泰安市中考数学试卷及答案word解析版
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2021 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题〔本大题共20 小题，每题 3 分，共 60 分〕1．以下四个数：﹣ 3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是〔〕A．﹣πB．﹣ 3 C．﹣ 1 D．﹣2．以下运算正确的选项是〔〕A．a2?a2=2a2B． a2+a2=a4C．〔1+2a〕2=1+2a+4a2D．〔﹣ a+1〕〔a+1〕=1﹣a23．以以下图案其中，中心对称图形是〔〕A．①②B．②③C．②④D．③④4．“ 2021年至 2021 年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总数高出 3 万亿美元〞，将数据 3 万亿美元用科学记数法表示为〔〕A．3×1014美元 B． 3× 1013美元 C． 3× 1012美元 D．3×1011美元5．化简〔 1﹣〕÷〔 1﹣〕的结果为〔〕A．B．C．D．6．下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是〔〕A．1B．2C．3D．4．一元二次方程2﹣6x﹣6=0 配方后化为〔〕7xA．〔x﹣3〕2=15 B．〔x﹣3〕2=3 C．〔x+3〕2=15 D．〔 x+3〕2=38．袋内装有标号分别为1，2，3，4 的 4 个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，那么组成的两位数是 3 的倍数的概率为〔〕A．B．C．D．9．不等式组的解集为x＜2，那么k的取值范围为〔〕A．k＞1B．k＜1C．k≥1 D．k≤ 110．某衣饰店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+ 10=C．﹣10=D．+ 10=11．为认识中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取局部学生进行了一次中考体育科目测试〔把测试结果分为A，B，C，D 四个等级〕，并将测试结果绘制成了以以下图的两幅不完满统计图，依照统计图中供应的信息，结论错误的选项是〔〕A．本次抽样测试的学生人数是40B．在图 1 中，∠α的度数是 126°C．该校九年级有学生500 名，估计 D 级的人数为 80D．从被测学生中随机抽取一位，那么这位学生的成绩是 A 级的概率为12．如图，△ ABC内接于⊙ O，假设∠ A=α，那么∠ OBC等于〔〕A．180°﹣2αB． 2α C．90°+αD．90°﹣α13．一次函数 y=kx﹣ m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴订交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，那么以下结论正确的选项是〔〕A．k＜2，m＞ 0 B． k＜2，m＜ 0 C． k＞ 2， m＞0 D．k＜0，m＜014．如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E．假设 AB=12，BM=5，那么 DE 的长为〔〕A．18B．C．D．15．二次函数y=ax2+bx+c 的 y 与x 的局部对应值以下表：x﹣ 1013y﹣ 3131以下结论：①抛物线的张口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜ 1 时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0 有一个根大于4，其中正确的结论有〔〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个16．某班学生积极参加献爱心活动，该班50 名学生的捐款统计情况以下表：金额 /元5102050100人数4161596那么他们捐款金额的中位数和平均数分别是〔〕A．10，B． 20，C． 10，D．20，17．如图，圆内接四边形 ABCD的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，假设∠ ABC=55°，那么∠ ACD等于〔〕A．20°B．35°C． 40°D．55°18．如图，在正方形网格中，线段 A′ B是′线段 AB绕某点逆时针旋转角α获取的，点 A′与 A 对α〕应，那么角的大小为〔A．30°B．60°C． 90°D．120°19．如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E 是边 CD上一点，且 BC=EC，CF⊥BE交 AB 于点 F，P 是 EB延长线上一点，以下结论：①BE均分∠ CBF；② CF均分∠ DCB；③ BC=FB；④ PF=PC，其中正确结论的个数为〔〕A．1B．2C．3D．420．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB向点 B 以 2cm/s 的速度运动〔点 Q 运动到点 B 停止〕，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为〔〕A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕21．分式与的和为 4，那么 x 的值为．．关于x 的一元二次方程x2+〔2k﹣ 1〕x+〔 k2﹣1〕=0 无实数根，那么 k 的取值范围为．2223．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为 150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为．24．如图，∠ BAC=30°，M 为 AC上一点， AM=2，点 P 是 AB 上的一动点， PQ⊥ AC，垂足为点Q，那么 PM+PQ 的最小值为．三、解答题〔本大题共 5 小题，共 48 分〕25．如图，在平面直角坐标系中， Rt△AOB的斜边 OA 在 x 轴的正半轴上，∠ OBA=90°，且 tan ∠ AOB= ，OB=2 ，反比率函数 y= 的图象经过点 B．（1〕求反比率函数的表达式；（2〕假设△ AMB 与△ AOB关于直线 AB 对称，一次函数 y=mx+n 的图象过点 M 、A，求一次函数的表达式．26．某水果商从批发市场用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多 20 元，大樱桃售价为每千克 40 元，小樱桃售价为每千克 16 元．（1〕大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2〕该水果商第二次仍用 8000 元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃耗费了 20%．假设小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱很多于第一次所赚钱的 90%，大樱桃的售价最少应为多少？27．如图，四边形ABCD中， AB=AC=AD，AC 均分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且PD⊥AD．（1〕证明：∠ BDC=∠PDC；（2〕假设 AC 与 BD 订交于点 E，AB=1，CE： CP=2：3，求 AE 的长．．如图，是将抛物线2平移后获取的抛物线，其对称轴为x=1，与 x 轴的一个交点为 A 28y=﹣ x〔﹣ 1，0〕，另一个交点为B，与 y 轴的交点为 C．（1〕求抛物线的函数表达式；（2〕假设点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥ NC，求点 N 的坐标；（3〕点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= x+ 的图象上一点，假设四边形 OAPQ为平行四边形，这样的点 P、Q 可否存在？假设存在，分别求出点 P，Q 的坐标；假设不存在，说明原由．29．如图，四边形ABCD是平行四边形， AD=AC， AD⊥ AC，E 是 AB 的中点， F 是 AC延长线上一点．（1〕假设 ED⊥EF，求证： ED=EF；（2〕在〔 1〕的条件下，假设 DC 的延长线与 FB 交于点 P，试判断四边形 ACPE可否为平行四边形？并证明你的结论〔请先补全图形，再解答〕；〔 3〕假设 ED=EF，ED 与 EF垂直吗？假设垂直给出证明．2021 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题〔本大题共20 小题，每题 3 分，共 60 分〕1．以下四个数：﹣ 3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是〔〕A．﹣πB．﹣ 3 C．﹣ 1 D．﹣【考点】 2A：实数大小比较．【解析】将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵﹣ 1＞﹣＞﹣ 3＞﹣π，∴最小的数为﹣π，应选 A．2．以下运算正确的选项是〔〕2 22 2 a2422D．〔﹣ a 12A．a ?a =2a B． a + =a C．〔1 2a〕=1 2a 4a〕〔 a 1〕 =1﹣a++ +++【考点】 4F：平方差公式； 35：合并同类项； 46：同底数幂的乘法； 4C：完满平方公式．【解析】依照整式的乘法、加法法那么及完满平方公式和平方差公式逐一计算可得．【解答】解： A、a2?a2=a4，此选项错误；B、a2?a2=2a2，此选项错误；C、〔1+2a〕2=1+4a+4a2，此选项错误；D、〔﹣ a+1〕〔a+1〕=1﹣a2，此选项正确；应选： D．3．以以下图案其中，中心对称图形是〔〕 A．①②B．②③C．②④D．③④【考点】 R5：中心对称图形．【解析】依照中心对称图形的看法求解．【解答】解：①不是中心对称图形；②不是中心对称图形；③是中心对称图形；④是中心对称图形．应选：D．4．“ 2021年至 2021 年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总数高出 3 万亿美元〞，将数据 3 万亿美元用科学记数法表示为〔〕A．3×1014美元 B． 3× 1013美元 C． 3× 1012美元 D．3×1011美元【考点】 1I：科学记数法—表示较大的数．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤ | a| ＜10， n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点搬动了多少位，n 的绝对值与小数点搬动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．【解答】解： 3 万亿 =3 0000 0000 0000=3× 1012，应选： C．5．化简〔 1﹣〕÷〔1﹣〕的结果为〔〕A．B．C．D．【考点】 6C：分式的混杂运算．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可获取结果．【解答】解：原式=÷=?=，应选A6．下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是〔〕A．1B．2C．3D．4【考点】 U1：简单几何体的三视图．【解析】依照俯视图是分别从物体上面看，所获取的图形进行解答即可．【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，应选：B．．一元二次方程2﹣6x﹣6=0 配方后化为〔〕7xA．〔x﹣3〕2=15 B．〔x﹣3〕2=3 C．〔x+3〕2=15 D．〔 x+3〕2=3【考点】 A6：解一元二次方程﹣配方法．【解析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得： x2﹣6x=6，配方得： x2﹣ 6x+9=15，即〔 x﹣3〕2=15，应选 A 8．袋内装有标号分别为1，2，3，4 的 4 个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，那么组成的两位数是 3 的倍数的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】 X6：列表法与树状图法．【解析】画树状图显现所有16 种等可能的结果数，再找出所成的两位数是 3 的倍数的结果数，尔后依照概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中所成的两位数是 3 的倍数的结果数为5，所以成的两位数是 3 的倍数的概率 = ．应选 B．9．不等式组的解集为x＜2，那么k的取值范围为〔〕A．k＞1B．k＜1C．k≥1 D．k≤ 1【考点】 CB：解一元一次不等式组．【解析】求出每个不等式的解集，依照得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组，得∵不等式组的解集为 x＜2，∴ k+1≥2，解得 k≥1．应选： C．10．某衣饰店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，那么所列方程为〔〕A．﹣10=B．+ 10=C．﹣10=D．+ 10=【考点】 B6：由实责问题抽象出分式方程．【解析】依照题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【解答】解：设第一批购进x 件衬衫，那么所列方程为：+10=．应选： B．11．为认识中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取局部学生进行了一次中考体育科目测试〔把测试结果分为A，B，C，D 四个等级〕，并将测试结果绘制成了以以下图的两幅不完满统计图，依照统计图中供应的信息，结论错误的选项是〔〕A．本次抽样测试的学生人数是 40 B．在图 1 中，∠α的度数是 126°C．该校九年级有学生 500 名，估计 D 级的人数为 80D．从被测学生中随机抽取一位，那么这位学生的成绩是 A 级的概率为【考点】 X4：概率公式； V5：用样本估计整体； VB：扇形统计图； VC：条形统计图．【解析】利用扇形统计图以及条形统计图分别解析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计整体即可．【解答】解： A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40〔人〕，正确，不合题意；B、∵×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；C、该校九年级有学生500 名，估计 D 级的人数为：500×=100〔人〕，故此选项错误，吻合题意；D、从被测学生中随机抽取一位，那么这位学生的成绩A 级的概率为：，正确，不合是题意；应选： C．12．如图，△ABC内接于⊙ O，假设∠ A=α，那么∠ OBC等〕于〔A．180°﹣2αB． 2α C．90°+αD．90°﹣α【考点】 M5：圆周角定理．【解析】第一连接 OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠ OBC的度数．【解答】解：∵连接 OC，∵△ ABC内接于⊙ O，∠ A=α，∴∠ BOC=2∠A=2α，∵ OB=OC，∴∠ OBC=∠ OCB==90°﹣α．应选 D．13．一次函数 y=kx﹣ m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴订交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，那么以下结论正确的选项是〔〕A．k＜2，m＞ 0 B． k＜2，m＜ 0 C． k＞ 2， m＞0 D．k＜0，m＜0【考点】 F5：一次函数的性质．【解析】由一次函数y=kx﹣ m﹣2x 的图象与y 轴的负半轴订交且函数值y 随自变量x 的增大而减小，可得出 k﹣2＜0、﹣ m＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数 y=kx﹣ m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴订交，且函数值y 随自变量 x 的增大而减小，∴ k﹣2＜0，﹣ m＜0，∴ k＜2，m＞ 0．应选 A．14．如图，正方形 ABCD中，M 为 BC上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E．假设 AB=12，DE 的长为〔〕BM=5，那么A．18B．C．D．【考点】 S9：相似三角形的判断与性质；KQ：勾股定理； LE：正方形的性质．【解析】先依照题意得出△ ABM∽△ MCG，故可得出 CG的长，再求出DG 的长，依照△ MCG∽△ EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形， AB=12，BM=5，∴MC=12﹣ 5=7．∵ME⊥ AM，∴∠ AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠ AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ ABM∽△ MCG，∴=，即=，解得CG=，∴ DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠ E=CMG，∠ EDG=∠ C，∴△ MCG∽△ EDG，∴=，即=，解得DE=．应选 B．15．二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的局部对应值以下表：x﹣ 1013y﹣ 3131以下结论：①抛物线的张口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当 x＜ 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；④方程 ax2+bx+c=0 有一个根大于 4，其中正确的结论有〔〕A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】 HA：抛物线与 x 轴的交点； H3：二次函数的性质．【解析】依照二次函数的图象拥有对称性和表格中的数据，可以获取对称轴为x==，再由图象中的数据可以获适当x= 获取最大值，进而可以获取函数的张口向下以及获取函数当x ＜时， y 随 x 的增大而增大，当 x＞时， y 随 x 的增大而减小，尔后跟距x=0 时， y=1，x=﹣1 时， y=﹣3，可以获取方程 ax2+bx+c=0 的两个根所在的大体地址，进而可以解答此题．【解答】解：由表格可知，二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值，当 x==时，获取最大值，∴抛物线的张口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当 x＜时， y 随x 的增大而增大，故③正确，方程ax2 +bx+c=0 的一个根大于﹣1，小于0，那么方程的另一个根大于=3，小于 3+1=4，故④错误，应选 B．16．某班学生积极参加献爱心活动，该班50 名学生的捐款统计情况以下表：金额 /元5102050100人数4161596那么他们捐款金额的中位数和平均数分别是〔〕A．10，B． 20，C． 10，D．20，【考点】 W4：中位数； VA：统计表； W2：加权平均数．【解析】依照中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；依照平均数公式求出平均数即可．【解答】解：共有 50 个数，∴中位数是第 25、26 个数的平均数，∴中位数是〔 20+20〕÷ 2=20；平均数=〔5×4 10×16 20× 15 50×9 100× 6〕；++++应选： D．17．如图，圆内接四边形 ABCD的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，假设∠ ABC=55°，那么∠ ACD等于〔〕A．20°B．35°C． 40°D．55°【考点】 MC：切线的性质； M6：圆内接四边形的性质．【解析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ ABC=125°，由圆周角定理求出∠ ACB=90°，得出∠ BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠ AMC=35°，即可求出∠ ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边 AB 过圆心 O，∴∠ ADC+∠ABC=180°，∠ ACB=90°，∴∠ ADC=180°﹣∠ ABC=125°，∠ BAC=90°﹣∠ ABC=35°，∵过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点M ，∴∠ MCA=∠ ABC=55°，∠ AMC=90°，∵∠ ADC=∠AMC+∠ DCM，∴∠ DCM=∠ ADC﹣∠ AMC=35°，∴∠ ACD=∠MCA﹣∠ DCM=55°﹣ 35°=20°；应选： A．18．如图，在正方形网格中，线段 A′ B是′线段 AB绕某点逆时针旋转角α获取的，点 A′与 A 对应，那么角α〕的大小为〔A．30°B．60°C． 90°D．120°【考点】 R2：旋转的性质．【解析】依照题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，应选 C．19．如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E 是边 CD上一点，且 BC=EC，CF⊥BE交 AB 于点 F，P 是 EB延长线上一点，以下结论：①BE均分∠ CBF；② CF均分∠ DCB；③ BC=FB；④ PF=PC，其中正确结论的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4【考点】 LA：菱形的判断与性质； KG：线段垂直均分线的性质；L5：平行四边形的性质．【解析】分别利用平行线的性质结合线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵ BC=EC，∴∠ CEB=∠CBE，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠ CBE=∠EBF，∴① BE均分∠ CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ ECF=∠BCF，∴② CF均分∠ DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵ FB=BC，CF⊥BE，∴B 点必然在 FC的垂直均分线上，即 PB 垂直均分 FC，∴PF=PC，故④正确．应选： D．20．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB向点 B 以 2cm/s 的速度运动〔点 Q 运动到点 B 停止〕，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为〔〕A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】 H7：二次函数的最值．【解析】在 Rt△ ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为 t〔0≤t≤ 4〕，那么 PC=〔6﹣t〕cm，CQ=2tcm，利用切割图形求面积法可得出 S四边形PABQ=t2﹣ 6t+24，利用配方法即可求出四边形 PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在 Rt△ABC中，∠ C=90°，AB=10cm， BC=8cm，∴ AC==6cm．设运动时间为 t〔0≤t ≤4〕，那么 PC=〔 6﹣ t〕cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ= AC?BC﹣ PC?CQ= ×6×8﹣〔6﹣t 〕× 2t=t2﹣ 6t+24=〔t ﹣3〕2+15，∴当 t=3 时，四边形 PABQ的面积取最小值，最小值为15．应选 C．二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕21．分式与的和为4，那么x的值为3．【考点】 B3：解分式方程．【解析】第一依照分式与的和为4，可得：求出 x 的值为多少即可．【解答】解：∵分式与的和为4，+=4，尔后依照解分式方程的方法，∴+=4，去分母，可得： 7﹣ x=4x﹣8解得： x=3经检验 x=3 是原方程的解，∴x 的值为3．故答案为：3．．关于x 的一元二次方程x2+〔 2k﹣1〕x+〔k2﹣1〕=0 无实数根，那么 k 的取值范围为k＞．22【考点】 AA：根的鉴识式．【解析】依照鉴识式的意义获取△ =〔2k﹣ 1〕2﹣4〔k2﹣ 1〕＜ 0，尔后解不等式即可．【解答】解：依照题意得△ =〔2k﹣ 1〕2﹣4〔k2﹣ 1〕＜ 0，解得 k＞．故答案为 k＞．23．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为 150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为2cm．【考点】 MP：圆锥的计算．【解析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，那么 2πr=，解得： r=10，故这个圆锥的高为：=2〔 cm〕．故答案为：2〔cm〕．24．如图，∠ BAC=30°，M 为 AC上一点， AM=2，点 P 是 AB 上的一动点， PQ⊥ AC，垂足为点Q，那么 PM+PQ 的最小值为．【考点】 PA：轴对称﹣最短路线问题．【解析】此题作点 M 关于 AB 的对称点 N，依照轴对称性找出点P 的地址，如图，依照三角函数求出 MN，∠ N，再依照三角函数求出结论．【解答】解：作点 M 关于 AB的对称点 N，过 N 作 NQ⊥ AC于 Q 交 AB 于 P，那么 NQ 的长即为 PM+PQ的最小值，连接 MN 交 AB 于 D，那么 MD⊥ AB，DM=DN，∵∠ NPB=∠APQ，∴∠ N=∠ BAC=30°，∵∠ BAC=30°，AM=2，∴MD= AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN?cos∠ N=2× = ，故答案为：．三、解答题〔本大题共 5 小题，共 48 分〕25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边 OA 在 x 轴的正半轴上，∠ OBA=90°，且 tan∠ AOB= ，OB=2，反比率函数y=的图象经过点B．（1〕求反比率函数的表达式；（2〕假设△ AMB 与△ AOB关于直线 AB 对称，一次函数 y=mx+n 的图象过点 M 、A，求一次函数的表达式．【考点】 G6：反比率函数图象上点的坐标特色；F8：一次函数图象上点的坐标特色；T7：解直角三角形．【解析】〔1〕过点 B 作 BD⊥OA 于点 D，设 BD=a，经过解直角△ OBD获取 OD=2BD．尔后利用勾股定理列出关于 a 的方程并解答即可；（2〕欲求直线 AM 的表达式，只需推知点 A、M 的坐标即可．