基本不等式导学案

基本不等式（一）

【学习目标】（1）学会推导不等式2

a b

ab +≤

，理解不等式的几何意义。 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 【课前预习】

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上

作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？

设小直角三角形的两条直角边为、a b ，

则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。

4正方形三角形S S ⨯<⇒ < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4正方形三角形S S ⨯=) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.

特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。我们通常把上式写成

2

a b

ab +≤

(00a ,b >>) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?

证明过程: 要证 2

a b

ab +≥ ①

只需证 ≥ ② (同时平方)

要证②只需证 ≥0 ③ (右边的项移到左侧)

要证③只需证 2(__________)0-≥ ④

显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立. a,b ,

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b , 且00a ,b >>,

2

a b

+是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数，

ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数，

由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项（,≥≤），

特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。

【预习自测】

习题一：若0a >，则1

a a +≥ 若0a

b >，则a b

b a

+≥

习题二：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则xy = ，篱笆的总长度表示为 ，

由

2

a b

ab +≥ 可得x y +≥ ， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y ==

（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则x y += ，篱笆的面积表示为 ，

由

2

a b

ab +≥可得xy ≤ ， 当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y ==

总结：两个实数0,0,a b >>

若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。

练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为,x y 。则_______xy = x y +

2 用20cm 长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

基本不等式（二）

一、 自主学习

1．已知x ，y 都是整数，

（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得 （2）若xy p =（积为定制），则当x y =时，和x y +取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。

2．设x,y 满足440x y +=，且x,y 都是正数，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 3．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A.1y x x =+

B. 33x x

y -=+ C. 1lg (110)lg y x x x =+<< D. 1sin (0)sin 2

y x x x π=+<< 4. 若4x >，则函数14

y x x =+-（ ）

A ．有最大值-6． B.有最小值6 C 有最大值-2 D.有最小值2 5．已知lg lg 1x y +=，则

52

x y

+的最小值为__________________ ★利用均值不等式求最值时，应注意的问题

①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。 ②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。 ③确保等号成立。

以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。

二、 学习探究

【题型一】利用不等式求函数的最值

已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

变式 已知0

3

，求函数y=x(1-3x)的最大值。

【题型二】含条件的最值求法

已知整数x,y 满足

81

1x y

+=，求x+2y 的最小值。 变式 ：已知0,0x y >>，满足21x y +=，求

11

x y

+的最小值.

【题型三】利用不等式解应用题

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2

的造价为150元，池

壁每1m 2

的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

知识拓展 1. 基本不等式的变形：

222

()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___

2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，

1212

n

n n a a a a a a n

++

≥（当且仅当

12n a a a ==

=时取等号）

3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号） 巩固练习

1．设x>0,y>0,x+y=1,则使m x y 恒成立的实数m 的最小值是（ ）

22222．设x,y 满足x+4y=40,且想，且x,y R +

∈，则lg lg x y +的最大值是（ ） A ．40 B 。 10 C 。4 D 。 2

3．已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，则516a a 的最大值为（ ） A ．100 B 。75 C 。 50 D 。 25 4．函数()x

f x = （ ） A

25 B 1

2

25． 设x>0,则y=3-3x-

1

x 的最大值是 ；函数f(x)=3x+lgx+ 4lg x

(0

26()1

x x f x x -+=+（x>-1）的最小值为

8．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？