概率论大纲
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论教学大纲
概率论教学大纲一、课程简介概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律性和不确定性。
本课程旨在使学生掌握概率论的基本概念、方法和应用，培养学生运用概率统计思想解决实际问题的能力。
二、课程目标1. 了解概率论的发展历程和基本概念；2. 掌握概率计算的常用方法和技巧；3. 学习各种随机变量的概率分布和特性；4. 熟悉常见概率模型及其应用；5. 培养分析和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 概率与随机事件1.1 概率的定义和性质1.2 随机事件的概念和性质1.3 随机事件的运算规则1.4 经典概型和几何概型2. 条件概率与贝叶斯公式2.1 条件概率的定义和性质2.2 独立事件与互斥事件2.3 贝叶斯公式及其应用3. 随机变量与概率分布3.1 随机变量的定义和分类3.2 离散型随机变量及其概率分布3.3 连续型随机变量及其概率密度函数3.4 期望、方差和协方差4. 大数定律与中心极限定理4.1 大数定律及其应用4.2 中心极限定理及其应用5. 随机过程与马尔可夫链5.1 随机过程的基本概念5.2 马尔可夫链的定义和性质5.3 状态转移矩阵和平稳分布6. 统计推断与假设检验6.1 参数估计与点估计6.2 参数估计与区间估计6.3 假设检验的基本原理和步骤6.4 常见假设检验方法的应用四、教学方法1. 讲授与示范：通过课堂讲解和示例分析，引导学生理解基本概念和方法；2. 练习与实践：布置课后习题，进行实际问题分析和解答；3. 讨论与互动：组织学生进行小组讨论，促进思维碰撞和知识交流；4. 实验与模拟：引导学生运用统计软件进行概率模型的建立和仿真实验。
五、考核方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和小组讨论参与度等；2. 期中考试：针对课程前半部分的知识进行笔试；3. 期末考试：全面考察学生对整个课程内容的掌握程度。
六、参考教材1. 王新安，概率论与数理统计，高等教育出版社；2. 霍尔，概率论与数理统计，清华大学出版社；3. Ross, S. M., A First Course in Probability，Pearson Education.七、教学进度安排第一周：课程介绍，概率与随机事件第二周：条件概率与贝叶斯公式第三周：随机变量与概率分布第四周：大数定律与中心极限定理第五周：随机过程与马尔可夫链第六周：统计推断与假设检验第七周：复习与期中考试第八周：课程总结与复习第九周：期末考试及评价以上为概率论教学大纲的详细内容，希望能够为学生们提供一个清晰的学习路线，使他们能够系统地学习和掌握概率论知识，并运用到实际问题中。
概率论大纲
6.2 复习考试内容（大纲的主体）1. 概率论的基本概念1）了解样本空间的基本概念，理解事件的概念，掌握事件的关系与运算。
2）理解概率、条件概率的概念，掌握其基本性质和其它性质，掌握概率的加法公式、乘法公式、以及全概率公式和Bayes 公式及其应用。
会计算古典型概率。
3）理解事件独立性的概念，掌握有关的概率计算公式。
2. 随机变量及其概率分布1 ）理解随机变量及其分布的概念，分布函数的概念。
2 ）理解离散型随机变量及其分布律的概念，掌握（0 — 1 ）分布、几何分布、二项分布和泊松分布及其应用。
3 ）理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。
4）掌握分布律，概率密度与分布函数之间的关系。
5）掌握概率计算公式和方法。
3. 随机向量及其概率分布1) 理解二维随机变量和多维随机变量的概念。
理解概率分布的联合分布和边缘分布的概念。
掌握由联合分布求解边缘分布的方法。
2) 理解随机变量独立性的概念，掌握其定义及条件。
3) 掌握有关的概律计算方法。
4) 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布。
4. 随机变量的函数及其概率分布了解随机变量函数的概念，会求解简单函数的概率分布。
5. 随机变量的数字特征理解随机变量数字特征（期望、方差；协方差和相关系数）的概念，掌握数字特征的计算方法，掌握常用分布的数字特征。
6. 大数定律和中心极限定律1 ）了解chebyshev 不等式。
2 ）了解chebyshev 定理的特殊形式，辛钦定理和Bernoulli 定理。
3 ）了解独立同分布中心极限定理及其应用。
7. 数理统计的基本概念1) 理解总体、样本、统计量、样本均植、样本方差以及样本矩的概念。
2) 了解χ -- 分布、t -- 分布和F -- 分布的定义，概率密度曲线和分位点的概念。
3) 掌握抽样分布的有关理论。
8. 参数估计1) 理解参数的点估计、区间估计、估计量和估计值的概念。
2) 掌握矩估计和极大（最大）似然估计法，估计量的评选标准（特别是无偏性和有效性）。
概率论复习大纲
第一章 随机事件和概率基本概念：随机试验、样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系、事件运算、事件互不相容、概率、概率空间、古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件独立、试验独立。
典型例题：1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.第二章 随机变量及其分布函数基本概念：随机变量、分布函数、二项分布、正态分布、条件分布、2χ-分布、t -分布、F -分布。
典型例题：1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数ξ的分布列.2、 设随机变量ξ的分布密度为p （x ）＝ ，⎩⎨⎧<≥-0x 002x ae x ，求：（1）常数a ； （2）P （ξ＞3）.3、已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101 ，（1）求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.4、设ξ服从N （5，32），求P （ξ＜10），P （102≤<ξ）.5、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品； （2）不合格的件数不少于4件； （3）不合格的件数在4到6之间. 6、 已知随机变量ξ的分布密度为)(x p ξ＝ ， 其他， ⎪⎩⎪⎨⎧<<0412ln 21x x ，且η＝2－ξ，试求η的分布密度. 7、设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量2X Y =的概率密度函数为)(y f Y .8. 设G 是由直线y=x ，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量),Y X （在G 上服从二维均匀分布求：（1）),Y X （的联合概率密度；（2）}1{≤-X Y P ；（3）X 的边缘概率密度。
《概率论》教学大纲
《概率论》教学大纲学时：36学分：1一、课程概述：本课程是管理学各专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。