经过解直角△ AOB 求得 OA=5，那么 A〔5，0〕．依照对称的性质获取： OM=2OB，结合 B〔4，2〕求得 M〔8，4〕．尔后由待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：〔1〕过点 B 作 BD⊥OA 于点 D，设 BD=a，∵ tan∠AOB= = ，∴OD=2BD．∵∠ ODB=90°，OB=2，∴a2+〔 2a〕2=〔 2 〕2，解得 a=±2〔舍去﹣ 2〕，∴a=2．∴OD=4，∴B〔4，2〕，∴k=4×2=8，∴反比率函数表达式为： y= ；（2〕∵ tan∠AOB= ，OB=2 ，∴ AB= OB= ，∴ OA===5，∴A〔5，0〕．又△ AMB 与△ AOB关于直线 AB 对称， B〔4，2〕，∴OM=2OB，∴M〔8，4〕．把点 M 、 A 的坐标分别代入y=mx+n，得，解得，故一次函数表达式为：y= x﹣．26．某水果商从批发市场用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多 20 元，大樱桃售价为每千克 40 元，小樱桃售价为每千克 16 元．（1〕大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2〕该水果商第二次仍用 8000 元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃耗费了 20%．假设小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱很多于第一次所赚钱的 90%，大樱桃的售价最少应为多少？【考点】 C9：一元一次不等式的应用； 9A：二元一次方程组的应用．【解析】〔1〕依照用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20 元，分别得出等式求出答案；〔 2〕依照要想让第二次赚的钱很多于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：〔1〕设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元，依照题意可得：，解得：，小樱桃的进价为每千克10 元，大樱桃的进价为每千克30 元，200× [ 〔 40﹣30〕+〔16﹣ 10〕] =3200〔元〕，∴销售完后，该水果商共赚了3200 元；（2〕设大樱桃的售价为 a 元 / 千克，（1﹣ 20%〕× 200×16+200a﹣ 8000≥ 3200× 90%，解得： a≥，答：大樱桃的售价最少应为41.6 元/ 千克．27．如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD，AC 均分∠ BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且PD⊥ AD．（1〕证明：∠ BDC=∠PDC；（2〕假设 AC 与 BD 订交于点 E，AB=1，CE： CP=2：3，求 AE 的长．【考点】 S9：相似三角形的判断与性质．【解析】〔1〕直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；〔 2〕第一过点 C 作 CM⊥PD 于点 M ，进而得出△ CPM∽△ APD，求出 EC的长即可得出答案．【解答】〔1〕证明：∵ AB=AD， AC均分∠ BAD，∴AC⊥BD，∴∠ ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ ACD=∠ADC，∴∠ ADC+∠BDC=90°，∴∠ BDC=∠PDC；（2〕解：过点 C 作 CM⊥PD 于点 M ，∵∠ BDC=∠PDC，∴ CE=CM，∵∠ CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△ CPM∽△ APD，∴ = ，设 CM=CE=x，∵ CE：CP=2：3，∴ PC= x，∵ AB=AD=AC=1，∴=，解得： x=，故 AE=1﹣=．28．如图，是将抛物线y=﹣ x2平移后获取的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A 〔﹣ 1，0〕，另一个交点为B，与 y 轴的交点为 C．（1〕求抛物线的函数表达式；（2〕假设点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥ NC，求点 N 的坐标；（3〕点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= x+ 的图象上一点，假设四边形 OAPQ为平行四边形，这样的点 P、Q 可否存在？假设存在，分别求出点 P，Q 的坐标；假设不存在，说明原由．【考点】 HF：二次函数综合题．【解析】〔1〕抛物线的对称轴，所以可以设出极点式，利用待定系数法求函数解析式；（2〕第一求得 B 和 C 的坐标，易证△ OBC是等腰直角三角形，过点 N 作 NH⊥ y 轴，垂足是 H，设点 N 纵坐标是〔 a，﹣ a2+2a+3〕，依照 CH=NH即可列方程求解；（3〕四边形 OAPQ是平行四边形，那么 PQ=OA=1，且 PQ∥OA，设 P〔t ，﹣t 2+2t+3〕，代入y=x+，即可求解．【解答】解：〔1〕设抛物线的解析式是y=﹣〔 x﹣ 1〕2+k．把〔﹣ 1，0〕代入得 0=﹣〔﹣ 1﹣ 1〕2+k，解得 k=4，那么抛物线的解析式是y=﹣〔 x﹣1〕2+4，即 y=﹣x2+2x+3；（2〕在 y=﹣x2+2x+3 中令 x=0，那么 y=3，即 C 的坐标是〔 0， 3〕，OC=3．∵B 的坐标是〔3，0〕，∴ OB=3，∴ OC=OB，那么△ OBC是等腰直角三角形．∴∠ OCB=45°，过点 N 作 NH⊥y 轴，垂足是 H．∵∠ NCB=90°，∴∠ NCH=45°，∴ NH=CH，∴ HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点 N 纵坐标是〔 a，﹣a2+2a+3〕．∴ a+3=﹣ a2+2a+3，解得 a=0〔舍去〕或 a=1，∴ N 的坐标是〔 1，4〕；（3〕∵四边形 OAPQ是平行四边形，那么 PQ=OA=1，且 PQ∥ OA，设 P〔t ，﹣ t2 +2t+3〕，代入 y=x+ ，那么﹣ t 2+2t +3= 〔t +1〕 + ，整理，得 2t2﹣ t=0，解得 t=0 或．∴﹣ t2+2t+3 的值为 3 或．∴ P、 Q 的坐标是〔 0，3〕，〔 1， 3〕或〔，〕、〔，〕．29．如图，四边形ABCD是平行四边形， AD=AC， AD⊥ AC，E 是 AB 的中点， F 是 AC延长线上一点．（1〕假设 ED⊥EF，求证： ED=EF；（2〕在〔 1〕的条件下，假设 DC 的延长线与 FB 交于点 P，试判断四边形 ACPE可否为平行四边形？并证明你的结论〔请先补全图形，再解答〕；（3〕假设 ED=EF，ED 与 EF垂直吗？假设垂直给出证明．【考点】 LO：四边形综合题．【解析】〔1〕依照平行四边形的想知道的 AD=AC，AD⊥AC，连接 CE，依照全等三角形的判断和性质即可获取结论；〔 2〕依照全等三角形的性质获取 CF=AD，等量代换获取 AC=CF，于是获取 CP= AB=AE，依照平行四边形的判判定理即可获取四边形 ACPE为平行四边形；〔 3〕过 E 作 EM⊥DA 交 DA 的延长线于 M ，过 E 作 EN⊥FC交 FC的延长线于 N，证得△ AME ≌△ CNE，△ ADE≌△ CFE，依照全等三角形的性质即可获取结论．【解答】〔1〕证明：在 ?ABCD中，∵AD=AC， AD⊥AC，∴ AC=BC， AC⊥ BC，连接 CE，∵E 是 AB 的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠ CEF=∠AED=90°﹣∠ CED，在△ CEF和△ AED中，，∴△ CEF≌△ AED，∴ED=EF；（2〕解：由〔 1〕知△ CEF≌△ AED，CF=AD，∵ AD=AC，∴ AC=CF，∵DP∥AB，∴ FP=PB，∴ CP= AB=AE，∴四边形 ACPE为平行四边形；〔 3〕解：垂直，原由：过 E 作 EM⊥ DA 交 DA 的延长线于 M ，过 E 作 EN⊥FC交 FC的延长线于 N，在△ AME 与△ CNE中，，∴△ AME≌△ CNE，∴∠ ADE=∠CFE，在△ ADE与△ CFE中，，∴△ ADE≌△ CFE，∴∠ DEA=∠FEC，∵∠ DEA+∠DEC=90°，∴∠ CEF+∠DEC=90°，∴∠ DEF=90°，∴ED⊥EF．2021年7月4日。
2021年山东省泰安市中考数学试题及参考答案(word解析版)
泰安市2021年初中学业水平考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（）A．﹣4 B．|﹣4| C．0 D．﹣2.82．下列运算正确的是（）A．2x2+3x3＝5x5B．（﹣2x）3＝﹣6x3C．（x+y）2＝x2+y2D．（3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x23．如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）A．∠2＝75°B．∠3＝45°C．∠4＝105°D．∠5＝130°5．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（）A．7h 7h B．8h 7.5h C．7h 7.5h D．8h 8h6．如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（）A．50°B．48°C．45°D．36°7．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k＜C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠08．将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）A．2﹣2 B．3﹣C．4﹣D．210．如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A．B．C．D．3第Ⅱ卷非选择题（共102分）二、填空题（本大题共6小题，满分24分。
2024年山东省泰安市中考数学试卷及答案解析
2024年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）的相反数是（）A．B．C．D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．2x2y﹣3xy2＝﹣x2y B．4x8y2÷2x2y2＝2x4C．（x﹣y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2D．（x2y3）2＝x4y63．（4分）下面图形中，中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（4分）据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录．数据860万用科学记数法表示为（）A．8.60×107B．86.0×105C．0.860×107D．8.60×1065．（4分）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是（）A．45°B．39°C．29°D．21°6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（）A．65°B．55°C．50°D．75°7．（4分）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱9．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C＝30°；②AP垂直平分线段BF；③CE＝2BE；④．其中，正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．11．（4分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（）A．2B．C．D．4二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）单项式﹣3ab2的次数是．14．（4分）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．15．（4分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为米．（参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2）16．（4分）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是平方米．17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连结BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，，则AE的长为．18．（4分）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（10分）（1）计算：；（2）化简：．20．（11分）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：（1）统计量平均数中位数众数供应商甲8080b乙m a76则m＝，a＝，b＝．（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）（3）超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果．超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？21．（9分）直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于点A（﹣2，m），B（n，﹣1），与y轴交于点C．（1）求直线y1的表达式；（2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．22．（10分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？23．（12分）综合与实践为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．【探究发现】（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG．EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．【拓展延伸】（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连结EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G 恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD•GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．24．（13分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF．（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出BF与CD的位置关系：；②求证：CD＝2BF．25．（13分）如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B．（1）求抛物线C1的表达式；（2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2024年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：C．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．【分析】利用合并同类项的法则，整式的除法的法则，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、2x2y与﹣3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；C、（x﹣y）（﹣x﹣y）＝y2﹣x2，故C不符合题意；D、（x2y3）2＝x4y6，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．所以中心对称图形有3个．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：860万＝8600000＝8.60×106，故选：D．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．5．【分析】过点A作AF∥l，由平行公理的推论得出AF∥m，根据平行线的性质得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：如图，过点A作AF∥l，∵直线l∥m，∴AF∥m，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AF∥l，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝21°，∴∠BAF＝21°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，∵AF∥m，∴∠ACD＝∠CAF＝39°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．6．【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定义得∠ABC＝25°，根据圆周角定理得∠C＝90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AOD＝50°，∴∠ABD＝∠AOD＝25°，∵BA平分∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0，解得k≤．故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．8．【分析】根据列出的二元一次方程组可得甜果苦果买一千，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，【解答】解：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系．9．【分析】首先证明∠C＝∠EAC＝∠BAE＝30°，推出AC＝2AB，AE＝2BE，可得①②③④正确．【解答】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，由作图可知AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠CAE＝∠BAE＝30°，故①正确，∴AC＝2AB，∵AF＝FC，∴AB＝AF，∴AP垂直平分线段BF，故②正确，∵AE＝2BE，EA＝EC，∴EC＝2BE，故③正确，＝S△BCF，∴S△BEF∵AF＝FC，＝S△ABC，∴S△BFC∴S △BEF ＝S △ABC ，故④正确．故选：D ．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．10．【分析】连接OA ，AO ′，作AB ⊥OO ′于点B ，得三角形AOO ′是等边三角形，求出AB ＝，S 弓形AO ′＝S 扇形AOO ′﹣S △AOO ′＝﹣，再根据S 阴影＝S 弓形AO ′+S 扇形AO ′O ，即可得出答案．【解答】解：如图，连接OA ，AO ′，作AB ⊥OO ′于点B ，∵OA ＝OO ′＝AO ′＝2，∴三角形AOO ′是等边三角形，∴∠AOO ′＝60°，OB ＝OO ′＝1，∴AB ＝＝，∴S 弓形AO ′＝S 扇形AOO ′﹣S △AOO ′＝﹣2××＝﹣，∴S 阴影＝S 弓形AO ′+S 扇形AO ′O＝﹣+＝﹣．故选：A ．【点评】本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键．11．【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点在2，3之间，∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝有两个交点，∴方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，∴a﹣b+c＜0，∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴c＝2，∴a﹣b+2＜0，∴b﹣a＞2．故④错误．故选：B．【点评】本题考查的是图象法求一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．12．【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AF＝MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可得解．【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P，∵∠EMF+∠EGF＝180°，∴点E、M、F、G四点共圆，∴∠EMG＝∠EFG＝30°，∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，∴MG∥AB，∴四边形MHAP是矩形，∴MH＝AP，∵BE＝8，∴EM＝BE•cos30°＝4，∴MH＝EM＝2＝AP，∴AG≥AP＝2，∴AG最小值是2．【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．【解答】解：∵单项式﹣3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为：1+2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是单项式次数的定义，即一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．14．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，列表如下：A B DA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．15．【分析】根据题干条件，要求AB，求出AE和BE即可，分别在两个直角三角形中去求即可．【解答】解：由题知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12m，PE＝60m，∴PF＝PE﹣EF＝48m，在Rt△PFC，tan63.6°＝＝2，∴CF＝24m，∴BE＝24m，在Rt△APE中，tan50°＝＝，∴AB＝AE+BE＝74m．故答案为：74．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题关键．16．【分析】依据题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，又墙长为40米，从而可得0＜60﹣2x≤40，故10≤x＜30，又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，进而结合二次函数的性质即可判断得解．【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，又墙长为40米，∴0＜60﹣2x≤40．∴10≤x＜30．又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．故答案为：450．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．17．【分析】先证∠DAF＝∠ABD，从而求出AF＝，再证△ADE≌△ADF（ASA）即可得解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AH是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠ABD＝90°﹣∠DAB，∴△DAF∽△DBA，∴＝＝tan B＝，∵DF＝1，∴AD＝2，∴AF＝＝，∵点D为的中点，∴，∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF，∵∠ADE＝∠ADF＝90°，∴90°﹣∠DAE＝90°﹣∠DAF，即∠AED＝∠AFD，∴AE＝AF＝．故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．18．【分析】根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，“●”的个数为：4＝1×2+2；第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1+2，“●”的个数为：6＝2×2+2；第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1+2+3，“●”的个数为：8＝3×2+2；第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10＝1+2+3+4，“●”的个数为：10＝4×2+2；…，所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1+2+3+…+n＝，“●”的个数为：2n+2；由题知，，解得n1＝﹣1，n2＝12，又因为n为正整数，所以n＝12，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故答案为：12．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再算加减即可；（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可．【解答】解：（1）；＝＝7；（2）＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20．【分析】（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；（2）根据方差的意义解答即可；（3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径82mm（含82mm）以上所占比例即可．