基本不等式导学案
高中数学 3.4.1基本不等式导学案 人教A版必修5
3.4.1 基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【重点难点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、自主学习：如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、合作探究归纳展示(一)．命题的探究图3．4-1-1观察图3-4-1-1思考：（1）上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）如果 a >0且 b >0 用 a 和b 代替不等式中的a 、b 上不等式可变形为 _____ _____； （*）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。
基本不等式导学案
基本不等式导学案一、 教学目标1、 通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地通过配凑、变形及“1”的恒等变换利用基本不等式解决实际问题;2、 理解用不等式a+b 2≥√ab 求最值的条件，并能灵活地求实际问题的最大值或最小值；3、 通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、配凑、转化等数学意识与数学能力.二、 课前准备1、基础预测（1）不等式a+b 2≥√ab 中的a,b 的取值范围是_____，等号成立的条件是______。
（2）不等式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中的a,b 的取值范围是______，等号成立的条件是______ 2、基本不等式的理解：1、x,y∈R +，x+y 2为x,y 的算术平均数，√xy 为x,y 的几何平均数，算术平均数不小于几何平均数.2、结构特点：左边为和式，右边为积式.3、如果x,y ∈ℝ+，x +y =p 为定值时，它们的积xy 有最_____值； 如果x,y ∈ℝ+，xy =s 为定值时，它们的和x +y 有最_____值.三、 自我测验练习1、设a >0,b >0,给出下列不等式 (1)a +1a ≥2, (2)(a +1a )(b +1b )≥4,(3)(a +b )(1a +1b )≥4, (4)a 2+2+1a 2+2≥2,其中成立的是_____等号能成立的是_____练习2、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=x5+5x(x∈ℝ，x≠0) B、y=lgx+1lgx（1<x<10）C、y=3x+3−x(x∈R)D、y=sinx+1sinx (0<x<π2)四、学以致用例1、求函数y=1x−3+x(x>3)的最小值例2、已知：0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值例3、已知正数x、y，求(x+y)(1x+1y)的最小值思考：已知正数x,y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值。
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
《基本不等式》 导学案
《基本不等式》导学案一、学习目标1、理解基本不等式的内容及其证明过程。
2、掌握基本不等式的应用，能运用基本不等式求最值。
3、通过对基本不等式的学习，培养数学思维能力和应用意识。
二、学习重难点1、重点（1）基本不等式的内容和证明。
（2）运用基本不等式求最值的条件和方法。
2、难点（1）基本不等式的证明。
（2）基本不等式在实际问题中的应用。
三、知识回顾1、重要不等式：对于任意实数 a、b，有＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\），当且仅当＼（a ＝ b\）时，等号成立。
四、新课导入观察以下两个图形：图 1 是一个边长为 a、b 的矩形，其面积为＼（ab\）。
图 2 是一个以 a、b 为直角边的直角三角形，其斜边长为＼（＼sqrt{a^2 ＋ b^2} ＼）。
我们知道直角三角形的斜边大于直角边，所以＼（＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼geq ＼sqrt{2ab} ＼）。
当且仅当＼（a ＝ b\）时，等号成立。
将上式两边平方，得到＼（ a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\），这就是我们前面回顾的重要不等式。
如果我们令＼（ A ＝＼frac{a ＋ b}｛2} ＼），＼（ G ＝＼sqrt{ab} ＼），则有＼（ A ＼geq G ＼），其中＼（ A ＼）称为 a、b 的算术平均数，＼（ G ＼）称为 a、b 的几何平均数。
这就是我们今天要学习的基本不等式：＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab} ＼）（＼（ a ＞ 0\），＼（ b ＞ 0\））五、基本不等式的证明方法一：作差法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ＆＝＼frac{a ＋ b 2\sqrt{ab}｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2}＼end{align}＼因为＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），所以＼（＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2} ＼geq 0\），即＼（＼frac{a ＋b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当＼（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即＼（ a ＝ b\）时，等号成立。
基本不等式导学案
基本不等式【学习目标】1.理解基本不等式ab ≤2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2.掌握用均值不等式求函数的最值问题.【学习重难点】理解利用基本不等式ab ≤2b a +求函数的最值问题 【类法通解】 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式ab b a ≥+2成立的前提条件，0,0>>b a ； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【合作探究】【探究一】 (1)已知0,>n m ，且16=+n m ，求mn 21的最大值． (2)已知3>x ，求()34-+=x x x f 的最小值； (3)设0,0>>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值．【探究二】 (1)已知2lg lg =+b a ,求b a +的最小值；(2)已知0,0>>y x ，且632=+y x ，求xy 的最大值．(3)已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值．【探究三】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【达标检测】1．已知())0(21<-+=x x x x f ，则()x f 有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．若0>>b a ，则下列不等式成立的是( )A ．ab b a b a >+>>2B ．b ab b a a >>+>2 C ．ab b b a a >>+>2D ．b b a ab a >+>>23．若0,0>>y x ，且14=+y x ，则xy 的最大值为________．4．已知0,0>>y x ，1lg lg =+y x ，则yx z 52+=的最小值为________． 5.若对任意的a x x x x ≤++>13,02恒成立,则a 的取值范围是____________________. 6.已知两正数,4,=+y x y x 且若不等式m yx ≥+41恒成立,则实数m 的取值范围是____. 7.设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z ++++的最小值为________________. 8.若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的取值范围是9.若存在实数[]4,2∈x ,使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围为 10.设y x y x xy y x +=+->则且,1)(,0,的取值范围是___________________.11.设正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的最小值．。
