基本不等式导学案
基本不等式导学案
基本不等式导学案一、 教学目标1、 通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地通过配凑、变形及“1”的恒等变换利用基本不等式解决实际问题;2、 理解用不等式a+b 2≥√ab 求最值的条件，并能灵活地求实际问题的最大值或最小值；3、 通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、配凑、转化等数学意识与数学能力.二、 课前准备1、基础预测（1）不等式a+b 2≥√ab 中的a,b 的取值范围是_____，等号成立的条件是______。
（2）不等式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中的a,b 的取值范围是______，等号成立的条件是______ 2、基本不等式的理解：1、x,y∈R +，x+y 2为x,y 的算术平均数，√xy 为x,y 的几何平均数，算术平均数不小于几何平均数.2、结构特点：左边为和式，右边为积式.3、如果x,y ∈ℝ+，x +y =p 为定值时，它们的积xy 有最_____值； 如果x,y ∈ℝ+，xy =s 为定值时，它们的和x +y 有最_____值.三、 自我测验练习1、设a >0,b >0,给出下列不等式 (1)a +1a ≥2, (2)(a +1a )(b +1b )≥4,(3)(a +b )(1a +1b )≥4, (4)a 2+2+1a 2+2≥2,其中成立的是_____等号能成立的是_____练习2、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=x5+5x(x∈ℝ，x≠0) B、y=lgx+1lgx（1<x<10）C、y=3x+3−x(x∈R)D、y=sinx+1sinx (0<x<π2)四、学以致用例1、求函数y=1x−3+x(x>3)的最小值例2、已知：0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值例3、已知正数x、y，求(x+y)(1x+1y)的最小值思考：已知正数x,y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值。
第三章不等式第二十六课基本不等式导学案新人教A版必修5
第二十六课 2a b +≤一、课标要求1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、先学后讲1．22____2a b ab + 2(,____0)2a b a b +3. 2a b +的变形:（1）,)2a b a b R ++∈ （2）1_____2()a a R a++∈ （3）22____2x b bx + (444222a b a b +≥ (5222a b c ab bc ac ++≥++(6222222a b c d ab cd +++≥+ (73333(.,)a b c abc a b c R +++≥∈三、合作探究1.不等式选择题的解法例1 若a >b>0,则下列不等式正确的是（ ）A.2ab a b +<2a b +≤2ab a b +≤2a b + C.2ab a b +<2a b + <2ab a b+<2a b + 【思路分析】可用基本不等式进行证明也可用特殊值进行检验即得答案.【解析】方法一：2aba b +<2a b +. 方法二：令2,1a b ==，可知选项A 、B 、D 错故选C.【点评】本例给出了两种解法，建议同学们多用方法二进行练习，这可是得分的好方法！ ☆自主探究1．设a ＞0,b ＞0，则下列不等式中不正确的一个是( )A.222||a b ab +≥B.2b a a b +≥C. 114a b a b +≤+D. 22b a a b a b+≥+ 2.基本不等式的应用例2 求函数1(),(0,)f x x x x=+∈+∞的最小值. 【思路分析】利用基本不等式进行求解.【解析】∵(0,)x ∈+∞∴1()2f x x x =+≥ 当且仅当1x x =，即1x =或1x =-（舍去）时，“=”成立，所以，当 1x =时，函数有最小值值，最小值为max ()(1)2f x f ==【点评】用基本不等式求最值，一定要注意不等式成立的条件，即一“正”、二“定”、三“相等”☆自主探究2．求函数2(),(0,)f x x x x=+∈+∞的最小值.四、总结提升1、本节课你主要学习了五、问题过关1. 下列推理过程正确的是（ ）A.若a ，b ∈R ，则2b a a b +≥= B.若x ＞0，则1cos 2cos x x +≥=C.若x ＜0，则44x x +≥=D.若a ，b ∈R 且ab ＜0，则b a a b +2b a a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-≤-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是( )A.a 2+1＞aB.2111a <+＜1C.a 2+9＞6aD.2lg(1)lg |2|a a +≥3. 已知x ，y 均为正数，且x ≠y ，则下列四个数中最小的一个是( )A ．1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．1x y + C D4. 2x 与22bx b -的大小关系是 .5. 设,x y R ∈，不等式2212x x +≥“等号”成立的条件是6. 已知a b c <<2c a -的大小关系是 .7. 不等式2a b b a+>成立的条件是 . 8．求函数3()3,(0,)f x x x x=+∈+∞的最小值.81 x 的值最小?最小值是多少?9. 已知x≠0，当x取什么值时，x2＋2第二十六课 2a b +≤（1） ☆自主探究1C 解：当11,2a b ==时，选项C 不成立.2解：∵(0,)x ∈+∞∴2()f x x x =+≥当且仅当2x x=，即x =x =“=”成立，所以，当 x =最小值值，最小值为max ()f x f ==☆问题过关1D ，2A 解：a =0可否定B 、D ，a =3否定C.3D 解：取x =1，y =2计算知选D. 4解：因为222(2)()0x bx b x b --=-≥ 5解：由221x x =，得1x =±.6解：当1,2,3a b c ===时相等，当1,2,6a b c ===2c a -<2c a -≤ 7解：a b b a +均大于0, ∴a 、b 同号.又a b b a≠, ∴a 2≠b 2,∴a ≠b .所以a 、b 同号且a ≠b8解:∵(0,)x ∈+∞∴3()36f x x x =+≥ 当且仅当33x x=，即1x =或1x =-（舍去）时，“=”成立，所以，当 1x =时，函数有最小值值，最小值为max ()(1)6f x f ==9解:∵x ≠0,∴x 2＞0，281x ＞0.∴x 2＋281x 18=，当且仅当x 2＝281x ，即3x =±时取“＝”号.故3x =±时，x 2+281x 的值最小，其最小值是18.。
高中数学 3.4基本不等式导学案(含解析)新人教版必修5