【解答】解：（1）由题意得：m＝（75+76×3+79+80+81+83+86+88）÷10＝80；把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数a＝＝79.5；甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数b＝83，故答案为：80，79.5，83；（2）甲的方差为：[（76﹣80）2+（77﹣80）2+（78﹣80）2+（79﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+3×（83﹣80）2]＝5.8；乙的方差为[（75﹣80）2+3×（76﹣80）2+（79﹣80）2+（80﹣80）2+（81﹣80）2+（83﹣80）2+（86﹣80）2+（88﹣80）2]＝18.4，因为5.8＜18.4，所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．故答案为：甲；（3）答：大果约有600个．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．21．【分析】（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入中，求出m、n的值，再分别代入y1＝kx+b中，即可得出答案；（2）数形结合即可得出答案；（3）把y＝3代入中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入中，即﹣2m＝﹣8，﹣n＝﹣8，解得：m＝4，n＝8，∴A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（8，﹣1），把A点坐标（﹣2，4），B点坐标（8，﹣1）分别代入y1＝kx+b，即∴一次函数表达式为．（2）由图象可知，当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜8．（3）把y＝3时代入中，得，∴D点坐标为，，∴．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键．22．【分析】设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲组的人数），再将其代入（35﹣x）中，即可求出乙组的人数．【解答】解：设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据题意得：＝×1.2，解答：x＝20，经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，∴35﹣x＝35﹣20＝15．答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．【分析】（1）作EM⊥BC于点M，证△EMF∽△BCG即可得证；（2）利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证．【解答】解：（1）正确，理由如下，作EM⊥BC于点M，∵EF⊥BG，∴∠BHF＝90°，∴∠FBH+∠BFH＝90°．∵∠EMF＝90°，∴∠MEF+∠BFH＝90°∴∠FBH＝∠MEF，又∵∠EMF＝∠C＝90°，∴△EMF∽△BCG．．∵ABCD是矩形，EM⊥BC，∴四边形ABME是矩形．∴AB＝EM．∴．（2）同学们的发现说法正确，理由如下，∵CD∥FG，∴，∠CDF＝∠DFG，由折叠知∠CDF＝∠BDF，∴∠DFG＝∠BDF．∴GD＝GF．∴，由平行四边形及折叠知AB＝BG，AB＝CD，∴，∴BG2＝BD•GD即点G为BD的一个黄金分割点．【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．24．【分析】（1）证明△ABE≌△CBD（SAS）得出∠FAB＝∠BCD，再根据直角三角形斜边上得中线等于斜边的一半得出，再利用等角转化即可求证；（2）①这一问主要是猜想，还需要利用第二问的思路去证明，先证△AGB≌△BDC得到∠ABG＝∠BCD ＝∠BAN，再利用8字型得到∠ABC＝∠ANC＝90°，即可得证；②利用倍长中线证△AGF≌△EBF （SAS），再证△AGB≌△BDC（SAS），即可得证．【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中，∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD．∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，∴AE＝2BF，∴CD＝2BF，∵，∴∠FAB＝∠FBA．∴∠FBA＝∠BCD，∵∠FBA+∠FBC＝90°，∴∠FBC+∠BCD＝90°．∴BF⊥CD；（2）①BF⊥CD；理由如下：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．延长BE到M，使BE＝BM，连接AM并延长交CD于点N．证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）．∴∠ABG＝∠BCD，∵F是AE中点，B是EM中点，∴BF是△ABM中位线，∴BF∥AN，∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ANC＝90°，∴AN⊥CD，∵BF∥AN，∴BF⊥CD．故答案为：BF⊥CD；②证明：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF（SAS），∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE．∴AG∥BE．∴∠GAB+∠ABE＝180°，∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE+∠DBC＝180°，∴∠GAB＝∠DBC．∵BE＝BD，∴AG＝BD．在△AGB和△BDC中，∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，∴△AGB≌△BDC（SAS），∴CD＝BG．∵BG＝2BF，∴CD＝2BF，【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．25．【分析】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由题意得：C2：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）﹣4+3＝（x﹣）2﹣，当x＝1时，y＝（x﹣）2﹣＝（1﹣）2﹣＝﹣1，即可求解；（3）当∠BAP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y＝（x﹣）2﹣＝（2﹣）2﹣＝2，即点E在抛物线C2上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解．【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a+﹣4，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4；（2）由题意得：C2：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）﹣4+3＝（x﹣）2﹣，当x＝1时，y＝（x﹣）2﹣＝（1﹣）2﹣＝﹣1，故点D在抛物线C2上；（3）存在，理由：当∠BAP为直角时，如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BE，则△BDE为等腰直角三角形，∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠BDG＝∠DEH，∵∠DGB ＝∠EHD ＝90°，∴△DGB ≌△EHD （AAS ），则DH ＝BG ＝1，EH ＝GD ＝1+2＝3，则点E （2，2），当x ＝2时，y ＝（x ﹣）2﹣＝（2﹣）2﹣＝2，即点E 在抛物线C 2上，即点P 即为点E （2，2）；当∠DBP 为直角时，如图2，同理可得：△BGE ≌△DHB （AAS ），则DH ＝3＝BG ，BH ＝1＝GE ，则点E （﹣1，3），当x ＝﹣1时，y ＝（x ﹣）2﹣＝（﹣1﹣）2﹣＝3，即点E 在抛物线C 2上，即点P 即为点E （﹣1，3）；当∠HPD 为直角时，如图3，设点E （x ，y ），同理可得：△EHB ≌△DGE （AAS ），则EH ＝x +2＝GD ＝y +1且BH ＝y ＝GE ＝1﹣x ，解得：x ＝0且y ＝1，即点E （0，1），当x ＝0时，y ＝（x ﹣）2﹣＝（0﹣）2﹣≠1，即点E不在抛物线C2上；综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系。
2019年山东省泰安市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年山东省泰安市中考数学试题及参考答案与解析（全卷共150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π2．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a43．2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.27．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜28．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF 折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B （5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF ＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．参考答案与解析第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π【知识考点】算术平方根；实数大小比较．【思路分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答过程】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【总结归纳】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答过程】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【总结归纳】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【总结归纳】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答过程】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【总结归纳】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答过程】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【总结归纳】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2【知识考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答过程】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【总结归纳】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答过程】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答过程】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【知识考点】切线的性质．【思路分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC ＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答过程】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【总结归纳】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答过程】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【总结归纳】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【知识考点】垂径定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答过程】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【总结归纳】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【知识考点】垂线段最短；矩形的性质；轨迹．【思路分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答过程】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【总结归纳】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围；【解答过程】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【总结归纳】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【知识考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答过程】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．【知识考点】含30度角的直角三角形；扇形面积的计算．【思路分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答过程】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【总结归纳】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．【知识考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【总结归纳】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【知识考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答过程】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【总结归纳】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF 折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答过程】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【总结归纳】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【知识考点】频数（率）分布表；扇形统计图．【思路分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答过程】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【总结归纳】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B （5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【知识考点】反比例函数综合题．【思路分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【总结归纳】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答过程】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA ＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答过程】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴PA＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵PA＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答过程】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝。
2023年山东省泰安市中考数学试卷(含答案)050501
2023年山东省泰安市中考数学试卷试卷考试总分：149 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计48分 ）1. 的倒数是( )A.B.C.D.2. 下列计算正确的是（ ）A.B.C.D.3. 据统计，年第一季度我省生产总值约亿元，按可比价格计算，比去年同期增长，其中“亿”用科学记数法可表示为( )A.B.C.D.4. 下列数字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.B.C.D.5. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，那么等于多少度（ ）−12019−2019120192019−120192+3=5a 2a 2a 4=+ab +(a +b)2a 2b 2=−8(−2)a 23a 6−2⋅3=−6a 2a 2a 2201970657.7%70657.065×1037.065×10117065×108706.5×109()66808896∠2=50∘∠3B.C.D.6. 已知一组数据，，，，．对这组数据描述正确的是( )A.众数是B.平均数是C.中位数是D.方差是7. 如图，，，，是上的点，则图中与相等的角是( )A.B.C. D.8. 函数与在同一直角坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.20∘80∘50∘287538675.2A B C D ⊙O ∠A ∠B∠C∠DEB∠Dy =kx+k y =k x∘A. B. C.D.10. 我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有个和尚分个馒头，正好分完；如果大和尚一人分个，小和尚人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，以下列出的方程组正确的是（ ）A.B.C.D.11. 如图，在中，＝，＝，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是( )①是的平分线；②＝；③点在的中垂线上；④＝．A.B.C.D.12. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第二象限内，，．将绕点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是( )A.π−24π−810010033x y { x+y =100+3y =100x 3{ x+y =1009x+y =100{ x+y =1003x+=100y 3{ x+y =100x+9y =100△ABC ∠C 90∘∠B 30∘A AB AC M N M N MN 12P AP BC D AD ∠BAC ∠ADC 60∘D AB :S △DAC S △ABC 1:31234A yB ∠OAB =120∘OA =AB =2△AOB O 90∘△O A ′B ′B B ′(−,3)3–√C.D.二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计24分 ）13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为________．14. 如图，半径为的与边长为的等边三角形的两边，都相切，连接，则________．15. 二次函数有最________值，其值为________．16. 如图，长为米的斜坡，它的坡角是，现把它改成坡角是的斜坡，则的长为________米．（结果保留根号）17. 等腰三角形一个内角是，则顶角的度数为________．18. 如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成．已知，，，，，，，．观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则点的坐标是________，的坐标是________．若按第一题找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是________，的坐标是________．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 11 分 ，共计77分 ）19. （1）化简：（2）解不等式组： 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为个等级：，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：(3,)3–√(,3)3–√x −6x−k =0x 2k 3–√⊙O 9ABC AB BC OC tan ∠OCB =y =+6x−5x 2100AB 45∘30∘AD DB 78∘△OAB △OA 1B 1△OA 1B 1△OA 2B 2△OA 2B 2△OA 3B 3A(1,4)(2,4)A 1(4,4)A 2(8,4)A 3B(2,0)(4,0)B 1(8,0)B 2(16,0)B 3(1)△OA 3B 3△OA 4B 4A 4B 4(2)△OAB n △OA n B n A n B n (a −)÷(1−)b 2a b a−≤63x−122x+132x+1<3(x−1)x 4A(0≤x <2)B(2≤x <4)C(4≤x <6)D(x ≥6)请你根据统计图的信息，解决下列问题：本次共调查了________名学生；在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为________；请补全条形统计图；在等级中有甲、乙、丙、丁人表现最为优秀，现从人中任选人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 21. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点是反比例函数的图象上一动点，记点坐标为，连接，，．若，求的取值范围；当时，求的面积．22. 某校在书城、当当网共买了套标价相同的书，由于网上购物可以享受一定的优惠，因此当当网的售价比书城的售价每套便宜元．已知当当网购书共花去了元，比书城多元，求该校在书城和当当网各买了多少套书？23. 如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．求证：四边形为平行四边形；若，，且，求的长．24. 如图， 中， ， ，点是上的动点（不与点，重合），过点作 于，交于点，连接.若 ， ，求的长；求证： ；(1)(2)D ∘(3)(4)D 442y =(x >0)k x A(6,1)B B (m,n)OB OA AB (1)1≤m≤4n (2)m=2△OBA 25101350350ABCD O AC O AD BC M N CM AN (1)ANCM (2)AD =4AB =2MN ⊥AC DM △ABC AC =BC ∠ACB =90∘D BC B C C CF ⊥AD E AB F DF (1)∠CAD =30∘CD =8AE (2)∠CAD =∠BCF25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．求抛物线的解析式和的值；在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，试说明理由；直线上有、两点（在的左侧），且，若将线段在直线上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．x 4B(−3,0)y c(0,−3)x =−1y =−2x+m 4y D E F (1)m (2)y P D E P △AOD P (3)y =1M N M N MN =2MN y=1MEFN参考答案与试题解析2023年山东省泰安市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计48分 ）1.【答案】A【考点】倒数【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：的倒数是.故选.2.【答案】C【考点】幂的乘方与积的乘方合并同类项完全平方公式单项式乘单项式【解析】分别根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方以及合并同类项的法则计算即可判断正误．【解答】解：应为，故本选项错误；，应为，故本选项错误；，，正确；，应为，故本选项错误．故选.3.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数−12019=−20191−12019A A 2+3a 2a 2=5a 2B (a +b =+2ab +)2a 2b 2C =−8(−2)a 23a 6D −2⋅3=−6a 3a 2a 5C此题暂无解析【解答】解：亿.故选.4.【答案】C【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选.5.【答案】B【考点】平行线的性质【解析】根据“两直线平行，内错角相等”得到，再利用三角形的外角性质求解即可.【解答】解：如图，∵，∴，∵，，∴，∵，∴.故选.6.7065=706500000000=7.065×1011B A B C D C ∠2=∠4=50∘a//b ∠4=∠2=50∘∠1+∠3+∠5=180∘∠4+∠5=180∘∠1+∠3=∠4∠1=30∘∠3=∠4−∠1=−=50∘30∘20∘BD【考点】算术平均数中位数众数方差【解析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义分析即可解答.【解答】解：，因为这一组数据没有众数，故错误；，因为，故错误；，因为把这一组数据按大小排列后处在最中间位置的是，所以中位数是，故错误；，，故正确.故选.7.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 与都是所对的圆周角，∴．故选．8.【答案】C【考点】反比例函数的图象一次函数的图象【解析】分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【解答】解：①当时，过一、二、三象限；过一、三象限；A A B ==5x ¯¯2+8+7+3+55B C 55C D =×[(2−5+s 215)2(8−5+(7−5)2)2+(5−5+(3−5]=)2)2 5.2D D ∠A ∠D BCˆ∠D =∠A D k >0k <0k >0y =kx+k y =k②当时，过二、三、四象限；过二、四象限．