新北师大版八年级数学下册《四章 因式分解 2. 提公因式法 公因式为多项式的提公司因式法》教案_4
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第四章因分解式3．公式法一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：1．知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．第一环节复习回顾活动内容：填空：（1）（x+5）（x –5）= ；（2）（3x+y ）（3x –y ）= ；（3）（3m+2n ）（3m –2n ）= ．它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节探究新知活动内容：谈谈你的感受。
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课题：4.2.1提公因式法教学目标：1.让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.2.通过找公因式，培养学生的观察能力.3.在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.教学重点与难点：重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.难点：正确识别多项式的公因式.课前准备：多媒体课件.教学过程一、情景引入（课件展示）宏缘九义校计划在新修的学校里建一片绿化场地，这片绿化场地由三个长方形组成，在设计图纸上，这些长方形的长分别是43，23，47，宽都是21，那么你能帮设计师算算在设计图纸上绿化场地的面积是多少吗？处理方式：教师利用多媒体展示，学生独立思考、交流，教师顺势引出课题.设计意图：通过两种解法的对比，让学生回忆小学学习过的公因数，感受提出公因数计算更为简单，从而引入本节课的探究（课件展示）二、合作探究，获取新知（课件展示）处理方式：将上述问题一般化，从而顺利引出公因式、提公因式法因式分解有关概念学生理解概念.解：==公因式 提公因式法多项式各项都．含有的相同因式．．．．，叫做这个多项式的公因式.把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积.像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法.（课件展示）设计意图：教材95页上的提公因式法的意义采用纯文字的形式，学生理解起来有困难，用具体的式子给出提公因式法分解因式的一般形式有助于学生的理解练一练：找出下列各多项式中的公因式：（1）8x+64；（2）2x2+ 4abc；（3）m2n3-3n2m3；（4）a2b-2ab2+ab.处理方式：学生回答各题，教师纠错.议一议：（1）多项式8a3b2-12ab3c中各项的公因式是什么？处理方式：小组内交流，教师点拨：公因式在选择系数、字母和指数时的规律，很快就有学生站起来说出答案.然后，师生共同总结找公因式方法分三步：先确定系数，选择数字系数的最大公约数，然后选择字母，必须是每项都含有的，最后看字母的指数选择指数最小的.（课件展示）设计意图：由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力，在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．三、学以致用，解决问题（课件展示）例1将下列各式分解因式：（1）3x+x3；（2）7x2-21x；（3）8a3b2–12ab3c+ab；（4）-24x3+12x2-28x．处理方式：学生板演，师生纠错.教师提问：正确的找出多项式各项的公因式，并正确分解因式应注意哪些地方？下面我把公因式先提出来，（板书示范第1题）选3名代表板演，其余同学做在练习本上；然后师生共同纠错；最后教师展示解题过程.（1）解：3x+x3=x·3–x x2=x(3+x2)=7x x-7x 3=7x (x-3)（3）解：8a3b2–12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·=ab(8a2b-12b2c)=-(24x3-12x2 +28x)=-(4x 6x2-4x3x+4x 7)=-4x(6x2-3x+7)（2）你能尝试将多项式8a3b2-12ab3c分解因式吗？与同伴交流.想一想：1.用提公因式法因式分解应注意的问题?2.提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？处理方式：说说我们在用提公因式法时有哪些心得和体会？学生回顾，交流，总结.1.用提公因式法因式分解应注意的问题:（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉项；（3）多项式的首项取正号.2.提公因式法因式分解与单项式乘多项式之间是互逆过程.设计意图：学生对公因式的确定方法的应用仍是生搬硬套，创设抢答环节，既引起学生兴趣，夯实基础，又培养学生的思维能力.提出公因式后各项剩余部分的确定也是一个难点，通过诱导启发，使学生掌握方法.老师的板书起到了示范作用，给学生模仿（课件展示）牛刀小试：1.把下列各式因式分解：(1)22R r ππ+= （R r +）； (2)7a 2-21a =7a ( )；(3)12xyz -9x 2y 2= （ ）；(4)3a 2y -3ay +6y = （ ）.2.辨别正误并指明错因：(1)8a 3b 2-12ab 4+4ab =4ab (2a 2b -3b 3)；(2)4x 4-2x 3y =2x 2(2x -y ).3.把下列各式因式分解:(1)24x 3y -18x 2y ；(2)7ma +14ma 2；(3)-16x 4+32x 3-56x 2；(4)-7ab -14abx +49aby .处理方式：学生小组交流，选代表回答各题，教师纠错.教师归纳并投影.设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．四、回顾课堂，盘点收获1.确定公因式的方法：一看系数；二看字母；三看指数.2.用提公因式法因式分解应注意的问题:（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉项；（3）多项式的首项取正号.3.你还有什么新的认识与体会吗？处理方式：学生畅所欲言，不足教师补充并投影.设计意图：学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，但对化归、类比等数学思想方法的认识较模糊，当然，这种认识也是需要长期的培养，而不是一朝一夕可以做到的．五、快乐套餐，深化提高1.选择题：（1）多项式6ab 2+18a 2b 2-12a 3b 2c 的公因式（ ）A. 6ab 2cB. ab2 C. 6ab 2 D. 6a 3b 2c （2）分解-4x 3+8x 2+16x 的结果是（ ）A. -x (4x 2-8x +16)B. x (-4x 2+8x -16)C. 4(-x 3+2x 2-4x )D. -4x (x 2-2x -4）2.把下列各式因式分解：（1）xy y x 632-；（2）m m m 2616423-+-.处理方式：学生5分钟完成并展示答案，全班反馈、矫正，教师及时评价.设计意图：本环节是为了检验学生对本节课的掌握程度.题目由易到难，由简到繁，争取能让每一位学生都能领略到成功的喜悦！链接中考让学生认识到中考题也很简单，提高学生的学习信心，教师要注意发现学生出现的问题，及时加以纠正.六、布置作业，课堂延伸必做题：课本第96页 习题4.2 第1、2题.选做题：习题4.2 第3题.拓展题：多项式2(m +n )+4(m +n )2的公因式是什么？板书设计:。
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4.2提公因式法第1课时提单项式因式分解导学案学习目标：1.经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式的公因式。
2.会用提取公因式法进行因式分解。
预习案：1、什么叫分解因式？2、整式乘法与分解因式之间的关系。
3、分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果：4、阅读教材P95～96内容问题1：多项式ma +mb +mc 有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？观察下列各式的结构有什么共同特点？①ax-ay ② ma +mb+mc③ 2πR + 2πr 归纳：多项式中都含有的，叫做这个多项式各项的公因式. 自学反馈：确定下列各多项式中的公因式1) a c+ b c 2)3 x2 +9xy 3) a 2 b – 2a b 2 + ab 4) 4xy2-6xy+8x 3y5、多项式中的公因式是如何确定的？探究案：例：找公因式： 3x 2y 2– 6xy 3 2 x2+ 6 x 3跟踪训练1：写出下列多项式各项的公因式：归纳总结：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式的形式，这种因式分解的方法叫做．3(2)x 7(3)x x 24(637)x x x 22(8121)ab a b b c 872x 222axy y x a 32224x x x 233642a b a b ab例1 ：将下列各式分解因式：例2 ：把9x 2－6xy+3xz 分解因式. 3a 2-9ab 用提公因式法分解因式的步骤跟踪训练2：把下列各式分解因式：例3：小颖解的有误吗？把8a 3b 2 –12ab 3 c + ab 分解因式.解：8 a 3b 2 –12ab 3c + ab= ab ·8a 2b - ab ·12b 2 c +ab ·１= ab(8a 2b - 12b 2c)跟踪训练3：把下列各式分解因式：例4：因式分解– 24x 3–12x 2+28x 跟踪训练4：把下列各式分解因式：5、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？5、现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
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平板提交
《百练》P63-64，选择题平板提交，其余上交纸质
① 3x 3y 3(x y)；（√ ） ② 3x 3y 5 3(x y) 5；（ × ）
③ (x 3)(x 3) x2 9；（ × ） ④ x2 9 (x 3)(x 3)；（ √ ）
⑤
x 1 x(x 1)；（ x
×）
⑥ ax ay a a(x y)；（ × ）
变式3： 2 32018 （ - - 3）2017；
变式4：
试说明 2 （ 5）2018 （ 5）2019一定能被7整除。
通过这节课的学习，谈谈你的收获与疑惑:
1.知识内容：因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解的 依据是什么？ 3.方法技巧：①如何找公因式？（“三定”）；
②提公因式法分解因式时的有什么要注意？ 4.数学思想：整体思想、转化思想
结合平板批改情况订正，小组合作解决部分疑惑
42能被哪些质数整除？ 质因数分解 42=2×3×7
合数=质因数a×质因数b×质因数c...
多项式=整式A×整式B×整式C...
因式分解，也叫分解因式
八年级 上册
14.3 因 式 分 解 14.3.1 提 公 因 式 法
1. 判断下列由左边到右边的变形是否为因式分解？若是打“√”，否则打“×”：
讨论完毕，小组长在平板上写下“ok”提交。
提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样；（不漏项） ②公因式要提“全”； ③首项的系数为负数时，应提出负系数，括号内的每一项的符号都 要改变；（提负变号） ④整项提出时，应留“1”；（提整留“1”）
预习检测第8题：用提公因式法分解因式： 2a（b - c) b(b - c)；
b
预习检测7.用提公因式法分解因式 （3）- 6a3 12a2 3a
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把下列各式分解因式：
1.a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;
2.x2y－3xy2+y3;
3.2（x－y）2+3（y－x）;
4.5（m－n）2+2（n－m）3.
6.先分解，然后计算
7（1）.
(2)
（1）
（2）(4)
作业98页1.2.
学生板书
学生讨论
学生小结
学生练习
学生板书
学生互相评价
.分解因式
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
上面的结果发现什么，如何调整变成相同的因式的？
活动三、运用新知
1.（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
活动四、变式训练
1）x（a+b）+y（a+b）（2）6（p+q）2－12（q+p）
（3）a（m－2）+b（2－m）（4）2（y－x）2+3（x－y）（5）mn（m－n）－m（n－m）2
学生板书展示，师生共同评价
板书设计
教学
反思
教具准备
投影片、三角板
学具准备
三角板
教师活动
学生活动
一、课前展示
二、新知索引
三、探索新知
四、运用新知
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北师大版八年级数学（下）《提公因式法》导学设计主备人：课型：新授课课时：第1课时课题：《提公因式法》——《确定公因式》【环节一：回顾与复习】1.请将正确的答案填在横线上。
（1）-2x(3x-7)= （2）(x+1)(x-1)= （3） = x(x+1)x2-1 -6x2+14x x2+x【环节二：教学目标】1.归纳理解公因式的定义2.能根据公因式的定义确定多项式的公因式【教学重点】理解公因式的定义【教学难点】公因式的确定【环节三：情境引入】1.学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积．【环节四：自主探究，合作交流】活动一：找出8a³b²+ 12ab³c 的公因式<一>发现归纳：多项式中每一个项都含有的因式，叫做公因式。
<二> 自主尝试，完成练习1.说出下列多项式各项的公因式(1)3a+3b 公因式为：(2)21x2y2+7x2y 公因式为：(3)-x3y2+3xy2-xy 公因式为：活动二：在下列各式右边括号前添上“+”或“-”号,使左边与右边相等.(1)y+x= (x+y) (2)-x+y= (y-x) (3)b-a= (a-b) (4)-a-b= (a+b)各环节完成方案环节一：白板展示邀请一组学友用拖拽的方式将正确答案对号入座。
环节二：白板特效展示1.将教学目标用白班展示。
2.知识点展示时，教师利用白板特效，通过拖动的方式对关键词进行强调说明展示。
环节三：白板特效+平板互动1.教师将问题发送到学生平板上，让学生结合平板预习思考。
2.教师结合题目要求将操场手动拖拽分成三部分。
3.教师将问题发送给学生。
4.学生在平板上做出答案之后上传。
环节四：自主探究，导学新知活动一教学设计：1.由学生自主讨论确定公因式。
2.教师利用拖拽的形式引导学生分析这个公因式的构成特征。
3.总结归纳公因式的构成特点。
4. 教师将题目发送到学生平板上，让学生自主完成教师点评。
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第四章因式分解2．2公因式为多项式的提公因式法学习目标：（1）经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式；（2）会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）；（3）进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式。
教学难点：整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理。
教学过程：“数与代数”是数学教育的重要组成部分，它可以帮助我们从数量关系的角度更准确更清晰地认识、描述和把握现实世界和解决现实世界的问题，是我们每个人应该具备的数学素养。
因式分解是“数与代数”其中重要的一部分，对以后的数学学习起着深远的影响。
第一环节：复习旧知上节课我们学习了提公因式法因式分解。
请同学们回忆一下，一、确定公因式的方法：“三定”，定系数、定字母、定指数。
二、提公因式法因式分解的步骤：1）找出公因式；2）提取公因式。
老师想了解同学们的知识掌握情况，现在来考考你们。
请找出下列各式的公因式。
()1ma mb-()24336m n m n nx y xy-++()323362520+()2y y老师将使用“随机抽人”的办法请同学回答问题。
当你看到你的名字就立刻站起来回答。
这几个多项式的公因式都是单项式。
那，公因式可以是多项式吗？本节课我们就一起来学习《公因式为多项式的提公因式法》。
（板书课题）第二环节：探索新知请同学们类比提单项式公因式的方法提出下列各式的公因式（逐个显示题目）。
()18(3)2(3)a x yb y x+++()3()()-+-a xb x-+-()222(1)(1)y x y x请学生回答。
在进行第3题的因式分解前，通过观察我们知道()()x y y x和互为相--反数，可以将()()变成-，成功提取公因式。
当我们遇到较复杂--y x x y的题目，如：223a x a a a x---，我们又该怎么办呢？6(2)2(2)我们有必要总结一下符号变换的规律。
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教案专用纸年 级 八年级 班 次 学习 内容 分析学 科 数学时 间课 题 4.2提公因式法（2）备课 寄语爱是最高的师德，研究学生是最大的课程。
真教育是心心相印的活动，唯独从心里发出来的，才能走到心的深处。
学情分析分析知识生成点及新旧知识的关联，预设学生学习困难上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．课标 要求会用提取公因式法进行因式分解．学习 内容 分析分析知识点在知识体系中的地位和作用；分析知识的应用价值；分析知识对学生的情感熏陶及能力、思维培养上的作用本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式。
学习目标符合课标、教材内容、学情；陈述具体、可测；体现过程与方法1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
重难点准确把握重点：用提公因式法把多项式分解因式 难点：探索多项式因式分解方法的过程。
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3. 拓展题：
把 (a ＋b－ c)(a － b＋ c) ＋(b － a＋c)(b － a－ c) 分解因式．
通过讨论，要让学生意识到如果采用提取公因式的方法，
必须先把所有括号内的多项式中字母 a 前面的符号都化为
正号，再进行观察比较可以找出公因式 (a －b＋ c) ．
实际练习，自主归
了解学生对符 号 纳提多项公因式的
类 尝试使用因式分解 公 的意义以及提公因 类 式法的定义进行几 因 个带括号的多项式 方 的分解
1. 填一填：
（ 1） 3+a=（ a+3）
（ 2） 1–x= （ x– 1）
（ 3）（ m– n） 2= （ n– m） 2
（ 4）– m2+2n2= （m2– 2n2）
2. 把下列各式因式分解：
（ 1） x（ a+b） +y（ a+b）（ 2） 3a（x– y）–（ x– y） （ 3） 6（ p+q） 2– 12（ q+p）（ 4） a（ m– 2）+b（ 2–m） （ 5） 2x（ y – x） 2+3（ x –y ）（ 6）mn（ m– n– m（ n–m） 2
共同回顾， 归纳总 结，加深认识
回顾本节所学内容
作业设置
4.2 习题 1 、 2 题
等级评价
教
（A/B/C/D ）
学
反
思
检查 签阅
第 周，应备 评价：
课时，
实备
时间：
课时，共
课时，
签查（盖章）：
3
2
（ 1）a（ x–y） +b（y– x）（ 2） 6（ m– n） – 12（ n– m）
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《提公因式法》教学设计一、教材分析：“因式分解”是“北师大版八年级数学（下）”第4章第2节内容。
本课是在学习了“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用。
本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。
提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
二、目标分析：知识与技能：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法：在教学过程中，体会类比的数学思想，逐步形成独立思考、主动探索的习惯。
情感态度、价值观：通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。
三、教学重难点：教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
四、学情分析：1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。
2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。
3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。
五、教法学法：教法：类比、探究式教学方法1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；2、设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。
学法：自主、合作、探索的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，以促进学生发展为目的。
六、过程设计：复习引入导入：1、(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果_____ 2、9和18的最小公倍是_______，最大公因数是_________.3.计算285985-1585⨯+⨯⨯ （通过复习回顾前面所学习过的知识，为本节课的学习打下基础，同时也能提升学生的 兴趣，激起学生的好奇心。
八年级数学下册 第四章 因式分解 2 提公因式法第2课时 公因式为多项式的因式分解课件(新版)北师
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式 ； 第三步： 将多项式化成两个因式乘积的形式.
做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+” 或“-”，使等式成立： （1）2-a = _-__(a-2); （2）y-x=__-_(x-y); （3）b+a =__+_(a+b); （4）(b-a)2=__+_(a-b)2; （5）-m-n=_-__(m+n);（6）-s2+t2=_-__(s2-t2).
解：原式 = a(a-b)3 + 2a2(a-b)2 - 2ab(a-b)2 = a(a-b)2 [(a-b) + 2a - 2b] = a(a-b)2(3a-3b) = 3a(a-b)3
4.已知 x、y 都是正整数，且x(x-y) - y(y-x)=12，
求 x、y. 解：∵x(x-y) - y(y-x) =12 ∴(x-y)(x+y) =12
解：（1）a(x - 3) + 2b(x - 3) = (x - 3)(a + 2b)；
（2）y(x + 1) + y2(x + 1)2 = y(x + 1) [1 + y(x + 1) ] = y(x + 1)(xy + y + 1).
例3 把下列各式因式分解： （1）a(x - y) + b(y - x); （2）6(m - n)2 - 12(n - m)2 .
解：a2b - ab2 + 4ab = ab(a-b+4). 将 a-b = 5，ab = 6代入计算， 则原式 = 6×(5+4)=54.
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4.2 提公因式法一、教学目标1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。
二、教学重难点教学重点:用提公因式法把多项式分解因式教学难点:探索多项式因式分解方法的过程三、教学时间：1课时四、教学过程（一）回顾旧知1.多项式的分解因式的概念：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式与整式乘法是互逆过程.3.分解因式要注意以下几点:①分解的对象必须是多项式.②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.（二）讲授新课1. 请找出下列各多项式中共同的因式？①ac+ bc ②3x 2 +x ③30 mb2 + 5nb ④3x+6⑤a2 b – 2ab2 + ab ⑥7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)2. 公因式的概念多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
3. 怎样确定多项式的公因式？系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母指数: 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂例: 找3x2y2– 6xy3的公因式分析：系数：最大公约数3字母：相同字母xy指数：最低次幂xy2所以，3x2y 2– 6xy3的公因式是3 xy2练习：说出下列各式的公因式①7x2 -21x ②8 a3b2–12ab3 + ab ③m b2 + n b④7x 3y 2–42x2y3⑤4a2b – 2ab2 + 6abc4.提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.pa+ pb +pc=p（a+b+c）例1：把9x2– 6xy+3xz 分解因式.分析：首先找出公因式：3x，然后用多项式中每一项除以公因式得提取后的另一个因式。
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第四章因式分解4.2提公因式法（第二课时）一、教材分析：本节课是北师大版八年级下册第四章第二节第二课时的内容，在此之前，学生学习了公因式是单项式的提公因式法，为本节课的学习起到了铺垫作用，本节课将进一步学习公因式是多项式的提公因式法，又为后面学习分式的运算奠定了基础，它在整个教材中起着承上启下的作用。
二、学情分析：学生已经初步学会了提取单项式公因式的基本方法，了解了提公因式法的基本步骤，为本节课深入学习奠定了基础，本节课继续采用观察、对比等方法，学生已经积累了一定的活动经验。
三、教学目标：1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。
2．掌握公因式为多项式的因式分解。
3．渗透类比、整体、化归思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。
四、教学重点与难点：重点：公因式为多项式的因式分解。
难点：准确找出公因式，注意各种变形及符号问题，并能正确进行因式分解。
五、课前准备：多媒体课件。
六、教学过程：一、创设情境，复习引入通过希沃白中的课堂活动，让两名同学进行判断比赛，复习上节课所学知识。
（活动结束后教师进行讲评，分析错题的原因）师：上面这些多项式分解结果都是一个单项式与一个多项式积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是这样的结果呢？本节课我们就来解开这个谜底板书课题——提公因式法设计意图：通过比赛活动既调动了学生学习的积极性，又复习了旧知。
从而引出课题。
复习有关提公因式法的基本方法与步骤，引导学生通过类比将提取“公因式为单项式”的方法与步骤推广应用于提取“公因式为多项式”，符合学生的认知规律.二、例题解析，深化提高1、找出下来各式的公因式（1）a(x-3)+2b(x-3) （2）y(x+1)+y2(x+1)2学生通过观察自主完成探究一：把下列各式因式分解（1）a(x-3)+2b(x-3) （2）y(x+1)+y2(x+1)2教师引导学生小组讨论，类比公因式为单项式的多项式因式分解方法，分析如何对其进行因式分解，学生代表板演，最后教师讲评。
新北师大版八年级数学下册《四章 因式分解 2. 提公因式法 公因式为多项式的提公司因式法》教案_9
第四章因式分解4.2.2 因式分解教学目标：1.进一步理解公因式的意义，公因式可以是单项式，还可以是多项式。
2.进一步掌握公因式是多项式的因式分解．3.渗透类比、化归思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。
重点：公因式为多项式的因式分解。
难点：准确找出公因式，并能正确进行因式分解。
教学策略和教学用具：自主学习和小组合作，PPT课件教学过程：一、知识回顾1、一个多项式中各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式．2、找公因式的关键是看、、。
3、把下列各式因式分解：（1）3x-4x2；（2）10a-5b；【处理方式】展示PPT，问题1、2、3请5号或者6号同学思考后回答。
【师】我们找到的公因式“x ”、“5”，他们都是？也就是说，公因式可以是单项式，那可以是多项式吗？二、探究：1、下列各式中的公因式是什么？（1）a(x+y)+b(x+y)（2）x(a+3)-y(a+3)（3）6m(p-3)+5n(p-3)（4）x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)【处理方式】请5号同学回答。
【师】所以，我们可以总结出，“公因式可以是单项式，也可以是多项式”2、【探究一】例1 小组讨论2分钟，在横线上填“＋”或“－”号，并总结规律。
（1）2+a＝____(a+2)；（2）b＋a＝____(a＋b)；（3）x+2y3= （2y3+x）【处理方式】先请6号同学回答，横线上所填的正负号，然后小组讨论，并提问5号同学回答所总结的规律。
【师】黑板上板演学生总结的规律。
例1 小组讨论2分钟，在横线上填“＋”或“－”号，并总结规律。
（1）－2－x＝____(2＋x)；（2）－y－x＝___(y＋x)；（3）－5b－a2＝____(5b＋a2)；【处理方式】先请5号同学回答，横线上所填的正负号，然后小组讨论，并提问4号同学回答所总结的规律。
【师】黑板上板演学生总结的规律。
例1 小组讨论2分钟，在横线上填“＋”或“－”号，并总结规律。
新北师大版八年级数学下册《四章因式分解2.提公因式法公因式为多项式的提公司因式法》教案_4
课题: 4.2 提公因式法【教学目标】1.了解公因式的含义，会确定一个多项式的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
【学习重难点】重点：能准确找出公因式，并把公因式提出来。
难点：用提公因式的方法因式分解。
【课前准备】PPT课件、导学稿【教学过程】一、温故知新1.计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3 你是怎样做的？2.根据上面的方法，你能完成下面的填空吗？ab＋ac＋ad=_____·（____+_____+______ ）二、合作探究展示点评1.想一想：多项式ab+bc各项都含有相同的因式是_______，多项式32x+x各项都含有相同的因式是_______，多项式2mb+nb-b各项都含有相同的因式是________。
公因式的定义：多项式ma+mb+mc的各项都含有一个相同的因式_______，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
例如：m就是多项式ma+mb+mc各项的公因式。
2.议一议：多项式22x+63x中各项的公因式是什么？定系数：22x和63x的系数分别是____和______，它们的最大公因数是____，它是公因式的系数；定字母：22x和63x含有的相同字母是_________；定指数：相同字母的最低次数是_______次；公因式的系数和公因式的字母部分的积是这个多项式的公因式，所以多项式22x+63x中各项的公因式是_______________。
归纳总结：多项式各项的公因式的构成：①系数：找出多项式中各项系数的_______________作为公因式的系数；②字母：找出多项式中各项都含有的字母；③指数：找出相同字母指数的_______次数。
3.练一练：找出下列多项式各项的公因式。
（1）8a3b2＋12a2的公因式是.（2）7x3y2－42x2y3的公因式是.（3）4a2b– 2ab2 + 6abc的公因式是.4.试一试：将多项式22x+63x因式分解。
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第四章因式分解2．提公因式法（二）一、学生知识状况分析学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：1.会用提取公因式法进行因式分解．数学能力：2.由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．3.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．4.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．情感与态度：通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．三、教学目标1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
四、教学重难点 教学重点:用提公因式法把多项式分解因式教学难点:探索多项式因式分解方法的过程五、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：回顾与思考——例题讲解——做一做——例题讲解——反馈练习——问题解决——小结思考．第一环节 回顾与思考：复习提公因式法及注意事项活动内容：把下列各式因式分解：把下列各式分解因式： (1) xy xy 282+ (2)ab b a 52-+9a (3) mb mb mb 126323-+- (4) x x x 84223-+-活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。
北师大版八年级数学下册第四章4.2提公因式法第2课公因式为多项式的因式分解(教案)
3.培养学生的抽象概括能力：让学生从具体的数学实例中抽象出一般性规律，学会用提公因式法进行因式分解，提高抽象概括能力。
4.培养学生的数学运算能力：通过大量的例题和练习，使学生熟练掌握公因式为多项式的因式分解方法，增强数学运算技巧和准确性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解公因式的基本概念。公因式是指在多个项中共同拥有的因式。它是因式分解的关键，可以帮助我们简化问题，快速求解。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何提取公因式进行因式分解，以及它在解题中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调识别公因式和运用提公因式法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤解析来帮助大家理解。
首先，我发现有些学生在提取公因式时，容易忽略常数项的公因式，这说明他们在观察多项式时不够仔细。在以后的教学中，我需要更加注重培养学生的观察能力，让他们学会从整体和局部去审视问题。
其次，对于提公因式法的应用，部分学生在面对稍复杂的题目时，仍然显得有些手忙脚乱。这可能是因为他们对这一方法的掌握不够熟练。因此，我打算在接下来的课程中，增加一些有针对性的练习，让学生们在实践中不断提高。
北师大版八年级数学下册第四章4.2提公因式法第2课公因式为多项式的因式分解（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章4.2节，本节课我们将学习公因式为多项式的因式分解。内容包括：
1.理解并掌握公因式的概念。
2.学会使用提公因式法进行因式分解。
3.能够解决实际问题中涉及公因式为多项式的因式分解问题。
5.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和课堂互动中，鼓励学生积极参与，分享解题思路，提高合作交流能力。
新北师大版八年级数学下册《四章 因式分解 2. 提公因式法 公因式为多项式的提公司因式法》课件_4
__b____.
多项式 3x2 x 各项都含有相同的因式是
___x___.
多项式 mb2 nb b 各项都含有相同的因式是 ___b___.
公因式
多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式。
例如：多项式 ma mb mc 的各项都含 有相同的因式m， m就是多项式 ma mb mc
（互逆变形）
提公因式法因式分解
单项式乘多项式
课堂小结
本节课我们学了哪些知识？
找准公因式，一次要提净； 若搬全家走，留1把Байду номын сангаас守.
作业布置
习题4.2 第1、2题.
学习目标
1.了解公因式的含义，会确 定一个多项式的公因式。
2.会用提公因式法把多项式 因式分解。
温故知新
1.计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3 你是怎样做的？ 2.根据上面的方法，你能完成下面的填空吗？
ab＋ac＋ad=___a__·（__b__+__c___+__d__）
想一想
各项的公因式。
议一议
多项式 2x2 6x3 中各项的公因式是什么？
2x2 6x3
2x2
2x2
练一练
找出下列多项式各项的公因式.
8a3b2 12a2 4a2
7x3 y2 42 x2 y3 7x2 y2
4a2b 2ab2 6abc 2ab
试一试
将多项式 2x2 6x3 因式分解.
归纳总结： 如果一个多项式的各项含有_公__因__式____,
那么就可以把这个公因式提出来，从而将 多项式化成两个因式乘积的形式，这种因 式分解的方法叫做_提__公___因__式__法__。
北师大版八年级数学下册《四章 因式分解 2. 提公因式法 公因式为多项式的提公司因式法》公开课课件_8
例3、把下列各式分解因式
(1)a(x y) b( y x); 解：(1)a((xx y) b((yy xx))
a(x y) bb((xxyy))
(x y)(a b)
公因式是多项式时，要注意符号。
例3、把下列各式分解因式
(6) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)
提高训练
不解方程组 2x+y=6
x-3y=1
求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.
课堂小结
1.如何确定多项式各项的公因式, (公因式为多项式)
2.会用提公因式法分解因式.
例3、把下列各式分解因式
(1)a(x y) b( y x);
(2)6(m n)3 12(n m)2;
请在下列各式等号右边填入“+” 或“-”号,使等式成立. (1) 2-a= － (a-2) (2) y-x= － (x-y)
(3) b+a= ＋ (a+b) (4) (b-a)2= ＋ (a-b)2
即 最__低__次__幂___.
