2.2 建立概率模型

合集下载

掌握概率统计的基本方法与应用

掌握概率统计的基本方法与应用概率统计是一门研究随机现象的数学学科，广泛应用于各个领域。

掌握概率统计的基本方法和应用，对于我们理解和分析事物的发展趋势、预测未来事件的可能性具有重要的意义。

本文将介绍概率统计的基本概念、方法和实际应用，并探讨其在不同领域中的作用。

一、概率统计的基本概念1.1 概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小。

在数学中，概率以0到1之间的数值表示，0表示不可能事件，1表示必然事件。

概率可以用来度量不同事件之间的发生概率。

1.2 随机变量与概率密度函数随机变量是指在一次试验中可能取到的不同结果，它可以是离散的或连续的。

离散变量是指只能取到有限个或可列个值的变量，比如抛硬币的结果；而连续变量是指可以取到任意值的变量，比如人的身高。

概率密度函数则是描述随机变量的概率分布规律的函数，通常用来衡量事件在给定取值范围内可能发生的概率大小。

1.3 事件独立性与条件概率事件的独立性是指两个或多个事件之间相互独立，互不影响。

条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

二、概率统计的基本方法2.1 概率计算方法概率计算是概率统计的核心方法之一。

通过利用事件之间的关系、概率的性质以及一些基本规则，可以计算出复杂事件的概率。

2.2 统计方法统计方法是通过收集和分析数据来推断总体特征、评估假设以及进行预测和决策的方法。

常见的统计方法包括抽样调查、假设检验、回归分析等。

2.3 概率模型与统计模型概率模型是描述随机现象的模型，通过概率论的方法来描述事件的发生规律。

统计模型则是通过收集样本数据，建立起概率模型的方法。

三、概率统计的应用领域3.1 金融领域中的应用概率统计在金融领域中有着广泛的应用。

例如，通过对金融市场的历史数据进行分析，可以对未来的金融市场走势进行预测；概率统计也可以用来评估金融产品的风险等。

3.2 医学领域中的应用在医学领域中，概率统计可以用来分析疾病的流行趋势、预测疾病的患病率等。

实验报告-实验六概率模型的建模分析

实验课程名称：_ 数据分析与建模__第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）1、概率模型的求解（1）某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径可以认为服从正态分布。

从某天产品中任取6个测得直径如下(单位：mm)：15.6 16.3 15.9 15.8 16.2 16.1若已知直径的方差是0.06，试求总体均值的置信度为0.95的置信区间与置信度为0.90的置信区间。

求解方法：用Mathematica进行区间估计时, 必须先调用相应的软件包，需要输入并执行的命令如下：（特别提示：不同版本的Mathematica，所用的调用命令不一样）在Mathematica 2.2中调用区间估计软件包的命令为<<Statistics\Confiden.m在Mathematica 4.0中调用区间估计软件包的命令为<<Statistics`或<<Statistics\ConfidenceIntervals.m在Mathematica 11.0中调用区间估计软件包的命令为<< HypothesisTesting`本题属于在方差已知的情况下，求单个正态总体均值的置信区间的问题。

求单正态总体均值的置信区间要用到命令MeanCI, 命令的基本格式为：MeanCI[样本观察值, 选项1, 选项2,…]其中选项1用于选定置信度，形式为ConfidenceLevel-> 1-α，缺省默认值为ConfidenceLeve1 -> 0.95；选项2用于说明方差是已知还是未知，其形式为KnownVariance-> None或方差值，缺省默认值为KnownVariance->None，也可以用说明标准差的选项KnownStandardDeviation->None 或方差值来代替这个选项。

具体运行结果如下图所示：图1 方差已知时，求单正态总体均值的置信区间回答问题：总体均值μ的置信度为0.95的置信区间：(15.7873, 16.1793)总体均值μ的置信度为0.90的置信区间：(15.8188, 16.1478)（2）某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额σ元，求该地旅游者平均消80==x元，根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差12费额μ的置信度为%95的置信区间。

概率与统计的数学模型

概率与统计的数学模型概率与统计是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和实际生活中都起着至关重要的作用。

概率是研究随机现象发生的规律性，而统计是用数据推断总体特征的方法。

它们的数学模型在研究和应用中具有广泛的应用和意义。

一、概率的数学模型概率的数学模型主要有概率空间和概率分布两个方面。

1. 概率空间概率空间是指由样本空间和样本空间中的事件组成的数学模型。

样本空间是指所有可能结果的集合，事件是指样本空间的某些子集。

概率空间由三个元素组成：样本空间Ω，事件的集合F和概率函数P。

概率函数P定义了事件在样本空间中的概率，它满足三个条件：非负性、规范性和可列可加性。

2. 概率分布概率分布是指随机变量在各取值上的概率分布情况。

随机变量是样本空间到实数集的映射，它描述了随机现象的数值特征。

概率分布可以分为离散型和连续型两种。

离散型概率分布可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来描述。

例如，二项分布是描述n重伯努利试验的概率分布，其PMF可以用来计算在n次试验中成功的次数。

连续型概率分布可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来描述。

例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布，它在自然界和社会科学中有广泛应用。

二、统计的数学模型统计的数学模型主要有样本和总体两个方面。

1. 样本样本是指从总体中获取的部分观察结果。

样本可以是随机抽样或非随机抽样得到的，它用来代表总体并推断总体的特征。

样本是统计推断的基础。

2. 总体总体是指研究对象的整体集合。

总体可以是有限总体或无限总体，它包含了研究对象的所有可能结果。

总体的特征可以用参数来描述，例如总体的均值、方差等。

统计的数学模型主要是通过样本推断总体的特征。

统计推断包括点估计和区间估计两个方面。

点估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计等。

区间估计是利用样本数据给出总体参数的区间范围，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间等。

Python中的概率图模型实现方法

Python中的概率图模型实现方法概率图模型（Probabilistic Graphical Models, PGMs）是一种强大的工具，用于建模和推理与不确定性相关的问题。