第三节：基本不等式学习目标：1.理解基本不等式ab ≤ 2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2. 理解利用基本不等式ab ≤ 2b a + 证明不等式的方法 学习重点、难点：1. 应用数形结合的思想理解基本不等式2. 理解利用基本不等式ab ≤2b a +证明不等式的方法 3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题1：若a 、b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0.∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．[导入新知]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)． [化解疑难] 1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则 ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b 2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．自主学习：[例1] [证明] 由基本不等式可得： a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． 2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab ＞0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b ≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求2mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值；(3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 x －4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x ≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 以下同解法一．[类题通法]1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用]2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2yx ×9xy ＋10＝16， 当且仅当yx ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[例3] 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．[活学活用]3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋ ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．[达标检测]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞ab B ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等． 求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c ≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋ab c ＞a ＋b ＋c .。
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1导学案1
2.2基本不等式 (一)导学案 班级 小组 姓名 自我评介 教师评价 学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习重点① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大小值问题学习难点：基本不等式的应用【知识链接】1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立. 2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号. 称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。
基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.自主学习一.复习重要结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立. 探究1：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.二、理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究2：课本的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是三、基本不等式(a>0,b>0)2a b +，当且仅当a b =时，等号成立在数学中，我们称2a b +为a 、b a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四.例题讲解：例1. 0x >时，当x 取什么值时，1x x +的值最小？最小值是多少？变式1：把0x >改为0<x ，上式的最小值还成立吗？ 变式2：把0x >改为2≥x ，上式的最小值还成立吗例2 已知y x ,都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当y x =时，和y x +有最小值P 2（2）如果和y x +等于定值S ，那么当时，积xy 有最大值241S 五、课堂练习多少？取得最小值？最小值是取什么值时，当221.1x x x + ;11,1.2的最小值求时当-+=>x x y x .111.32的最大值，求已知x x -≤≤-六、自我总结:我学到了什么?我有哪些问题与老师交流?七、达标检测1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．D ．3. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是________. 4. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.八、作业布置 课本48页 习题2.2 复习巩固1、 2九、课后反思。
基本不等式导学案
基本不等式导学案（一）知识讲解1、重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”号） 证明：注：2、基本不等式：如果a 、b 是正数，那么ab b a ≥+2，（当且仅当a=b 时取“=”号） 证明：注：例1、已知R c b a ∈,,，求证：bc ac ab c b a ++≥++222例2、已知a >0，b >0求证：2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+例3、已知x >0，y >0（1）若积xy 为定值P ，求和y x +的最小值：（2）若和y x +为定值S ，求积xy 的最大值。