观察图象可知只有符合．故选．9.【答案】D【考点】扇形面积的计算三角形的外接圆与外心【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】数学常识由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】分别利用大、小和尚一共人以及馒头大和尚一人分个，小和尚人分一个，馒头一共个分别得出等式得出答案．【解答】设大、小和尚各有，人，则可以列方程组：．11.【答案】D【考点】作图—基本作图线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】①根据作图的过程可以判定是的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知＝，则由直角三角形的性质来求的度数；③利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点在的中垂线上；④利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．k <0y =kx+k y =k xC C 10033100x y { x+y =1003x+=100y 3AD ∠BAC ∠CAD 30∘∠ADC △ADB D AB 30【解答】解：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确；②如图，∵在中，，，∴．又∵是的平分线，∴，∴，即．故②正确；③∵，∴，∴点在的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角中，，∴，∴，．∴，∴．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有个．故选.12.【答案】C【考点】坐标与图形变化-旋转勾股定理含30度角的直角三角形【解析】作轴于，解直角三角形求出，即可．【解答】解：如图，作轴于点．由旋转的性质，得，，∴，∴，∴，∴，AD ∠BAC △ABC ∠C =90∘∠B =30∘∠CAB=60∘AD ∠BAC ∠1=∠2=∠CAB 12=30∘∠3=−∠290∘=60∘∠ADC=60∘∠1=∠B =30∘AD=BD D AB △ACD ∠2=30∘CD =AD 12BC =CD+BD =AD+AD =AD 1232=AC ⋅CD =AC ⋅AD S △DAC 1214=AC ⋅BC =AC ⋅AD =AC ⋅AD S △ABC 12123234:=AC ⋅AD :AC ⋅AD S △DAC S △ABC 1434=1:34D B'H ⊥x H H B ′OH B'H ⊥x H O ==2A ′A ′B ′∠O =A ′B ′120∘∠H =B ′A ′60∘∠H =A ′B ′30∘H ==1A ′12A ′B ′H ===B ′−A ′B ′2A ′H 2−−−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√，∴.故选．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计24分 ）13.【答案】【考点】根的判别式【解析】根据关于的一元二次方程没有实数根，得出，再进行计算即可．【解答】解：∵一元二次方程没有实数根，∴，∴的取值范围是.故答案为：．14.【答案】【考点】等边三角形的性质切线的性质解直角三角形【解析】根据切线长定理得出＝＝，解直角三角形求得，即可求得，然后解直角三角形即可求得的值．【解答】解：如图，连接，作于，∵与等边三角形的两边，都相切，∴，∴，∴，∴，OH =O +H =3A ′A ′(3,)B ′3–√C k <−9x −2x−k =0x 2△=4+4k <0−6x−k =0x 2Δ=(−6−4×1×(−k)=36+4k <0)2k k <−9k <−93–√6∠OBC ∠OBA =∠ABC 1230∘BD CD OCD tan ∠OCB OB OD ⊥BC D ⊙O ABC AB BC ∠OBC=∠OBA =∠ABC 12=30∘tan ∠OBC =OD BD BD ===3OD tan30∘3–√3√3CD=BC −BD =9−3=6∠OCB ==3–√∴．故答案为：.15.【答案】小,【考点】二次函数的最值【解析】先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：，当时，有最小值为．故答案为小，．16.【答案】【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】或．【考点】等腰三角形的性质【解析】分角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①角是顶角时，三角形的顶角为，②角是底角时，顶角为，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或．故答案为：或．18.【答案】,tan ∠OCB ==OD CD 3–√63–√6−14y =(x+3−14)2x =−3y −14−14(50−50)6–√2–√78∘24∘80∘78∘78∘78∘−×2180∘78∘=24∘78∘24∘78∘24∘(16,4)(32,0)(,0)n+1,【考点】规律型：点的坐标【解析】根据题目中的信息可以发现、、各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是，故可求得的坐标；、、各点的坐标的关系为横坐标是，纵坐标都为，从而可求得点的坐标．根据中发现的规律可以求得、点的坐标．【解答】解：∵，，，∴的横坐标为：，纵坐标为：，∴点的坐标为：．又∵，，，∴的横坐标为：，纵坐标为：，∴点的坐标为：．故答案为：.由，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是．故的坐标为：．由，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是．故的坐标为：．故答案为：.三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 11 分 ，共计77分 ）19.【答案】原式；，由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．【考点】解一元一次不等式组分式的混合运算【解析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】原式；，由①得：，由②得：，则不等式组的解集为．20.【答案】(,4)2n (,0)2n+1(1)A 1A 2A 32n 4A 4B 1B 2B 32n+10B 4(2)(1)A n B n (1)(2,4)A 1(4,4)A 2(8,4)A 3A 4=16244A 4(16,4)(4,0)B 1(8,0)B 2(16,0)B 3B 4=32250B 4(32,0)(16,4)；(32,0)(2)(2,4)A 1(4,4)A 2(8,4)A 32n 4A n (,4)2n (4,0)B 1(8,0)B 2(16,0)B 32n+10B n (,0)2n+1(,4);(,0)2n 2n+1=÷=⋅=a +b −a 2b 2a a −b a (a +b)(a −b)a a a −b −≤63x−122x+132x+1<3(x−1)x ≤8.2x >44<x ≤8.2=÷=⋅=a +b −a 2b 2a a −b a (a +b)(a −b)a a a −b −≤63x−122x+132x+1<3(x−1)x ≤8.2x >44<x ≤8.2等级人数为（名），补全图形如图：树状图如图，共有种等可能的情况，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的情况有种，所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率．【考点】条形统计图扇形统计图列表法与树状图法【解析】（1）由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；（2）用乘以等级人数所占比例即可得；（3）根据四个等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；（4）画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：本次共调查学生（名）.故答案为：.在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为.故答案为：.等级人数为（名），补全图形如图：树状图如图，共有种等可能的情况，50108(3)C 50−(4+13+15)=18(4)122=21216B 360∘DC 12(1)=501326%50(2)D ×=360∘1550108∘108(3)C 50−(4+13+15)=18(4)12其中恰好同时选中甲、乙两名同学的情况有种，所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率．21.【答案】解：把代入得:，当时，;当时,，，；作轴，垂足为,作轴，垂足为,的延长线交于点,则四边形是矩形，把代入中,得，则，则,，，则.【考点】反比例函数综合题【解析】由打定系数法求出反比例函数的解析式，再由的取值范围确定的取值范围.作轴，垂足为,作轴，垂足为,的延长线交于点,则四边形是矩形，求出的坐标，再用割补法求出 的面积.【解答】解：把代入得:，当时，;当时,，，；作轴，垂足为,作轴，垂足为,的延长线交于点,则四边形是矩形，把代入中,得，则，2=21216(1)A(6,1)y =k x k =6m=1n =6m=4n =1.5∵1≤m≤4∴1.5≤n ≤6(2)AH ⊥x H BF ⊥y F FB,HA G OHGF m=2y =6x n =3OF =3,OH =6,AH =1,BF =2,BG =4,AG =2=3×6=18S 矩形OFG H =2×4÷2=4S △BG A =1×6÷2=3,=2×3÷2=3S △AOH S △BOF =−−−=18−4−3−3=8S △BOA S 矩形OFG H S △BG A S △HOA S △BOF m n AH ⊥x H BF ⊥y F FB,HA G OHGF B △OBA (1)A(6,1)y =k xk =6m=1n =6m=4n =1.5∵1≤m≤4∴1.5≤n ≤6(2)AH ⊥x H BF ⊥y F FB,HA G OHGF m=2y =6xn =3OF =3,OH =6,AH =1,BF =2,BG =4,AG =2则,，，则.22.【答案】解：设该校在书城买了套书，则在当当网买了套书.根据题意，得.解得，(不合题意舍去)，经检验，是原方程的解.则(套).答：该校在书城买了套书，在当当网买了套书.【考点】分式方程的应用【解析】设该校在书城买了套书，则在当当网买了套书.，根据等量关系：书店的售价-网上的售价元，列方程求解即可．【解答】解：设该校在书城买了套书，则在当当网买了套书.根据题意，得.解得，(不合题意舍去)，经检验，是原方程的解.则(套).答：该校在书城买了套书，在当当网买了套书.23.【答案】证明：∵在矩形中，为对角线的中点，∴，，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形．解：∵在矩形中，，由知：，∴，∵四边形为平行四边形，，∴平行四边形为菱形，∴，∴在中，根据勾股定理，得，∴，解得．【考点】全等三角形的性质与判定平行四边形的性质与判定=3×6=18S 矩形OFG H =2×4÷2=4S △BG A =1×6÷2=3,=2×3÷2=3S △AOH S △BOF =−−−=18−4−3−3=8S △BOA S 矩形OFG H S △BG A S △HOA S △BOF x (25−x)−=101350−350x 135025−x =10x 1=250x 2=10x 125−10=151015x (25−x)=10x (25−x)−=101350−350x 135025−x =10x 1=250x 2=10x 125−10=151015(1)ABCD O AC AD//BC AO =CO ∠OAM =∠OCN ∠OMA =∠ONC △AOM △CON ∠OAM =∠OCN ，∠AMO =∠CNO ，AO =CO ，△AOM ≅△CON(AAS)AM =CN AM//CN ANCM (2)ABCD AD =BC (1)AM =CN DM =BN ANCM MN ⊥AC ANCM AM =AN =NC =AD−DM Rt △ABN A =N 2A +B B 2N 2(4−DM =)2+D 22M 2DM =32矩形的性质菱形的判定与性质勾股定理【解析】（1）在矩形中，为对角线的中点，可得，＝，可以证明可得＝，进而证明四边形为平行四边形；（2）根据，可得四边形为菱形；根据＝，＝，＝＝＝，即可在中，根据勾股定理，求的长．【解答】证明：∵在矩形中，为对角线的中点，∴，，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形．解：∵在矩形中，，由知：，∴，∵四边形为平行四边形，，∴平行四边形为菱形，∴，∴在中，根据勾股定理，得，∴，解得．24.【答案】解：∵，，∴，，∴.∵，∴，∴，∴，∴.证明：∵，∴.∵，∴，∴，ABCD O AC AD//BC AO CO △AOM ≅△CON AM CN ANCM MN ⊥AC ANCM AD 4AB 2AM AN NC AD−DM Rt △ABN DM (1)ABCD O AC AD//BC AO =CO ∠OAM =∠OCN ∠OMA =∠ONC △AOM △CON ∠OAM =∠OCN ，∠AMO =∠CNO ，AO =CO ，△AOM ≅△CON(AAS)AM =CN AM//CN ANCM (2)ABCD AD =BC (1)AM =CN DM =BN ANCM MN ⊥AC ANCM AM =AN =NC =AD−DM Rt △ABN A =N 2A +B B 2N 2(4−DM =)2+D 22M 2DM =32(1)∠ACB =90∘∠CAD =30∘CD =AD 12∠CDA =60∘AD =2CD =2×8=16CE ⊥AD ∠CED =90∘∠DCE =30∘DE =CD =412AE =AD−DE =16−4=12(2)∠ACB =90∘∠CAD+∠CDA =90∘CE ⊥AD ∠CED =90∘∠DCF +∠CDA =90∘∴.证明：过点作交的延长线于，∴，∴.在和中，∴，∴，.∵，∴，∴，∴.在和中，∴，∴.∵，∴.【考点】全等三角形的性质与判定等腰直角三角形含30度角的直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，，∴.∵，∴，∴，∠BCF =∠CAD (3)B BG//AC CF G ∠ACB =∠CBG =90∘∠CBG =∠ACD =90∘△ACD △CBG ∠CAD =∠BCG,AC =BC,∠ACD =∠CBG,△ACD ≅△CBG CD =BG =BD AD =CG AC =BC ∠CBA =45∘∠FBG =∠CBG−∠CBA =−=90∘45∘45∘∠FBG =∠FBD △BDF △BGF BF =BF,∠FBD =∠FBG,BD =BG,△BDF ≅△BGF DF =GF AD =CG =CF +FG AD =CF +DF (1)∠ACB =90∘∠CAD =30∘CD =AD 12∠CDA =60∘AD =2CD =2×8=16CE ⊥AD ∠CED =90∘∠DCE =30∘E =CD =41∴，∴.证明：∵，∴.∵，∴，∴，∴.证明：过点作交的延长线于，∴，∴.在和中，∴，∴，.∵，∴，∴，∴.在和中，∴，∴.∵，∴.25.【答案】解：∵二次函数的图象与轴交于和两点，对称轴为直线，∴，设二次函数解析式为：，把代入得：，解得：，∴二次函数解析式为：，即：，∵直线经过点，∴，解得：；由得：直线的解析式为：，DE =CD =412AE =AD−DE =16−4=12(2)∠ACB =90∘∠CAD+∠CDA =90∘CE ⊥AD ∠CED =90∘∠DCF +∠CDA =90∘∠BCF =∠CAD (3)B BG//AC CF G ∠ACB+∠CBG =90∘∠CBG =∠ACD =90∘△ACD △CBG ∠CAD =∠BCG,AC =BC,∠ACD =∠CBG,△ACD ≅△CBG CD =BG =BD AD =CG AC =BC ∠CBA =45∘∠FBG =∠CBG−∠CBA =−=90∘45∘45∘∠FBG =∠FBD △BDF △BGF BF =BF,∠FBD =∠FBG,BD =BG,△BDF ≅△BGF DF =GF AD =CG =CF +FG AD =CF +DF (1)x A B(−3,0)x =−1A(1,0)y =a(x−1)(x+3)C(0,−3)−3=a(0−1)(0+3)a =1y =(x−1)(x+3)y =−4(x+1)2y =−2x+m A 0=−2×1+m m=2(2)(1)AF y =−2x+2又∵直线与轴交于点，与抛物线交于点，∴当时，即，联立，解得，，∵点在第二象限，∴，过点作轴于点，∵，，∴，∴；过点作 ，交轴于点 ，可得．∵，∴ ，即：，∴，即：，解得：，∴综上所述：点的坐标为或；∵点、均为定点，∴线段长为定值，∵，∴当为最小值时，四边形的周长最小，作直线，将点向左平移个单位得到，作点关于的对称点，连接与直线交于点，过点作，交直线于点，由作图可知： 又： ， 三点共线，∴ ，此时， 的值最小，∵点为直线与直线的交点，∴，∴，又∵，∴，延交线段于点，∵与直线平行，，∵在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴四边形的周长最小值．【考点】二次函数综合题【解析】y =−2x+2y D E x =0y =2D(0,2){y =−2x+2y =−4(x+1)2{=−5x 1=12y 1{=1x 2=0y 2E E(−5,12)E EP ⊥y P ∠ADO =∠EDP ∠DOA =∠DPE =90∘△EDP ∼△ADO P (0,12)E E ⊥AE P ′y P ′△DE ∼△ADO P ′∠ED +∠PED =∠PE +∠PED =P ′P ′90∘∠ADO =∠ED =∠PE P ′P ′tan ∠ADO =tan ∠PEP ′=OA OD PP EP =12PP ′5P =2.5P ′(0,14.5)P ′P (0,12)(0,14.5)(3)E F EF MN =2EM +FN MEFN y =1F 2F ′E y =1E ′E ′F ′y =1M F FN//E ′F ′y =1N EM =M,M =FNE ′F ′E M F ′EM +FN =EM +FM =EF EM +FN F y =−2x+2x =−1F (−1,4)(−3,4)F ′E(−5,12)(−5,−10)E ′fF ′EE ′W FF ′y =1∴FW ⊥EE ′Rt △EWF EF ==4+(12−4)2(−1+5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√5–√Rt △W E ′F ′E ==10F ′+(4+10)2(−3+5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√MEFN =ME+FN +EF +MN =EF +EF +MN =10+4+22–√5–√此题暂无解析【解答】解：∵二次函数的图象与轴交于和两点，对称轴为直线，∴，设二次函数解析式为：，把代入得：，解得：，∴二次函数解析式为：，即：，∵直线经过点，∴，解得：；由得：直线的解析式为：，又∵直线与轴交于点，与抛物线交于点，∴当时，即，联立，解得，，∵点在第二象限，∴，过点作轴于点，∵，，∴，∴；过点作 ，交轴于点 ，可得．∵，∴ ，即：，∴，即：，解得：，∴综上所述：点的坐标为或；∵点、均为定点，∴线段长为定值，∵，∴当为最小值时，四边形的周长最小，作直线，将点向左平移个单位得到，作点关于的对称点，连接与直线交于点，过点作，交直线于点，由作图可知： 又： ， 三点共线，∴ ，此时， 的值最小，∵点为直线与直线的交点，∴，∴，又∵，∴，延交线段于点，(1)x A B(−3,0)x =−1A(1,0)y =a(x−1)(x+3)C(0,−3)−3=a(0−1)(0+3)a =1y =(x−1)(x+3)y =−4(x+1)2y =−2x+m A 0=−2×1+m m=2(2)(1)AF y =−2x+2y =−2x+2y D E x =0y =2D(0,2){y =−2x+2y =−4(x+1)2{=−5x 1=12y 1{=1x 2=0y 2E E(−5,12)E EP ⊥y P ∠ADO =∠EDP ∠DOA =∠DPE =90∘△EDP ∼△ADO P (0,12)E E ⊥AE P ′y P ′△DE ∼△ADO P ′∠ED +∠PED =∠PE +∠PED =P ′P ′90∘∠ADO =∠ED =∠PE P ′P ′tan ∠ADO =tan ∠PEP ′=OA OD PP EP =12PP ′5P =2.5P ′(0,14.5)P ′P (0,12)(0,14.5)(3)E F EF MN =2EM +FN MEFN y =1F 2F ′E y =1E ′E ′F ′y =1M F FN//E ′F ′y =1N EM =M,M =FNE ′F ′E M F ′EM +FN =EM +FM =EF EM +FN F y =−2x+2x =−1F (−1,4)(−3,4)F ′E(−5,12)(−5,−10)E ′fF ′EE ′W∵与直线平行，，∵在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴四边形的周长最小值．FF ′y =1∴FW ⊥EE ′Rt △EWF EF ==4+(12−4)2(−1+5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√5–√Rt △W E ′F ′E ==10F ′+(4+10)2(−3+5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√MEFN =ME+FN +EF +MN =EF +EF +MN =10+4+22–√5–√。
山东省泰安市中考数学试卷含答案解析版
2017年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣√3，﹣π，﹣1，其中最小的数是（ ） A ．﹣πB ．﹣3C ．﹣1D ．﹣√32．（3分）下列运算正确的是（ ） A ．a 2?a 2=2a 2B ．a 2+a 2=a 4C ．（1+2a ）2=1+2a+4a 2D ．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a 2 3．（3分）下列图案其中，中心对称图形是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④4．（3分）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（ ）A ．3×1014美元B ．3×1013美元C ．3×1012美元D ．3×1011美元5．（3分）化简（1﹣2x−1x 2）÷（1﹣1x 2）的结果为（ ） A ．x−1x+1 B ．x+1x−1 C ．x+1x D ．x−1x6．（3分）下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（3分）一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ ） A ．（x ﹣3）2=15 B ．（x ﹣3）2=3 C ．（x+3）2=15 D ．（x+3）2=38．（3分）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）A ．14B ．516C ．716D ．129．（3分）不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤110．（3分）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ） A ．10000x ﹣10=14700(1+40%)x B ．10000x +10=14700(1+40%)xC ．10000(1−40%)x ﹣10=14700xD ．10000(1−40%)x +10=14700x11．（3分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（ ）A ．本次抽样测试的学生人数是40B ．在图1中，∠α的度数是126°C ．该校九年级有学生500名，估计D 级的人数为80D ．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A 级的概率为12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2α B．2α C．90°+αD．90°﹣α13．（3分）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜014．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．25315．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x﹣1 0 1 3y﹣3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个 D．4个16．（3分）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元5102050100人数4161596则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，B．20，C．10，D．20，17．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD 所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°18．（3分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°19．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC 向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）分式7x−2与x2−x的和为4，则x的值为．22．（3分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k 的取值范围为．23．（3分）工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为．24．（3分）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=12，OB=2√5，反比例函数y=kx的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．26．（8分）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？27．（10分）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．28．（11分）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．29．（11分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．2017年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．（3分）（2017?泰安）下列四个数：﹣3，﹣√3，﹣π，﹣1，其中最小的数是（）A．﹣πB．﹣3 C．﹣1 D．﹣√3【考点】2A：实数大小比较．【分析】将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵﹣1＞﹣√3＞﹣3＞﹣π，∴最小的数为﹣π，故选A．【点评】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）（2017?泰安）下列运算正确的是（）A．a2?a2=2a2B．a2+a2=a4C．（1+2a）2=1+2a+4a2D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2【考点】4F：平方差公式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．【解答】解：A、a2?a2=a4，此选项错误；B、a2?a2=2a2，此选项错误；C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误；D、（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、整式的加法及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．3．（3分）（2017?泰安）下列图案其中，中心对称图形是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：①不是中心对称图形；②不是中心对称图形；③是中心对称图形；④是中心对称图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）（2017?泰安）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（）A．3×1014美元B．3×1013美元C．3×1012美元D．3×1011美元【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：3万亿=3 0000 0000 0000=3×1012，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．（3分）（2017?泰安）化简（1﹣2x−1x 2）÷（1﹣1x2）的结果为（ ）A ．x−1x+1B ．x+1x−1C ．x+1xD ．x−1x【考点】6C ：分式的混合运算． 【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：原式=x 2−2x+1x 2÷x 2−1x 2=(x−1)2x 2?x 2(x+1)(x−1)=x−1x+1，故选A【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）（2017?泰安）下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可． 【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱， 故选：B ．【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．7．（3分）（2017?泰安）一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ ） A ．（x ﹣3）2=15 B ．（x ﹣3）2=3 C ．（x+3）2=15 D ．（x+3）2=3【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【专题】11 ：计算题；521：一次方程（组）及应用． 【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：方程整理得：x 2﹣6x=6， 配方得：x 2﹣6x+9=15，即（x ﹣3）2=15， 故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（3分）（2017?泰安）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）A ．14B ．516C ．716D ．12【考点】X6：列表法与树状图法． 【专题】11 ：计算题．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5， 所以成的两位数是3的倍数的概率=516．故选B ．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．．9．（3分）（2017?泰安）不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤1【考点】CB ：解一元一次不等式组．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1，得{x ＜2x ＜k +1． ∵不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1的解集为x ＜2，∴k+1≥2， 解得k ≥1． 故选：C ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k 的不等式，难度适中．10．（3分）（2017?泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）A ．10000x ﹣10=14700(1+40%)xB ．10000x +10=14700(1+40%)xC ．10000(1−40%)x ﹣10=14700xD ．10000(1−40%)x +10=14700x【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可． 【解答】解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为：10000x +10=14700(1+40%)x． 故选：B ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．11．（3分）（2017?泰安）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（ ）A ．本次抽样测试的学生人数是40B ．在图1中，∠α的度数是126°C ．该校九年级有学生500名，估计D 级的人数为80D ．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A 级的概率为【考点】X4：概率公式；V5：用样本估计总体；VB ：扇形统计图；VC ：条形统计图．【分析】利用扇形统计图以及条形统计图分别分析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计总体即可．【解答】解：A 、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（人），正确，不合题意； B 、∵40−8−12−640×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；C、该校九年级有学生500名，估计D级的人数为：500×840=100（人），故此选项错误，符合题意；D、从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为：840=，正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式以及利用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图等知识，由图形获取正确信息是解题关键．12．（3分）（2017?泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2α B．2α C．90°+αD．90°﹣α【考点】M5：圆周角定理．【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵连接OC，∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，∴∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC2=90°﹣α．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（3分）（2017?泰安）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0【考点】F5：一次函数的性质．【分析】由一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y 随自变量x的增大而减小，∴k﹣2＜0，﹣m＜0，∴k＜2，m＞0．故选A．【点评】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出k﹣2＜0、﹣m ＜0是解题的关键．14．（3分）（2017?泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME 交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．253【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°． ∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG ，∠B=∠C=90°， ∴△ABM ∽△MCG ，∴AB MC =BM CG ，即127=5CG ，解得CG=3512， ∴DG=12﹣3512=10912．∵AE ∥BC ，∴∠E=CMG ，∠EDG=∠C ， ∴△MCG ∽△EDG ，∴MC DE =CG DG ，即7DE=351210912，解得DE=1095． 故选B ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．15．（3分）（2017?泰安）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y﹣3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=0+32=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，当x ＞32时，y 随x 的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax 2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题． 【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax 2+bx+c 有最大值，当x=0+32=32时，取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=32，故②错误，当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，故③正确，方程ax 2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于2×32=3，小于3+1=4，故④错误， 故选B ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．16．（3分）（2017?泰安）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元 5 10 20 50 100 人数4161596则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（ ） A ．10，B ．20，C ．10，D ．20，【考点】W4：中位数；VA ：统计表；W2：加权平均数．【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可． 【解答】解：共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数， ∴中位数是（20+20）÷2=20；平均数=150（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=；故选：D．【点评】此题考查了中位数与平均数公式；熟记平均数公式，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．17．（3分）（2017?泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C 的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．18．（3分）（2017?泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，故选C．【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．19．（3分）（2017?泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质．【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．20．（3分）（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s 的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】H7：二次函数的最值．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t ≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=√AB2−BC2=6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ =S△ABC﹣S△CPQ=12AC?BC﹣12PC?CQ=12×6×8﹣12（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2﹣6t+24是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）（2017?泰安）分式7x−2与x2−x的和为4，则x的值为 3 ．【考点】B3：解分式方程．【专题】17 ：推理填空题．【分析】首先根据分式7x−2与x2−x的和为4，可得：7x−2+x2−x=4，然后根据解分式方程的方法，求出x 的值为多少即可．【解答】解：∵分式7x−2与x 2−x 的和为4， ∴7x−2+x 2−x=4， 去分母，可得：7﹣x=4x ﹣8解得：x=3经检验x=3是原方程的解，∴x 的值为3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．22．（3分）（2017?泰安）关于x 的一元二次方程x 2+（2k ﹣1）x+（k 2﹣1）=0无实数根，则k 的取值范围为 k ＞54 ． 【考点】AA ：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）＜0，解得k ＞54． 故答案为k ＞54． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．23．（3分）（2017?泰安）工人师傅用一张半径为24cm ，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 2√119cm ．【考点】MP ：圆锥的计算．【分析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm ，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=150π×24180，解得：r=10，故这个圆锥的高为：√242−102=2√119（cm）．故答案为：2√119（cm）．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键．24．（3分）（2017?泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB 上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为√3．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=12AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN?cos∠N=2×√32=√3，故答案为：√3．【点评】本题考查含30°直角三角形的性质、轴对称﹣﹣最短路线问题及三角函数，正确确定P点的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）（2017?泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=12，OB=2√5，反比例函数y=kx的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB 求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M （8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a ，∵tan ∠AOB=BD OD =12， ∴OD=2BD ．∵∠ODB=90°，OB=2√5，∴a 2+（2a ）2=（2√5）2，解得a=±2（舍去﹣2），∴a=2．∴OD=4，∴B （4，2），∴k=4×2=8，∴反比例函数表达式为：y=8k； （2）∵tan ∠AOB=12，OB=2√5， ∴AB=12OB=√5， ∴OA=√OB 2+AB 2=√(2√5)2+(√5)2=5，∴A （5，0）．又△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，B （4，2），∴OM=2OB ，∴M （8，4）．把点M 、A 的坐标分别代入y=mx+n ，得{5m +n =08m +n =4， 解得{m =43n =−203， 故一次函数表达式为：y=43x ﹣203．【点评】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．26．（8分）（2017?泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A ：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元，根据题意可得：{200x +200y =8000y −x =20， 解得：{x =10y =30，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥，答：大樱桃的售价最少应为元/千克．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键．27．（10分）（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，∵∠BDC=∠PDC ，∴CE=CM ，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P ，∴△CPM ∽△APD ， ∴CM AD =PC PA ， 设CM=CE=x ，∵CE ：CP=2：3，∴PC=32x ， ∵AB=AD=AC=1，∴x 1=32x 32x+1， 解得：x=13， 故AE=1﹣13=23．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM ∽△APD 是解题关键．28．（11分）（2017?泰安）如图，是将抛物线y=﹣x 2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=32x+32，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，。
泰安市中考数学试题及答案
泰安市中考数学试题及答案第一部分：选择题（每小题4分，共80分）1.已知函数y=2x+1，求x=3时对应的y值是多少？解析：将x=3代入函数公式y=2x+1，则可得到y=2*3+1=7。
因此，当x=3时，y的值为7。
答案：72.某公司的年利润为100万元，公司将利润按照员工年薪的一半比例进行分配，如果该公司有40名员工，请问每名员工的年薪是多少万元？解析：利润的一半即为50万元，将50万元平均分给40名员工，每名员工的年薪为50/40=1.25万元。
答案：1.253.已知三角形ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则∠C的度数是多少？解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°。
答案：70°4.在平面直角坐标系中，点A(-2,3)与点B(5,-1)的连线AB的长度是多少？解析：根据两点间距离公式，点A(-2,3)与点B(5,-1)的距离AB可以计算为√[(-2-5)^2+(3-(-1))^2]=√74。
答案：√745.已知某地每年增长5%的人口，今年该地人口为200万人，请问三年后该地的人口将达到多少万人？解析：今年的人口为200万人，根据每年增长5%的条件，三年后的人口可以计算为200*(1+0.05)^3≈231.25（约等于231）万人。
答案：231......（依此类推，共有20道选择题题目和答案）第二部分：填空题（每小题4分，共40分）1.简化下列代数表达式：(3a^2b^3)^2÷(-9a^4b^2)。
解析：首先对指数进行运算，(3a^2b^3)^2=9a^4b^6；而(-9a^4b^2)可化简为-9a^4b^2。
将两者相除，得到答案：-1b^4/6。
答案：-1b^4/62.一个有理数x，当x乘以3的结果再减去14等于7，求x的值。
解析：根据题意，可列出方程式：3x-14=7。
山东省泰安市中考数学试卷有答案解析
2017年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（）A．﹣πB．﹣3 C．﹣1 D．﹣2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2?a2=2a2 B．a2+a2=a4C．（1+2a）2=1+2a+4a2 D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a23．（3分）下列图案其中，中心对称图形是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（3分）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（）A．3×1014美元 B．3×1013美元C．3×1012美元D．3×1011美元5．（3分）化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（）A． B．C．D．6．（3分）下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=38．（3分）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）不等式组＞＜的解集为x＜2，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤110．（3分）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=11．（3分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A，B，C，D四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（）A．本次抽样测试的学生人数是40 B．在图1中，∠α的度数是126°C．该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.212．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2α B．2α C．90°+αD．90°﹣α13．（3分）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜014．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．C．D．15．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个 D．4个16．（3分）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.617．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°18．（3分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°19．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）分式与的和为4，则x的值为．22．（3分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为．23．（3分）工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为．24．（3分）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ 的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．26．（8分）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？27．（10分）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．28．（11分）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q 的坐标；若不存在，说明理由．29．（11分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．2017年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．（3分）（2017?泰安）下列四个数：﹣3，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是（）A．﹣πB．﹣3 C．﹣1 D．﹣【考点】2A：实数大小比较．【分析】将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵﹣1＞﹣＞﹣3＞﹣π，∴最小的数为﹣π，故选A．【点评】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）（2017?泰安）下列运算正确的是（）A．a2?a2=2a2B．a2+a2=a4C．（1+2a）2=1+2a+4a2D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2【考点】4F：平方差公式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．【解答】解：A、a2?a2=a4，此选项错误；B、a2?a2=2a2，此选项错误；C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误；D、（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、整式的加法及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．3．（3分）（2017?泰安）下列图案其中，中心对称图形是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：①不是中心对称图形；②不是中心对称图形；③是中心对称图形；④是中心对称图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）（2017?泰安）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（）A．3×1014美元B．3×1013美元C．3×1012美元D．3×1011美元【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3万亿=3 0000 0000 0000=3×1012，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2017?泰安）化简（1﹣）÷（1﹣）的结果为（）A．B．C．D．【考点】6C：分式的混合运算．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=?=，故选A【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）（2017?泰安）下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可．【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．7．（3分）（2017?泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【专题】11 ：计算题；521：一次方程（组）及应用．【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（3分）（2017?泰安）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】11 ：计算题．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，所以成的两位数是3的倍数的概率=．故选B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．．9．（3分）（2017?泰安）不等式组＞＜的解集为x＜2，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组＞＜，得＜＜．∵不等式组＞＜的解集为x＜2，∴k+1≥2，解得k≥1．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．10．（3分）（2017?泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10=B．+10=C．﹣10=D．+10=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=．故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．11．（3分）（2017?泰安）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A，B，C，D四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（）A．本次抽样测试的学生人数是40B．在图1中，∠α的度数是126°C．该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为0.2【考点】X4：概率公式；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】利用扇形统计图以及条形统计图分别分析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计总体即可．【解答】解：A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（人），正确，不合题意；B、∵×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；C、该校九年级有学生500名，估计D级的人数为：500×=100（人），故此选项错误，符合题意；D、从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为：=0.2，正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式以及利用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图等知识，由图形获取正确信息是解题关键．12．（3分）（2017?泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2α B．2α C．90°+αD．90°﹣α【考点】M5：圆周角定理．【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵连接OC，∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，∴∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（3分）（2017?泰安）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0【考点】F5：一次函数的性质．【分析】由一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x 的增大而减小，∴k﹣2＜0，﹣m＜0，∴k＜2，m＞0．故选A．【点评】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出k﹣2＜0、﹣m＜0是解题的关键．14．（3分）（2017?泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．C．D．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．15．（3分）（2017?泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=，故②错误，当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确，方程ax2+bx+c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于=3，小于3+1=4，故④错误，故选B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．16．（3分）（2017?泰安）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.6【考点】W4：中位数；VA：统计表；W2：加权平均数．【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可．【解答】解：共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是（20+20）÷2=20；平均数=（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6；故选：D．【点评】此题考查了中位数与平均数公式；熟记平均数公式，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．17．（3分）（2017?泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．18．（3分）（2017?泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，故选C．【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．19．（3分）（2017?泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质．【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．20．（3分）（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】H7：二次函数的最值．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC==6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ =S△ABC﹣S△CPQ=AC?BC﹣PC?CQ=×6×8﹣（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ=t2﹣6t+24是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）（2017?泰安）分式与的和为4，则x的值为 3 ．【考点】B3：解分式方程．【专题】17 ：推理填空题．【分析】首先根据分式与的和为4，可得：+=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．【解答】解：∵分式与的和为4，∴+=4，去分母，可得：7﹣x=4x﹣8解得：x=3经检验x=3是原方程的解，∴x的值为3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．22．（3分）（2017?泰安）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为k＞．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞．故答案为k＞．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．23．（3分）（2017?泰安）工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为2cm ．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=，解得：r=10，故这个圆锥的高为：=2（cm）．故答案为：2（cm）．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键．24．（3分）（2017?泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN?cos∠N=2×=，故答案为：．【点评】本题考查含30°直角三角形的性质、轴对称﹣﹣最短路线问题及三角函数，正确确定P点的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）（2017?泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=，OB=2，反比例函数y=的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，∵tan∠AOB==，∴OD=2BD．∵∠ODB=90°，OB=2，∴a2+（2a）2=（2）2，解得a=±2（舍去﹣2），∴a=2．∴OD=4，∴B（4，2），∴k=4×2=8，∴反比例函数表达式为：y=；（2）∵tan∠AOB=，OB=2，∴AB=OB=，∴OA==5，∴A（5，0）．又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），∴OM=2OB，∴M（8，4）．把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得，解得，故一次函数表达式为：y=x﹣．【点评】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．26．（8分）（2017?泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：，解得：，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键．27．（10分）（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．28．（11分）（2017?泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．。
山东省泰安市中考数学试卷含答案解析版
山东省泰安市中考数学试卷含答案解析版TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2017年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣√3，﹣π，﹣1，其中最小的数是（ ） A ．﹣πB ．﹣3C ．﹣1D ．﹣√32．（3分）下列运算正确的是（ ） A ．a 2a 2=2a 2 B ．a 2+a 2=a 4 C ．（1+2a ）2=1+2a +4a 2 D ．（﹣a +1）（a +1）=1﹣a 23．（3分）下列图案其中，中心对称图形是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④4．（3分）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（ ） A ．3×1014美元B ．3×1013美元C ．3×1012美元D ．3×1011美元5．（3分）化简（1﹣2x−1x ）÷（1﹣1x ）的结果为（ ） A ．x−1x+1B ．x+1x−1C ．x+1xD ．x−1x6．（3分）下面四个几何体：其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（3分）一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ ） A ．（x ﹣3）2=15 B ．（x ﹣3）2=3 C ．（x +3）2=15D ．（x +3）2=38．（3分）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）A ．14B ．516C ．716D ．129．（3分）不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤110．（3分）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）A ．10000x ﹣10=14700(1+40%)x B ．10000x +10=14700(1+40%)x C ．10000(1−40%)x ﹣10=14700x D ．10000(1−40%)x +10=14700x11．（3分）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（ ）A ．本次抽样测试的学生人数是40B ．在图1中，∠α的度数是126°C ．该校九年级有学生500名，估计D 级的人数为80 D ．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A 级的概率为12．（3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC 等于（ ）A ．180°﹣2αB ．2αC ．90°+αD ．90°﹣α13．（3分）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0 14．（3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．25315．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3y ﹣3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y 随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．（3分）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，B．20，C．10，D．20，17．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°18．（3分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°19．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC 向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．（3分）分式7x−2与x2−x的和为4，则x的值为．22．（3分）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为．23．（3分）工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为．24．（3分）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=12，OB=2√5，反比例函数y=kx的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．26．（8分）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元销售完后，该水果商共赚了多少元钱（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？27．（10分）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．28．（11分）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．29．（11分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．2017年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．（3分）（2017?泰安）下列四个数：﹣3，﹣√3，﹣π，﹣1，其中最小的数是（）A．﹣πB．﹣3 C．﹣1 D．﹣√3【考点】2A：实数大小比较．【分析】将四个数从大到小排列，即可判断．【解答】解：∵﹣1＞﹣√3＞﹣3＞﹣π，∴最小的数为﹣π，故选A．【点评】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）（2017?泰安）下列运算正确的是（）A．a2a2=2a2B．a2+a2=a4C．（1+2a）2=1+2a+4a2D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2【考点】4F：平方差公式；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．【分析】根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．【解答】解：A、a2a2=a4，此选项错误；B、a2a2=2a2，此选项错误；C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误；D、（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、整式的加法及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．3．（3分）（2017?泰安）下列图案其中，中心对称图形是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：①不是中心对称图形；②不是中心对称图形； ③是中心对称图形； ④是中心对称图形． 故选：D ．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）（2017?泰安）“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”，将数据3万亿美元用科学记数法表示为（ ） A ．3×1014美元B ．3×1013美元C ．3×1012美元D ．3×1011美元【考点】1I ：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【解答】解：3万亿=3 0000 0000 0000=3×1012， 故选：C ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5．（3分）（2017?泰安）化简（1﹣2x−1x ）÷（1﹣1x）的结果为（ ）A ．x−1x+1B ．x+1x−1C ．x+1xD ．x−1x【考点】6C ：分式的混合运算． 【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=x 2−2x+1x 2÷x 2−1x 2=(x−1)2x 2x 2(x+1)(x−1)=x−1x+1，故选A【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（3分）（2017?泰安）下面四个几何体： 其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可． 【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱， 故选：B ．【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．7．（3分）（2017?泰安）一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ ） A ．（x ﹣3）2=15B ．（x ﹣3）2=3C ．（x +3）2=15D ．（x +3）2=3【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【专题】11 ：计算题；521：一次方程（组）及应用． 【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】解：方程整理得：x 2﹣6x=6， 配方得：x 2﹣6x +9=15，即（x ﹣3）2=15， 故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．（3分）（2017?泰安）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）A ．14B ．516C ．716D ．12【考点】X6：列表法与树状图法． 【专题】11 ：计算题．【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5， 所以成的两位数是3的倍数的概率=516．故选B ．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．．9．（3分）（2017?泰安）不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤1【考点】CB ：解一元一次不等式组．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1，得{x ＜2x ＜k +1． ∵不等式组{2x +9＞6x +1x −k ＜1的解集为x ＜2，∴k +1≥2， 解得k ≥1． 故选：C ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k 的不等式，难度适中．10．（3分）（2017泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）A ．10000x ﹣10=14700(1+40%)xB ．10000x +10=14700(1+40%)xC ．10000(1−40%)x ﹣10=14700xD ．10000(1−40%)x +10=14700x【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可． 【解答】解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为：10000x +10=14700(1+40%)x． 故选：B ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．11．（3分）（2017?泰安）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A ，B ，C ，D 四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供的信息，结论错误的是（）A．本次抽样测试的学生人数是40B．在图1中，∠α的度数是126°C．该校九年级有学生500名，估计D级的人数为80D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为【考点】X4：概率公式；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【分析】利用扇形统计图以及条形统计图分别分析得出总人数以及结合α的度数、利用样本估计总体即可．【解答】解：A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（人），正确，不合题意；B、∵40−8−12−640×360°=126°，∠α的度数是126°，故此选项正确，不合题意；C、该校九年级有学生500名，估计D级的人数为：500×840=100（人），故此选项错误，符合题意；D、从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A级的概率为：840=，正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式以及利用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图等知识，由图形获取正确信息是解题关键．12．（3分）（2017?泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）A．180°﹣2α B．2α C．90°+αD．90°﹣α【考点】M5：圆周角定理．【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵连接OC，∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，∴∠BOC=2∠A=2α，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC2=90°﹣α．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（3分）（2017?泰安）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0【考点】F5：一次函数的性质．【分析】由一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x 的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，∴k﹣2＜0，﹣m＜0，∴k＜2，m＞0．故选A．【点评】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出k﹣2＜0、﹣m＜0是解题的关键．14．（3分）（2017?泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．253【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴ABMC=BMCG，即127=5CG，解得CG=3512，∴DG=12﹣3512=10912．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴MCDE=CGDG，即7DE=351210912，解得DE=1095．故选B ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．15．（3分）（2017?泰安）已知二次函数y=ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y﹣3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】HA ：抛物线与x 轴的交点；H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=0+32=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，当x ＞32时，y 随x 的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=﹣1时，y=﹣3，可以得到方程ax 2+bx +c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题． 【解答】解：由表格可知，二次函数y=ax 2+bx +c 有最大值，当x=0+32=32时，取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x=32，故②错误，当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，故③正确，方程ax 2+bx +c=0的一个根大于﹣1，小于0，则方程的另一个根大于2×32=3，小于3+1=4，故④错误， 故选B ．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．16．（3分）（2017?泰安）某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元 5 10 20 50 100人数 4 16 15 9 6则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（）A．10，B．20，C．10，D．20，【考点】W4：中位数；VA：统计表；W2：加权平均数．【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可．【解答】解：共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是（20+20）÷2=20；平均数=150（5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=；故选：D．【点评】此题考查了中位数与平均数公式；熟记平均数公式，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．17．（3分）（2017?泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°；故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．18．（3分）（2017?泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小．【解答】解：如图：显然，旋转角为90°，故选C．【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．19．（3分）（2017?泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质．【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．20．（3分）（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s 的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【考点】H7：二次函数的最值．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=2−BC2=6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，∴S 四边形PABQ =S △ABC ﹣S △CPQ =12AC?BC ﹣12PC?CQ=12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t=t 2﹣6t +24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故选C ．【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S 四边形PABQ =t2﹣6t +24是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 21．（3分）（2017?泰安）分式7x−2与x2−x的和为4，则x 的值为 3 ．【考点】B3：解分式方程． 【专题】17 ：推理填空题． 【分析】首先根据分式7x−2与x2−x 的和为4，可得：7x−2+x2−x=4，然后根据解分式方程的方法，求出x 的值为多少即可． 【解答】解：∵分式7x−2与x 2−x 的和为4， ∴7x−2+x2−x=4， 去分母，可得：7﹣x=4x ﹣8 解得：x=3经检验x=3是原方程的解， ∴x 的值为3． 故答案为：3．【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．22．（3分）（2017?泰安）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为k＞54．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞5 4．故答案为k＞5 4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．23．（3分）（2017?泰安）工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为2√119cm．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=150π×24180，解得：r=10，故这个圆锥的高为：√242−102=2√119（cm）．故答案为：2√119（cm）．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键．24．（3分）（2017?泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB 上的一动点，PQ⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为√3．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，则NQ的长即为PM+PQ的最小值，连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，∵∠NPB=∠APQ，∴∠N=∠BAC=30°，∵∠BAC=30°，AM=2，∴MD=12AM=1，∴MN=2，∴NQ=MN?cos∠N=2×√32=√3，故答案为：√3．【点评】本题考查含30°直角三角形的性质、轴对称﹣﹣最短路线问题及三角函数，正确确定P点的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分）25．（8分）（2017?泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=12，OB=2√5，反比例函数y=kx的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．【分析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M （8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，∵tan∠AOB=BDOD=12，∴OD=2BD．∵∠ODB=90°，OB=2√5，∴a2+（2a）2=（2√5）2，解得a=±2（舍去﹣2），∴a=2．∴OD=4，∴B（4，2），∴k=4×2=8，∴反比例函数表达式为：y=8 k ；（2）∵tan∠AOB=12，OB=2√5，∴AB=12OB=√5，∴OA=2+AB2=√(2√5)2+(√5)2=5，∴A（5，0）．又△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，B （4，2）， ∴OM=2OB ， ∴M （8，4）．把点M 、A 的坐标分别代入y=mx +n ，得 {5m +n =08m +n =4， 解得{m =43n =−203，故一次函数表达式为：y=43x ﹣203．【点评】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．26．（8分）（2017?泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元销售完后，该水果商共赚了多少元钱（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？ 【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A ：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：{200x+200y=8000 y−x=20，解得：{x=10 y=30，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥，答：大樱桃的售价最少应为元/千克．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键．27．（10分）（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD +∠BDC=90°， ∵AC=AD ， ∴∠ACD=∠ADC ， ∴∠ADC +∠BDC=90°， ∴∠BDC=∠PDC ；（2）解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ， ∵∠BDC=∠PDC ， ∴CE=CM ，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P ， ∴△CPM ∽△APD ，∴CM AD =PC PA， 设CM=CE=x ， ∵CE ：CP=2：3，∴PC=32x ，∵AB=AD=AC=1，∴x 1=32x 32x+1， 解得：x=13，故AE=1﹣13=23．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM ∽△APD 是解题关键．28．（11分）（2017?泰安）如图，是将抛物线y=﹣x 2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=32x+32，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．。
2019年山东省泰安市中考数学试题(word版,含解析)
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4 3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA 以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE 交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
山东省泰安市中考数学试题(word版 解析版)
泰安市初中学业水平考试数学试题一.选择题（本大题共12个小题，在每小题给出四个选项中，只有一个是正确，请把正确选项选出来，每小题选对3分，选错.不选或选出答案超过一个，均记零分）1. 计算：结果是（）A. -3B. 0C. -1D. 3【答案】D【解析】分析：根据相反数概念.零指数幂运算法则计算即可.详解：原式=2+1=3.故选D.点睛：本题考查是零指数幂运算，掌握任何非零数零次幂等于1是解题关键.2. 下列运算正确是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据合并同类项法则.同底数幂乘.除法法则.积乘方法则计算，判断即可.详解：2y3+y3=3y3，故A错误；y2•y3=y5，故B错误；（3y2）3=27y6，故C错误；y3÷y﹣2=y3﹣（﹣2）=y5.故D正确.故选D.点睛：本题考查是合并同类项.同底数幂乘法.积乘方.同底数幂除法，掌握它们运算法则是解题关键.3. 如图是下列哪个几何体主视图与俯视图（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用主视图以及俯视图观察角度结合结合几何体形状得出答案.详解：由已知主视图和俯视图可得到该几何体是圆柱体一半，只有选项C符合题意.故选C.点睛：本题主要考查了由三视图判断几何体，正确掌握常见几何体形状是解题关键.4. 如图，将一张含有角三角形纸片两个顶点叠放在矩形两条对边上，若，则大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：依据平行线性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论.详解：如图，∵矩形对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°.故选A.点睛：本题主要考查了平行线性质以及三角形外角性质运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等.5. 某中学九年级二班六级8名同学在一次排球垫球测试中成绩如下（单位：个）35 38 42 44 40 47 45 45则这组数据中位数.平均数分别是（）A. 42.42B. 43.42C. 43.43D. 44.43【答案】B【解析】分析：根据中位线概念求出中位数，利用算术平均数计算公式求出平均数.详解：把这组数据排列顺序得：35 38 40 42 44 45 45 47，则这组数据中位数为：=43，=（35+38+42+44+40+47+45+45）=42.故选B.点睛：本题考查是中位数确定.算术平均数计算，掌握中位数概念.算术平均数计算公式是解题关键.6. 夏季来临，某超市试销.两种型号风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问.两种型号风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用两周内共销售30台，销售收入5300元，分别得出等式进而得出答案.详解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为：.故选C.点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键.7. 二次函数图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用二次函数图象得出a，b取值范围，进而结合反比例函数以及一次函数性质得出答案.详解：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b＞0，故反比例函数y=图象分布在第一.三象限，一次函数y=ax+b经过第一.二.三象限.故选C.点睛：本题主要考查了二次函数.一次函数.反比例函数图象，正确得出a，b取值范围是解题关键.8. 不等式组有3个整数解，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解不等式组，可得不等式组解，根据不等式组有3个整数解，可得答案.详解：不等式组，由﹣x＜﹣1，解得：x＞4，由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，故不等式组解为：4＜x≤2﹣a，由关于x不等式组有3个整数解，得：7≤2﹣a＜8，解得：﹣6＜a≤﹣5.故选B.点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式解得出关于a不等式是解题关键.9. 如图，与相切于点，若，则度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：连接OA.OB，由切线性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案.详解：如图，连接OA.OB.∵BM是⊙O切线，∴∠OBM=90°.∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°.故选A.10. 一元二次方程根情况是（）A. 无实数根B. 有一个正根，一个负根C. 有两个正根，且都小于3D. 有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x值.详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3.故选D.点睛：本题主要考查了一元二次方程解法，正确解方程是解题关键.11. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据P1与P2关于原点对称，即可解决问题.详解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1.∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6）.∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6）.故选A.12. 如图，半径为2，圆心坐标为，点是上任意一点，，且.与轴分别交于.两点，若点.点关于原点对称，则最小值为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析：连接OP.由直角三角形斜边上中线等于斜边一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短.连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论.详解：连接OP.∵P A⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短.连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB最小值为2OP=6.故选C.点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线性质以及两点间距离公式.解题关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半把AB长转化为2OP.二.填空题（本大题共6小题，满分18分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分）13. 一个铁原子质量是，将这个数据用科学记数法表示为__________.【答案】【解析】分析：科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同.当原数绝对值＜1时，n是负数；n绝对值等于第一个非零数前零个数.详解：0.000000000000000000000000093=9.3×10﹣26.故答案为：9.3×10﹣26.点睛：本题考查了科学记数法表示方法.科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a值以及n值.14. 如图，是外接圆，，，则直径．．为__________.【答案】【解析】分析：连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O直径为4.详解：如图，连接OB，OC.∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形.又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O直径为4.故答案为：4.点睛：本题主要考查了三角形外接圆以及圆周角定理运用，三角形外接圆圆心是三角形三条边垂直平分线交点，叫做三角形外心.15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若延长线恰好过点，则值为__________.【答案】【解析】分析：先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论.详解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，∴∠BA'C=90°.在Rt△A'CB中，A'C==8，设AE=x，则A'E=x，∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x.在Rt△CDE中，根据勾股定理得：（10﹣x）2+36=（8+x）2，∴x=2，∴AE=2.在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE==2，∴sin∠ABE==.故答案为：.点睛：本题主要考查了折叠性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解答本题关键.16. 如图，在中，，，，点是边上动点（不与点重合），过作，垂足为，点是中点，连接，设，面积为，则与之间函数关系式为__________.【答案】【解析】分析：由=，CD=x，得到DE=，CE=，则BE=10－，由ΔDEB面积S等于△BDE 面积一半，即可得出结论.详解：∵DE⊥BC，垂足为E，∴tan∠C==，CD=x，∴DE=，CE=，则BE=10－，∴S=S△BED=（10－）•化简得：.故答案为：.点睛：本题考查了动点问题函数解析式，解题关键是设法将BE与DE都用含有x代数式表示.17. 《九章算术》是中国传统数学最重要著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代长度单位）正方形小城，东门位于中点，南门位于中点，出东门15步处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处树木（即点在直线上）？请你计算长为__________步.【答案】【解析】分析：由正方形性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论.详解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°.∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA.∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，解得：CK=.故答案为：.点睛：本题考查了相似三角形应用.解题关键是证明△CKD∽△DHA.三.解答题（本大题共7小题，满分66分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）18. 先化简，再求值：，其中.【答案】.【解析】分析：先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m值代入计算可得.详解：原式=÷（﹣）=÷=•=﹣=当m=﹣2时，原式=﹣=﹣=﹣1+2=.点睛：本题主要考查分式化简求值，解题关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.19. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲.乙两种图书进价分别为每本20元.14元，甲种图书每本售价是乙种图书每本售价1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书本数比用1400元购买乙种图书本数少10本.（1）甲乙两种图书售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进两种图书全部销售完.）【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.【解析】分析：（1）乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元，根据“用1680元在文美书店可购买甲种图书本数比用1400元购买乙种图书本数少10本”列出方程求解即可；（2）设甲种图书进货本，总利润元，根据题意列出不等式及一次函数，解不等式求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大方案.详解：（1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元.由题意得：，解得：.经检验，是原方程解.所以，甲种图书售价为每本元，答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元.（2）设甲种图书进货本，总利润元，则.又∵，解得：.∵随增大而增大，∴当最大时最大，∴当本时最大，此时，乙种图书进货本数为（本）.答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.点睛：本题考查了一次函数应用，分式方程应用，一元一次不等式应用，理解题意找到题目蕴含相等关系或不等关系是解应用题关键.20. 