它们被广泛应用于各种领域，如机器学习、人工智能、计算机视觉、自然语言处理等。

Python拥有许多用于实现概率图模型的工具和库，这篇论文将向读者介绍这些工具和库，以及它们如何被用于实现概率图模型。

1.概率图模型概率图模型是一种图形化表示方法，用于表示变量（节点）和它们之间的依赖关系（边）。

它们可以分为两类：贝叶斯网络（Bayesian Networks，BN）和无向图模型（Undirected Graphical Models，UGMs）。

贝叶斯网络是一种有向图，其中每个节点代表一个变量，并且它们之间有方向性。

这些变量之间的关系被编码为条件概率，例如，一个节点可以表示某个事件的发生情况，而另一个节点可以表示该事件的原因。

在BN中，所有变量的联合概率可以被表示为它们之间的条件概率的乘积。

无向图模型是一种无向图，其中每个节点表示一个变量，并且它们之间没有方向性。

这些变量之间的关系被编码为无向图中的势函数，称为马尔可夫网络（Markov Networks）。

在马尔可夫网络中，每个节点被表示为一个随机变量，每个节点的势函数是一个关于该节点的所有父节点的函数。

概率图模型的优点是它们可以减少问题的复杂性。

概率图模型能够在变量之间建立联系，并表示变量之间的一系列因果关系，使得问题求解更加高效和可靠。

但概率图模型也面临着一些挑战，如参数估计和推断等问题。

2.Python工具实现Python是一种广泛使用的编程语言，是许多机器学习和人工智能任务的首选。

Python拥有许多用于实现概率图模型的工具和库。

2.1 PyroPyro是一个基于Python的概率编程语言，提供了一个灵活的工具集，用于构建概率模型。

它是一个由Uber AI Labs开发的开源库，支持贝叶斯网络和马尔可夫网络，包括广义线性模型（GeneralizedLinear Models，GLMs）、深度学习模型和马尔可夫链（Markov Chains）等广泛应用的模型。

数学模型与数学建模

数学模型与数学建模数学模型是对实际问题的一种抽象表示，通过数学语言和符号来描述问题的特征、关系和规律。

数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程，它依靠数学模型来分析和研究问题，得到问题的解决方案或优化结果。

数学模型与数学建模在各个领域都得到了广泛应用，成为解决实际问题的强有力工具。

一、数学模型的分类数学模型分为确定性模型和随机模型两大类。

确定性模型是指模型中的所有参数和变量的取值都是确定的，不存在随机性；随机模型则是指模型中的某些参数或变量的取值是随机的，存在一定的概率分布特性。

1.1 确定性模型确定性模型是最常见的模型类型，它包括数学分析模型、代数模型、几何模型等。

确定性模型主要用于描述具有确定关系的事物，其中最典型的就是几何模型。

例如，平面几何中的三角形和圆形可以用确定性模型来描述其属性、关系和性质，进一步进行几何推理和证明。

1.2 随机模型随机模型是描述随机现象的数学模型，其中包括概率模型、统计模型、随机过程模型等。

随机模型常用于处理实际问题中的不确定性和随机性因素。

例如，在金融领域，股票价格的变动通常具有一定的不确定性，可以用随机模型中的随机过程来描述和预测。

二、数学建模的步骤数学建模通常包括问题定义、建立数学模型、求解模型和验证模型这四个步骤。

2.1 问题定义在数学建模中，首先需要明确问题的定义和目标，包括问题的背景、需求和约束条件等。

问题定义阶段需要对问题进行细致的分析和抽象，确保问题的本质特征能够被准确地反映在数学模型中。

2.2 建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤，它需要将实际问题转化为数学语言和符号来描述。

建立数学模型时，需要进行参数选择、变量定义、关系建立等操作，以确保模型能够客观、准确地反映问题的特征和规律。

2.3 求解模型求解模型是通过数学方法和技术来实现对问题解决方案的确定。

根据具体问题的不同，求解模型的方法可以采用数值计算、符号计算、优化算法等不同的技术手段。

3.2.2建立概率模型课件ppt(北师大版必修三)

(2)解决古典概型的问题的关键是分清基本事件的个数与事件A中所包含的结果数，因此要注意以下三个方面：① 本试验是否具有等可能性；②本试验的基本事件有多少个；③事件A是什么．只有清楚了这三方面的问题，解题时才不易出错．
课前探究学习课堂讲练互动
(3)在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，
解
随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数为
相邻整数”，可能结果为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)， (5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(2，1)，(3， 2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)，(7，6)，(8，7)，(9，8)， (10，9)共18种．
2.2 建立概率模型
【课标要求】 1．根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问题． 2．理解概率模型的特点及应用．【核心扫描】 1．会利用所学知识建立合理的概率模型．(重点) 2．本节常与统计知识结合命题．
3．古典概率模型的实际应用．(难点)
课前探究学习
课堂讲互动
自学导引
建立概率模型 1．
(1)在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有 _____________一个基本事件出现．只要基本事件的个数等可能的有限的是_______，并且它们的发生是_________，就是一个古典
概型．
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为古典概型古典概型不同的_________来解决，而所得到的_________的所有可越简单能结果越少，问题的解决就变得_______．
课前探究学习课堂讲练互动
题型二
建立概率模型

概率图模型及应用

概率图模型及应用概率图模型是一种用于表示和推断概率分布的强大工具，它能够帮助我们理解和解决各种实际问题。

本文将介绍概率图模型的基本概念，探讨其应用领域，并总结其在实际问题中的优势和局限性。

概率图模型，又称为贝叶斯网络或是马尔科夫网络，是一种图形化的概率建模方法。

它通过有向无环图（DAG）或无向图的方式来表示随机变量之间的依赖关系。

概率图模型将复杂的概率分布分解为一系列条件概率的乘积，从而简化了概率计算和推断问题。

一、概率图模型的基本概念1.1 有向图模型有向图模型，也称为贝叶斯网络，是一种使用有向边表示变量之间依赖关系的概率图模型。

在有向图模型中，每个节点代表一个随机变量，边表示变量之间的依赖关系。

节点的概率分布可以通过条件概率表来表示。

1.2 无向图模型无向图模型，也称为马尔科夫网络或是马尔科夫随机场，是一种使用无向边表示变量之间依赖关系的概率图模型。

在无向图模型中，节点代表随机变量，而边表示变量之间的相互作用关系。

节点的概率分布可以通过势函数来表示。

二、概率图模型的应用领域概率图模型在许多领域中都得到了广泛的应用，下面列举了其中几个典型的应用领域：2.1 机器学习概率图模型在机器学习中被广泛应用，特别是在模式识别和数据挖掘中。

通过概率图模型，我们可以建立起变量之间的联系，并利用这些联系进行模式分类和预测。

2.2 自然语言处理在自然语言处理中，概率图模型可以用于语义解析、文本生成和机器翻译等任务。

通过建立语言模型和上下文模型，概率图模型能够更好地理解和生成自然语言。

2.3 生物信息学概率图模型在生物信息学领域中的应用也非常广泛。

例如，在基因表达数据分析中，可以通过概率图模型来推断基因之间的调控关系和信号传导通路。

三、概率图模型的优势和局限性3.1 优势概率图模型具有以下几个优势：（1）能够处理大规模复杂的概率分布。

概率图模型能够将复杂的概率分布分解为一系列条件概率的乘积，从而简化了概率计算的复杂度。

概率模型与预测

概率模型与预测概率模型与预测是现代统计学和机器学习的重要研究领域。

通过建立数学模型，基于统计学原理来预测未来事件的发生概率。

概率模型与预测在众多领域中都有广泛应用，比如金融、天气预报、医学诊断等。

一、概率模型的基本原理概率模型是通过对已有数据进行分析、建立合适的数学模型，来预测未来事件的发生概率。

概率模型的基本原理是基于概率论，通过对随机事件的研究来进行预测。

概率模型通常包括以下几个关键要素：1.1 数据收集与处理在建立概率模型之前，我们需要收集足够的数据并进行处理。

数据收集可以通过实验、观测或者调查等方式获取，然后对数据进行预处理、清洗、分析等操作，以满足模型建立的需求。

1.2 概率分布假设概率模型通常假设数据源于某种概率分布。

根据具体问题的特点，我们可以选择不同的概率分布，比如正态分布、泊松分布等。

基于这样的概率分布假设，我们可以对未来事件的概率进行建模和预测。

1.3 参数估计参数估计是指通过已有的数据，对概率分布的参数进行估计。

常见的参数估计方法包括极大似然估计、贝叶斯估计等。

参数估计的目的是选择最合适的参数值，以使得模型与观测数据最吻合。

1.4 模型评估与选择在建立概率模型之后，我们需要对模型进行评估和选择。

常见的模型评估指标包括均方误差、对数似然函数值等。

通过对模型的评估，我们可以判断模型的拟合程度和预测能力，以选择最合适的模型。

二、概率模型的应用概率模型与预测在各个领域中都有广泛的应用。

以下以金融、天气预报和医学诊断为例，介绍概率模型在实际应用中的一些案例。

2.1 金融概率模型在金融领域中的应用非常广泛。

比如，通过建立风险模型，对股票价格的涨跌进行预测，帮助投资者做出合理的投资决策。

另外，概率模型还可以应用于信用评估、风险控制等方面，帮助金融机构分析和管理风险。

2.2 天气预报天气预报是概率模型与预测的典型应用之一。

通过对历史天气数据的分析和建模，可以预测未来天气的变化趋势和概率。

天气预报的准确性对人们的生产、生活有很大的影响，概率模型的应用使得天气预报更加精确和可靠。

概率模型

解法1：用A表示“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1、2，黑球也编1、2；把所有可能结果用“树状图”表示出来. 解法2：只考虑前两个人摸球的情况解法3：只考虑球的颜色解法4：只考虑第二个人摸出的球的情况
概括： 1、从不同角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，可以使问题简单化. 2、其中解法1是最基本最全面的
四个球分别用 1
2
1 2 2 2
1 2 表示,用树状图表示所有可能的结果如下:
2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1
2 1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2 2
2 1
1 2
2 2
1 1 2 2
1
2 2 1
1 2
2 1
2 1
1 2
2 1
1 2
12 1 P( A) 24 2
例如：掷一粒骰子试验中，要求考虑得到的点数的 6 个，概率，则基本事件(试验结果)有__ 每一个基本事件的概率都为1/6 ___,是古典概型.
又如：掷一粒骰子试验中，要求考虑得到点数的 2 个，奇偶性，则基本事件（试验结果）有___ 0.5 是古典概型. 每一个基本事件的概率都为___, 再如：掷一粒骰子试验中，要使到每个基本事件的概率为1/3，可以建立的古典概型：______.
变式：四把钥匙中，有两把能打开房门。（1）逐一试开，求第二次打开房门的概率；（2）逐一试开，求第二次才打开房门的概率；（3）试开完的钥匙放回，求第二次打开房门的概率；（3）试开完的钥匙放回，求第二次才打开房门的概率；
比如P134练习第1题:一枚硬币连续抛2次,出现 “(正,正)(正,反)(反,正)(反,反)”4种等可能事件 1、如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同,那么可以认为试验只有两种两种结果: 事件A:向上的面相同, 事件B:向上的面一正一反, 这两个结果是等可能的,模型也是古典概型. 2、而把下列事件当作基本事件时：事件A：2次正面，事件B：2次反面，事件C：1次正面，1次反面。这三个结果不是等可能的,模型不是古典概型

