13.4.最短路径(1)---河边饮马问题
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。
教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
3.感悟转化思想。
过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。
；2.渗透数学建模的思想。
情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。
充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。
从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。
以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。
最短路径---饮马问题
中考专题复习——饮马问题及其拓展一、专题分析初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点与点，点与线距离最短的问题。
由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称”、“平移”“旋转”、“展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综合应用，也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。
初中最短路径问题，根据使用的数学原理，主要分为两类，一类是利用两点之间线段最短解决的问题；一类是利用垂线段最短解决的问题。
其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题”、“饮马问题”、“蚂蚁吃蜂蜜问题”，考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，根据两点之间线段最短来说明路径最短。
二、教学目标1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。
3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。
三、教学重点饮马问题的典型问题及其解法四、教学难点饮马问题的变式问题及其解法五、教学方法引领探究教学法六、教学媒体希沃电子白板+PPT课件教学过程一、问题原型将军在战场（A处）A大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？图一图二分析：作点A关于直线MN的对称的A’,连接BA’与直线MN交于点P，连AP，BP则直线MN 上，点P到点A和点B的距离之和AP+BP最小。
即将军在P处饮马，能使他从战场到帐篷所走的路程最短。
原因分析：设P’使直线MN上除点P外的任一点，连AP’和BP’、A’P’，因为MN是线段AA’的垂直平分线，∴AP’=A’P’，AP=A’P∴AP’+BP’=A’P’+BP’，AP+BP=A’B∵在△A’P’B中，两边之和大于第三边∴A’P’+P’B＞A’B∴AP’+BP’＞AP+BP∴点P到A，B的距离之和最短另一方面，利用轴对称，我们把在直线MN同侧的两点转化为直线MN的异侧，就把这一问题转化为了“两点之间线段最短”的问题。
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
13.4将军饮马——最短路径问题
A
BP
河
B'
最短路线：A ---P--- B.
将军饮马：
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到 河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
BP B'
A
P'
河
AP + BP < AP' + BP'
将军饮马：
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB,AC上的点，你能
在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗？
将军饮马：
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
将军饮马：
A'
P
NQ
B'
A
M
B将军饮马：
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两 球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击白球，使 白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
将军饮马：
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
A' M 草地
最短路线：
P
O
. A ---P--- Q---A 驻地A
Q
N 河边
A''
将军饮马：
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在
AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周 长最短吗？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
恩施州清江外国语学校 教师：刘玉兰
将军饮马：
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型
13.4最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型一．【知识要点】题方法是关键。
二．【经典例题】1．如图，已知∠AOB，点P在∠AOB内部，请在射线OA上确定点M，在射线OB上确定点N，使△PMN的周长最小。
【问题 1】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【问题 3】“将军饮马”作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长。
【问题 5】作法作图原理在 l1上求点 A，在 l2上求点 B，使 PA+AB 值最小．作点P 关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥ l2于B，交l1于 A．点到直线，垂线段最短PA+AB 的值最小为P＇B三．【题库】 【A 】1．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘内养鱼，他住的地方在P 点，每天早上必须去池塘边投放鱼食，试问他怎么走才能走最少的路程完成放食回到住地？说明理由.2.如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．【B 】1.如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△A MN 周长最小时，则∠MAN 的度数为____________。
P 2P 1N MO PB A2.如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7【C 】1.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题--将军饮马课件
l
我们是怎样解决问题的？说说思考问题的思路．
反思与总结
新知一 两点一线型
实际问题1 图形表示，数学化 几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间线 段最短问题．
实际意义解释
实际问题1的解
几何问题2的解
轴对称，还原问题
B
B
A
A
DC
l
B′
拓展延伸
新知二 两线一点型
如图，将军从A地出发,先到草地边某处巡逻,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
拓展延伸
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，ห้องสมุดไป่ตู้是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
人教版八年级上册数学教案13.4课题学习最短路径_将军饮马问题教学设计
课题学习最短路径问题~将军饮马一、内容和内容解析1．内容利用轴对称研究某些最短路径问题.2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.二、目标和目标解析1.教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．2. 教学目标解析学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.教学时，教师可从“直线同侧的两点”过渡到“直线异侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学过程设计1．将实际问题抽象为数学问题问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC 的和最小？【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．2．解决数学问题问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC 的和最小？师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.如果学生有困难，教师可作如下提示：（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB’?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.3．证明AC +BC “最短”问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C’（与点C但不重合）？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.4．反思→提炼模型异侧型→同侧型→横向平移后的异侧型→横向平移后的同侧型→纵向平移后的异侧型→变式5．实战分析1．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4 B．3C．2D．2+师生活动:学生分析判断属于哪种模型，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．2．已知点A（3，4），点B（﹣1，1），在x轴上另取两点E，F（点E在点F 的左侧），且EF=1，线段EF在x上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E的坐标．师生活动:学生分析判断属于哪种模型，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．6．归纳小结教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.7．布置作业：把两个练习完成．。
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计
13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。
最后让学生对所学知识加以应用。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。
二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。
数学来源生活，服务生活。
（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。
但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。
本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。
关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。
四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。
人教版 八年级上册13.4 最短路径问题(将军饮马问题)
A
城堡
B
军营
“将军饮马” 问题（一）
设C将为河直流线抽上象的为一一个条动直点线，l上．面将的城问堡题和就军转营化分别 为抽：象当成点AC，在B l两的个什点么。位置时,AC 与CB 的和最小?
