2016-2017学年内蒙古包头三十三中高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
内蒙古包头九中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年内蒙古包头九中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知椭圆方程2x2+3y2=1，则它的长轴长是（）A．B．1 C．D．3．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（）A．在处取得最大值B．在处取得最大值C．在处取得最大值D．无最大值4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．015．两个相关变量满足如表关系：根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.56．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（）A．11（2）B．100（2）C．101（2）D．110（2）7．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（）A．B．C．D．8．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x B．x2=﹣8yC．y2=﹣8x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣8y9．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．11．已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣112．设F1，F为椭圆C1： +=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A．[，]B．[，++∞） C．（1，4]D．[，4]二、填空题（每小题5分，共30分）13．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．14．F1、F2是椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则•的最大值是．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、有焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为．16．F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则=．17．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，求△AOB的面积．18．下列说法正确的是①已知定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=3的动点P的轨迹不存在；②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，则动点P的轨迹为抛物线；③命题“∀x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“∃x0≥0，使得”；④已知定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4的动点P的轨迹为线段F1F2；⑤表示焦点在x轴上的双曲线．三、解答题（每小题12分，共60分）19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．20．一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n个学生的成绩进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；（3）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学参加志愿者活动，求这3名同学中恰有两名同学得分在[90，100]内的概率．21．如图，设P是圆x2+y2=6上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）若点Q（1，1）恰为直线l与曲线C相交弦的中点，试确定直线l的方程；（3）直线与曲线C相交于E、G两点，F、H为曲线C上两点，若四边形EFGH对角线相互垂直，求S EFGH的最大值．22．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．2016-2017学年内蒙古包头九中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．2．已知椭圆方程2x2+3y2=1，则它的长轴长是（）A．B．1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，将椭圆方程变形可得： +=1，分析可得a的值，又由椭圆的几何性质可得长轴长2a，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆方程2x2+3y2=1，变形可得： +=1，其中a==，则它的长轴长2a=；故选：A．3．若x、y满足，则对于z=2x﹣y（）A．在处取得最大值B．在处取得最大值C．在处取得最大值D．无最大值【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，核对四个选项得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．故选：C．4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【考点】简单随机抽样．【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．5．两个相关变量满足如表关系：根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.5【考点】线性回归方程．【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．【解答】解：=，∴=9.4×4+9.2=46.8．设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．解得a=39．故选C．6．执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（）A．11（2）B．100（2）C．101（2）D．110（2）【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体：n=1，满足继续循环的条件，S=；第二次执行循环体：n=2，满足继续循环的条件，S=；第三次执行循环体：n=3，满足继续循环的条件，S=；第四次执行循环体：n=4，满足继续循环的条件，S=；第五次执行循环体：n=5，不满足继续循环的条件，故输出n值为5，=101（2），∵5（10）故选：C7．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形并求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．【解答】解：如图，设椭圆方程为．∵△ABF2周长为，∴4a=，得a=．又，∴c=1．则b2=a2﹣c2=2．∴椭圆C的方程为：．故选：B．8．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣x B．x2=﹣8yC．y2=﹣8x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=﹣8y【考点】抛物线的标准方程．【分析】设抛物线方程分别为y2=mx，或x2=ny，代入点（﹣4，﹣2），解方程，即可得到m，n．进而得到抛物线方程．【解答】解：设抛物线方程为y2=mx，代入点（﹣4，﹣2）可得，4=﹣4m，解得，m=﹣1，则抛物线方程为y2=﹣x，设抛物线方程为x2=ny，代入点（﹣4，﹣2）可得，16=﹣2n，解得，n=﹣8，则抛物线方程为x2=﹣8y，故抛物线方程为y2=﹣x，或x2=﹣8y．故选：D．9．是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx ﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．【解答】解：把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．故选：A．10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的焦点，再根据焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线的准线方程为y=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为=1．故选A．11．已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】作图，化点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1，从而求最小值．【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选D．12．设F1，F为椭圆C1： +=1，（a1＞b1＞0）与双曲线C2的公共左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率e∈[，]，则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A．[，]B．[，++∞） C．（1，4]D．[，4]【考点】双曲线的简单性质．【分析】如图所示，设双曲线C2的离心率为e1，椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出双曲线C2的离心率的取值范围．【解答】解：如图所示，设双曲线C2的离心率为e1．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，∴﹣2=，∵e∈[，]，∴∈[，]，∴∈[，]．∴e1∈[，4]．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）13．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得，2b=a+c，平方可得4b2=a2+2ac+c2结合b2=a2﹣c2可得关于a，c的二次方程，然后由及0＜e＜1可求【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列∴2b=a+c∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：14．F1、F2是椭圆+y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则•的最大值是1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用参数方程，设出点P的坐标，求出•的解析式，利用三角函数求出最大值．【解答】解：在椭圆+y2=1中，a=2，b=1，∴c=；∴焦点F1（﹣，0），F2（，0）；设P满足，θ∈[0，2π）；∴•=（2cosθ+，sinθ）•（2cosθ﹣，sinθ）=（2cosθ+）（2cosθ﹣）+sin2θ=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，当θ=0或π时，•取得最大值为3﹣2=1．故答案为：1．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、有焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为1＜e≤2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．【解答】解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得，∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故答案为：1＜e≤2．16．F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，点M在双曲线上且∠F1MF2=60°，则=4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出|MF1|=m，|MF2|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出mn的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，则，由②﹣①2得mn=16∴△F1MF2的面积S==4，故答案为4．17．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，求△AOB的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义方程求解得出：A（2，2），即直线AF的方程为y=2（x﹣1）．=|OF|•|y A﹣y B|立直线与抛物线的方程B（，﹣），运用S△AOB求解即可．【解答】解：如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（1，0），又|AF|=3，由抛物线定义知：点A到准线x=﹣1的距离为3，∴点A的横坐标为2．将x=2代入y2=4x得y2=8，由图知点A的纵坐标y=2，∴A（2，2），∴直线AF的方程为y=2（x﹣1）．联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B（，﹣），=|OF|•|y A﹣y B|=×1×|2+|=．∴S△AOB18．下列说法正确的是①④①已知定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），则满足||PF1|﹣|PF2||=3的动点P的轨迹不存在；②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，则动点P的轨迹为抛物线；③命题“∀x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“∃x0≥0，使得”；④已知定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4的动点P的轨迹为线段F1F2；⑤表示焦点在x轴上的双曲线．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由构成三角形的条件，两边之差小于第三边，即可判断①；由抛物线的定义，即可判断②；由命题的否定形式，即可判断③；由构成三角形或线段的条件，判断④；讨论m＞0，n＞0或m＜0，n＜0，即可判断⑤．【解答】解：①定点F1（﹣1，0）、F2（1，0），|F1F2|=2，则满足||PF1|﹣|PF2||=3＞2的动点P的轨迹不存在，故①正确；②若动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离，若F在直线l上，可得P的轨迹为过F垂直于l的直线，则动点P的轨迹为抛物线错，故②错误；③命题“∀x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定为“∃x0＜0，使得”故③错误；④定点F1（﹣2，0）、F2（2，0），则满足|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2，故④正确；⑤，当m＞0，n＞0表示焦点在x轴上的双曲线，当m＜0，n＜0表示焦点在y轴上的双曲线，故⑤错误．故答案为：①④．三、解答题（每小题12分，共60分）19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（﹣2，3）．（1）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；（2）若实数m，n满足m2+n2﹣4m﹣14n+45=0，求k=的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出|QC|，即可求|MQ|的最大值和最小值；（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0可化为（x﹣2）2+（y﹣7）2=8，圆心坐标为C（2，7），半径r=2，|QC|==4，|MQ|max=4+2=6，|MQ|min=4=2；（2）由题意，（m，n）是圆C上一点，k表示圆上任意一点与（﹣2，3）连线的斜率，设直线方程为y﹣3=k（x+2），直线与圆C相切时，k取得最值，即=2，∴k=2，∴k的最大值为2+，最小值为2﹣．20．一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n个学生的成绩进行统计．按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（2）求这n名同学成绩的平均数、中位数及众数；（3）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学参加志愿者活动，求这3名同学中恰有两名同学得分在[90，100]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图，结合频率=，能求出样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．（2）由频率分布直方图能求出这n名同学成绩的平均数、中位数及众数．（3）由题意，分数在[80，90）内的有4人，分数在[90，100]内的有2人，成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学参加志愿者活动，利用等可能事件概率计算公式能求出这3名同学中恰有两名同学得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==40，y=÷10=0.005，x==0.025．（2）由频率分布直方图得：这n名同学成绩的平均数：=0.020×10×55+0.025×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=70.5，∵成绩在[50，70）的频率为（0.020+0.025）×10=0.45， 成绩在[70，80）的频率为0.040×10=0.4，∴中位数为：70+=71.25，众数为：=75．（3）由题意，分数在[80，90）内的有：0.01×10×40=4人， 分数在[90，100]内的有：0.005×10×40=2人， ∴成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学参加志愿者活动，基本事件总数N==20，这3名同学中恰有两名同学得分在[90，100]内包含的基本事件个数M==4，∴这3名同学中恰有两名同学得分在[90，100]内的概率p==．21．如图，设P 是圆x 2+y 2=6上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且．（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）若点Q （1，1）恰为直线l 与曲线C 相交弦的中点，试确定直线l 的方程；（3）直线与曲线C 相交于E 、G 两点，F 、H 为曲线C 上两点，若四边形EFGH 对角线相互垂直，求S EFGH 的最大值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设M的坐标为（x，y），由已知得点P的坐标是（x，y），由此能求点M的轨迹C的方程；（2）直线l与曲线C相交弦为ABA（x1，y1），B（x2，y2），代入两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．（3）求出|FH|的最大值，即可求出S EFGH的最大值．【解答】解：（1）由知点M为线段PD的中点，设点M的坐标是（x，y），则点P的坐标是（x，y），∵点P在圆x2+y2=6上，∴x2+2y2=6．…∴曲线C的方程为=1；（2）直线l与曲线C相交弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式相减可得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵弦AB中点为（1，1），∴k AB=﹣．∴直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），解得x+2y﹣3=0．（3）设FH的方程为y=x+b，代入椭圆方程，可得3x2+4bx+2b2﹣6=0，∴|FH|==•，∴b=0，|FH|的最大值为4，直线与曲线C联立，可得，∴|EG|==，∴S EFGH的最大值为．22．已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出B，C的坐标，利用点斜式求得直线l的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据求得y2=4y1，最后联立方程求得y1，y2和p，则抛物线的方程可得．（2）设直线l的方程，AB中点坐标，把直线与抛物线方程联立，利用判别式求得k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2，进而求得x0，利用直线方程求得y0，进而可表示出AB的中垂线的方程，求得其在y轴上的截距，根据k的范围确定b的范围．【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y﹣4．由得2y2﹣（8+p）y+8=0①②∴又∵，∴y2=4y1③由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y．（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）由得：x2﹣4kx﹣16k=0④∴．∴BC的中垂线方程为∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．∴b∈（2，+∞）2017年3月8日。
内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷
内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高一上·福建期末) 若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）A . 115°B . 120°C . 135°D . 150°2. （2分）若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5，那么实数m的值为（）A . 4B . －2C . －4或2D . 4或－23. （2分） (2016高二上·金华期中) 方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为（）．A . 2B .C . －2D . －5. （2分） (2018高二上·临汾月考) 如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（）A . 三棱锥的正视图面积是定值B . 异面直线，所成的角可为C . 异面直线，所成的角为D . 直线与平面所成的角可为6. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b7. （2分）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图像过区域的的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·河北期末) 在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则∥ ；③若直线与平面内的无数条直线垂直，则；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线；A . 3B . 2C . 1D . 010. （2分） (2016高二上·自贡期中) 直线y=mx+（2m+1）恒过一定点，则此点是（）A . （1，2）B . （2，1）C . （﹣2，1）D . （1，﹣2）11. （2分）点M（3，4）到圆上的点的距离的最小值是（）A . 1B . 4C . 5D . 612. （2分） (2019高二上·遵义期中) 如图所示，已知四棱锥的高为3，底面ABCD为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为A .B . 2C .D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·武邑月考) 直线绕其与轴交点旋转90°的直线方程是________．14. （1分） (2018高二上·如东月考) 已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________．15. （1分） (2019高二下·盐城期末) 某学校拟从2名男教师和1名女教师中随机选派2名教师去参加一个教师培训活动，则2名男教师去参加培训的概率是________．16. （1分） (2018高二上·宾阳月考) 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by=0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．三、解答题 (共6题；共80分)17. （10分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．（1）求异面直线MN与BC所成的角；（2）求证：平面AC D⊥平面ABC．18. （15分）在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．19. （15分）已知抛物线x2=8（y+8）与y轴交点为M，动点P，Q在抛物线上滑动，且 =0（1）求PQ中点R的轨迹方程W；（2）点A，B，C，D在W上，A，D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到AB，AC的距离为d1，d2，且d1+d2= |AD|，若△ABC的面积S=48，求点A的坐标．20. （15分）某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A 点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．21. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．22. （15分） (2017高二下·衡水期末) 已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC 恒过定点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共80分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2016-2017学年内蒙古高三(上)期末数学试卷(理科)Word版(解析版)
2016-2017学年内蒙古高三（上）期末试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∣B=（）A．∅B．（2，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）2．（5分）复数（1+i）z=i（ i为虚数单位），则=（）A．﹣B．C．﹣D．i3．（5分）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，=λD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1+λ2=4．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．④已知p、q为两个命题，若“p∢q”为假命题，则“￢p∡￢q”为真命题．其中真命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（5分）已知数列{an }满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣B．﹣5 C．5 D．7．（5分）空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）A．B．C．D．8．（5分）设{an }为公比为q＞1的等比数列，若a2010和a2011是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a 2012+a2013=（）A．18 B．10 C．25 D．99．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2011）+f（2012）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．112．（5分）如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．﹣1 D．1+二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2，则实数a的值为．14．（5分）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为．15．（5分）设向量=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），则向量+与﹣的夹角为．16．（5分）已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a ﹣b）所在平面区域的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点（Ⅰ）求证：AB1∠平面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．19．（12分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如表：已知：xi 2=280，yi2=45309，xiyi=3487（1）求，；（2）纯利润y与每天销售件数x之间线性相关，求出线性回归方程．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）选考题：（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号，满分10分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．2016-2017学年内蒙古高三（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2013•牡丹江一模）设集合A={x|y=log（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∣B=2（）A．∅B．（2，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【分析】分别化简集合A，B，容易计算集合A∣B．（x﹣2）}=（2，+∝），B={x|x2﹣5x+4＜0}=（1，4），【解答】解：∵A={x|y=log2∴A∣B=（2，4）．故选B．【点评】本题主要考查了集合的交运算，是基础题型，较为简单．2．（5分）（2013•牡丹江一模）复数（1+i）z=i（ i为虚数单位），则=（）A．﹣B．C．﹣D．i【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．【解答】解：∵复数（1+i）z=i，∴z===，故=，故选B．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，=λD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1+λ2=【分析】分别对A、B、C、D各个选项判断即可．【解答】解：对于A：，共线不一定同向；对于B：，是非零向量也可以共线；对于C：当=，≠时=λ不成立，故选：D．【点评】本题给出两个向量、，叫我们探求、共线的充要条件，着重考查了零向量的性质和数乘向量的定义等知识，属于基础题．4．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．5．（5分）（2013•牡丹江一模）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．④已知p、q为两个命题，若“p∢q”为假命题，则“￢p∡￢q”为真命题．其中真命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】①特称命题的否定为全称命题；②若p是q的充分不必要条件，则对应的集合满足P⊊Q；③原命题与其逆否命题有相同的真假性，故可判断原命题的真假性；④原命题若是假命题，则其否定为真命题．【解答】解：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故①是假命题；②由于a＞5成立，则a＞2一定成立，而a＞2成立，a＞5不一定成立，故②是假命题；③由于命题“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故③是假命题；④由于“p∢q”的否定是“￢p∡￢q”，故④是真命题．故答案为C．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，属于简单题，我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．6．（5分）（2013•新余二模）已知数列{an }满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣B．﹣5 C．5 D．【分析】数列{an }满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），可得an+1=3an＞0，数列{an}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{an }满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），∴an+1=3an＞0，∴数列{an}是等比数列，公比q=3．又a2+a4+a6=9，∴=a5+a7+a9=33×9=35，则log（a5+a7+a9）==﹣5．故选；B．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2014•文登市三模）空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱选项都正确，故选A．【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．8．（5分）（2013•牡丹江一模）设{an }为公比为q＞1的等比数列，若a2010和a2011是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2012+a2013=（）A．18 B．10 C．25 D．9【分析】根据{an }为公比q＞1的等比数列，若a2010和a2011是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a 2010=，a2011=，从而可确定公比q，进而可得a2012+a2013的值．【解答】解：∵{an }为公比q＞1的等比数列，a2010和a2011是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2010=，a2011=∴q=3∴a2012+a2013==18故选：A．【点评】本题考查根与系数的关系，考查等比数列，确定方程的根是关键．9．（5分）（2016•上海一模）已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．10．（5分）（2016•辽宁校级一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据点P在直线上，得到tanα，利用万能公式和诱导公式化简得出答案．【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，又sin2α+cos2α=1，解得：或，∴=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=（﹣2）××（﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．11．（5分）（2013•牡丹江一模）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对（x+1），则f 于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（﹣2011）+f（2012）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【分析】由题设知函数在[0，+∞）内一个周期T=2，函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）=﹣f（1）+f（0），再由当x∈[0，2）时，（x+1），能求出f（﹣2011）+f（2012）的值．f（x）=log2【解答】解：∵对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），∴函数在[0，+∞）内的一个周期T=2，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）=﹣f（1）+f（0）又当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1f（0）log2（0+1）=0因此f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（1）+f（0）=﹣1+0=﹣1．故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理运用等价转化．12．（5分）（2015•江西一模）如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．﹣1 D．1+【分析】连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c．再利用双曲线的定义，得到2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，即可算出该双曲线的离心率．【解答】解：连结AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∟F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∟AF2F1=∟AF2B=30°，因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，|F2A|=|F1F2|=c．根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，解得c=（+1）a，∴双曲线的离心率为e==+1．故选D．【点评】本题给出以双曲线焦距F1F2为直径的圆交双曲线于A、B两点，在△F2AB是等边三角形的情况下求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2013•牡丹江一模）已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2，则实数a的值为．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=﹣2，所以a=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．14．（5分）（2013•牡丹江一模）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为2π．【分析】如图，将三棱锥放入棱长为的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为，由此算出内切球半径，用公式即可得到该球的表面各．【解答】解：将棱长均为2的三棱锥放入棱长为的正方体，如图∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为，半径r=∴该球的表面积为S=4πr2=2π故答案为：2π【点评】本题给出棱长为2的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．15．（5分）（2016秋•尖山区校级期末）设向量=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），则向量+与﹣的夹角为90°．【分析】由已知向量的坐标求得向量+与﹣的坐标，再结合两向量的数量积为0得答案．【解答】解：∵=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），∴+=（sin15°+cos15°，sin15°+cos15°），﹣=（sin15°﹣cos15°，cos15°﹣sin15°）．∵（+）•（﹣）=sin215°﹣cos215°+cos215°﹣sin215°=0．∴向量+与﹣的夹角为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平面向量的坐标加减法运算，考查由数量积求夹角公式，是基础的计算题．16．（5分）（2013•牡丹江一模）已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积为16 ．【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．【解答】解：令s=a+b，t=a﹣b，则P（a+b，a﹣b）为P（s，t）由s=a+b，t=a﹣b可得 2a=s+t，2b=s﹣t因为a，b是正数，且a+b≤4有，在直角坐标系上画出P（s，t） s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为：=16．故答案为：16．【点评】求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2013•牡丹江一模）已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f （A）的取值范围．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式为 sin（+）+1，故f（x）的周期为4π，由，故f（x）图象的对称中心为．（2）利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得，从而得到的范围，进而得到函数f（A）的取值范围．【解答】解：（1）由，∴f（x）的周期为4π．由，故f（x）图象的对称中心为．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴．∴，故函数f（A）的取值范围是．【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值．18．（12分）（2016•石景山区一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点（Ⅰ）求证：AB1∠平面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明AB1∠平面BDC1；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）根据线面垂直的性质定理，建立方程关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点，又D是AC的中点，∴OD∠AB1，∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∠平面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系如图，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），设=（x，y，z）是平面BDC1的一个法向量，则，令x=1，则=（1，，），则=（0，3，0）是平面ABC的一个法向量，则cos＜，＞===﹣，由题意知二面角C1﹣BD﹣C是锐二面角，∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0），（0≤y≤3）使CP⊥平面BDC1，则，即，即，此时方程组无解，∴假设不成立，即侧棱AA1上是不存在点P，使得CP⊥平面BDC1．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．19．（12分）（2016秋•尖山区校级期末）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如表：已知：xi 2=280，yi2=45309，xiyi=3487（1）求，；（2）纯利润y与每天销售件数x之间线性相关，求出线性回归方程．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）根据题中数据计算、的值；（2）根据公式计算回归系数，写出线性回归方程即可．【解答】解：（1）根据题中数据计算=×（3+4+5+6+7+8+9）=6，=×（66+69+73+81+89+90+91）≈79.86…（6分）（2）根据已知=280，=45 309，x i yi=3 487，利用已知数据可求得==4.75，=﹣=79.86﹣4.75×6=51.36，所以线性回归方程为=4.75x+51.36…（12分）【点评】本题考查了线性回归方程的求法问题，是基础题目．20．（12分）（2015•朝阳区模拟）已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故kPQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2013•牡丹江一模）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【分析】（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1﹣a解g'（x）=0，得x=e a﹣1，得出在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a﹣1≤1，当1＜e a﹣1＜e，当e a﹣1≥e，从而得出g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y），则y=xlnx，…（6分）切线的斜率为lnx+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y=0，…（8分）所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a﹣1，所以，在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1．…（13分）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e﹣ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣e a﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．【点评】本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．选考题：（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号，满分10分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2015•江西二模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，利用根和系数的关系建立方程组求解，等比数列的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．（2015•陕西一模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∤（5，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