概率模型的概念

概率模型的概念概率模型的概念1. 概论•概率模型是一种用于描述和分析随机现象的数学模型。

•它基于概率论的观点，通过建立数学关系或函数来描述随机事件之间的关联与变化。

2. 概率模型的构建•概率模型的构建过程包括确定样本空间、事件集合和概率分布。

–样本空间：描述随机试验可能的所有结果的集合。

–事件集合：样本空间中的某些子集，代表一些特定的结果。

–概率分布：对每个事件赋予一个概率值，描述事件发生的可能性大小。

3. 常见的概率模型•离散型随机变量模型：描述一些具有有限或可数个取值的随机变量，如二项分布、泊松分布等。

•连续型随机变量模型：描述一些取值为连续范围内任意一个数的随机变量，如正态分布、指数分布等。

4. 概率模型的应用•概率模型在各个领域都有广泛应用，包括但不限于：–金融领域的风险评估和投资决策。

–模式识别和机器学习领域的数据建模和预测分析。

–工程领域的可靠性分析和优化设计。

–生物医学领域的遗传研究和疾病诊断。

5. 概率模型的评估与改进•概率模型的评估通常使用统计学的方法，比如最大似然估计、交叉验证等。

•将模型应用于实际问题时，可能需要对模型进行改进和调整，以提高模型的准确性和适用性。

6. 概率模型的优点与局限•优点：能够描述随机现象的不确定性和相关性，提供了一种量化分析的工具。

•局限：对于复杂的问题，可能需要做出一些简化假设；模型的准确性受到数据质量和模型参数设定的影响。

以上是关于概率模型的相关概念及内容的简述。

概率模型作为一种重要的数学模型，被广泛应用于各个领域，帮助我们理解和分析随机现象，以及做出相应的决策和预测。

通过学习和应用概率模型，我们能够更好地理解和利用不确定性，提高问题解决的效率和准确性。

7. 概率模型的建模步骤•确定分析问题的目标，明确需要预测或推断的变量。

•收集和整理相关的数据，包括观测变量和解释变量。

•根据数据的特点和问题的需求，选择合适的概率分布或模型。

•根据数据进行参数估计或模型拟合，以得到最优的模型参数。

概率模型建立概率模型并进行模型检验

概率模型建立概率模型并进行模型检验概率模型的建立及模型检验概率模型是一种可以用来描述不确定性现象的数学模型，它利用概率论的基本原理和方法来描述和推断随机变量之间的关系。

