充分条件和必要条件课件

所以，不等式 x ＋ px＋ q≤ 0 的解集中只含有一个 2 2 元素时， Δ＝ p － 4q＝ 0，即 p ＝ 4q. 2 充分性：∵ p ＝ 4q， 2 p p 2 2 2 ∴ x ＋ px＋ q＝ x ＋ px＋ ＝x＋ ≤ 0， 4 2 p p ∴ x＋ ＝ 0，即 x＝－ . 2 2 p 即原不等式的解集只有一个元素－ . 2 2 综上可得： x ＋ px＋ q≤ 0 的解集只有一个元素的 2 充要条件是 p ＝ 4q.
【思路点拨】 证明充要条件问题，必须分清条
件与结论．由“条件”⇒“结论”，是证明命题
的充分性；由“结论”⇒“条件”，是证明命题 的必要性．
【证明】 命题中的条件为 p2＝ 4q. 2 必要性：解不等式 x ＋ px＋ q≤ 0. 2 若 Δ＝ p － 4q>0，则 － p－ Δ － p ＋ Δ ， 不等式的解集为x ≤ x ≤ 2 2 不合题意． 若 Δ<0，则 x2＋ px＋q 恒大于 0， 原不等式的解集为空集，不合题意．
考点二
充要条件的证明
(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两个方
面进行．此时要特别注意充分性和必要性所推证的
内容是什么．
(2)在具体解题时需注意若推出(⇒)关系成立，需严
格证明．若推出(⇒)关系不成立，可举反例说明．
例2 证明：关于 x 的一元二次不等式 x2 ＋ px ＋
q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.
【思路点拨】 只需按充分、必要条件的定义，分 析若 p 成立， q 是否成立，再反过来， q 成立时， p 是 否成立． 【解】 (1)∵a＋b＝0 a2＋b2＝0，反过来，若a2 ＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件． (2) 因为函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1⇒f(x) 是增函数，但 f(x) 是增 函数 f(x)＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条 件． (3)∵p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件． (4) 取 α ＝ 150°， β ＝ 30°， α>β ，但 sin 150°＝ sin 30°，即 p q；反之， sin 60°>sin 150°，但 60°>150°不成立，则q p，所以p是q的既不充 分也不必要条件．
1．1.3 充分条件和必要条件
学习目标
课前自主学案 1.1.3 课堂互动必要条件、充要条件的意义． 2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．
课前自主学案
温故夯基 条件 1．命题的结构：若p则q，其中“p”是 ____，“q” 结论 是 ________． 2．四种命题的真假性之间的关系 相同 的真 (1) 两个命题互为逆否命题，它们有 ________ 假性． (2) 两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性 没有关系 ____________．
【名师点评】 一般地，关于充要条件的判断主要 有以下几种方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断． (2) 等价法：“ p⇔q” 表示 p 等价于 q ，等价命题可以 进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以 去证明它的等价命题成立．这里要注意“原命题 ⇔ 逆否命题”“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一， 对于条件和结论是不等关系 ( 否定式 ) 的命题一般应 用等价法． (3) 利 用 集 合 间 的 包 含 关 系 进 行 判 断 ： 如 果 A ＝ {x|p(x)} ， B＝ {x|q(x)} ，那么，若 A⊆B，则 p 是 q的充 分条件，若B⊆A，则p是q的必要条件，若A＝B，则 p是q的充要条件．
知新益能
1．充分条件和必要条件
“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得
p⇒q ，并且说 p是 q的充分 出 q，记作 _______ _______条件，
q是p的必要 ________条件． 当命题“若p则q”为假命题时，记作p q．在这 种情况下， p 是 q 的不充分 _______ 条件， q 是 p 的不必要 _______ 条件．
x>10等也都是x>0的充分条件．
课堂互动讲练
考点突破 考点一
充分、必要条件及充要条件的判断
判断 p 是 q 的什么条件，主要是判断若 p 成立 时，能否推出 q 成立；反过来，若 q 成立时， 能否推出 p 成立．若 p⇒ q 为真，则 p 是 q 的充 分条件；若 q⇒p 为真，则 p 是 q 的必要条件．
例1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(在
“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充 要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一 种 )． (1)p： a＋ b＝ 0， q： a2＋ b2＝ 0； (2)p：函数 f(x)＝ 2x＋ 1， q：函数 f(x)是增函数； (3)p：△ ABC 有两个角相等， q：△ ABC 是等腰三 角形； (4)p： α>β， q： sin α>sin β.
(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是 矩形”； 而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的 对角线相等”，所以 p 是 q 的必要不充分条件． (3)当 x＝1 或 x＝ 2 时，x－ 1＝ x－ 1显然成立； 而解 方程 x－ 1＝ x－ 1，可得 x＝1 或 x＝ 2，所以 p 是 q 的充要条件．
2．充要条件 p⇒q ，又有_____ q⇒p ，就记作p⇔q，p (1)如果既有______ 充要 条件． 是q的充分必要条件，简称______ p⇔q ，那么p与q互为充要 (2)概括地说：如果_______ 条件．
思考感悟 若p是q的充分条件，那么p唯一吗？
提示：不唯一．如x>3是x>0的充分条件，x>5，
自我挑战 1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． (1)p： |a|≥ 2， a∈ R， q：方程 x ＋ ax＋ a＋ 3＝ 0 有实 根； (2)p：四边形的对角线相等， q：四边形是矩形； (3)p： x＝ 1 或 x＝ 2， q： x－ 1＝ x－ 1.
2
解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x ＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根， 则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从 而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p 不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．