玉岩中学攀岩杯竞赛高二数学试题答案

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高二数学竞赛试题及答案广东

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

高二数学竞赛试题及答案

⾼⼆数学竞赛试题及答案⾼⼆年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）⼀、填空题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）1．命题:p ⽅程11522=-+-m y m x 表⽰焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成⽴的充分不必要条件是 A ．53<m C ．51<2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ??=>，则A B = （）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满⾜()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则该双曲线的标准⽅程为（）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（）①若,m ααβ⊥⊥，则//m β；②若,//,m n ααββ⊥?，则m n ⊥；③若,,//m n m n αβ??，则//αβ；④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成⽴的是（）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，02π<<）的部分图像如图所⽰，则函数()f x 的解析式为（） A．())3f x x π=+ B．())6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正⽅体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底⾯ABCD 的中⼼，P 为棱11A B 上的任意⼀点，则直线OP 与直线AM 所成的⾓为（）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．⼀只蚂蚁从正⽅体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正⽅体的表⾯，按最短路线爬⾏到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表⽰正⽅体及蚂蚁最短爬⾏路线的正视图是（）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ??=-<< 的图象是（）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等⽐数列，则椭圆的离⼼率e 的取值范围是（）A.)1,1B.1,1??C.(1?? D.0,2? ??12．已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中⼼为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ?周长的最⼩值为（）A ．24BC ．14 D第II 卷（⾮选择题）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹⾓为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满⾜22=+y x ，则xyyx 8+的最⼩值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于⼀切[)0,x ∈+∞恒成⽴；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ?∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所⽰，已知⼆⾯⾓α-MN -β的⼤⼩为60°，菱形ABCD 在⾯β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥⾯α，垂⾜为O .(1)证明：AB ⊥平⾯ODE ；(2)求异⾯直线BC 与OD 所成⾓的余弦值．19．（12分）如图所⽰，在ABC ?中, 点D 为BC 边上⼀点，且1,BD E =为AC 的中点（1）求AD 的长；（2）求ADE ?的⾯积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成⽴，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线y x =. ⑴求椭圆的⽅程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN ⾯积的最⼤值和最⼩值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满⾜1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满⾜()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前⾯；当n 为偶数时，n b 放在前⾯”的要求进⾏“交叉排列”，得到⼀个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n项和n S ．参考答案⼀、选择题1．D 解析：⽅程表⽰焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->??->??->-?，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ??=-= ，故10,2A B ??=.3.D 解析：由已知1n n a a +=4. A解析：,e c a =?==，渐近线⽅程222202x y x b b -=?=±，因此左顶点到⼀条2a b =?==，即该双曲线的标准⽅程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β?，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代⼊验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所⽰建⽴空间直⾓坐标系，不妨设正⽅体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =--- ，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ?=-?-?+-?-= ，即OP AM ⊥，故夹⾓为2π，故选C.9．D 解析：最短距离是正⽅体侧⾯展开图，即矩形111ABCC B A A 的对⾓线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对⾓线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥?≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线c o s (4)s i n x y θθ+-=的距离直线c o s (4)s i n x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表⽰除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合，∴集合A C U 表⽰圆()2241x y +-=，其对称中⼼()0,4M如图所⽰：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =??=?，可得M '（4，8）．设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ?的周长为⼩值，⼆、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所⽰，①)(x f 的最⼤值为1，最⼩值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成⽴，正确；②，故不正确；③如图所⽰，函数()()ln 1y f x x =--有证，所以对任意0>x ，不等.三、解答题17. 解析：若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ?>??<120,240,a a a a a ?+->?<01,,a x a x a g x a a x a x a --≥??=>?-++即()g x在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最⼩值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴实数a 的取值范围为18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ?α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三⾓形，⼜E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .⽽DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平⾯ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的⾓．由(1)知，AB ⊥平⾯ODE ，所以AB ⊥OE .⼜DE ⊥AB ，于是∠DEO 是⼆⾯⾓α-MN -β的平⾯⾓，从⽽∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ?中，知2250DCDC ∴--=,.20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ?-∈-?=?∈??，所以()()max 13f x f ==，因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ?∈-都成⽴，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ?∈-恒成⽴，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ?-+≥?++≥?，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ?+≤?-≤?，所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的⽅程为()222210x y a b a b+=>>；联⽴22221x y a by x ?+==?得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯⼀根；所以()()()2222222430b a a a b =--+-= ，得223b a +=⼜221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的⽅程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的⽅程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联⽴()22222212142202x y k x k x k y kx k+=+++-==+得，则12PQ x =-=同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ?? ?++===- ?++++ =2211442410k k- ++，因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k∈++，所以2211164,2429410k k ??-∈++，所以四边形PQMN ⾯积的最⼩值为169，最⼤值为2。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

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高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高二数学竞赛试题参考答案

参考答案：一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；15．130 16．)1,21[-三、解答题： 17．解: (Ⅰ)由cos C =C是三角形内角，得sin C ==∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+22== (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC ACA B=，sin sin AC BC A B ==6=132AC CD BC ===, cos 5C =, 由余弦定理得:AD ==18．解：（1(2)(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9219．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-=又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。

故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ．（II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=，222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==．法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则1)(='c f 与已知矛盾。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高中数学竞赛试题及解题答案

高中数学竞赛试题及解题答案在高中数学竞赛中，试题是考察学生数学思维和解决问题的能力的重要手段。

下面将为大家提供一部分高中数学竞赛试题及解题答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用数学知识。

一、整数与多项式试题1：已知多项式P(x)满足P(x)=x^3-5x^2+ax+b，其中a、b均为整数。

若多项式P(x)除以(x-1)得到余数4，则多项式P(x)除以(x+2)的余数为多少？解题思路：我们知道，多项式f(x)除以x-a的余数等于把a带入f(x)中所得到的值。

那么，题目中给出了P(x)除以(x-1)的余数为4，即P(1)=4，我们可以将1代入P(x)中，得到一个方程。

同理，题目要求求解P(x)除以(x+2)的余数，即P(-2)=？根据题意，我们有以下方程：P(1) = 4，即1^3 - 5(1^2) + a(1) + b = 4P(-2) = ?，即(-2)^3 - 5((-2)^2) + a(-2) + b = ?解题步骤：1. 代入P(1)的方程求解：1 - 5 + a + b = 4化简得 a + b = 82. 代入P(-2)的方程求解：-8 - 20 - 2a + b = ?化简得 -2a + b = ?将两个方程合并求解可得：-2a + b = a + b - 16当两边消去b时，可得：-2a = a - 16a = -8将a代入第一个方程a + b = 8，可得：-8 + b = 8b = 16因此，通过计算可得多项式P(x)除以(x+2)的余数为-16。

试题2：已知整数序列a1, a2, a3, ...，其中a1 = 1，a2 = 2，an = an-1 + an-2（n ≥ 3）。

求证：对于任意正整数n，任务子序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。

解题思路：根据题意，我们需要证明对于任意正整数n，序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。

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2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小分20 分）x=l 是函数的一个极点（，自然数的底）．（ 1）求与的关系式（用表示），并求的区；（ 2）若在区上的最小 0，最大 , 且。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。