通过建立概率模型，并进行模型检验，我们可以对不确定性现象进行量化和分析，从而更好地预测未来事件的发生概率和可能性。

一、概率模型的建立概率模型的建立是通过分析和推断随机变量之间的关系，以及基于已有数据的统计分析来实现的。

下面我们将以一个简单的实例来说明概率模型的建立过程。

假设我们要建立一个概率模型来预测某个城市未来一天的降雨概率。

首先，我们收集了过去一年的天气数据，包括这个城市每天是否下雨的记录，以及一些与降雨相关的气象因子，比如温度、湿度等。

接下来，我们利用收集到的数据来分析这些变量之间的关系。

通过统计分析，我们可以得到降雨与气象因子之间的相关性，进而建立起一个基于这些因子的概率模型。

例如，我们可以用逻辑回归模型来描述降雨与温度、湿度之间的概率关系。

二、概率模型的模型检验建立概率模型后，我们需要对其进行模型检验，以验证该模型是否能够很好地描述和预测实际情况。

模型检验是对概率模型进行统计推断和验证的过程，旨在评估模型的合理性和拟合程度。

常见的模型检验方法包括假设检验、残差分析和模型比较等。

其中，假设检验是用来检验模型的参数估计值是否与样本数据一致，常用的方法包括t检验和F检验。

残差分析是通过分析模型的残差项，判断模型是否存在系统性的预测偏差，常用的方法包括残差的正态性检验和残差的自相关性检验。

模型比较是通过比较不同模型之间的拟合优度，选择最合适的模型，常用的方法包括AIC准则和BIC准则。

在进行模型检验时，我们需要根据具体的问题和模型的特点选择合适的检验方法，并进行充分的统计分析和推断。

通过模型检验，我们可以评估模型的合理性和准确性，并对模型进行修正和优化，从而更好地适应实际问题的需求。

总结：概率模型的建立和模型检验是概率模型应用的核心环节，它们通过分析和推断随机变量之间的关系，并通过统计验证来建立和评估模型的合理性和准确性。

高中数学第三章概率 2.2 建立概率模型教案北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案

2.2 建立概率模型整体设计教学分析本节教材通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力.三维目标1.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.2.通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力.重点难点教学重点：建立古典概型.教学难点：建立古典概型.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的.今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题.思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题.推进新课新知探究提出问题1.回顾解应用题的步骤？2.什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：①读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.③解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.④答：将数学结论还原给实际问题的结果.2.同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：①试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；②每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球.试计算第二个人摸到白球的概率.分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果.解法一：用A 表示事件“第二个人摸到白球”.把2个白球编上序号1,2;2个黑球也编上序号1,2.于是,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果,可用树状图直观地表示出来(如图1).图1树状图是进行列举的一种常用方法.从上面的树状图可以看出,试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同,因此,这24种结果的出现是等可能的,试验属于古典概型.在这24种结果中,第二个人摸到白球的结果有12种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=2412=21, 这与第一节的模拟结果是一致的.还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少,那么我们计算起来就更简便.解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率,所以我们可以只考虑前两人摸球的情况.前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2).图2从上面的树状图可以看出,这个模型的所有可能结果数为12,因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,这12种结果的出现是等可能的,这个模型也是古典概型.在上面12种结果中,第二个人摸到白球的结果有6种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=126=21. 这里,我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点,利用试验结果的对称性,只考虑前两人摸球的情况,从而简化了模型.还可以从另外一个角度来考虑这个问题.因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,可以对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,这样建立的模型的所有可能结果数就会更少,由此得到例2的另一种解法.解法三：只考虑球的颜色,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3).图3试验的所有可能结果数为6,并且这6种结果的出现是等可能的,这个模型是古典概型.在这6种结果中,第二个人摸到白球的结果有3种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=63=21. 下面再给出一种更为简单的解法.解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况,他可能摸到这4个球中的任何一个,这4种结果出现的可能性是相同的.第二个人摸到白球的结果有2种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)=42=21. 点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一.解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，共有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为21. 解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型.解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种.解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单.尽管解法二,三,四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二,三,四却不能做到.教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法.对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.变式训练小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平.解：设(x,y)表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型.所有的基本事件是：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),即有36种基本事件.其中点数之和为奇数的基本事件有：(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5).即有18种.所以小刚得1分的概率是3618=21. 则小明得1分的概率是1-21=21. 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.思路2例1 （2007广东高考,文8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.103 B.51 C.101 D.121 分析：用(x,y)(x≠y)表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有： (1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1，2)、(1，5)、(2，4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P(A)= 103. 答案：A点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数;②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数;③代入古典概型的概率计算公式求得.变式训练1.（2007全国高考卷Ⅰ,文13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：该自动包装机包装的食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率约为___________.分析：观察表格可得在497.5 g —501.5 g 之间的食盐有：498，501，500，501，499共5袋，则食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率P(A)=205=0.25. 答案：0.252.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等C.都相等且为200750D.都相等且为401 分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于200750. 答案：C知能训练1.袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件.( )A.｛正好2个红球｝B.｛正好2个黑球｝C.｛正好2个白球｝D.｛至少一个红球｝分析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以｛至少一个红球｝不是基本事件，其他事件都是基本事件.答案：D2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( )A.99991B.100001C.100009999D.21 答案：D3.有4条线段,长度分别为1、3、5、7,从这四条线段中任取三条,则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( )A.41B.31C.21D.52 答案：A4.（2007全国高考卷Ⅱ,文13）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为____________.分析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于1005,即201. 答案：201 5.某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是__________.答案：81 6.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出1个是白球，另1个是红球.分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A 的个数和事件B 的个数，运用公式求解即可.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，两个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15个.(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)，(3，4)，∴取出的两个球都是白球的概率为P(A)=156. (2)取出一个红球，而另一个为白球的基本事件，共有8个，即为(1，5)，(1，6)， (2，5)，(2，6)， (3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6),∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)=158. 拓展提升1.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m,n 为点P(m,n)的坐标，设圆Q 的方程为x 2+y 2=17.(1)求点P 在圆Q 上的概率；(2)求点P 在圆Q 外部的概率.解：m 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，n 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，所以,点P(m ，n)的所有可能情况有6×6=36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题.(1)点P 在圆Q 上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为181362=. (2)点P 在圆Q 内的坐标是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共有8点，所以点P 在圆Q 外部的概率为1-18133682=+. 2.将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：(1)3次正面向上;(2)2次正面向上,1次反面向上.解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8,又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1,设事件“3次正面向上”为A, ∴P(A)=81. ∴事件“3次正面向上”发生的概率为81. (2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3,设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B,∴P(B)=83. ∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为83. 课堂小结本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决. 作业习题3－2 A 组 7、8.设计感想本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法.在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型.。

第1部分第三章 § 2 2.2 建立概率模型

返回
[思路点拨]
列出一颗骰子先后抛掷两次的所有
36种结果，然后根据题目要求找出所求事件所包含的
基本事件的个数即可．注意：点(x、y)在直线x－y＝3的下方，即x－y>3.
[精解详析] (1)此问题中含有 36 个等可能基本事件，
记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 A，则由图(1)可知， 15 事件 A 中含有其中的 15 个等可能基本事件，所以 P(A)＝＝ 36 5 5 ，即两数之积是 6 的倍数的概率为， 12 12
返回
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1， a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1， a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)， (a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 4 事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝ . 9
3.建立概率模型的一般原则：建立概率模型时，注意选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型.
返回
返回
解析：设3只白球分别为a1，a2，a3,1 只黑球为b，则从中随机
摸出两只球的情形有{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，{a1，b}， {a2，b}，{a3，b}，即试验共包括6个等可能发生的基本事件， 3 1 其中两只球颜色不同包括3个基本事件，故所求概率为＝ . 6 2 1 答案： 2
返回
3．(2012· 随州高一检测)袋中装有大小相同，编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号不小于15的概率是( 1 A. 32 3 C. 32 1 B. 64 3 D. 64 )

数学三同步训练：+古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型

§2古典概型2．1 古典概型的特征和概率计算公式2．2 建立概率模型1．掷一颗骰子，出现3点的概率是( ）A。

错误!B。

3 C.错误! D.错误!2．下面是古典概型的是( )A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止3．先后抛掷两枚均匀的硬币，出现“一枚正面、一枚反面”的概率为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D．1 4．利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生,其中戴眼镜的同学有123人，若在这个学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率是________．5．某国际科研合作项目由两个美国人、一个法国人和一个中国人共同开发,现从中随机选出两人作为成果发布人，选出的两人中有中国人的概率是多少？答案：1．C 发生的概率：发生事件数除以全部事件数．掷一颗骰子共有6种等可能结果，出现3点是其中的一种结果，其概率为错误!。

