电动力学 第2章 2-1

设导体表面所带电荷面密度为σ，它外面的介质电容率为ε， 在导体静电条件下得导体表面的边界条件
ϕ = 常数
∂ϕ ε =−σ ∂n
三、静电场能量
在线性介质中静电场的总能量为 W =
r 和 ∇•D = ρ
r 在静电倩形下，W可以用电势和电荷分布表出．利用 E = −∇ϕ
得到
1 E ⋅ DdV ∫ ∞ 2
A1 B A2 B
需要注意的事项：
1、上式只能确定两点的电势差，而不能确定电势的绝对值。 只有当场中任意一点的电势值确定之后，场中所有点的电势 值才能唯一地确定。 2、从势的定义式可以明显看出，电势函数 ϕ(r) 加上一个任意 常数并不改变电场的分布，所以我们可以选择任意一点的电 势值作为参考。 3、对于电荷分布在有限空间的情况下，一般都选择无穷远的 ∞ 电势值为零，即 ϕ∞ =0 ，因此 ϕ ( P0 ) = ∫ E ⋅ d l P
上式中的φ是由电荷分布ρ激发的电势．若全空间充满均匀介质， 介电常数为ε，可以得到电荷分布ρ所激发的电场总能量为
r r 式中r为x与x’点的距离 r =| x − x '|
需要说明的是：对于静电场，上面计算能量的公式成立，因为 在这种情况下，电荷分布完全决定场分布。而对于一般的情况， 例如时变场，电磁场可以相互激发，场不完全由电荷分布确定， 因此只能用场强的表达形式计算，而不能用电荷分布计算。
这是因为分界面上E有限，而且分界面两边的l和2两点又无限 接近，所以式 是连续的．
∫
P 2
P 1
E ⋅ dl
的积分趋于零。说明，电势在分界面处
引进电势φ之后，我们就由下列方程组及边值关系决定φ
ρ ∇ ϕ = − ε ϕ1 = ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 1 − ε1 ε2 = −σ
2
∂n
∂n
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
r r E = −∇ϕ (r )
2、静电势的物理意义：
计算一个单位正电荷从一点P0 移至另一点P时电场力对它所做 的功。假设引入的这个电荷对原有的电场分布没有影响。显 然，电场力对这单位正电荷所做的功为
r r r ∫ E ⋅ d l = − ∫ ∇ ϕ ⋅ d l = − ∫ dϕ = ϕ ( P ) − ϕ ( P )
0
若真空中有一系列点电荷q1，q2，…，qn，总电场强度为
r E=∑
i
r r r 1 qi qi r r = −∇ϕ (r ) r r 3 (r − ri ' ) = −∇∑ i 4πε 0 r − ri ' 4πε 0 r − ri′
所以点电荷系的电势 其中 ϕ (r )
i
q 1 r r ϕ (r ) = ∑ r r = ∑ ϕ (r ) 4πε r − r '
∇ ϕ = −ρ / ε
2
2、电势的边值关系：
由场的边值关系 n⋅ (D2 − D1) = σ
D = εE 及
E = −∇ϕ 和
φ所满足的边值关系之一 ∂ϕ ∂ϕ ε 2 2 − ε1 1 = −σ
∂n ∂n
φ的另一边值关系可直接由
∫
P
P 0
E ⋅ dl = ϕ(P0 ) −ϕ(P)
得到
ϕ1 = ϕ2
V 0
只要给定电荷分布，原则上可以求得电势分布。但有时电荷分布 并非完全已知，因此求解静电势问题还需进一步讨论． 注意：上面的推导实际上是选取无穷远处为电位参考点。
二、泊松方程和边值关系
1、泊松方程：
静电场可以用一标量函数的梯度来表示，这只反映了它的一部 分规律，而它的另一部分规律，则由高斯定理的微分形式决定
因此有 右边第二项是散度的体积分，可以化为面积分
面积分遍及无穷远界面，而φ∝1/r，D∝1/r2，而面积∝r2, 所以当r→∞时面积分趋近于零，因此
这公式是通过电荷分布和电势表示出来的静电场总能量． 需要注意的是：这个公式只有作为静电场总能量才有意义，不 能把ρφ/2看作是能量密度，这是由于能量是分布于电场内，而 不仅仅是在电荷分布区域内。
例1 求均匀电场E0中的电势大小分布。
例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为τ， 求电势。
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。
r ∇⋅D = ρ
在均匀各向同性介质中
r r D = εE
2
r 代入 E = −∇ϕ(r)
ρ ∇ ϕ =− 得到 ε
其中ρ为自由电荷密度。此式称为泊松(Poisson)方程。
如果在区域中不存在电荷，方程变为
∇ ϕ =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
此式称为拉普拉斯（Laplace）方程。 因此，引入静电势后，就把求解静电场的问题归结为求解 静电势所满足的偏微分方程问题。
0
r
r 4、用电场强度与静电势描述静电场是完全等效的。但因 ϕ(r) 是标量函数，所以引进静电势对求解静电场更加方便.
3、电势叠加原理：
在真空中，点电荷q的电场强度为
r E=
q 1 r r r=− ∇ = −∇ϕ (r ) 4πε r 4πε r
3 0 0
q
所以点电荷电势
r ϕ (r ) =
q 4πε r
i i i i 0 i
r
为第i个点电荷单独存在时空间一点的电势
表明：点电荷系的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在 时的电场在该点电势的代数和，这就是电势叠加原理 ， 它是电场叠加原理的直接结果。 连续的电荷分布总可看成点电荷系，因此
r 1 ρ(r' ) r ϕ(r) = ∫ r r dV' 4πε r − r'
P P P P0 P0 P0 0
即电场力对单位正电荷由P0点移到P点所做 的功等于P0点的静电势与P点静电势之差。 表明：电场力对电荷作做的功与电荷所经过 的路径无关，仅由其始点与终点的位置决定
图2－1 这正是保守力场所具有的一种特性，因此静电场是保守场。
另外一种数学表述形式为
r r r r ∫ E •dl = ∫ E •dl
ϕ 求得φ后，再利用E=−∇ 场
，求得电场E，从而决定了整个电
的分布．用这种方法求解电场分布的简单之处是φ只有一个分 量，而不像E有三个分量，因此只需解φ所适合的一个微分方程 但是需要进一步讨论的是，这种方法决定的电场是不是唯一的？
3、导体表面上的边值关系
在静电问题中，常常有一些导体存在，由于导体的特殊性质， 在导体表面上的边值关系有它自己的特点． 导体的静止条件归结为： (1) (2) (3) 导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 导体内部电场为零； 导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势 面，整个导体为等势体．
2.1 静电场的标势及其微分方程
一、 静电势与电势叠加原理 1、标势的引入：
在电荷静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分
r ∇ × E = 0, r ∇•D = ρ
表明静电场是无旋场以及自由电荷分布ρ是电位移D的源。 这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。 由静电场的无旋性，可以引入一个标势来描述静电场