《 一元一次不等式与一次函数的关系》(第1课时)课件 探究版
2014年北师大版八年级下2.5一元一次不等式与一次函数(1)课件
(即y>0)
5 x 5 5的解集 2
X<0
11
从数的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
函数y= ax+b的函数值 大于0（或小于0）时x 的取值范围
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a, b 是常数，a≠0)的解集
直线y= ax+b在X轴上方或 下方时自变量的取值范围
所以不等式的解集为x＜2
9
例 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等 式的解集 y y=3x+6 y
y=-x+3
-2 x
3 x
(1)3x+6>0 (即y>0) X>-2 (2)3x+6 ≤0 (即y≤0) X≤-2
(3) –x+3 ≥0 (即y≥0) x≤3 (4) –x+3<0 (即y<0) x>3
界点。
1
-1 -1 -2 0 1 2 3 4
7 ,5 ) 4 4
5 6
x
-3
-4 -5
y1 x 3
7
1、若y1=-x+3,y2=3x-4,试确定当x取何值时
（1）y1＜y2？ 即：-x+3＜3x-4
（2）y1=y2？
即：-x+3=3x-4
即：-x+3 ＜ 3x-4
（3）y1>y2？
解不等式法：
12
P 20 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。 已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。 列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： (1) 何时弟弟跑在哥哥前面？ (2) 何时哥哥跑在弟弟前面？ (3) 谁先跑过 20米？谁先跑过 100米？ 你是怎样求的？与同伴交流。 设x 为哥哥起跑开始的时间, 则 哥哥与弟弟每人所跑的距离 y (m) 与时间 x (s) 之间的关系式分别是： 1、直接解不等式； y1= 4x ，y2= 9+3x . 2、先通过列方程找到追 及弟弟的时间。
《一元一次不等式与一次函数 1课时》PPT
03
课堂小结
Life isn't about waiting for the storm to pass. it's about learning to dance
三、课堂小结：
本节课我们重点学习了“根据函数值确定自变量的取值范围问题”，“两个
函数的比较大小问题”，其解决方法有两种：
、
，在具体问
知识点一：两种方法解一元一次不等式 【例1】作出一次函数y = －3x + 12的图象，并借助图象回答下列问题： x为何值时，（1）y > 0（2）y = 0（3）y < 0（4）y＜9
请用解不等式的方法验证你的答案。
归纳与小结： 在解决“根据函数值确定自变量的取值范围问题”时，
我们有两种方法:
和
。
巩固练习：
1.如果一次函数y = x + 3的值不大于–2 ，那么x X≤-5 2．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是 X≥1
3. 已知关于x的不等式ax＋1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是 （1,0）
知识点二：选择适当的方法解一元一次不等式
【例2】1.如图，函数 y1 2x 和
目录
content
01 学 习 目 标 02 课 堂 学 习 03 课 堂 小 结 04 当 堂 检 测
学习目标 1 理解一次函数图象与一元一次不等式的关系 2 能够用图像法解一元一次不等式
02
课堂学习
Life isn't about waiting for the storm to pass. it's about learning to dance
题中应灵活选用。
《一次函数与一元一次不等式的关系》示范课教学PPT课件(定稿)人教版
“数”
x为何值时，一次函数y=ax+b的函 数值小于0.
“形”
直线y=ax+b与x轴下方时所对应 的x的取值范围.
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
解这3个不等式 在一次函数 y=3x+2 的函数值分别大于2、 小于0、小于1时，求自变量x 的取值范围.
从“形”的角度看：
解这3个不等式 在直线y=3x+2 上取纵坐标分别满足大于2、小 于0、小于1的点，看它们的 横坐标分别满足什么条件.Leabharlann 一次函数与一元一次不等式的关系
下面3个不等式有什么共同点和不同点？类比一次函数和一元一次方程的关 系，你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
(1) 3x + 2 2； (2) 3x + 2 0； (3) 3x + 2 1.
y y=3x + 2
2 1
1 O
1
x
1
从“形”的角度看：
解这3个不等式 在直线y=3x+2 上取纵坐标分别满足大于2、小 于0、小于1的点，看它们的 横坐标分别满足什么条件.
一次函数与一元一次不等式的关系
思考 追问1：你能把得到的结论推广到一般情况吗？
求一元一次方程ax+b>0(a≠0)的解
“数”
x为何值时，一次函数y=ax+b的函 数值大于0.