2．C A项尽管点数之和只有有限个取值:2,3，…，12，但它们不是等可能的，例如抛一次两枚都出现2点，和为4点，也可能是1点，3点或3点，1点，其和都为4点，共3种情况，但点数和为2的只有一种情况是1点，1点；B项尽管各个正整数被取到是等可能的，但正整数有无限多个；C项只有n个等可能的结果；D项可能结果（即抛掷次数可能取值)是无限多的．故选C项．3．C 抛掷两枚均匀的硬币，可能出现“两正”“两反”“一正一反”或“一反一正”四种情况，而出现“一枚正面、一枚反面”包括“一正一反”与“一反一正”两种情况,∴概率为错误!＝错误!。

4．61。

5% 简单随机抽样是等可能抽样，所以每个个体被抽到的概率相同，即错误!＝61.5％.5．解：两个美国人分别用美1和美2表示，这个试验的基本事件共有六个：（美1，美2)，（美1，法），(美1，中)，（美2，法），(美2,中)，（法，中),记事件A＝“选出的两人中有中国人"，则P（A)＝错误!＝错误!.1．某小组共9人,分得一张演出的入场券，组长将一张写有“得票”字样和写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽取一张，以决定谁得入场券，则( ）A．第一个抽签者得票的概率最大B．第五个抽签者得票的概率最大C．每个抽签者得票的概率相同D．最后抽签者得票的概率最小2．掷两颗骰子,事件“点数之和为6"的概率为（)A.错误!B。

机器学习中的概率建模技术详解

机器学习中的概率建模技术详解在机器学习领域中，概率建模是一种重要的技术，可以帮助我们对数据进行建模、预测和推断。

概率建模技术可以应用于各种任务，包括分类、回归、聚类和生成模型等。

本文将详细介绍机器学习中常用的概率建模技术。

首先，让我们先了解一下概率模型是如何工作的。

概率模型是基于概率理论的数学模型，它可以用来表示数据的分布，并通过对数据进行观测和推理来获得对未知数据的预测。

在概率模型中，我们假设数据是由一组随机变量组成的，这些随机变量之间存在一定的关系。

常见的概率建模技术包括朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型、隐马尔可夫模型和条件随机场等。

朴素贝叶斯分类器是一种简单而有效的概率建模技术。

它假设每个特征在给定类别下是独立的，并基于此给出预测。

朴素贝叶斯分类器广泛用于文本分类、垃圾邮件过滤和情感分析等任务。

高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）是一种常用的生成模型。

它假设数据是由多个高斯分布组成的混合分布。

高斯混合模型可以应用于聚类、异常检测和图像分割等任务。

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，简称HMM）是一种常用的序列建模工具。

它假设系统的状态是不可见的，只能通过一系列观测结果来进行推断。

隐马尔可夫模型广泛应用于语音识别、自然语言处理和基因序列分析等任务。

条件随机场（Conditional Random Field，简称CRF）是一种无向图模型，用于对序列进行建模和标注。

与隐马尔可夫模型类似，条件随机场也用于语音识别、自然语言处理和图像分割等任务。

与隐马尔可夫模型不同的是，条件随机场可以对多个观测变量进行建模，并考虑它们之间的依赖关系。

此外，还有一些其他常用的概率建模技术，如朴素贝叶斯网络、概率图模型和变分自编码器等。

它们在不同的任务和建模需求下具有各自的优势。

概率建模技术在机器学习中具有广泛的应用。

它们不仅可以用于分析和研究数据，还可以用于解决实际的问题。

系统仿真中的仿真思路和仿真思路和仿真方法

系统仿真中的仿真思路和仿真思路和仿真方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!系统仿真中的仿真思路和仿真方法在系统仿真中，确立清晰的仿真思路和采用合适的仿真方法是确保仿真结果准确性和可信度的关键。

概率论模型

概率论模型概率论模型是指根据概率论的原理建立的描述随机现象规律的数学模型，可以用来处理各种随机事件的概率、随机变量的统计规律、随机过程的演化等问题。

概率论模型在统计学、工程学、金融学、计算机科学等领域都有广泛的应用，因此学习概率论模型对于提高数学建模能力和解决实际问题非常重要。

一、概率论基础概率论是研究随机现象的规律的数学分支，其基本概念包括随机事件、概率、条件概率、贝叶斯公式等。

1. 随机事件随机事件是指在一定条件下可能发生或不发生的事情或现象，例如掷骰子、抽取扑克牌等都是随机事件。

在概率论中，我们通常用字母A、B、C等表示随机事件。

2. 概率概率是指随机事件发生的可能性大小，用一个数值来表示。

概率的取值范围在0到1之间，表示不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。

对于任意的随机事件A，其概率表示为P(A)。

条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如在已知一枚硬币抛出正面的情况下，再抛出正面的概率就是条件概率。

条件概率用P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是指在已知某些事件发生的条件下，推断其他事件发生概率的公式。

它是统计学中常用的一种逆推方法，可以用于分类、识别、推理等领域。

贝叶斯公式的形式如下：P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在观察到事件B的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

二、概率分布和随机变量随机变量是指以随机事件为取值的变量，例如掷骰子得到的点数就是一个随机变量。

概率分布是指随机变量取值的概率分布情况，常用的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布、指数分布等。

