相似 27.2(7)

相似27.2（7）
1.如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形
2.如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论
3.如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．（1）求证：∠PFD=∠OCP；（2）求证：PF•PO=PB•PA
4.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若OE= AE／2=1，求证∠PCA=∠B，并求sin∠PCA的值
5.如图，已知AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CO交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，求证：AB•CD=AC•AE
6.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：∠PCB=∠A；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证：AM2=MN•MC
7.已知：如图，BE是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，OC∥DE交⊙O于点D，CD的延长线与BE的延长线交于A点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值
8.如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。

若AC为∠BAD的平分线。

求证：（1）AB为⊙O的直径（2）AC2＝AB·AD
，两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2,0），二次函数9.如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A B
，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存y=－x2+bx+c的图象经过A B
在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）当BD=3时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形
相似27.2（7）答案
1.（1）证明：∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，∴∠PAC=∠OCD=90°，∴PA ∥OD ，∴∠P=∠DOC ，∴△APC ∽△COD ．
（2）解：由△APC ∽△COD ，得：AP ：PC=OC ：OD ∴x ：2=1：y ，∴y=2／x ．（3）解：若△ACD 是一个等边三角形，则∠2.解：△ABE 与△ADC 相似．证明：在△ABE 与△ADC 中，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°，∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC ，又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA ，∴△ABE ∽△ADC
3.解：（1）证明：∵AE=AC ，∠CDE=∠AOC ，又∠CDE=∠P+∠PFD ，∠AOC=∠P+∠OCP ，∴∠PFD=∠OCP ．（2）解：在△PDF 与△POC 中，∠P=∠P ，∠PFD=∠OCP ，故△PDF ∽△POC ，∴PF ：PC=PD ：PO ，∴PF •PO=PD •PC ，∵PD •PC=PB •PA ，∴PF •PO=PB •PA
4.（1）证明：连接OC ，∵PC2=PE •PO ，∴PC ／PO=PE ／PC ，∵∠P=∠P ，∴△PCO ∽△PEC ，∴∠PCO=∠PEC ，∵CD ⊥AB ，∴∠PEC=90°，∴∠PCO=90°，且OC 为半径，∴PC 是⊙O 的切线．
（2）解：∵PC 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴∠BCA=∠PCO=90°，∴∠BCO=∠PCA ，又∵OB=OC ，∴∠BCO=∠B ，∴∠PCA=∠B ，∵OE=AE ／2=1，∴OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，∵CD ⊥AB ，∴EC 2=OC 2-OE 2=32-12=2
2，∴BC 2=CE 2+BE 2=(22)2+42=24，∴sin ∠PCA=sin ∠B=CE ／BC=22：26=3／3
5.证明：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BE ．∵AC 是⊙O 的切线，∴∠EAD=∠B ．∵BO=DO ，∴∠B=∠ODB=∠EDC ，∴∠EAD=∠EDC ．又∠C=∠C ，∴△ACD ∽△DCE ，∴AC ／CD=AD ／DE ；在Rt △AEB 中，AD ⊥BE ，∠EAD=∠B ，∴△AED ∽△BEA ，∴AD ／ED=AB ／AE ，∴AB ／AE=AC ／CD ．∴AB •CD=AC •AE