·B
·A
C
C
l
“将军饮马” 问题（一）
如果点A与点B在直线l的异侧，点C 在什么位置，AC+BC最短？
·A
人教版 八年级上册
13.4 最短路径问题
（将军饮马问题）
最短路径
B
l
线段公理： 两点之间，线段最短。
垂线段性质： 垂线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
将相军传从，城古堡希出腊发亚，历到山一大条里笔亚直城的里河有边一饮位马久，负然盛后名到 军的营学．者请，问名将叫军海到伦河．边有什一么天地，方一饮位马将可军使专他程所拜走访的海路伦线， 全求程教最一短个？百思不得其解的问题：
你能将 这个实际问 题转化成数 学问题吗？
“将军饮马” 问题（二）
A’
C
D B’
A
B
最短路径为： A C D B
C
l
·B 转化：两点之间，线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
利用轴对称的性质如何找到点A的对应点 A’的位置。
·B ·A
l
A’
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
“将军饮马” 问题（二）
牧马人从A地出发，先到草地边某处牧 马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出 最短路径。
13.4-将军饮马——最短路径问题教学设计
13.4最短路径问题教学设计教学目标能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.教学重点利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学过程一、回顾旧知1.从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2.要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。
二、探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C 在的什么位置时，AC与CB的和最小2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´C BC´.=B´C´∴AC+BC=AC+B´C=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时当C´与C重合时A B´＜AC´+C´B´AC+BC=AC´+C´B∴AC+BC＜AC´+C´B总之，AC+B C≤AC´+C´B，即AC+BC最短4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.三、运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.四、拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.五、提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？六、课外思考将军又提出一个问题：如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？。
最短路径---饮马问题
中考专题复习一一饮马问题及其拓展一、专题分析初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点与点，点与线距离最短的问题。
由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称二“平移”“旋转”、“展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综合应用，也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。
初中最短路径问题，根据使用的数学原理，主要分为两类，一类是利用两点之间线段最短解决的问题；一类是利用垂线段最短解决的问题。
其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题、“饮马问题”、“蚂蚁吃蜂蜜问题”，考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，根据两点之间线段最短来说明路径最短。
二、教学目标1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。
3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。
三、教学重点饮马问题的典型问题及其解法四、教学难点饮马问题的变式问题及其解法五、教学方法引领探究教学法六、教学媒体希沃电子白板+PPT课件教学过程一、问题原型将军在战场（A处）A大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？A图一分析：作点A关于直线MN的对称的A’，连接BA’与直线MN交于点P,连AP, BP则直线MN 上，点P到点A和点B的距离之和AP+BP最小。
即将军在P处饮马，能使他从战场到帐篷所走的路程最短。
原因分析：设P’使直线MN上除点P外的任一点，连AP’ 和BP‘、A' P'，因为MN是线段AA’的垂直平分线，••.AP' =A' P'，AP=A' P.•・AP' +BP' =A' P' +BP', AP+BP=A' B•・•在AA' P' B中，两边之和大于第三边 .A'P' +P' B>A' B .AP' +BP'>AP+BP・••点P到A, B的距离之和最短另一方面，利用轴对称，我们把在直线MN同侧的两点转化为直线MN的异侧，就把这一问题转化为了“两点之间线段最短”的问题。
13.4最短路径问题(第一课时)课件人教版
距离最短，在图中画出该点的位置．
C
在AB上求作一点P，
使得PC+PD最短．
D
A
B
初中数学
在AB上求作一点P，使得PC+PD最短．
C
作法：
D
（1）作点C关于AB的对称点C′；
A
PB
（2）连接DC′交AB于点P；
（3）则点P即为所求的点.
C′
初中数学
初中数学
练习
有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上 有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树 顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大 树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何处时，飞行 距离最短，在图中画出该点的位置．
总结：① 将实际问题抽象成数学 ①分析题目中的定点和动点，转化为我们熟悉的最短路径问题．
有两棵树位பைடு நூலகம்如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
问题，用数学语言表达． （2）连接CD′交AB于点P；
如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为__________.
如图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短．
③ 用符号语言证明结论． 有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
一点M，使PM+MQ最短． 有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处．问小鸟飞至AB之间何
13.4最短路径问题教后反思
13.4最短路径问题教后反思编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（13.4最短路径问题教后反思）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为13.4最短路径问题教后反思的全部内容。
《13。
4课题学习最短路径问题》教学反思巩义市站街镇初级中学刘艳娟根据本次跟岗实践活动的安排，我们六个参加国培学习的老师要在紫荆实验学校进行同课异构。
我们于10月19日针对《13.4课题学习最短路径问题》进行了同课异构活动。
刚接到任务时，其实心里还是感到很大压力,除了来自讲课内容的压力，更是要教别人的学生，而对于他们真的是一无所知，我们之间能有默契吗？走进新课堂，我不断反思自己的教学实践，做到在实践中反思，在反思后实践,新课程理念如何转化为教学行为始终让我在思考,在尝试，究竟怎样教会学生,使复杂的数学问题简单化呢？尤其是上好“课题学习”.“数学课题学习” 我想是在老师的指导下，通过学生自主活动，以获得直接经验和培养实践能力的课程.它可以弥补数学学科实践能力的不足,加强实践环节，重视数学思维的训练,促进学生兴趣、个性、特长等自主和谐的发展，从而全面提高学生的数学素质。
它提倡的是参与探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程理念所倡导的自主、探究、合作交流的学习方式。
在我校备课组老师的热心指导和帮助下,在紫荆学校上了这节课后,我个人感觉还是比较满意的，学生各有所获。
下面就谈谈本人这堂课的教学反思：一、反思本课教学过程的成功之处：（1)本节课指导思想正确，达到了以下目的:1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.2。
13.4课题学习 最短路径问题
第十三章 轴对称
学习新知
检测反馈
(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地 出发,到一条笔直的河边L饮马,然后到B地. 牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走 的路径最短?
如果点A和点B分别位于直线l的异侧,如何 在直线l上找到一点,使得这个点到点A和 点B的距离的和最短?
两个村庄,欲在m上的某处修建一个给水站, 向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺 设管道的方案,图中实线表示铺设的管道, 则所需管道最短的方案是 ( D )
解析:作点M关于直线m的对称点P',连接NP' 交直线m于P.根据两点之间,线段最短,可知选 项D铺设的管道最短.故选D.
2.如图所示,在旷野上,一个人骑着马从A到B, 半路上他必须先到河岸l 的P点让马 饮水,然后再到河岸m的Q点让马再次饮水,最后 到达B点,他应该如何选择饮马地点P,Q,才能使所 走路程AP+PQ+QB为最短(假设河岸l ,m为直线)?
解:如图所示,作A点关于直线l的对称点A',B 点关于直线m的对称点B',连接A'B',交l于点 P,交m于点Q,连接AP,BQ,所以路程 AP+PQ+BQ最短.
布
置 作
三维习题
业
岸交a边的岸于M点，
所得MN即为所求．
证明:AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B.
证明: 因为A'B<A'N'+N'B, 所以A'N+NB<AM'+N'B.
又因为AM=A'N, 所以AM+NB<A'M+N'B.
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13.4 .1 课题学习最短路径问题
一．学习目标：
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
2.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力.
二．重点难点：
重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
三．合作探究：（同学合作，教师引导）
1、创设情景引入课题
最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，你能找出点C的位置吗？
A ．
.B
思考：这样做的依据
2、自主探究思考课本问题一
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线，画图为：问题（1）: 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B'吗?
提示作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';
(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求.
问题2:你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
教师展示:如图,在直线l 上任取一点C'(与点C 不重合),连接
AC',BC',B'C'.
3、小结
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.
四．专项训练：
.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?
(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?
A ．
.B
五．综合训练
1.如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.
2.造桥选址问题:如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
六．拓展提升
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
图a
如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使
PM+MN+NP最短。
七．感悟与反思：。