湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高二数学下学期入学考试试题含解析
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三(下)月考数学试卷(理科)(六)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足|z+1|+|z﹣1|＝4，则的最小值为（）A．1B．C．D．23．（5分）已知，则λ＞﹣是“与的夹角为钝角”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．（5分）函数y＝xlnx的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）在等差数列{a n}中，其公差d≠0，若S7＝S12，现有以下四个命题：①S19＝0；②S10＝S9；③若d＞0，则S n有最大值；④若d＞0，则S n有最小值．则关于这四个命题，正确的是（）A．①②③B．①②④C．①④D．②③．6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）在空间中，a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，则a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若α∥β，a⊂α，则a∥β8．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间呈现负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7C．m＝4D．该回归直线必过点（9，4）9．（5分）﹣4cos10°＝（）A．1B．C．D．210．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞＞a 11．（5分）在数列{a n}中，a1＝a，a n+1＝2a n﹣1，若a n为递增数列，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞312．（5分）双曲线C：上存在一点P，使，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．（1，2]C．D．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．14．（5分）点P为椭圆C：+＝1（a＞1）上的任意﹣一点，AB为圆M：（x﹣1）2+y2＝1的任意一条直径，若的最大值为15，则a＝．15．（5分）在（x+y+z）6的展开式中，所有形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项的系数之和为．16．（5分）函数f（x）＝的最小值为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）求对角线AC1的长；（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且该双曲线过点（2，2）．（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C上任一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒有g（x）＝（x+1）f（x）﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范围.. 21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为a n，（i）求a1，a2，a n；（ii）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，P（1，3），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣6|（x∈R），记f（x）的最小值为c．（1）求c的值；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求的最小值．2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（六）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣1≤x≤5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：C．2．（5分）若复数z满足|z+1|+|z﹣1|＝4，则的最小值为（）A．1B．C．D．2【解答】解：设z对应的点为（x，y），则+＝1，所以最小值＝．故选：C．3．（5分）已知，则λ＞﹣是“与的夹角为钝角”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【解答】解：∵，∴与的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0，即λ＞且λ≠2．∴λ＞﹣是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）函数y＝xlnx的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→0+时，lnx→﹣∞，∴xlnx＜0，排除A、B选项，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除C选项，故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，其公差d≠0，若S7＝S12，现有以下四个命题：①S19＝0；②S10＝S9；③若d＞0，则S n有最大值；④若d＞0，则S n有最小值．则关于这四个命题，正确的是（）A．①②③B．①②④C．①④D．②③．【解答】解：在等差数列{a n}中，其公差d≠0，若S7＝S12，则：a8+a9+a10+a11+a12＝0，整理得5a10＝0，所以a10＝0，所以A：＝19a10＝0．B：由S10＝S9；整理得a10＝0，C：若d＞0，则S n有＝，所以S n有最小值．故；①②④正确．故选：B．6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n＝，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m＝＝20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P＝＝．故选：A．7．（5分）在空间中，a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，则a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若α∥β，a⊂α，则a∥β【解答】解：对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．（5分）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间呈现负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7C．m＝4D．该回归直线必过点（9，4）【解答】解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：＝＝9．可得＝4．即，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（），即（9，4）．故选：C．9．（5分）﹣4cos10°＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：原式＝＝＝＝．故选：C．10．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞＞a【解答】解：，∴，又，∴a＞c＞b．故选：A．11．（5分）在数列{a n}中，a1＝a，a n+1＝2a n﹣1，若a n为递增数列，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a＞1C．a＞2D．a＞3【解答】解：∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴，∴，又∵{a n}为递增数列，∴＞0，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故选：B．12．（5分）双曲线C：上存在一点P，使，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．（1，2]C．D．[2，+∞）【解答】解：设P在右支上，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m﹣n＝2a，又因为＝，可得，所以＝，所以n＝＞c﹣a，即c2﹣2ac﹣a2＜0，即e2﹣2e﹣1＜0，解得1﹣，由于e＞1，所以可得1，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z＝x﹣2y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．（5分）点P为椭圆C：+＝1（a＞1）上的任意﹣一点，AB为圆M：（x﹣1）2+y2＝1的任意一条直径，若的最大值为15，则a＝3．【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心M（1，0），半径为1，AB为圆M的直径，可得＝﹣，椭圆C：+＝1（a＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝||2﹣||2＝||2﹣1，又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得||2﹣||2≤（a+c）2﹣1＝15，当P为椭圆的左顶点（﹣a，0），上式取得等号，则a+c＝4，又c＝1，可得a＝3．故答案为：3．15．（5分）在（x+y+z）6的展开式中，所有形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项的系数之和为160．【解答】解：（x+y+z）6表示6个因式（x+y+z）的乘积，其中有3个因式都取x，得，另外的三个因式取y或z，即可得到形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项．而（y+z）3的各项系数和为23，故所有形如x3y a z b（a∈N，B∈N）的项的系数之和为•23＝160，故答案为：160．16．（5分）函数f（x）＝的最小值为5．【解答】解：＝＝，由f′（x）＝0可得cos x＝2sin x即tan x＝，又因为0＜x＜，根据导数与单调性的关系可知，当tan x＝时，函数取得最小值，此时sin x＝，cos x ＝，故f（x）min＝5．故答案为：5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）∵（a+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C．由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c．化为b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得：cos A＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵A＝，∴a2＝b2+c2﹣bc≥﹣（）2＝，∴（）2≤4，∴≤2，可得的最大值为2，又b+c＞a，∴的取值范围为（1，2]．18．（12分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．（1）求证：A1C⊥B1D1；（2）求对角线AC1的长；（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小．【解答】解：（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∴AD1＝AB1＝2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，∵∠AA1D1＝∠AA1B1＝60°，∠D1A1B1＝90°．∴AO⊥B1D1，∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1，∴B1D1⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，∴B1D1⊥A1C．（2）解：在△AB 1D1中，AO＝，，AA1＝2，∴，∴AO⊥A1O，∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，∴AO⊥OC1，∴AC1＝＝2．（3）解：由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，），B1（0，，0），C1（﹣，0，0），＝（0，，﹣），＝（﹣，0，﹣），设平面AB1C1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），平面AB1D1的法向量＝（1，0，0），设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且该双曲线过点（2，2）．（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C上任一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y＝±2x，则设双曲线方程为：4x2﹣y2＝λ，（λ≠0），点（2，2）代入得：λ＝12，则双曲线方程为：4x2﹣y2＝12，即＝1，（2）∵F1，F2是双曲线＝1的左右焦点，过F2作角的平分线AB的垂线，垂足为P，并且交AF1于Q，连接OP，则，由角的平分线定理可得：|AQ|＝|AF2|，∴|F1Q|＝|AF1|﹣|AQ|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，∴|OP|＝a＝，由圆的定义可知，点P的轨迹是以点O为圆心，为半径的圆，所以P的轨迹方程为：x2+y2＝3．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+a，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒有g（x）＝（x+1）f（x）﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范围..【解答】解（1）函数的定义域（0，+∞），＝，（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，（ii）当a＞0时，由f′（x）＞0可得，0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0可得，x＞，此时函数单调递减，（2）当x≥1时，g（x）＝（x+1）（lnx﹣ax+a）﹣lnx＝xlnx﹣ax2+a，g′（x）＝lnx+1﹣2ax，令h（x）＝lnx+1﹣2ax，则h′（x）＝，（i）当a≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）＝1﹣2a＞0，即g′（x）》0，故g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）＝0，不合题意；（ii）当0＜a＜时，h（x）在[1，]上单调递增，h（x）≥h（1）＝1﹣2a＞0，此时g（x）在[1，]上单调递增，所以g（）＞g（1）＝0，不合题意；（iii）当a时，h′（x）≤0，h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以h（x）≤h（1）＝1﹣2a＜0，故g′（x）≤0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，所以g（x）≤0恒成立．21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）设经过n次传球后，球落在甲手上的概率为a n，（i）求a1，a2，a n；（ii）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．【解答】解：（1）由题意得ξ的取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝++＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012P∴E（ξ）＝＝．（2）（i）由题意可知，，a n＝，n≥2，∴a n﹣＝﹣（），（n≥2），∴a n﹣＝（）×（﹣）n﹣1，∴a n＝．（ii）由（i）可知，当n→+∞时，a n→，∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1﹣）÷3＝，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，P（1，3），求的值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y＝2x+1，曲线C的极坐标方程为，即8ρ2sin2θ+ρ2＝9，∴x2+y2+8y2＝9，∴曲线C的直角坐标方程为+y2＝1；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入+y2＝1，t2+t+73＝0，t1+t2＝﹣，t1t2＝，＝||＝＝．∴当直线l与曲线C相交时，＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣6|（x∈R），记f（x）的最小值为c．（1）求c的值；（2）若实数a、b满足a＞0，b＞0，a+b＝c，求的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣6＝|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣3|，f（x）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f（x）min＝f（3）＝2，∴c＝2．（2）∵a+b＝2，∴+＝[（a+1）+（b+1）]（+）；＝[a2+b2++]≥（a2+b2+2ab）＝（a+b）2＝1；当且仅当，即时，有最小值1．。