“形”
直线y=ax+b与x轴上方时所对应 的x的取值范围.
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳 追问2：我们知道任何一元一次不等式都可以转化为ax+b0(或者<0) 的形式，所以：
求一元一次方程ax+b<0(a≠0)的解
人教版八年级数学下册
【数学课件】一元一次不等式与一次函数1课件
1
-1 -1 -2 0 1 2 3 4 5 6
x
-3
-4 -5
y1 x 3
7
1、若y1=-x+3,y2=3x-4,试确定当x取何值时
（1）y1＜y2？ 即：-x+3＜3x-4
（2）y1=y2？
即：-x+3=3x-4
即：-x+3 ＜ 3x-4
（3）y1>y2？
解不等式法：
8
2.解不等式5x+4＜2x+10
5
想 一 想 想一想 用“函数图象法”及“解不等式法”解函数
问题 如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ? 你解答此道题, 可有几种方法 ? 法一: 将函数问题转化为不等式问题. y 3 即 解不等式 -2x- 5 > 0 ; 2 1 法二: 图象法。 由图易知， -5 -4 -3 -2 -1 1 x -1 当 x < -2.5时 y>0 . -2 -3 -4 -5 -6 6
4
函数、(方程) 不等式
由上述讨易知： “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ； 反过来， “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题” 。 因此， 我们既可以运用函数图象解不等式 ， 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ， 二者相互渗透 ，互相作用。 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。
下面我们来探讨一下一元一次不等式与 一次函数之间的关系
2
回顾与思考
回顾与思考
我们知道，一次函数的图象是一条直线。 y 作出一次函数 y = 2x - 5 的图象如右， 3 观察图象回答下列问题:
2 (1) x 取哪些值时, y=0 ? 1 x = 2.5 时 , y = 0 ; (2) x 取哪些值时, y>0 ? -1 0 1 2 3 4 x -1 x > 2.5 时 , y > 0 ; -2 (2.5 , 0) (3) x 取哪些值时, y<0 ? -3 x < 2.5 时 , y < 0 ; -4 (4) x 取哪些值时, y>3 ? -5 x>4时, y>3; -6 能否将上述 “关于函数值的 问题 ”, 思考
第1课时一次函数与方程和一元一次不等式的关系
17.5 实践与探索第1课时 一次函数与方程组和一元一次不等式的关系学习目标：1.认识一次函数与方程组、一元一次不等式之间的联系．2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.自主学习一、知识链接y =2x +1与x 轴的交点坐标为 .2.直线y ＝3x ＋1与直线y ＝3x ＋2的位置关系是________.2368x y x y ，，的解为 .二、新知预习1．认识一次函数与二元一次方程的关系把二元一次方程2x ＋y ＝3写成一次函数y ＝kx ＋b 的形式，结果是____________．如果该方程的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝ ，那么该一次函数的图象经过点(2，________)；如果该一次函数的图象经过点(________，3)，那么该方程的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝3. 【要点归纳】在一次函数y ＝kx ＋b 中，给定了一个变量的值，求另一个变量的值，就是解关于另一个变量的一元一次方程．体现在函数图象上，就是知道了一次函数图象上一个点的横坐标或纵坐标，求另一个坐标．特别地，当y ＝0时，一元一次方程kx ＋b ＝0中x 的解，就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标；当x ＝0时，y ＝b 就是一次函数图象与y 轴交点的纵坐标．2．认识用图象法解二元一次方程组(1)在平面直角坐标系中画出函数y ＝x ＋2及y ＝－x ＋4的图象，根据图象写出这两个函数图象交点的坐标是________，由此知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋4的解是________； (2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝－x ＋6的解是________，由此知直线y ＝2x ＋3与直线y ＝－x ＋6的交点坐标是________．【要点归纳】根据一次函数与二元一次方程的关系，二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2 (可以化成⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的形式)的解，就对应着两个一次函数y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2图象的交点坐标．所以求两条直线交点的坐标，就转化为解二元一次方程组的解．合作探究一、探究过程探究点1：一次函数与二元一次方程组的关系问题：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示,若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．根据图象回答：(1)乙复印社的每月承包费是多少？(2)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？问 ：“乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？答 :“乙复印社的每月承包费”指当x ＝0时，y 的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元．