内蒙古包头市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版) (1)
一、单选题1．抛物线的准线方程为 24y x =A ． B ．C ．D ．=1x -1y =-1x =1y =【答案】A【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 22y px =2px =-24y x =【详解】，24,24,2y x p p =∴== 抛物线的准线方程为， ∴24y x =2p x =-即，故选A .=1x -【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.2．设，则“”是“”的（ ） x R ∈24x <220x x --<A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出不等式、即可.24x <220x x --<【详解】由可得，由可得 24x <2x <220x x --<12x -<<所以“”是“”的必要而不充分条件 24x <220x x --<故选：B3．直线与圆相切，则的值为（ ） ()1+10a x y ++=2220x y x +-=a A ． B ．C ．D ．1±2±11-【答案】D【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得．【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，22(1)1x y -+=(1,0)，解得．1=1a =-故选：D ．4．已知方程表示椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）22132x y k k +=+-A ． B ．113,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 113,,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．()2,∞+(),3-∞-【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.k 【详解】由于方程表示椭圆，22132x y k k+=+-所以. 3011203,,22232k k k k k+>⎧⎪⎛⎫⎛⎫->⇒∈--⋃-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+≠-⎩故选：B5．下列有关命题的说法中错误的是（ ） A ．“”是“”的充分不必要条件1x =2320x x -+=B ．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则” 2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠C ．若命题，使得，则，均有 :p x ∃∈R 210x x ++<:p x ⌝∀∈R 210x x ++≥D ．若为假命题，则、均为假命题 p q ∧p q 【答案】D【分析】A 选项，求出二次方程的解即可判断；命题“若，则q ”的逆否命题为“若，则”，p q ⌝p ⌝B 正确；特称命题的否定为全称命题，C 正确；根据复合命题的真假判断规则判断D 选项. 【详解】A 选项，的解为或2，所以“”是“”的充分不必要条2320x x -+=1x =1x =2320x x -+=件，A 正确；B 选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，B 正确； 2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠C 选项，特称命题的否定为全称命题，C 正确；D 选项，若为假命题，则、中至少有一个为假命题. p q ∧p q 故选：D【点睛】本题考查充分不必要条件、逆否命题、含一个量词的命题的否定、复合命题的真假判断，属于基础题.6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最C 212y x =-F C P ()4,2Q -PF PQ +小值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知l 3x =P PM l ⊥M PF PM =，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.,,Q P M PM PQ +【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为， C 212y x =-()3,0F -l 3x =如图，过作于，P PM l ⊥M由抛物线的定义可知，所以 PF PM =PF PQ PM PQ +=+则当三点共线时，最小为. ,,Q P M PM PQ +()347--=所以的最小值为. PF PQ +7故选：C.7．如图，是的重心，，则（ ）G ABC A OA a,OB b,OC c === OG =A ．B ．122333a b c ++ 221333a b c ++C ．D ．222333a b c ++ 111333a b c ++ 【答案】D【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示23OG OC CD =+ ,,a b c ,OC CD可得结论.【详解】是的重心，， G ABC A OA a,OB b,OC c ===，， OG OC CG ∴=+ 23CG CD =，，，()12CD CA CB =+ CA OA OC =- CB OB OC =-，()2111132333OG OC CA CB OC OB OA ∴=+⨯+=++ ．111333OG a b c ∴=++ 故选：D ．8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路 D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.9．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为4mx ny +=224x y +=(,)m n 22194x y+=（ ） A ．2个 B ．至少一个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】根据直线与圆的位置关系，求得点的轨迹范围所以，再利用其轨迹与椭圆的位置关(),m n 系，即可判断直线与椭圆的位置关系.【详解】直线和圆没有交点，直线与圆相离，圆心，半径4mx ny +=224x y +=∴()0,02r =，即2>2202m n <+<点在以原点为圆心，半径为2的圆内，∴(),P m n 又椭圆短轴长为4，圆=2内切于椭圆，点在椭圆内，22194x y +=∴22m n +∴(),P m n 则过点的直线与椭圆的交点个数为2个. (,)m n 22194x y +=故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，（1）判断直线与圆的位置关系用几何法，圆心到直线的距离与圆的半径比较，相切；d r d r =⇔相离；相交；d r >⇔d r <⇔（2）判断直线与椭圆的位置关系用代数法，联立直线与椭圆方程，求判别式：相切；0∆=⇔相离；相交；或者观察直线过的定点是否在椭圆内部，若在，则直线与椭圆相交. 0∆>⇔0∆<⇔10．过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则切线段1C 221x y +=P 2C ()()22344x y -+-=Q PQ 长的最大值为（） A ．BC ．D【答案】C【分析】根据切线的性质得到不等式，可得选项. 【详解】，，=21211516PC C C ≤+=+=+=所以，即切线段长的最大值为 PQ ≤=PQ 故选：C ．11．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、1C ()2211221110x y a b a b +=>>2C ()2222222210x y a b a b -=>>1F ，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P 为椭圆与双曲线的交点，且2F 1C 1e 2C 2e 1C 2C ，则的最大值为（ ）123F PF π∠=1223e e +A B ．C ．D ．【答案】B【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，P 112212,PF a a PF a a =+=-进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函2221234a a c +=2221314e e +=12112cos ,,e e ==θθ数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则 P 由椭圆的定义可得， 1212PF PF a +=由双曲线的定义可得， 1222PF PF a -=所以，112212,PF a a PF a a =+=-因此，即，222121212cos 32PF PF F F PF PF +-=⋅π()()()()()222121212122122a a a a c a a a a ++--=+⋅-所以，即，令 2221234a a c +=2221314e e +=12112cos ,,e e ==θθ因此，其中()12234cos e e +=+=+θθθϕtan ϕ=所以当时，有最大值，最大值为 ()sin 1θϕ+=1223e e +故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式； c e a=②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式； c e a=②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，121,01,0F F -()，()222AF F B =││││，则C 的方程为1AB BF =││││A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=【答案】B【分析】由已知可设，则，得，在中求得2F B n =212,3AF n BF AB n ===12AF n =1AF B △，再在中，由余弦定理得.11cos 3F AB ∠=12AF F △n =【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有2F B n =212,3AF n BF AB n ===．在中，由余弦定理推论得121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △．在中，由余弦定理得，解得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n nn n +-⋅⋅⋅= n 所求椭圆方程为，故选B ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有2F B n =212,3AF n BF AB n ===．在和中，由余弦定理得121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △，又互补，，两2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=式消去，得，解得2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =所求椭圆方程为，故选B ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．二、填空题13．圆：与圆：的公切线条数为____________. 1C 22650x y y +-+=2C 22870x y x +-+=【答案】3【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.【详解】圆：，圆心，半径； 1C 22650x y y +-+=22(3)4x y ⇔+-=1(0,3)C 12r =圆：，圆心，半径. 2C 22870x y x +-+=22(4)9x y ⇔-+=2(4,0)C 23r =因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3. 12125C C r r ===+故答案为：314．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．2221(0)x y m m-=>22430x y y +-+=m =【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，()22210x y m m-=>y x m =±0x my ±=不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，0x my +=22430x y y +-+=()2221x y +-=()0,21r =依题意圆心到渐近线的距离，()0,20x my +=1d =解得． m=m =15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，()220y px p =>F F A B ，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________． O A AFOBFO S S =A A 【答案】2【分析】如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到. ||||AFO BFO S AF S BF =A A ||2||AFO BFO S AF S BF ==A A 【详解】由题得,.1||||sin 2AFO S OF AF AFO ∆=⋅∠1||||sin 2BFO S OF BF BFO ∆=⋅∠因为. ,sin sin AFO BFO AFO BFO π∠+∠=∴∠=∠所以, ||||AFO BFO S AF S BF =A A 过点A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作于点E, BE AM ⊥设|BF|=m ，|AF|=n ，则|BN|=m ，|AM|=n ， 所以|AE|=n-m ，因为AB k =所以|AB|=3(n-m)， 所以3(n-m)=n+m ，所以. 2nm=所以. ||=2||AFO BFO S AF nS BF m ==A A 故答案为：2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐22221(0,0)x y a b a b-=>>近线分别交于A ，B 两点．若，，则C 的离心率为____________．1F A AB = 120F B F B ⋅=【答案】2.【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得1F A AB =1OA F A ⊥1AOB AOF ∠=∠从而由. 21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=0tan 60ba==【详解】如图，由得又得OA 是三角形的中位线，即由1,F A AB =1.F A AB =12,OF OF =12F F B 22//,2.BF OA BF OA =，得则有，120F B F B =A 121,,FB F B OA F A ⊥⊥1OB OF =1AOB AOF ∠=∠又OA 与OB 都是渐近线，得又，得21,BOF AOF ∠=∠21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=．又渐近线OB 的斜率为02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=0tan 60ba==为． 2c e a ===【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．三、解答题17．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.()2222:10,0x y C a b a b-=>>22152x y +=P(1)求双曲线的方程；C (2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.l C ,A B AB ()1,2l 【答案】(1)2212y x -=(2)1【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【详解】（1）由的焦点坐标为 22152x y +=())由双曲线与有相同的焦点()2222:10,0x y C a b a b -=>>22152x y +=所以双曲线的焦点坐标为()2222:10,0x y C a b a b-=>>())0故c =在双曲线中： ① 2223a b c +==又双曲线经过点C P 所以② 22221a b -=解得：221,2a b ==所以双曲线的方程为：C 2212y x -=（2）由题知直线斜率存在且不为0， 设直线的方程为：l y kx m =+由直线与双曲线交于两点，设 l C ,A B ()()1122,,,A x y B x y 所以 消去整理得： 2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y()2222220kx kmx m -+++=所以 1212222222x x km kmx x k k ++=-⇒=---()()()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++ 2224222km m k m k k ⎛⎫=⨯-+=- ⎪--⎝⎭所以 122222y y mk +=--由的中点坐标为AB ()1,2所以 12221222112222222222x x km kmk k y y m m k k +⎧⎧=-=-=⎪⎪⎪⎪--⇒⎨⎨+⎪⎪-==-=⎪⎪--⎩⎩所以.1k =18．已知正四棱柱，E 为中点，F 为中点．11111,1,2ABCD A B C D AB AA -==1CC 1BD(1)证明：为与的公垂线； EF 1BD 1CC (2)求点到面的距离． 1D BDE 【答案】(1)见解析【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明，即可D 11,EF BD EF CC ⊥⊥得证；（2）利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，从而可得出答案. 1DD BDE 【详解】（1）证明：如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， D 则，()()()()()11111,1,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,1,1,,,122B C C D E F ⎛⎫⎪⎝⎭则，()()1111,,0,1,1,2,0,0,222EF BD CC ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭因为， 110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=所以， 11,EF BD EF CC ⊥⊥即为与的公垂线；EF 1BD 1CC （2）解：，()()()11,1,0,0,1,1,0,0,2DB DE DD ===设平面的法向量， BDE (),,m x y z = 则有，可取，m DB x y m DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ()1,1,1m =- 则111cos ,DD m DD m DD m ⋅=== 所以直线与平面 1DD BDED BDE所以点到面1//19．如图，在直角梯形ABCD中，AB DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE 将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M N点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；（2）假设存在点N ，使得二面角B ﹣EN ﹣M以E 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，EB ED EP，，设PE =EB =2，设N (2，m ，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)， P (0，0，2)，C (2，2，0)，M (1，0，1)，，，，(1,0,1)EM =(2,0,0)EB = (2,,0)EN m = 设平面EMN 的法向量为，(,,)p x y z =由，令，得，.0.20m EM x z m EN x my ⎧=+=⎨=+=⎩x m =(,2,)p m m =-- 平面BEN 的一个法向量为， (001)n =，，故cos ,p n p n p n ⋅===⨯ 解得：m =1，故存在N 为BC 的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．已知椭圆，点、都在上. ()2222:10x y C a b a b +=>>()2,0A -⎛ ⎝C （1）求椭圆的标准方程；C （2）设，、是椭圆上不同于、的两点，若直线的斜率等于直线的斜率()2,0B M N C A B BN AM 的倍，设直线的斜率为，求四边形的面积.2AM 12AMBN【答案】（1）；（2）.22142x y +=163【分析】（1）将题干中的两点代入椭圆的方程，求出、的值，可得出椭圆的标准方程； C 2a 2b C （2）求出直线、的方程，将这两条直线的方程分别与椭圆的方程联立，求出点、AM BN C M N 的坐标，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积. AMBN 【详解】.（1）由题意可得，解得，222241211a a b ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩2242a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆的标准方程为；C 22142x y +=（2）直线的方程为，AM 112y x =+联立，可得，解得或，即点， 22112142y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩23440+-=x x 20x y =-⎧⎨=⎩2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意可知，直线的斜率为，故直线的方程为，BN 1BN 2y x =-联立，得，解得或，即点， 222142y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩23840x x -+=20x y =⎧⎨=⎩2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩24,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，四边形的面积为.AMBN 1181642233M N AMBN S AB y y =⨯⨯-=⨯⨯=四边形21．已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一2y =E E 个正三角形. (1)求椭圆的方程; E (2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的12y =E ,A B P AB OP ,M N P MN 垂线交轴于,求面积的最小值.x Q MNQ △【答案】(1)2214x y +=【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得,a c ,即可得椭圆方程.(2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0,设直线方程与椭圆联立求得,根据MN MN MN PQ MN ⊥设出点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出,分离Q 常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可. 【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为x=c ∴=因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,E ,1,2b a ∴==故椭圆的标准方程为:;2214x y +=（2）由(1)得椭圆的方程为,2214x y +=的垂线交轴于,MN x Q 的斜率存在,MN ∴连接交椭圆于两点,OP ,M N 的斜率不为0,MN ∴不妨设,()()1122:,,,,MN l y kx M x y N x y =则,11,22P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立, 2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩即,()221440k x +-=,1212240,14x x x x k -∴+=⋅=+,=设,(),0Q m ,PQ MN ⊥ ,12112PQ MN k k k m k∴⋅=⋅=--解得:, 122k m k =+到直线, Q ∴MN 22MNQS∴=A=14= 14=+14≥⋅=即时取等,=k =故. MNQ △22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极xOy l 2()x tt y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩O 点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．x C π4sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； l C (2)直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求． l y P C A B 2211||||+PA PB 【答案】，0y -=22(1)(4x y -+=(2) 3118【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果【详解】（1）直线的参数方程为，消去参数，可得，即l 2)x ty t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩t1)y x =-；0y -=曲线的极坐标方程为，即，C 4sin()6πρθ=+22cos )ρρθθ=+化为直角坐标方程是，即；222x y x +=+22(1)(4x y -+=所以直线，l 0y -=曲线的直角坐标方程为； C 22(1)(4x y -+=（2）令，得直线与轴交于点，x =l y (0,P 把直线的参数方程化为为参数），代入，l 12(x m m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22(1)(4x y -+=得到， 2790m m -+=故，；127m m +=129m m =所以． 22221121222222222121212()21111491831||||8181m m m m m m PA PB m m m m m m ++--+=+====⋅⋅23．已知函数.()2f x x a x a =++-（1）当时，求不等式 的解集； 1a =()42f x x ≥-+（2）设，且的最小值是 ，若，求的最小值. 0,0a b >>()f x t 33t b +=12a b+【答案】（1）；（2）.[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）当时，得到不等式，分，和三种情况讨1a =2214x x ++-≥2x ≤-2<<1x -1x ≥论，即可求解.（2）由绝对值的三角不等式求得，得到， 2(2)()3x a x a x a x a a ++-≥+--=3t a =进而得到，再结合基本不等式，即可求解. 1a b +=【详解】（1）当时，函数， 1a =()21f x x x =++-由，可得，()42f x x ≥-+2214x x ++-≥当时，不等式可化为，解得；2x ≤-2414x x ---+≥73x ≤-当时，不等式可化为，解得； 2<<1x -2414x x +-+≥1<1x ≤-当时，不等式可化为，解得，1x ≥2414x x ++-≥1x ≥综上，不等式的解集为.[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦（2）由，所以， ()2(2)()3f x x a x a x a x a a =++-≥+--=3t a =又由，，即，即，0,0a b >>33t b +=333a b +=1a b +=所以， 12122()()333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+当且仅当，即2b aa b =1,2a b ==∴的最小值为. 12a b+3+【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式和基本不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值的不等式的解法，合理应用绝对值的三角不等式求得最小值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.。
内蒙古包头市高二上学期期末数学试卷(理科)
内蒙古包头市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁UN）为（）A . {x|﹣1≤x＜1}B . {x|﹣1≤x≤1}C . {x|1≤x≤3}D . {x|1＜x≤3}2. （2分）设向量，若与平行，则实数m等于（）A . -2B . 2C .D .3. （2分） (2015高二上·抚顺期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a2=18﹣a7 ， S8=（）A . 18B . 36C . 54D . 724. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B 样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A . 平均数B . 标准差C . 众数D . 中位数5. （2分）已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（）A .B .C .D .6. （2分）如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A . 1B .C . 2D .7. （2分） (2015高二下·湖州期中) 函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（3），则实数a的取值范围是（）A . （0，3]B . （﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C . RD . [﹣3，3]8. （2分）函数f（x）=2x+x3的零点所在区间为（）A . （0，1）B . （﹣1，0）C . （1，2）D . （﹣2，﹣l）9. （2分）将函数的图像向右平移，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则所得图像的解析式为（）A .B .C .D .10. （2分）直线x+y=1和直线2mx-y=4互相垂直，则m的值是（）A .B . 4C .D .11. （2分）已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（2，﹣2），B（2，1），C（，1），则R的最小值为（）A .B .C .D . 812. （2分） (2019高二上·大港期中) 已知椭圆，、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·信阳期末) 已知半径为2的扇形面积为4，则扇形的角度大小为________弧度．14. （1分） (2016高二上·茂名期中) 已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=kx﹣3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为________15. （1分）设函数f（x）= ，则不等式f（x）≤2的解集为________．16. （1分） (2016高一上·南京期中) 若二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），且f（1）＜f（0）≤f （a），则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知幂函数y=f（x）经过点（2，）．（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．18. （10分） (2016高一下·北京期中) 已知cosx=﹣，x∈（0，π）（1）求cos（x﹣）的值；（2）求sin（2x+ ）的值．19. （10分）如图1，矩形APCD中，AD=2AP，B为PC的中点，将△APB折沿AB折起，使得PD=PC，如图2．（1）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；（2）证明：平面APB⊥平面ABCD．20. （5分）根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1 ， a2 ，…，an ，…，a2015（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1 ，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，求函数f（x）=a2sin（ωx+φ）在区间[﹣，]上的值域．21. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 设的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面积．22. （10分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（1）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积（2）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2016-2017年内蒙古包头市青山区北重三中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2016-2017学年内蒙古包头市青山区北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆2．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠03．（5分）设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件4．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21D．185．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．120°B．60°C．45°D．30°6．（5分）已知命题p：∃x∈R，mx2+1＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p ∧q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（0，2）7．（5分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．149．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42C．210D．84010．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=111．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）已知x、y的取值如表，如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=bx+，则b=．14．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．15．（5分）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为．16．（5分）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线与实轴所成角的取值范围是．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．19．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E为CD的中点，PC与平面ABCD成60°角．（1）求证：平面EPB⊥平面PBA；（2）求二面角P﹣BD﹣A 的余弦值．22．（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．2016-2017学年内蒙古包头市青山区北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆【解答】解：由于时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07由于数据的组距为10故时速在[50，70）的数据的频率为：0.07×10=0.7故时速在[50，70）的数据的频数为：0.7×200=140故选：D．2．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选：D．3．（5分）设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件【解答】解：当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α∥β”，故A正确；当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”，故B正确；当m⊂α时，“n∥α”⇒“m∥n或m与n异面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”，故C 不正确；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”，故D正确．故选：C．4．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21D．18【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．5．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．120°B．60°C．45°D．30°【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．=AA1，解得AA1=．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P==1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1=，∴∠APA1=60°．故选：B．6．（5分）已知命题p：∃x∈R，mx2+1＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p ∧q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（0，2）【解答】解：命题p：∃x∈R，mx2+1＜0，是真命题时，可得m＜0；命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，是真命题时，△=m2﹣4＜0，解得m∈（﹣2，2）．若p∧q为真命题，则两个命题都是真命题，可得m∈（﹣2，0）．故选：C．7．（5分）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2+bx+c=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，共有36种结果：记“方程x2+bx+c=0有实根”为事件A，则△=b2﹣4c≥0⇒，A包含的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19种结果，由的可能事件概率的计算公式可得，P（A）=．故选：D．8．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故选：B．9．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42C．210D．840【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．11．（5分）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，△A1BD是边长为2的等边三角形，∴==，设点D1到平面A1BD的距离是h，由=，可得=•AB，∴=，解得h=．故选：D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r 1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13．（5分）已知x、y的取值如表，如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=bx+，则b=﹣．【解答】解：∵线性回归方程为=bx+，又∵线性回归方程过样本中心点，=3，=5∴回归方程过点（3，5）∴5=3b+，∴b=﹣故答案为：﹣．14．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．【解答】解：列树状图得：共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，所以概率为．故答案为：．15．（5分）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为y=x．【解答】解：抛物线的方程为y2=4x，A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1≠x2，两式相减得，y12﹣y22=4（x1﹣x2），∴∴直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即y=x故答案为：y=x16．（5分）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线与实轴所成角的取值范围是≤θ≤．【解答】解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=．由题意可得2≤≤4，∴1≤≤，即1≤tanθ≤，∴≤θ≤，故答案为：≤θ≤．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）18．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】解（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．19．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E为CD的中点，PC与平面ABCD成60°角．（1）求证：平面EPB⊥平面PBA；（2）求二面角P﹣BD﹣A 的余弦值．【解答】（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，∴CE=，又∠BCD=60°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BE，∵PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，PA∩AB=A，∴BE⊥面PAB，∵BE⊂面PBE，∴面PBE⊥面PAB．（2）解：连AC，BD交于O，则AO⊥BD∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD∴∠POA为二面角P﹣BD﹣A的平面角，∵PC与平面ABCD成60°角，∴∠POA=60°∵∠BCD=60°，BC=1，∴AC=，AD=∴PA=6，PO=∴cos∠POA==．22．（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t ＞0时，|MN |=2＞2，当t ＜0时，|MN |=2=2≥． 综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN |的最小值是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在yxo[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017年内蒙古包头三十三中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2016-2017学年内蒙古包头三十三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i2．（5分）已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．3．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．444．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（）A．B．C．1或﹣ D．1或5．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+ B．+ C．+ D．+7．（5分）函数f（x）=（1+cos2x）sin2x是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数8．（5分）若a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．（5分）已知函数y=sinωx在[﹣，]上为增函数，则ω的取值范围（）A．（0，3]B．（0，]C．[﹣3，0）D．[﹣，0）10．（5分）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是（）A．1 B．C．3 D．12．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．14．（5分）已知数列{a n}中，a3=2，a5=1，若{}是等差数列，则a11=．15．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则=．16．（5分）函数f（x）的定义域为R，且满足f（2）=2，f′（x）＞1，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为．三、简答题（共70分），写出必要的解题过程.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）画出函数f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．18．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量=（cosA，sinA），向量=（﹣sinA，cosA），若|+|=2．（1）求角A的大小；（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=5，S n+1=2S n+n+5，（n∈N*）（1）证明：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．[选修4-4]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（1）求曲线C的参数方程；（2）当α=时，求直线l与曲线C交点的极坐标．2016-2017学年内蒙古包头三十三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．2．（5分）已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵，∴cosα+2sinα=0，∴tanα=，∴tan（）==﹣3，故选：B．3．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．44【解答】解：设公差为d，由S8﹣S3=10 可得，8a1+﹣3a1﹣=10，故有a1+5d=2，∴S11=11a1+=11（a1+5d ）=22，故选：C．4．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a3=，S3=，则公比q=（）A．B．C．1或﹣ D．1或【解答】解：因为a3=，S3=，所以，两式相比得2q2﹣q﹣1=0，解得q=1或，故选：C．5．（5分）若不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得，﹣2，1是方程ax2﹣x﹣c=0的两根，分别代入，解得a=﹣1，c=﹣2．∴f（x）=﹣x2﹣x+2．从而函数y=f（﹣x）=﹣x2+﹣x+2=﹣（x﹣2）（x+1）它的图象是开口向下的抛物线，与x轴交与（﹣1，0）（2，0）两点．故选：B．6．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+ B．+ C．+ D．+【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．7．（5分）函数f（x）=（1+cos2x）sin2x是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【解答】解：函数f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x==，∴周期T==，且f（﹣x）=f（x）．∴函数f（x）是周期为的偶函数．故选：D．8．（5分）若a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：a==ln，b=，c==，∵，，，，∴，∴c＜a＜b．故选：C．9．（5分）已知函数y=sinωx在[﹣，]上为增函数，则ω的取值范围（）A．（0，3]B．（0，]C．[﹣3，0）D．[﹣，0）【解答】解：∵函数y=sinωx在[﹣，]上为增函数，则有ω≤，且ω＞0，求得0＜ω≤，故选：B．10．（5分）设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）A． B． C． D．【解答】解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），==﹣，用裂项法求和得S n=．故选：A．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA+sinB的最大值是（）A．1 B．C．3 D．【解答】解：∵csinA=acosC，∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∴tanC=，即C=，则A+B=，∴B=﹣A，0＜A＜，∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+=sinA+cos A=sin （A），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值，故选：D．12．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：214．（5分）已知数列{a n}中，a3=2，a5=1，若{}是等差数列，则a11=0．【解答】解：设等差数列{}的公差为d，由题意可得=，=，∴2d==，∴d=，∴=+6d=1，∴a11=0故答案为：015．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则= 18．【解答】解：如图，根据已知条件知，A为线段BM中点，||=3，∠CAB=45°；∴==9+3=18．故答案为：18．16．（5分）函数f（x）的定义域为R，且满足f（2）=2，f′（x）＞1，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为（2，+∞）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，由f′（x）＞1，得g′（x）＞0，所以g（x）在R上为增函数，又g（2）=f（2）﹣2=2﹣2=0，所以当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）﹣x＞0，也即f（x）＞x．所以不等式f（x）＞x的解集是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．三、简答题（共70分），写出必要的解题过程.17．（12分）设函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）画出函数f（x）在区间[0，π]上的图象；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的值．【解答】解：（Ⅰ）因为===，…（3分）所以．函数f（x）的最小正周期为π…（4分）（Ⅱ）图象如图所示（8分）（Ⅲ）因为，所以．所以，当，即时…10函数f（x）的最大值为1 …（12分）18．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量=（cosA，sinA），向量=（﹣sinA，cosA），若|+|=2．（1）求角A的大小；（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵∴===∵∴又∵0＜A＜π∴∴，∴（Ⅱ）由余弦定理，，即∴c=8∴19．（12分）已知数列{a n}中，a1=5，S n+1=2S n+n+5，（n∈N*）（1）证明：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=2S n+n+5，可得：【解答】解：（1）证明：由S n+1S n=2S n﹣1+n+4，（n＞1且n∈N*），两式相减可得，S n﹣S n=2（S n﹣S n﹣1）+1，+1即为a n=2a n+1，+1即有a n+1=2（a n+1），+1由a1=5，可得a2=11，a3=23．则数列{a n+1}是首项为6，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1=6•2n﹣1=3•2n，即有a n=3•2n﹣1，前n项和S n=（6+12+…+3•2n）﹣n=﹣n=3•2n+1﹣6﹣n．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．【解答】解：（1）∵f（x）过点P（1，﹣1），∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，∴f（x）=lnx﹣x，，f'（1）=0，∴过点P（1，﹣1）的切线方程为y=﹣1．（2）∵f（x）≤0恒成立，即lnx﹣mx≤0恒成立，∴mx≥lnx，又∵f（x）定义域为（0，+∞），∴恒成立；设，∵，∴当x=e时，g'（e）=0当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，∴，∴当时，f（x）≤0恒成立．（3）∵，①当m≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，∵在x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me；②当，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数，当时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数，∴x∈[1，e]上，；③当m＞1时，即在为单减函数，∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m；④当，即时，f（x）在为单增函数，∴x∈[1，e]时，f（x）max=f（e）=1﹣me；综上所述，当时，f（x）max=f（e）=1﹣me，当时，当m＞1时，f（x）max=f（1）=﹣m．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．[选修4-4]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（1）求曲线C的参数方程；（2）当α=时，求直线l与曲线C交点的极坐标．【解答】解：（1）由ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ．把，ρ2=x2+y2代入可得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y﹣2x，标准方程为（x +1）2+（y ﹣1）2=2． 曲线C 的直角坐标方程化为参数方程为（φ为参数）．（2）当α=时，直线l 的方程为化成普通方程为y=x +2．联立，解得，或．利用，ρ2=x 2+y 2可得：直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为（2，），（2，π）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
2016-2017年内蒙古包头一中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＞0”2．（5分）已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）下列向量中与向量=（2，3）垂直的是（）A．=（﹣2，3）B．=（2，﹣3）C．=（3，﹣2）D．=（﹣3，﹣2）4．（5分）已知复数z=lgm+（lgn）i，其中i是虚数单位．若复数z在复平面内对应的点在直线y=﹣x上，则mn的值等于（）A．0B．1C．10D．5．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i6．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．68．（5分）用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A．B．C．且D．或9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞b，b＞0）的离心率为，则椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（1）的值为．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．15．（5分）函数y=（1﹣sinx）2的导数是．16．（5分）与双曲线共渐近线且过点的双曲线的标准方程是．三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各12分，共70分）17．（10分）用数学归纳法证明：，n∈N*．18．（12分）在边长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点（1）求证：CF∥平面A′DE（2）求二面角E﹣A′D﹣A的平面角的余弦值．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点M（﹣2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+bx+c．（Ⅰ）当c=0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；（Ⅱ）当时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O三点共线，求c的值．22．（12分）设函数f（x）=2lnx﹣x2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＞0”【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由x=﹣1，得x2﹣5x﹣6=0，反之，由x2﹣5x﹣6=0，得x=﹣1或x=6，则“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，则其逆否命题为真命题，故C正确；命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故D错误．故选：C．2．（5分）已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2•=﹣1，•=﹣因此，向量，夹角的余弦为cosθ==﹣故选：B．3．（5分）下列向量中与向量=（2，3）垂直的是（）A．=（﹣2，3）B．=（2，﹣3）C．=（3，﹣2）D．=（﹣3，﹣2）【解答】解：∵=﹣4+9=5，=4﹣9=﹣5，=6﹣6=0，=﹣6﹣6=﹣12，∴与向量=（2，3）垂直的是．故选：C．4．（5分）已知复数z=lgm+（lgn）i，其中i是虚数单位．若复数z在复平面内对应的点在直线y=﹣x上，则mn的值等于（）A．0B．1C．10D．【解答】解：复数z=lgm+（lgn）i，复数z在复平面内对应的点（lgm，lgn）在直线y=﹣x上，∴lgm=﹣lgn，可得lg（mn）=0，可得mn=1．故选：B．5．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：===1+2i，故选：C．6．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．8．（5分）用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A．B．C．且D．或【解答】解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选：D．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞b，b＞0）的离心率为，则椭圆+=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：在双曲线中c2=a2+b2，∵双曲线的离心率为，∴==，即4a2+4b2=5a2，即a2=4b2，则c2=a2﹣b2=4b2﹣b2=3b2，则e2===，即e=，故椭圆的离心率是，故选：C．10．（5分）在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=a，∴AB=AC=BC=a，取BC中点D，连结AD，作PO⊥平面ABC，交AD于O，则AD==，∴AO=×=，∴点P到平面ABC的距离PO==．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．【解答】解：（x+1）2dx+dx，∵（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π，∴（x+1）2dx+dx==，故选：B．12．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f （2）．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（1）的值为1．【解答】解：函数的导数为f′（x）=2f′（1）﹣1，令x=1得f′（1）=2f′（1）﹣1，即f′（1）=1，故答案为：114．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．（5分）函数y=（1﹣sinx）2的导数是sin2x﹣2cosx．【解答】解：y′=2（1﹣sinx）•（1﹣sinx）′=2（1﹣sinx）•（﹣cosx）=sin2x﹣2cosx 故答案为：sin2x﹣2cosx16．（5分）与双曲线共渐近线且过点的双曲线的标准方程是．【解答】解：依题设所求双曲线方程为﹣y2=λ≠0，∵双曲线过点（，2），∴1﹣4=λ，∴λ=﹣3，∴所求双曲线方程为．故答案为：三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各12分，共70分）17．（10分）用数学归纳法证明：，n∈N*．【解答】证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．﹣﹣（3分）（2）假设当n=k时，等式成立，即++…+=﹣﹣﹣﹣﹣（6分）那么，当n=k+1时，左边=++…++=+=，这就是说，当n=k+1时等式也成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（12分）在边长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点（1）求证：CF∥平面A′DE（2）求二面角E﹣A′D﹣A的平面角的余弦值．【解答】证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A'（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），…（2分）则，设平面A'DE的法向量是，则，取，…（4分），∵，∴，所以，CF∥平面A'DE．…（6分）解：（2）由正方体的几何特征可得是面AA'D的法向量又由（1）中向量为平面A'DE的法向量故二面角E﹣A'D﹣A的平面角θ满足；即二面角E﹣A'D﹣A的平面角的余弦值为…（8分）19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=AD．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）设E是棱PD上一点，且PE=PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°，∴∠PBA=60°．∴PA=ABtan60°=．取AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，），D（0，2，0）．∵=（1，1，0），=（0，0，），=（﹣1，1，0），∴=﹣1+1+0=0，=0．∴AC⊥CD，AP⊥CD，∵AC∩AP=A，∴CD⊥平面PAC．又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．解：（2）∵=，=（0，2，﹣），∴=+=（0，0，）+（0，2，﹣）=（0，，），∴E（0，，），∴=（0，，）．又=（1，0，﹣），∴•=﹣2．∴cos＜•＞==﹣．∴异面直线AE与PB所成的角的余弦值为．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C 上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点M（﹣2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，|F1F2|=，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（6分）（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．若直线l斜率不存在，显然不合题意．从而可设过点（﹣2，1）的直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称，所以，解得k=，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．经检验，△＞0，所以所求直线方程符合题意．（14分）21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+bx+c．（Ⅰ）当c=0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；（Ⅱ）当时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O三点共线，求c的值．【解答】解：（Ⅰ）当c=0时，f（x）=x3﹣2ax2+bx．则f'（x）=3x2﹣4ax+b由于f （x ）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x +2， 可得f （1）=3，f'（1）=1， 即， 解得；（Ⅱ）当时，f （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x +c ．所以f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x ﹣3）（x +1） 令f'（x ）=0，解得x 1=3，x 2=﹣1．当x 变化时，f'（x ），f （x ）变化情况如下表：所以当x=﹣1时，f （x ）极大值=5+c ；当x=3时，f （x ）极小值=﹣27+c ． 不妨设A （﹣1，5+c ），B （3，﹣27+c ） 因为A ，B ，O 三点共线，所以k OA =k OB ． 即，解得c=3．故所求c 值为3．22．（12分）设函数f （x ）=2lnx ﹣x 2． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若关于x 的方程f （x ）+x 2﹣x ﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x ）=，∵x ＞0，x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0，所以函数f （x ）的单调递增区间是（0，1]．（2）将f （x ）代人方程f （x ）+x 2﹣x ﹣2﹣a=0得2lnx ﹣x ﹣2﹣a=0，令g （x ）=2lnx ﹣x ﹣2﹣a 则g′（x ）=；∴x ∈[1，2）时，g′（x ）＞0；x ∈（2，3]时，g′（x ）＜0； ∴g （2）是g （x ）的极大值，也是g （x ）在[1，3]上的最大值；∵关于x的方程f（x）+x2﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；∴函数g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以a的取值范围是（2ln3﹣5，2ln2﹣4）．。
(全优试卷)内蒙古包头三十三中高二上学期期中考试理数试卷Word版含答案
包33中2017-2018学年度第一学期中Ⅰ考试高二年级数学（理）试卷命题人： 周环在2017.10.20一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每题只有一个正确答案) 1．下列命题中正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否定为：“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则p ⌝：∃x ∈R ，x 2＋x －1≥0 2．设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥4”是“x ≥2且y ≥2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列命题中，真命题是( )A ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 4．下列命题错误的是( )A ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”B ．“x ＝2”是“x 2－5x ＋6＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则⌝p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 5．若直线l 1：kx －y －3＝0和l 2：x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于( )A ．－3B ．－2C ．－12或－1D.12或1 6．直线x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0相交所截得的弦长等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3D ．68．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2 B.1a >1b C ．0<a <bD ．0<b <a9．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则P 到F 2的距离为( )A.32B. 3C.72D. 410．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54)B ．(1，1)C ．(32，94)D ．(2，4)11．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2 D.m －a12．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332C.94D.154二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.14.已知对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是___________15．已知点F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，在此椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则此椭圆的离心率为_______________16．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．三、简答题(共70分),写出必要的解题过程.17. (本小题满分10分) 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有实根，q：不等式x2－2x＋m>0的解集为R.若命题“p∨q”是假命题，求实数m的取值范围．18. (本小题满分12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．19．(本小题满分12分)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分．(1)求AB所在直线方程；(2)求|AB|的长．20.(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2) 若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(－2，1)，长轴长为25，过点C (－1,0)且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线l 的斜率．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为22，直线y ＝k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N. (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．包33中2017-2018学年度第一学期中Ⅰ考试高二年级数学（理）试卷答案一、（每题5分，共60分）BADCA BACCB DB二、 （每题5分，共20分） 13: 4±15 14：[1，5)∪(5，＋∞) 15：33 16：－33三、简答题（满分70分）17：（满分10分） 若方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，则m 2－4≥0.∴m ≤－2或m ≥2. 若不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假命题．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1.所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}．18：（满分12分）答案 (1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40 18解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)，∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210.∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 19：（满分12分）19.解 (1)方法一：设以Q 为中点的弦AB 端点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 y 21＝8x 1，①y 22＝8x 2，②x 1＋x 2＝8，③y 1＋y 2＝2，④k ＝y 1－y 2x 1－x 2.⑤ 将③，④代入①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． ∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，∴4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0.方法二：设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1消去x ，得ky 2－8y－32k ＋8＝0.此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标，由韦达定理，得y 1＋y 2＝8k.又由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8k .y 1＋y 2＝2，解得k ＝4.∴所求弦AB 所在直线方程为4x －y －15＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，4x －y －15＝0消去x ，得y 2－2y －30＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋116·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝174·124＝527220：（满分12分） 解析 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)．∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.方法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0.∴MF 1→·MF 2→＝0.21．(本小题满分12分)解析 (1)∵椭圆长轴长为25，∴2a ＝2 5.∴a ＝ 5.又∵椭圆过点(－2，1)，代入椭圆方程，得(－2)25＋1b 2＝1.∴b 2＝53.∴椭圆方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5.(2)∵直线l 过点C (－1,0)且斜率为k ，∴设直线方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝5，y ＝k (x ＋1)，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.∵直线与椭圆相交， ∴Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，即12k 2＋5>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵线段AB 中点的横坐标是－12，则x 1＋x 2＝2×(－12)＝－1.即x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33.22．(本小题满分12分)解析 (1)∵a ＝2，e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝ 2.椭圆C ：x 24＋y 22＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，消y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.∵直线y ＝k(x －1)恒过椭圆内一点(1，0)，∴Δ>0恒成立．由题意得x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k2.S △AMN ＝12×1×|y 1－y 2|＝12×|kx 1－kx 2|＝|k|2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|k|216＋24k 21＋2k 2＝103.即7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.。
内蒙古包头市_学年高二数学上学期期末考试试题文
内蒙古包头市2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 文学号： 班级： 姓名： 得分：一．选择题(本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设为两个事件，且，则当（ ）时一定有A ．与互斥 B ．与对立 Ｃ．Ｄ．不包含2．下列四个命题中，真命题是（ ）A．B ．C ．D ．3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，则AM ＜AC 的概率为 （ ）A ．B ．3/4C ．2/3D ．1/24．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为A.1169 B.367 C. 36D. 75． 已知椭圆的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上且MF 1⊥x 轴，则点F 1到直线F 2 M 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．6．条件甲：“”,条件乙“方程表示双曲线”，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8779401091x7．若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是 （ ）A ．（－π，0）B ．（－π，π）C ．（－23π，2π） D ．（－π23，23π） 8．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）.100A .150B .200C .250D9．阅读右边的程序框图，若输出，则在判断框 内应填入 ( )A ．B ．C ．D ．10、设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则|PF 1|PF 2|的值为（ ）A ．36B ．．16 D ． 6411．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是 ( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a <<12、若是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为，若直线与圆相切，则椭圆的离心率为（ ）Ａ．； Ｂ．； Ｃ．； Ｄ．；二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知两个正数满足，则使不等式≥，恒成立的实数的取值范围是 .14、若满足约束条件则 .15.已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则16、过原点的直线与椭圆交于A 、B 两点，，为椭圆的焦点，则四边形AF 1BF 2面积的最大值是三．解答题(本大题有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分) 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围18. (本题满分12分) 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频率分布直方图中a 的值； （II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率.19．（本题满分12分）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．20. （本小题12分）设 数列满足：（Ⅰ）求证数列是等比数列（要指出首项与公比）, （Ⅱ）求数列的通项公式.21、（本小题12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，。
内蒙古包头三十三中高二数学上学期期末考试试题 理(含
2013——2014学年度第一学期期末考试高二年级数学试题(理科)一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．）1．已知向量(1,1,3),(1,1,2)a b ==-r r ，则a b ⋅rr 的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】B【解析】1166a b ⋅=-++=rr 。
2．抛物线x y 82-=的焦点坐标是（ ）A ．（-2，0） B. （ 2，0） C. （-4，0） D. （4，0） 【答案】A【解析】抛物线x y 82-=的焦点坐标是（-2，0）。
3．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 【答案】B【解析】因为a 2=9，a 5=243，所以13,3a q ==，所以{a n }的前4项和为120.4. 已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的充分而不必要条件。
5．已知a,b,c ∈R,则下面推理中正确的是( ) A 、a>b ⇒ am 2>bm 2B 、cbc a > ⇒a>b C 、a 3>b 3, ab>0⇒b a 11< D 、a 2>b 2, ab>0⇒ba 11< 【答案】C【解析】A 、a>b ⇒ am 2>bm 2，错误，m=0时不成立；B 、cbc a > ⇒a>b ，错误，c 为负数时不成立；C 、a 3>b 3, ab>0⇒ba 11< ，正确； D 、a 2>b 2, ab>0⇒b a 11<，错误，a 、b 都为负数时不成立。
包头市第三十三中学数学高二上期末阶段测试(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13323]口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ）A ．910B ．710C ．310D ．1102．(0分)[ID ：13321]把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8） B ．45（8） C ．50（8） D ．55（8）3．(0分)[ID ：13319]气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②③B ．①③C ．②③D ．① 4．(0分)[ID ：13304]如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？5．(0分)[ID ：13298]若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020216．(0分)[ID ：13294]随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了③8月是空气质量最好的一个月④6月的空气质量最差A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．(0分)[ID ：13276]在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ）A ．23B ．34C ．25D ．138．(0分)[ID ：13253]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4139．(0分)[ID ：13248]从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13 B ．512 C ．12 D ．71210．(0分)[ID ：13244]甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ）A ．38B ．34C ．35D ．4511．(0分)[ID ：13240]如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-B ．122π-C ．2πD ．1π12．(0分)[ID ：13239]甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（ ）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定13．(0分)[ID ：13234]执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（ ）A ．1次B ．2次C ．3次D ．4次 14．(0分)[ID ：13231]已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A．92，94B．92，86C．99，86D．95，9115．(0分)[ID：13286]高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（）A．31号B．32号C．33号D．34号二、填空题16．(0分)[ID：13415]某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中.抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取______人17．(0分)[ID：13412]执行如图所示的程序框图若输人x的值为3，则输出y的值为______．18．(0分)[ID：13386]一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____. 19．(0分)[ID：13373]执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_____．20．(0分)[ID ：13367]变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y 1 2 3 4 5 V 5 4 3 2 1用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．21．(0分)[ID ：13363]对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆy bx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______. 22．(0分)[ID ：13357]为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则yx 的值为__________．23．(0分)[ID ：13350]投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是2的倍数的概率是_________，24．(0分)[ID ：13338]执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．25．(0分)[ID：13329]某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题26．(0分)[ID：13519]在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.27．(0分)[ID：13511]冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在[15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%.现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求第2组恰好抽到1人的概率；28．(0分)[ID ：13489]已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？（2）设抽出的6人分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 表示，现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查.（i ）试用所给字母列出所有可能的抽取结果；（ii ）设K 为事件“抽取的2人来自同一兴趣小组”，求事件K 发生的概率.29．(0分)[ID ：13458]近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,n ii i x y nx b a y bx x ynx =--==--∑∑.30．(0分)[ID ：13491]某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x公斤(0500)≤≤，利润为y元.求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润xy不小于1750元的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．B4．B5．C6．A7．C8．C9．A10．A11．A12．C13．C14．B15．C二、填空题16．40【解析】【分析】设应从B校抽取n人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B校抽取n人某市有ABC三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分17．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|18．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和119．8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要20．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y与X之间正增长所以因为V与U之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是21．【解析】【分析】由题意求得样本中心点代入回归直线方程即可求出的值【详解】由已知代入回归直线方程可得：解得故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程求出横坐标和纵坐标的平均数写出样本中心点将其代入线性回归22．35【解析】79+78+80+80+x+85+92+967=85解得x=5根据中位数为83可知y=3故yx=3523．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2的倍数的事件数为3所以概率为点睛：古典概型中24．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该25．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】 本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2．D解析：D 【解析】 【分析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案. 【详解】∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）． 再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．【点睛】本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可.3．B解析：B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C 考点：统计初步 4．