由于其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。
本课程侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。
其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容。
二、教学目的：通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的表述、性质、数字特征及其应用，一维随机变量函数的分布、二维随机变量的和分布。
理解数学期望、方差、协方差与相关系数的本质涵义，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的性质，熟练运用各种计算公式。
了解大数定律和中心极限定量的内容及应用。
能用所掌握的方法具体解决所遇到的各种社会经济问题，为学生进一步学习其他专业课打下坚实的基础。
三、教学方法：本课程具有很强的应用性，在教学过程中要注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新的概念。
由于本课程是研究随机现象的科学，学生之前从未接触过，学习起来会感到难度较大，授课时应突出重点，讲清难点。
要使学生明白，本课程主要研究哪些方面的问题，从何角度、用何原理和方法进行研究的，是怎样研究的，得到哪些结论，如何用这些方法和结论处理今后遇到的社会经济问题。
在教育中要坚持以人为本，全面体现学生的主体地位，教师应充分发挥引导作用，注意随时根据学生的理解状况调整教学进度。
授课要体现两方面的作用：一是为学生自学准备必要的理论知识和方法，二是激发学生学习兴趣，引导学生自学。
《概率论》课程教学大纲
《概率论》课程教学大纲课程编码：21090040总学时：48学时（讲授44学时，习题4学时）适用专业：数学与应用数学专业，信息与计算科学专业先修课程：数学分析、高等代数一、本课程地位、性质和任务概率论是从数量方面研究随机现象统计规律性的数学学科。
通过本课程学习，使学生掌握概率论的基本概念、基本理论和基本方法。
逐步培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力，并为今后进一步学习概率统计方面知识创造必要条件。
二、课程教学的基本要求掌握样本空间、随机变量、数学期望和方差、特征函数等基本概念；能够正确计算古典概率、条件概率、随机变量的各种分布函数；计算数学期望和方差；掌握大数定律、中心极限定理及应用。
三、课程学时分配、教学要求及主要内容(一) 课程学时分配一览表(二) 课程教学要求及主要内容第一章随机事件和概率教学目的和要求：通过本章学习，使学生掌握样本空间概念，熟练掌握古典概率的计算，概率性质以及条件概率与几个公式的应用。
教学重点和难点:重点是概率性质和条件概率，难点在于古典概率的计算。
教学内容：1、随机事件的直观意义及其运算，样本空间；2、古典概率；3、几何概率；4、概率的公理化定义及其性质；5、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式；6、随机事件独立性与独立试验概型。
第二章随机变量及其分布函数教学目的和要求：通过本章学习，使学生掌握随机变量概念及其分布，边沿分布，条件分布以及随机变量函数的分布。
理解各种分布计算中积分限的确定。
教学重点和难点:重点是随机变量的分布；难点是随机变量函数的分布及其性质。
教学内容：1、一维随机变量及其分布；2、多维随机变量及其分布；3、随机变量独立性；4、随机变量函数及其分布。
第三章随机变量的数字特征教学目的和要求：通过本章学习使学生熟练掌握随机变量的数学期望、方差的计算及其性质；掌握矩及协方差等概念、计算及其性质的应用。
教学重点和难点：重点随机变量的数学期望，方差的计算；难点随机变量函数的数学期望及方差。
概率论大纲
江苏教育学院编（高纲号 0794）一、课程性质及其设置目的与要求概率论与数理统计是数学的一个分支,它研究随机现象的统计规律。
概率论与数理统计的广泛应用几乎遍及所有的科学领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查等等, 理论严谨,应用广泛,发展迅速。
二、课程内容与考核目标第一章事件与概率(一)课程内容1、随机试验、样本空间、事件域，随机事件，事件的关系和运算；2、古典概型，古典概型中事件概率的运算；3、概率的公理化定义，概率的性质；4、条件概率、乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式；5、事件的独立性，贝努里概型。
(二)考核要求1、理解随机事件和概率的公理化定义；2、掌握事件间的关系和运算；3、熟练计算古典概率及利用概率的性质及乘法公式（条件概率）、全概率公式、贝叶斯公式计算有关事件的概率；4、理解独立性概念。
第二章离散型随机变量(一)课程内容1、离散型随机变量及分布列的性质及求法，0－1分布，二项分布，普哇松分布及它们之间的关系；2、二维随机向量的联合分布与边缘分布及其性质、离散型随机向量的条件分布；3、随机变量的独立性判定；4、随机变量函数的分布，重点一维随机变量函数的分布；5、随机变量期望、方差及性质，常见分布的期望与方差，随机向量函数的期望、方差。
(二)考核要求1、理解离散型随机变量分布列的概念及性质，掌握离散型随机变量的分布列的求法，熟练掌握常见的离散型分布（0－1分布，二项分布，普哇松分布等）及应用背景；2、理解二维随机向量的联合分布，边缘分布的概念及性质和相互关系，理解离散型随机向量的条件分布并掌握边缘分布的求法；3、掌握随机变量独立性的概念及判别方法，会求随机变量函数的分布；4、熟练掌握随机变量期望、方差的性质及计算，掌握随机向量函数的期望、方差的计算。
第三章连续型随机变量(一)课程内容1、随机变量分布函数及其性质；2、连续型随机变量，密度函数及其性质，均匀分布，正态分布；3、数学期望的定义及性质，常见分布的数学期望；4、方差的概念及性质，常用分布的方差，契贝晓夫不等式；5、协方差，相关系数的概念、意义、性质，不相关与独立性的关系；6、随机向量函数的期望、方差。
《概率论》总复习提纲【精选】精心总结
《概率论》总复习提纲【精选】精⼼总结ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w .（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发⽣必导致B 发⽣”，记为B A ?或A B ?；B A B A ??=且A B ?.（2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对⽴事件Ω=??B A 且Φ=AB . （3）独⽴性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独⽴. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ).（2）多个事件的独⽴：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独⽴． 