1. 均匀分布均匀分布是指随机变量的取值在某个区间内等可能地分布，例如掷骰子得到1、2、3、4、5、6点的概率相同，就是一个均匀分布。

如何在高中数学教学中融入建模思想胡佳宁

如何在高中数学教学中融入建模思想胡佳宁发布时间：2023-04-26T02:08:05.275Z 来源：《教学与研究》2023年4期作者：胡佳宁[导读] 在高中数学教学中融入建模思想是相当有必要的，教师应充分意识到建模思想在解题中的积极作用与价值如何在高中数学教学中融入建模思想胡佳宁宁波市奉化区第二中学摘要：在高中数学教学中融入建模思想是相当有必要的，教师应充分意识到建模思想在解题中的积极作用与价值，以帮助学生掌握建模流程与方法，设置相应的数学试题，对建模思想的应用进行专项训练，使其根据具体题目选择和建立相应的数学模型，帮助他们不断积累建立数学模型的经验与技巧，逐步提升自身的数学思维能力与解题水平.关键词：高中数学；建模思想；融入策略引言数学作为我国课程体系中的一门重要科目，占据着极为关键的地位，其中高中数学教学更是极具针对性，教师不仅需要帮助学生掌握基本的数学概念、公式、定理等理论知识及解题中的应用，还要着重培养学生的数学思维能力，使其学会运用数学思想方法来解题，而建模思想是用来处理数学题目的一个常用方法，更要给予格外关注与认真对待. 1高中数学建模教学开展的优势1.1促进了教育和教学改革数学建模教学不同于单纯数学知识的教学，是推动数学教育体系、内容和方法改革的重要途径。

