2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用理(重点高中)

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2019版高考数学(理)一轮复习：函数模型及其应用含解析

课时分层作业十二函数模型及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( )A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2【解析】选 B.把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100【解析】选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( )A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选C.设利润为f(x)(万元),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150.则生产者不亏本时的最低产量为150台.4.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是 ( )A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60,将c=60代入=15,得A=16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,。

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十)函数y=Asin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单应用理(重点

课时跟踪检测（二十）函数y=A sin (ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 3.(2018·洛阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D 由图象可知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，故排除A 、C ；把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．4.(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 解析：选 B 将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．5．将函数f (x )＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8解析：选 A 易得g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π≤2x －π3≤2k π，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即函数g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．当k ＝0时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，当k ＝1时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.又函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a 3≤π6，2π3≤2a ＜7π6，解得π3≤a ≤π2. 6．(2018·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝____________. 解析：由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6(经检验满足题意)．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 8.(2018·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.答案： 59.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0＜ω＜1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求ω的值，并求出函数f (x )的增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z)，所以ω＝－3k ＋12(k ∈Z)，因为0＜ω＜1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：x ＋π6－5π6－π2 0 π2 π 7π6 x －π －2π3－π6π3 5π6 π y－1－2 02－110．(2018·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝sin2错误!)＝sin 错误!＝cos 2x 的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x 的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间π2，13π4上的图象，及直线y ＝a .根据图象知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.B 级——拔高题目稳做准做1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.32C.22D ．1解析：选B 由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|＜π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 2．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析：选B 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12，令－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z)，故选B.3.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 4.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝m cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m >0)，若对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[1,2]．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数g (x )＝m cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2m ＋3(m >0)的值域为⎣⎢⎡ －3m2＋3，]－m ＋3.∵对∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∃x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3m 2＋3≥1，－m ＋3≤2，解得1≤m ≤43，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，435.已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2，故7π6＜πx 0＋π6＜13π6. 由f (x 0)＝32，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 6.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD 是函数y ＝k x (k ＞0)图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin ()ωx ＋φA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]的图象，图象的最高点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，儿童游乐园的面积最大？解：(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象可知，A ＝833，ω＝2πT ＝2π48－5＝π6，将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833代入y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ中，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，故5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π－π3(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3.故y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3，x ∈[4,8]．(2)在y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3中，令x ＝4，得y ＝4，故D (4,4)，从而得OD 对应的函数为y ＝2x (0≤x ≤4)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 24t (0≤t ≤4)．因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433，当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，433时，S ′＞0，S 单调递增；当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫433，4时，S ′＜0，S 单调递减．所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，433.。

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题12函数模型及其应用(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)三种函数模型的性质2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、[2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A【变式探究】(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案(1)D (2)B解析(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )答案 D解析依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元答案 C【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况答案 (1)C (2)B解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg2，所以lg(1＋x )＝lg240≈0.0075，所以100.0075＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1. 1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案 9【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21 答案 (1)5 (2)A解析 (1)设经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21. 5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A. 高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104，所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x－16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5760.综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万元。

近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标12函数模型及其应用理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标12 函数模型及其应用理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标12 函数模型及其应用理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时达标第12讲［解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台,第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是（C)A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得,应选C．2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少（B)A．9天B．10天C．11天D．12天解析设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1）＋6(x－2）＋…＋6×1］＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y＝错误!＋1 800×6＝错误!＋9x＋10 809≥12错误!＋10 809＝10 989，当且仅当9x＝错误!,即x＝10时取等号．即该厂每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少,故选B．3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p％，超过280万元的部分按（p＋2)％征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0。

高考数学大一轮复习函数模型及其应用课时跟踪检测(十二)理(含解析)

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用一、选择题1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元B．105元C．106元D．108元2．(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.990.010.98 2.00则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A．① B．①②C．①③ D．①②③4．(2015·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A．3 000元 B．3 300元C．3 500元 D．4 000元5．(2015·青岛模拟)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)()A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%6．(2015·深圳二模)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高二、填空题7．某人根据经验绘制了2014年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．三、解答题11．(2015·湖北鄂州月考)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．12．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？答案1．选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108，故选D.2．选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4．选B 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x ) ≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B.5．选C 设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.6．选A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝mm ＋8a ，因为y 21 －y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．7．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19098．解析：由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x >0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．答案：49．七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：2010．解析：当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，故e －8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min 容器内沙子只有开始时的八分之一．答案：1611．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米． 12．解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. 即每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a (1－x )m ＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1210n≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年．。