湖南四大名校内部资料雅礼中学2020高二下学期入学考试数学试卷
雅礼中学2020年高二上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分)1.已知复数421i z i+=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.1303.P22T3函数32y x ax a =-+在()01，内有极小值，则实数a 的取值范围为( )A.()03，B.()3-∞，C.()0+∞，D.302⎛⎫ ⎪⎝⎭，4.P4T3已知2:0P x x -<，那么P 的一个必要不充分条件是( )A.01x <<B.11x -<<C.1223x <<D.122x << 5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( )A.512个B.192个C.240个D.108个6.已知函数()22cos f x x x =＋，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )A. B. C. D.7.P9T8已知双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=.如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12PF PF ⋅=( )A.21B.14C.7D.08.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测. A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是( )号同学.A.1B.2C.3D.4，5，6号中的一个9.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =( )A.2π B.3π C.4π D.6π 10.P22T4设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()f x g x '-()()0f x g x '>，且()30g =，则不等式()()0f x g x <的解集是( )A.()()3,03,-⋃+∞B.()()3,00,3-⋃C.()(),33,-∞-⋃+∞D.()(),30,3-∞-⋃11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x 的关系是()21400,0400,280000,400,x x x R R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，年产量是( ) A.100B.150C.200D.30012.P7T6.已知椭圆()2222:10x y T a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =( )A.1B.2C.3D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.双曲线221x y -=的离心率为___________.14.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为___________. 15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有___________种不同的站法.16.已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(本题满分10分)已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足(*)21n n b n a n -+∈N =，求{}n b 的前n 项和n S .18.(本题满分12分)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(Ⅰ)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间.19.(本小题满分12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；(2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：()()()1122211n niii i i i n ni ii i x x y y x y nxy b x nxx x ====----==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511415ii i x y ==∑20.(本小题满分12分)P15T10.如图(1)，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图(2)的五棱锥P ABFED -，且10PB =.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求二面角B AP O --的余弦值.21.(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p >=的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及点M 的坐标； (2)记()214AB d m m=+，求弦长AB (用m 表示)；并求d 的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1xg x xe-=(a R ∈，e 为自然对数的底数).(Ⅰ)若不等式()0f x >对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最小值； (Ⅱ)若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使()()0i f x g x =成立，求a 的取值范围.。
湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()()2e x f x a x a =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e 【答案】A【解析】【分析】 令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e x x x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第二象限.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.3．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】【分析】 根据纯虚数的定义求解即可.【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于060B ．假设三内角都不大于060C ．假设三内角至多有一个大于060D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B【解析】【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 5．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元 【答案】D第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.6．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为3,55⎛ ⎝⎭，由于243291525⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,5⎛- ⎝⎭，由于2432915525⎛⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】 由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 8．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】【分析】 由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【详解】33044223log log 10,,12234a b c<==<<∴<<Q 故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 9．复数1()2i z a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a i z ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标．10．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（）A ．x R ∃∈，31x >-B ．x R ∀∈，31x ≤-C ．x R ∀∈，31x >-D ．x R ∀∈，31x ≥-【答案】C【解析】【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.11．执行如图所示的程序框图，若输出的18S =-，则输入的S =（ ）A ．-4B ．-7C ．-22D ．-32【答案】A【解析】【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝6时不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S 的值．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i ＝2，满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1，i ＝3满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9，i ＝1满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16，i ＝5满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16﹣25，i ＝6不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S ＝﹣1．故选A ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S 的表达式是解题的关键，属于基础题．12．定积分22aa a x dx --⎰等于( ) A ．214a πB ．212a πC ．2a πD ．22a π【答案】B【解析】【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期入学考试数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期入学考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数421izi+=+（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.解：解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.点评：本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A．B．C．D．答案：C试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞D ．答案：D试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜． 【考点】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法． 4．已知2:0p x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ）A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 答案：B 解：解 : p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个 B ．192个 C ．240个 D ．108个 答案：D试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．【考点】排列组合．6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 解：()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥Q因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 点评：本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 730x y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=u u u r u u u u r（ ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0 答案：B试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，因为抛物线x y 162=的准线4-=x 过双曲线的焦点，且一730x y +=，所以⎪⎩⎪⎨⎧==374ab c ，解得4,7,3===c b a ；因为点P在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以⎩⎨⎧=+±=-64||||6||||222121PF PF PF PF ，解得14||||21=⋅PF PF ；故选B ．【考点】1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4，5，6号中的一个 答案：C因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论. 解：解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学. 故选：C. 点评：本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题.9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：C分析：利用面积公式12ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
2019-2020学年长沙市名校数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年长沙市名校数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．2566253．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++L中的“…”代表无限次重复，设121211x =++L，则可以利用方程121x x =+求得x ，=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．64．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．24C ．16 D．165．函数2cos y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A．2πB ．6πC．2D．16．已知向量(2,)a m =v ，(3,1)b =-v ，若()a a b ⊥-v v v，则m =（ ）A ．－1B ．1C ．－2或1D ．－2或－17．由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A ．1212V V =B ．1223V V =C ．12V V =D ．122V V =8．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( ) A ．35CB ．35AC ．35D ．539．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（ ） A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种10．已知z C ∈，()2zi bi b R =-∈，z 的实部与虚部相等，则b =（） A ．-2B ．12C ．2D ．12-11．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．7,0（）±B ．0,7（）± C ．5,0（）±D ．0,5（）±12．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知随机变量()2~100,,(80100)0.4X N P X σ<=…，则P(X>120)=___________14．集合{}22221,2,3,,A n=L 中所有3个元素的子集的元素和为__________．15．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是__________.16．已知向量()1,1a =r ，()3,2b =-r ，若2ka b -r r 与a r垂直，则实数k =__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a =u u u r，AC b =u u u r ，1AA c =u u u r .（Ⅰ）试用,,a b c 表示向量MN u u u u r；（Ⅱ）若90BAC ∠=o ，1160BAA CAA ∠=∠=o，11AB AC AA ===，求MN 的长.．18．已知函数()()21+axx f x e=，（其中a R ∈,e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+. 19．（6分）已知函数()2f x ax blnx =+在1x =处有极值12． （1）求a,b 的值； （2）求()f x 的单调区间．20．（6分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 21．