9-8直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系 课件(62张)
1-3 2 ≠ 0,
= (-6 2k)2 + 36(1-3 2 ) = 36(1- 2 ) > 0,
1
3
故 k2≠ 且 k 2<1.①
6 2k
-9
1-3
1-32
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
2,x1x2=
.
由·>2 得 x1x2+y1y2>2.
直线与圆锥曲线的位置关系
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1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
(1)代数法,把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得出关于 x 的
方程 Ax2+Bx+C=0,若圆锥曲线是双曲线或是抛物线,当 A=0 时,表示直线与
双曲线的渐近线或抛物线的轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判
别式为 Δ.(ⅰ)若 Δ>0 时,直线与圆锥曲线相交;(ⅱ)若 Δ=0 时,直线与圆锥曲
截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲
线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差
法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直
平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式 Δ 是否
为正数.
4.圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思
B. -∞,-
2
2
∪
2
,+
2
∞
C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞)
D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)
)
【答案】D
4
2021高考数学总复习专题系列——直线与圆锥曲线.板块一.直线与椭圆(1).学生版 Word版缺答案
1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b +=>>争辩）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：c e a =，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-b y=b x=-ax=aB 2B 1A 2A 1c b aF 2F 1O y x4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是假如直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为2212121||11AB k x x y y k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．两根差公式：假如12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=， 则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点动身，利用根与系数的关系来进行争辩，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时留意在适当时利用图形的平面几何性质． ②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 直线2y kx =+与椭圆2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），求k 的值．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P和Q ．⑴求k 的取值范围；⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？假如存在，求k 值；假如不存在，请说明理由．典例分析板块一.直线与椭圆(1)。
2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1
题组一 常识题 1．(教材改编) 过原点的直线 l 被抛物线 x2＝4y 截得的线段 长为 4 2，则直线 l 的斜率为____________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝kx，将其代入抛物线方程， 得 x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)， (4k，4k2)，所以 （4k）2＋（4k2）2＝4 2，解得 k＝±1.
π
π
所以∠SOT 最大值为 3 .综上所述：∠SOT 的最大值为 3 ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
取得最大值时直线
l
的斜率为
k1＝±
2 2.
【反思归纳】
跟踪训练 1 已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 F1，F2 在 y 轴 上，离心率等于23 2，P 是椭圆 E 上的点．以线段 PF1 为直径的 圆经过 F2，且 9P→F1·P→F2＝1.
y＝4k21x，
x2＝1＋8k421k12，y2＝1＋14k21，
因此|OC|＝ x2＋y2＝
11＋ ＋84kk2121.
由题意可知 sin 12∠SOT＝r＋r|OC|＝1＋1|OrC|，
而|OrC|＝2 3 2·
1＋8k21 1＋1＋k214k211＋8k12＝34 2·
2k21＋1
1＋14＋k212k121 ＋k21，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.
则|BT|＝1＋8|k41|k21 1＋k12， 故1＋8|k41|k21 1＋k21＝1＋8|k4|k2 1＋k2， 所以 1k＋12＋4kk2141－ 1＋k2＋4kk24＝0. 即(1＋4k2) k21＋k41＝(1＋4k21) k2＋k4， 所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结知识点精讲一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y y k =-=≠三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程(1) AB 是椭圆()22221.0x y a b a b+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为2020b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=即()()()()22121202212120y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22221.0x y a b a b-=>的弦，中点()00,M x y ，则2020ABb x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =题型归纳及思路提示题型1 直线与圆锥曲线的位置关系思路提示（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。
直线与圆锥曲线的交点ppt课件
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
直线与圆锥曲线的综合应用
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++， 则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。
九年级数学圆锥曲线期末复习3
高 二 数 学 期 末 复 习 三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。
注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。
3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。
注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。
《直线与圆锥曲线的位置》课件1 (北师大版必修2).ppt
时，直线与抛物线无公共点。
点评：本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。尤其是k=0时 直线与抛物线有一个公共点，而k=0时，⊿>0.
例2.已知：A(-3,4),B(4,4)若线段AB与椭圆
没有公共点。求正数a的取值范围。
Hale Waihona Puke 解：线段AB的方程为 y=4 (-3≤x≤4) 得：x =a2 - 8
ⅰ.当a2 -8<0时，方程组无解，即 ⅱ.当a2 -8>4 时，方程组无解，即
例4.过点(0，2)的直线l与抛物线 y =4x2仅有一个公共点，则
满足条件的直线l有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：观察演示 选C
例5.不论k为何值，直线y=kx+b 与椭圆 总有公共点，求b的取值范围。
解：观察演示可得：
例6.过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两
直线与圆锥曲线的位置关系
一． 基本方法： 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方 程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的 情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元 二次方程，利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0时，未 必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形 结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两 端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式为：
点，|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
解：观察演示可得三条。选C
四.总结：
1. 利用基本方法，如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。 2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
新高考 核心考点与题型 圆锥曲线 第4讲 直线与圆锥曲线相交 - 解析
第4讲 直线与圆锥曲线相交基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
高三二轮复习：圆锥曲线(教师)
高三数学二轮复习——圆锥曲线的综合一、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．二、有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．三、圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]． ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]． ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]． ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |≥a . ②|PF 1|≥c －a . (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有： ①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|PA |＋|PF |有最小值． 小题一览例1、(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D 解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18. 例2、 (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)．例3、 (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析 利用直线PA 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA 1斜率的边界值． 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38. 同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程， 消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.例4、 (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案 3解析 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.例5、(2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)， 又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°， 故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3. 又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.综合题演练：题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为3.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，b )，求b 的取值范围． 审题破题 (2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的范围；(3)寻找b 和k 的关系，利用(2)中k 的范围求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1.所以当33<k <1时，直线l 与双曲线的左支有两个交点．(3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2，所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设l 0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l 0的方程，得b ＝421－3k 2，∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0，∴b <－22.∴b 的取值范围是(－∞，－22)．反思归纳 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例7、(2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ， 证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解 依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 2，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， 所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 变式训练 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三 圆锥曲线中的存在性问题例8、如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上． 解 (1)由e ＝c a＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， 故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论． 变式训练 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使OE →＝12(OM→＋ON →)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，点D 的坐标为D (x 0，0)， 所以DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)， 又DQ →＝23DP →，故⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为P 在圆O 上，故有x 20＋y 20＝9， 所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝9，即x 29＋y 24＝1，所以点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，故直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.所以椭圆上存在点M ，N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.例9、抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． 规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.[2分] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[6分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2， y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·－2－－2－2|22＋－12＝45＝455.[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4·－4＝410. 于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝82.[12分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分． 阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值． 课后练习：1． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.2． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为 ( ) A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 答案 A解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3． 设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为 ( ) A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析 如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4． 已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|PA |＝m |PB |，则m 的最大值为( ) A ．3B ．2C.3D.2答案 C解析 据已知设P (x ，y )， 则有m ＝|PA ||PB |＝x ＋12＋y 2x －12＋y 2＝x ＋12＋2x x －12＋2x＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4xx 2＋1＝1＋4x ＋1x，据基本不等式有m ＝ 1＋4x ＋1x≤ 1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6． 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b 2a)．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7． 已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.8． 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，33C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cya 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝a 2＋c 2·2c 2－b 2c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c－c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1.9． 已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15解析 由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x ＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|PA |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，14解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|PA |最小．11． 斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析 如图，过A 作AA1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥l ′， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交 A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32 解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值． 解 (1)设F (－c,0)，由c a＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3， 于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则d ＝x －02＋y －22＝x 2＋y －22＝3b 2－3y 2＋y －22＝－2y ＋12＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2.∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋n2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
直线与圆锥曲线综合性问题(含答案)
直线与圆锥曲线综合性问题（含答案）一.考点分析。
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得 到一个一元二次方程 ，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、A =0、△ < 0.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为（1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q • +黑2）2或|AB|= Jl + p • Ivi -73!=+ * 丁（珀 + 兀）'-幻吐・上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的（因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既 熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 .二.考试探究圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主， 一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何 性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置 关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值 范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19）2 2椭圆C:务+^y2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆Ca b标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已当直线斜率不存在是，则AB=yi-y2.PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4C 的方程；（I ）求椭圆（n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、关于点M I 的方程.B 点的坐〖答案〗解法一：22) (I )因为点p 在椭圆C 上，所以2a = PF i + PF 2=6 , a=3. X y 已知曲线G ： — +丄=1(a Ab >0)所围成的封闭图形的面积为a b在 Rt△ PF1F2 中，F I F2 =JI PF 2 -PF , 2= 2 J 5,故椭圆的半焦距c= J 5，从而b2=a2 —c2=4.2所以椭圆C 的方程为x_92丄=1.4(n)设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2 , 1). 从而可设直线l 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k — 27=0. 因为A , B 关于点M 对称.2所以 Xj^—18k +9k =224 + 9k 2 解得k98 所以直线l 的方程为y =-(x +2)+1, 9 (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (I )同解法一.2 2=(n)已知圆的方程为(x+2 ) +(y — 1) 5,所以圆心 M 的坐标为(一2, 1). 设A , B 的坐标分别为(x1,y1 ) ,(x2,y2).由题意x1 H x2且即 8x-9y+25=0.由①一②得因为A 、 代入③得所以直线 2X 12X 2(X 1 -X 2)(X 1 +x 2) +(y 1 -y 2)(y 1 +y 2)_0B 关于点M 对称，所以x1+ x2= — 4, y1+ y2=2,y 1 -y 2 = X 1 -X 2 -，即直线I 的斜率为8 ,9 98y — 1 = - (x+2 ),即 8x — 9y+25=0. 9所求直线方程符合题意 .)l 的方程为 (经检验2. ( 2008年山东卷，文科, W 5,曲线C i 的内切圆半径为 迹.记C 2为以曲线C i 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.3(I)求椭圆C 2的标准方程;(n)设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，I 是线段AB 的垂直平分线.M 是I 上异于椭圆中心的点.(1 )若MO =A OA ( O 为坐标原点)，当点A 在椭圆C 2上运动时,求点M 的轨迹方程;(2)若M 是I 与椭圆C 2的交点，求 △ AMB 的面积的最小值. 