Rt△COD 中，由勾股定理得：CD 2＝OC 2＋OD 2＝(12a)2＋62＝144a 2＋36；在Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC 2＝OC 2＋OA 2＝(12a)2＋22＝144a 2＋4；在Rt△ACD 中，由勾股定理得：DC 2＋AC 2＝AD 2，即(144a 2＋36)＋(144a 2＋4)＝82，解得a ＝36或a ＝－36(舍去)，∴抛物线的解析式为y ＝36x 2－433x ＋2 3. (3)存在．对称轴为直线：x ＝－－8a2a＝4.由(2)知C(0，23)，则点C 关于对称轴x ＝4的对称点为C′(8，23)，连接AC′，与对称轴交于点P ，则点P 即为所求．此时△PAC 周长最小，最小值为AC ＋AC′.设直线AC′的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，8k ＋b ＝23， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.∴y ＝33x －233.当x ＝4时，y ＝233， ∴P(4，23)．21 过点C′作C′E⊥x 轴于点E ，则C′E＝23，AE ＝6，在Rt△AC′E 中，由勾股定理得：AC′＝（23）2＋62＝4 3.在Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC ＝22＋（23）2＝4.∴AC＋AC′＝4＋4 3.∴存在满足条件的点P ，点P 坐标为(4，233)，△PAC 周长的最小值为4＋4 3. (4)①当－6≤t≤0时，如图1所示．∵直线m 平行于y 轴，∴GH OC ＝DH OD ，即GH 23＝6＋t 6，解得GH ＝33(6＋t)．∴S＝S △DGH ＝12DH ·GH ＝12(6＋t)·33(6＋t)＝36t 2＋23t ＋63；②当0＜t≤2时，如图2所示．∵直线m 平行于y 轴，∴GH OC ＝AH OA ，即GH 23＝2－t 2，解得GH ＝－3t ＋2 3. ∴S ＝S △COD ＋S 梯形OCGH ＝12OD ·OC ＋12(GH ＋OC )·OH＝12×6×23＋12(－3t ＋23＋23)·t＝－32t 2＋23t ＋6 3.∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++-≤≤-++).20(363223),06(36326322t t t t t t11.(1)令y ＝0，则ax 2－2ax －3a ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∵点A 在点B 的左侧，∴A(－1，0)．∵直线l 经过点A ，∴0＝－k ＋b ，b ＝k ，∴y ＝kx ＋k.令ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即ax 2－(2a ＋k)x －3a －k ＝0.∵CD＝4AC ，∴点D 的横坐标为4.∴－3a －k a＝－1×4.∴k＝a.∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a. (2)过点E 作EF∥y 轴，交直线l 于点F ，设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，ax ＋a)．EF ＝ax 2－2ax －3a －(ax ＋a)＝ax 2－3ax －4a.S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a. ∴△ACE 的面积的最大值为－258a. ∵△ACE 的面积的最大值为54， ∴－258a ＝54，解得a ＝－25. (3)令ax 2－2ax －3a ＝ax ＋a ，即ax 2－3ax －4a ＝0.解得x 1＝－1，x 2＝4.22 ∴D(4，5a)．∵y＝ax 2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1.设P(1，m)．①若AD 是矩形的一条边，则Q(－4，21a)，∴m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)．∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°.∴AD 2＋PD 2＝AP 2.∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a 2＝17.∵a ＜0，∴a ＝－77.∴P 1(1，－2677)．②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为(32，5a2)，Q(2，－3a)．∴m＝5a －(－3a)＝8a ，则P(1，8a)．∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°.∴AP 2＋PD 2＝AD 2， ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a 2＝14.∵a ＜0，∴a ＝－12，∴P 2(1，－4)．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形．点P 的坐标为(1，－2677)或(1，－4)．。