答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。

答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。

高二数学竞赛测试题参考答案

参考答案1．18【解析】sin10sin50sin70︒︒︒=000001sin80sin10cos10cos20cos4018sin10cos20cos40cos10cos108===2．8【解析】由f(x)=x 2−1，得f ′(x)=2x ，则x n+1=x n −x n2−12x n =x n2+12x n，所以x n+1−1==(x n −1)22x n，x n+1+1==(x n +1)22x n，所以x n+1−1x n+1+1=(x n −1)2(x n+1)2，所以ln xn+1−1x n+1+1=ln (x n −1)2(x n+1)2＝2ln x n −1x n+1，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则．3．{}1,0-【解析】当()0,12x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=1200x -⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦当[)12,20x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()111⨯-=- 所以值域为{}1,0-4．1322i -± 【解析】由题意可设(),,,0,x yi x y R y x yi αβ=+∈≠=- ，由2R αβ∈得()()232322303x yi x yi R x y y y x x yix y++=∈⇒-=⇒=±-+所以αβ= ()()2222234x xi x yi x yi x yi x y x ±++===-+ 1322i -± 5．【解析】【分析】由正弦定理得，，由此能sinβ，cosβ，tanα＝sin∠BAC＝sin（α+β）得cosα，sinα，从而得到cos∠BAC，由此利用余弦定理能求出BC．【详解】∵在△ABC中，AB＝2，AC＝4，是的中点，记∠CAD＝α，∠BAD＝β，∴，，∴sin，sin＝CD sin∠ADC，∵BD＝CD，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴sinα：sinβ＝：CD sin∠ADC2：1．即得sinβ，cosβ，∴tanα＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sinα，∴，∴cos2α+cosα2，解得cosα，或cosα（舍），sinα，∴sin∠BAC，cos∠BAC，∴BC．故答案为．【点睛】本题考查三角形边长的求法，解题时要认真审题运算，注意正弦定理和余弦定理的合理运用,是中档题. 6．【解析】【分析】如图建立空间坐标系，利用长度关系明确P 点坐标，借助向量夹角公式得到结果. 【详解】,设∵∴,故答案为：【点睛】本题以棱锥为背景，考查角的大小的度量，考查空间坐标法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题. 7．223x y +=【解析】设点P 为()11,x y ，则1l 方程为()11y y k x x -=- ，与2212x y +=联立方程组得()()()2221111124220k x k y kx x y kx +--+--= ，所以()222111102210k x kx y y ∆=⇒--+-= ，由题意得()22211112210k x kx y y --+-=的两根乘积为-1，所以222111211132y x y x -=-⇒+=-，当1l 的斜率不存在时也满足，因此点P 轨迹方程为223x y += 8．()2,4【解析】设直线方程x ty m =+ ,与抛物线方程联立得()22440160y ty m t m --=∴∆=+>中点()2222,2,13230MC l M t m t k k m t t +=-∴=-∴->当0t = 时,显然有两条直线满足题意,因此0t ≠时,还有两条直线满足题意,即()2,4r ==点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围． 9．165【解析】由题意得22112t at b a b t t ⎛⎫⎛⎫+++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即][()22211120,2,,22,4t a t b b u au u t u t t t ⎛⎫⎛⎫++++=∴-=+=+∈-∞-⋃+∞⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此224a b +()()()()246422342222414112121141u u u u u a au u u u u u+-=+++≥==++-+++ 116142145≥++-=+ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．32,e e --（）【解析】令()()()()23,xxf x f xg xh x ee==，则()()()()()()23230,0xxf x f x f x f xg xh x e e --=>=''<'()()()()220162201732016320172016201720162017,f f f f e e e e ⨯⨯⨯⨯∴()()()()2320162016,,20172017f f e e f f --∴即()()20162017f f 的范围是32,e e --（）点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等11．【解析】试题分析：()1由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭，再次代入得a b c ==时，取等号()2由（1）知， a b c ==时， 0∆=，此时()f x 仅有一个零点；当a b c 、、不全相等时， 0∆<，此时()f x 零点个数为0 解析：（1）由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭()()22223332222a b c b c ac b a a b c ab bc ac++=++⇒++≥++，当且仅当222222b c a a b c==，即a b c ==时，取等号.12．（1）2， 1；（2）()813y x =--. 【解析】试题分析：（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==，联立解得a ；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥，由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得：()2224240kx kx k +-+-=，设点P 的坐标为(),P P x y ，由根公式，得点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．由 10AP AQ ⋅=，即可得出k 的值，从而求得直线方程.试题解析（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B 是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==可得设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2a =， 1b =．（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得： ()2224240k x kx k +-+-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，由()()()210,{10,y k x k y x y =-≠=-+≤得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．依题意可知AP AQ ⊥，∴()22,44kAP k k =-+， ()1,2AQ k k =-+． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ⋅=，即()2224204k k k k -⎡⎤-+=⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-，经检验， 83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--． 13．见解析【解析】试题分析:根据平角得R A S 、、三点共线，根据同弦所对角相等得 F R S E 、、、四点共圆．根据四点共圆性质得MRB FRA ∠=∠，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+．试题解析:解：延长1BO 、2BO 分别与圆1O 、圆2O 相交于点R S 、，连结RM RF RB SA SE SN AB 、、、、、、．则90BAR BAS ∠=∠=︒，所以R A S 、、三点共线．又90RFS SER ∠=∠=︒，于是F R S E 、、、四点共圆．故MRF MBF EFB ERS ∠=∠=∠=∠，从而MRB FRA ∠=∠，因此MB FA =，同理NB AE =．所以MN AE AF =+．14．见解析【解析】试题分析：放缩证明：先证12n a n ≤+，再证()111xn x x ++＞．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜．由裂项相消法求和可得结论试题解析:下面用数学归纳法证明：当2n ≥， n N ∈时， 12n a n ≤+， ①当2n =时， 222111111124422a a a a ⎛⎫=-=--+≤= ⎪+⎝⎭，上述结论成立；②设n k = 2k ≥（）时， 12k a k ≤+成立，则当1n k =+时 21k k k a a a +=-+=2211112422k a k ⎛⎫⎛⎫--+≤-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭211444k k k ++=++＜ 2114312k k k k +=++++，（）所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②得，对任意的2n ≥， n N ∈都有12n a n ≤+．当1n =时， 11121113S a n+==+＜；当2n ≥时， 2112nn i S i =++∑＜．下面证明： 21211123ni n n i =++++∑＜，即证明212123ni n n i =++∑＜ 2n ≥（）．设函数()()111xf x n x x =+-+ 0x （＞），则 ()()()22110111x f x x x x =-=+++'＞，所以()f x 在0+∞（，）上是增函数，所以()()00f x f =＞恒成立，即()111xn x x ++＞．令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜．故()()22121211123nn i i n n n n n n i ==+⎡⎤+-+=⎣⎦+∑∑＜所以2121123ni n n i =+++∑＜．综上可得2113nn S n +≤+．。