1解析〗(I)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然C 2为焦点在X 轴的椭圆;(n) (1)设出AB 的方程y=kx(kHO), A(X A, g , M (x , y)，联立直线与椭圆得到方程组后，由M0 = A 0A(A 工0)可得M 的轨迹方程，注意k = 0或不存在时所得方程仍1 1 2然成立；(2)由直线I 的方程：y=-—X 和椭圆方程联立后表示出 S ^AMB =2AB []OM I由不等式放缩即可求出最小值 .2ab=475,〖答案〗(I)由题意得《 a b2/5又a A b A 0，解得a 2 = 5 , b 2 = 4 .J a 2+b232 2因此所求椭圆的标准方程为0+£ = 1. 5 4AB 所在的直线斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为a, b 的方程组，曲线C i(n) ( 1)假设y =kx(k 工0), A(X A,Y A).r 2区+解方程组｛5 4l y = 田 2 20 2 20k2得X A = -- 2，y A = -------------- 2所以OA 2Y A20 丄20k220(1 +k2) = ------ +------ = ---------2 2 2设M(X, y)，由题意知MO = A OA仏丰0),当且仅当4 +5k 2=5 +4k 2时等号成立，即k = ±1时等号成立,40此时△ AMB 面积的最小值是 S A AMB =40.92后2=245.9所以MO2，即x 2+y2、2 20(1 +k 2)=扎 --------因为I 是AB 的垂直平分线, 所以直线 I 的方程为y1一匚X ，因此X 2 + y 2 =入2 r20 1 + V V y 丿 2~ 4+5L 笃 y、2 20(x 2 +y 2) =h -------- 2 ------- T~4y +5x2又 X 2 +y2H 0，所以 5x 2 +4y 2 =20 几2，故—+ 乂4 5又当k = 0或不存在时，上式仍然成立.2 2综上所述，M 的轨迹方程为 .七L = 'd (k 丰0、.45(2)当k 存在且k H0时，由(1 )得2X A20 = 2，4+5k 2y A 220k— 24 +"2 2z 丄=1, 由｛5 4解得 I 1 L 1x,220k 2X M _5 +4k 22y M20 5 +所以OA2 =xA 中2 y A 220(1+k 2)=2~ 4+5kAB 2=4 OA80(1+ k 2) 4 +5k 2，OM220(1 + k 2) = 2~ 5 + 4k解法一：由于S A AMBT AB 2臥2 280(1+k )汽 20(1 +k )400(1 +k 2)22 2400(1+= 22f 22昭「4 + 5k 2+5 +1600(1 +k 2)2 <40 f—2 2— I81(1 + k 2)2l 9 丿J沢亦沢4=275>坐. 当k不存在时，S A AMB2 9综上所述，△ AMB的面积的最小值为409解法二：因为1OA2+OM 220(1+k )4+5k2+ ——4+5k2+5+4k220(1+ k)= 20*)5 + 4k29"20OA1+ --OMOA|[|OM[，OA J OM I当且仅当4 +5k2 =5 +4k2时等号成立，即k = ±1时等号成立, 40 此时△ AMB面积的最小值是S AAMB =—.9当k =0，S SMB =丄咒2翕咒2 =275>402当k不存在时，S AAMB=丄咒=2亦294O>一•9 40综上所述，△ AMB的面积的最小值为上.93.(广东省实验中学 2008届高三第三次模拟考试，理科， 20)已知抛物线 x2= — y，直线L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m € R且m^— 1)与抛物线交于 A，B两点•(1)当m=0时，试用x,y的不等式组表示由直线L和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界),并求该区域的面积•为直径的圆C上；并求(3)将抛物线x2= — y的图像按向量a = (4, 16)移动后得到函数y=f(x)的图像，若g(x) =6lnx+m,问是否存在实数 m,使得y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由•〖解析〗(1)所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应的面积，计算时可以整体代入；(2)证明抛物线的顶点在以线段 AB为直径的圆C上，即证明0AQB=0，圆C的圆心的轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得;(3)构造函数®(x) =g(x) - f(X)=x2 -8x +6In x + m，因为x^O，所以 y=f (x)的图象与y=g (X)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数W(x)有两个正零点的问题，要对®(x)的单调性进行讨论，从而求出使得®(x)由两个正零点的m的取值范围x€( 0,(1)当m=0时，直线L 的方程为：y+3x+1=0,故所求区域2对应的不等式组为[y +x 乞0；[y + 3x + 1 > 0 y = -X e 2得x 2-3x-仁 0*) y + 3x+1 = 0贝x 2为方程(* 的两解，即 X t + X 2 = 3,X 1X 2 = — 1,X 2 - X t = = J 13/.所求区域面积亠X2设A (X 1,y 1), B(X 2,y 2),不妨x^X 1,则由*S =「(-x 2+3x +1 dx(X 33x 2Y x / 1 r -—+ ——+X l |x ： = (X 2 -X 1 1 --収13 2 丿1V 3、_13J13+ X2 ) -X 1X 2】+3(X 1 +X2)+1]2 丿(2)令k=y^,则直线L 的方程为y = kxm +1L2由* y X 得：X 2+ kx -1=0,方程有解，且x 1, x 2为其两解, y = kx -1 贝 y X 1 + X 2 = —k, X 1X 2 = -1,-1,设A(X i ,y i ),B(X 2,y 2)/. OA ”OB = X 1X 2 + 丫』2 = X1X 2 +(X 1X 2 ) = —1 + 1 = 0.以AB 为直径的圆 恒过抛物线顶点(0,0设以AB 为直径的圆的圆心坐标为(X, y),2 2milX 1 +X 2 k y 1 + y 2X 1 + X 2贝寸 X = ------ = 一 一2(X 1 + X2 ) - 2X 1X 22 2 2 2 2 得y =-2x 2-1,即所求的圆心轨迹方程 为y = -2x 2-1k 2—— 一1(3)依题意，f(x)=-x2+8x,令护(X)=g(x) -f(x) = x2-8x+6lnx + m.因为x> 0,要使函数f(X)与函数g (x)有且仅有2个不同的交点，则函数®(x) =x 2 -8x +61 nx +m 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 平'6 ■■申(X) =2x -8 + -= 2空二g =2(x -1)(x -3)(x 〉0) x€( 1, (X)c0,®(x)是减函数 x€( 3,®'(x) >0,®(x)是增函数当 x=1 或 x=3 时，cp'(X)=0•••甲(x)极大值为申⑴=m-7;申(X)极小值为W(3) =m +6In3-15又因为当X70时，W(X)T 二当X T P时，申(X)T 邑所以要使W(x) =0有且仅有两个不同的正根，必须且只须『⑴"或r⑶=0即或^十6"3-15=0[◎(3) <0 [护(1)>0 t m+61 n3-15c0 [m-7A0•- m=7 或m =15 -61 n3.•••当m=7或m =15-61 n3.时，函数f (x)与g (x)的图象有且只有两个不同交点4. ( 2008年广东卷，文科，20)2 2设b，椭圆方程为二+占=1，抛物线方程为X2 =8( y- b).如图所示，过点2b2 b2F(0, b +2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F i .(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2 )设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由标).〖解析〗(1)由已知可求出 G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出F i点的坐标，由椭圆方程也可以求出F i点的坐标，从而求出b =1，得出椭圆方程和抛物线方程；(2)以NPAB为直角和以NPBA为直角的直角三角形显然各一个，NAPB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA 'PB = 0 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的个数.P,使得△ ABP (不必具体求出这些点的坐以P点的1 答案〗(1)由x2=8(y-b)得y=1x2+b ,81当y =b +2 得x = ±4，二G 点的坐标为(4,b +2) , y'= —x ,4过点G的切线方程为y-(b+2) =x-4即y=x + b-2，F i点的坐标为(b,0)，令y=0得x=2-b，二F i点的坐标为(2-b,0)，由椭圆方程得2二2—b =b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为一+ y2=1和x2 =8(y-1)；2(2) •••过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 PA 以N PAB 为直角的RtAAB P 只有一个，同理二 以N PBA 为直角的RUABP 只有一个。
数学(文)一轮教学案：第十章第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析
第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示 命题探究1 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元二次方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切或相交； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，则弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可直接用|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2求出．3 圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0) k ＝b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0其中k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标．注意点 直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.1．思维辨析(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点．( )(2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点．( )(3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点．( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B.233C.932D.2327答案 A解析 联立椭圆方程与直线方程，得ax 2＋b (1－x )2＝1，即(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，y1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－2b a ＋b ＝2aa ＋b ，AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，AB 中点与原点连线的斜率k ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32.故选A.3．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________．答案 x －y －1＝0或x ＋y －1＝0解析 设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8得k 2＝1，∴k ＝±1，∴l 的方程为：x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.[考法综述] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大．命题法1 直线与圆锥曲线的位置关系典例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－153，－1 (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，则实数a 的取值为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0 B ．{－1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－45，0 [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0x 1＋x 2＝4k 1－k2>0x 1x 2＝－101－k 2>0解得－153<k <－1.(2)因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0 ①(ⅰ)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.(ⅱ)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.故选A.[答案] (1)D (2)A【解题法】 直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．(2)直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要结合图形，数形结合求解．