练习1、R c b a ∈,,且均不为0，求证（1）)(444c b a abc c b a ++≥++ （2）222222222222c b a cb a b ac a c b ++≥++2、证明下列不等式（1）a a 212≥+ （2）2)2(b a ab +≤ （3）2)21(b b +≤ （4）x ，y 同号，2≥+xy y x（5）a >0，x >0，则a xa x 2≥+ （6）b b a ba (22-≥>0）基本不等式导学案（二）知识讲解：设y x ,都为正数，则有（1）若S y x =+（和为定值），则当y x =时，积xy 取得最大值 。
（2）若p xy =（积为定值），则当y x =时和y x +取得最小值 。
利用上述结论求最大值或最小值时应注意：①② ③ 例1、（1）已知x <45，求函数54124-+-=x x y 的最大值。
（2）已知0<x<52，求252x x y -=的最大值。
（3）已知x >3，求322-=x x y 的最小值。
例2、（1）已知x >0，y >0，且191=+y x ，求y x +的最小值。
（2）已知x >0，y >0且12=+y x ，求yx 11+的最小值。
高中数学必修五导学案 基本不等式(二)
必修五 3.4基本不等式（二）【学习目标】1(0,0)2a b a b +≤>>及其变形公式； 2．掌握用基本不等式解决一些简单的最值问题；【重点难点】重点：基本不等式的运用及最值的求解。
难点：基本不等式的变形应用。
【使用说明及学法指导】1.先用8分钟学习课本P 11——P 14，然后开始做导学案。
2. 把自己在预习时不能解决的问题标示出来，以备课内与同学或老师交流 。
3.理解并熟练应用基本不等式解决实际问题。
预习案一、基础知识梳理1、已知,x y 为正数，,x y S xy P +==，则（1）如果P 是 ，那么当且仅当x y =时，S 取得最小值 。
（2）如果S 是 ，那么当且仅当x y =时，P 取得最大值 。
22a b +求最值，必须同时满足三个条件：（1）各数均为 ；（2）其和或积为 ；（3） 必须成立。
二、问题导学1、求解最值的关键是通过怎样的变形来构造出符合基本不等式的条件结构？2、在应用基本不等式解决实际问题时，要注意哪几点？三预习自测1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）5.(,0)5x A y x R x x=+∈≠ 1.lg (110)lg B y x x x =+<< .33x x C y -=+ 1.sin (0)sin 2D y x x x π=+<< 1、 若0>>b a ，则下列不等式中正确的是（ ） 22.22.22.22.b a b a ab ab D b a ab b a ab C ab b a ab b a B ab b a b a ab A +<+<+<<+<+<+<+<+ 3、若的最小值是则y x y x 42,12+=+探究案一、合作探究【题型一】利用基本不等式求函数最值 例1．已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
变式1.若1->x ，则x 为何值时=y 11++x x 有最小值，最小值为多少？【题型二】含条件的最值求法例2：已知正数b a ,满足12=+b a ，求ba 11+的最小值变式1：已知正数x,y 满足811x y+=，求x+2y 的最小值。
基本不等式的导学案
3.1 《基本不等式》的导学案学习目标：1．我能通过阅读课本，说出基本不等式的特征，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．我能通过对基本不等式的不同解释，掌握换个角度看问题的思维意识．形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b2≥ab 的多种解释．教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释．一．自主学习，夯实基础阅读课本P 88前四段，自主完成下面的问题。
问题1: 证明：对于任意实数x ,y ,都有xy y x 222≥+当且仅当y x =时，等号成立设a x =，b y =代入上面不等式中能得到什么不等式？问题2:基本不等式的内容是什么？不等号左右两边的形式有什么特点？问题3：使用基本不等式的前提是什么？等号成立的条件是什么？二．合作探究，激活思维对于基本不等式,请尝试从几何方面给予解释.如图，AB 是⊙O 的直径，AC=a ，CB=b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D,连接AD,BD,请你利用OD ≥DC 写出一个关于a ，b 的不等式.三．1.基础性练习，概念的基本理解.判断正误：①R x ∈ 2121=⋅≥+∴xx x x （ ） ②,1>>b a b a ba lg lg 2lg lg ⋅>+∴（ ） ③4>a 6929=⋅≥+∴aa a a （ ） 2.挑战性练习，知识的灵活运用设a ，b 均为正数，证明不等式：ab ≥21a ＋1b.四．思考交流如图2，在⊙O上半圆中，设AC＝a，CB＝b，OF⊥AB交上半圆于F，请你利用FC≥OF得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较．图2结论：对于基本不等式，用文字语言可叙述为：(1)如果把看作两个非负数a、b的,看作两个非负数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个非负数的不小于它们的.(2)从数列角度看,可把看作正数a、b的,看作正数a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.五.检测练习P练习见课本90。
高中数学 3.4基本不等式 精品导学案 新人教A版必修5
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.4基本不等式导学案 新人教A 版必修5【学习目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．通过实例探究抽象基本不等式；3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【自主学习】阅读教材P97—98，找出疑惑之处。
问题1: 对于任意实数 a 、b ，我们有22b a + ab 2，当且仅当 时，等号成立。
你能给出它的证明吗？问题2：对于任意正实数 a 、b ，我们有b a + ab 2，当且仅当 时，等号成立。
（的算术平均数，为正数称b a ba ,2+ . , 的几何平均数为正数b a ab ） 你能给出它不同的证明方法吗？问题3：0x >时，当x 取何值时，1x x+的值最小？最小值是多少？【合作探究】例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？【目标检测】（A 级、全体学生做）1、已知x ＞0，若xx 81+的值最小，则x 为 2、若实数a 、b 满足,2=+b a 则ba33+的最小值为3、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和 最小，最小是多少？4、用20cm 长的铁丝折成一积个面最大的矩形，应当怎样折？（B 级选做题）当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂？3.4基本不等式2ba ab +≤(第二课时) 【学习目标】1 、会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2 、能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题． 【自主学习】任务一：回顾基本不等式ab 2ba +)0,0(>>b a ,当 时等号成立。
