巧妙求和
巧妙求和我的收获
巧妙求和我的收获一、引言巧妙求和，指的是在面对不同困难与挑战时，通过巧妙的方式去寻找并总结自己的收获。
每个人都会在生活和工作中面临各种各样的挑战，但如何巧妙求和自己的收获，从而进一步成长和提升自己，是每个人都应该思考和追寻的课题。
二、巧妙求和的意义巧妙求和的意义在于帮助我们更好地认识和了解自己，在面对各种挑战时，能够从中获取正能量，保持积极的心态并从中汲取经验教训。
通过巧妙求和，我们能够更好地反思自己的行为和态度，从中发现自己的不足之处并加以改进。
巧妙求和的过程中，我们还能够挖掘到自己内在的潜能和优势，从而更好地发挥自己的特长和才华。
三、巧妙求和的方法3.1 清晰设定目标在面对挑战和困难时，首先需要清晰设定自己的目标。
目标能够给我们带来动力和方向，帮助我们明确自己想要达到什么样的境地。
同时，目标也能够帮助我们分析和总结自己的收获，看自己是否达到了预期的目标。
3.2 积极主动思考积极主动思考是巧妙求和的重要方法之一。
当面对困难和挑战时，我们应该积极主动地思考问题和解决方案。
思考是我们获取知识和经验的重要途径，通过反思和总结以往的经验，我们可以更好地应对类似的困难和挑战。
3.3 深入剖析深入剖析是巧妙求和的关键步骤之一。
只有通过深入剖析，我们才能真正理解和把握事物的本质和规律。
通过深入剖析，我们能够发现事物背后的内在逻辑和关联，从而提升自己的认知和思维能力。
3.4 创新思维创新思维是巧妙求和的重要手段之一。
面对各种挑战和困难时，我们应该用不同的视角和思维方式去看问题，寻找新的解决方案。
创新思维能够帮助我们突破思维的边界，激发自己的创造力和想象力。
四、巧妙求和的实践案例4.1 工作挑战在工作中，我曾经面临过一个项目进度延迟的挑战。
在面对这个挑战时，我首先设定了自己的目标，希望能够按时完成项目。
然后，我积极主动地与团队成员和上级沟通，共同找到问题所在并制定解决方案。
通过深入剖析问题，我发现是项目计划没有合理安排导致了进度延迟。
小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
小学四年级奥数讲解：巧妙求和
小学四年级奥数讲解：巧妙求和一、知识要点某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
巧妙求和
3、某数刚好能被16除尽。
如果改用18去除，商是17还余14。
该数是16的几倍？小星在计算有余数的除法时，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同。
请你算出这道题的除数和余数各是多少？1、小乐在计算有余数的除法时，把被除数385错写成835，这样商比原来多了30，而余数正好相同。
求这道除法算式的除数和余数。
2、小阳在计算有余数的除法时，把被除数574错写成745，这样商比原来多了10，而余数比原来少了9。
求这道除法算式的除数和余数。
3、小欣在计算有余数的除法时，把被除数172错写成137，这样商比原来少3，余数比原来多1。
求这道除法算式的除数和余数。
晓晓在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864，这两个因数各是多少？1、冰冰在计算两位数乘两位数时，把一个因数的十位数5错写成3，结果得432，实际应为672，这两个因数各是多少？2、贝贝和乐乐做同一道乘法题。
贝贝将一个数的个位数4错写成1，得出的乘积是525，乐乐将这个因数的个位数错写成8，得出的乘积是700。
正确的乘积应该是多少和倍问题已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫和倍应用题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数（和-小数=大数）学校有科技书和古事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍，两种书各有多少？1、用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍，铝和锡各用了多少千克？2、甲、乙两数的和是112，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？3、一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍，求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？1、某专业户李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍，鸡、鸭、鹅各养了多少只？2、甲、乙、丙三数之和是360，又知甲为乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少？2、商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。
巧妙求和
巧妙求和（一）通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）×公差÷2（1）、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列共多少项？等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。
这个数列共多少项？有一个等差数列，2、5、8、11……101，这个数列共多少项？已知等差数列，11、16、21、26……1001，这个数列共多少项？（2）、有一个等差数列：3、5、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，求它的末项是多少？求等差数列，1、4、7、10……这个数列的第30项。
求等差数列，2、6、10、14……这个数列的第100项。
（3）、有这样的一列数，1、2、3、4、……99、100。
这列数各项相加的和是多少？6+7+8+9+……+75 100+99+98+……+61+609+18+27+36+......+261+270 （5）（2+4+6+......+100）-（1+3+5+ (99)1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60巧妙求和（二）（1）、刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，每天都比前一天多读3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共多少页？刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天都比前一天多读5页，最后一天读了50页恰好读完。
这本书共有多少页？丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个，丽丽在这些天学会了多少个单词？（2）、30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？有10只盒子，44只羽毛球。