(3)当条件中含有参数时，要注意对参数进行讨论，尤其是在双曲线与抛物线中，必须要保证联立后的方程为二次方程才能由“Δ”进行判定．命题法2 直线与圆锥曲线的弦长问题典例2 已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是它的一个焦点，又点A (1，2)在该椭圆上．(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1(a >2)． 将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)， 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，则Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， ∴0≤m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44， 得|BC |＝3|x 1－x 2|＝3·16－2m 22. 又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3， 故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝2， 当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时取等号． 当m ＝±2时，满足0≤m 2<8. 故直线l 的方程为y ＝2x ±2.【解题法】 直线与圆锥曲线相交时弦长的求法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．(常用方法)命题法3 中点弦问题典例3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43 9－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863. 【解题法】 弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 1．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53B.75 C.97 D ．2答案 A解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·⎝⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立 将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0， ∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.3.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43答案 D解析 由题意可知准线方程x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .由已知易得过点A 与抛物线y 2＝8x 相切的直线斜率存在，设为k ，且k >0，则可得切线方程为y －3＝k (x ＋2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去x 得ky 2－8y ＋24＋16k ＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k (24＋16k )＝0，解得k ＝12或k ＝－2(舍去)，代入(*)解得y ＝8，把y ＝8代入y 2＝8x ，得x ＝8，即切点B 的坐标为(8,8)，又焦点F 为(2,0)，故直线BF 的斜率为43.4．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10答案 B解析 设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)， 故y 21＋y 22＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S△AFO＝12|OF|×y1＝12×14y1＝18y1，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋18y1＝98y1－y2.由98y1－y2＝98y1＋(－y2)≥298y1×(－y2)＝298×2＝3，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.5．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c 的最大值为________．答案2 2解析直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为22，又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤22，即实数c的最大值为22.6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线AB方程为x＝my－1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线和抛物线方程，整理得，y2－4my＋4＝0，由根与系数关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝4.故Q(2m2－1,2m)．由|FQ|＝2知(2m)2＋(2m2－1－1)2＝2，解得m2＝1或m2＝0(舍去)，故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切，为满足题意的极限情况)．7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解 解法一：(1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24 ＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 解法二：(1)同解法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．9．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时， x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.10．圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎨⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得a 2＝1，b 2＝2，故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1>0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1， 解得b 21＝3.因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0，又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)． 由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝ ⎛⎭⎪⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－1y －3＝0. 11．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解 (1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1.同理可得B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1.故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．[错解][错因分析] 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．[正解] 设M (x M ，y M )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k .设直线CD 的斜率为k ′，因为CD ⊥AB ，所以k ′＝－1k .同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2＋1－k 2＋2k 2(y ＋2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －2k (x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过定点(3,0)． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＝y 22－y 21x 22－x 21， 由于点A ，C 都在双曲线上，故有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2－y 21－y 22b 2＝0，所以k 1k 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2>0.则2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k 1k 2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，所以e＝1＋b 2a 2＝3，故选B.3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4(k ＋2)]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2. 5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. 答案 ①④解析 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0， ∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．6．[2016·冀州中学热身]已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ， 代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点的横坐标为x 0，则 x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3＝1＋t2， 由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，②显然t ≠0，所以h ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋1，③ 当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，此时h ≤－3，不满足①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋⎝⎛⎭⎪⎫－1t ≥2，当且仅当t ＝－1时取等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.7. [2016·枣强中学周测]已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程；(2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．解 (1)左焦点坐标为F (－1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由∠AOB ＝60°，得圆心O 到直线l 的距离d ＝13，又d ＝|k |k 2＋1，∴|k |k 2＋1＝13，解得k ＝±22. ∴直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)．(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ>0得1＋2k 2>m 2①，且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2.∵△POQ 的重心恰好在圆x 2＋y 2＝49上， ∴(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4， 即(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4， 即(1＋k 2)(x 1＋x 2)2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4. ∴16(1＋k 2)k 2m 2(1＋2k 2)2－16k 2m 21＋2k2＋4m 2＝4， 化简得m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1，代入①式得2k 2>0，∴k ≠0，又m 2＝(1＋2k 2)24k 2＋1＝1＋4k 44k 2＋1＝1＋44k 2＋1k 4.∵k ≠0，∴m 2>1，∴m >1或m <－1.8．[2016·冀州中学预测]已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．解 (1)∵F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，∴不妨设F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∵椭圆E 与双曲线x 2－y215＝1的焦点相同，∴设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据已知得⎩⎨⎧c ＝4，c a ＝45，b 2＝a 2－c 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，a ＝5，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴P (m ，n )是椭圆E 上的点．∴m 225＋n 29＝1. ∵m 225＋n 29≤m 29＋n 29＝m 2＋n 29，∴m 2＋n 2≥9. ∵曲线M 是圆心为(0,0)，半径r ＝2的圆，圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2≤13<2，∴直线mx ＋ny ＝1与曲线M 有两个公共点．设直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长为l ，则l ＝22－1m 2＋n2. ∵m 225＋n 225≤m 225＋n 29＝1， ∴m 2＋n 2≤25.∴9≤m 2＋n 2≤25.∴125≤1m 2＋n 2≤19，∴179≤2－1m 2＋n 2≤4925. ∴173≤2－1m 2＋n 2≤75. ∴2173≤l ≤145.∴直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2173，145. 9．[2016·衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解 (1)由已知得焦点坐标为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝m 2＋1·(4m )2－4×(－4)＝4(m 2＋1)． 所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.10．[2016·枣强中学模拟]已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时线段CD 的中点不是点N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2.②①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×12＝－1.所以直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋2y －3＝0.11．[2016·衡水二中期末]已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知|EG |＝|ES |，∴|EG |＋|EC |＝|ES |＋|EC |＝62， 又|GC |＝6<62，∴点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为62的椭圆．故动点E 的轨迹M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆M 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 218＋y 29＝1，消去y ，化简得3x 2＋4mx ＋2m 2－18＝0.∵直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点， ∴Δ＝16m 2－12(2m 2－18)>0， 化简得m 2<27，解得－33<m <33， ∴x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2(m 2－9)3. ∵以线段AB 为直径的圆恰好经过原点， ∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4(m 2－9)3－4m 23＋m 2＝0，解得m ＝±23，由于±23∈(－33，33)，∴符合题意的直线l 存在，所求的直线l 的方程为 y ＝x ＋23或y ＝x －2 3.12．[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan ∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．解 (1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)， 则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)， 当λ＝1时，MF →＝FN →， ∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c ， 由M ，N 两点在椭圆上， ∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN →＝(0,2y 2)，AF →＝(c ＋4,0)，MN →·AF →＝0， ∴MN →⊥AF →.(2)当λ＝1时，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，∴AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063， ∵c a ＝63，∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22， ∴56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2，a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(3)因为AM →·AN →·tan ∠MAN ＝2S △AMN ＝|AF ||y M －y N |＝63， 由(2)知点F (2,0)，所以|AF |＝6，即得|y M －y N |＝ 3.当MN ⊥x 轴时，|y M －y N |＝|MN |＝2b 2a ＝2×26≠3，故直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．联立⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 26＋y 22＝1，得(1＋3k 2)y 2＋4ky －2k 2＝0，y M ＋y N ＝－4k 1＋3k 2，y M ·y N ＝－2k 21＋3k 2，∴|y M －y N |＝24k 4＋24k 21＋3k 2＝3，解得k ＝±1.此时，直线MN 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)答案 A解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1，x >0，y >0可得N ⎝⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c ，b 2c ， 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，x >0，y >0可得M (a ，b )，又F 1(－c,0)，则kMF 1＝ba ＋c，k ON ＝b 2a b 2＋c2，∵MF 1∥ON ， ∴b a ＋c ＝b 2a b 2＋c 2，∴a b 2＋c 2＝b (a ＋c )，又b 2＝c 2－a 2，∴2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，∴2e 0－e 30＝2e 20－2，设f (x )＝x 3＋2x 2－2x －2，f ′(x )＝3x 2＋4x －2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，即f (x )在(1，＋∞)上至多有1个零点，f (1)＝1＋2－2－2<0，f (2)＝22＋4－22－2>0，∴1<e 0< 2.故选A.14．[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析 设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，得|PF 2|＝a －m ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴a －m ＝2c ，又由e 1＝c a ，e 2＝c m ，得a ＝c e 1，m ＝c e 2，从而有c e 1－c e 2＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1，由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1，可得13<e 1<12，令1－2e 1＝t ，则0<t <13，e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2.又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上为减函数，则0<t <13时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴0<t <13时，f (t )>43，故e 1e 2>13.15．[2016·衡水二中模拟]如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得2a ＝4，a ＝2c ，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，则M (4，y )，F (1,0)，其中－2≤x ≤2，∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2.∴|PF |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋3－34x 2＝14(x －4)2，|PM |2＝|x －4|2，|FM |2＝32＋y 2＝12－34x 2. ①若|PF |＝|FM |，则14(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝－2或x ＝4(舍去)，当x ＝－2时，P (－2,0)，此时P 、F 、M 三点共线，不符合题意，∴|PF |≠|FM |；②若|PM |＝|PF |，则(x －4)2＝14(x －4)2，解得x ＝4，不符合题意； ③若|PM |＝|FM |，则(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝4(舍去)或x ＝47，当x ＝47时，y ＝±3157，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，±3157，满足题意． 综上可得，存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3157或⎝ ⎛⎭⎪⎫47，－3157，使得△FPM 为等腰三角形．16．[2016·枣强中学期末]如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，则b ＝c 2，又c 2＝a 2－b 2，所以4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
圆锥曲线：第五讲 直线与圆锥曲线(1)
第五讲 直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________； ②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________； ③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，||AB ＝ ． (2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算． 3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系． 无论哪种方法都不能忽视对判别式的考虑． 【答案】1．无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离 (2)平行或重合 平行或重合 2．(1)－b a ca1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k2b 2－4ac||a【基础自测】1 双曲线x 24－y 2＝1与直线y ＝kx ＋1有惟一公共点，则k 的值为( )A ．22B ．－22C ．±22D ．±22或±12解得k ＝±22.综上知D 正确，故选D.2 已知直线x ＝1过椭圆x 24＋y 2b 2＝1的焦点，则直线y ＝kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A ．k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．k ∈⎣⎡⎦⎤－22，22 D ．k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－22∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞解：易知椭圆中c 2＝a 2－b 2＝4－b 2＝1，即b 2＝3，∴椭圆方程是x 24＋y 23＝1.联立y ＝kx ＋2可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ≤0可解得k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12.故选A. 3 已知两点M ⎝⎛⎭⎫1，54，N ⎝⎛⎭⎫－4，－54，给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1.在曲线上存在点P 满足|MP |＝|PN |的所有曲线方程是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④解：∵点P 满足|MP |＝|PN |，∴点P 在线段MN 的垂直平分线l 上，l 的方程为y ＝－2x －3. 解法一：曲线①是直线，且与直线l 平行，故点P 不在曲线①上； 曲线②是圆心(0，0)，半径为3的圆，圆心到直线l 的距离为d ＝35＜3，即直线l 与圆相交，故存在点P在曲线②上；将直线l 的方程代入曲线③的方程得9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝0，即存在点P 在曲线③上； 将直线l 的方程代入曲线④的方程得7x 2＋24x ＋20＝0，Δ＞0，即存在点P 在曲线④上． 综上所述：曲线②③④满足题意．解法二：易知曲线①是直线；曲线②是圆心为(0，0)，半径为3的圆；曲线③是椭圆；曲线④是双曲线．作出它们的图形，用数形结合来验证．故选D.4 过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则这样的直线有________条．解：注意到点(2，4)是抛物线上的点，用数形结合知满足题意的直线有两条，其一是过该点的切线；其二是过该点且与对称轴平行的直线．故填2.5 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．【典例】类型一 弦的中点问题例一 (1)已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A ，B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1，1)，求直线AB 的方程．解法一：设通过点M (1，1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得 (9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝－9k （1－k ）9k 2＋4＝1，解之得k ＝－49. 故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0. 解法二：设A (x 1，y 1)． ∵AB 中点为M (1，1)， ∴B 点坐标是(2－x 1，2－y 1)．将A ，B 点的坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①－②，得16x 1＋36y 1－52＝0，化简为4x 1＋9y 1－13＝0. 同理可推出4(2－x 1)＋9(2－y 1)－13＝0.∵A (x 1，y 1)与B (2－x 1，2－y 1)都满足方程4x ＋9y －13＝0， ∴4x ＋9y －13＝0即为所求．解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36， ②(2)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝2，则直线l 的斜率等于________．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，x 1＋x 2＝－2k 2－4k 2＝－2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝4k ，设Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k，即Q ⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2，2k ，又F (1，0)，∴||FQ ＝⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2－12＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，解得k ＝±1.故填±1. 【评析】(1)本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美观，对称性强”，但消去x 1，x 2，y 1，y 2时，要求灵活性高，整体意识强．(2)本题解答看似正确，但细想会发现：缺少对“直线与抛物线相交于A ，B 两点”这一几何条件的检验(这是易出错的地方，切记)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（2k 2－4）2－4k 4>0，解得k ∈(－1，0)∪(0，1)，而当k ＝±1时，直线l 恰好与抛物线相切，似与题意不符．本节课时作业第8题对本题已知条件数据作了修改，使满足题意的直线l 是存在的，进而可求得直线l 的斜率．变式 已知双曲线2x 2－y 2＝2.(1)求以M (2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程；(2)过点N (1，1)能否作直线l ，使直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，且点N 是弦P 1P 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设以M (2，1)为中点的弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 两点在双曲线上，∴2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)． 由双曲线的对称性知x 1≠x 2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝4. ∴所求直线的方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.类型二 定点问题例二 已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，||O 1A ＝||O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于点H ，则H 是MN 的中点，||MH ＝12||MN ＝4，∴||O 1M ＝x 2＋42.又||O 1A ＝（x －4）2＋y 2，∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)；当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝(2kb －8)2－4k 2b 2＝64－32kb >0，得kb <2.由根与系数的关系知x 1＋x 2＝8－2kbk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， 化简得k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，且过定点(1，0)．【评析】第(1)问设动圆圆心坐标，利用圆的半径、弦的一半和弦心距组成的直角三角形求解，第(2)问设直线方程y ＝kx ＋b 和轨迹方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，导出k 和b 的关系，最后应用方程特点证明直线过定点．解析几何解答题的一般命题模式是先根据已知的关系确定一个曲线的方程，然后再结合直线方程与所求曲线方程把问题引向深入，其中的热点问题有：参数范围、最值、直线或曲线过定点、某些量为定值等．在直线与圆锥曲线交于不同两点的相关问题中，一般是设出点的坐标，然后确定点的坐标之间的关系(特别是直线是动直线时这个方法是必需的)，再进行整体处理(通常是利用韦达定理处理这类问题)．变式 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．式得（4m 2－12）（k 2＋1）4k 2＋3－8km （km －2）4k 2＋3＋4＋m 2＝0，整理得7m 2＋16mk ＋4k 24k 2＋3＝0，即（7m ＋2k ）（m ＋2k ）4k 2＋3＝0.解得m ＝－27k 或－2k .当m ＝－27k 时，y ＝kx －27k ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，过定点⎝⎛⎭⎫27，0； 当m ＝－2k 时，y ＝kx －2k ，过定点(2，0)，即过椭圆右顶点，与题意矛盾． 所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 类型三 定值问题例三 已知直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，且△OPQ 的面积S ＝62，其中O 为坐标原点．证明：x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值．证明：当直线l 垂直于x 轴时，设直线l 的方程为x ＝a (|a |＜3)，代入椭圆C 的方程得a 23＋y 22＝1，即y 1，2＝±2⎝⎛⎭⎫1－a23，∴|PQ |＝|y 1－y 2|＝22⎝⎛⎭⎫1－a 23. ∵△OPQ 的面积S ＝62， ∴12|a |·22⎝⎛⎭⎫1－a 23＝62，解之得a 2＝32. ∴x 21＋x 22＝2a 2＝3，y 21＋y 22＝2.由韦达定理得x 1＋x 2＝－6km3k 2＋2， x 1x 2＝3（m 2－2）3k 2＋2.∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2（3k 2＋2）2－12（m 2－2）3k 2＋2＝1＋k 2·26·3k 2＋2－m 23k 2＋2.∵原点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2，△OPQ 的面积S ＝62，∴12·1＋k 2·26·3k 2＋2－m 23k 2＋2·|m |1＋k 2＝62. 令3k 2＋2＝t ，化简得t ＝2m 2，即3k 2＋2＝2m 2.x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－6km 3k 2＋22－6（m 2－2）3k 2＋2 ＝3.y 21＋y 22＝(kx 1＋m )2＋(kx 2＋m )2 ＝k 2(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝3k 2－12k 2m 23k 2＋2＋2m 2＝2.综上知，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，即均为定值．【评析】(1)繁难的代数运算是定值问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算；(2)对题目的两个几何特征的代数形式要有合理的预判，以便设计解题思路，优化解题过程．变式 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线． (1)求椭圆的离心率；(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，证明：λ2＋μ2 为定值．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝x －c ，代入椭圆方程得(a 2＋b 2)x 2－2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(2)由(1)知，a 2＝3b 2，故椭圆方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2.设M (x ，y )，则OM →＝(x ，y )，由已知得(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2.∵M (x ，y )在椭圆上，∴(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，即λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2，①由(1)知，x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝38c 2.∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－c )(x 2－c ) ＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝0.∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，代入①式得λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值1.类型四 与弦有关的范围与最值问题例四 已知曲线C ：y 2＝－4x (x ＞－3)，直线l 过点M (1，0)交曲线C 于A ，B 两点，点P 是AB 的中点，EP 是AB 的中垂线，E 点的坐标为(x 0，0)，试求x 0的取值范围．解：由题意可知，直线l 与x 轴不垂直，可设l ：y ＝k (x －1)，代入曲线C 的方程得k 2x 2＋2(2－k 2)x ＋k 2＝0(－3＜x ≤0)，①由方程①得x A ＋x B ＝2（k 2－2）k 2，x P ＝12(x A ＋x B )＝k 2－2k 2，y P ＝k (x P －1)＝－2k， ∴直线EP 的方程为y ＋2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －k 2－2k 2.令y ＝0，得x 0＝－1－2k 2.∵34＜k 2＜1， ∴－113＜x 0＜－3，即x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－113，－3. 【评析】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题．变式 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，得c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当AB 与x 轴垂直时，|AB |＝ 3. 当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（1＋k 2）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（1＋k 2）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上所述：|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取得最大值 S ＝12×|AB |max ×32＝32. 类型五 对称问题例五 已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．解：设A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)为抛物线y ＝ax 2－1上的关于直线x ＋y ＝0对称的两相异点，则y 1＝ax 21－1，y 2＝ax 22－1.联立直线AB 与抛物线的方程并消去y ，得 ax 2－x ＋1a－1＝0.依题意，上面的方程有两个相异实根， ∴Δ＝1－4a ⎝⎛⎭⎫1a －1＞0，解得a ＞34. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，＋∞. 【评析】应用判别式法解决此类对称问题，要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点，故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程，再与曲线方程联立，由判别式不等式求出参数范围．变式 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上符合条件的两点，M (x ，y )是PQ 的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12， 两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴3x4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ . ∵k PQ ＝－14，∴y ＝3x .【名师点睛】1．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程或动弦中点M (x ，y )轨迹时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 两点在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m (或2x )，y 1＋y 2＝2n (或2y )，从而求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x ，y 之间的关系，整体消去x 1，x 2，y 1，y 2，得到点M (x ，y )的轨迹方程．2．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线或共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组．为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决. 以“求直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1(k 为参数)是否过定点？”为例，有以下常用方法：①待定系数法：假设直线l 过点(c 1，c 2)，则y －c 2＝k (x －c 1)，即y ＝kx －c 1k ＋c 2，通过与已知直线方程比较得c 1＝－2，c 2＝1.所以直线l 过定点(－2，1)．题中“k”不仅可以是一个参数，还可以是一个由参数组成的表达式．②赋值法：令k＝0，得l1：y＝1；令k＝1，得l2：y＝x＋3，求出l1与l2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k＋2k＋1恒成立，所以直线l过定点(－2，1)．赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程．③参数集项法：对直线l的方程中的参数集项得y＝k(x＋2)＋1，令k的系数为0，得x＝－2，y＝1，k的取值是任意的，但l的方程对点(－2，1)恒成立，所以直线l过定点(－2，1)．若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．3．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．4．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．5．要重视对数学思想、方法进行归纳提炼，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的．(1)方程思想解析几何题不少以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就能简化运算．(2)函数思想对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a，b，c，e，p之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．(3)对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．(4)参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，把圆、椭圆、双曲线上的点用参数形式设为(x0，y0)，即可将参数视为常量，以相对静止来控制变化，实现变与不变的转化；另外，对于有些参数，视具体情况可在解题过程中将其消去，达到“设而不求”的效果．(5)转化思想解决圆锥曲线问题时要充分注意直角坐标方程与参数方程的联系及转化，达到优化解题的目的．除上述常用思想方法外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可忽视的思想方法，复习时也应给予足够的重视．【针对训练】1．若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为2，则a＋b＝()A ．－12B ．12C ．±12D ．±1解：由点到直线的距离公式得|a －b |2＝2，即|a －b |＝2. 又点P (a ，b )在双曲线的右支上，∴P 点在直线y ＝x 的下方，a －b ＞0.∴a －b ＝2. 又a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝12.故选B.2．设斜率为2的直线过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OF A (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解：焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设直线的方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则A 点纵坐标为－a2，△OF A 的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪－a 2＝ a 216＝4，解得a ＝±8.故选B. 3．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2||x (k ∈R ，且k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：将y ＝2k 代入9k 2x 2＋y 2＝18k 2||x ，得9k 2x 2－18k 2||x ＋4k 2＝0，∵k ∈R ，且k ≠0，∴9||x 2－18||x ＋4＝0，即9(||x －1)2－5＝0，解得||x ＝1±53，x ＝1±53或－1±53，因此公共点的个数为4.故选D.4．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn ＝( ) A ．22B ．322C ．1D ．25．若直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，则过点P (m ，n )的一条直线与椭圆x 27＋y 25＝1的公共点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．1或2解：由已知得5m 2＋n 2＞5，即m 2＋n 2＜5.又m 27＋n 25≤m 25＋n 25＜1，所以点P 在椭圆内，因此过点P 的一条直线与椭圆有两个公共点．故选C.6．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，34 B.⎣⎡⎦⎤38，34 C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎣⎡⎦⎤34，1解：由题意知点P 在第一象限，设P 点横坐标为x ，则其纵坐标y ＝32·4－x 2，由P A 2的斜率知-2≤32·4－x 2x －2≤－1，∵2－x >0，2＋x >0，∴上式可化为1≤32·2＋x 2－x ≤2，即23≤2＋x 2－x ≤43.∴P A 1的斜率k ＝32·4－x 2x ＋2＝32·2－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤38，34.故选B. 7．已知P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1截得线段的中点，则直线l 的方程为________．解：线段两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4. ∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝23，则直线l 的斜率等于________．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（2k 2－4）2－4k 4>0，解得k ∈(－1，0)∪(0，1)，x 1＋x 2＝－2k 2－4k 2＝－2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝4k ，设Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k，即Q ⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2，2k ，又F (1，0)，∴||FQ ＝⎝⎛⎭⎫－1＋2k 2－12＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝23，解得k ＝±22.故填±22.9．如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值．证明：设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ， ∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k （x －y 20），y 2＝x ，消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝（1－ky 0）2k 2.同理，y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝（1＋ky 0）2k 2.∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k （1－ky 0）2k 2－（1＋ky 0）2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值． 10．设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E ：x 24＋y 23＝1有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 点的坐标；若不存在，说明理由．解：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，即x 1＝－4km，代入直线l 的方程得y 1＝－4k 2m ＋m ＝3m.由图形的对称性，假设存在点M (t ，0)，则MP →·MQ →＝0，根据题意得Q (4，4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎫－4k m －t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )．∴MP →·MQ →＝ －4（4－t ）k m －t (4－t )＋12k m ＋3＝ （4t －4）k m －t (4－t )＋3＝4k （t －1）m ＋(t －1)(t －3)＝0，当t ＝1，等式恒成立．∴坐标平面内存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA ，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，直线l 为C 在P 点处的切线，求O 点到直线l 的距离的最小值． 解：(1)设M (x ，y )，∵MB ∥OA ，∴B (x ，－3)． 又∵A (0，－1)，∴MA →＝(－x ，－1－y )， MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)． ∵MA →·AB →＝MB →·BA →， ∴(MA →＋MB →)·AB →＝0， 即－x 2＋(－4－2y )·(－2)＝0， 即y ＝14x 2－2.∴曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.∴O 点到直线l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.∵y 0＝14x 20－2，∴d ＝12x 2＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2(当且仅当x 0＝0时等号成立)． ∴O 点到直线l 的距离的最小值为2.12 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (2，1)，离心率为22，过点B (3，0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)求BM →·BN →的取值范围；(3)设直线AM ，AN 的斜率分别为k AM ，k AN ，求证：k AM ＋k AN 为定值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，解之得a ＝6，b ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由题意显然直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －3)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x 26＋y 23＝1消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－12k 2x ＋6(3k 2－1)＝0. ∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴Δ＝144k 4－24(1＋2k 2)(3k 2－1)＝24(1－k 2)＞0， 解之得－1＜k ＜1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21＋2k 2，x 1x 2＝6（3k 2－1）1＋2k 2，∴BM →·BN →的取值范围是(2，3]． (3)证明：由(2)知k AM ＝y 1－1x 1－2， k AN ＝y 2－1x 2－2，则 k AM ＋k AN ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（kx 1－3k －1）（x 2－2）＋（kx 2－3k －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝2kx 1x 2－（5k ＋1）（x 1＋x 2）＋4（3k ＋1）x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝)21(424)13(6)21()13(412)15()13(62222222k k k k k k k k k ++--+∙++∙+--∙ ＝－4k 2＋42k 2－2＝－2.∴k AM ＋k AN 为定值－2.。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结___________________________________1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。
若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。
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x2 y2 ∴点P(m，n)在椭圆 9 ＋ 4 ＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 B
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考向二 弦长及中点弦问题 x2 【例2】►若直线l与椭圆C： ＋y2＝1交于A、B两点，坐标原 3 3 点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积的最大值． 2 [审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入
θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
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一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交 和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点 坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然 后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点 弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 Δ是否为正数．
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1) 在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案 A
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2．(2012· 泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线 只有一个公共点”的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A )．
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2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点 为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两 点所得的线段)，线段的长就是弦长．
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(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1， y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2 |x1－x2| ＝ 1 2p 1＋k2· 1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝sin2θ， |y
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当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时， 则|AB|＝ 1＋k
2
· 1－x2|＝ |x
1 1＋k2 |y1－y2|，而|x1－x2|＝
x1＋x22－4x1x2 ，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元 后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、 两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．
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研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方 程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填 空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
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【训练1】 若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则 x2 y2 过点P(m，n)的直线与椭圆 ＋ ＝1的交点个数是( 9 4 A．至多为1 B．2 C．1 D．0 解析 4 由题意知： 2 ＞2，即 m2＋n2＜2， m ＋n2 )．
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【训练2】 椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两 2 点，C是AB的中点，若AB＝2 2 ，OC的斜率为 ，求椭圆的 2 方程． 解 法一 设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 代入椭圆方程并作差得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0. y1－y2 y1＋y2 2 而 ＝－1， ＝k ＝ ， x1－x2 x1＋x2 oc 2 代入上式可得b＝ 2a. 再由|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝ 2|x2－x1|＝2 2，
36k2m2 12m2－1 － 3k2＋12 3k2＋1
＝
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1 3 当且仅当9k ＝ k2 ，即k＝± 3 时等号成立．此时|AB|＝2；当k＝
2
0时，|AB|＝ 3，综上所述|AB|max＝2. 1 3 ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值Smax＝ 2 ×|AB|max× 2 ＝ 3 2.
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其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
2b b－1 2 故a＋b －4· ＝4， a＋b
1 2 将b＝ 2a代入得a＝ ，∴b＝ . 3 3 x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 3 ＋ 3 ＝1. 法二
Ax＋By＋C＝0， 即 Fx，y＝0，
消去 y 后得 ax2＋bx＋c＝0.
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(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点 ． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲 线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与 双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若C为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是 平行 ．
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解析
x2 y2 设双曲线的标准方程为 2 － 2 ＝1(a＞0，b＞0)，由题意 a b
知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
2 2 x1 y1 a2－b2＝1， 2 2 x2 － y2＝1， 2 2 a b
C．[－1,1] [审题视点] Δ≥0解得．
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解析
由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝
8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒 有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1， ∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1. 答案 C
4．(2012· 成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的 焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－ 12，－15)，则E的方程为( x2 y2 A. － ＝1 3 6 x2 y2 C. － ＝1 6 3 )．
x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 5 4
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
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【2013年高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联 立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查 函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲 线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个 数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的 轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．
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3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋ 3 y＋4＝ 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( A．3 2 C．2 7 解析 B．2 6 D．4 2 )．
x2 y2 根据题意设椭圆方程为 2 ＋ b2 ＝1(b＞0)，则将x＝－ b ＋4
ax2＋by2＝1， 由 x＋y＝1，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)， 4b2－4a＋bb－1 则|AB|＝ k2＋1x1－x22＝ 2· . 2 a＋b
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a＋b－ab ∵|AB|＝2 2，∴ ＝1.① a＋b x1＋x2 b a 设C(x，y)，则x＝ ＝ ，y＝1－x＝ ， 2 a＋b a＋b 2 a 2 ∵OC的斜率为 ，∴ ＝ . 2 b 2 1 2 代入①，得a＝3，b＝ 3 . x2 2 2 ∴椭圆方程为 ＋ y ＝1. 3 3
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一条规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范 围，曲线定义不能忘”．
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双基自测 x2 y2 1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的位置关系为( )．
3 y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8 3 b2y－b4＋12b2＝0， ∵椭圆与直线x＋ 3y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8 3b2)2 －4×4(b2＋1)· 4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝ (－b 3，长轴长为2 b2＋4＝2 7. 答案 C
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考向一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】►(2011· 合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值 范围是(
1 1 A.－2，2
)． B．[－2,2] D．[－4,4] 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用