3.1基本不等式 (一)导学案
主备人：李斌 审核：高二备课组 使用日期：2012.10 负责人签字:3.1基本不等式 (一)导学案 班级 小组 姓名 小组评价: 教师评价: 学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习重点① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大小值问题 学习难点：基本不等式的应用【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材P88-90，按照学习目标提出的要求，完成：“自主学习”，再去完成：“合作交流”部分，学习组长做好督导、检查。
【知识链接】1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号. 称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。
基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.Ⅰ、自主学习探究1：基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立.探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.3）理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究3：课本第88页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2a b +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.Ⅱ合作交流例1 已知0m >，求证：24624m m+≥.变式1. 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd ++≥.变式2. 0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？Ⅲ 拓展交流1．若正数a 、b 满足ab =a +b +3，分别求ab 与a+b 的取值范围。
基本不等式导学案
3.4.1基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【学习重点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、学习准备如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、学习探究1．命题的探究图 3．4-1-1 观察图3-4-1-1思考：（1）．上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）．假设直角三角形直角边分别为a 、b 则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）（3）．假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b 时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）．综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）．如果 a >0且 b >0 用 a 和b 代替不等式中的a 、b 上不等式可变形为 _____ _____； （*）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。
基本不等式导学案 档
基本不等式及其运用专题复习导学案复习目标：1.熟练掌握不等式及其成立时的条件2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．基础再现：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22； 两个变形(1)a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．课前热身练习：1.若3x >-，则23x x ++的最小值为 223- 2. .设0x <,则433y x x =--的最小值为____433+______.3．设,,5x y x y ∈+=R 且，则33x y +的最小值是___183__4.若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为___12_ 考点一 利用基本不等式求最值【典例剖析】►(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 4 (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为___1_____． (3) 求的值域.(][),19,-∞⋃+∞考点二 利用基本不等式解决恒成立问题【典例剖析】►1.(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是_____15a ≥___．2.（2009·海门市第一次诊断）已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ()4,2- .3.的最小值为恒成立，则对任意的正实数）已知不等式（)0(,9)1(>≥++a a y x ya x y x 4 .考点三 利用基本不等式解决实际问题【典例剖析】►某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？答案：10年解实际应用题要注意以下几点：（挑战能力.）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?答案 用对号函数反馈练习： 的最小值求满足已知正数yx y x y x 11,12,.1+=+ 322+ . 的最大值求)52(,520.2x x y x -=<< 15. 3.已知03<<-x ，则29x x y -=的最小值是： 92-. 4.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为_____18___．5.正数a 、b 满足 b a +=1，求 )1)(1(++b a 的最大值 32. 6. (2010·山东卷) 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 3 . 7.(2011·郑州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是___10_____．8..某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ,则有 (B )A.x =21(a+b )B.x ≤21(a +b )C.x >21(a +b )D.x ≥21 (a +b ) 9.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 (C )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞)10.求函数最大值)10(log 5log 2)(22<<++=x xx x f 225- . 11.(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？n=8 520万12.（挑战能力）的最大值为恒成立，则且设n ca n cb b a N nc b a -≥-+-∈>>*11, 4 13.（挑战能力）的最大值求满足若正数2221,12,b a b a b a +=+ 324 . 14.（挑战能力）的最小值求2)3(222++=x x y 32。
高中数学 3.4基本不等式导学案(含解析)新人教版必修5
第三节：基本不等式学习目标：1.理解基本不等式ab ≤ 2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2. 理解利用基本不等式ab ≤ 2b a + 证明不等式的方法 学习重点、难点：1. 应用数形结合的思想理解基本不等式2. 理解利用基本不等式ab ≤2b a +证明不等式的方法 3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题1：若a 、b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0.∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．[导入新知]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)． [化解疑难] 1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则 ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b 2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．自主学习：[例1] [证明] 由基本不等式可得： a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． 2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab ＞0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b ≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求2mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值；(3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 x －4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x ≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 以下同解法一．[类题通法]1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用]2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2yx ×9xy ＋10＝16， 当且仅当yx ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[例3] 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．[活学活用]3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋ ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．[达标检测]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞ab B ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等． 求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c ≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋ab c ＞a ＋b ＋c .。
导学案：基本不等式
§基本不等式（二）本节课是基本不等式应用举例的延伸。
一、【学习目标】1、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；2、运用不等式求最大（小）值的条件；二、【自学内容和要求及自学过程】1．基本不等式：如果ab b a b a 2R,,22≥+∈那么)""(号时取当且仅当==b a如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的： 练习)0_______(___432)()1(>--=x xx x f 值是最 )0_____(___sin 21sin )2(<<-+x xx π值是最 .24)(22)3(b a x f b a b a 和的最值及此时的求已知+==+,4)(15.0222422222224)(222的最小值是所以时取等号，即且当且仅当解：x f b a b a b a x f b a b a b a ===+===≥+=+=+小结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2，等号当且仅当a ＝b 时成立.（二）举例分析342-2-例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（1）设矩形菜园的长为 m, 宽为 m,则100,xy = 篱笆的长为2（x y +）m由2x y +≥ x y +≥（x y +） 等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（x y +）=36，x y +=18，矩形菜园的面积为，由189,22x y +≤== 可得 81≤xy , 可得等号当且仅当 9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m 。
高中数学 3-3 第1课时基本不等式同步导学案 北师大版必修5
§3 基本不等式 第1课时 基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值. 难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件. 学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b 都是非负数，那么2ba +≥ab ,当且仅当a=b 时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，取"＝"）. 证明：a 2+b 2-2ab =(a-b ) 2,当a ≠b 时，（a-b ）2>0；当a=b 时，（a-b ）2＝0. 所以（a-b ）2≥0,即a 2+b 2≥2ab .3.基本不等式的几何解释： 基本不等式一种几何解释如下：以a+b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连结AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ,则CD ２=CA ·CB ,即CD =ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即2ba +≥ab ， 其中，当且仅当点C 与圆心重合，即a=b 时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2ba +（a ≥0,b ≥0）. 其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2ba +≥ab （a,b >0） （1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2ba +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的， 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2ba +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b 2≥2ab , 2b a +≥ab 中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值 利用基本不等式2ba +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S ;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2yx +≥xy (1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ， ∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy 为定值p 时，有2yx +≥p ,∴x+y ≥2p .上式当“x=y ”时取“＝”，因此，当x=y 时，和x+y 有最小值2p .注意：（1）在应用均值不等式ab ≤2ba +求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b 都是非负数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中 称为a,b 的算术平均数， 称为a,b 的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有 ，即若a >0,b >0,且a+b=M,M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a=b 时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有 ，即若a >0,b >0,且ab=P,P 为定值，则a+b ≥ ,等号当且仅当a=b 时成立.［答案］ 1.2b a +≥ab a=b 2ba + ab2.(1)最大值 42M (2)最小值 2p思路方法技巧命题方向 利用基本不等式比较代数式的大小［例1］ 已知0＜a ＜1,0<b <1,则a+b ,2ab ,a 2+b 2,2ab 中哪一个最大？［分析］ 由已知a,b 均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］ 方法一：∵a >0,b >0,∴a+b ≥2ab ,a 2+b 2≥2ab ,∴四个数中最大数应为a+b 或a 2+b 2. 又∵0＜a ＜1,0<b <1,∴a 2+b 2-(a+b )=a 2-a+b 2-b=a (a -1)+b (b -1)<0, ∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大．方法二：令a=b =21, 则a+b =1,2ab =1,a 2+b 2=21, 2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21， ∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定［答案］ A∵a >2,∴a -2>0,又∵m=a +21-a =(a -2)+ 21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4，∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12+3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )=x12+3x 的最大值. ［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为 x 12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x 12<0,3x <0,所以-x 12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0, 所以f (x )=x 12+3x ≥2x x312⋅=236=12. 当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立. 所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立. 所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值. ［解析］ ∵x >0,∴x +x 4≥2x x 4⋅=4,∴y =2- (x +x 4)≤2-4=-2.当且仅当x =x 4，即x =2时等号成立，y 取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值. ［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0, 所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x 451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121. 当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立， 所以当x =61时，函数y 取得最大值121. ［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值. ［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3, ∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2, 当且仅当31-x =x -3,即x -3=1, x =4时，等号成立.∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5. 命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？ ［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x =(x -50)·()()1005020501025+-+-x x =()()205010050105+-+-x x .x -50≥0，∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0），则S =()251010+t t =100201025++t t t =20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60. 答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)； （2）P ＝- (2x ＋x 32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a 1+b9=1,求a+b 的最小值.∵a >0,b >0∴a 1+b 9≥2ab 9=6ab1,∴6ab1≤1， ∴ab 1≤361， ∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a 1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12. ［正解］ ∵a >0,b >0，a 1+b9＝1， ∴a+b =(a 1+b9)(a+b ) =1+9+b a a b 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16.当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则baa b +的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］ B［解析］ ∵ab >0, ∴a b >0,b a>0,∴b a a b +≥2baa b ⋅=2. 当且仅当baa b =，即a=b 时，等号成立. 2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ）A.a =±2B.a =2C.a =-2D.a =4［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A.21B.aC.2abD.a 2+b 2［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a ,a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab ,又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21. 解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95, ∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大. 二、填空题4.若x >0,则x +x2的最小值为 . ［答案］ 22 ［解析］ ∵x >0,∴x +x 2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x+3y的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2y x 33⋅=2y x +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立. 课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ）A.y=x +x 1B.y =sin x +x sin 1,x ∈ (0,2π) C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈ (0,2π), ∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)；D 中x >0,y=x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2. 2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab+2三个数的大小顺序是（ ） A.2b a +≤ab ≤ba ab +2 B. ab ≤2b a +≤ba ab+2 C.b a ab +2≤ab ≤2b a + D. ab ≤b a ab +2≤2ba +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，b a ab +2=3.2,∴选 C.解法二：已知2ba +≥ab， 又ab -b a ab +2=()b a ab b a ab +-+2 =()2b a b a ab +-≥0 ∴ab ≥b a ab+2. 也可作商比较ab ba ba ab ab 22+=+≥1.3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（）A.a 2+b 2>2abB.a+b ≥2abC.b a 11+ >ab 2D.b aa b +≥2［答案］D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：A:a=b 时不满足；B:a<0,b <0时不满足；C:a <0,b <0时不满足； D:a b >0,b a >0, a b +b a≥2b aa b⋅=2.4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32B.22C.3D.6［答案］D［解析］ ∵x +3y =2,∴x =2-3y .∴z =3x +27y =32-3y +27y ＝y 279+27y ≥2y y 27279⋅＝6，当且仅当y 279=27y ,即27y =3,∴33y =3,∴3y =1,∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6. 5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ）A.x =2b a +B.x ≤2b a + C.x ＞2b a + D.x ≥2b a +［答案］ B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0.∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +. 等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6. 当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号. 7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ） A.R<P<Q B.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q［答案］ B［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0，Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ， R=lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ， ∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ）A.40B.10C.4D.2［答案］ B ［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy , ∴xy ≤44y x + =440=10, 当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”，∴xy ≤100,即（xy ）max =100,∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 .［答案］ 42 l ［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +， ∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l . 当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）.①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ba 11+≥2. ［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立.③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2,即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立.④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a 1+b 1≥2,即证abb a +≥2, 即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3 ［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy , ∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立. 12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是［答案］ 332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2 ∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］ ∴x+y 的最大值为332. 三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a 21+t 的大小. ［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1，∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a 21+t ≥log a t =21log a t , ∴21log a t ≤log a 21+t . 14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a 1，β=b +b 1,求α+β的最小值. ［解析］ 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1,α+β= (a +a 1)+ (b +b 1)=(a+b )+ (a 1+b1)=1+ab b a +=1+ab1, ∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5 (当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x 2+y 5的最小值. ［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10.则x 2+y 5=1052x y +≥10102xy =2， 所以 (x 2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10, x 2+y 5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。
基本不等式一导学案
§1.1.2基本不等式 姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 初步掌握不等式证明的方法 ☻知识情景：1. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ； 20. 传递性：⇒>>c b b a ,；30. 同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a , ；30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a . 2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．☻建构新知：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 证明: ∵2222()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立. ∴222a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈, 那么2a bab +≥.当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?20. 如何证明基本不等式?30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?40. 怎样用语言表述基本不等式?☆案例学习：例1在的条件下，，00>>b a 三个）①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a ba ab +≥+22，A ．0B ．1C ．2D ．3例2设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭; (2) 222a b c ab bc ac ++≥++．例3 (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ；(2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. (3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面 积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．例5（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b xyx y++≥+,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．选修4-5练习 §1.1.2基本不等式 姓名 1. 若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 252. 对一切正整数n ， 不等式112bn b n +<-+恒成立，则B 的范围是（ ）3.设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+2134.若关于x 的方程94340x x a ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)-∞-+∞，，80B ．()-∞-，4C ．[)-84，D ．(]-∞-，8.5设x y R 、∈+且xy x y -+=()1，则 （ ）A ．x y +≥+221()B ．xy ≤+21C ．x y +≤+()212D ．xy ≥+221().6若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是.7f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是.8 若1>a ，10<<b ，且log (21)1b x a ->，则实数x 的范围是．.9函数221()1x x f x x ++=+的值域为 ．.10为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于 1米， 且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？ 且当AC 最短时，BC 长度为多少米？.11 （1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取 值范围；（2） 是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．.12已知0,0,,a b a b >>的等差中项是21, 且11,a b a b αβ=+=+, 求αβ+的最小值.。
导学案034基本不等式
基本不等式考纲要求会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考情分析1.利用基本不等式求最值是命题热点．2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．3.各种题型都有，难度中、低档. 教学过程基础梳理一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件： .2．等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R)；b a ＋ab ≥ (a ，b 同号)．ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)；(a ＋b 2)2 a 2＋b 22(a ，b ∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为： ． 四、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 .(简记：积定和最小) 2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)双基自测1．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值 为 ( ) A.13 B.12C.34D.232．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．2433．(教材习题改编)在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的 是 ( ) A ．y ＝－x －4x B ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋34．已知x >0，则y ＝x 2－4x ＋1x 的最小值为________．5．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条 件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用， 例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典例分析考点一、利用基本不等式求最值[例1] (2011·重庆高考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝ ( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·济南模拟)若x >0，则x ＋4x的最小值为 ( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4[冲关锦囊]利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.考点二、利用基本不等式求条件最值 [例2] (2011·浙江高考)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________若本例条件变为：若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 2．(2012·郑州模拟)设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( ) A ．6 B ．4 2C ．2 6D ．8[冲关锦囊]利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值.考点三、基本不等式的实际应用 [例3] (2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·嘉兴模拟)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，造价40元/米，两侧墙砌砖，造价45元/米，顶部造价每平方米20元．试算：仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？[冲关锦囊]在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．一、选择题1．(2012·杭州模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值222．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．(2012·福州模拟)设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256 B.83 C.113D ．44．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题6．(2011·上海十三校联考)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．7．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．三、解答题8．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .9．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．10．(2012·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)． 当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。