问 :“收费相同”在图象上怎样反映出来？答 :“收费相同”是指当x 取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解．利用图象解方程组25, 1.yx y x【针对训练】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是( )．A. ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋2，y ＝12x －1B. ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋2，y ＝－xC. ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －8，y ＝12x －3D. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－12x －1探究点2：一次函数与一元一次方程、不等式的关系画出函数323+=x y 的图象，观察图象回答下列问题： (1)x 取何值时,0323=+x ？ (2)x 取哪些值时,0323>+x ？ (3)x 取哪些值时,0323<+x (4)x 取哪些值时,3323>+x【方法总结】从函数值看：求kx +b ＞0(或<0)(k ≠0)的解集⇄y =kx +b 的函数值大于(或小于)0时，x 的取值范围；从函数图象看：求kx +b ＞0(或<0)(k ≠0)的解集⇄确定直线y =kx +b 在x 轴上方(或下方)的图象所对应的横坐标的范围.利用函数图象解不等式：(1)251x x ->-+；(2)251x x -<-+.【方法总结】一次函数与一元一次不等式的关系：以不等式左右两边的整式为函数作两条直线，以交点分为左右两部分，在同一区域同一自变量下观察图象：上大下小.【针对训练】画出函数22y x =-+的图象,观察图象并回答问题.(1)确定当20<<y 时,对应的自变量的取值范围;(2)确定当11x -≤<时,对应的函数值的取值范围.二、课堂小结当堂检测1．如图，已知函数y ＝ax ﹣3和y ＝kx 的图象交于点P （2，﹣1），则关于x ，y 的方程组3,y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解是（ ）A ．21x y =⎧⎨=-⎩B ．12x y =-⎧⎨=⎩C ．21x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩第1题图 第2题图 2．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），则不等式﹣2x +b ＜0的解集为（ ）A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＜4D ．x ＞4 3．若方程组21,31x yx y 的解为2,5x y ，则一次函数y =2x +1与y =3x -1的图象交点坐标为______.4．函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A (m ，3)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝ax ＋4的解为__________． y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象如图所示．(1)写出关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解； (2)若0＜kx ＋b ＜mx ＋n ，根据图象写出x 的取值范围．参考答案自主学习一、知识链接1. (-12，0) 2. 平行 3.6,2xy二、新知预习1. y=-2x+3 -1 -1 0 02.(1) (1,3)1,3xy(2)1,5xy(1,5)合作探究一、探究过程探究点1：一次函数与二元一次方程组的关系问题：解：（1）从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元.（2）由题意得0.4,2000.15,y xy x解得800,320.xy即当每月复印800页时，两复印社实际收费相同.（3）由图象可知，应该选择乙复印社.例1 解：在直角坐标系中画出两条直线，如下图所示．由图象观察可得:两条直线的交点坐标是(2,-1).两条直线的交点坐标是(2,-1)，所以方程组的解为⎩⎨⎧-==.1,2y x 【针对训练】 D 探究点2：一次函数与一元一次方程、不等式的关系 例2 解：图象如图所示.（1）当x =-2时，0323=+x . (2)当x >-2时,0323>+x . (3)当x <-2时,0323<+x . (4)当x >0时,3323>+x .例3 解：（1）由图象可知，251x x ->-+的解集为x >2.（1）由图象可知，152+-<-x x 的解集为x <2.【针对训练】解：图象如图所示. （1）0<x<1.（2）0<y≤4.当堂检测1. A2. A3. (2，5)4.5. 解：（1）由图象可知，方程组的解为3,4. xy（2）由图象可知，3<x<5.3,23 xy。
一元一次不等式与一次函数ppt课件
小结 达标
设计意图：巩固所学知识.
学生状况分析 教学任务分析 教学过程分析 课后反思点评
巩固练习 拓展提高
情境
引入
2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，
自学
然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，
合作
哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出
展示
函数图象，观察图象回答下列问题：
汇报
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
展示汇报 反馈点拨
设计意图： 通过学生展示既能反映
学生对知识的理解情况， 又锻炼了学生的表达能 力，同时激发了学生的 自信心和成就感.
情境 引入
自学 合作
展示 汇报
拓展 提高
小结 达标
小组成员将小组的 讨论结果在班内展示， 其他小组进行补充.