2022全国高中数学竞赛真题及答案详解

2022全国高中数学竞赛真题及答案详解高中数学竞赛一直以来都是对学生数学能力的高难度挑战，2022 年的全国高中数学竞赛也不例外。

接下来，让我们一起深入剖析这次竞赛的真题及详细答案。

首先来看第一道题，这是一道关于函数性质的题目。

已知函数 f(x)＝ x³ 3x ＋ 1，求其在区间-2, 2上的最大值和最小值。

对于这道题，我们先对函数求导，f'（x) ＝ 3x² 3，令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ ±1。

然后分别计算函数在端点和极值点处的值，f(－2) ＝－1，f(－1) ＝ 3，f(1) ＝－1，f(2) ＝ 3。

所以，函数在区间-2, 2上的最大值为 3，最小值为-1。

再看第二道题，它是一道几何证明题。

在三角形 ABC 中，AD 是角A 的平分线，且 BD ： DC ＝ 2 ： 1。

求证：AB ： AC ＝ 2 ： 1。

这道题我们可以利用角平分线定理来解决。

因为 AD 是角 A 的平分线，所以根据角平分线定理，AB/AC ＝ BD/DC ＝ 2/1，从而得证。

接下来是第三道题，是一个数列问题。

已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，求数列{aₙ}的通项公式。

我们可以通过构造等比数列来求解。

将等式两边同时加 1，得到aₙ₊₁＋ 1 ＝ 2(aₙ ＋ 1)，所以数列{aₙ ＋ 1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。