导学案：基本不等式
§基本不等式（一）本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。
一、【学习目标】1、理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；2、理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵；二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第97—100页内容，然后回答问题提问1:我们把“风车”造型抽象成图.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +）提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 、，我们有222a b ab +≥，当且仅当时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当时, 222a b ab +=(2)特别地,如果,0,0>>b a 用和代替、，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2.2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证： 练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证：例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
基本不等式导学案
无情岁月增中减 有味青春苦中甜 基本不等式2a b ab +≤【学习目标】通过小组讨论学习活动，在合作学习的过程中，应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；领会用基本不等式求最小值时等号成立条件，以及在实际问题中的应用，进而建立小组合作意识。
【基础梳理】1、基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
2、 合作探究一(1)提问1:我们把“风车”造型抽象成图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的边长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？提问2：那4个直角三角形的面积和呢？提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们容易得到一个不等式222a b ab +≥ 什么时候这两部分面积相等呢？结论：提问4：你能给出它的证明吗？(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2a b ab a b +≤>>,推导： (3)观察右图,AB 是圆O 的直径，C 是AB 上任一点，AC=a,BC=b,过点C 作垂直于AB 的弦'DD ，连AD,BD 则半弦DC=__ 半径AO=_____结论：基本不等式的几何解释为：3、合作探究二10110x x x x x x x x>+<+(1)，当取何值时的值最小，最小值是多少？变式：，当取何值时 的值最大，最大值是多少？ 123,313x x x x x x x x >+-≤≤+变式：当取何值时的值最小，最小值是多少?思考：2，当取何值时的值最小，最小值是多少?无情岁月增中减 有味青春苦中甜强调结论：基本不等式求最值的条件是:＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。
基本不等式导学案
基本不等式【学习目标】1.理解基本不等式ab ≤2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2.掌握用均值不等式求函数的最值问题.【学习重难点】理解利用基本不等式ab ≤2b a +求函数的最值问题 【类法通解】 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式ab b a ≥+2成立的前提条件，0,0>>b a ； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【合作探究】【探究一】 (1)已知0,>n m ，且16=+n m ，求mn 21的最大值． (2)已知3>x ，求()34-+=x x x f 的最小值； (3)设0,0>>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值．【探究二】 (1)已知2lg lg =+b a ,求b a +的最小值；(2)已知0,0>>y x ，且632=+y x ，求xy 的最大值．(3)已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值．【探究三】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【达标检测】1．已知())0(21<-+=x x x x f ，则()x f 有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．若0>>b a ，则下列不等式成立的是( )A ．ab b a b a >+>>2B ．b ab b a a >>+>2 C ．ab b b a a >>+>2D ．b b a ab a >+>>23．若0,0>>y x ，且14=+y x ，则xy 的最大值为________．4．已知0,0>>y x ，1lg lg =+y x ，则yx z 52+=的最小值为________． 5.若对任意的a x x x x ≤++>13,02恒成立,则a 的取值范围是____________________. 6.已知两正数,4,=+y x y x 且若不等式m yx ≥+41恒成立,则实数m 的取值范围是____. 7.设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z ++++的最小值为________________. 8.若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的取值范围是9.若存在实数[]4,2∈x ,使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围为 10.设y x y x xy y x +=+->则且,1)(,0,的取值范围是___________________.11.设正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的最小值．。
导学案034基本不等式