高三数学(理)一轮总复习课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用 Word版含解析

课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快．已知某种产品今年产量为件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长，则年后的产量为件．解析：×(＋)＝.答案：．(·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每千米平均耗油量为升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了升油，说明这段时间总耗油量为升，而行驶的路程为－＝(千米)，故每千米平均耗油量为÷＝(升)．答案：．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度(单位：)和燃料的质量(单位：)、火箭(除燃料外)的质量(单位：)的函数关系式为＝.当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可以达到 .解析：由＝，得＋＝，所以＝－.答案：－.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润(万元)与营运年数的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为．解析：由题图，易求得与的关系式为＝－(－)＋，则＝－≤－＝，∴有最大值，此时＝.答案：．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了次涨停(每次上涨)，又经历了次跌停(每次下跌)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为．①略有盈利；②略有亏损；③没有盈利也没有亏损；④无法判断盈亏情况．解析：设该股民购这只股票的价格为，则经历次涨停后的价格为(＋)＝×，经历次跌停后的价格为××(－)＝××＝·<，故该股民这只股票略有亏损．答案：②二保高考，全练题型做到高考达标．某家具的标价为元，若降价以九折出售(即优惠)，仍可获利(相对进货价)，则该家具的进货价是．解析：设进货价为元，由题意知×(－)－＝·，解得＝.答案：元．某商店已按每件元的成本购进某商品件，根据市场预测，销售价为每件元时可全部售完，定价每提高元时销售量就减少件，若要获得最大利润，销售价应定为每件元．解析：设售价提高元，利润为元，则依题意得＝( －)×(＋)＝－＋＋＝－(－)＋.故当＝时，＝，此时售价为每件元．答案：．(·南京外国语学校检测)设某公司原有员工人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元(为正常数)．公司决定从原有员工中分流(<<，∈*)人去进行新开发的产品的生产．分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是．解析：由题意，分流前每年创造的产值为(万元)，分流人后，每年创造的产值为(－)(＋)，则由(\\(<<，∈*，,(－((＋(≥，))解得<≤.因为∈*，所以的最大值为.答案：．(·苏州调研)世界人口在过去年内翻了一番，则每年人口平均增长率是．(参考数据≈≈)解析：设每年人口平均增长率为，则(＋)＝，两边取以为底的对数，则(＋)＝，所以(＋)＝)≈，所以＝＋，得＋＝，所以＝.答案：．某种动物繁殖量(只)与时间(年)的关系为＝(＋)，设这种动物第年有只，到第年它们将发展到只．解析：由题意，＝(＋)，∴＝，。

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用

数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用结束
5．解析：设每年人口平均增长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边取以 10
为底的对数，则 40 lg(1＋x)＝lg 2，所以 lg(1＋x)＝l4g02≈0.007 5，所以 100.007 5＝1＋x，得 1＋x＝1.017，所以 x＝1.7%. 答案：C 6．解析：设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m，甲食堂的营业额每月增加 a(a＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1＝m＋ 4a，乙食堂的营业额 y2＝m×(1＋x)4＝ mm＋8a，因为 y21 －y22＝ (m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2＞0，所以 y1＞y2，故本年 5 月份甲食堂的营业额较高．
1 2
n 10
≥12
3 2
，1n0≤32，
解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
数学
谢谢观看
即12
m 10
＝12
1 2
，1m0＝12，
数学
质量铸就品牌品质赢得未来
课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用结束
解得 m＝5.故到今年为止，已砍伐了 5 年．
(3)设从今年开始，最多还能砍伐 n 年，
则 n 年后剩余面积为 22a(1－x)n.
令 22a(1－x)n≥14a，
即(1－x)n≥ 42，
只有开始时的八分之一．
答案：16
11．解：(1)作 PQ⊥AF 于 Q，
Hale Waihona Puke 所以 PQ＝(8－y)米，
EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，

