山东省济南市槐荫区七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式 1.5.1 平方差公式教案
七年级数学下册第一章整式的乘除知识归纳
第一章整式的运算单项式整 式多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数:只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法:整式加减法的一般步骤：（1)去括号；(2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n （m ，n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m )n =a mn (m ，n 都是正整数)；3、积的乘方：(ab)n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m —n （m,n都是正整数,a ≠0） ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂:1(0)p pa a a -=≠p是正整数。
七、整式的乘除法:1、单项式乘以单项式:法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
七年级数学下册第一章整式的乘除知识归纳
第一章整式的运算单项式 整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：1(0)p p a a a -=≠p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：整 式 的 运 算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(1)教案.doc
第一章：整式的乘除课题1.5 平方差公式(1)课时安排共（）课时课程标准课程标准28页学习目标1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.教学重点平方差公式的推导和应用.教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 教学方法探究与讲练相结合.教学准备课件制作课前作业预习并尝试完成随堂练习教学过程教学环节课堂合作交流二次备课（修改人：）环节一Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.课中作业环节二Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.5.1 A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案. ［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差. ［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.课中作业(1)(m+2)(m－2);(2)(1+3a)(1－3a);环节三Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§1.5.1 B)［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x+1)(1+x) B.(21a+b)(b－21a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(21a+b)(b－21a)利用加法交换律可得(21a+b)(b－21a)=(b+21a)(b－21a),表示b与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b 与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点. ［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§1.5.1 C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－41x －y)(－41x+y);(2)(ab+8)(ab －8);(3)(m+n)(m －n)+3n 2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－41x －y)(－41x +y)——(－41x)与y 的和与差的积 =(－41x)2－y 2——利用平方差公式得(－41x)与y 的平方差 =161x 2－y 2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m －n)+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号 =m 2+2n 2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式. ［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题. 投影片(§1.5.1 D) 1.计算：(1)(a+2)(a －2); (2)(3a+2b)(3a －2b); (3)(－x+1)(－x －1); (4)(－4k+3)(－4k －3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a －2)=a 2－22=a 2－4;(2)(3a+2b)(3a －2b)=(3a)2－(2b)2=9a 2－4b 2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)课中作业(－x+1)(－x－1)=(－4k+3)(－4k－3)（修改人：）课后作业设计：课本习题1.9，第1,2题.板书设计：§1.5.1 平方差公式(一)做一做解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.归纳、猜想规律(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.用符号运算证明(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.应用、升华例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).教学反思：。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1说课稿新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1说课稿新版北师大版一. 教材分析本次说课的内容是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它对于学生后续学习二次函数、二次方程等知识有着至关重要的作用。
本节课的内容是让学生掌握平方差公式的推导过程及其应用，培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了整式的乘法运算，对因式分解有一定的了解。
但学生在运用平方差公式时，往往会忽略公式的适用范围，以及符号的判断。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生对平方差公式的理解程度，引导学生正确运用公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，能够灵活运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及应用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及符号的判断。
五. 说教学方法与手段为了提高教学效果，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，共同探究平方差公式的推导过程，培养学生的团队协作能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现平方差公式的特点，培养学生独立思考的能力。
4.利用多媒体辅助教学：通过动画演示，使学生更直观地理解平方差公式的推导过程。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例，引出平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生独立思考，尝试推导平方差公式。
3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享各自的推导过程，培养学生的团队协作能力。
4.讲解与示范：教师讲解平方差公式的推导过程，并进行示范运算。