学生状况分析 教学任务分析 教学过程分析 课后反思点评
展示汇报 反馈点拨
情境
引入
解方程kx+b=0 （不妨设k为正数）， 也就是求当x为何值 时函数y=kx+b的值为0
自学 合作
确定直线y=kx+b与
展示
x轴交点的横坐标x0，
汇报
这时不等式kx+b＞0 的解集为x ＞ x0
拓展 提高
小结 达标
设计意图：
根据学生展示的情况，教师抓住学生的最近发展区，捕捉切入点，有针对 性的讲解，点破讲透，促进知识能力的生成.
或一国营出租车公司签定月租车合同．设汽车每月行驶 x k m
应付给个体车主的月费用为 y 1
元，应付给汽车出租公司的月费用为
y2
元，y
，
1
y2
分别与 x
之间的函数关系图象（两条射线）
一次函数与一元一次不等式1(教学课件2019)
等式2x-4>2的解集呢?
所以此不等式2x-4<0的解集是x<2
“解方程ax+b=0(a,b为常数,a≠0)”与“求自变量x为何值 时,一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系?4 （同一个问题）
“解不等式ax+b>0(a,b为常数,a≠0)”与“求自变量x为什 么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系?
因为函数值y＞０，即2x-4>0
（同一个问题）
y
x>2
② 画图象
能否利用图象中观察
③ 观察x在什么范围 不等式的解集呢?
0 1 2 3x
时图象在x轴上方
-2
所以此不等式 的解集是x>2
(在x轴上方表明函 数值y>0)
能否利用这个图象观察出 2x-4<0的解集呢?
能否根据这个图象观察出不
(在x轴下方表明函数值y<0)
“解方程ax+b=0(a,b为常数)”与“求自变量x为何值时,一 次函数y=ax+b的值为0”有什么关系? （同一个问题）
从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐
标的值. 问：(1)解不等式2x-4>0
(2)当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0
这两个问题有 什么关系呢?
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0 或ax<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一 次不等式可以看作:当一次函数大(小)于0时,求 自变量的相应的取值范围.
；火影忍者手游租号 枪神纪租号 三国杀租号 穿越火线租号 英雄联盟租号
；
非天下之至精 今大王见高祖得天下之易也 强为妻子计 上书辞谢
一次函数与一元一次不等式关系PPTPPT课件
02
CHAPTER
一元一次不等式概述
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是只含有一个未 知数，并且未知数的次数为1的不 等式。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c，其中 a、b、c 是常数， a ≠ 0。这个不等式表示当 x 取某 个值时，不等式成立。
经济问题
在经济学中，常常使用一次函数 和一元一次不等式来描述和解决 一些经济问题，如成本、收益、
利润等。
交通问题
在交通领域，可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ使用一次函数和 一元一次不等式来解决一些问题， 如时间、速度、距离等。
资源分配问题
在资源分配问题中，可以使用一次 函数和一元一次不等式来确定资源 的最佳分配方案，以实现最大效益。
方案。
一次函数与一元一次不等式在实际问题中的应用案例
01
02
03
路程问题
已知速度和时间，求路程； 或已知路程和速度，求时 间。
商品销售问题
根据市场需求和价格策略， 确定最佳销售方案。
生产安排问题
根据市场需求和生产能力， 合理安排生产计划。
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与一元一次不等式的关系
提出研究建议
建议教育工作者们关注数学教育的最新发展，将最新 的研究成果和方法应用到实际教学中，以提高教学效 果和学生的学习兴趣。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
解不等式得到x的取值范围
一元一次不等式与一次函数课件
本章内容的总结
一元一次不等式的概念与性质
01
详细介绍了不等式的定义、性质以及解法，并通过实例进行说
明。
一次函数的定义与性质
02
深入探讨了一次函数的定义、性质、图像以及与一元一次不等
式的联系。
一元一次不等式与一次函数的实际应用
03
通过具体实例，展示了如何运用一元一次不等式和一次函数解
决实际问题。
对未来学习的展望
当k>0时，函数图像 为上升直线；当k<0 时，函数图像为下降 直线。
一次函数的性质
01
02
03
04
一次函数的单调性由斜率k决 定，k>0时单调递增，k<0时
单调递减。
一次函数的图像是直线，且过 定点(0,b)。
一次函数的斜截式方程 y=kx+b表示当x增加1时，y 增加k；当x减少1时，y减少k
方法2
对于题目2，代入 x = 2 到 y = 3x - 5 中得到 y = 1，因为 y 的 斜率为正，所以当 x < 2 时，y 的取值范围是 y < 1。
方法3
对于题目3，由解集的形式可知， 系数2a - 1必须小于0，即 2a - 1 < 0，解得 a < frac{1}{2}。
05
总结与展望
解题技巧与方法
技巧2
对于一次函数，根据一次函数的 性质，当斜率 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。
技巧1
解一元一次不等式时，首先移项 并合并同类项，然后根据不等式 的性质求解。
方法1
对于题目1，首先移项得到 -2x > -12，然后除以-2并反转不等号得 到 x < 6。
一元一次不等式与一次函数第1课时教学课件
-2 -3
法二: 图象法. 由图易知，
-4
当 x<-2.5时， y>0 .