（6分）己知直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 22．（8分）()12nx +的展开式中第六项与第七项的系数相等，求n 和展开式中二项式系数最大的项.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】将条件转化为31n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项， 所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解 检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项. 2．B 【解析】 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ． 3．B 【解析】 【分析】先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设x =3x =，得解．【详解】解：依题意可设x =，解得3x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查类比推理，属于基础题． 4．A 【解析】试题分析：该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图所示，截面图形为等腰梯形11B D FE ，111EF B D B E ===h =，111922B D FE S =⨯=梯形，所以该几何体的表面积为91122(4)242120222S =+⨯⨯+-+⨯+⨯=，故选A ．考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积． 5．B 【解析】 【分析】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性． 【详解】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x π=．∴函数()f x 在0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减． ∴6x π=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决. 6．C 【解析】 【分析】根据题意得到a b -r r 的坐标，由()0a a b ⋅-=r r r 可得m 的值.【详解】由题，()1,1a b m -=-+rr ，Q ()a a b ⊥-r r r ，()()210a a b m m ∴⋅-=-++=r r r2m ∴=-或1，故选C【点睛】本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数 7．C 【解析】 【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等． 【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．D【解析】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：不同的报名方法的种数是53.本题选择D选项.9．C【解析】【分析】将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘22A即可得出结论．【详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列44A，再考虑甲乙顺序为22A，故共4242=48A A种站法.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.10．C【解析】【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【详解】设z a ai =+ （R a ∈），则()2,a ai i bi +=- 即2a ai bi -+=-22,2a a a b b -==-⎧⎧∴∴⎨⎨=-=⎩⎩.故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题. 11．C 【解析】分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标详解：由双曲线221169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，故双曲线221169x y -=的焦点坐标是5,0±（） 选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题. 12．A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为()U C A B ⋂,故选A ． 考点：集合的运算二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.1 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()()112080801002P X P X P X >=<=-<≤，可得出答案。
湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)
雅礼教育集团2024年上期期中考试高二数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知{1,2,3,4,5,6},{2,4,5}U A ==，{1,3,5}B =，则()U A B = ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}2．复数z 满足(2i)3i z +=-，则||z 等于（ ）A ．1BC ．2D ．43．“01k <<”是“方程2212x y k-=表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数24(1)()log (1)x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((1))f f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且满足244,22a S ==，则5S =（ ）A ．65B ．55C ．45D ．356．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）A ．180种B ．150种C ．90种D ．60种7．关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）①()f x 有两个极值点②()f x 的图象关于原点对称③()f x 有三个零点④()f x 在(1,1)-上单调递减A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C 的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（ ）ABC ．23D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设m ，n 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）A ．若m α∥且n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥C ．若m α∥且m β∥，则αβ∥D ．若m α⊥且m β⊥，则αβ∥10．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．将函数()y f x =的图象右移3π个单位后，得到一个奇函数C ．56x π=是函数()y f x =的一条对称轴D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心11．定义域为R 的函数()f x ，对任意,,()()2()()x y f x y f x y f x f y ∈++-=R ，且()f x 不恒为0，则下列说法正确的是（ ）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．若(1)0f =，则()f x 关于(1,0)中心对称D ．若(1)0f =，则02412()4048i f i ==∑三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知平面向量(2,1),(4,)a b x =-=- ，若b 与()a b +共线，则实数x =______．13．()2312(1)x x ++的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）14．若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数()2cos 2f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知()1f A =，1b =，ABC △ABC △的周长．16．（15分）如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥底面ABCD ，DE AF ∥，且22FA DE ==．（1）证明：CD ⊥平面ADEF ；（2）求四棱锥C ADEF -的体积；（3）求平面FCE 与平面FAB 所成角的余弦值．17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三第二学期月考(理科)数学试卷(Word解析版)
2019-2020学年高三第二学期月考数学试卷（理科）一、选择题.1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c ＝2a，则sin B的值为（）A．34B．√74C．1D．√336．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．167．已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−19．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．1610．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974） A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知P ＝{α|f （α）＝0}，Q ＝{β|g （β）＝0}，若存在α∈P ，β∈Q ，使得|α﹣β|＜n ，则称函数f （x ）与g （x ）互为“n 距零点函数”若f （x ）＝log 2020（x ﹣1）与g （x ）＝x 2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e2，4e ] B ．(1e，4e 2] C ．[4e2，2e ) D ．[4e 3，2e2) 二、填空题13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝ ．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是 ．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）． 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为 ． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数． （1）证明：S n +1＝2S n +λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P （1，2），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y 1+y 2的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距b ∈[﹣1，3]时，求△ABP 面积S △ABP 的最大值．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.84121．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈R ．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围； （2）当n ∈N *时，证明：n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ．（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．参考答案一、选择题1．设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数z=（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）2＝4i，得z=4i(1+i)2=4i2i=2，∴z=2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1=∁5k（x3）5﹣k(2x)k=2k∁5k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x 7的系数=22∁52=40． 故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可． 解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n }，且公比为12，∵6天后共走了378里，∴S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1＝192，∴第三天走了a 3＝a 1×(12)2=192×14=48，故选：B ．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题． 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则sin B 的值为（ ） A ．34B ．√74C ．1D ．√33【分析】由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．解：由题意可得，sin 2B ＝sin A sin C ， 由正弦定理可得，b 2＝ac ， 又c ＝2a ，则可得b =√2a ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 24a 2=34，所以sin B=√1−9=√74．16故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的k＝6，则输入整数p的最大值是（）A．32B．31C．15D．16【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量k的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S k循环前/1 1第一圈是 2 2第二圈是 4 3第三圈是8 4第四圈是16 5第五圈是32 6第六圈否可得：范围16＜p≤32，即输入整数p的最大值是32．故选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y 关于x 的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y 0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y =1.3x ﹣1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4＝4×2.25， ∴m ＝3.1． 故选：B ．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础． 8．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，直线y =√3x 与C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则C 的离心率为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√3−12D ．√3−1【分析】可解得点A 、B 坐标，由AF ⊥BF ，得AF →•BF →=0，把b 2＝a 2﹣c 2代入该式整理后两边同除以a 4，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围解：由{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3x，消y 可得得（3a 2+b 2）x 2＝a 2b 2，解得x ＝±√3a 2+b 2，分别代入y＝±√3ab√3a 2+b2， ∴A （√3a 2+b 2，√3ab √3a 2+b 2），B （√3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ），∴AF →=（√3a 2+b 2+c ，√3ab √3a 2+b 2），BF →=（c √3a 2+b ，√3ab √3a 2+b ）， ∴AF →•BF →=c 2−a 2b23a 2+b2−3a 2b23a 2+b2=0，∴c 2=4a 2b23a 2+b2，（*）把b 2＝a 2﹣c 2代入（*）式并整理得4a 2c 2﹣c 4＝4a 2（a 2﹣c 2）， 两边同除以a 4并整理得e 4﹣8e 2+4＝0，解得e 2＝4﹣2√3 ∴e =√3−1， 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2，则AC →⋅AD →的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16【分析】结合已知得到AC →=−3AB →+4AD →代入数量积的计算即可 解：∵在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →=3BD →，|AD →|=2， ∴AC →⋅AD →=（AB →+BC →）•AD →＝（AB →+4BD →）•AD →＝[AB →+4（AD →−AB →）]•AD →＝（﹣3AB →+4AD →）•AD →＝﹣3AB →⋅AD →+4AD →2 ＝0+4×22＝16； 故选：D ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N （3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若X ～N （μ，σ2），有P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1−12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a√x2+(y−t)2)=b√x2+y2则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x （e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1e 2，4e] B ．(1e，4e 2] C ．[4e 2，2e) D ．[4e 3，2e 2) 【分析】由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，即a =x 2ex ．构造函数h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，结合导数可判断单调性，进而可求．解：易知函数f （x ）只有一个零点2，故P ＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g （x ）在（1，3）内存在零点， 由g （x ）＝x 2﹣ae x ＝0，得x 2＝ae x ，所以a =x 2ex ．记h(x)=x 2ex (x ∈(1，3))，则h′(x)=2xe x −e x x 2(e x )2=x(2−x)e x，x ∈(1，3)． 所以当x ∈（1，2）时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增；当x ∈（2，3）时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减； 所以h(x)≤h(2)=4e 2，而h(1)=1e ，h(3)=9e 3＞1e ，1e ＜h(x)≤h(2)=4e 2， 所以实数a 的值范围为(1e ，4e 2]． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题 二、填空题 13．∫ 30|x ﹣1|dx ＝52．【分析】将：∫03|x ﹣1|dx 转化成∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解：∫03|x ﹣1|dx ＝∫01（1﹣x ）dx +∫13（x ﹣1）dx ＝（x −12x 2）|01+（ 12x 2﹣x ）|13=52．故答案为：52【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．已知函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是π3．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．解：函数y ＝cos x 与y =sin(2x +φ)(0＜φ＜π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，所以cos π6=√32=sin(2×π6+φ）， 所以：φ=π3(0＜ϕ＜π2)． 故答案为：π3．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案 解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为C 84=70． 故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题 16．已知α，β，γ∈(0，π2)，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2 ．【分析】根据基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ，同理可得sin β+sin γ≤√2cosα，sin γ+sin α≤√2cosβ，进一步求出cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值．解：由题意，知sin 2α+sin 2β+sin 2γ＝1，由基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin 2α+sin 2β)=√2cosγ， 同理sinβ+sinγ≤√2(sin 2β+sin 2γ)=√2cosα， sinγ+sinα≤√2(sin 2γ+sin 2α)=√2cosβ， 上述式子相加可得cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ≥√2．所以cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为√2．故答案为：√2．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题． 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为π4？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点，故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可．解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ． 由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为BD =√2π．（2）当θ=π2时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点， 故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由AB ⊥B 1P 且AB ⊥A 1B 1知：AB ⊥平面APB ，从而平面A 1B 1P ⊥平面APB ．作B 1H ⊥OP 于H ，则B 1H ⊥平面APB ，所以B 1H 即为点B 1到平面APB 的距离． 在Rt △OB 1P 中，OB 1=1，B 1P =BB 1̂=π2，所以OP =√12+(π2)2=√π2+42．于是：B 1H =OB 1×B 1P OP =1×π2√π+42=√π+4． 所以，点C 1到平面APB 的距离为√π2+4．（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为π4即可． 过B 1作B 1Q ⊥AB 于Q ，连接PQ ．由于B 1Q ⊥AB ，B 1P ⊥AB ，所以AB ⊥平面B 1PQ ，所以AB ⊥PQ ． 于是∠PQB 1即为二面角P ﹣AB ﹣B 1的平面角． 在Rt △PB 1Q 中，B 1Q =sinθ，B 1P =BB 1̂=θ． 若∠PQB 1=π4，则需B 1P ＝B 1Q ，即sin θ＝θ．令f （x ）＝sin x ﹣x （0＜x ＜π），则f ′（x ）＝cos x ﹣1＜0， 故f （x ）在（0，π）单调递减．所以f （x ）＜f （0）＝0，即sin x ＜x 在（0，π）上恒成立． 故不存在θ∈（0，π），使sin θ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D ﹣AB ﹣B1为π4．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，S n2=a n+12−λS n+1，∴S n2=(S n+1−S n)2−λS n+1，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1﹣2S n+λ（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n={1，n=1(λ+1)2n−2，n≥2，若使{a n}是等比数列则a1a3=a22，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）由P在抛物线上，将P的坐标代入抛物线方程可得p，进而点到抛物线方程，再由A，B的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；（2）由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB的斜率，设直线AB的方程为y＝﹣x+b （b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．解：（1）点P（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，k PA+k PB=y1−2x1−1+y2−2x2−1=y1−2y124−1+y2−2y224−1=4y1+2+4y2+2=0，则y1+y2＝﹣4；（2）由题意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），则k AB=y1−y2x1−x2=4y1+y2=−1，可设直线AB的方程为y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，则|AB|=√1+1•|x1﹣x2|=√2•√(x1+x2)2−4x1x2=√2•√(2b +4)2−4b 2=4√2√1+b ， P （1，2）到直线AB 的距离为d =|1+2−b|2=3−b2， 可得S △ABP =12|AB |•d ＝2（3﹣b ）√1+b =√2•√(2+2b)(3−b)2≤√2•√(2+2b+3−b+3−b 3)3=32√39，当且仅当2+2b ＝3﹣b ，即b =13时，上式取得等号， 则S △ABP 的最大值为32√39． 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 参考数据： P （K 2＞k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K 2的观测值k =43＞1.323，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关． （2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男 女 总计 喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢阅读古典文学56 44 100 总计12080200所以K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(64×44−56×36)2120×80×100×100=43，因为K 2的观测值k =43＞1.323， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ＝m +n ， 根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，P(ξ=1)=P(m =1，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 22C 42=120， P(ξ=2)=P(m =1，n =1)+P(m =2，n =0)=C 31C 22C 53⋅C 21C 21C 42+C 21C 32C 53⋅C 22C 42=310， P （ξ＝3）＝P （m ＝1，n ＝1）+P （m ＝2，n ＝1）+P （m ＝3，n ＝0）=C 31C 22C 53+C 32C 21C 53+C 20C 32C 53⋅C 22C 42=715， P =(ξ=4)=P(m =2，n =2)+P(m =3，n =1)=C 32C 21C 53⋅C 22C 42+C 20C 33C 53⋅C 21C 21C 42=16； P(ξ=5)=P(m =3，n =2)=C 20C 33C 53⋅C 22C 42=160， 所以ξ的分布列是：ξ 12345p12031071516160所以Eξ=1×120+2×310+3×715+4×16+5×160=145． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx +ax +1，a ∈一、选择题．（1）当时x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：n2n+4＜ln22+ln232+⋯+ln2n+1n＜nn+1．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．因此只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．可得ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n√n√n+1=√n√n+1=√n+1n−√n n+1．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明2lnx＜x−1x(x＞1)．解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得−a≤lnx+1x恒成立，即−a≤(lnx+1x)min．令F(x)=lnx+1x．则F′(x)=1x−1x2=x−1x2．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数F(x)=lnx+1x的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n项和．∴只需证明1(n+1)(n+2)＜ln2n+1n＜1n(n+1)即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即lnx≥x−1 x．令x=n+1n＞1，即得lnn+1n＞1−nn+1=1n+1．∴ln2n+1n＞(1n+1)2＞1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln2n+1n＜1n(n+1)，即2ln√n+1n1n√n+1=n+1−nn√n+1=√n+1n−√n n+1．（*）现证明2lnx ＜x −1x(x ＞1)．构造函数G(x)=x −1x−2lnx （x ≥1），则G′(x)=1+1x2−2x=x 2−2x+1x 2≥0． ∴函数G （x ）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G （x ）≥G （1）＝0． ∴当x ＞1时，有G （x ）＞0，即2lnx ＜x −1x成立． 令x =√n+1n，则（*）式成立．综上，得1(n+1)(n+2)＜ln 2n+1n＜1n(n+1)．对数列{1(n+1)(n+2)}，{ln 2n+1n}，{1n(n+1)}分别求前n 项和， 得n 2n+4＜ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n＜n n+1．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t曲线C 的参数方程为{x =1cosφy =2tanφ． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 【分析】（1）先求出直线l 和曲线C 的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）将直线l 的方程改写为{x =1−√2t2y =1+√2t2，然后代入曲线C 中，再根据|PA |•|PB |＝|t 1t 2|求出|PA |•|PB |的值．解：（1）直线l 的普通方程为x +y ﹣2＝0， 曲线C 的普通方程为x 2−y 24=1，故曲线C 的右顶点（0，1）到直线l 的距离d =√22．（2）将直线l 的参数方程改为{x =1−√2t2y =1+√2t2，并代入x 2−y 24=1，得3t 2−10√2t −2=0，设其两根为t 1，t 2，则t 1+t 2=10√23，t 1t 2=−23，∴|PA |•|PB |＝|t 1t 2|=23．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题． 23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：ba +a b+c+c b≥2；（2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+cx+y+z的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出ba+a b+c+c b的最小值，即可证明b a+a b+c+c b≥2；（2）柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2，再结合方程组即可得到a ，b ，c 之间的关系，进一步求出a+b+c x+y+z 的值．解：（1）由三元基本不等式知，ba+a b+c +c b=b a+a b+c+b+c b−1≥3√b a ⋅a b+c ⋅b+c b −1=2，当且仅当ba =a b+c =b+cb时取等号， ∴b a+a b+c+c b≥2．．（2）由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）（x 2+y 2+z 2）≥（ax +by +cz ）2， ∵{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，结合上述不等式取等号，可设ax =b y=c z=k （k ＞0），即a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，∴a 2+b 2+c 2＝k 2（x 2+y 2+z 2），∴4＝9k 2，∴k =23， ∴a+b+c x+y+z=k =23．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。
2019-2020年高二下学期第一次月考数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期第一次月考数学试题含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．设复数（为虚数单位），则______.2．圆锥的母线长为，底面直径为，则圆锥的高为______.3．正方体中，异面直线与所成的角的大小为______.4．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此正三棱锥的高为______.5．实系数一元二次方程的一个虚根的模是，则实数______.6．已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的______条件7．若四面体的四个面都是等边三角形，则与平面所成角的大小为______.8．关于的方程的两个根为且，则实数的值______.9．已知正四棱柱，，为的中点，则直线与平面的距离为______.10．用一张长、宽分别为和的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长______. 11．有根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为______.12．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是______. (写出所有真命题的编号)．13．长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______.14．如图，在四棱锥中，⊥底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足_______时，平面⊥平面 (只要填写一个你认为正确的条件即可)．（第14题图）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
湖南省长沙市雅礼中学2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
雅礼中学2020年上学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 是的共轭复数. 若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先设z=x+yi，（x,y∈R），由题得关于x,y的方程组，解方程组得x,y的值即得z的值. 详解：设z=x+yi，（x,y∈R），由题得故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数的共轭复数复数相等:.2. 设全集为R，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设，则“”是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.由得x＜2，因为，所以“”是的充分不必要条件.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（1）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（2）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（3）若且，即时，则是的充要条件.4. 设是等差数列. 下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：本题可使用举反例法排除错误选项．A项中，取，可见命题是错误的；B项中，取，可见命题是错误的；D项中，取，可见命题是错误的；而C项中，，因为，所以，可得，故本题的正确选项为C.考点：等差数列的运用.5. 下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．详解：首先根据函数y=lnx的图象，则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．故答案为：B．点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6. 已知为正实数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由对数与指数的运算法则，知，，所以，故D正确，故选D．考点：指数与对数的运算．7. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，向量在方向上的投影为，故选A．8. 【2020天津，文2】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y 的最大值．详解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.9. 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知，，解得，，所以，令，解得<<，，故单调减区间为(，)，，故选D．【名师点睛】本题考查函数的图象与性质，先列出关于的方程，求出，或利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求出是解题的关键.10. 在中，，BC边上的高等于,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设,故选C.考点：解三角形.视频11. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较的大小关系得解.详解：由题得＜ln1=0,>. 所以ab<0..所以，所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.12. 已知数列满足，且是递减数列，是递增数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年湖南省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年湖南省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．,,a b c 中至少有两个偶数 B ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．,,a b c 都是奇数 D ．,,a b c 都是偶数【答案】B 【解析】 【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求. 【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定为“,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数”， 故选：B. 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.2．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（ ） A ．56B ．81100C ．23D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ，根据条件概率的计算公式，即可得出结果. 【详解】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ， 由题意可得()0.9=P A ，()0.75=P AB ，所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为()0.755()()0.96P AB P B A P A ===.故选A 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.3．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．4．对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得1212z z z z +≤+，（1）正确；设12z a biz c di =+=+，则()()12z z ac bd ad bc i =-++，()()2212z z ac bd ad bc =-++()()()()2222ac bd ad bc =+++()()2222ab c d =++12z z =⋅，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，（3）正确，即正确命题的个数是3，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题. 5．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．13B ．2C ．-3D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到i 、S 的值，可得答案 【详解】第1次执行循环体后：3S =-，2i =； 第2次执行循环体后：12S =-，3i =； 第3次执行循环体后：13S =，4i =； 第4次执行循环体后：2S =，5i =； 经过4次循环后，可以得到周期为4，因为20205054=，所以输出S 的值为13，故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的问题，本题解题的关键是找出循环的周期，属于基础题． 7．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可. 【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零，题中图像符合题意； 对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（ ） A ．2 B ．83C ．4D ．163【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】 如图：抛物线28x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点， 由抛物线的定义可得PF PB =,圆()2221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =，可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，由221PM PM PQ PF ≥+， 可令()11PF t t +=>，则12p PF t PB y =-==+，即()23,83p p y t x t =-=-，可得：()22224625252562641p p x y PM t t t t PF tt t t+--+===+-≥⨯=+，当且仅当5t =时等号成立，即2241PM PM PQ PF ≥≥+，所以2PM PQ的最小值为4故选：C 【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题. 9．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ） A ．()()22239x y ++-= B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-= D ．()()22233x y -++=【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，， 以()23-，为圆心，以3为半径的圆的方程为()()22239x y ++-=． 故选:A. 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.10．若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（）A ．-2B ．-3C ．125D ．-131 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()782128a =-=-，令0x =得01a =，令1x =得012782a a a a a +++++=-所以127125a a a +++=考点：二项式系数11．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．250【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A考点：分层抽样12．若函数()()2e xf x a xa =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e【答案】A 【解析】 【分析】令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e xx x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞， 则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题13．已知33210n n A A =，则345612n n n n C C C C +++++=____________．【答案】462 【解析】 【分析】根据排列数计算公式可求得n ，结合组合数的性质即可化简求值. 【详解】根据排列数计算公式可得()()3222122n A n n n =--，()()312n A n n n =--，所以()()()()221221012n n n n n n --=--， 化简可解得8n =，则由组合数性质可得345688910C C C C +++4569910C C C =++ 561010C C =+()61111!4626!116!C ===-，故答案为：462. 【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.14．已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）﹣m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3 【解析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可. 详解：画出函数()f x 的图象，如图：若函数y=f （x ）﹣m 有2个零点， 结合图象：2m =或3m ≥. 故答案为：2m =或3m ≥.点睛：对于“a ＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y ＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f(x)的图象和直线y ＝a 交点的个数．15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名． 【答案】32 【解析】试题分析：设高一年级抽取名学生，所以，高一年级抽取24名学生考点：分层抽样16．已知双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则该双曲线的方程为__________．【答案】2217x y -=【解析】分析：根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得m 的值，将m 的值代入双曲线的方程，即可得答案.详解：根据题意，椭圆221124x y +=的焦点在x 轴上，且焦点坐标为()22,0±，若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得7m =，则双曲线的方程为2217x y -=.故答案为2217x y -=.点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
雅礼中学 2023 年高二下学期入学检测数学试题及参考答案
一、单项选择雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学 参考答案题7.【答案】A【解析】因为++-=f x y f x y f x f y )()()()(，令=x 1，=y 0， 可得，=f f f 2110)()()(， 所以=f 02)(，令=x 0，可得，+-=f y f y f y 2)()()(， 即=-f y f y )()(， 所以函数f x )(为偶函数，令=y 1得，++-==f x f x f x f f x 111)()()()()(， 即有++=+f x f x f x 21)()()(，从而可知+=--f x f x 21)()(，-=--f x f x 14)()(， 故+=-f x f x 24)()(， 即=+f x f x 6)()(，所以函数f x )(的一个周期为6.因为=-=-=-f f f 210121)()()(，=-=--=-f f f 321112)()()(，=-==-f f f 4221)()()(，=-==f f f 5111)()()(，==f f 602)()(，所以一个周期内的+++=f f f 1260)()()(.由于22除以6余4， 所以∑=+++=---=-=f k f f f f k 123411213122)()()()()(.故选：A.8.【答案】C【解析】作直线EF ，分别交DA ，DC 于M ，N 两点，连接1D M ，1D N 分别交1A A ，1C C 于H ，G 两点，如图所示，过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点. 所以1AE AM BE BF ==，1CN CFBE BF==， 即AM CN a ==，因为113AM AH MD DD ==，113CN CG DN DD ==， 所以23a AH CG ==. 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239a V a a a a a a =⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， ∴另一部分体积为33322547899V a a a =-=， ∴1225:47V V =. 故选：C.二、多项选择题12.【答案】BC【解析】对于选项A ，以D 点为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D . 