2019版高考数学(理)一轮讲义：第12讲函数模型及其应用 Word版含答案

第12讲函数模型及其应用1．三种函数模型性质比较2．几种常见的函数模型3．解决函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际意义．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(×)(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√)(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)解析(1)错误．当x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2x>x2，当x∈(2,4)时，x2>2x.(2)正确．由两者的图象易知．(3)错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·b x＋c(a>0，b>1)．(4)正确．根据指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长特点易知．2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(B)A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)解析由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表.则x，y最适合的函数的是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A项；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B项，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D．4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的(B)解析由题意知h ＝20－5t (0≤t ≤4)，故选B ．5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( B )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．一二次函数模型在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．【例1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．二指数函数、对数函数模型一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制．【例2】 (1)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( C )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时(2)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1．12≈0.05，lg 1．3≈0.11，lg 2≈0.30)( B )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析 (1)由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k ＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝⎛⎭⎫4819212 ＝⎝⎛⎭⎫1412 ＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24.(2)设第n (b ∈N *)年该公司年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n －1>200，则lg[130(1＋12%)n －1]>lg 200，∴lg 130＋(n －1)lg 1．12>lg 2＋2， ∴2＋lg 1．3＋(n －1)lg 1．12>lg 2＋2，∴0.11＋(n －1)×0.05>0.30，解得n >245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年，故选B ．三分段函数模型(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【例3】已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产品x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解析 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x ·2.7x ＝38，当且仅当1 0003x＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．四函数y ＝x ＋ax(a >0)模型函数y ＝x ＋ax (a >0)在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减，在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增(函数单调性定义法、导数方法均可证明)，如图所示，函数图象无限趋近于直线y＝x，但永不相交．当a在函数的定义域内时，可以使用基本不等式求最小值，当a不在函数的定义域内时，根据函数的单调性求最小值．【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析(1)由已知得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2(6x＋10)·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．1．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(C)A．11 000元B．22 000元C．33 000元D．40 000元解析设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，所以当x＝60时，有最大利润33 000元，故选C．2．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为(B)A．3 000元B．3 800元C．3 818元D．5 600元解析根据题意，若稿费为4 000元，则纳税部分是3 200元，纳税3 200×14%＝448(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4 000元．根据题意可知其稿费应该为420÷14%＋800＝3 800(元)，故选B．3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6解析由题图，易求得y 与x 的关系式为y ＝－(x －6)2＋11，yx ＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤12－10＝2，∴yx有最大值2，此时x ＝5.4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析 (1)设旅行团人数为x 人，由题意得0<x ≤75，需交费用为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0<x ≤30，900－10(x －30)，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设利润为W ，则W ＝xy －15 000＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，(1 200－10x )x －15 000，30<x ≤75，当x ∈(30,75]时，W ＝－10(x －60)2＋21 000≤21 000， ∴每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21 000元．易错点函数应用问题错因分析：(1)题意理解偏差，数学模型应用不准确；(2)数学计算不准，回答问题不合实际含义．【例1】已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解析 (1)当0＜x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x ＞40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0＜x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x ＞40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6 104万美元．【跟踪训练1】已知某厂固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为2万元，设生产该产品x (x ∈N ，单位：百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋8x ，0≤x ≤7，24.5＋x ，x >7，假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，生产数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解析依题意，g (x )＝2x ＋3，设利润为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －3，0≤x ≤7，21.5－x ，x >7.(1)要使工厂有盈利，则有f (x )>0，当0≤x ≤7时，f (x )＝－0.5x 2＋6x －3>0，即x 2－12x ＋6<0⇔6－30<x <6＋30，∴6－30<x ≤7；当x >7时，21．5－x >0，∴7<x <21．5，又x ∈N ，∴1≤x ≤21，故产品数量应控制在大于等于100台小于等于2 100台的范围内． (2)当1≤x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋15，f (x )max ＝f (6)＝15；当8≤x ≤21时，f (x )＝21．5－x ，f (x )max ＝f (8)＝13.5，故当工厂生产600台产品时，盈利最大．课时达标第12讲[解密考纲]本考点考查函数在实际生活中的应用等．在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( C )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，应选C ．2．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少( B )A ．9天B ．10天C ．11天D ．12天解析设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝9x (x ＋1)＋900x ＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809≥2900x·9x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．即该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少，故选B ．3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( D )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元解析设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题意有，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320(万元)．4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1．017)( C )A ．1．5%B ．1．6%C ．1．7%D ．1．8%解析设每年世界人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1．017，所以x ＝1．7%.5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( A )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析由题意，设租金定为(3 000＋50x )元(0≤x ≤70，x ∈N )．则利润为y ，y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B ．二、填空题7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为__180__.解析依题意知：20－x x ＝y －824－y ，即x ＝54(24－y )，y ∈[8,24)，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54(－y 2＋24y )，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.8．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为__2_500_m 2__(围墙厚度不计)．解析设矩形场地的宽度为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋ 2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2.9．(2018·山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据关系如下表.根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ，利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__. (2)最低种植成本是__80__元/100 kg. 解析根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c 且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120.代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.三、解答题10．某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低34x 元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x 万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)．(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．解析 (1)依题意，产品升级后，每件的成本为⎝⎛⎭⎫1 000－3x 4元，利润为⎝⎛⎭⎫200＋3x4元，年销售量为⎝⎛⎭⎫1－2x 万件，纯利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫200＋3x 4⎝⎛⎭⎫1－2x －x ＝198.5－400x －x4. (2)f (x )＝198.5－400x －x4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5，当且仅当400x ＝x4，即x ＝40时等号成立．所以f (x )取最大值时的x 的值为40.11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1．80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解析 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1．8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4<5x 时， y ＝4×1．8＋3x ×1．8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1．8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45<x ≤43，24x －9.6，x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45<26.4；当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43<26.4；当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1．5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，付费S 1＝4×1．8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1．8＋0.5×3＝8.70(元)．12．(2018·湖北重点中学起点考试)A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x km 处建一核电站为A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距离A 城多远处，才能使供电总费用y 最少？解析 (1)由题意得，x 的取值范围是{x |10≤x ≤90}． (2)由题易知y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90)． (3)因为y ＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003，100故核电站建在距A城3km处，能使供电总费用y最小．。