6.证明：（1）∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ，∴∠∠COB=2∠A ，∵∠COB=2∠PCB ，∴∠PCB=∠A ；
（2）∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO ．又∵∠COB=2∠A ，∠COB=2∠PCB ，∴∠A=∠ACO=∠PCB ．又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC ⊥CP ，∵OC 是⊙O 的半径．∴PC 是⊙O 的切线；
（3）连接MA ，MB ，∵点M 是弧AB 的中点，∴弧AM=弧MB ∴∠BCM=∠ABM （同圆中，相等的弧所对的圆周角相等），∴
△MBN ∽△MCB ．∴BM 2=MN •MC ．∴AM 2=MN •MC
7.解：（1）证明：连接OD ．∵CB 是⊙O 的切线，∴∠CBO=90°，∵ED ∥OC ，∴∠DEO=∠COB ，∠EDO=∠DOC ；∵OD=OE ， ∴∠ODE=∠OED ，∴∠DOC=∠COB ；∵OC=OC ，OD=OB ，∴△CDO ≌△CBO ；∴∠CDO=∠CBO=90°，∴AC 是⊙O 的切线．
（2）∵AC ，BC 是⊙O 的切线，∴CD=CB=6，∠DCO=∠OCB ；∵∠ABC=90°，AC=10，BC=6，∴AB=8；∵ED ∥OC ，∴∠ADE=∠DCO ，∴∠ADE=∠OCB ；∵∠A=∠A ，∠ADO=∠ABC=90°，∴△ADO ∽△ABC ，∴AD ／OD=AB ／BC ，∴OD=3；∴tan ∠ADE=tan ∠OCB=1／2．
8.证明：（1）连接BC ，AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠CAB ．又CD 切⊙O 于点C ，∴∠ACD=∠B （弦切角定理）．∵AD ⊥CD ，∴∠ACD+∠DAC=90°．即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．∴AB 是⊙O 的直径（90°圆周角所对弦是直径）．
（2）∵∠ACD=∠B ，∠DAC=∠CAB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴AB ：AC=AC ：AD ．∴AC 2=AB •AD
9.解：（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1半径为1，∴A （1，0），B （3，0），∵二次函数y=-x2+bx+c 的图象
经过点A ，B ，∴可得方程组-1+B+C=0，-9+3B+C=0，解得：B=4，C=-3，∴二次函数解析式为y=-x 2+4x-3．
（2）过点M 作MF ⊥X 轴，垂足为F ．∵OM 是⊙O1的切线，M 为切点，∴O 1M ⊥OM （圆的切线垂直于经过切点的半径）．在RT △OO1M 中，sin ∠O 1OM=O 1M ／OO 1=1／2，∵∠O1OM 为锐角，∴∠O 1OM=30°，∴OM=OO 1•cos30°=3，在RT △MOF 中，OF=OM •cos30°=32．MF=OMsin30°=3／2．∴点M 坐标为（3／2，
2
3），设切线OM 的函数解析式为y=kx （k ≠0），由题意可知 23=3 k ／2，∴k=33，∴切线OM 的函数解析式为y=3
3x
（3）两个，①过点A 作AP1⊥x 轴，与OM 交于点P1，可得Rt △AP 1O ∽Rt △MO 1O
（两角对应相等两三角形相似），P 1A=OA •tan ∠AOP 1=33，∴P1（1，3
3）； ②过点A 作AP2⊥OM ，垂足为，过P2点作P2H ⊥OA ，垂足为H ．可得Rt △OP2A ∽Rt △O1MO （两角对应相等两三角形相似），在Rt △OP 2A 中，∵OA=1，∴P 2=OA •cos30°=23，在Rt △OP 2H 中，OH=OP 2•cos ∠AOP 2=3／4，P 2H=OP 2•sin ∠AOP2=4
3，
P2（3／4，43），∴符合条件的P 点坐标有（1，33），（3／4，4
3）
10. （1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB 为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B ，∴△DBE ∽△ABC ，∴ED ：AC=BD ：AB ，即DE ：3=3:5，∴DE=1.8；
（2）证法一：连接OE ，∵EF 为半圆O 的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∴∠AEF=∠DEO ，∵△DBE ∽△ABC ，∴∠A=∠EDB ，又∵∠EDO=∠DEO ，∴∠AEF=∠A ，∴△FAE 是等腰三角形；
证法二：连接OE ∵EF 为切线，∴∠AEF+∠OEB=90°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OE=OB ，∴∠OEB=∠B ，∴∠AEF=∠A ，∴△FAE 是等腰三角形。