-5 -6
做一做
函数y1=2x-5和y2=x-2的图象如图所示，视察图象回
答下列问题： (1) x 取何值时, y1=y2? (2) x 取何值时, y1>y2 ?
y1=2x-5
3
2
y2=x-2
1
(3) x 取何值时, y1<y2 ?
能否把“关于一次不等式的问题”变换 成“关于一次函数的值的问题”？
能，试着自己列举一示例
函数、(方程) 不等式
由上述探讨易知： “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题”； 反过来， “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题”
因此，我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用 解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用.
作业布置
必做题 P148 习题11.6
选做题
杨扬和查程有存款分别为500元和1800元，从本月开始，杨 扬每月存400元，查程每月存200元. 如果设两人存款时间为x(月). 杨扬的存款额是y1元，查程的存款额是y2元.
(1) 试写出y1与x及y2与x之间的函数关系式； (2) 到第几个月时，杨扬的存款额能超过查程的存款额？
不等式与函数、方程是紧密联系着的一个整体 .
想一想
用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题
如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ?
y
你解答此道题, 可有几种方法 ?
3
2
1
法一: 将函数问题转化为不等式问题. -5 -4 -3 -2 -1-1 1 x
一元一次不等式与一次函数课件
∴ x<2.5, 2x-5<0
y 4
y=2x-5
3
2 (2.5,0)
1
-2-1-01 1 2 3 4 5 x -2 -3
-4 -5
探索交流
(4)x取哪些值时, 2x-5>1 ∴ x>3, 2x-5>1
y
4
y=2x-5
3
2
1
-2 -1-01 1 2 3 4 5 x
练习巩固
1.一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解 集是( ) A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4
练习巩固
2.用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10．
练习巩固
3.甲、乙两辆摩托车从相距20km的A、B两地相向而行，图中l1、l2 分别表示两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之 间函数关系. （1）哪辆摩托车的速度较快？ （2）经过多长时间，甲车行驶到A、B两地中点？
由图象可知，当x>-2.5时，y<0; 当x>-3时，y<1. 思路二: 将函数问题转化为不等式问题. 即 解不等式-2x-5 >0
∴当x<-2.5时, y>0.
y 3 2
1O -3 -2 -1-1 1 3 x
-2 -3
-4 -5 y = -2x - 5
典例解析
例1.根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
典例解析
（2）当x>9时，哥哥跑在弟弟前面； （3）弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过
y y2 = 3x + 9
5 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
5 一元一次不等式与一次函数第1课时一元一次不等式与一次函数的关系情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入图2-5-1[说明与建议] 说明:通过熟悉的寓言,既吸引了学生的学习兴趣,又激发了他们的学习欲望,同时也揭示了本节课的主题,一举三得.建议:首先让学生对所出示的问题进行猜想,然后让学生说出要用到的知识点.复习导入活动内容:问题1:我们学习了一元一次不等式的定义和解法,无论是定义还是解法都雷同于一元一次方程,那么不等式与方程二者是否存在某种内在的关联呢?问题2:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式.我们既可以运用函数图象解不等式,也可以运用解不等式研究函数问题,二者相互渗透,互相作用.[说明与建议] 说明:以“旧”引“新”,由原有的知识为基础,探讨新的内容,初步得到一元一次不等式与一次函数的关系.学生在回忆中探索本课时的内容,从而降低了学生们“入室”的门槛.建议:问题1引起学生思考.问题2师生共同解答,在解答中思考一元一次不等式与一次函数之间的相通之处.[命题角度1] 根据图象确定不等式的解集解决此类问题的关键是仔细观察图形,求出几个关键点(交点等)的坐标,根据关键点的坐标解决所要求的问题.如教材P51习题2.6第2题.例1如图2-5-2,直线y=kx+b交坐标轴于A(-2,0),B(0,3)两点,则不等式kx+b>0的解集是 (D)图2-5-2A.x>3B.-2<x<3C.x<-2D.x>-2例2[菏泽中考]如图2-5-3,函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2),则关于x的不等式-2x>ax+3的解集是(D)A.x>2B.x<2C.x>-1D.x<-1图2-5-3[命题角度2] 一元一次不等式与一次函数图象的应用对于图象信息题,了解横、纵坐标表示的意义很重要,另外理解两直线交点坐标的含义是解决问题的关键.例如图2-5-4,l1表示某产品一天的销售收入y1(万元)与销售量x(件)的关系;l2表示该产品一天的销售成本y2(万元)与销售量x(件)的关系.