根据等比数列通项公式可得 aₙ ＋ 1 ＝2ⁿ，所以 aₙ ＝2ⁿ 1。

然后是第四道题，这是一道关于复数的题目。

已知复数z ＝1 ＋i，求 z 的模和辐角。

复数 z ＝ 1 ＋ i 的模为｜z| ＝√（1²＋ 1²) ＝√2，辐角为 arctan(1/1) ＝π/4。

接着看第五道题，是一个概率问题。

从 1，2，3，4，5 这五个数字中随机抽取三个数字，求这三个数字能构成等差数列的概率。

总的组合数为 C₅³＝ 10 种。

全国高二高中数学竞赛测试带答案解析

全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

高二数学竞赛试卷试题

智才艺州攀枝花市创界学校西亭高级2021-2021第一学期高二数学竞赛试卷说明：本套试卷分第一卷和第二卷.考试时间是是120分钟，总分值是160分.请将第一卷选择题之答案需要用2B 铅笔填涂到答题卡上，第二卷之答案做在答卷纸的相应位置上.交卷时只交答题卡和答卷纸，试卷自己保存.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题6分，一共60分)1.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有一样的焦点，那么实数n 的值是〔〕 A ．5±B ．3±C ．25D ．92．函数()y f x =的导数0y '>是函数()f x 单调递增的〔〕A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，假设边MF 1的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是〔〕A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+4．以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，那么此圆锥曲线〔〕 A5．假设抛物线24y x =的焦点是F ，准线是l ，点M(4,m )是抛物线上一点，那么经过点F 、M 且与l 相切的圆一一共有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，那么点M 的轨迹是〔〕A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．抛物线22x y =上离点(0,)A a 最近的点恰好是顶点，那么结论成立的充要条件是〔〕A ．0a ≤B ．12a ≤C ．1a ≤D ．2a ≤ 8．下面有三个游戏规那么，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是〔〕A.游戏1和游戏3B.游戏1C.游戏2D.游戏39.对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，假设点 M(x 0，y 0)在抛物线内部，那么直线l ：y 0y ＝2〔x ＋x 0〕与抛物线C 〔〕A ．恰有一个公一共点B ．恰有两个公一共点C ．可能一个公一共点，也可能两个D ．没有公一共点 10．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且(3)0g -=，那么不等式()()0f x g x <的解集是〔〕 A ．()()3,03,-+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),30,3-∞-D ．()(),33,-∞-+∞第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题：〔本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分〕11．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为b ，}9,,2,1,0{, ∈b a ，假设1||≤-b a ，就称甲乙“心有灵犀〞.现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀〞的概率为____▲____．12．如下列图,底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，那么这个椭圆的离心率为▲． 13．在曲线y=x 3-x 上有两点O(0，0)、A(2，6)，点P 在弧OA 上，且使ΔAOP 的面积最大，那么点P 的坐标为▲.14．当a =▲时，直线1y ax =+与抛物线28y x =只有一个公一共点．15．设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，〔a 、b 、c 是两两不等的常数〕，那么='+'+')()()(c f c b f b a f a ▲． 16．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半局部于1234567, , , , , , P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，那么1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=▲．三、解答题：〔本大题一一共4小题；一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题总分值是16分〕三点P 〔5，2〕、1F 〔－6，0〕、2F 〔6，0〕；〔1〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的HY 方程；〔2〕设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的HY 方程．18．〔本小题总分值是18分〕抛物线22 (0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的间隔等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ；〔1〕求该抛物线的方程；〔2〕过点M 作MN FA ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；时，讨论直〔3〕以M 点为圆心，MB 为半径作圆M ，当 (, 0)K m 是x 轴上一动点线AK 与圆M 的位置关系．19．〔此题总分值是18分〕抛物线1C :2y x =-，2C :2y x ax =-+，假设直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线. 〔1〕假设1a =，求1C 与2C 的公切线方程；〔2〕假设直线l 与1C 和2C 分别相切于点A 、B，且AB =求a 的值. 20．〔本小题总分值是18分〕设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N 〔1，3〕是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.〔1〕确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；〔2〕试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.[参考答案]1～10BBDADACDDC 1257124.a =0或者215.015 17解〔1〕由题意，可设所求椭圆的HY 方程为22x a +221y b=(0)a b >>，其半焦距6c =； 122||||a PF PF =+==a=22245369b a c =-=-=，故所求椭圆的HY 方程为245x +219y =；〔2〕点P 〔5，2〕、1F 〔－6，0〕、2F 〔6，0〕关于直线y ＝x 的对称点分别为：(2, 5)P '、1'F 〔0，6-〕、2'F 〔0，6〕设所求双曲线的HY 方程为221x a 2211y b -=11(0, 0)a b >>，由题意知半焦距16c =， 1122|''||''|a P F P F =-==1a=222111362016b c a =-=-=，故所求双曲线的HY 方程为220y 2116x -=． 18解：〔1〕抛物线22y px =的准线为2p x =-，于是452p +=；∴2p =； ∴抛物线方程为24y x =．〔2〕∵点A 的坐标是〔4，4〕，由题意得B 〔0，4〕，M 〔0，2〕，又∵F 〔1，0〕，∴43; , 34FAMN k MN FA k =⊥∴=-；那么FA 的方程为4(1)3y x =-，MN 的方程为324y x -=-；解方程组4(1)3324y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩可得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴84 (, )55N ．〔3〕由题意得，圆M 的圆心是点〔0，2〕，半径为2；当m =4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m≠4时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即为4(4)40x m y m ---=；圆心M 〔0，2〕到直线AK的间隔d =2d >，解得1m >；∴当1m >时，直线AK 与圆M 相离；当m =1时，直线AK 与圆M 相切；当1m <时，直线AK 与圆M 相交．:1.利用导数的几何意义求出切线斜率关于切点坐标的表达式;2.由公切线得切点坐标关于所求待定系数的表达式;3.把弦长转化为关于所求待定系数的方程.解:y ′=(-x 2)′=-2x,y ′=(-x 2+ax)′=-2x+a,∴C 1在点A 的切线方程是y+x A 2=-2x A (x-x A ),即y=-2x A x+x A 2.C 2在点B 的切线方程是y+x B 2-ax B =(-2x B +a)(x-x B ),即y=(-2x B +a)x+x B 2 ∵l 是C 1与C 2的公切线.∴⎩⎨⎧=-=.,2222B A B A x x a x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.4,4a x a x B A . ∵453=AB ,∴453)2(12=--+B A x x a .∴a=5±.解题回忆:一般地,利用导数几何意义可分别求出公切线在两切点的斜率,由同一条直线的斜率,截距相等,列出关于切点坐标的方程组,解得切点坐标,由相关公式把数量关系转化为所求待定系数的方程.20解〔1〕依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ②…………4分)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是〔12，+∞〕.……6分于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即………8分〔2〕,31,20.CD AB CD y x x y ∴-=--+=垂直平分直线的方程为即代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④……10分将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤ 同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥12||||.AB CD λ>>∴<当时……12分假设在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点一共圆，那么CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的间隔为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.……16分。