3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A 与B ⾄少有⼀个发⽣”，记为B A ?. （2）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发⽣”，记为B A ?或AB .（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣A ⽽B 不发⽣”，记为A B -称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对⽴事件；易知：B A B A =-. 4、事件的运算法则1) 交换律：A B B A ?=?，BA AB =；2) 结合律：C B A C B A ??=??)()(，)()(BC A C AB =； 3) 分配律：BC AC C B A ?=?)(，))(()(C B C A C AB ??=?； 4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =?，B A AB ?=，可推⼴kkkkkkAA A A ==,5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（了解）ΩΩ设是⼀个样本空间，为的某些⼦集组成F()A P A ?∈的⼀个事件域.,定义在上的⼀个集值函数满⾜:F.F 1()0;P A ≥）⾮负性： 2()1;P Ω=）规范性： 123,,A A ）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()n n n n P A P A ∞∞===∑().P A A 则称为事件的概率（2）频率的定义：（了解）事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则⽐值n n A 称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(.（3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即()n kf A n=随n 的增⼤越来越靠近某个常数p ，称p 为事件A 的（统计）概率.在实际问题中，当n 很⼤时，取()().n P A p f A =≈（4）古典概率（有限等可能型）：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A 发⽣的概率为：n A k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（5）⼏何概率（⽆限等可能型）：（了解）若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域Ω中随机地取⼀点落在区域A 中”这⼀事件A 发⽣的概率为：()A P A Ω的测度的测度.（6）主观概率：（了解）⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念. 6、概率的基本性质（1）不可能事件概率为零： ()0P Φ=. （2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即i jA A =Φ，（i j ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件,()()B A P B P A ?≥则，且()()()P B A P B P A -=-.（4）互逆性：()1()P A P A =-且()1P A ≤.（5）加法公式：对任意两事件B A 、，有=?)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推⼴到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=，且()()()P A B P A P B ?≤+7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是两个事件，若()0,P A >则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发⽣的条件下事件B 发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设()0,()0,P A P B >>则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==.称为事件B A 、的概率乘法公式.其可推⼴成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前⾯的事件对后⾯的事件发⽣的概率产⽣影响. 8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的⼀个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有∑=ni i i A B P A P B P 1)|()()(＝称为全概率公式.应⽤背景：若影响某⼀事件（“结果”）发⽣有⼏种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要⽤全概率公式, 相当于其是由原因计算结果.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的⼀个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有),,1(,)|()()n j A B P A P A B P A P B A P ni iij j j ==∑=称为贝叶斯公式或逆概率公式.应⽤背景：若影响某⼀事件（“结果”）发⽣有⼏种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发⽣，那么要计算某⼀种情况（“原因”）发⽣的概率时，就要⽤到贝叶斯公式，相当其主要的应⽤是要由结果计算原因. 9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤)(A P p =表⽰，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独⽴地进⾏n 次，所得的试验称为n 重贝努⾥试验，记为nE ．（3）把E 重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为∞E ．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）nE 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n kn k k n ≤≤=---其中1(01)p q p +=≤≤.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A 与B 必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则A 、B 为互逆事件；如果两个事件A 与B 不能同时发⽣，则A 、B 为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个. 3、两事件独⽴与两事件互斥两事件A 、B 独⽴，则A 与B 中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时)()()(B P A P AB P =⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时0)(,=Φ=AB P AB .可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，)(21)(,41)(B P A P AB P ===，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，0)(=AB P ，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率)|(B A P 与积事件概率)(AB P)(AB P 是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，⽽)|(B A P 是在试验E 增加了新条件B发⽣后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率.虽然A 、B 都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当A 、B 同时发⽣时，常⽤)(AB P ，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤)|(B A P .如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果Ω∈ω，都有唯⼀的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常⽤⼤写字母Z Y X 、、等表⽰.根据其取值的情形可以分成为离散型随机变量（可能取值⾄多可列）随机变量连续型随机变量（可能取值充满某个区间）奇异型随机变量2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的⼀切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为1212n nx x x p p p ?? ???其中1,0=≥∑i常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为(1,)((1,))Xb p B p ，分布列为10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k或1~X q p ??（2）⼆项分布：记为(,)((,))X b n p B n p ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n（3）泊松分布，记为()(())X P πλλ，概率函数,,1,0,!}{>===-λλλk k e k X P k泊松定理：设0>λ是⼀常数，n 是任意正整数，设λ=nnp ，则对于任⼀固定的⾮负整数k ，有!)1(lim k e p p C k kn n k nknn λλ--∞→=-.根据泊松定理可得，当n 很⼤(⼤于50)且p 很⼩（⼀般是⼩于0.05）时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k kn k k nλλ--≈-，其中np =λ3、分布函数及其性质分布函数的定义：设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性： )(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F；（2）单调性：如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）右连续：即)()0(x F x F =+；（4）极限性：1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）完美性： )()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<.4、连续型随机变量及其分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在⾮负函数()p x ，使对于任⼀实数x ，有()()xF x p t dt -∞=?，则称X 为连续型随机变量.函数()p x 称为X 的概率密度函数，简称为概率密度.概率密度函数具有以下性质：（1）()0p x ≥；（2）()1p x dx +∞-∞=?；（3）2112{}()x x P x X x p t dt<≤=?；（4）0}{1==x X P ；（5）如果()p x 在x 处连续，则()()F x p x '=. 常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为),(~b a U X ，概率密度为1,,()0,a x b p x b a≤≤=-其它分布函数为>≤≤--<=b x bx a ab a x a x x F ,1,,0)(P c X d b a-<<=- （2）指数分布：记为()XExp θ，概率密度为/1,0,()0,x e x p x θθ-?>?=其他，分布函数为/1,0,()0,x e x F x θ-?->=??其他.⽆记忆性质：对于任意,0,s t >有{|}{}P X s t X s P X t >+>=>.（3）正态分布：记为),(~2σµN X ，概率密度为2()2(),x p x X µσ--=-∞<<+∞，相应的分布函数为∞---=xx dtex F 222)(21)(σµπ当1,0==σµ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别⽤)(x ?和)(x Φ表⽰X 的密度函数和分布函数，即-=Φ=x t x dte x ex 222221)(,21)(ππ性质：①若2(,)XN µσ,则其密度函数关于x µ=对称，从⽽1()()2P X P X µµ>=<=. ② )(1)(x x Φ-=-Φ. ③若2(,)XN µσ,则(0,1)X N µσ-，即⼀般正态分布),(~2σµN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σµ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为()X p x ，则)(X g Y =的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f XY .其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数. 2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑=≤=≤=k y xY k dxx fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(然后求 ()[()]Y Y p y F y '=. 结论：若2(,)X N µσ，则22(0)(,)aX b a N a b a µσ+≠+.