想一想：提公因式法分解因式与
单项式乘多项式有什么关系？
把下列各式分解因式：
8mn2 2mn 2mn4n 1
a2b 5ab 9b ba2 5b 9
3ma3 6ma2 12ma 3mna2 2a 4
2x3 4x2 8x 2xx2 2x 4
(2)6(m n)3 12(n m)2;
6(m n)3 1122((mmnn)2)2
6(m n)2[(m n) 2]
6(m n)2 (m n 2)
北师大版八年级数学下册《四章 因式分解 2. 提公因式法 公因式为多项式的提公司因式法》公开课课件_7
当堂检测
1、把下列各式因式分解：
布置作业
课本96页习题4.2 第1题
8 88
解：
5 15- 5 9 5 2 8 88
5 15 - 9 2
8
58 5
8
你是用什么方法计算的？这个式子的 各项有相同的因数吗？
学习目标
1.经历探索认识多项式各项公因式的过 程，并在具体问题中能确定多项式各 项的公因式
2.会用提公因式（单项式）法进行因式 分解.
自主学习
预习课本95-96页内容，回答以下问题.
1、多项式 ab+bc各项都含有相同的 因式吗？多项式 3x2+x呢？多项式 mb2+nb-b呢？尝试将这几个多项式 分别写成几个因式的乘积，并与同
伴交流. ab+bc各项的相同因式为b 3x2+x各项的相同因式为x mb2+nb-b各项的相同因式为b
随堂练习
把下列各式因式分解：
(1)ma mb
(2)5 y3 20 y2
(3)6x 9xy
(4)a2b 5ab
(5)4m3 6m2
(6)a2b 5ab 9b
(7) a2 ab ac (8) 2x3 4x2 6x
归纳提升
1、公因式：多项式中各项都含有的相 同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式可以是代数式中的数、单项式、 多项式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各 项含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 提公因式法。
2、你能尝试将多项式2x2+6x3因 式分解吗？与同伴交流。
解：
2 x2+6 x3
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课题: 4.2 提公因式法
【教学目标】
1.了解公因式的含义，会确定一个多项式的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
【学习重难点】
重点：能准确找出公因式，并把公因式提出来。
难点：用提公因式的方法因式分解。
【课前准备】
PPT课件、导学稿
【教学过程】
一、温故知新
1.计算：375×
2.8+375×4.9+375×2.3 你是怎样做的？
2.根据上面的方法，你能完成下面的填空吗？
ab＋ac＋ad=_____·（____+_____+______ ）
二、合作探究展示点评
1.想一想：多项式ab+bc各项都含有相同的因式是_______，多项式32x+x各项都含有相同的因式是
_______，多项式2
mb+nb-b各项都含有相同的因式是________。
公因式的定义：
多项式ma+mb+mc的各项都含有一个相同的因式_______，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
例如：m就是多项式ma+mb+mc各项的公因式。
2.议一议：多项式22x+63x中各项的公因式是什么？
定系数：22x和63x的系数分别是____和______，它们的最大公因数是____，它是公因式的系数；
定字母：22x和63x含有的相同字母是_________；
定指数：相同字母的最低次数是_______次；
公因式的系数和公因式的字母部分的积是这个多项式的公因式，所以多项式22x+63x中各项的公因式是_______________。
归纳总结：
多项式各项的公因式的构成：①系数：找出多项式中各项系数的_______________作为公因式的系数；
②字母：找出多项式中各项都含有的字母；③指数：找出相同字母指数的_______次数。
3.练一练：找出下列多项式各项的公因式。
（1）8a3b2＋12a2的公因式是.
（2）7x3y2－42x2y3的公因式是.
（3）4a2b– 2ab2 + 6abc的公因式是.
4.试一试：将多项式22x+63x因式分解。
解：原式=22x·____+ 22x·_____= ______(______+______)
归纳总结：
如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做。
例1 把下列各式因式分解：
（1）3x+x3 (2) 7x2-21x ( 3 ) 8a3b2-12ab3c+ab(4) －24x3+12x2－28x
5.想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
提公因式法因式分解单项式乘多项式
三、巩固练习
课本96页随堂练习
(完成在导学稿上)
四、课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？
五、作业布置
习题4.2 第1、2题
六、板书设计
（）。