基本不等式考纲要求会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考情分析1.利用基本不等式求最值是命题热点．2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．3.各种题型都有，难度中、低档. 教学过程基础梳理一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件： .2．等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R)；b a ＋ab ≥ (a ，b 同号)．ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)；(a ＋b 2)2 a 2＋b 22(a ，b ∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为： ． 四、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 .(简记：积定和最小) 2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)双基自测1．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值 为 ( ) A.13 B.12C.34D.232．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．2433．(教材习题改编)在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的 是 ( ) A ．y ＝－x －4x B ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋34．已知x >0，则y ＝x 2－4x ＋1x 的最小值为________．5．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条 件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用， 例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典例分析考点一、利用基本不等式求最值[例1] (2011·重庆高考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝ ( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·济南模拟)若x >0，则x ＋4x的最小值为 ( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4[冲关锦囊]利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.考点二、利用基本不等式求条件最值 [例2] (2011·浙江高考)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________若本例条件变为：若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 2．(2012·郑州模拟)设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( ) A ．6 B ．4 2C ．2 6D ．8[冲关锦囊]利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值.考点三、基本不等式的实际应用 [例3] (2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·嘉兴模拟)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，造价40元/米，两侧墙砌砖，造价45元/米，顶部造价每平方米20元．试算：仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？[冲关锦囊]在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．一、选择题1．(2012·杭州模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值222．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．(2012·福州模拟)设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256 B.83 C.113D ．44．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题6．(2011·上海十三校联考)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．7．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．三、解答题8．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .9．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．10．(2012·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)． 当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。
山东省高中数学《 3.4 基本不等式 》导学案2 新人教A
课题： 3.4
2
a b +≤
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标 1
2a b
+≤；会应用此不等式求某
些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2
2a b
+≤，
并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
2a b
+≤的应用
2a b
+≤求最大值、最小值。
教学方法：探究，讨论
二．研讨互动，问题生成
1．重要不等式：
2.算术平均数、几何平均数？
ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件？
三．合作探究，问题解决
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽
各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、
宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如
果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
练习
1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281
x 的值最小?最小值是多少?
自我评价 同伴评价 小组长评价。
导学案：基本不等式
§基本不等式（二）本节课是基本不等式应用举例的延伸。
一、【学习目标】1、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；2、运用不等式求最大（小）值的条件；二、【自学内容和要求及自学过程】1．基本不等式：如果ab b a b a 2R,,22≥+∈那么)""(号时取当且仅当==b a如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的： 练习)0_______(___432)()1(>--=x xx x f 值是最 )0_____(___sin 21sin )2(<<-+x xx π值是最 .24)(22)3(b a x f b a b a 和的最值及此时的求已知+==+,4)(15.0222422222224)(222的最小值是所以时取等号，即且当且仅当解：x f b a b a b a x f b a b a b a ===+===≥+=+=+小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2，等号当且仅当a ＝b 时成立.（二）举例分析342-2-例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（1）设矩形菜园的长为 m, 宽为 m,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）m由2x y +≥ x y +≥（x y +） 等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为，由189,22x y +≤== 可得 81≤xy , 可得等号当且仅当 9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m 。
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§3.4基本不等式2a bab +≤(1)学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习过程一、课前准备复习1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.复习2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a bab +，当且仅当____时，不等式取等号.二、新课导学 学习探究探究1：基本不等式2a bab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥ 当且仅当a b =时，等号成立. 探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤问：由不等式的性质证明基本不等2a bab +≤？用分析法证明：证明：要证 2a bab +≥ (1)只要证 a b +≥ (2) 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.3）理解基本不等式2a bab +≤的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2a b+看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b+为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 典型例题例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? .例4. 0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？例5. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？三、总结提升 学习小结1、在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. 两个正数,x y2．如果和x y +为定值S 时，则当x y =时，积xy 有最大值214S .3. 如果积xy 为定值P 时，则当x y =时，和x y +有最小值2P .当堂检测1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若01a <<，01b <<且a b ≠，则a b +、2ab 、2ab 、22a b +中最大的一个是（ ）. A ．a b + B ．2ab C ．2ab D ．22a b +3. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．23D ．324. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x的值最小，最小值是________.5. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.6. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？7. 一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？§3.4基本不等式2a bab +≤(2)学习目标通过例题的研究，进一步掌握基本不等式2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 学习过程一、课前准备复习1：已知0m >，求证：24624m m+≥.复习2：若0x >，求9()4f x x x=+的最小值二、新课导学 学习探究探究1：若0x <，求9()4f x x x=+的最大值.探究2：求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.典型例题例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ .评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.例2 已知0,0x y >>，满足21x y +=，求11x y+的最小值.总结：注意“1”妙用.例3. 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证： ()()4ab cd ac bd abcd ++≥.例4. 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的最小值.三、总结提升 ※ 学习小结规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正. 1. 基本不等式的变形：222()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab +2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥ ，都有，1212n nn a a a a a a n++≥ （当且仅当12n a a a === 时取等号）3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号）当堂检测1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.A ．若,a b R ∈，则22a b a bb a b a+≥⨯= B ．若,a b R +∈，则lg lg 2lg lg a b a b +≥C ．若x R -∈，则22222x x x x+≥-=- D ．若x R -∈，则332332x x x x --+≥=2. 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是（ ）.A ．2B ．3C ．1D ．123. 若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y+的取值范围是（ ）.A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞4. 若,x y R +∈，则14()()x y x y ++ 的最小值为 .5. 已知3x >，则1()3f x x x =+-的最小值为 .6. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？第三章 不等式（复习）学习目标1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.学习过程一、课前准备复习1：二、新课导学 典型例题例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式. .例2 比较大小.（1）2(32)______626++；（2）22(32)______(61)--；（3）152- 165-；（4）当0a b >>时，1122log _______log a b（5）(3)(5)______(2)(4)a a a a +-+-（6）22(1)x + 421x x ++例3 利用不等式的性质求取值范围： （1）如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是 ， 2x y -的取值范围是 ，xy 的取值范围是 ， xy的取值范围是（2）已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 .例4 已知关于x 的方程(k -1)x 2+(k +1)x +k +1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围.例5 已知x 、y 满足不等式22210,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，求3z x y =+的最小值.例6 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的范围.三、总结提升 ※ 学习小结1．用不等式表示不等关系； 2．比较大小；3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式； 4．会解一元二次不等式；5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解； 6．利用基本不等式求最大（小）值. 知识拓展设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>对应的二次函数为2()(0)f x ax bx c a =++>1．方程()0f x =在区间(,)k -∞内有两个不等的实根⇔0,2bk a ∆>-<且()0f k >；2．方程()0f x =在区间(,)k +∞内有两个不等的实根⇔0,2bk a∆>->且()0f k >；3． 方程()0f x =有一根大于k ，另一根k ⇔()0f k <；4．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有且只有一根（不包括重根）⇔12()()0f k f k < （12,k k 为常数）； 5．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有两不等实根⇔⇔120,2bk k a∆>-<且12()0,()0f k f k >>；6．方程()0f x =在区间12(,)k k 外有两不等实根 ⇔ 12()0,()0f k f k <<当堂检测1. 设0a b <<，下列不等式一定成立的是（ ）.A ．22a ab b <<B ．22b ab a <<C ．22a b ab <<D ．22ab b a << 2. ,a b R ∈，且，则24a b +的取小值是（ ）. A ．4 B ．2 C ．16 D ．83. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .5. 变量,x y 满足条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设y z x =，则z 的最小值为 .6、解不等式组：（1）22427180440x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩ （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩。