湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题(理科)

2017-2018学年度第二学期期中考试试卷
高二数学(理科)
(满分:150分时量:120分钟)
一、选择题(本小题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.若集合{}023|2＞x x x A -+=,集合{}22|＜x x B =,则B A 等于（ ）
A.()31，
B.()1-∞-，
C.()11，-
D.()13，-
2.下列函数中既是偶函数,又在()0，∞-上单调递增的函数是（ ） A.32
-=x y B.x y cos = C.x y 2= D.x x y 1
-=
3.下图是函数()()00sin ＞，＞ωϕωA x A y +=图象的一部分,则该函数的个解析式为（
）
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 32πx y
B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 32πx y
C.⎪⎭⎫
⎝⎛
-=3sin 32πx y D.⎪⎭
⎫
⎝⎛+=322sin 32
πx y
4.命题“，，+∈∃∈∀N n R x 使得2x n ≥”的否定形式是（ ）
A.，，+∈∃∈∀N n R x 使得2x n ＜
B.，，+∈∀∈∀N n R x 使得2
x n ＜
C.，，+∈∃∈∃N n R x 使得2
x n ＜ D.，，+∈∀∈∃N n R x 使得2x n ＜
5.若函数()x f y =同时满足下列3个性质,①最小正周期为π；②图象关于直线3
π=x 对城；③在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-36π，π上是增函数，则()x f y =的解析式可以是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx y D.⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=32cos πx y 6.设函数()()R x x f y ∈=的图象关于直线0=x 及直线1=x 对称,且[]10，∈x 时，()，
2x x f = 则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-23f （ ） A.21 B.41 C.43 D.4
9 7.0＜a 是方程0122=++x ax 至少有一个负根的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分必要条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知()，，10
10sin 55sin -=-=βααβα、均为锐角,则β等于（ ） A.125π B.4π C.3π D.6
π 9.，，，21
35
2ln 2log -===c b a 则（ ） A.c b a ＜＜ B.a c b ＜＜ C.a b c ＜＜ D.b a c ＜＜
10.设奇函数()x f 在[]11，-上为增函数,且()，11=f 若[]，，11-∈∃x 使[]，，11-∈∀a 不等式()122--≤at t x f 成立,则t 的取值范围是（ ）
A.22≤≤-t
B.2121≤≤-
t C.022=-≤≥t t t 或或 D.02
121=-≤≥t t t 或或
11.在平面直角坐标系内,若两点P 、Q 满足条件:
①P 、Q 都在函数()x f y =的图象上；
②P 、Q 两点关于直线x y =对称则称点对{}Q P ，是函数()x f y =的乙对“和谐点对”(注:点对{}Q P ，与点对{}P Q ，看作同一对“和谐点对”).
已知函数()()()
，
＞⎩⎨⎧≤++=0log 02322x x x x x x f ,则此函数的“和谐点对”有（ ） A.3对 B.2对 C.1对 D.0对
12.设函数()x f f 在R 上存在导数()R x x f ∈∀'，有()()22x x f x f =-=,在[)∞+，0上
()x x f 2＜'，若()()，
m m f m f 8164-≥--,则实数m 的取值范围是（ ） A.[)∞+，2 B.[)∞+，0 C.[]22，- D.(][)∞+-∞-，，22
二、填空题(本大颶共4小题,每小题5分,共20分。

把答案填在题中的横线上)
13.已知()x f y 2=的定义域是[]11，-,则()x f y 2log =的定义域是____________.
14.函数()x x x x f cos sin 3sin 2+=的最大值是_____________.
15.要得到⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的图象,需将函数2cos x y =的图象上的点至少向左平移_______个单位长度.
16.已知圆1:22=+y x O ,直线03:=+-m y mx l 与圆O 交于A 、B 两点,，1=AB 分别过A 、B 两点作直线l 的垂线交x 轴于C 、D 两点,则=CD __________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第22题满分10分,其余5道大题每道满分12分,共70分)
17.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为，、、c b a 且.cos cos 3cos B c B a C b -=
(1)求B cos 的值；
(2)若1=b ,求△ABC 面积的最大值。

l8.某民营企业生产A 、B 两种产品,根据市场调查与预测,产品A 的利润y 与投资x 成正比,其关系如图甲,产品B 的利润y 与投资x 的算术平方根成正比,其关系如图乙(注：利润与投资单位均为万元):
(1)分别将A 、B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A 、B 两种产品的生产,问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元?
图甲 图乙
19.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180)、[180,200)、[200,220)、
[220,240)、[240,260)、[260,280)、[280,300)分组的频率分布直方图如图所示：
(1)求直方图中x 的值；
(2)用分层抽样的方法从[260,280)和[280,300)这两组用户中确定6人做随访,再从这6人中随机抽取2人做问卷调查,则这2人来自不同组的概率是多少?
(3)求月平均用电量的众数和中位数.
20.如图,四棱锥ABCD P -,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,E 为PD 的中点.
(1)证明:PB ∥平面AEC ；
(2)设二面角C AE D --为60°,AP=1,AD=3,求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值。

21.设数列{}n a 满足:.33211=∙=-+a a a n n n ，
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)令，n n na b =,求数列{}n b 的前项和n s .
22.已知函数()x mx x f ln 1--=.
(1)若()0≥x f 对()∞+∈∀，0x 恒成立,求实数m 的取值范围；
(2)求证:对e n n N n n ＜，!
1+∈∀+均成立。