(整理)函数的连续性与间断点

1.8函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
变量的增量:
设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.
设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为
∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).
函数连续的定义
设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即
0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00
x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.
注: ①0)]()([lim lim 000
0=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此
0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00
x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义
的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式
|f (x )-f (x 0)|<ε ,
那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.
左右连续性:
如果)()(lim 00
x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00
x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:
函数在区间上的连续性:
在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.
连续函数举例:
1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且
)()(lim 00x P x P x x =→.
2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.
3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.
证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有
∆y =sin(x +∆x )-sin x )2
cos(2sin
2x x x ∆+∆=,
因为当
x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点
x 都是连续的．
4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.
二、函数的间断点
间断定义:
设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:
(1)在x 0没有定义;
(2)虽然在x 0有定义, 但0
lim x x →f (x )不存在;
(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0
lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.
例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2
π=x 是函数tan x 的间断点.
因为∞=→x x tan lim 2π
, 故称2
π=x 为函数tan x 的无穷间断点.
例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.
当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x
1sin 的振荡间断点.
例3. 函数1
12--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1
=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.
例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 2
11 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1
f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.
如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.
例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0
10 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 0
0-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=+
+→→x x f x x ,
)(lim )(lim 00x f x f x x +
+→→≠,
所以极限)(lim 0
x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.
间断点的分类:
通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。