2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a =(2,−1,3)，b =(−4,2,x)，且a ⊥b ，则x =( )A. 103B. −6C. 6D. 12.直线y +2=33(x−4 3)倾斜角及在y 轴上的截距分别是( )A. π6，6 B. π6，−6 C. π3，6 D. π3，−63.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 234.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i =“点数为i ”，其中i =1，2，3，4，5，6，D 1=“点数不大于2”，D 2=“点数大于2”，D 3=“点数大于4”，下列结论判断错误的是( )A. C 1与C 2互斥B. D 1∪D 2=Ω，D 1D 2=⌀C. D 3⊆D 2D. C 2，C 3为对立事件5.平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA =a ,OB =b ，则△OAB 的面积等于( )6.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为( )A. 19米B. 51米C. 2 19米D. 2 51米7.已知棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1内有一内切球O ，点P 在球O 的表面上运动，则PA ⋅PC 的取值范围为( )A. [−2,2]B. [0,2]C. [−2,4]D. [0,4]8.设直线l ：x +y−1=0，一束光线从原点O 出发沿射线y =kx(x ≥0)向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N.若|MN |= 136，则k 的值为( )A. 32 B. 23 C. 12 D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020年浙江省丽水市玉岩中学高二数学理联考试题含解析

2020年浙江省丽水市玉岩中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知中，所对的边分别为，且,那么角等于( )A. B． C． D．参考答案：B2. 已知函数有极值，则实数的取值范围是( )A． B． C．或 D．或参考答案：C略3. 若关于的方程有四个不同的实数解,则实数的取值范围为（▲ ）A. B. C. D.参考答案：D略4. 在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣960参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得的二项展开式中的常数项．【解答】解：在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则n=6，则=的二项展开式的通项公式为T r+1=?26﹣r?（﹣1）r?x3﹣r，令3﹣r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为?23?（﹣1）=﹣160，故选：B．5. 若a＞1，则a＋的最小值是A．0 B．2 C. D．3参考答案：D6. 已知直线：过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆截得的弦长为，若则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B7. 由点引圆的切线的长是 ( )A．2 B．C．1 D．4参考答案：C略8. 等比数列{a n}中，，，函数，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.【详解】又本题正确选项：【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.9. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于 ( )A．B．C．D．参考答案：D 10. 从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】条件概率与独立事件．【分析】先求出P（A），P（B），根据条件概率公式计算得到结果．【解答】解：从5张卡片中随机抽取2张共有C52=10种方法，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数或两个偶数，共有C22+C32=4种结果，则P（A）=事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数共有=3种结果，则P（B）=，所以P（B|A）=故选：C【点评】本小题主要考查等可能事件概率求解问题，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为______．参考答案：【分析】关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，进而转化为函数的图象恒在图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，设，，因为在上恒成立，所以当时，函数的图象恒在图象的上方，由图象可知，当时，函数的图象在图象的上方,不符合题意，舍去；当时，函数的图象恒在图象的上方，则，即，解得，综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12. 已知在等比数列{a n }中，若m+2n+p=s+2t+r ，m ，n ，p ，s ，t ，r ∈N *，则a m ?a n 2?a p =a s ?a t 2?a r ．类比此结论，可得到等差数列{b n }的一个正确命题，该命题为：在等差数列{b n }中，若m+2n+p=s+2t+r ，m ，n ，p ，s ，t ，r ∈N *，则 _________ ．参考答案：略13. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是。