从而()10,0,1DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误； 对于选项B ，取11B C 的中点为M ，连接1A M ，GM ，则易知1//A M AE ， 又1A M ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 故1//A M 平面AEF ，又//GM EF ，GM ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以//GM 平面AEF ， 又1A MGM M =，1A M ，GM ⊂平面1A GM ，故平面1//A MG 平面AEF ，又1A G ⊂平面1A MG ，从而1//A G 平面AEF ， 选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，如图所示， ∵正方体中11////AD BC EF ， ∴A ，E ，F ，1D 四点共面，∴四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形1AEFD 为梯形，又由勾股定理可得12D F AE ==，1AD =2EF =，∴梯形1AEFD=，∴11928AEFD S =⨯=⎭梯形， 选项C 正确；对于选项D ，由于1111224GEF S =⨯⨯=△，11112228ECF S =⨯⨯=△， 而13A GEFEFG V S AB -=⋅△，13A ECF BCF V S AB -=⋅△， ∴2A GEF A BCF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的2倍，选项D 错误. 故选：BC.三、填空题13.1015.()(),01,-∞+∞16.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠；现业解答本题：设PE x PB =，PF y PD =，184233P ABCD V -=⨯⨯=， 则43P AEF P ABD V x y V xy --=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy --=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y --=⋅=，223P AEM P ABC x V V x --=⋅=，∴()223P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，则3x y xy +=， ∴31yx y =-， ∴010131x y y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨⎪=⎪-⎩， 则112y ≤≤， ∴()222233331331P AEMFy y V x y y y y -⎛⎫=+=+=⋅⎪--⎝⎭，令31t y =-，则()2211123199t yt y t t +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， ∵1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当112t ≤<时，函数1y t t =+单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+单调递增， 故1y t t =+最小值为2，当12t =，2时，1y t t =+都取到最大值52，则()22111412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(当且仅当1t =时，取最小值)， ∴282,1319P AEMFy V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17.【解析】(1)根据函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像，可得2A =，3254123πππω⋅=+， ∴2ω=.再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据图像可得，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心， 故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故当2,2x x ππ==时，()g x 取得最大值，即()max 1g x =； 当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即()min2g x =-.18.(1)【证明】如图，连接1A B ，1CD ，∵正方体1111ABCD A B C D - ∴四边形11ABB A 为正方形， ∴11AB B A ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥， 又11B CA B B =，∴1AB ⊥平面11A D CB ，又∵1D E ⊂平面11A D CB ， ∴11AB D E ⊥.(2)【证明】如图，连接DE ，1CD ，AD DC =，DF EC =，ADF DCE ∠=∠，∴ADF DCE ≌△△， ∴DAF CDE ∠=∠. ∵90CDE ADE ∠+∠=︒， ∴90DAF ADE ∠+∠=︒， 即DE AF ⊥.又∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴1AF DD ⊥， ∵1DD DE D =，1,D D DE ⊂平面1D DE ，∴AF ⊥平面1D DE . 又∵1D E ⊂平面1D DE ， ∴1AF D E ⊥. 由(1)可知11AB D E ⊥ 又∵1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F ，∴1D E ⊥平面1AB F .又∵1MN C D ⊥，11//AB C D ， ∴1MN AB ⊥，， 又∵MN AF ⊥，1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F所以MN ⊥平面1B AF 所以1//MN D E .(3)【解析】存在.如图，当点P 为棱1CC 的中点时，平面1CD E ⊥平面AFP . 连接FP ，AP ，∵点P ，F 分别为棱1CC ，CD 的中点， ∴1//FP C D ，∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴11//AD B C ， ∴11AB C D∴11//C D AB ， ∴1//FP AB ，∴FP 与1AB 共面于平面1AB PF .由(2)知1D E ⊥平面1B AF ，即1D E ⊥平面AFP . 又因为1D E ⊂平面1CD E ， ∴平面1CD E ⊥平面AFP .19.【解析】(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A ，未罚进点球的事件为A ；乙队球员罚进点球的事件为B ，未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C ，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-⨯-+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为12. (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分， 即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯-⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20.(1)【证明】以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =--， 因为13PF PB =，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =--， 所以()()12,,223a b c --=--，解得4343a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2233DG ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2233334233x y y x y ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩， ∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面.(2)【解析】由(1)可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240333x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令2y =，则(3,2,n =-取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,510n CB n CB n CB⋅===，所以215sin ,1cos ,5n CB nCB =-=，∴二面角F DE P --. 21.【解析】(1)如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，(当且仅当3MA ME ==时等号成立)， 故两机器人运动路程和的最大值为6.(2)(i)在AEM △中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍， 故2AM EM =，由正弦定理可得()sin sin AM EM πθα=-， 所以()sin 11sin sin sin 223EM AM πθπαθ-====， (ii)设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈，由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯， 所以3cos 22x xθ=-， 所以sin x θ=== 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.22.【解析】(1)因为13πθ=，223πθ=，3θπ=， 所以()22200012sin sin sin 333ππμθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2222200000131131cos sin sin sin cos 322322θθθθθ⎛⎫=++=⨯+= ⎪⎝⎭， 所以“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值12. (2)因为14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()()2220001sin sin sin 34πμθαθβθ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()0001cos 21cos 221cos 22123222πθαθβθ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥----⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()00000sin 2cos2cos2sin 2sin 2cos2cos2sin 2sin 2126θαθαθβθβθ++++=-()()00sin 2sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2126αβθαβθ++++=-， 因为实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值， 所以cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()2,2αππ∈，()22,4βππ∈，由cos 2cos 20αβ+=，得225αβπ+=或22βαπ-=， 即52παβ+=或2πβα-=， 由()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=，得()1cos 222βα-=-， 又因为()220,3βαπ-∈， 所以2223πβα-=或4223πβα-=或8223πβα-=， 即3πβα-=或23πβα-=或43πβα-=， 当523παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得13121712παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验不符合题意； 当5223παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意； 当5243παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意. 综上可知：11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。
湖南省长沙市雅礼中学(雅礼教育集团)2019-2020学年高二下数学期末模拟.docx
湖南省长沙市雅礼中学（雅礼教育集团）2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）命题p:3x 0 G T?,X 02-X 0 + 1<。
的否定是（）D ・ BF A.AC某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动。
若甲，乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每个人只参加一个社团，则不同的报名方案数为2_—组 =1的公共点的个数为（）3. 直线y = -2x-3与曲线一 4②如果mLa , nllot,那么m±n ； ③如果a", mua ,那么m///?； ④如果平面Q 内有不共线的三点到平面”的距离相等，那么allp-其中正确的命题是（）A.已知命题P: Vx>0,总有（x + l ）e x >1,则一^为（ ）8. 已知椭圆。
：亳+ . = 1（。
〉力〉0）的离心率为季.双曲线x 2-y 2 =1的渐近线与椭圆C 有四个交点,1. A. Vx e 7?, x 2 - % +1 > 0B. Vx e 7?, x 2 - % +1 < 0C.2. A. 2160B. 1320C. 2400D. 4320V 2 A. 1 B. 2 D. 44.设”是两个不同的平面,m 、〃是两条不同的直线，有下列命题:①如果m-Lrif mLa , 〃///?,那么a _L /?；A. ①②B.②③C.②④D.②③④5. 下列值等于1的积分是（）A. ijxdxoC.ijWxD. ^—dx °26. 若集合 A = {x|0 < x < 1}, B =卜".22x<0 ,则下列结论中正确的是（）7. A. 3x 0<0 使得(x 0+l)^°<1 B. 3x 0 >0 使得(x 0+l)e %0 <1 C. vx>o 总有（尤+1）八1D. Vx<0,，点有(x + l)e* < 1以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为A. X 2 T+ 丁 —12 B.X 2 一 + 12 £6 =1C. %216 + ^ — 14D. %2 ---- F 20/ 5 二1 9. 已知函数f(x)=asina)x + cos cox(a > 0,&>>0)的最大值为”，周期为兀，给出以下结论:JT①f(x)的图象过点(0,1)； ②六X )在上单调递减； _ O O③f (X )的一个对称中心是g ，很｝④ E 的一条对称轴是X =一芸其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410. 设直线x + y —口 = 0与圆(x —2)2 + ^=4交于A, B 两点，圆心为C,若即C 为直角三角形，则。
2019-2020学年长沙市名校数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年长沙市名校数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（） A ．13- B ．13C ．53-D ．53【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：1334(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。
【详解】 由于133(log 12)(log 12)f f =-；因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期； 所以33334(log 12)=(log 12)(log 122)(log )3f f f f --=--=-又因为340log 13<<，所以34log 3133441(log 12)(log )=(31)(1)333f f =---=--=-；故答案选A 【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。
2．若双曲线221y x m-=的一条渐近线为20x y +=，则实数m =（ ）A ．12B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m 的值． 【详解】双曲线221y x m -=中，0m >，令220y x m-=，得22y mx =，所以y =；又双曲线的一条渐近线为20x y +=，2=，解得4m =，所以实数4m =．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题． 3．设m R ∈，向量(1,2),(,2)a b m m =-=-，若a b ⊥，则m 等于( )A ．23-B ．23C ．－4D ．4【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】 因为(1,2),(,2)b a m m =-=-，且a b ⊥，所以()(1,2)(,2)220a m m m m b ⋅=-⋅-=--=， 化为40m -=，解得4m =，故选D. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.4．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．15B ．16C ．23D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，易得正方形OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x 与y x =式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案． 【详解】根据题意，正方形OABC 的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y =,其面积为)11322021326x x dx x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，则正方形OABC 中任取一点P ,点P 取自阴影部分的概率为11616=；故选：B. 【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用,几何概型求概率，属于综合题，难度不大，属于简单题. 5．5(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．100 B ．80 C ．60 D ．40【答案】D 【解析】 【分析】由二项式项的公式，直接得出x 2的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项． 【详解】因为5(12)x +的展开式中含2x 的项为2225C (2)40x x =,故2x 的系数为40.故选：D 【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x 2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练．6．从2018名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率( ) A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为251009 D ．都相等，且为140【答案】C 【解析】 【分析】按系统抽样的概念知应选C ，可分两步：一是从2018人中剔除18留下的概率是20002018，第二步从2000人中选50人选中的概率是502000，两者相乘即得． 【详解】从2018人中剔除18人每一个留下的概率是20002018，再从2000人中选50人被选中的概率是502000，∴每人入选的概率是20005025201820001009P =⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查随机抽样的事件与概率，在这种抽样机制中，每个个体都是无差别的个体，被抽取的概率都相等． 7．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 是直线：3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】 【分析】()1根据新定义由[]1OP x y =+=，讨论x 、y 的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；()2运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[]OP 的最小值；()3根据k 等于1或1-都能推出[]OP 最小的点P 有无数个可判断其错误；()4把P 的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得[]OP x y =+的最大值说明命题正确． 【详解】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 为直线220y +-=上任一点，可得12y x =-，可得1x y x +=+，当0x ≤时，[]111OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当0x <<时，[]11OP x ⎛⎛=+∈ ⎝⎝⎭；当x ≥时，可得[]112OP x ⎛⎫=-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确． 则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ． 【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 8．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C. 【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.9．若函数()()2212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．105a <≤ B ．105a ≤≤C ．105a <<D ．15a >【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可. 【详解】当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a--≥，解得105a <≤. 综上所述：105a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题.10．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.11．已知命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减；命题:q a m ≤，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则m 的取值范围为（ ） A ．25m <-B ．3m ≤-C ．25m >-D ．65m ≥-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得当0a =时不成立，当0a ≠时，满足()04132a a a <⎧⎪+⎨-≤⎪⎩求出a 的范围，从而求出p ⌝，再求出q ⌝，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即可求解. 【详解】由命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减， 当0a =时，()43f x x =-，不满足题意，当0a ≠时，则()0241532a a a a <⎧⎪⇒≤-+⎨-≤⎪⎩，所以p ⌝：25a >-， 由命题:q a m ≤，则q ⌝：a m >， 由因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以25m <-. 故选：A 【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题. 12．函数3lg x y x=的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、特殊值判断函数图象形状与位置即可． 【详解】 函数y=3lg x x 是奇函数，所以选项A ，B 不正确；当x=10时，y=3110＞0，图象的对应点在第一象限，D 正确；C 错误． 故选D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、特殊值等方法判断．二、填空题：本题共4小题13．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．【答案】542+. 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则2AB m =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABCm S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值． 详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则2AB m =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+42)54254πα=-+≤.当34απ=时取到最大值542+故答案为542+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.14．已知函数()()()2111xx x f x e x ⎧->-⎪=⎨≤-⎪⎩，，，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围为__________.【答案】1,2e⎛⎤-∞--⎥⎝⎦.【解析】【分析】作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．【详解】作出函数f（x）的图象如图：设f（a）=f（b）=t，则0＜t≤1e，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，则f（a）=e a=t，f（b）=2b﹣1=t，则a=lnt，b=12（t+1），则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤1e，函数的导数g′（t）=1t﹣1=1tt-，则当0＜t≤1e时g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，∴g（t）≤g（1e）=ln1e﹣1e﹣1=﹣1e﹣2，即实数a ﹣2b 的取值范围为（﹣∞，﹣1e﹣2]， 故答案为：（﹣∞，﹣1e﹣2]． 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．15．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是________ 【答案】正方形的对角线相等 【解析】分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理.在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中“平行四边形的对角线相等”，含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”，另外一个就是结论.详解：由演绎推理三段论可得，本例中的“平行四边形的对角线相等”是大前提， 本例中的“正方形是平行四边形”是小前提， 则结论为“正方形的对角线相等”， 所以答案是：正方形的对角线相等.点睛：该题考查的是有关演绎推理的概念问题，要明确三段论中三段之间的关系，分析得到大前提、小前提以及结论是谁，从而得到结果.16．已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{(,)|(,)0}T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为∑曲线.下列方程所表示的曲线中,是∑曲线的有__________（写出所有∑曲线的序号）①2212x y +=；②221x y -=；③22y x =；④||1y x =+ 【答案】①③ 【解析】 【分析】将问题转化为：对于曲线C 上任意一点()11,P x y ，在曲线上存在着点()22,Q x y 使得OP OQ ⊥，据此逐项判断曲线是否为∑曲线. 【详解】①2212x y +=的图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且图象是封闭图形， 所以对于任意的点()11,P x y ，存在着点()22,Q x y 使得OP OQ ⊥，所以①满足；②221x y -=的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90︒的区域，当,P Q 在双曲线同一支上，此时90POQ ∠<︒，当,P Q 不在双曲线同一支上，此时90POQ ∠>︒， 所以90POQ ∠≠︒，OP OQ ⊥不满足，故②不满足；③22y x =的图象是焦点在x 轴上的抛物线，且关于x 轴对称，连接OP ，再过O 点作OP 的垂线， 则垂线一定与抛物线交于Q 点，所以90POQ ∠=︒，所以OP OQ ⊥，所以③满足；④取()0,1P ，若OP OQ ⊥，则有20y =，显然不成立，所以此时OP OQ ⊥不成立，所以④不满足. 故答案为：①③.【点睛】本题考查曲线与方程的新定义问题，难度较难.(1)对于新定义的问题，首先要找到问题的本质：也就是本题所考查的主要知识点，然后再解决问题；(2)对于常见的12120x x y y +=，一定要能将其与向量的数量积为零即垂直关系联系在一起.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年第二学期高二入学考试数学试卷
雅礼中学2020年上学期入学考试试卷高二数学时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数421i z i+=+（为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A.815B.18C.115D.1303. 函数32y x ax a =-+在内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A.B.C.D.4. 已知p ：20x x -<，那么p 的一个必要不充分条件是（ ） A. 01x <<B. 11x -<<C.1223x << D.122x << 5. 在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有（ ） A. 512个B. 192个C. 240个D. 108个6. 已知函数()22cos f x x x =+，若()'f x 是()f x 的导函数，则函数()'f x 的图象大致是（ ） A.B.C.D.7. 已知双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 轴上，30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且.如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12PF PF ⋅=（ ） A. 21B. 14C. 7D. 08. 有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学.A. 1B. 2C. 3D. 4，5，6号中的一个9. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =（ ）A.2π B.3π C.4π D.6π 10. 设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，，且()30g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A.B.C.D.11. 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x 的关系是()21400,0400280000,400x x x R R x x ⎧-≤≤⎪==⎨⎪>⎩，则总利润最大时，年产量是（ ） A. 100B. 150C. 200D. 30012. 已知椭圆T ：的离心率为，过右焦点F 且斜率为的直线与T 相交于A ，B 两点，若，则k =（ ） A. 1B.C.D. 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13. 双曲线221x y -=的离心率为______.14. 如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=︒，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16. 已知函数()()2112x x x x a e e f x --+-++=有唯一零点，则a =______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知在等比数列中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足()*21n n b n a n N =-+∈，求的前n 项和n S .18. 已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x =--∈. （Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.19. 《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：，. 参考数据：511415i ii x y==∑.20. 如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图（2）的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ； （2）求二面角B AP O --的余弦值.21. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点到抛物线C ：的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标； （2）记()d m =AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22. 已知函数，()1xg x xe-=（a R ∈，e 为自然对数的底数） .（Ⅰ）若不等式()0f x >对于一切恒成立，求a 的最小值；（Ⅱ）若对任意的(]00,x e ∈，在上总存在两个不同的，使成立，求a 的取值范围.雅礼中学2020年下学期高二入学考试试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：DCDBD 6-10：ABCCA 11-12：DB1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】解：∵41i =，∴复数()()()31213311122i z i i i i -+===-++-，故选D. 5.【答案】D【解析】能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有54360⨯⨯=（个）. 二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有44348⨯⨯=（个）. 由分类加法计数原理得6048108+=（个）. 6.【答案】A解析：设，，所以函数()'f x 在R 上单调递增，故选A. 7.【答案】B【解析】∵双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 轴上，∴设双曲线的方程为.∵抛物线216y x =的准线4x =-过双30y +=， ∴，解得，∵点P 在双曲线M 上，且，根据双曲线的定义以及勾股定理得，. 故选B. 8.【答案】C【解析】C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是3号同学. 9.【答案】C【解析】利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=和余弦定理2222cos a b c ab C +-=进行计算可得. 详解：由题可知，所以2222sin a b c ab C +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，所以sin cos C C =，∵()0,C π∈，∴4C π=，故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理. 11.【答案】D【解析】由题意得，总成本函数为()20000100C C x x ==+，总利润()230020000,0400260000100,400x x x x x P x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩， 又()300,0400100,00'4P x x x x -≤≤⎧=⎨->⎩，令()'0P x =，得300x =，易知300x =时，总利润()P x 最大. 12.【答案】B【解析】设()11,A x y ，. ∵，∴123y y =-.∵e =2a t =，c =，b t =， ∴222440x y t +-=.①设直线AB 方程为，代入①中消去x ，可得()22240s y t ++-=，∴12y y +=，21224t y y s =-+，即22y -=，222234t y s -=-+，解得212s =，∴12sk ===故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上.13.14. 15. 24 16.1214.【答案】【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则，，()2,0,0B ，. ，，故cos ,6EF BD ==.15.【答案】24【解析】5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法. 16.【答案】12【解析】试题分析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设，则()()2111111'11x x x x x x eeeeeg x e---+----=-=-=，当()'0g x =时，1x =，当1x <时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =， 设，当1x =时，函数取得最小值-1，当时，因()y ag x =与()y h x =图象均关于直线1x =对称，因此，交点个数成对出现，不可能出现交点个数为1的情况.当时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =. 【易错分析】经几何画板验证，a -大于0时，两函数图象并不是没有交点，而是两图象均关于1x =对称，因此交点个数成对出现，例0.4a =-时有4个交点.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）设公比为q ，则2a q =，23a q =，∵2a 是1a 和31a -的等差中项，∴()()2213212112a a a q q q =+-⇔=+-⇔=，∴.（2）121212n n n b n a n -=-+=-+，则221n n =+-.18.【解析】（Ⅰ）由2sin 3π=21cos 32π=-，22211322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得 ，由正弦函数的性质得，k Z ∈， 解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间是.19.【解析】（1）由表中数据知，3x =，100y =， ∴，125.5a y bx =-=，∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+，令9x =，则8.59125.549y =-⨯+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为1b ，2b ，3b ，从这7人中任选2人包含以下基本事件，()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，，()12,a b ，，， ，()22,a b ，()34,a a ，，()13,a b ，，()33,a b ，，()13,b b ，()23,b b ，()32,a b ，，()42,a b ，()12,b b 共21个基本事件；设“其中两个恰好来自同一月份”为事件A ，则事件A 包含的基本事件是()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()23,a a ，()24,a a ，()34,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共有9个基本事件，()93217P A ==. 20.【解析】（1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴//BD EF ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴EF AC ⊥，∴EF AO ⊥，EF PO ⊥.∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA . （2）解：设AOBD H =，连接BO .∵60DAB ∠=︒，∴ABD ∆为等边三角形，∴4BD =，2BH =，HA =HO PO =在Rt BHO ∆中，BO ==在PBO ∆中，22210BO PO PB +==，∴PO BO ⊥.∵PO EF ⊥，，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED .以O 为原点，所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示，则，，(P ，，∴(AP =，()AB =.设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =， 由，，得，令1y =，得3z =-，. ∴平面PAB 的一个法向量为.由（1）知平面PAO 的一个法向量为， 设二面角B AP O --的平面角为θ，则，二面角为锐角，∴二面角B AP O --21.【解析】（1）的准线为2p x =-， ∴5124p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴12p =， ∴抛物线C 的方程为2y x =. 又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =. 故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ， 从而n m =，即点，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为，且()11,A x y ，， 由，得， 故21k m ⋅=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-， 即2220x my m m -+-=.由，消去x ，整理得22220y my m m -+-=， 所以2440m m ∆=->，122y y m +=，.从而12A y B y =- .∴()11d m m ==≤+-=，当且仅当1m m =-，即12m =时，上式等号成立， 又12m =满足2440m m ∆=->.∴d 的最大值为1. 22.【解析】（Ⅰ）由题意得在恒成立，即2ln 21xa x >--在恒成立， 设()2ln 21xh x x =--，，则，设()22ln 2x x x ϕ=+-，，则()222'0x x xϕ=-<，∴()x ϕ在上是减函数，∴()122ln 202x ϕϕ⎛⎫>=->⎪⎝⎭， ∴()'0h x >，∴()h x 在上为增函数，∴()124ln 22h x h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， ∴24ln 2a ≥-，∴a 的最小值为24ln 2-； （Ⅱ）∵()1xg x xe-=，∴，∴()g x 在上递增，在上递减，又∵()00g =，()11g =，， ∴函数()g x 在上的值域为， ∵，∴，①当2a ≥时，()'0f x <，()f x 在上单调递减，不合题意； ②当2a <时，令()'0f x >，则22x a >-；令()'0f x <，则202x a<<-，i ）当22e a ≥-，即222a e -≤<时，()f x 在上单调递减，不合题意； ii ）当22e a <-，即22a e<-时，()f x 在上单调递减，在上单调递增； 令，22a e <-，则()'2am a a-=-，∴()m a 在上单调递增，在上单调递减； ∴，即22ln 02a a-≤-在上恒成立， 令22t a =-，则0t >，设()1ln k t t t =+，0t >，则()21't k t t-=， ∴()k t 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴，即1ln 0t t +>，∴1ln t t>-， ∴，即232222a a e e a-->>-， ∵当时，()()()212ln 22ln f x a x x a x =--->--()231a a >---=， 且()f x 在上连续，∴欲使对任意的(]00,x e ∈，在上总存在两个不同的，使成立， 则需满足()1f e ≥，即321a e ≤--， 又∵，∴23221e e ->--，∴321a e ≤--， 综上所述，3,21a e ⎛⎤∈-∞-⎥-⎝⎦.。
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，若有一根在（0，1）内，则 0＜
＜1，即
0＜a＜ ．a=0 时，3x2-3a=0 两根相等，均为 0，f（x）在（0，1）内无极小值．a＜0 时，
3x2-3a=0 无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜ ． 考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．
4.已知 p : x2 x 0 ，那么命题 p 的一个必要不充分条件是（
设
A, B
坐标分别为 (x1,
y1), (x2 ,
y2 ) ，则
x1
x2
4 1
3k 2 4k 2
,
x1x2
(3k 2 1)a2 1 4k 2
因为
AF
3FB
，所以
(
3 2
a
x1,
y1 )
3(
x2
3
2
a,
y2 )
，从而有
x1
3x2
2
3a ①
再由 AF 3FB 可得
AF
3 FB
，根据椭圆第二定义可得
【答案】C
【解析】
试题分析：开机密码的可能有
1 C. 15
1 D. 30
(M ,1), (M , 2), (M ,3), (M , 4), (M ,5), (I ,1), (I , 2), (I ,3), (I , 4), (I ,5) ，
(N ,1), (N , 2), (N , 3), (N , 4), (N , 5) ，共 15 种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的
C. 7
D. 0
【解析】
试题分析：因为双曲线 M 的焦点 F1, F2 在 x 轴上，所以设双曲线方程为
，因为抛物线
的准线
过双曲线的焦点，且一条渐
近线方程为 7x 3y 0 ，所以
，解得
；因为点 P 在双曲线
M 上，且 PF1 PF2 0 ，所以
，解得
；故选 B．
考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．
据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4，5，6
号中的一个
【答案】C
【解析】
【分析】
因为只有一人猜对，而 C ， D 互相否定，故 C ， D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即
可得出结论.
【详解】解：因为 C ， D 互相否定，故 C ， D 中一人猜对，
假设 D 对，则 B 也对与题干矛盾，故 D 错，猜对者一定是 C ，于是 B 一定猜错， A 也错，
组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的个数有 60+48=108 个，故选 D．
考点：排列组合．
f x x2 2 cos x f x f x
f x
6.已知函数
，若
是
的导函数，则函数
的图象大致是
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.
7.已知双曲线 M 的焦点 F1, F2 在 x 轴上，直线 7x 3y 0 是双曲线 M 的一条渐近线，点
P 在双曲线 M 上，且 PF1 PF2 0 ，如果抛物线 y2 16x 的准线经过双曲线 M 的一个焦
点，那么|PF1||PF2| （ ）
A. 21 【答案】B
B. 14
g 3 0
F 3
由于
，所以
g f
3 3
0
，
F 3 0 F 3 0
即
，
，
因为
f
xg x
f
2
x
g x f x
f
2 x F x
，
f xg x 0
F x 0
要求不等式
，即求
，
解得： 3 x 0 或 x 3 ，
f xg x 0
3,0 3,
则不等式
的解集为：
.
故选：A.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构
件的个数）得出的结果才是正确的．
3.函数 f (x) x3 2ax a 在 (0,1) 内有极小值，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. (0,3)
【答案】D 【解析】
B. (,3)
C. (0, )
D.
试题分析：对于函数
，求导可得
，∵函数
在（0，1）内有极小值，∴
，则其有一根在（0，1）
内，a＞0 时，3x2-2a=0 两根为±
1 概率是 15 ，故选 C．
【考点】古典概型
【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的
基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，
P( A) m
运用的古典概型计算公式
n （其中 n 是基本事件的总数，m 是事件 A 包含的基本事
13.双曲线 x2 y2 1的离心率为
【答案】 2
【解析】
思路分析：由题可得
，故离心率
考点：此题考查双曲线离心率的计算.
点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.
14.如图，平面 PAD 平面 ABCD ， ABCD 为正方形， PAD 90 ，且 PA AD 2 ， E ， F 分别是线段 PA ， CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为______.
B. 192 个
C. 240 个
D. 108 个
【答案】D
【解析】
试题分析：由于能被 5 整除的数，其个位必为 0 或 5，由此分两类：第一类：个位为 0 的，
有
个；第二类：个位为 5 的，再分两小类：第 1 小类：不含 0 的，有
个，
第 2 小类：含 0 的，有
个，从而第二类共有 48 个；故在由数字 0,1,2,3,4,5 所
，位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I , N 中的一个字母，
第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
8 A. 15
1 B. 8
）
A. 0 x 1
B. 1 x 1
1 x 2
C. 2
3
D.
1x2 2
【答案】B
【解析】
【详解】解 : p：x2－x<0 的充要条件为 0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以
选择 B
5.在由 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的有( )
A. 512 个
【答案】C
【解析】
S ABC
分析：利用面积公式
1 2
absinC
和余弦定理 a2
b2
c2
2abcosC
进行计算可得．
S ABC
详解：由题可知
1 2
absinC
a2
b2 4
c2
所以 a2 b2 c2 2absinC
由余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC
所以 sinC cosC
Q f x x2 2 cos x f x 2x 2sin x f x 2 2 cos x 0
【详解】
因此当 x 0 时， f x 0 ；当 x 0 时， f x f 0 0 ；当 x 0 时，
f x f 0 0 ； 故选：A
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.
3 2
(
2
3 3
a
x1 )
3
3 2
(2 3 3
a
x2
)
，即
3x2
x1
43 3
a
②
x1
由①②可得
3 3
a, x2
53 9
a
，所以
x1
x2
5 9
a2
(3k 2 1)a2 1 4k 2
，则
(3k 2 1) 1 4k 2
5 9
，解
得 k 2 ．因为 k 0 ，所以 k 2 ，故选 B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在对应题号后的横线上.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
e c 3
c 3a
b2 a2 c2 a2
因为 a 2 ，所以 2 ，从而
4 ，则椭圆方程
y k(x 3 a)
{
2
为
x2 a2
4y2 a2
1
．依题意可得直线方程为联立
x2 4y2 a2 a2
1
可得
(1 4k 2 )x2 4 3k 2ax (3k 2 1)a2 0
则获得特等奖的是：3 号同学.
故选：C.
【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础
题.
a2 b2 c2
9. ABC 的内角 A ，， B C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ABC 的面积为
4
，则
C
π A. 2
π B. 3
π C. 4
π D. 6
0 时，
f
'xg x
f
xg 'x
0
，
g 'x f x g x f 'x 0
即：
所以