2019年高考数学文科一轮复习课时作业 12函数模型及其

距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得
效，则第二次服药最迟的时间应为()
．中午12：00
．下午6：00
时，设y＝k1x，把(4,320)
，则其边长x为______(m)
设矩形花园的宽为y m，则
x 40＝
＝－x2＋40x＝－(
11．(2018·广东汕头模拟)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是() A．①B．①②
C．①③D．①②③
解析：由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
答案：A
12．(2018·贵州省适应性考试)
某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()
解析：若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的。

2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【12】函数模型及其应用(含答案)

课时跟踪检测(十二) 函数模型及其应用第Ⅰ组：全员必做题1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( ) A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋1003．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A．①B．①②C．①③D．①②③4.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A．上午10：00 B．中午12：00C．下午4：00 D．下午6：005．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是( )A．7层 B．8层 C．9层 D．10层6.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．7.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．9．(2018·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．第Ⅱ组：重点选做题1．(2018·威海高三期末)对于函数f(x)，如果存在锐角θ，使得f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f(x)具备角θ的旋转性，下列函数具备角π4的旋转性的是( )A ．y ＝xB ．y ＝ln xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．y ＝x 22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N *)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．3．选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4．选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x.当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b.把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x.∴y ＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x≤4，400－20x ，4<x≤20.由y≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤4，80x≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x≤20，400－20x≥240.解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.5．选C 设所停的楼层为n 层，则2≤n≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n)＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝－－2＋－＋－2＝32n 2－532n ＋157，其对称轴为n ＝536∈(8,9)，又n ∈N *且n 离9的距离较近，故选C.6．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②7．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b)≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm,20 cm8．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t ＝1＋x%，则25t 2＋25t －66≥0，解得t≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x%≥65，解得x≥20.答案：209．解：(1)y 关于x 的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x≤4，4x －8，4<x≤6，6x －20，x>6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12；当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%. 第Ⅱ组：重点选做题1．选C 函数f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角π4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f(x)的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C.2．解析：当x≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x>20时，y ＝260－100－x ＝160－x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x≤20，160－x ，x>20.(x ∈N *)．当0<x≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x>20时，160－x<140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x≤20，160－x ，x>20.(x ∈N *) 16。

2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：2-9函数

[课时跟踪检测][基础达标]1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件解析：设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)．∴当x＝4时，y max＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.答案：B2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.答案：D3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示．则杯子的形状是()解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t 1]上升慢，在[t 1，t 2]上升快，故选A.答案：A4．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．答案：C5．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，100.007 5≈1.017)( )A ．1.5%B ．1.6%C ．1.7%D ．1.8%解析：设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.答案：C6．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：根据题意知12＝e5n，令18a＝a ent，即18＝ent，因为12＝e5n，故18＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案：D7．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①②B．①④C．②③D．②④解析：大包装300 g 8.4元，相当于100 g 2.8元<3元，故买大包装实惠，②对；卖1大包装盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3元，卖3小包装盈利3×(3－0.5－1.8)＝2.1元，2．3>2.1，④对，故选D.答案：D8．某商场在2018年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价为1 500元，则购买该商品实际付款额为1 500×0.8－200＝1 000元．设购买某商品的实际折扣率＝实际付款额商品标价×100%，某人欲购买标价为2 700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为( )A ．55%B ．65%C ．75%D ．80%解析：当购买标价为2 700元的商品时，实际应付2 700×0.8－400＝1 760，故实际折扣率为1 7602 700×100%≈65%.故选B.答案：B9．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：4010．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知，20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180. ∴当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：18011．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[能力提升]1．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2004年8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在m 年后还清，若银行按年利息为p 的复利计息(复利即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息)，则该学生家长每年的偿还金额是( )A.amB.ap (1＋p )m ＋1(1＋p )m ＋1－1C.ap (1＋p )m ＋1p m －1D.ap (1＋p )m (1＋p )m －1解析：设每年偿还的金额都是x 元，则a (1＋p )m ＝x ＋x (1＋p )＋x (1＋p )2＋…＋x (1＋p )m －1，∴a (1＋p )m ＝x ·1－(1＋p )m1－(1＋p )，解得x ＝ap (1＋p )m(1＋p )m －1.故选D.答案：D2．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤4，7－12x ，4＜x ≤14.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．解：(1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3，∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧968－x －4，0≤x ≤4，28－2x ，4＜x ≤14，当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x ＜8，所以0≤x ≤4.当4＜x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4＜x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟． (3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5(克/升)，又5＞4，所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．。