2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案

2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案(共15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案A ．B ．C ．D ．2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有2种填法,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为： .3．定义两种运算：，，则函数为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数（D ）非奇函数且非偶函数3．A ．()[2,2])f x x ==∈-. 4．圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从5这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z= . .由题意知b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为 .6．(0,5).方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2可以变形为m =,即得,∴5|32|)1(522+-++=y x y x m其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线x -2y +3=0之比为常数e =,又由e >1,可得0<m <5.7．直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0),与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x 2+y 2=50上的整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可得C =66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0）不过坐标原点，故其中有6条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72条.17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n ≥2)中第2个数是____▲____（用n 表示）.122343477451114115616252516617.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积m ·n 是 .8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r 1与r 2,再设六面体中的正三棱锥A —BCD 的高为h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为h 2,如图所示，则h 1=a ,h 2=a .∵V 正六面体=2·h 1·S △BCD =6·r 1·S △ABC ，∴r 1=h 1=a .又∵V 正八面体=2·h 2·S 正方形NPQR =8·r 2·S △MNP ，∴a 3=2r 2a 2,r 2=a ,于是32,32669621==a ar r 是最简分数，即m =2,n =3,∴m ·n =6.9．若的两条中线的长度分别为6，7，则面积的最大值为 ..如图，D,E,F 是各边的中点，延长BE 至G ，使得BE=BG ，延长BC 至H ，使得DC=CH ，连接AG,EH,则CH=EF=AG=DH,且AG||DH ，则四边形EFCH 和ADHG 是平行四边形.故CF=EH,AD=EH. 故△EGH 的三边EH 、EG 、EH 分别是△ABC 的三边的中线AD 、BE 、CF ，即、、. 由共边定理知, 242233ABC BCE BEH EGH S S S S ∆∆∆∆==⨯=.10．已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当0<x<3时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 .HGE DF BA C10．.由已知在(0,3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数()()()()2'F x f x f x f x =+的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值.11．（Ⅰ）∵ 2分 ∴()()()()2'F x f x f x f x =+22cos sin 12sin cos x x x x=-++1cos 2sin 212sin(2)4x x x π=++=++ 6分∴当()22428x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈时，最小正周期为 8分（Ⅱ）∵()()2'sin cos 2cos 2sin f x f x x x x x =⇒+=-∴1cos 3sin tan 3x x x =⇒=11分 ∴222221sin 2sin cos cos sin cos cos sin cos x x xx x x x x x++=-- 2112tan 111921tan 63x x +===- 15分12．（本小题满分15分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．1,.BA BC BD a BB b ====解：(1)设22122122.31212ab a a b a ⎧+=+⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩由条件（分）1B BC BB BA x y z 以点为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则111(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,2,2)(5A C D B C A -分）.333ACD G ⎛∆-⎝⎭的重心2,a BG ACD ⎛∴= ⎝⎭=为平面的法向量.(7分）112(2,2,2),cos ,CA a CA -=-==则分） 6∴分）()()111(2)2,2,2112,22,22.AP mAC m m m B P B A AP m m m a λ==-=+=--=令（分）322143m =⎪⎪∴-=-∴⎨⎪=无解（分）P ∴不存在满足条件的点．（15分）13．（本小题满分20分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由． 13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a >b >0) ，由已知∴ -----------------------------------------2分∴ 椭圆方程为． -------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法一椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）． ----------------------------------5分由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()0964322=-++my y m ．① -----------6分显然，方程①的．设，则有439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ． ----8分 ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-+=433643*********2212m m m m y y mPQ ()()4311243112222222++⨯=++=m m mm． ∵，∴ ．解得．∴直线PQ 方程为，即或． ----------12分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为， --------------------------------------5分由得()01248432222=-+-+k x k x k ． ① ----6分显然，方程①的．设，则2221222143124,438kk x x k k x x +-=⋅+=+． -------8分 ()()[]21221241x x x x k PQ ⋅-++=()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2222224312444381k k k k k=()()3411234112222222++=++k k k k ． ∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或． --------12分（Ⅲ）不可能是等边三角形． ------------------------------------------------13分如果是等边三角形，必有，∴()()2222212122y x y x ++=++，∴()()()()0421212121=-++-++y y y y x x x x ，∴()[]()()()0621212121=-++-++y y y y y y m y y m ，------------------------------16分 ∵，∴，∴， ∴，或（无解）．而当时，3,PQ AP AQ ===，不能构成等边三角形． ∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------20分 14．设抛物线的焦点为F ，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.14．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为， ∴切线AP 的方程为：切线BP 的方程为：解得P 点的坐标为：所以△APB 的重心G 的坐标为，222201010101014(),3333P pP G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=-由于P 点在抛物线外，则∴2010010012220111()()2444cos ,||||||1||()x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x +⋅+--+⋅∠===+-同理有2011011012221111()()2444cos ,||||||1||()x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP FP x x +⋅+--+⋅∠===+- ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为，则P点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+ 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF 的方程：202000011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB ．14．（本小题满分20分）设x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）．（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为0，最大值为, 且。