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每⼀个可能结果Ω∈ω，都有唯⼀的实数)(ωX 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数)(x F 的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数)(x F 左连续，但⼤多数书籍定义分布函数)(xF为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算)F时，xX=点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于}{1==xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于}{1≠=xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数 12(),(),,()(,,),n X X X F P ωωωΩ如果随机变量定义在同⼀概率空间上则称12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（为n 维(n 元)随机变量或随机向量.n 当=2时,称为⼆维随机变量,常记为(,).X Y 联合分布函数的定义：设12(),(),,()n XX X X n ωωωω=（）（）是维随机变量,,nx R n ?∈则称元函数121122(,,,),,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（为随机向量12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（的联合分布函数2,,n =特别时称为⼆维联合分布函数即(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性： ),(y x F 是变量x 或y 的⾮减函数；（2）有界性： 1),(0≤≤y x F ；（3）极限性：1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ， ， ，，但注意(,)(),(,)()Y X F y F y F x F x +∞=+∞=，其中()X F x 与()Y F y 分别表⽰X 与Y 的分布函数.（4）连续性: ),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（5）⾮负性: 对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表⽰随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为⼆维离散型随机变量.设),(Y X 为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布列.表3.1联合分布列具有下列性质：（1）≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数),(y x p ,使得⼆维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有∞-∞-=xydydx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是⼆维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数y x ,，有0),(≥y x p ；（2）规范性1),(=??+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平⾯域D 上，),(Y X 取值的概率=∈Ddxdyy x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p y x y x F =.常⽤连续型随机变量的分布：(1) 设D 是平⾯上的⼀个有界区域，其⾯积为A .若⼆维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1,(,),(,)0,x y D f x y A ?∈?=其它，则称(,)X Y 服从区域D 上的⼆维均匀分布.(2) ⼆元正态分布：其密度函数不要求背，具体的请见课本P67. 4、⼆维随机变量的边缘分布设),(Y X 为⼆维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X },{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘（边际）分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布列.当),(Y X 为连续型随机变量，则称+∞∞-+∞∞-==dxy x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()(分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数. 性质：221212(,)(,,,,)X Y N µµσσρ，则211(,)XN µσ，222(,)Y N µσ.5、随机变量的独⽴性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ?=则称随机变量X 与Y 相互独⽴.设),(Y X 为⼆维离散型随机变量，X 与Y 相互独⽴的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为⼆维连续型随机变量，X 与Y 相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.性质：221212(,)(,,,,)X Y N µµσσρ，则0X Y ρ=?与相互独⽴.6、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ?=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdyy x p z F zy x Z ??≤=),(),()(?.对于⼀般的函数?,求()Z F z 通过分布函数的⽅法，如第三章，习题29就是使⽤这种⽅法.但对于以下的⼏个，更加常⽤的是公式的⽅法. 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p .（1）Y X Z +=的分布:dyy y z p dx x z x p z p Z ??+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.特别地，若X 与Y 相互独⽴，则()()()()().Z X Y X Y p z p x p z x dx p z y p y dy +∞+∞-∞-∞=-=-?（2）Z X Y =-的分布：()(,).Z p z p z y y dy +∞-∞=+?特别地，若X 与Y 相互独⽴，则()()().Z X Y p z p z y p y dy +∞-∞=+?（3）Z XY =的分布：1()(,).||Z zp z p x dx x x+∞-∞=?特别地，若X 与Y 相互独⽴，则1()()().