专题06 巧妙求和(原卷)
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题06 巧妙求和知识精讲在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1典例分析【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
小学四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
二年级数学《巧妙求和 》
1+19=20
3+17=20 5+15=20 7+13=20
原来的式子相当于5个20的和： 20+20+20+20+20=100
9+11=20
拓展训练2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 90
解题思路：通过观察题中有两组一样的 数列，聪明的你想到了哪些方法呢？
小学数学二年级上册——冬之韵
巧妙求和
巧妙求和的常用方法：
1、凑整先算 2、改变运算顺序 3、基数法 4、拆数法
冬之韵 P20
在动物学院里，马老师出了一道数学题：2+4+6+…+18=？ 大家看了都目瞪口呆 ，小兔子算着 :”2+4=6 ，6+6=12，…” 1 分钟后，小猪说：“这道题的答案是 90。” 可是大家都疑惑不解，马老师给大家讲解到：“孩子们，做什 么事都要找窍门。我们可以用：2+18=20，4+16=20， 6+14=20，…，一直到 8+12=20，那么中间就还剩一个 10， 把这几个20 加上，再加一个我们先前没有算的 10，答案是不 是出来了呢？” 大家恍然大悟。 同学们，你会算吗？试着算一算。
2+4+6+8+10+12+14+16+18= 90
解析：利用巧算中的常用方法——凑整，我们可 以用2+18=20，4+16=20，6+14=20，8+12=20，那 么原来这个式子的和为：20+20+20+20+10=90
第8讲 巧妙求和(一)
第 2 讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第 n 项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练练习 1：练习 2：2、求 1，4，7，10……这个等差数列的第 30 项。
【例题 3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习 3：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题 4】求等差数列 2，4，6，…，48，50 的和。
练习 4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题 5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习 5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业2、求等差数列 2，6，10，14……的第 100 项。
3、100+99+98+…+61+604、（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)5、100+95+90+…+15+10+56、4+7+10+13+…+298+301+298+…+13+10+7+47、 2013-2012+2011-2010+…+3-2+18、影剧院有座位若干排，第一排有 25 个座位，以后每一排比前一排多 3 个座。
巧妙求和讲义及综合练习
第一讲巧妙求和●思维训练▶经典例题1有一个数列，4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？▶经典例题2有一等差数列，3，7，11，15，…，这个等差数列的第100项是多少？▶经典例题3有这样的一列数，1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。
▶经典例题4计算：1+2+…+8+9+10+9+8+…+2+1▶经典例题5官华读一本书用了25天，每天读的页数都比前一天多2页，最后一天读了70页恰好读完，这本书共有多少页？心怡练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是60，但她重复计算了其中一个数字，问：心怡重复计算了哪个数字？▶经典例题7100把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？▶经典例题8黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，11，…，擦去其中的一个奇数后，剩下的所有奇数的和是2006，那么擦去的奇数是多少？1．在等差数列6，13，20，27，…中从左向右数，第几个数是1994？2．求等差数列1，4，7，10，…的第51个数是多少？3．计算：1+2+3+4+…+49+504．①计算：14+15+16+…+45+46②计算：4+6+…+1998+20005．计算：3+6+9+…+20016．计算：（1+3+5+...+2003）－（2+4+6+ (2002)7．计算：1+2+3+4+…+2001+2002+2001+…+3+2+18．丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个，丽丽在这些天中学会了多少个单词？9．小洁练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是81，但她重复计算了其中一个数字，问：小洁重复计算了哪个数字？10．有9把锁的9只钥匙，一只钥匙只能开一把锁，最多要开多少次才能把所有的锁打开？11．黑板上写有从1开始的一些连续奇数：1，3，5，7，9，…；擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的数是多少？12．将100个珠子分别装入若干个盒子中，每盒装的个数互不相同，并且盒盒不空。
第16讲 巧妙求和(二)
第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？练习3：1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
练习4：1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
练习5：1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
三、课后作业1.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
巧妙求和