建模教学以实际问题为背景，以学生的兴趣为出发点，引导学生经历模型假设、模型构成来对实际问题进行解决。

整个环节对教师的教育教学能力和学生的学习能力要求较高，需要教师不断更新教学理念、丰富知识储备、优化教学方法等，同时也需要学生不断地锻炼自身分析、解决问题的能力。

由此可见，在建模教学开展的过程中，教师和学生的能力都在潜移默化中得到提高，对教育教学改革起到了重要的推进作用。

1.2数学模型教学可以帮助教师更新思想教师的思想认知在建模的教学中具有十分重要的作用。

在整个教学中，教师不仅需要坚持以学生为中心的教学理念，还需要灵活地对以问题为中心、以实验为中心等教育理念进行转变。

第七章 §2 2.2 第1课时古典概型的应用

2．2古典概型的应用第1课时古典概型的应用学习目标 1.进一步熟悉古典概型的特点，解决较复杂的古典概型概率问题.2.学会选择简单、适用的概率模型解决实际生活中的相关概率问题．一、“不放回”与“放回”抽取问题例1一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．若某人从中任选2道题，每一次选1题(不放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为________，若从中任选2道题，每一次选1题(有放回)，则所选的题不是同一种题型的概率为________．答案0.60.48解析将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝12＝0.6.20从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，又所选的题不是同一种题型的样本点共12种，＝0.48.所以P(B)＝1225反思感悟“抽取”问题的解题策略抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)抽取是不放回的；(2)抽取是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的样本点有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18个．(1)不放回取球时，总的样本点数为90，故P (A )＝1890＝15. (2)有放回取球时，总的样本点数为100，故P (A )＝18100＝950. 二、概率模型的构建问题例2 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙的左边的概率．解方法一利用树状图来列举样本点，如图所示．由树状图可看出共有24个样本点．设事件A ＝“甲站在乙的左边”，则A 事件包含的样本点为(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个．所以甲站在乙的左边的概率为P ＝1224＝12. 方法二因为要计算“甲站在乙的左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队．所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙)．所以甲站在乙的左边的概率为P ＝12.延伸探究本例条件不变，求下列事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．解由例2解析的树状图可知，共有24个样本点．(1)甲在边上有12种情形：(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，(丙乙丁甲)，(丙丁乙甲)，(丁乙丙甲)，(丁丙乙甲)．故甲在边上的概率为P ＝1224＝12. (2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲丙丁乙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，故甲和乙都在边上的概率为P ＝424＝16. (3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙甲乙丁)，(丙乙甲丁)，(丁甲乙丙)，(丁乙甲丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P ＝424＝16. (学生)反思感悟概率模型问题的关注点(1)树状图法便于分析样本点间的结构关系，画出一个树枝以后可以猜想其他情况，适用于较复杂的试验的题目．(2)如果试验的结果具有对称性，可以简化结果更利于模型的建立与解答．跟踪训练2 周末晚上，为了让爸爸更好地休息，小明决定帮爸爸擦皮鞋．鞋柜里有爸爸、妈妈和小明的各一双鞋，小明拿出了四只，则拿出的鞋子恰好有爸爸一双的概率是________．答案 25解析设爸爸的鞋子记为A 1，A 2，妈妈的鞋子记为B 1，B 2，小明的鞋子记为C 1，C 2，考虑到取出4只鞋子列举起来麻烦，可以列举留在鞋柜里的两只鞋子，事件“拿出的4只鞋子恰好有爸爸一双”等价于“剩下的2只鞋子没有爸爸的”，样本空间Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(C 1，C 2)}，共15个样本点，事件“剩下的2只鞋子没有爸爸的”包含(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(C 1，C 2)，共6个样本点，故P ＝615＝25.古典概型的实际应用典例甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j )分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之若乙抽到的牌的牌面数字比甲大，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率为P 1＝512，同理乙胜的概率为P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平． [素养提升] 如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．(2)注意验证是否满足古典概型的两个特征，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( )A.35B.25C.15D.45答案 A解析从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3种，所以P ＝35. 2．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14答案 D解析所有可能的事件有“下雨帐篷到”，“下雨帐篷未到”，“不下雨帐篷到”，“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14. 3．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.38答案 D解析设3个元素为a ，b ，c ，则所有子集共8个：∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，含2个元素的子集共3个，故所求概率为38. 4．袋中有标号为1,2,3的3个形状和大小相同的小球，某人每次取出1球，记下标号数字后又放回袋中，则此人两次抽取的小球上数字之和为偶数的概率为________．答案 59解析由题意得，所有样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个，事件“两次抽取的小球上数字之和为偶数”包含(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，共5个样本点，故其概率为P ＝59. 5．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．答案 13解析该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13.1．知识清单：(1)“不放回”与“放回”抽样问题．(2)构建概率模型解决实际问题．2．方法归纳：树状图法．3．常见误区：混淆“放回”与“不放回”抽取，导致列举样本点错误．1．从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )A.15B.25C.35D.45答案 B解析从数字1,2,3,4,5中任取2个不同的数字能构成20个两位数：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的数有8个：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是820＝25. 2．在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为( )A.16B.13C.12D.23答案 B解析用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )，共6种，其中B 先于A ，C 通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率为P ＝26＝13. 3．任意选出星期一到星期日的两天(不重复)准备举行某两项活动，其中恰有一天是星期六的概率为( )A.17B.27C.149D.249答案 B解析所有可能的结果有21种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，其中一天为星期六的有6种，∴所求概率为621＝27. 4．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则一次函数y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59答案 A解析从集合A ，B 中分别选取一个数记为(k ，b )，则共有9个基本事件，设一次函数y ＝kx ＋b 不经过第三象限为事件M ，则k ≤0，b ≥0，从而M 包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，则P (M )＝29. 5．小陈从某小区中带回绿、蓝、紫3块不同的岩石，儿子想要紫色的岩石，他和儿子开玩笑说，他从袋中每次随机摸出2块岩石，有放回地摸取三次，如果三次恰有两次摸到紫色岩石就把它送给儿子，则儿子能得到紫色岩石的概率为( )A.23B.16C.2027D.49答案 D解析小陈每次从袋中随机摸取2块岩石，有(绿，蓝)，(绿，紫)，(蓝，紫)三种不同的摸法，分别记为A ，B ，C ，他有放回地摸取三次有(AAA )，(AAB )，(ABA )，(BAA )，(AAC )，(ACA )，(CAA )，(BBB )，(ABB )，(BAB )，(BBA )，(BBC )，(BCB )，(CBB )，(CCC )，(CCB )，(CBC )，(BCC )，(CCA )，(ACC )，(CAC )，(ABC )，(ACB )，(BCA )，(BAC )，(CAB )，(CBA )，共27种不同的摸法，恰有两次摸到紫色的有12种不同的摸法，所以儿子得到紫色岩石的概率为P ＝1227＝49.6．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．若甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________．答案1 3解析用1表示一等奖，2表示二等奖，0表示无奖，样本点为(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共有6个，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种情况，所以两人都中奖的概率为P＝26＝1 3.7．甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是________．答案1 3解析样本点为(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙丙甲)，(乙甲丙)，(丙甲乙)，(丙乙甲)，共6个；三人全站错的有(乙丙甲)，(丙甲乙)，共2个，故所求事件的概率为26＝1 3.8．甲、乙、丙三人踢毽子，从甲开始，每个人都可以随意的踢给另外两人，则经过四次后又回到甲的概率为________．答案3 8解析利用树状图列举样本点，如图所示．共有16个样本点，又回到甲包含6个样本点，故所求概率为616＝3 8.9．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，共6个．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．所以P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)}．所以P (B )＝49. 10．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解 (1)从袋中随机取两个球，该试验的样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点．记“取出的球的编号之和不大于4”为事件A ，A ＝{(1,2)，(1,3)}，含2个样本点．故P (A )＝26＝13. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含16个样本点，记“满足n <m ＋2”为事件B ，B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含有13个样本点，故“满足条件n <m ＋2”的事件的概率P (B )＝1316.11．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19答案 D解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20个符合条件的两位数．(2)当个位为偶数时，有5×5＝25个符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19. 12．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则19是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球答案 A解析有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有6种，其概率为627＝29；无红球的情况有8种，其概率为827. 13．袋里装有5个球，每个球都记有1～5中的一个号码，设号码为x 的球重(x 2－5x ＋30)克，这些球以同等的机会(不受重量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们重量相等的概率是________．答案 15解析设两球的号码分别是m ，n ，则有m 2－5m ＋30＝n 2－5n ＋30，所以m ＋n ＝5，而5个球中任意取两球的基本情况共有10种，符合题意的只有2种，即两球的号码分别是1,4和2,3，所以P (重量相等)＝210＝15. 14.用红、黄、蓝三种不同的颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．则3个矩形颜色都相同的概率为________；3个矩形颜色都不同的概率为________.答案 19 29解析该事件是古典概型，所有可能的结果共有27种，如图所示．记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图知，事件A 所包含的情况有3个．故P (A )＝327＝19.记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图可知，事件B 所包含的情况有2×3＝6(个)，故P (B )＝627＝29.15．从－1,0,1,2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数，从而组成不同的二次函数，其中使二次函数有两个零点的概率为________．答案 79解析首先取a ，∵a ≠0，∴a 的取法有3种，再取b ，b 的取法有3种，最后取c ，c 的取法有2种，树状图如图所示．∴组成不同的二次函数共有3×3×2＝18(个)．若f (x )有两个零点，则不论a >0还是a <0，均应有Δ>0，即b 2－4ac >0，∴b 2>4ac .结合树状图可得，满足b 2>4ac 的取法有6＋4＋4＝14(种)，∴所求概率P ＝1418＝79. 16．把一枚骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，解答下列各题． (1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正解的概率．解样本点有6×6＝36(个)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3.(1)方程组只有一个解，需满足2a －b ≠0，即满足b ≠2a .而b ＝2a 的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故b ≠2a 的事件有33个．因此方程组只有一个解的概率为1112. (2)方程组只有正解，需满足2a －b ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b >0，y ＝2a －32a －b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >b ，a >32，b <3或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a <b ，a <32，b >3，包含的样本点有13个，它们是(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率为1336.。