基本不等式导学案
课题：5-3.4基本不等式及其应用课型：文本研读课编写人：让帆 审核人：王仁杰 课时：2课时 编写时间：2013年3月15日 【学习目标】学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何解释，掌握不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等【学习重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程； 【学习难点】基本不等式中取等号的条件。
【学习过程】一、课前准备看书本97、98页填空1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22__2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则___2a bab +，当且仅当________时，等号成立.二、新课导学 ※ 学习探究探究1：基本不等式2a bab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________探究2：你能给出222a b ab +≥的证明吗？★［结论］重要不等式：一般的，对于任意实数b a ,，有22b a +≥ab 2，当且仅当b a =时，等号成立。
①适用范围：____________②文字叙述：________________________________________________________________特别的，如果0a >，0b >a b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥(a>0,b>0)2a bab +2a bab +≤？用分析法证明：证明：要证 2a bab +≥ (1)只要证 a b +≥ (2) 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：2a bab +的几何意义 在下图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB的弦DE ，连接AD 、BD. 2a bab +≤的几何解释吗？① 如何用a,b 表示OD ？ OD=________ ② 如何用a,b 表示CD ？ CD=________③OD 与CD 大小关系怎样？OD______CD★［结论］：基本不等式2ba ab +≤的几何解释：________________________ 评述：1.如果把2a b+看作是正数a 、b ab a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2a b+为a 、b ab a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.※ 典型例题例1.（1） 0x >时，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？(2) 已知 0,a bab b a>+寻找与2的大小关系,并说明理由.(3) 已知0,a bab b a<+能得到什么结论? 请说明理由.例2. （1）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？（2）一直角三角形的两直角边的和为20，当两直角边各为多少时，该直角三角形的面积最大，最大值是多少？※ 知识拓展 两个正数,x y1．如果和x y +为定值S 时，则当x y =时，积xy 有最大值214S .2. 如果积xy 为定值P 时，则当x y =时，和x y +有最小值例3.（1）已知10,()3x x x <<求函数y=1-3的最大值（2）设11,2,(1)(2)a b y a b a b >>=++--，求y 的最小值。
基本不等式的导学案
3.1 《基本不等式》的导学案学习目标：1．我能通过阅读课本，说出基本不等式的特征，理解这个基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．我能通过对基本不等式的不同解释，掌握换个角度看问题的思维意识．形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b2≥ab 的多种解释．教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释．一．自主学习，夯实基础阅读课本P 88前四段，自主完成下面的问题。
问题1: 证明：对于任意实数x ,y ,都有xy y x 222≥+当且仅当y x =时，等号成立设a x =，b y =代入上面不等式中能得到什么不等式？问题2:基本不等式的内容是什么？不等号左右两边的形式有什么特点？问题3：使用基本不等式的前提是什么？等号成立的条件是什么？二．合作探究，激活思维对于基本不等式,请尝试从几何方面给予解释.如图，AB 是⊙O 的直径，AC=a ，CB=b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D,连接AD,BD,请你利用OD ≥DC 写出一个关于a ，b 的不等式.三．1.基础性练习，概念的基本理解.判断正误：①R x ∈ 2121=⋅≥+∴xx x x （ ） ②,1>>b a b a ba lg lg 2lg lg ⋅>+∴（ ） ③4>a 6929=⋅≥+∴aa a a （ ） 2.挑战性练习，知识的灵活运用设a ，b 均为正数，证明不等式：ab ≥21a ＋1b.四．思考交流如图2，在⊙O上半圆中，设AC＝a，CB＝b，OF⊥AB交上半圆于F，请你利用FC≥OF得出一个关于a，b的不等式，将这个不等式与基本不等式和例1中的不等式进行比较．图2结论：对于基本不等式，用文字语言可叙述为：(1)如果把看作两个非负数a、b的,看作两个非负数a、b的,那么该定理可以叙述为:两个非负数的不小于它们的.(2)从数列角度看,可把看作正数a、b的,看作正数a、b的.因此,两个正数的不小于它们的.五.检测练习P练习见课本90。
《基本不等式》 导学案
《基本不等式》导学案一、学习目标1、理解基本不等式的形式和意义。
2、掌握基本不等式的证明方法。
3、能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
二、学习重点1、基本不等式的推导与证明。
2、基本不等式的应用条件和方法。
三、学习难点1、运用基本不等式求最值时的条件判断。
2、基本不等式在实际问题中的应用。
四、知识回顾1、我们已经学习过不等式的性质，如：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等，请回顾并思考这些性质在解决不等式问题中的作用。
2、对于两个正数 a 和 b，我们知道它们的算术平均数为_____，几何平均数为_____。
五、新课导入观察以下两个图形：图 1：一个正方形，边长为 a ＋ b ，面积为（a ＋ b)²。
图 2：同样的大正方形被分割成四个小矩形，其中两个小矩形的边长分别为 a 和 b ，另外两个小矩形的边长分别为 b 和 a 。
思考：（1）图 1 中正方形的面积与图 2 中四个小矩形面积之和有什么关系？（2）通过这个关系，你能得到什么结论？六、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a 、 b ，有 a ＋b ≥ 2 √（ab) ，当且仅当 a ＝b 时，等号成立。
证明：因为（√a √b)² ≥ 0 ，展开得到a 2√（ab) ＋b ≥ 0 ，即 a ＋b ≥ 2 √（ab) 。
当且仅当√a ＝√b ，即 a ＝ b 时，等号成立。
七、基本不等式的几何解释以直角三角形的斜边为边长作正方形，其面积等于两直角边乘积的2 倍加上斜边平方的一半。
当直角三角形为等腰直角三角形时，两直角边相等，此时正方形的面积等于两直角边乘积的 2 倍。
这从几何角度直观地解释了基本不等式。
八、基本不等式的应用例 1：已知 x ＞ 0 ，求 x ＋ 1/x 的最小值。
解：因为 x ＞ 0 ，所以 x ＋1/x ≥ 2 √（x × 1/x) ＝ 2 ，当且仅当 x＝ 1/x ，即 x ＝ 1 时，等号成立。
基本不等式的应用(优秀经典导学案)
1．设x>0，则3－3x－ 的最大值是()
A．3B．3－2
C．－1D．3－2
2．已知 (x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于()A．＋ B．2C．3D．4
3．已知正数x，y满足 ＋ ＝1，则x＋2y的最小值是()
A．18 B．16 C．8 D．10
4．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是()