5.练习与拓展：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1教学设计新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1教学设计新版北师大版一. 教材分析平方差公式是七年级数学下册第一章整式的乘除1.5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的重要公式之一，对于后续学习代数式的化简、因式分解等有着重要作用。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固平方差公式的应用。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了有理数的乘方、整式的加减等知识，对于整式的运算已经有一定的基础。
但是，对于平方差公式的推导和应用，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过实例讲解和练习，帮助学生理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握平方差公式的推导过程，能够运用平方差公式进行代数式的化简和因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方法，提高学生的合作意识和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用和因式分解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，自主探索平方差公式的推导过程。
3.练习法：通过适量练习，巩固学生对平方差公式的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学PPT：制作平方差公式的推导过程、例题和练习题的PPT。
2.练习题：准备一些有关平方差公式的练习题，用于巩固学生的学习效果。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入平方差公式，例如：一块长方形的地毯，长和宽都增加了2米，面积增加了多少？让学生思考并解答，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解平方差公式的含义。
山东省济南市槐荫区七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1.5.1平方差公式课件新版北师大版
我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课 后复习30分钟。
练一练
利用平方差公式计算： （1） (a+2)(a－2)
（2）(3a+2b)(3a－2b)
例2
利用平方差公式计算：
（1）
(
1 4
x
y)
( 1 x y) 4
（2）(ab+8)(ab－8)
练一练
利用平方差公式计算：
（1）
(x 1 y)(x 1 y)
3
3
（2）(－mn+3)(－mn－3)
Hale Waihona Puke 二、补笔记 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
2019/5/24
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2019/5/24
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平方差公式： (a+b)(a−b)＝a2−b2
( 1 x 1)
2练一练
判断下面计算是否正确
（1）
(
1 2
x
1)(
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练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
练一练
计算：
（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）x(x-1)-
(x
1) 3
(x
1) 3
自我检测
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
( 1 x 2) ( 1 x 2) 1 x
3） 2
2
- 4 （x+8）
课堂小结
本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
2019/8/4
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
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最新中小学教学课件16初中数学 七年 Nhomakorabea(下册)
1.5.2平方差公式
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与
这两数差的积；右边是两数的平方差。
3、应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1教案
平方差公式课题平方差公式1会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算.教学目标重点难点经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想.探索平方差公式的过程.理解平方差公式的特征.教学用具多媒体教学环节说明二次备课复习多项式乘以多项式的运算（一）创设问题情景，引入新课1、在一个边长为a米的正方形草坪的一角修建一个正方形的水池，改建后草坪的面积是？新课导入课程讲2、你能利用面积知识，用不同的形式表示阴影部分的面积吗？试试看！同桌可交流讨论，然后把你的想法说给大家听.（教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法.）（二）得出概念1、（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式称为平方差公式（1）你能用语言叙述这个公式吗？（2）你能用多项式乘法法则说明理由吗？授2、自主交流，合作探索：利用平方差公式计算的关键是什么？怎11、（1）（2x +y ）（2x -y ）（2）（ 1 （ （样确定？3、现学现卖：按要求填写下面表格算式与平方差公式中 a对应的项与平方差 公式中 b 对应的 项写成“a 2-b 2” 计 算结果 的形式（x +y ）x -y ）（m +3）m -3）（ 2x +1 ）（2x -1）（三）例题教学1 x +2）（ x -2）2 2 （3）（-5a +3b ）（-5a -3b ）（4）（m +n ）（n -m ）（可让学生先自己尝试计算，然后让部分学生上黑板，其他学生在练习本上完成，同桌交流答案，教师巡视，对错误进行辨析，最后由教师规范书写步骤.）通过本节课的学习，你认为：（1）什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？小结（2）平方差公式中字母 a 、b 可以是那些形式？（3）怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？作 业布置 知识技能 1、板书设计我们在运用平方差公式时，要注意以下几点：①公式中的字母 a 、b 可以是任意代数式； 课后反思 ②利用平方差公式计算的关键是：准确确定 a 和 b ；③完全相同的看作 a ，只有符号不同的看作 b .2。
山东省济南市槐荫区七年级数学下册第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方1.2.1幂的乘方与积的乘方
同底数幂乘法的运算性质：
am ·an= amn ( m,n 都是正整数 )
底数 不变 ， 指数过程
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
n个a
= a·a·… ·a = am+n
(m+n)个a 第二页，共17页。
复习(fùxí)
• 计算(jìsuàn) (1) (-1)n (-1) n+1 ＋ (-1)n+2 (-1)n+3
第三页，共17页。
正方体的体积(tǐjī)比与边长比的 关系
第十三页，共17页。
在255，344，433，522这四个幂中， 数值(shùzí)最大的一个是———。
解：255 = (25)11= 3211 344 = (34)11= 8111
433 = (43)11= 6411
因5为2281=>6(542,)所11=以2511
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思考题
( 1)已知2x+5y-3=0,求 4x ·32y的值。 (2)已知 2x =a， 2y =b，求 22x+3y 的值。 (3)已知 22n+1 + 4n =48， 求 n 的值。 (4)已知4(-an)5 ·a〈0,试分析(fēnxī)的取 值情况（为正整数）。
(am)n=amn (m,n都是正整数).
