第一章 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练 2 (1)已知 p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)>0，若 p 是¬q 的充要条件，则实数 a 的值为________． (2)设 p：|2x＋1|<m(m>0)；q：2xx－－11>0.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为 __________．
充分、必要条件的判定
例 1 (1)(2019·皖南八校联考)“1x>1”是“ex－1<1”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若集合 A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( )
A．充分不必要条件
1．已知命题 p：“正数 a 的平方不等于 0”，命题 q：“若 a 不是正数，则它的平方等于 0”，
则 q 是 p 的( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
2．(2019·人大附中阶段考)命题“若 x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )
A．若 x2≥1，则 x≥1 或 x≤－1 B．若－1<x<1，则 x2<1
三角形”的________条件．
题组三 易错自纠
5．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(多选)设 x∈R，则 x>2 的一个必要不充分条件是( )
A．x<1 B．x>1 C．x>－1 D．x>3
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件
p⇒q 且 q⇏p
p 是 q 的必要不充分条件
p⇏q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件
p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且 q⇏p
概念方法微思考
若条件 p，q 以集合的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由 A⊆B 可得，p 是 q 的充
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件
p⇒q 且 q⇏p
p 是 q 的必要不充分条件
p⇏q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件
p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且 q⇏p
概念方法微思考 若条件 p，q 以集合的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由 A⊆B 可得，p 是 q 的充 分条件，请写出集合 A，B 的其他关系对应的条件 p，q 的关系． 提示 若 A¬B，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A⃘B 且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
10．下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①命题“若 x>1，则 x2>1”的否命题；②命题“若 x>y，则 x>|y|”的逆命题； ③命题“若 x＝1，则 x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若 a>b，则 ac>bc”的逆否命题．
11．已知 f (x)是 R 上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f (x1)＋f (x2)＝0”的__________条件．(选 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
C．“a<1”是“方程 x2＋x＋a＝0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件 9．已知命题“非空集合 M 中的元素都是集合 P 中的元素”是假命题，那么下列命题中
________为真命题．(填序号)
①M 中的元素都不是 P 中的元素；②M 中有不属于 P 的元素；③M 中有属于 P 的元素； ④M 中的元素不都是 P 中的元素．
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§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真 命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
C．若 x>1 或 x<－1，则 x2>1
D．若 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1
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3．已知命题 p：若 a<1，则 a2<1，下列说法正确的是( ) A．命题 p 是真命题
B．命题 p 的逆命题是真命题
C．命题 p 的否命题是“若 a<1，则 a2≥1”
D．命题 p 的逆否命题是“若 a2≥1，则 a<1” 4．命题“若 m>－1，则 m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的( A．充分不必要条件 C．充要条件
) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．若“x>1”是“不等式 2x>a－x 成立”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是( ) A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4
③若 ab 是正整数，则 a，b 都是正整数；
④若 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)－g(x)单调递减．
其中为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
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思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意 ①对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写． ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． (2)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直 接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
7．(多选)若 x2－x－2<0 是－2<x<a 的充分不必要条件，则实数 a 的值可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．(多选)下列叙述中不正确的是( ) A．若 a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0”
B．若 a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
(2)设 p：12x<1，q：log2x<0，则 p 是 q 的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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充分、必要条件的应用 例 2 已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必 要条件，求 m 的取值范围．
命题及其关系
1．命题“若 xy＝0，则 x＝0”的逆否命题是( )
A．若 xy＝0，则 x≠0
B．若 xy≠0，则 x≠0
C．若 xy≠0，则 y≠0
D．若 x≠0，则 xy≠0
2．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；
②若两组数据的平均数相等，则它们的方差也相等；
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题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( √ ) (2)已知集合 A，B，则 A∪B＝A∩B 的充要条件是 A＝B.( √ ) (3)q 不是 p 的必要条件时，“p⇏q”成立．( √ ) (4)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分不必要条件．( × ) 题组二 教材改编 2．下列命题是真命题的是( ) A．矩形的对角线相等 B．若 a>b，c>d，则 ac>bd C．若整数 a 是素数，则 a 是奇数 D．命题“若 x2>0，则 x>1”的逆否命题 答案 A 3．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________． 答案 两直线不平行，同位角不相等 4．已知△ABC 的三边分别为 a，b，c，那么“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca”是“△ABC 为等边 三角形”的________条件． 答案 充要 题组三 易错自纠 5．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若 an＝2n－10，则 S4<S3，
12．已知集合 A＝x12<2x<8
，B＝{x|－1<x<m＋1，m∈R}，若 x∈B 成立的一个充分不必
要条件是 x∈A，则实数 m 的取值范围是____________．
13．(2020·深圳模拟)对于任意实数 x，〈x〉表示不小于 x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－
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1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )