3 第3章 统计假设检验与参数估计

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1.1.2 统计假设检验的基本思想
小概率事件实际不可能性原理
0.05 0.01 0.001 称 之 为 小 概 率 事件。
小概率事件不是不可能事件，但在一次试验 中出现的可能性很小，不出现的可能性很大 ，以 至于实际上可以看成是不可能发生的。在统计学 上，把小概率事件在一次试验中看成是实际不可 能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理， 亦称为小概率原理。小概率事件实际不可能性原 理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基 本依据。 小概率事件在一次试验中被认为是不可能发生的。
x 0 是不能
判断它们之间是否有显著差异。其根本原因在
于 试 验 误差（或抽样误差）的不可避免性。
通过试验测定得到的每个观测值 xi ，既由 被测个体所属总体的特征决定，又受其它诸多 无法控制的随机因素的影响。所以观测值 xi 由 两部分组成，即 xi = + i 总体平均数 反映了总体特征， i 表示试验 误差。 若 样本含量 为n ，则 可 得 到 n 个 观 测值： 1 ， 2 ， ， 。于是样本平均数 x x x
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对于来自两个总体的样本，研究在无效假 设 H 0 ： 1 = 2 成立的前提下，统计量 （ x1 - x2）的抽样分布。经统计学研究，得 到一个统计量t： x1 x 2
t S x1 x2
～ t（df）
Hale Waihona Puke 其中S x1 x2 ＝
( x1 x1 ) 2 ( x2 x2 ) 2 (n1 1) (n2 1)
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由两样本数据计算所得的t值为2.426，介 于两个临界t值之间，即：
t0.05<2.426<t0.01
所以，| t |≥2.426的概率P介于0.01和
0.05之间，即：0.01 <P< 0.05。
如图所示，| t |≥2.426的两尾概率，说明 无效假设成立的可能性， 即试验的表面效应为试 验误差引起的可能性在0.01─ 0.05之间。
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＝ 如前例，原假设H0： ＝9.75％
0
，即
假设由新曲种酿造出的食醋的醋酸含量与原
菌种酿造的食醋醋酸含量相等，这个假设表
明采用新曲种酿造食醋对提高醋酸含量是无
效的，试验的表面效应是随机误差引起的。
对应的备择假设为 ＝9.75％ ，即表明
0
采用新曲种酿造食醋能够改变醋酸含量，试 验的处理效应存在。
2. 在无效假设成立的前提下，构造合适的 统计量，并由该统计量的抽样分布计算样本 统计量的概率。
当无效假设H0成立时，表明试验表面
效应纯属试验误差引起，处理效应不存在
。此时，可根据题意构造适当统计量，计 算样本统计量值。
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对前例分析，无效假设H0： ＝ ＝9.75％ 成立，
不同，但其检验的基本原理是相同的。
参数估计有点估计（point estimation）和区 间 估计（interval estimation）。
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1 统计假设检验概述
1.1 统计假设检验的意义和基本原理
1.1.1 统计假设检验的意义
例1：某一酿造厂新引进一种酿醋曲种，以原 曲种为对照进行试验。已知原曲种酿出的食醋 醋酸含量平均为μ 0＝9.75％，其标准差为σ ＝5.30％。现采用新曲种酿醋，得到30个醋 样，测得其醋酸含量平均为 x ＝ 11.99％。 试问，能否由这30个醋样的平均数 判断新 x 曲种好于原曲种？
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1.1.3 统计假设检验的基本原理
1. 根据研究目的，对研究总体提出假设
H0
原假设、无效假设、零假设（null hypothesis）
是被检验的假设，通过检验可能被接受，也 可能被否定。
H A 备择假设（alternative hypothesis）
接受的。
与H0对应的假设，只有是在无效假设被否定 后才可接受的假设。无充分理由是不能轻率
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举一例子，箱子中有黑球和白球，总数100个，
但不知黑球白球各多少个。现提出假设H0：
“箱子中有99个白球”，暂时设H0正确，那
么从箱子中任取一球，得黑球的概率为0.01， 是一小概率事件。今取球一次，如果居然取到 了黑球，那么，自然会使人对H0的正确性产生 怀疑，从而否定H0。也就是说箱中不止1个黑 球。
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按所建立的 H 0 ：1 = 2 ，试验的表面效应 是试验误差的概率在 0.01 ─ 0.05 之间，小 于0.05，故有理由否定 H 0 ：1 = 2 ，从而接 受 H A ： 1 ≠ 2。可以认为两个总体平均数 1 和 2 不相同。 综上所述，显著性检验，从提出无效假设与 备择假设到根据小概率事件实际不可能性原理来 否定或接受无效假设，这一过程实际上是应用所 谓“概率性质的反证法”对试验样本所属总体所 作的无效假设的统计推断。
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1.1.4 统计假设检验的显著水平
在统计假设检验中，否定或接受无效
假设的依据是“小概率事件实际不可能性
原理”。用来确定否定或接受无效假设的
试验的表面效应（ x1 - x2 ）主要由处理效应
（ 1 - 2 ）引起的 ，还是主要由试验误差所造成。
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处理效应（ 1 - 2 ）未知，但试验的
表面效应是可以计算的，借助数理统计方
法可以对试验误差作出估计。所以，可从 试验的表面效应与试验误差的权衡比较中
间接地推断处理效应是否存在。
xA＝500 kg，xB＝520 kg
以上这几种问题的判断均是由样本去推断 总体的，属于统计假设检验问题，均是来判断 数据差异、分布差异是由处理引起，还是由于 随机误差引起的。
样本虽然来自于总体，但样本平均数并非 是总体平均数。由于抽样误差的影响（随机误
差的存在），样本平均数与总体平均数之间往
往有偏差。因此，仅由表面效应
则有：
x1 = 1 + 1 ， x2 = 2 + 2
这说明两个样本平均数之差（ x1 - x2 ）也包
括了两部分：
x1 x2 (1 2 ) ( 1 2 )
一部分是两个总体平均数的差（ 1 - 2 ）， 叫做试验的处理效应 （treatment effect）；另一部分是试验误差（ 1 - 2）。
0
表面效应来判断两总体平均数是否相同是不可靠的。 如果处理效应不存在（即（ ）＝0 ，则表
0
面效应仅由误差造成，此时可以说两总体平均数无显 著差异；如果处理效应存在，则表面效应不仅由误差 造成，更主要由处理效应影响。所以，判断处理效应
是否存在是假设检验的关健。
同理，对于接受不同处理的两个样本来说，
n
x xi n i） n （ /
可以看出，样本平均数并非总体平均数，它还包含试验误 差的成分。
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试验表面效应为
x 0＝ 0＝（ 0）
上式表明，试验的表面效应由两部分构成：一部 分是试验的处理效应（即两总体平均数的差异） （ ） ；另一部分是试验误差 。因此，仅凭
0
试验的表面效应是随机误差引起的。那么，可以把
试验中所获得的
看成是从 x
总体中抽取的一个 0
样本平均数，由样本平均数的抽样分布理论可知，
x
构造统计量：
～ N（μ0,σ2／n）。
u
x 0

2
x 0 / n
～ N（0，1） （4-1）
n
由样本值计算统计量u值，
u x 0
2
1 1 ( ) n1 n2
28 21.6 1 1 ( ) 0.742 (10 1) (10 1) 10 10
x1 x 2 11 9.2 t 2.426 S x1 x2 0.742
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进一步估计|t|≥2.426的两尾概率，即
估计P（|t|≥2.426）是多少？
查附表3，在df =（n1-1）+ (n2-1) =18时，
两尾概率为0.05的临界值：t 0.05(18) =2.101， 两尾概率为0.01的临界t值： 0.01(18) =2.878， t
即：
P（|t|>2.101）= P（t>2.101） + P（t <-2.101）=0.05 P（|t|>2.878）= P（t>2.878） + P（t<-2.878）=0.01
1 1 ( ) n1 n2
S x1 x2 叫做均数差异标准误；
n1、n2为两样本的含量。 所得的统计量 t服从自由度
df =（n1-1）+（n2-1）的t分布。
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根据两个样本的数据，计算得： 1 - x2=11x 9.2=1.8；
S x1 x2
(x
x1 ) 2 ( x2 x2 ) 2 1 (n1 1) (n2 1)
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也就是说样本平均数之差（ x1 - x2）包含有
试验误差，它只是试验的表面效应。因此，仅凭
（ x1 - x2 ）就对总体平均数 1 、 2 是否相同下
结论是不可靠的。只有 通过 显著性检验 才能从
（ x1 - x2 ）中提取结论。
对（ x1 - x2 ）进行显著性检验就是要分析：