幂的乘方 底数 不变
(指ch数én相gfā乘ng).，(dǐshù)
，
(xiānɡ第九页，共17页。
请比较(bǐjiào)“同底数幂相乘的法则”与 “幂的乘方法则”异同：
项
法则
符号语言
运算
结果
1
同底数(dǐshù)幂 am an amn 乘法运算
七年级数学下册第1章整式的乘除1.5平方差公式
A.3 B.6 C.10 D.9
答案(dáàn) C (3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2Байду номын сангаас1-(9-n2)=10n2-10,10能整除(3n+ 1)(3n-1)-(3-n)(3+n),故选C.
3.先化简,再求值:
(a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2,其中a=1,b=-2.
5.(2016山东济南中考)先化简,再求值:a(1-4a)+(2a+1)·(2a-1),其中a=4.
解析12/11/原202式1 =a-4a2+4a2-1=a-1. 当a=4时,原式=4-1=3.
第十二页，共三十四页。
1.计算(jìsuàn)(3a-b)(-3a-b)等于 (
A.9a2-6ab-b2
(2a+b)(2a-b).
(3)套用:根据平方差公式进行计算.
注意:(1)公式中的a、b具有一般性,它们可以表示单项式,也可以表示多 项式; (2)运用平方差公式的关键是识别两个数(或式子),哪个是完全相同的,
哪个是互为相反数的. 拓展:利用平方差公式时,需注意公式的几种变化形式.
12/11/2021
第七页，共三十四页。
题型三 利用平方差公式(gōngshì)进行简便运算 例3 计算:
(1)10 6 ×11 1 ; (2)2 017 62-2 07 15×2 017.
解析(jiě xī)
6
(1)10
7
×1 11 7
1
1=
1 7
×
1=1112-1 7
=121 -17
2
=120
1
.
山东省济南市槐荫区七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1.5.2平方差公式导学案(无答案
山东省济南市槐荫区七年级数学下册第一章整式的乘除1.5 平方差公式1.5.2 平方差公式导学案（无答案）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省济南市槐荫区七年级数学下册第一章整式的乘除1.5 平方差公式1.5.2 平方差公式导学案（无答案）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
5。
2平方差公式一、预习与质疑（课前学习区）（一）预习内容:P21—P22(二)预习时间：10分钟(三)预习目标：1.了解平方差公式的几何背景；发展符号感和推理能力2。
通过拼图游戏，与同伴交流平方差公式的几何背景（四）学习建议：1．教学重点：了解平方差公式的几何背景2．教学难点：发展推理和表达能力（五）预习检测：1、判断正误（1) (a+5）(a —5）=a 2—5 (2) (3x+2）（3x-2)=3x 2-4(3） (a —2b ）（—a-2b)=a 2—4b 22、利用平方差公式计算：（1) 11(3)(3)22x y x y +- （2) 2222(0.5)(0.5)a b a b -+--（3） （5m 2-2n 2)(2n 2+5m 2) (4） (x-2y ）(x+2y ）(x 2+4y 2)活动一：探索发现：一、探索平方差公式的几何背景如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形（1) 请表示图1-4中阴影部分的面积_____________________(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图),这个长方形的长和宽分别是多少？__________,它的面积是___________________（3) 比较（1)（2)的结果，你能验证平方差公式吗?说一说验证的理由二、利用平方差公式探索规律（1） 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ 79818080⨯=⎧⎨⨯=⎩(2） 从以上的过程中,你发现了什么规律?__________________________________________(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？(六)生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
山东省济南市槐荫区七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.6 完全平方公式 1.6.1 完全平方公式
1.6.1 完全平方公式一、预习与质疑（课前学习区）（一）预习内容：P23-P24（二）预习时间：10分钟（三）预习目标：1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算2．了解完全平方公式的几何背景（四）学习建议：1．教学重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算2．教学难点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算（五）预习检测：（1）预习书p23-24（2）思考：和的平方等于平方的和吗？（3）预习作业：（1）(32)(32)a b a b -+=（2）(32)(32)a b a b --=＝ （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m +=（5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -=（7）2()a b += （8）2()a b -= 活动一：合作探究观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而221,422p p m m ==，恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．因此我们得到完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍． 公式表示为：2()a b += 2()a b -=口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）活动二：典例解析例1．应用完全平方公式计算：（1）2(4)m n + （2）21()2y -（3）2()a b -- （4）2(2)x y -+变式训练：1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）22(21)221a a a -=-+（2）22(21)41a a +=+（3）22(1)21a a a --=---2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来（1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a --（3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +--分析：完全平方公式和平方差公式不同：形式不同：222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=-结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项3．计算：（1）2(12)x -- （2）2(21)x -+（3）()()n m n m +--22 （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 21312131例2.计算：（1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)321()321(b a b a +-；（3）)432)(432(-++-y x y x .方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。
七年级 下册 数学 PPT课件 第1章整式的乘除 第1课时 平方差公式的认识
判断下面计算是否正确
（1）(1 x 1)(1 x 1) 1 x2 1
2
3x + y ) = 9x2 - y2 （ × ）
（3）( m + n )(-m – n ) = m2 - n2 （ × )
巩固基础
（1）( 5 + 6a ) ( 5 - 6a)= 25 – 36a2 （2）( a - 2b ) ( a + 2b )= a2 – 4b2 （3）( -a + b ) ( -a - b )= a2 – b2 （4）( -2x + 3 ) ( 3 + 2x )= 9 – 4x2 （5）( 3b + 2a ) ( 2a - 3b )=4a2 – 9b2 （6）( -4a - 1 ) (-4a + 1 )= 16a2 – 1
(2) (x-2y)(x+2y)=x2-4y2 (3) (-m+n)(-m-n)=m2-n2
例题解析
例2 利用平方差公式计算：
(1)
-
1 4
-
y
-
1 4
y
(2) (ab+8)(ab-8)
解：(1)
1 4
-
y
1 4
y
1 16
x2
y2
(2)(ab+8)(ab-8)=a2b2-64
巩固基础
(2)公式右边是这两个数的平方差，即括号内第一项2 减去第二项2。
(3)公式中的a和b可以代表数，也可以是代数式。
例题解析
例1 利用平方差公式计算：
(1)（5+6x）(5-6x) (2) (x-2y)(x+2y) (3) (-m+n)(-m-n) 解：(1)（5+6x）(5-6x)=25-36x2
山东省济南市槐荫区七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.6 完全平方公式 1.6.2 完全平方公式
1.6.2完全平方公式一、预习与质疑（课前学习区）（一）预习内容：P26-P27（二）预习时间：10分钟（三）预习目标：会运用完全平方公式进行一些数的简便运算（四）学习建议：1．教学重点：会运用完全平方公式进行一些数的简便运算2．教学难点：会运用完全平方公式进行一些数的简便运算（五）预习检测：（1）预习书p26-27（2）思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?（3）预习作业： 1．利用完全平方公式计算（1）298 （2）2203 （3）2102 （4）21972．计算：（1）22(3)x x +- （2）22(1)(1)ab ab +-- 活动一：合作探究平方差公式和完全平方公式的逆运用由()()22b a b a b a -=-+ 反之 ()()b a b a b a -+=-22 ()2222b ab a b a +±=±反之 ()2222b a b ab a ±=+± 填空：（1）24(2)()a a -=+（2）225(5)()x x -=-（3）22()()m n -= （4）264()()x -=（5）2449(27)()m m -=- （6）442222()()()()()a m a m a m -=+=+ （7）若22)2(4+=++x k x x ，则k =（8）若92++kx x 是完全平方式，则k =（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）活动二：典例解析例1 计算：1.()()42122+--+a a a 2．