2023-2024学年广东省广州市玉岩中学高二上学期期中数学试题

2023-2024学年广东省广州市玉岩中学高二上学期期中数学试题1. 椭圆C:x 29+y 225=1的焦点坐标为（）A ． (−3,0) 和 (3,0)B ． (0,−3) 和 (0,3)C ． (−4,0) 和 (4,0)D ． (0,−4) 和 (0,4)2. 已知a ⃗=(−2,1,3)，b ⃗⃗=(−1,2,1)，若a ⃗⟂(a ⃗−λb⃗⃗)，则实数λ的值为（） A ． −2B ． −143C ． 145D ．23. 四面体OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，点M 在线段OC 上，且OM =2MC ，N 为BA中点，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗为（） A ． 12a ⃗−23b ⃗⃗+12c ⃗B ． −23a ⃗+12b ⃗⃗+12c ⃗C ． 12a ⃗+12b ⃗⃗−23c ⃗D ． 23a ⃗+23b ⃗⃗+12c ⃗4. 已知直线x +ay −1=0是圆C ：x 2+y 2−4x +2y +1=0的对称轴，过点A(−4,a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（）A ．5B ．6C ． 5√2D ． 6√25. 已知直线l 、m 与平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（）A ．若 l//m ，则必有 α//βB ．若 l⟂m ，则必有 a⟂βC ．若 l⟂β ，则必有 a⟂βD ．若 a⟂β ，则必有 m⟂α6. 在空间直角坐标系中，已知A(1,−1,1)，B(3,1,1)，则点P(1,0,2)到直线AB 的距离为（）A ． √22B ． √32C ． √62D ． √37. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，在正方形DD 1C 1C 中有一动点P ，满足PD 1⟂PD ，则直线PB 与平面DD 1C 1C 所成角中最大角的正切值为（）A ．1B ． √2C ． √3+12D ． √5+128. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB 和两个圆弧AC ，弧BC 围成，其中一个圆弧的圆心为A ，另一个圆弧的圆心为B ，圆O 与线段AB 及两个圆弧均相切，则tan ∠AOB 的值是（）A ． −247B ． −724C ． −43D ． −349. 关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ，若 a ⃗·b ⃗⃗=0 ，则 a ⃗⟂b⃗⃗ B ．若对空间中任意一点 O ，有 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 P ， A ， B ， C 四点共面 C ．设 {a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗} 是空间中的一组基底，则 {a ⃗−b ⃗⃗,b ⃗⃗+c ⃗,a ⃗+c ⃗} 也是空间的一组基底 D ．若空间四个点 P ， A ， B ， C ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 A ， B ， C 三点共线 10. 已知直线l ：mx +y +1=0，A(2,1)，B(0,−1)，则下列结论错误的是（）A ．直线 l 恒过定点 (0,1)B ．当 m =1 时，直线 l 的倾斜角为 3π4 C ．当 m =0 时，直线 l 的斜率不存在D ．当 m =−1 时，直线 l 与直线 AB 平行11. 已知直线mx −y +2m −1=0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，则m 的取值可能是（）A ． 13B ． 23C ．1D ． 4312. 如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（）A ．当 P 在平面 BCC 1B 1 上运动时，四棱锥 P −AA 1D 1D 的体积不变 B ．当 P 在线段 AC 上运动时，D 1P 与 A 1C 1 所成角的取值范围是 [π6,π2] C ．当直线 AP 与平面 ABCD 所成的角为 45∘ 时，点 P 的轨迹长度为 π+4√2D ．若 F 是 A 1B 1 的中点，当 P 在底面 ABCD 上运动，且满足 PF// 平面 B 1CD 1 时， PF 长度的最小值是 √5 13. 若方程x 2m+y 22−m 2=1表示椭圆，则实数m 的取值范围是______．14. 若直线l 1:x +ay +6=0，l 2:(a −2)x +3y +2a =0平行，则l 1与l 2间的距离为___________.15. 如图，在正四面体P −ABC 中，M,N 分别为PA,BC 的中点，D 是线段MN 上一点，且ND =2DM ，若PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+zPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则x +y +z 的值为_______．16. 已知直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为平行四边形，AA 1=3，AB =2，AD =1，∠BAD =60∘，以D 1为球心，半径为2的球面与侧面BCC 1B 1的交线的长度为__________.17. 已知直线l:kx −y +2k +1=0(k ∈R)．(1)直线l 是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由. (2)求点A(3,0)到直线l 的距离的最大值．18. 已知圆C 过点A(0,1)，B(2,1)，且圆心C 在直线x +y −1=0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 过点(2,2)，被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面四边形ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB⟂BC ，AB =2CD ，O 为BD 的中点，BD =4，PB =PC =PD =√5．(1)证明：OP⟂平面ABCD ；(2)若BC =CD ，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20. 已知圆C 过点A(4,0)，B(0,4)，且圆心C 在直线l ：x +y −6=0上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y =−x 反射，反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周，求反射光线l 1的一般方程.(3)若点Q 在直线l 上运动，求QA 2+QB 2的最小值.21. 如图1是直角梯形ABCD ，AB//DC ，∠D =90∘，AB =2，DC =3，AD =√3，CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2ED⃗⃗⃗⃗⃗⃗.以BE 为折痕将ΔBCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且V C 1−ABED =3√34，如图2.(1)证明：AC 1⟂BE;(2)求二面角C 1−AD −B 余弦值.22. 已知⊙C 的圆心在直线3x −y −3=0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x −y +3=0截得的弦长为2.(1)求⊙C 的方程；(2)设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足DT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2TO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，（O 为原点）记点T 的轨迹为E . ①求曲线E 的方程；②过点M(1,0)的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.。