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯，11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．6．A解析：A在A 中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月， 共5个，故A 正确；在B 中，第一季度合格天数的比重为2226190.8462312931++≈++；第二季度合格天气的比重为1913250.6263303130++≈++，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B 是正确的；在C 中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在D 中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的， 综上，故选A .7．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C.本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.9．A解析：A 【解析】设2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(B 1,B 2),(A 2,A 1),(B 1,A 1),(B 2,A 1),(B 1,A 2),(B 2,A 2),(B 2,B 1)12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2)4种情况,则发生的概率为P=41123=, 故选：A .10．A解析：A 【解析】设甲到达时刻为x ，乙到达时刻为y ，依题意列不等式组为{0.50,1y xx y x y ≥+≥≤≤，画出可行域如下图阴影部分，故概率为11138218--=.11．A解析：A 【解析】试题分析：设扇形OAB 半径为，此点取自阴影部分的概率是112π-，故选B. 考点：几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”.12．C解析：C 【解析】 甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=，甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=；乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=，乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=.∴12x x <，乙比甲成绩稳定. 故选C .13．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==，413y x -=>； 1129,39x y ==，419y x -=<；结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.14．B解析：B 【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.15．C解析：C 【解析】 【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号. 【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷， 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号， 故选C. 【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.二、填空题16．40【解析】【分析】设应从B 校抽取n 人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B 校抽取n 人某市有ABC 三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分 解析：40 【解析】 【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果． 【详解】设应从B 校抽取n 人，某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人， 在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，120n650500350500∴=++，解得n 40=．故答案为：40． 【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 x=3 y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15 不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63 此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63． 故答案为63． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．18．【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和1 解析：415【解析】 【分析】由题，求得基本事件的总数15种，再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)
包头一中2015-2016学年度第一学期期末考试高二年级理科数学试题一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．）1．已知复数()1z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限． 2．，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ． C ．D ．4．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则A ∠+B ∠=︒180B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中，11=a ，)2()11(211≥-+=-n a a a n n n ，计算432,,a a a ，由此推测通项n a5．用数学归纳法证明等式2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=（n ∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）A.2135(21)k k +++⋅⋅⋅++=B.2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+C.2135(21)(2)k k +++⋅⋅⋅++=+D.2135(21)(3)k k +++⋅⋅⋅++=+ 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．87．在各项为正数的等比数列{}n a 中，31=a ，前三项的和213=S ，则543a a a ++的值为（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1898. C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，且角060,2A a ==，则C ∆AB 的周长的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A ．22142x y += B ．2213x y += C D ．2213y x +=10．已知椭圆的中心为坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则（ ）A ．12B ．6C ．9D ．311若双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相离，则其离心率e的取值范围是（ ）.A 1e > .B e >.C e > .D e >12．双曲线221(1)x y n n-=>的两焦点为12,F F ,且点P 在双曲线上,满足12PF PF +=, 则21F PF ∆的面积为（ ）A ．1B ．21C ．2D ．4二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分. 请将正确的答案填写到答题卷的相应位置上）13．若,x y 满足不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y =+的最小值是__________．14．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值为 . 15．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．16．已知00(x ,y )M是双曲线12,F F是上的两个焦点，若12F MF ∠为钝角，则的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）在ABC ∆中，角,,,C B A 角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且满足cos (2)cos(B)b A c a π=+-（1）求角B 的大小；（2）若ABC b ∆=,4的面积为3，求c a +的值．18.（本小题12分）如图，多面体ABCDEF 中，BE BC BA ,,两两垂直，且2,//,//==BE AB BE CD EF AB ，1===EF CD BC ．（1）若点G 在线段AB 上，且GA BG 3=，求证：ADF CG 平面//； （2）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值．19.（本小题12分）（普通班）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+（n +∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和．（实验班）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S a n =+，且(1)n n b n a =-． （1）求证：{1}n a -为等比数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20.（本小题12分）（普通班）如图，四边形ABCD 为菱形，60=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，E 为PC 中点．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面PBA 与平面EBD 所成二面角（锐角）的余弦值．（实验班）如图，已知长方形ABCD中，AB =AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为21.（本小题12分）（普通班）已知椭圆228x 18136y +=上一点M 的纵坐标为2． （1）求M 的横坐标；A BCDE P（2）求过点M 且与22x 194y +=共焦点的椭圆方程。
【精】内蒙古包头三十三中高二上学期期中数学试卷和解析理科1
2018学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（1）一.选择题：（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）sin（﹣π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．2．（5分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．23．（5分）化简的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．14．（5分）在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．5．（5分）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°7．（5分）已知α，β都是锐角，若sinα=，sinβ=，则α+β=（）A．B． C．和D．﹣和﹣8．（5分）若α∈（0，2π），且sinα+cosα=﹣，则tanα=（）A．± B．或C．D．±9．（5分）已知向量，满足||=5，||=4，|﹣|=，则与的夹角θ=（）A．150°B．120°C．60°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④B．①③C．②③D．③④11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），则a3=．14．（5分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•=．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．19．（12分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．（Ⅰ）求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．20．（12分）叙述并证明正弦定理．21．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的周期为．（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．22．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n（n∈N*），试求数列{a n}的通项公式a n．2018学年内蒙古包头三十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一.选择题：（每题5分，共60分）每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的.1．（5分）sin（﹣π）=（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：sin（﹣π）=sin（10π﹣π）=sin=．故选：B．2．（5分）已知向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，则x=（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2【解答】解：向量=（x，2），=（﹣2，﹣x），若两向量方向相反，所以=（x，2）=﹣=﹣（﹣2，﹣x），所以x=2．故选：D．3．（5分）化简的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．4．（5分）在△ABC中，若，，B=120°，则a等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：在△ABC中，若，，B=120°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即6=a2+2﹣2a•（﹣），解得a=，或a=﹣2（舍去），5．（5分）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选：D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）A．60°B．90°C．120° D．150°【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，∴c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC====，∵0°＜C＜180°，∴C=120°，故选：C．7．（5分）已知α，β都是锐角，若sinα=，sinβ=，则α+β=（）A．B． C．和D．﹣和﹣【解答】解：∵α、β为锐角，sinα=，sinβ=，∴cosα==cosβ==∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=∴α+β=8．（5分）若α∈（0，2π），且sinα+cosα=﹣，则tanα=（）A．± B．或C．D．±【解答】解：把sinα+cosα=﹣①＜0，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，∵α∈（0，2π），∴sinα＜0，cosα＜0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=或﹣②，联立①②，解得：sinα=﹣，cosα=﹣；sinα=﹣，cosα=﹣，则tanα==或，故选：B．9．（5分）已知向量，满足||=5，||=4，|﹣|=，则与的夹角θ=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵|﹣|=，∴=，又||=5，||=4，∴52+42﹣2×5×4cosθ=61，化为cosθ=﹣，∴θ=120°．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是（）A．①②④B．①③C．②③D．③④【解答】解：∵f（x）=cosxsinx=sin2x若f（x1）=﹣f（x2），则sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2）∴2x1=﹣2x2+2kπ时满足条件，即x1+x2=kπ可以，故①不正确；由函数f（x）=sin2x知周期T=，故②不正确；令，得﹣，当k=0时，x∈[﹣，]，f（x）是增函数，故③正确；将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．故选：D．11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．12．（5分）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，∴由正弦定理得：，在三角形中，sinA≠0，sinB≠0，∴，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，则sin2B=sin2A，∴A=B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），则a3=12．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n=a n﹣1+3n﹣2（n≥2），∴a2=1+6﹣2=5，a3=5+9﹣2=12．故答案为：12．14．（5分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•=．【解答】解：如图所示，∵==，∴，∴•===﹣．故答案为：．16．（5分）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15三．解答题（共6小题，共70分）解答题应写出演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC18．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα．【解答】解：（1）=1，同理=1．∵|﹣|=，∴=，化为2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α﹣β）=．（2）∵0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，∴0＜α﹣β＜π，=．∴sin（α﹣β）==．∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ==．19．（12分）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船．（Ⅰ）求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（已知cos49°=）．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：△ABC中，AB=20，AC=10，∠CAB=120°，∴CB2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠CAB…（3分）即CB2=202+102﹣2×20×10cos120°=700，，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里．…（6分）（Ⅱ）△ABC中，AB=20，，∠CAB=120°，由正弦定理得即∴…（9分）∵，∴∠ACB=41°，故救援船应沿北偏东710的方向救援．…（12分）20．（12分）叙述并证明正弦定理．【解答】正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即（2R三角形外接圆的直径）证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点HCH=a•sinBCH=b•sinA∴a•sinB=b•sinA得到同理，在△ABC中，，因为同弧所对的圆周角相等，所以，．21．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的周期为．（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣）﹣，其周期T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（4x﹣）﹣；由﹣+2kπ≤4x﹣≤+2kπ（k∈Z）得：﹣≤x≤+（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[﹣，+]（k∈Z）；（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，∴b2=ac，又由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosx≥2ac﹣2accosx（当且仅当a=c时取等号），∴ac≥2ac﹣2accosx，∴cosx≥，由x∈（0，π），∴0＜x≤，﹣＜4x﹣≤，∴﹣sin（4x﹣）≤1，﹣1≤sin（4x﹣）﹣≤；∴函数f（x）的值域为[﹣1，]．22．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n（n∈N*），试求数列{a n}的通项公式a n．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n（n∈N*），∴=，∴=1×=．a1=1适合上式，故．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
内蒙古包头三十三中高二数学上学期期中试题2 理(含解
包头市三十三中2012级高二年级数学（理科）第一学期期中Ⅱ考试试卷一、选择题（每题5分）1、已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为12d r ==<=，所以直线与圆有两个交点，所以A ∩B 的元素个数为2.2、已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥ex ”，命题q ：“∃x ∈R ，x2＋4x ＋a ＝0”， 若命题“p ∧q ”是真命题；则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1，4]C ．[e ，4]D ．(－∞，1] 【答案】C【解析】若命题p 为真命题，需满足()[]max(0,1)x a e x ≥∈，所以a e ≥；若命题q 为真命题，需满足2440a ∆=-≥，解得4a ≤，所以命题“p ∧q ”是真命题实数a 的取值范围是[e ，4]。
3、命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 【答案】C【解析】命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”。
4、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B【解析】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数。
5、下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a2＞b2D ．a3＞b3 【答案】A【解析】若a ＞b ＋1，则a ＞b 一定成立，反之若a ＞b ，则a ＞b ＋1不一定成立，所以a ＞b ＋1 是a ＞b 成立的充分而不必要条件。
内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷
内蒙古包头市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·浙江模拟) 已知直线平面，直线平面，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2020·榆林模拟) 关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A . 甲B . 丙C . 甲与丙D . 甲与乙4. （2分）已知等差数列{an}满足a2=3，=51(n>3) ，= 100，则n的值为（）A . 8B . 9C . 10D . 115. （2分）(2020·兴平模拟) 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度6. （2分）(2017·许昌模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 3B .C .D .7. （2分）(2018·山东模拟) 已知抛物线，若过点作直线与抛物线交，两个不同点，且直线的斜率为，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知向量 =（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A . （﹣1，1，0）B . （1，﹣1，0）C . （0，﹣1，1）D . （﹣1，0，1）9. （2分） (2016高二下·南安期中) 二项式的展开式中x的系数为（）A . 5B . 10C . 20D . 4010. （2分）一个平面截一个球得到截面面积为的圆面，球心到这个平面的距离是3cm，则该球的表面积是（）A .B .C .D .11. （2分）设斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线离心率e的取值范围是（）A . e＞B . e＞C . 1＜e＜D . 1＜e＜12. （2分）(2017·厦门模拟) 已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（）A .B .C .D .二、非选择题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·南通期中) 从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为________．14. （1分） (2016高三上·湖北期中) 已知x＞1，y＞1，且 lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值为________．15. （1分）(2017·山东模拟) 已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．16. （1分） (2017高二上·江苏月考) 已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·宝坻期末) 已知A、B、C为三角形ABC的三内角，其对应边分别为a，b，c，若有2acosC=2b+c成立．（1）求A的大小；（2）若，b+c=4，求三角形ABC的面积．18. （15分） (2015高二下·徐州期中) 设函数f（x）= （其中p2+q2≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{an}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a1x+a2x+a2x2+…+anxn+…（1）求a1，a2的值（用p，q表示）；（2）求{an}的通项公式；（3）当n∈N*且n≥2时，比较（an﹣1）an与（an）的大小．19. （10分）连续投掷一枚质量均匀的硬币，10次中出现正面的次数记为x．（1）求随机变量x的数学期望E（x）；（2）求10次投掷中出现正面次数多于出现背面次数的概率P（x＞5）．20. （10分）(2017·南阳模拟) 如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．21. （10分） (2019高三上·郑州期中) 已知椭圆：的焦点分别为，，椭圆的离心率为，且经过点，经过，作平行直线，，交椭圆于两点，和两点， .（1）求的方程；（2）求四边形面积的最大值.22. （5分） (2017高二下·台州期末) 设m∈R，函数f（x）=ex﹣m（x+1） m2（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若m=2，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知实数x1 ， x2满足x1+x2=1，对任意的m＜0，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，求x1的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有一个极小值点为x0 ，求证f（x0）＞﹣3，（参考数据ln6≈1.79）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、非选择题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
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2016-2017学年内蒙古包头三十三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．（5分）某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m+2n=1.2，则m﹣的值为（）A．﹣0.2 B．0.2 C．0.1 D．﹣0.12．（5分）服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116，64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（）A．0.3% B．0.23% C．1.5% D．0.15%3．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．4．（5分）若a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．（5分）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），则++…+的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣26．（5分）一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．59．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或110．（5分）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A．B．C．D．11．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．15012．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩（所有成绩取整数）的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．14．（5分）执行下边的程序框图，输出的T=．15．（5分）如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P（ξ≥8）=．16．（5分）若不等式a•4x﹣2x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．三、简答题（共70分），写出必要的解题过程.17．（10分）变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．18．（12分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（12分）为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为．（1）请将2×2列联表补充完整；据此数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？（2）（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）20．（12分）函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知（+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x﹣1）n的展开式的二项式系数和大992．求（2x﹣）10的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．22．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．2016-2017学年内蒙古包头三十三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．（5分）某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m+2n=1.2，则m﹣的值为（）A．﹣0.2 B．0.2 C．0.1 D．﹣0.1【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得m和n的一个关系式，与m+2n=1.2联立求出m和n．【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质，可得m+n+0.2=1，又m+2n=1.2，所以m=0.4，n=0.4，所以m﹣=0.2故选B．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，属基本题．2．（5分）服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116，64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（）A．0.3% B．0.23% C．1.5% D．0.15%【分析】变量服从正态分布N（116，82），即服从均值为116，方差为64的正态分布，成绩在区间（92，140）的概率为0.997，可得成绩在140分以上的概率为（1﹣0.997）=0.0015，化为百分比得答案．【解答】解：由题意，μ=116，σ=8，在区间（92，140）的概率为0.997，∴成绩在140分以上的概率为（1﹣0.997）=0.0015．∴成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.15%．故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．4．（5分）若a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】因为a==ln，b=，c==，所以先比较，，的大小，然后再比较a，b，c的大小．【解答】解：a==ln，b=，c==，∵，，，，∴，∴c＜a＜b．故选C．【点评】本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数函数单调性的合理运用．5．（5分）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），则++…+的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】先令x=0，求出a0，再令x=，得到恒等式，移项即可得到所求的值．【解答】解：由题意，令x=0时，则a0=1，令x=时，则a0+a1（）+a2（）2+…+a2014（）2014=（1﹣2×）2014=0，∴++…+的值为0﹣a0=﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的运用，考查解决的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．6．（5分）一个盒子里有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回，则若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，已知第一只是好的，则盒子里还有5只好晶体管，4只坏晶体管，故可求概率．【解答】解：根据题意，已知第一只是好的，则盒子里还有5只好晶体管，4只坏晶体管，∴若已知第一只是好的，则第二只也是好的概率为故选C．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查学生的计算能力．7．（5分）箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，根据所给的条件可知取到一个白球的概率和取到一个黑球的概率，第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，写出表示式．【解答】解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，取到一个白球的概率是，去到一个黑球的概率是其概率为．故选B．【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，这种题目出现的比较灵活，可以作为选择或填空出现，也可以作为解答题目的一部分出现．8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．9．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．10．（5分）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A．B．C．D．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．【点评】本题考查古典概型、组合数运算，考查运算能力．11．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33种分法，分成2、2、1时，有种分法，所以共有种方案，故选D．【点评】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．12．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y ≤4，要满足条件须|x﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选C【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩（所有成绩取整数）的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【分析】由茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后利用乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由茎叶图得，甲5次综合测评中的成绩分别为87，80，92，93，98，则甲的平均成绩为：（87+80+92+93+98）=90；设污损数字为x，则乙5次综合测评中的成绩分别为82，84，89，97，90+x则乙的平均成绩：（82+84+89+97+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．14．（5分）执行下边的程序框图，输出的T=30．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：根据程序框图，运行如下：S=0 N=0 T=0S=5 N=2 T=2S=10 N=4 T=6S=15 N=6 T=12S=20 N=8 T=20S=25 N=10 T=30此时T＞S，故输出T=30．故答案为：30．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．（5分）如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P（ξ≥8）=．【分析】由已知，ξ的取值为7，8，9，10，分别求出相应的概率，从而由P（ξ≥8）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10），能求出结果．【解答】解：由已知，ξ的取值为7，8，9，10，∵P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）===，P（ξ=10）==，∴ξ的概率分布列为∴P（ξ≥8）=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）=++=．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机的分布列的性质的合理运用．16．（5分）若不等式a•4x﹣2x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（，+∞）．【分析】利用换元思想：令t=2x，t＞0，根据二次函数的图象和性质对判别式和对称轴讨论即可．【解答】解：令t=2x，t＞0，∴at2﹣t+1＞0对任意t＞0恒成立，当a=0时，显然不成了，∴a＞0，当△=1﹣4a＜0即a＞，显然成立，当△=1﹣4a≥0时，﹣≤0，∴a≤0不成立，故答案为（，+∞）．【点评】本题考查了换元思想的应用和二次函数的图象和性质．属于基础题型，应熟练掌握．三、简答题（共70分），写出必要的解题过程.17．（10分）变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．【点评】本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道中档题．18．（12分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【分析】（1）由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40，根据平均数的求法，计算可得答案．（2）欲求他们参加活动次数恰好相等的概率，频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，利用公式P0=即可；（3）ξ可能取值是：0，1，2．分别计算出取这此值时的概率即得分布列，再根据数学期望即可计算出结果．【解答】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为==2.3．（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为P0==．（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知P（ξ=1）=P（A）+P（B）=+=；P（ξ=2）=P（C）==；ξ的分布列：ξ的数学期望：Eξ=0×+1×+2×=．【点评】考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望，本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．19．（12分）为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为．（1）请将2×2列联表补充完整；据此数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？（2）（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值得出结论；（2）计算随机变量ξ对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下；计算观测值K2=≈6.667＞6.735，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关；（6分）（2）随机变量ξ可以取0，1，2，且P（ξ=0）===，P（ξ=1）===，P（ξ=2）===，故ξ的分布列为数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×=．（12 分）【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了列联表与独立性检验的问题，是中档题．20．（12分）函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．（2）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）对一切实数x恒成立，转化为二次函数恒为非负，利用根的判别式小于等于0即可．（2）对于[﹣2，2]区间内的任意x恒成立，同样考虑二次函数的最值问题，按区间与对称轴的关系分三种情况讨，最后结合图象即可解决问题．【解答】解：（1）∵x∈R时，有x2+ax+3﹣a≥0恒成立，须△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即a2+4a﹣12≤0，所以﹣6≤a≤2．（2）当x∈[﹣2，2]时，设g（x）=x2+ax+3﹣a≥0，分如下三种情况讨论（如图所示）：①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a2﹣4（3﹣a）≤0，即﹣6≤a≤2．②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，当﹣≤﹣2时，g（x）≥0，即即⇔解之得a∈Φ．③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，﹣≥2时，g（x）≥0，即即⇔⇔﹣7≤a≤﹣6综合①②③得a∈[﹣7，2]．【点评】本题主要了一元二次不等式恒成立的问题，注意（1）、（2）两问的不同点，都是利用了二次函数图象的特点数形结合解决问题的．21．（12分）已知（+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x﹣1）n的展开式的二项式系数和大992．求（2x﹣）10的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．【分析】（1）由条件求得m=5，利用二项式系数的性质可得第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项．（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，由通项公式可得，求得r=3，可得第4项的系数的绝对值最大，再利用二项式展开式的通项公式，求得该项．【解答】解：（1）由题意可得22n=2n+992，即（2n﹣32）（2n+31）=0，∴2n=32，n=5．由于（2x﹣）10的展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，由通项公式可得该项为T6=•（﹣1）5•25=﹣8064．（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，∵T r=•（﹣1）r•210﹣r•x10﹣2r，+1∴，求得≤r≤，∴r=3，故第4项的系数的绝对值最大，该项为T4=﹣•27•x4=﹣15360x4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．22．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：E（X）=2×+3×+4×+5×=．【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．。