||Z X Y zp z p x p dx x x+∞-∞=?（4）Y XZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：+∞∞-=dyy yz p y z p Z ),()(.性质：①若(,),(,),(,)X b n p Y b m p X Y X Y b n m p ++且与相互独⽴，则.②若1212(),()().XY X Y X Y πλπλπλλ++且与相互独⽴，则③若221122(,),(,)XN YN µσµσ，且X 与Y 相互独⽴的，则22221212(,).X bY cN a b c a b µµσσ+++++a7．最⼤值与最⼩值的分布 1,,n X X n 设是相互独⽴的个随机变量,则1()()(max(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤1()ni i F y ==∏1()()(min(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤11(1())n i i F y ==--∏其中的()i F y 表⽰的是随机变量i X 的分布函数.疑难分析1、事件},{y Y x X ≤≤表⽰事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不⼀定等于}{}{y Y P x X P ≤?≤？如同仅当事件B A 、相互独⽴时，才有)()()(B P A P AB P ?=⼀样，这⾥},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤?≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独⽴时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、⼆维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ?=知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独⽴，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ?=.说明当Y X 、独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独⽴，是指组成⼆维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有)()()(B P A P AB P ?=.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同⼀试验E 的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽B A 、也是⼀个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布列为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k kk p x 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果⼴义积分+∞∞-dxx xp )(绝对收敛，则称此积分值?+∞∞-=dxx xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(；（2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+；对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独⽴，则)()()(2121X E X E X X E =；对任意n 个相互独⽴的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.。
考研数学一概率论考纲2024
考研数学一概率论考纲2024
根据2024年考研数学一的考纲，概率论的考试范围如下：
1.基本概念和概率公理
- 集合及其运算
- 随机试验、样本空间和事件
- 概率的基本概念
- 概率的性质和概率公理
2.随机变量及其分布律
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 随机变量的分布函数和分布律
- 随机变量的数学期望和方差
- 两个随机变量的组合
3.多维随机变量及其分布
- 二维随机变量及其分布律、分布函数
- 二维随机变量的独立性
- 随机变量的数学期望和方差的线性运算
4.常用分布
- 二项分布、泊松分布、几何分布
- 均匀分布、指数分布、正态分布
- 卡方分布、t分布、F分布
5.随机事件的概率计算
- 序列事件
- 伯努利试验
- 条件概率
- Bayes公式
6.大数定律和中心极限定理
- 大数定律
- 切比雪夫不等式
- 中心极限定理
7.统计量及其分布
- 统计量和抽样分布
- 正态总体均值和方差的抽样分布
- 单侧和双侧假设检验
- 参数估计
8.相关和回归分析
- 相关系数
- 简单回归分析
- 最小二乘法
以上是2024年考研数学一概率论的考纲内容，考生可以针对这些内容进行复习准备。
需要注意的是，具体的考题形式和难度还需等待真题发布后才能确定。
概率论课程教学大纲
概率论》课程教学大纲( Probability Theory )适用专业：数学与应用数学、统计学、应用统计学、经济统计学课程学时：68 学时课程学分：4 学分一、课程的性质、目的与任务概率论是研究随机现象统计规律的一门数学学科，应用性很强，为数学与应用数学专业的专业必修基础课之一，且为数理统计课程的理论基础。
学习该课程需先修数学分析和高等代数的相关知识。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论的基本概念、理论知识及其在实际生活中的一些应用，为学习后继课程作必要的准备，同时培养学生能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题的能力。
二、课程的内容与基本要求本课程内容主要包括随机事件及其概率；一维随机变量；多维随机变量；随机变量的数字特征；特征函数；大数定律与中心极限定理。
第一章事件与概率本章内容是概率论的基础知识，有大量的基本概念和计算公式，因此在教学中要讲清概念，突出重点，突破难点，要逐步使学生学会运用概率语言描述概率问题。
重点内容：事件间的关系与运算，概率的性质，概率的加法公式，乘法公式，全概率公式和逆概公式，事件的独立性，古典概型，几何概型，贝努利概型。
难点内容：古典概型和几何概型的计算，概率的性质。
§ 1.1 随机事件和样本空间了解随机试验、样本空间和随机事件、基本事件等概念；掌握事件间的关系和运算。
§ 1.2 概率和频率理解概率的定义和性质及频率的稳定性。
§ 1.3 古典概率掌握古典概型、几何概型的计算公式并能解决一些相关问题。
§ 1.4 概率的公理化定义及概率的性质理解概率的公理化定义及其性质，掌握概率性质中的几个重要公式，会用概率性质解决相应的概率问题。
§ 1.5 条件概率，全概率公式和贝叶斯公式理解条件概率的定义，掌握条件概率的计算及乘法公式的使用；掌握全概率公式与贝叶斯公式，并会利用这些公式解决实际问题。
§ 1.6 随机事件的独立性理解事件的独立性的概念；掌握相互独立事件的性质及其有关计算。
数学一概率论考研大纲
数学一概率论考研大纲（实用版）目录一、考研数学概率论与数理统计大纲概述二、考研数学概率论与数理统计大纲内容详解三、如何备考考研数学概率论与数理统计四、考研数学概率论与数理统计的重难点分析正文一、考研数学概率论与数理统计大纲概述考研数学概率论与数理统计大纲是针对考研数学一的考试内容制定的，它为考生提供了一个全面的复习指导。
从大纲中可以看出，考研数学概率论与数理统计主要考察的内容包括随机事件和概率、概率的基本性质、古典型概率、几何型概率、条件概率、概率的基本公式等。
二、考研数学概率论与数理统计大纲内容详解1.随机事件和概率：这部分主要考察考生对随机事件和概率的理解，要求考生了解随机事件与样本空间的关系、事件的关系与运算、完备事件组等概念，熟练掌握概率的基本性质和古典型概率、几何型概率等。
2.概率的基本公式：这部分要求考生熟练掌握概率的基本公式，包括事件的独立性、独立重复试验等。
3.条件概率：这部分主要考察考生对条件概率的理解和应用，要求考生掌握条件概率的计算方法以及如何利用条件概率判断事件的独立性。
三、如何备考考研数学概率论与数理统计1.掌握基本概念和公式：考生需要认真学习考研数学概率论与数理统计大纲中所规定的内容，掌握基本概念和公式，加强对知识点的理解。
2.多做练习题：通过大量的练习题来巩固所学知识，提高解题能力。
可以参考历年真题和模拟题，进行针对性训练。
3.分析重难点：根据大纲和近几年的考试情况，分析概率论与数理统计的考试重难点，有针对性地进行复习。
4.及时总结和反馈：在复习过程中，考生需要及时总结自己的学习情况，发现问题及时调整，确保学习效果。
四、考研数学概率论与数理统计的重难点分析1.随机事件和概率：这部分是考研数学概率论与数理统计的基础，重难点在于理解概率的基本性质和掌握古典型概率、几何型概率等。
2.概率的基本公式：这部分重难点在于掌握事件的独立性、独立重复试验等概念及其计算方法。
3.条件概率：这部分重难点在于理解条件概率的概念及其计算方法，学会利用条件概率判断事件的独立性。
概率统计讲义提纲1
概率统计讲义提纲第一章一、排列组合3.组合：注：0!=1.(1)(2)(1)r nA n n n n r =---+ !rr n n A C r =!()!!n n r r =-二、随机事件及其概率1、概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.2、随机现象是通过随机试验来研究的. 3．样本空间、样本点4、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件5、事件之间的关系及运算律含义：A 发生，则B 一定发生含义：A ,B 至少一个发生，or A 发生或B 发生 含义：A ,B 同时发生，or A 发生且B 发生A ,B 互不相容 (互斥)，含义：A ,B 不同时发生 A 的逆事件或对立事件，含义：A 发生，但B 不发生:,.A B A B A B A B ⋅==(4) 德摩根律 （对偶律）例1、用A 、B 、C 表示如下事件1）A 、B 、C 至少有一个发生 A B C2）A 、B 、C 恰有一个发生 3）A 、B 、C 至多有两个发生 ABC A B C =A B ⊂A B=A B ⋃A B⋂A A B ⋂=∅A A S A A ==∅ 且AB A AB AB -=-=ABC ABC A BC例2、一个工人生产了3个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品，i =1,2,3，试用i A （i =1,2,3）表示下列事件：6.频数与频率：在相同的条件下，进行了 n 次试验：7. 概率的统计定义：大量重复同一试验时事件A 发生频率的稳定值。
8. 概率的公理化定义：:)(,,)(,.,满足下列条件如果集合函数的概率件称为事记为赋予一个实数的每一事件对于是它的样本空间是随机试验设⋅P A A P A E S E (1):,()0;对于每一个事件有A P A ≥非负性(2):,()1;S P S =对于必然事件有规范性12(3):,,,,,1,2,, 设是两两互不相容的事件,即对于则有i j A A i j A A i j ≠=∅= 可列可加性1212()()()P A A P A P A =++11()(B );只有第一个零件是合格品22()(B );三个零件中只有一个零件是合格品33(),(B );第一个是合格品但后两个零件中至少有一个次品();4(4)B 三个零件中最多有两个合格品55()(B ).三个零件都是次品11231();B A A A =21231231232();B A A A A A A A A A = 31233()();B A A A = 41234(),B A A A =4123;B A A A = 或51235(),B A A A =5123.B A A A = 或9. 概率的性质： 有限可加性特别，若AB =Φ（互不相容），则()()()P A B P A P B ⋃=+ （3） （减法公式） 特别若B A ⊂，则()()(),()P A BP A P B P B P A-=-≤且对三个事件， 例3、解：（1）（2） P(BA )P(B )P(A )=- （3）).()()()(,)()6(AB P B P A P B A P B A -+= 有对于任意两事件加法公式10()().P ∅=12(2),,,,n A A A 若是两两互不相容的事件则有).()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++= ()()().P A B P AP AB -=-(5),()1().A A P A P A =-设是的对立事件则 (4),() 1.对于任一事件A P A ≤123()P A A A 123122313123()()()()()()().P A P A P A P A A P A A P A A P A A A =++---+113211238A,B ,P(B A ).()A B ;()A B;()P(AB ).⊂=设事件的概率分别为和求在下列三种情况下的值与互斥12P(BA )P(B ).==111236.=-=P(BA )P(B A )=-P(B )P(AB )=-113288.=-=概率统计讲义提纲第一章三、古典概型样本点有限（n 个）：等可能性：古典概率： ()=k P A n例1. 甲、乙两人连续赌四次，每次双方赢的机会均相同，求乙连续赢 4 次的概率？解：A ——乙连赢4次k=1所以 P (A )=1/16例2. 有100件同类型同批次的产品，按性能分成两类：甲40件，乙60件。
研究生《概率论》考试大纲
研究生《概率论》考试大纲一、考试总体要求1、随机事件与概率【基本内容】（1）事件的基本关系与运算；古典概率的计算；基于概率的性质求概率的方法；（2）条件概率，乘法公式、全概率公式和Bayes公式；事件的独立性基本概念。
（3）随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等基本概念；样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件；（4）事件的独立性，会求有关的概率运算；频率与概率的统计定义以及概率的公理化定义。
【基本要求】（1）掌握事件的基本关系和运算，古典概率的计算方法，能够熟练利用概率的性质求解概率的方法。
（2）熟练掌握条件概率、乘法公式、全概率公式和Bayes公式，掌握事件的独立性概念。
（3）了解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念，了解样本空间以及样本点的概念，能够利用集合来表示样本空间和事件。
（4）了解事件的独立性，熟练掌握求有关的概率运算。
了解频率与概率的统计定义以及概率的公理化定义。
2、离散和连续随机变量及其概率分布【基本内容】（1）随机变量分布函数的定义及其性质；几个重要离散型随机变量的分布函数与概率分布。
（2）几个重要连续型随机变量的分布函数与概率分布；（3）一维随机变量函数的分布。
（4）随机变量的基本概念；离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质。
（5）连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质；随机变量函数的基本概念。
【基本要求】（1）掌握随机变量分布函数的定义及其性质。
（2）掌握几个重要离散型随机变量的分布函数与概率分布计算方法。
（3）掌握几个重要连续型随机变量的分布函数与概率分布计算方法。
（4）掌握一维随机变量函数的分布计算方法。
（5）了解随机变量的概念、离散型随机变量及其分布律的定义，能够理解分布律的性质。
（6）了解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质以及随机变量函数的基本概念。
3、随机变量的数字特征【基本内容】（1）随机变量数学期望的基本性质；随机变量方差的基本性质；随机变量函数的数学期望公式。
396概率论考纲
396概率论考纲
【最新版】
目录
1.考试概述
2.考试内容
3.考试要求
4.复习建议
正文
【考试概述】
396 概率论考试是中国研究生入学考试中的一门重要科目，其主要目的是考察考生对概率论的基本概念、基本理论和基本方法的掌握程度。
该考试主要包括选择题、填空题和解答题三种题型，考试时间为 180 分钟。
【考试内容】
396 概率论考试的内容主要包括以下三个部分：
1.随机事件和概率：包括随机试验、样本空间、事件、概率公理系统、条件概率等内容。
2.随机变量：包括离散型随机变量、连续型随机变量、分布律、概率密度、累积分布函数、期望、方差等内容。
3.大数定律和中心极限定理：包括大数定律、中心极限定理等内容。
【考试要求】
396 概率论考试要求考生具备以下能力：
1.熟练掌握概率论的基本概念、基本理论和基本方法。
2.能够熟练运用概率论的基本理论和基本方法解决实际问题。
3.具备良好的逻辑思维能力和数学运算能力。
【复习建议】
1.认真阅读教材，理解概念和理论，掌握基本方法。
2.多做练习题，提高解题能力和技巧。
3.注重题型分类和解题思路的总结，形成自己的解题方法。
4.在复习过程中，要注意知识点之间的联系，形成完整的知识体系。
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1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．
2．掌握矩估计法（Leabharlann 阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．
3．了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性．
4、理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.
4．会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
四、随机变量的数字特征
考试内容
随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
考试要求
1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．
2.会求随机变量函数的数学期望.
五、大数定律和中心极限定理
考试内容
切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli)大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列维－林德伯格（Levy-Lindberg）定理
考试要求
1．了解切比雪夫不等式．
2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)．
3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)．
六、数理统计的基本概念
考试内容
总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布
5．会求随机变量函数的分布．
三、多维随机变量及其分布
考试内容
多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布
考试要求
的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用．
3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为
3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.
二、随机变量及其分布
考试内容
随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布
考试要求
1．理解随机变量的概念，理解分布函数
考试要求
1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为：
2．了解 分布、 分布和 分布的概念及性质，了解上侧 分位数的概念并会查表计算．
3．了解正态总体的常用抽样分布．
七、参数估计
考试内容
点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计
一、随机事件和概率
考试内容
随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验
考试要求
1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．
2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式．
1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率．
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布 的概率密度，理解其中参数的概率意义．
八、假设检验
考试内容
显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
考试要求
1．理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．
2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．