18版高中数学常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词学案新人教A版2_11803204131

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等. 梳理(1)概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”.(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.知识点二存在量词、特称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.梳理(1)概念短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.(2)表示特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.(3)特称命题真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.类型一全称命题与特称命题的判断命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0).解(1)全称命题：①对所有的自然数x，2x是偶数；②对一切的自然数x，2x是偶数；③对每一个自然数x，2x是偶数；④任选一个自然数x，2x是偶数；⑤凡自然数x，都有2x是偶数.(2)特称命题：①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数.反思与感悟全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”)答案特称解析依据特称命题的构成易得.命题角度2 全称命题与特称命题的识别 例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题. (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题.反思与感悟 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题.(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径； (3)有的函数既是奇函数又是增函数； (4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1.(3)是特称命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数. (4)是特称命题，∃n 0∈N *，|0n a －1|<0.01，其中0n a ＝n 0n 0＋1.类型二 全称命题与特称命题的真假的判断 例3 判断下列命题的真假.(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数； (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (4)存在一个实数x 0，使得等式x 20＋x 0＋8＝0成立； (5)∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＝0； (6)∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2＝0. 解 (1)真命题.(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数.(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示. (4)假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.(5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立. (6)真命题，x 0＝2或x 0＝1，都能使等式x 20－3x 0＋2＝0成立.反思与感悟 要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练3 判断下列命题的真假： (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)∃x 0∈R ，2x 20＋x 0＋1<0； (3)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是特称命题.∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题. (3)该命题是全称命题.∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题. 类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围 例4 已知下列命题p (x )为真命题，求x 的取值范围. (1)命题p (x )：x ＋1>x ； (2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0； (3)命题p (x )：sin x >cos x .解 (1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R . (2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0， ∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4(k ∈Z ).反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围.解由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2<a<2，由方程x2＋2ax＋2＝0无实根，可知a2－2<0，即a2<2，即－2<a<2，由方程x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16<0，即a2<16，即－4<a<4，∴当a2<2，即－2<a<2时，三个方程均无实根.∴当a≤－2或a≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根.故a的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞).1.下列命题中，不是全称命题的是( )A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析D选项是特称命题.2.命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2，0)，则( )A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真答案 A解析∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，故选A.3.已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )A.a≥0B.a<0C.b≤0D.b>1答案 B解析函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：由图可知f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.4.特称命题“∃x 0∈R ，|x 0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”) 答案 假解析 不存在任何实数，使得|x |＋2≤0，所以是假命题.5.若命题“∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是________. 答案 [2，6]解析 由已知得“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是[2，6].1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.2判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假.3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题p (x 0)为真，否则命题为假.40分钟课时作业一、选择题1.下列命题中为真命题的是( ) A.∃x 0∈R ，x 20＋1<0 B.∃x 0∈Z ，3x 0＋1是整数 C.∀x ∈R ，|x |>3 D.∀x ∈Q ，x 2∈Z答案 B2.已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧(綈q )C.(綈p )∧qD.p ∧(綈q ) 答案 D解析 p 为真命题，q 为假命题，故綈p 为假命题，綈q 为真命题.从而p ∧q 为假，(綈p )∧(綈q )为假，(綈p )∧q 为假，p ∧(綈q )为真，故选D.3.已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－1，3)C.(－3，＋∞)D.(－3，1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，则－1<a <3.故选B.4.已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.[－16，0] B.(－16，0) C.[－4，0] D.(－4，0) 答案 A解析 由题意可知“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题， ∴Δ＝a 2＋16a ≤0，解得－16≤a ≤0，故选A. 5.下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x ，使得x 2－x ＋1是整数. 其中是真命题的为( )A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④ 答案 C解析 ①所有无理数都是实数，为真命题； ②显然为真命题； ③显然不成立，为假命题；④取x ＝1，能使x 2－x ＋1＝1是整数，为真命题. 6.已知命题p ：∃x 0∈R ，20x >3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)，tan x >sin x ，则下列是真命题的是( )A.(綈p )∧qB.(綈p )∨(綈q )C.p ∧(綈q )D.p ∨(綈q ) 答案 D解析 当x ＝－1时，2－1>3－1，所以p 为真命题；当x ∈(0，π2)时，tan x －sin x ＝sin x (1－cos x )cos x >0，所以q 为真命题，所以p ∨(綈q )是真命题，故选D.二、填空题7.已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是_______. 答案 (－∞，－1)解析 由题意得Δ＝4＋4a <0，解得a <－1. 8.下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是______，既是特称命题又是真命题的是______.(填上所有满足要求的序号)答案①②③④⑤解析①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.9.用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0，符号表示为____________.(2)存在一对实数x0，y0，使2x0＋3y0＋3>0成立，符号表示为____________________.答案(1)∀x∈R，有x2≥0(2)∃x0，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立解析由题意，可表示为(1)∀x∈R，有x2≥0.(2)∃x0，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立.10.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.答案[e，4]解析由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题. 因为x∈[0，1]，所以e x∈[1，e]，所以a≥e；∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈[e，4].三、解答题11.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有惟一解；(3)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.解(1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题.(2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有惟一解”，是假命题.(3)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题.12.已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.解由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.13.若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1，1].。