销售收入y1与销售量x之间的函数表达式为y1=x ;销售成本y2与销售量x之间的函数表达式为y2=1x+2;当一天的销售量超过42件时,生产该产品才能获利.(利润=收入-成本)图2-5-4P50 随堂练习已知y 1＝－x ＋3，y 2＝3x －4，当x 取哪些值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流．解：x ＜74. P 51 习题2.61．已知y 1＝－x ＋3，y 2＝3x －4，当x 取哪些值时，y 1＜y 2？你是怎样做的？解：x ＞74. 2．如图，l 1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l 2反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？解：销售量超过4 吨时，生产该产品才能盈利．3．甲、乙两辆摩托车从相距20 km 的A ，B 两地相向而行，图中l 1，l 2分别表示甲、乙两辆摩托车离A 地的距离s(km )与行驶时间t(h )之间的函数关系．(1)哪辆摩托车的速度较快？(2)经过多长时间，甲车行驶到A ，B 两地的中点？解：(1)乙快；(2)0.3 h .4．小明和小新同时去上学，从家到学校的距离都是2 km ，他们走路的速度为6 km /h ，跑步的速度为10 km /h .请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案．解：答案不唯一．例如可设他们到达学校至少需t h ．则6t ＞2或10t ＞2.P 52 随堂练习某公司40名员工到一景点集体参观，该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折．这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠．请你帮助他们选择购票方案．解：设有女士x 人，每人票价y 元．先假设两种方式票价相同，即0．8×40y＝(40－x)y ＋0.5xy解得x ＝16.当x<16时，0．8×40y<(40－x)y ＋0.5xy ；当x>16时，0．8×40y>(40－x)y ＋0.5xy.答：当女士多于16人时，按五折优惠方式买票较划算；当女士少于16人时，买团体票划算．——详见电子资源一元一次不等式与一次函数的综合运用你还记得一次函数的性质吗？它和一元一次不等式有关系吗？要问答这些问题，我们还是以中考试题为例说明如下：例1（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图1.（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式；（2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?分析 显然由图象可知，这个图象是分段的，即分0≤x ≤5和x ≥5，前者是正比例函数，后者是一次函数.解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1.所以0≤x ≤5时，y ＝x.图1（2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x +b 由图象可知1155,12.510.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,2.5.k b =⎧⎨=-⎩所以当x ≥5时，y ＝1.5x －2.5；当x ＝8时，y ＝1.5×8－2.5＝9.5(元). 说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件；确定一次函数的表达式需要两个独立的条件.对于在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值.在处理本题的问题时，只需利用待定系数法，构造出相应的二元一次方程组求解.另外，在处理这类问题时，一定要从图形中获取信息，并把所得到的信息进行联系处理.例2（南安市）近两年某地外向型经济发展迅速，一些著名跨国公司纷纷落户该地新区，对各类人才需求不断增加，现一公司面向社会招聘人员，其信息如下：［信息一］招聘对象：机械制造类和规划设计类人员共150名.［信息二］工资待遇：机械类人员工资为600元/月，规划设计类人员为1000元/月. 设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x 人、y 人.（1）用含x 的代数式表示y ；（2）若公司每月付给所招聘人员的工资为p 元，要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍，求p 的取值范围.分析 由于机械制造类和规划设计类人员共150名，则有x +y ＝150，即（1）容易求解；对于（2），要求每月付给所招聘人员的工资为p 元的范围，根据题意若能求出p 关于x 的一次函数的关系式，再利用一次函数的性质即可求解.解（1）因为机械制造类和规划设计类人员共150名，所以x +y ＝150，即y ＝150－x .（2）根据题意，得：y ≥2x ，所以150－x ≥2x ，解得：x ≤50，又x ≥0，150－x ≥0，即0≤x ≤50，所以p ＝600x +1000(150－x )＝－400x +150000； 又因为p 随x 的增大而减小，并且0≤x ≤50，所以－400×50+150000≤p ≤－400×0+150000，即130000≤p ≤150000.说明 在确定的范围时也可以这样来考虑：由0≤x ≤50，而x ＝400150000p -，所以0≤400150000p -≤50，解得：130000≤p ≤150000. 例3（长沙市）我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和y B 元.（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式； CD 总计 A x 吨200吨 B300吨 总计240吨 260吨 500吨 （2）试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.分析 要解决本题中的三个问题，首先得解决第（1）小问题，由于从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，则从A 村运往D 仓库的柑桔重量应为(200－x )吨，同样从B 村运往C 仓库的柑桔重量为(240－x )吨，从B 村运往D 仓库的柑桔重量应为(300－240+x )吨，即(60+x )吨.所以表中C 栏中填上(240－x )吨，D 栏中人上到下依次填(200－x )吨、(60+x )吨.从而可以求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式，进而可以分别求解.解（1）依题意，从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，则从A 村运往D 仓库的柑桔重量应为(200－x )吨，同样从B 村运往C 仓库的柑桔重量为(240－x )吨，从B 村运往D 仓库的柑桔重量应为(300－240+x )吨，即(60+x )吨.所以表中C 栏中填上(240－x )吨，D 栏中人上到下依次填(200－x )吨、(60+x )吨.从而可以分别求得y A ＝－5x +5000(0≤x ≤200)，y B ＝3x +4680(0≤x ≤200).（2）当y A ＝y B 时，－5x +5000＝3x +4680，即x ＝40；当y A ＞y B 时，－5x +5000＞3x +4680，即x ＜40；当y A ＜y B 时，－5x +5000＜3x +4680，即x ＞40；所以当x ＝40时，y A ＝y B 即两村运费相等；当0≤x ≤40时，y A ＞y B 即B 村运费较少；当40＜x ≤200时，y A ＜y B 即A 村费用较少.（3）由y B ≤4830，得3x +4680≤4830，所以x ≤50.设两村运费之和为y ，所以y ＝y A +y B ，即y ＝－2x +9680，又0≤x ≤时，y 随x 增大而减小，即当x ＝50时，y 有最小值为9580y （元）.所以当A 村调往C 仓库的柑桔重量为50吨，调往D 仓库为150吨，B 村调往C 仓库为190吨，调往D 仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元.收地运 地。
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如：下面两个问题是同一问题吗？
（1）解不等式：2x-4＜0； （2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？
y
2
-4
x
4
1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如y=2x－5为一次函数． 在一次函数y=2x－5中， 当y=0时，有方程2x－5=0； 当y＞0时，有不等式2x－5＞0； 当y＜0时，有不等式2x－5＜0．
（1）当x取何值时，y＞0；（2）当x取何值时，y＝0；
（3）当x取何值时，y＜0 ．
解：（1）当y＞0时，则有-3x+12＞0，-3x＞－12， x＜4．
（2）当y＝0时，则有-3x+12＝0，-3x＝－12， x＝4．
（3）当y＜0时，则有-3x+12＜0，-3x＜－12， x＞4．
19
8 0 ．当 x________ 时，函数的值大于 0 ．当 x_______ ＜﹣2 时，函数 3
时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上
方，图象上任一点所对应的x值都满足条件．当x＞ 1 时， 2
由y=2x－5可知y＞0．因此当x＞ 2 时，2x－5＞0．
8
1
1 （3）同理可知，当x＜ 2 时，有2x－5＜0；
（ 4 ）要使 2x － 5 ＞ 1 ，也就是 y=2x － 5 中的 y 大
11
4．练一练 函数 y1=2x-5 和 y2=x-2 的图象如 图所示，观察图象回答下列问题： （1）x取何值时，y1=y2？ （2）x取何值时，y1＞y2？ （3）x取何值时，y1＜y2？
4
y
3 2
1
y1=2x-5 y2=x-2
1 2 3 4
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三
角形的面积．
16
y （1）当x＞2时，2x－4＞0； （2）当x＜4时，－2x+8＞0； （ 3 ）当 2 ＜ x ＜ 4 时， 2x － 4 ＞ 0 与－2x+8＞0同时成立； -4 8 y1=2x-4
C A B17
（4）由2x－4=0，得x=2．
22
谢谢观看！
8 1 ．已知函数 y=3x+8 ，当 x________ 3 时，函数的值等于
的值不大于2． 2．如图，直线l1，l2交于一点P，若y1 ≥y2 ，则（ B ） A．x≥3 B．x ≤3
4 y
C．2≤x≤3
l2 P l1
D．x≤4
O
3
x
20
1．转化思想:
一次不等式问题
转化
一次函数问题
2．解函数问题的方法：
13
4
y
3 2
1 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
y2=x-2 y1=2x-5
1 2 3 4
x