A. B. C. D.
5．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则 ＋ 的最小值为________．
四、堂清、日清记录
堂清
日清
今日之事今日毕 日积月累成大器
课堂反思：
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．
即时训练：已知0<x< ，则y＝x(1－2x)的最大值为________．
利用基本不等式变形求最值
例1已知x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求x＋y的最小值．
跟踪训练：已知正数x，y满足x＋y＝1，则 ＋ 的最小值是________．
基本不等式在实际问题中的应用
例22016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．
2.2.2 基本不等式的应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式（一）
【学习目标】（1）学会推导不等式2
a b
ab +≤
，理解不等式的几何意义。
（2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 【课前预习】
如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。
在北京召开的24届国际数学家大会上
作为会标。
你知道这其中含有哪些数学因素吗？
设小直角三角形的两条直角边为、a b ，
则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。
4正方形三角形S S ⨯<⇒ < 。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4正方形三角形S S ⨯=) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.
特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。
我们通常把上式写成
2
a b
ab +≤
(00a ,b >>) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?
证明过程: 要证 2
a b
ab +≥ ①
只需证 ≥ ② (同时平方)
要证②只需证 ≥0 ③ (右边的项移到左侧)
要证③只需证 2(__________)0-≥ ④
显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立. a,b ,
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。
若两个数a,b , 且00a ,b >>,
2
a b
+是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数，
ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数，
由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项（,≥≤），
特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。
【预习自测】
习题一：若0a >，则1
a a +≥ 若0a
b >，则a b
b a
+≥
习题二：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则xy = ，篱笆的总长度表示为 ，
由
2
a b
ab +≥ 可得x y +≥ ， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y ==
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则x y += ，篱笆的面积表示为 ，
由
2
a b
ab +≥可得xy ≤ ， 当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y ==
总结：两个实数0,0,a b >>
若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。
若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。
练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为,x y 。
则_______xy = x y +
2 用20cm 长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
基本不等式（二）
一、 自主学习
1．已知x ，y 都是整数，
（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得 （2）若xy p =（积为定制），则当x y =时，和x y +取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。
2．设x,y 满足440x y +=，且x,y 都是正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 3．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A.1y x x =+
B. 33x x
y -=+ C. 1lg (110)lg y x x x =+<< D. 1sin (0)sin 2
y x x x π=+<< 4. 若4x >，则函数14
y x x =+-（ ）
A ．有最大值-6． B.有最小值6 C 有最大值-2 D.有最小值2 5．已知lg lg 1x y +=，则
52
x y
+的最小值为__________________ ★利用均值不等式求最值时，应注意的问题
①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。
②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。
③确保等号成立。
以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。
二、 学习探究
【题型一】利用不等式求函数的最值
已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
变式 已知0<x<1
3
，求函数y=x(1-3x)的最大值。
【题型二】含条件的最值求法
已知整数x,y 满足
81
1x y
+=，求x+2y 的最小值。
变式 ：已知0,0x y >>，满足21x y +=，求
11
x y
+的最小值.
【题型三】利用不等式解应用题
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2
的造价为150元，池
壁每1m 2
的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
知识拓展 1. 基本不等式的变形：
222
()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___
2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，
1212
n
n n a a a a a a n
++
≥（当且仅当
12n a a a ==
=时取等号）
3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号） 巩固练习
1．设x>0,y>0,x+y=1,则使m x y 恒成立的实数m 的最小值是（ ）
22222．设x,y 满足x+4y=40,且想，且x,y R +
∈，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B 。
10 C 。
4 D 。
2
3．已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，则516a a 的最大值为（ ） A ．100 B 。
75 C 。
50 D 。
25 4．函数()x
f x = （ ） A
25 B 1
2
25． 设x>0,则y=3-3x-
1
x 的最大值是 ；函数f(x)=3x+lgx+ 4lg x
(0<x<1)的最大值为 6． 求2
26()1
x x f x x -+=+（x>-1）的最小值为
8．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？。