张量分析(本科)

i
x
i
'
xi' i' j x j
同理
x i ij ' x j '
同二维问题，可得
ij
'
jk
'
ik
（正交性）
可试证：
i j
'
jk
'
i 'k '
4. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
i ' j ' k ' l ' i 'i j ' j k ' k ijkl ijkl ii ' jj ' kk ' ll ' i ' j ' k ' l '
2
矢量混合积
( a b ) c ei j k a i b j e k c r e r ei j k a i b j c r δ k r ei j k a i b j c k ( A2 6)
表示的是以 a, b, c 为边长的平行六面体的体积。
(4) 并矢（并乘）
定义：
Aij ij Aii Ajj A11 A22 A33 Aij jk Aik
ij jk ik ij jk kl il
xi x j aii a jk xi , j ij jk
三．Ricci 符号 e i j k
定义：
vi' i' jv j v i ij ' v j '
3. 三维情况
e i e j ij e
i
'
e
j
'

i j
'
'
考虑一位置矢量
x x je x je j e
i j
'
x 'e
j
j j
'
x 'e
j
'
e
j
i
'

ji
' '
x j cos ( e j , e ' ) x '
sin cos
x ' ' 1 11 于是： x 2 ' 2 '1
x1 x 1 ( ) ' ' x2 i j x2 2 2
2、梯度
1
标量场
( x1 , x 2 , x 3 ) grad , i e i
为一阶张量－－矢量
2
张量场
A Aijei e j
（1）左梯度
A e i i A jk e j e k A jk , i e i e j e k
（2）右梯度
A i A jk e j e k e i A jk , i e j e k e i 高一阶的张量场
也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 ij ( i , j 1 , 2 , 3 ) ～ 21 31
a ji x i b j
j=1
j 为自由标
a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： a ji x i b j
a ki x i b j a ki x i b k
wrong right
第一节
指标符号
第二节
第三节
张量的定义和代数运算
张量分析
自然法则与坐标无关。 坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩 盖了物理本质；并且相关表达式冗长。
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x 2 x n
记作
x i ( i 1, 2 , n )
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
说明
1
任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 基矢量不是唯一的
2
(1)点积
1
基矢量点积
e i e j δ ij ( A2 2)
2
任意两矢量的点积
a b a i e i b j e j a i b j δ ij a i bi a j b j ( A 2 3)
(2) 叉积
a i x i ( i 1, 2 , n ) a1 x1 a 2 x 2 a n xn

n i1
ai xi
又如：
ii
jj
11
22
33
x

y

z
1 2 3
求和约定仅对字母指标有效，如 33

z
重复不止一次的指标，求和约定失败 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
Байду номын сангаас
e
e 2 e 1'
2
'
x 1' x1

e1
x1
令： α
i j
'
cos ( e ' , e j )
i
( i , j 1 ,2 )
'
则：α

i j
'
cos( e 1' , e 1 ) cos( e 2 ' , e 1 )
cos( e cos( e
1 2
'
'
, e 2 ) cos , e 2 ) sin
12
22
32
23 33
13
x ～ yx zx
xy
y
zy
yz z
xz
一．若干约定 哑标和自由标
1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的 指标，表示对该指标在它的取值范围内求和， 并称这样的指标为哑指标。如：
xi i j' x j'
由 x i ' x ' ' i j j ij 又
j 'k
xk
x i ik x k
ij
'
j 'k
ik
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
e
i
'

i j
'
'
e
j
'
j
ei
2
ij
e
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
12
'

x1 11 ' 同样： x 2 21 '
T x ' 1 i ' j ' x ' 22 2 12
'

x ' 1 x ' 2
由（ ）式得
1
上述表达式具有不变性特征；
2
3
张量分量 T ij 与坐标系有关；
T ij 在坐标变换时遵循相同的变换规律
5. 矢量与张量的点积（张量代数的一部分）
T T ij e i e j
1
a aie i
左点乘：
a T (a i e i ) (T j k e j e k ) a i T j k i j e k a i Ti k e k
a ij x i x j

3 i1

3 i1
a ij x i x j
4
哑标可以换用不同的字母指标
2.求导记号的缩写约定
x j
2
( ), j
( )
ui, j
ui x j
(
) , ij
( ) xi x j
u k , ij
uk
2
xi x j
3.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
1
基矢量的叉积
e i e j ei
j k ek
( A2 4 )
由于
e i δi k e k
δ i1 ei e
j
e j δ j k ek
δi 2 δ j2 e2 ei
a 11
δi3 δ j 3 er s t δi r δ j s e t e3
j k ek
δ j1 e1
jk i
e k i j ei k j e k
a 13
ji
e jik
a 12 a 22 a 32
a 23 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 33
a13 a 22 a 31 a12 a 21 a 33 a11 a 23 a 32 ei
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 定义：
ij
1 0 当i j 当i j
由定义
1 I 0 0 0 1 0 0 11 0 21 1 31
12 22 32
23
ij 33
13
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A 2 3 j A3 A 2 A 3 Aj dx i dx i ij dx i dx
j 1 j 2 j 3
ds
2
dx
2
dy
2
dz
2
j
性质：
ij ij ii 11 22 33 3
j k a i1 a j 2 a k 3
ei
j k a1 i a 2 j a 3 k
( A1 7 )
§A－2 张量的定义和 代数运算
1. 矢量的基本运算
矢量 a 分量 a i
a a1e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 a i e i
基矢量 e 1 e 2 e 3 ( 3 个坐 标方向的单位矢量）
j k ek
ei
j k aib j e k
c
( A 2 5)
(3) 混合积
1
基矢量混合积
( e i e j ) e k ei ei
jk j rer
e k ei
j r δr k
( A2 7)
故也有定义
ei
jk
(e i e j ) e k e i (e j e k )
自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijkl e i e j e k e l
( )
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
讨论
T T ij e i e j T k 'l ' e k ' e l '
1 x ' x1 ' 1 i j x ' x2 2
比较 :
[ i ' j ]
i' j
T
' i j
1
为正交矩阵
引用指标符号：
x i i j x j
2
右点乘 :
T a (T i j e i e j ) ( a k e k ) T i j a k e i δ j k T i j a j e i a i T ki e k
一般 a T T a , 只有 Tij T ji 时相等
点乘得到的新张量比原张量低一阶
§A－3 张量分析
一 .梯度、散度、旋度
力学中：

几何方程与位移场的梯度有关
平衡方程与应力场的散度有关
转动量与位移场的旋度有关
1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)
梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表 示为:

xi
e i e i i
可以证明, Hamilton算子具有张量的属性,相当 于一阶张量。
ab a i e i b j e j a i b j e i e j
展开共9项， e i e j 可视为并矢的基
a i b j 为并矢的分解系数或分量
2. 平面笛卡儿坐标系的旋转变换
x2
' x2
x 1'
x2 x 1'
1
'
' x2
e2 e
2
'
e

e1
x1
x1
x2
' x2
x 1'
x2
' x2
ei
j tet
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 e i j k a 1 i a 2 j a 3 k a 33
（比较： A
a 21 a 31
）
特别地：
e 1 e 2 e12 k e k e123 e 3 e 3
2
两个任意矢量的叉积
a b aie i b j e j aib j e i e j a i b j ei
ei j k 1 1 0
即：
e 123 e 231 e 312 1 e 213 e 132 e 321 1 e 111 e 112 e 113 0
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e
a 11 A a 21 a 31