总结一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看 求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求 函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围． 从形的角度看 求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求 直线y=ax+b在x轴上方或下方时自变量的取值范围．
由－2x+8=0，得x=4． 8
y y1=2x-4
所以AB=4－2=2．
由 y 2 x 4， y 2 x 8， 得交点C（3，2）．
C A
-4
B 2 4
x
所以△ABC中AB边上的高为2． 1 所以S= ×2×2=2． 2
y2=-2x+8
18
例2．一次函数y=-3x+12中，
4 3 2 1 A(-2.5，0） –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5 x y=-2x-5
1
2
3
4
10
4 y=-2x-5 3 2 1 A(-2.5，0） –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
y
1
2
3
4
x
从图象上可知，图象在 x 轴上方时，图象上每一点 所对应的 y 的值都大于 0 ，而每一个 y 的值所对应的 x 的值 都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0，得 x=－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0．
于 1 ，那么过纵坐标为 1 的点作一条直线平行于 x 轴，
这条直线与 y=2x － 5 相交于一点 B （ 3 ， 1 ），则当 x ＞3时，有2x－5＞1．
9
3．试一试 如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0？ 由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了 吧．请大家试一试． 首先要画出函数y=－2x－ 5的图象，如图： y
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例1
作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察
图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0？
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（ 4 ）你能求出函数 y1=2x － 4 ， y2= － 2x+8 的图象与 x
轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．
y
y=2x-5
B（3，1） A(2.5，0） 1 2 3 4 5 6 x
（2）x取哪些值时，2x－5＞0？
（3）x取哪些值时，2x－5＜0？
（4）x取哪些值时，2x－5＞1？
7
（1）当y=0时，2x－5=0，
∴x= 1 ， 2
∴当x= 1 时，2x－5=0． 2
（ 2 ）要找 2x － 5 ＞ 0 的 x 的值，也就是函数值 y 大于 0
5
由此可见，一次函数与一元一次方程、 一元一次不等式之间有密切关系，当函数值 等于 0 时即为方程，当函数值大于或小于 0 时 即为不等式．
6
2．做一做： 作出函数 y=2x － 5 的图象，观察 图象回答下列问题． （1）x取哪些值时，2x－5=0？
5 4 3 2 1 –2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
图象法：画出函数图象解决函数和不 等式问题．
21
3．一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看 求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求 函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围． 从形的角度看 求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求 直线y=ax+b在x轴上方或下方时自变量的取值范围 ．
x
12
从图象上看， y1=y2时，两个一次函数的图象交于一 点，此点的横坐标就是方程2x-5=x-2的解； 一次函数 y1=2x-5 的图象在 y2=x-2 的图 象上方的部分对应点的横坐标就是不等式 2x-5＞x-2的解； 一次函数 y1=2x-5 的图象在 y2=x-2 的图 象下方的部分对应点的横坐标就是不等式 2x-5＜x-2的解．
15
分析：要使 2x － 4＞ 0 成立，就是 y1=2x － 4的图象在 x
轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－ 2x+8 ＞ 0 成立
的 x ，即为函数 y2= － 2x+8 的图象在 x 轴上方的所有点的横
坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共
的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边
1
一元一次不等式与 一次函数的关系
前面我们学习过一次函数、一元一次方程与
一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就
是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说：
“一元一次方程 ax+b=0” 与“求当 x 为何值时，
y=ax+b的值为0”是同一问题． 那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样
的关系呢？