()()221212+--xy xy现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，它是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．则S ＝ ＝即：如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 ．从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积．•也就是：（a-b ）2= ．这也正好符合完全平方公式．例2．计算:（1）2(3)x y -- （2）2()a b c ++变式训练：（1）2)3(-+b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）（x+5）2–（x-2）（x-3）（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3） （6）（2x-y ）2-4（x-y ）（x+2y ）三、检测与反馈（课堂完成）1、（1）已知2,4==+xy y x ，则2)(y x -=（2）已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，求=+22b a ________，=ab ________（3）不论b a 、为任意有理数，72422++-+b a b a 的值总是（ ）A.负数B.零C.正数D.不小于22、（1）已知0132=+-x x ，求221x x +和441xx +的值。
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年级
七年级
学科
数学
主题
整式
主备教师
课型
新授课
课时
1
时间
教学目标
1、经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理
教学
重、难点
重点：运用平方差公式进行简单的计算和推理理解
难点：理解平方差公式及其探索过程
导学方法
启发式教学、小组合作学习
解：(1)20 ×19 ＝(20＋ )×(20－ )＝202－( )2＝400－ ＝399 ；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.
方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
学生思考，小组讨论；鼓励学生归纳发现的规律，用算式表示，并用自己的语言进行描述.
从学生已有的知识入手，引入课题
新知探索
例题
精讲
合作探究
探究点：平方差公式
【类型一】直接运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
引出研究本节课要学习知识的必要性，清楚新知识的引出是由于实际生活的需要
学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性
体现教师的主导作用
学以致用，
举一反三
教师给出准确概念，同时给学生消化、吸收时间，当堂掌握
总结提升
总结本节课的主要内容：
1、平方差公式是什么?
2、运用公式进行计算时应该注意:
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
板书设计
1.5.1平方差公式
（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结
（二）探索新知例1、例2
（四）课堂练习练习设计
本课作业
导学步骤
导学行为（师生活动）
设计意图
回顾旧知，
引出新课
计算下列各题：
（1）(x+ 2 ) (x- 2 )；（2）( 1 +3a) ( 1 -3a)；
（3）(x+ 5y) (x- 5y)；（4）( 2y+z) ( 2y-z)．
1、学生独立完成，再集体订正答案.
2、观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现．
【类型三】化简求值
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
A．（a＋5）（a－5）＝a2－5
B．（3x+2）（3x-2）=3x2-4
C．（a＋2）（a－3）=a2－6
D．（3xy+1）（3xy-1）=9x2y2-1
4.若（4a+kb）（4a-3b）=16a2-9b2，则k的值是【】
A.-3B.1
C.3D.9
5.（x－1）·________=1-x2.
6.（b＋2）（b-2）（b2+4）＝________.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】利用平方差公式进行简便运算
利用平方差公式计算：
(1)20 ×19 ；(2)13.2×12.8.
解析：(1)把20 ×19 写成(20＋ )×(20－ )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
教材P21随堂练习
本课教育评注（实际教学效果及改进设想）
7.若x2－y2＝30，x＋y＝6，则x－y的值是______.
8.方程（x+6）（x-6）-x（x-9）=0的解是______.
9.已知（x+3）（x2+A）（x-3）=x4-81，则A=______.
10.计算：（1）（x+4y）（x-4y）；
检验学生学习效果，学生独立完成相应的练习，教师批阅部分学生，让优秀生帮助批阅并为学困生讲解.
例2由学生口答，教师板书，
课堂检测
1.计算（2x+1）（1-2x）是结果是【】
A.4x2-1B.4x2+1
C.4-x2D.-4x2+1
2.下列各式能用平方差公式计算的是【】
A．（a－ b）（a－ b）
B．（a－ bБайду номын сангаас（－a＋ b）
C．（－a－ b）（a－ b）
D．（－a－ b）（a＋ b）
3.下列各式计算正确的是【】