巧妙求和（二）【专题导引】某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某各等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组的数合理配对，使问题得以顺利解决。
【典型例题】【C】求1～20这20个连续自然数的所有数字之和。
1【试一试】1、求1～50这50个连续自然数的所有数字之和。
2、求3～19连续自然数的全部数字之和。
【C】一把钥匙只能开一把锁。
现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥2匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？【试一试】1、现有8对钥匙和锁混放在一起，不知道哪把钥匙配哪把锁，最多要试多少次就可以把它们全部配成对？2、有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有一颗比这8颗略轻，用一架天平最多称多少次，就可以找到那颗较轻的钢珠？】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的【B1页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？【试一试】1、刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完，这批零件共有多少个？2、胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试【B2多少次？【试一试】1、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？【B】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共3握了多少次手？【试一试】1、学校进行乒乓球赛，每个参赛选手都要和其他所有的选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？2、一次同学聚会中，参加的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
小学四年级数学提高《巧妙求和》
巧妙求和知识：等差数列1．若干数排成一列，称为（）。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为（），最后一项称为（）。
数列中的个数称为（）。
★★2．从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为（），后项与前项的差称为（）。
★★3．项数公式：项数 = (末项 - 首项)÷公差 + 1。
★★★4．通项公式：第n项 = 首项 + (项数 - 1 )×公差。
★★★5．求和公式：总和 = (首项 + 末项)×项数÷ 2。
★★★例1．有一列数4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？跟踪训练1：在等差数列中，首项 = 1，末项 = 39，公差 = 2，这个等差数列共有多少项？跟踪训练2：已知一个等差数列，首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？跟踪训练3：有一个等差数列2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？例2．有一个等差数列3，7，11，15，…，这个等差数列的第100项是多少?跟踪训练1：一个等差数列，首项 = 3，公差 = 2，项数 = 10，它的末项是多少？跟踪训练2：有一个等差数列1，4，7，10，…，这个等差数列的第30项是多少？跟踪训练3：有一个等差数列2，6，10，14，…，这个等差数列的第100项是多少？例3．求等差数列1，2，3，4，5，…，100的和。
跟踪训练1：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
跟踪训练2：计算下面各题。
（1）2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 （2）9 + 18 + 27 + 36 + …+ 261 + 270 （3）6 + 7 + 8 + 9 + … + 75 （4）100 + 99 + 98 + … + 61 + 60例4．如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。
跟踪训练1：如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求它的第11项。
四年级：巧妙求和一
巧妙求和（等差数列）（一）
一、求项数
1、等差数列4，10，16，22，……，52共多
少项？
2、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.
这个等差数列共有多少项？
3、等差数列2，5，8，11，……，101共有多
少项？
4、已知一个等差数列的首项是11，末项是
101，总和是504，这个数列共有多少项？二、求末项
1、已知等差数列3，7，11，15，……，则该等差数列的第100项是多少？
2、一个等差数列的首项是3，公差是2，项数是10，则它的末项是多少？
3、已知等差数列1，4，7，10，……则该等差数列的第30项是多少？
4、已知等差数列2，6，10，14，……，则该等差数列的第100项是多少？
1/ 2
三、求和
1、有这样的一列数1，2，3，4， (99)
100，请求出这列数各项相加的和。
2、计算题
1+2+3+4+……+49+50
6+7+8+9+……+74+75
100+99+98+……+61+60
2+4+6+……+48+50
2+6+10+14+18+22
5+10+15+20+……+195+200
9+18+27+36+……+261+270
四、求规定第几项
1、如果一个等差数列的第4项为21，第6
项为33，那么它的第8项是多少？
2、如果一个等差数列的第5项是19，第8
项是61，那么它的第11项是多少？
3、如果一个等差数列的第3项是10，第7
项是26，那么它的第12项是多少？
4、如果一个等差数列的第2项是10，第6
项是18，那么它的第110项是多少？
2/ 2。
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巧妙求和
【知识综述】
按照一定次序排列的一列数叫数列。
如:①3,9,27,81,243,…②1,2,3,4,5…数列中的每一个数叫作一项,第一项叫首项,最后一项叫末项。
如果一列数中,每一项与它前面一项的差都相等,这个数列叫作等差数列,这个差叫作这个数列的公差,数列中数的个数叫作项数.
有关等差数列,我们通常会用到下列三个公式
an=a1+(n-1)d(其中an是第n项,a1是首项,m是项数,d是公差)
n=(an-a1)÷ad+1
Sn=(a1+an)×n÷2或Sn=ma1+n×(n-1)÷2×d
【典型例题1】
数列1,4,7,10,…的第20项是多少?
思路点拨：由数列的前几项可以看出,这个数列是等差数列,首项a1是1,公差d是4-1=3,根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可以求得第20项.
1+(20-1)×(4-1)
=1+19×(4-1)
=58
小试身手：
1.数列2,7,12,17,22,…的第100项是多少?
2.数列1,5,9,1
3.17,…的第25项是多少?
3.某阶梯教室有20排座位,第一排有10个座位,其后每一排都比与它相邻的前一排多2个座位。
这个阶梯教室最后一排有多少个座位?
【典型例题2】
下列等差数列各有多少项?
(1)5,9,13.17,…,89,93
(2)2,5,8,11.…98,101
思路点拨:在(1)中,首项a1是5,末项an是93,公差d是9-5=4,所以项数n可以根据公式n=(an-a1)÷d+1求得。
(93-5)÷(9-5)+1
=88÷4+1
=23(项)
在(2)中,首项a1是2,末项an是101,公差d是5-2=3,所以项数n可以根据公式n=(an-a1)÷d+1求得。
(101-2)÷(5-2)+1
=99+3+1
=34(项)
小试身手：
下列各等差数列分别有多少项?
1.9,18,27,36,…261,270
2.5,10,15,20,…,85,90
3.4,7,10,13,…,151,154
【典型例题3】
求1+2+3+……+99+100的和是多少。
思路点拨：求上面算式的和,其实就是求一个等差数列的和,而在这个等差数列中,首项是1,末项是100,公差是1,从1到100共有100个数,项数是100,所以这个算式的和可用等差数列求和公式计算.
原式=(1+100)×100÷2
=101×100÷2
=5050
小试身手：
快速算出下列各式的结果。
1.1+2+3+4+5+6+7+8+…十+50
2.1+2+3+4+5+6+7+8+…+78+79
3.101+102+103+104+105+…+200
【典型例题4】
计算:1+3+5+…+99
思路点拨：计算上面的算式,其实就是求一个等差数列的和，而这个等差数列的首项是1,末项是99,公差是2,但未知项数,所以求项数成为求和的关键。
运用求项数公式,求出项数之后再求和。
项数:(99-1)÷2+1
=98÷2+1
=50
原式=(1+99)×50÷2
=100×50÷2
=2500
小试身手：
1.快速算出下列各式的结果。
(1)42+44+46+48+50+…+76
(2)39+42+45+48+…+84
(3)(2+4+6+8+…+98+100)-(1+3+5+7+……+97+99)
2.一批零件,张师傅原计划每天做50个,因时间问题,他以后每天都比前一天多做5个,最后一天做了75个正好做完。
问:这批零件共有数成多少个？
3.小丽练习写毛笔字,第一天写了5个,第二天写了9个,以后每天都比前一天多写4个。
当她在某一天中写了41个字时,这一天是她第几天练习写毛笔字?
【典型例题5】
计算:91+92+93+94+95+96+97
思路点拨1：这几个加数是公差为1的等差数列,要求其和可用等差数列列求和公式直接计算
91+92+93+94+95+96+97
=(91+97)×7÷2
=188×7÷2
=658
思路点拨2：因这几个加数都很接近100,我们把这7个加数看成7个100相加,这样多加了9+8+7+6+5+4+3,最后用700减去多加的即可。
91+92+93+94+95+96+97
=100×7-(9+8+7+6+5+4+3)
=700-42
=658
思路点拨3：这几个加数是7个连续的自然数,94在最中间,第一个加数91比比最后一个加数97少6,把6的一半分给91,使91与97都变成94,同样,92与96,93与95都可变成94,这样7个加数都变成了94,求出7个94的和即可。
91+92+93+94+95+96+97
=94×7
=658
小试身手：
1.994+995+996+997+998
2.1993+1994+1995+1996+1997+1998+1999
3.395+396+397+398+399
4.512+514+516+518+520
【综合练习】
1计算
1+2+3+4+…·+49+50+49+……+3+2+1
2计算:(1)16+20+24+…+124
(2)45+50+55+60+65+70+75+80+85
3数列6,11,16,21,…,251的第16项是多少？
4请你算一算数列3,5,7,9,11,…,2011,2013,2015有多少项。
5.一个等差数列的首项是1,末项为31,公差为2,这个等差列的和是多少？
6.一个剧场有若干排座位,第一排有26个座位,往后每排都比它前一排多1个座位,最后一排有45个座位。
问:这个剧场共有多少个座位?
7.用多种方法计算：594+595+596+597+598+599
8.求和:1+2-3+4+5-6+7+8-9+…:+97+98-99。