为增强学生安全意识，我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取了一个班学生成绩进行整理，分为，，，四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供信息，完成下列问题：（1）请估计本校初三年级等级为学生人数；（2）学校决定从得满分3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛，请求出恰好抽到2名女生和1名男生概率.【答案】（1）估计该校初三等级为学生人数约为125人；（2）恰有2名女生，1名男生概率为. 【解析】分析：（1）先根据C等级人数及其所占百分比求得总人数，用总人数减去B.C.D人数求得A等级人数，再用总人数乘以样本中A等级人数所占比例；（2）列出从3名女生和2名男生中随机抽取3人所有等可能结果，再从中找到恰好抽到2名女生和1名男生结果数，根据概率公式计算可得.详解：（1）∵所抽取学生总数为8÷20%=40人，∴该班级等级为A学生人数为40﹣（25+8+2）=5人，则估计本校初三年级等级为A学生人数为1000×=125人；（2）设两位满分男生记为A1.A2.三位满分女生记为B1.B2.B3，从这5名同学中选3人所有等可能结果为：（B1，B2，B3）.（A2，B2，B3）.（A2，B1，B3）.（A2，B1，B2）.（A1，B2，B3）.（A1，B1，B3）.（A1，B1，B2）.（A1，A2，B3）.（A1，A2，B2）.（A1，A2，B1），其中恰好有2名女生.1名男生结果有6种，所以恰好抽到2名女生和1名男生概率为=.点睛：本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.21. 如图，矩形两边.长分别为3.8，是中点，反比例函数图象经过点，与交于点.（1）若点坐标为，求值及图象经过.两点一次函数表达式；（2）若，求反比例函数表达式.【答案】（1），；（2）.【解析】分析：（1）由已知求出A.E坐标，即可得出m值和一次函数函数解析式；（2）由，得到，由，得到.设点坐标为，则点坐标为，代入反比例函数解析式即可得到结论.详解：（1）∵为中点，∴.∵反比例函数图象过点，∴.设图象经过.两点一次函数表达式为：，∴，解得，∴.（2）∵，∴.∵，∴，∴.设点坐标为，则点坐标为.∵两点在图象上，∴，解得：，∴，∴，∴.点睛：本题考查了矩形性质以及反比例函数一次函数解析式.解题关键是求出点A.E.F坐标. 22. 如图，中，是上一点，于点，是中点，于点，与交于点，若，平分，连接，.（1）求证：；（2）小亮同学经过探究发现：.请你帮助小亮同学证明这一结论.（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）四边形是菱形，理由见解析.【解析】分析：（1）由条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，由F是AD中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△P AG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；（3）由∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF 是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形.详解：（1）∵AF=FG，∴∠F AG=∠FGA.∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG.∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED.∵F是AD中点，FG∥AE，∴H是ED中点，∴FG是线段ED垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△P AG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形.证明如下：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形.点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了菱形判定.全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定与性质以及含30°角直角三角形性质综合运用，利用全等三角形对应边相等，对应角相等是解决问题关键.23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点.，交轴于点，在轴上有一点，连接.（1）求二次函数表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方一个动点，求面积最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数解析式为；（2）当时，面积取得最大值；（3）点坐标为，，.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P坐标，分P A=PE，P A=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可.详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）.B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函数解析式为：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，），则点F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴当m=时，△ADE面积取得最大值为.（3）y=对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求P A=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当P A=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；当P A=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）.综上所述：P点坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）.点睛：本题主要考查二次函数综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积最大值，会分类讨论解决等腰三角形顶点存在问题时解决此题关键.24. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是BD上一点，EF//AB，∠EAB=∠EBA，过点B作DA垂线，交DA延长线于点G.（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）找出图中与ΔAGB相似三角形，并证明；（3）BF延长线交CD延长线于点H，交AC于点M.求证：BM2=MF⋅MH.【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）先判断出∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，即可得出结论；（2）先判断出∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，进而得出∠GAB=∠AEO，即可得出结论；（3）先判断出BM=DM，∠ADM=∠ABM，进而得出∠ADM=∠H，判断出△MFD∽△MDH，即可得出结论.详解：（1）∠DEF=∠AEF，理由如下：∵EF∥AB，∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB.∵∠EAB=∠EBA，∴∠DEF=∠AEF；（2）△EOA∽△AGB，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE.∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE.∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°，∴△EOA∽△AGB；（3）如图，连接DM.∵四边形ABCD是菱形，由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM.∵AB∥CH，∴∠ABM=∠H，∴∠ADM=∠H.∵∠DMH=∠FMD，∴△MFD∽△MDH，∴，∴DM2=MF•MH，∴BM2=MF•MH.点睛：本题是相似形综合题，主要考查了菱形性质，对称性，相似三角形判定和性质，判断出△EOA∽△AGB是解答本题关键.。
2022年山东省泰安市中考数学真题(解析版)
泰安市2022年初中学业水平测试本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷Ⅰ至3页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答．2，考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.5-的倒数是【】A.15 B.15- C.5 D.5-【答案】A【解析】【详解】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以结合绝对值的意义，得5-的倒数为1115==55÷--．故选A ．2.计算（a 3）2•a 3的结果是（）A.a 8B.a 9C.a 10D.a 11【答案】B【解析】【分析】先计算幂的乘方，然后再计算同底数幂的乘法即可．【详解】(a 3)2•a 3=6 a •39 a a =，故选：B ．【点睛】本题考查了幂的运算，熟记幂的乘方和同底数幂的乘法公式是解决此题的关键．3.某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】找到从上面看所得到的图形即可：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环．故选C4.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC ＝40°，则∠CAP＝（）A.40°B.45°C.50°D.60°【答案】C【解析】【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．5.某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（）A.15.5，15.5B.15.5，15C.15，15.5D.15，15【答案】D【解析】【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：132146158163172181268321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++=15岁，该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，故选：D ．6.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x 天，下面所列方程中错误的是（）A.2x 1x x 3+=+ B.23x x 3=+ C.11x 221x x 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭ D.1x 1x x 3+=+【答案】D【解析】【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x ；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x 3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x 天，由题意可得，11x 221x x 3x 3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭，整理得2x 1x x 3+=+，或2x 1x x 3=-+或23x x 3=+．则ABC 选项均正确，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．7.如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确；C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a -＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误；D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．8.已知方程3a 1a a 44a --=--，且关于x 的不等式a x b <≤只有4个整数解，那么b 的取值范围是（）A.23b <≤ B.34b <≤ C.23b ≤< D.34b ≤<【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．3-a -a 2+4a =-1，即a 2-3a -4=0，分解因式得：（a -4）（a +1）=0，解得：a =-1或a =4，经检验a =4是增根，分式方程的解为a =-1，当a =-1时，由a ＜x ≤b 只有4个整数解，得到3≤b ＜4．故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.如图，点I 为的ABC 内心，连接A I 并延长交ABC 的外接圆于点D ，点E 为弦AC 的中点，连接CD ，EI ，IC ，当2AI CD =，6IC =，5ID =时，IE 的长为（）A.5B.4.5C.4D. 3.5【答案】C【解析】【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．∵I是△ABC的内心，∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，∴∠DIC=∠DCI，∴DI=DC=DM，∴∠ICM=90°，∴CM=8，∵AI=2CD=10，∴AI=IM，∵AE =EC ，∴IE 是△ACM 的中位线，∴IE =12CM =4，故选：C ．【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．10.一元二次方程2152121543x x x -++=-+根的情况是（）A.有一个正根，一个负根B.有两个正根，且有一根大于9小于12C.有两个正根，且都小于12D.有两个正根，且有一根大于12【答案】D【解析】【分析】将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案．【详解】解：如图，由题意二次函数y =212124x x -++，与y 交与点（0，12）与x 轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y =5153x -+，与y 交与点（0，15）与x 轴交于（9，0）因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．11.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ∆经过平移后得到111A B C ∆，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转180 ，对应点为2P ，则点2P 的坐标为（）A.(2.8,3.6)B. 2.8,6()3.--C.(3.8,2.6)D.(3.8,2.6)--【答案】A【解析】【详解】分析：由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1，再根据P 1与P 2关于原点对称，即可解决问题．详解：由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1．∵P （1.2，1.4），∴P 1（﹣2.8，﹣3.6）．∵P 1与P 2关于原点对称，∴P 2（2.8，3.6）．故选A ．点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12.如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA OB 、上，且3,5OM ON ==，点P 、Q 分别在边OB OA 、上，则MP PQ QN ++的最小值是（）A. B. C.2 D.2-【答案】A【解析】【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值；证出△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，得出∠N ′OM ′=90°，由勾股定理求出M ′N ′即可．【详解】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，如图所示：连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：5ON ON '==，3OM OM '==，∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∴∠NON ′=60°，'60MOM ∠=︒，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N =．故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上．）13.地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）【答案】7.1×10-7【解析】【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键．14.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD 翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于_____【答案】7 5【解析】【详解】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，∴BC5=，AD=BD=2.5，∴12BC·AH=12AC·AB，即2.5AH=6，∴AH=2.4，由折叠的性质可知，AE=AB，DE=DB=DC，∴AD是BE的垂直平分线，△BCE是直角三角形，∴S△ADB=12AD·OB=12BD·AH，∴OB=AH=2.4，∴BE=4.8，∴CE7 5 =．故答案为：7 5．【点睛】本题的解题要点有：（1）读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH ⊥BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O ，利用面积法求出AH 和OB 的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角．15.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是__________________．【答案】23π【解析】【分析】连接OO ′，BO ′，根据旋转的性质得到AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒，推出△OAO ′是等边三角形，得到60AOO '∠=︒，因为∠AOB ＝120°，所以60O OB '∠=︒，则OO B ' 是等边三角形，得到120AO B '∠=︒，得到30O B B O BB ''''∠=∠=︒，90B BO '∠=︒，根据直角三角形的性质得24B O OB '==，根据勾股定理得B B '=，用B OB '△的面积减去扇形O OB '的面积即可得．【详解】解：如图所示，连接OO ′，BO ′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒∴△OAO ′是等边三角形，∴60AOO '∠=︒，OO OA '=，∴点O '在⊙O 上，∵∠AOB ＝120°，∴60O OB '∠=︒，∴OO B ' 是等边三角形，∴120AO B '∠=︒，∵120AO B ''∠=︒，∴120B O B ''∠=︒，∴11(180)(180120)3022O B B O BB B O B ''''''∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，∴180180306090B BO OB B B OB '''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴24B O OB '==，在Rt B OB ' 中，根据勾股定理得，B B '==∴图中阴影部分的面积=216022223603B OB O OB S S ''⨯-=⨯⨯ 扇形ππ，故答案为：23π．【点睛】本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．16.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【解析】【分析】首先根据n =1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n ；然后根据n =1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n =1时，“•”的个数是3=3×1；n =2时，“•”的个数是6=3×2；n =3时，“•”的个数是9=3×3；n =4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n ；又∵n =1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n =2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n =3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n =4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．17.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度1:i =，且点A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．【答案】(20m +【解析】【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF x m ，求出x =10，则BH =DF =+30，CF =，DH =BF ，再求出AH =33DH ，即可求解．【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，∴DH =BF ，BH =DF ，∵斜坡的斜面坡度i =1∴:DF CF =，设DF =x m ，CF x m ，∴CD 220x ==，∴x =10，∴BH =DF =10m ，CF =m ，∴DH =BF =+30（m ），∵∠ADH =30°，∴AH =3103DH =+m ），∴AB =AH +BH =20+m ），故答案为：(20m +．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18.如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE =AP =1，PB 下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE ；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB ；⑤S 正方形ABCD ．其中正确结论的序号是．【答案】①③⑤【解析】【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB =∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP =90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；③利用①中的全等，可得∠APD =∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP =90°，即可证；④连接BD ，求出△ABD 的面积，然后减去△BDP 的面积即可；⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积．【详解】①∵∠EAB +∠BAP =90°，∠PAD +∠BAP =90°，∴∠EAB =∠PAD ，又∵AE =AP ，AB =AD ，∵在△APD 和△AEB 中，AE AP EAB PAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△AEB （SAS ）；故此选项成立；③∵△APD ≌△AEB ，∴∠APD =∠AEB ，∵∠AEB =∠AEP +∠BEP ，∠APD =∠AEP +∠PAE ，∴∠BEP =∠PAE =90°，∴EB ⊥ED ；故此选项成立；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，∵AE =AP ，∠EAP =90°，∴∠AEP =∠APE =45°，又∵③中EB ⊥ED ，BF ⊥AF ，∴∠FEB =∠FBE =45°，又∵BE=2PE -==，∴BF =EF=2，故此选项不正确；④如图，连接BD ，在Rt △AEP 中，∵AE =AP =1，∴EP =，又∵PB =∴BE =∵△APD ≌△AEB ，∴PD =BE =，∴S △ABP S △ADP =S △△BDP =12S 正方形ABCD -12×DP ×BE =12×（4+）-12×12+2．故此选项不正确．⑤∵EF =BF =2，AE=1，∴在Rt △ABF 中，AB 2=（AE +EF ）2+BF 2=4+，∴S 正方形ABCD =AB 2=4+，故此选项正确．故答案为①③⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）19.（1）若单项式14m n x y -与单项式33812m nx y --是一多项式中的同类项，求m 、n 的值；（2）先化简，再求值：211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =-．【答案】（1）m =2，n =-1；（2）21x +，4-【解析】【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m 和n 的值；（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．【详解】解：（1）由题意可得33814m n m n -=⎧⎨-=⎩①②，②-①3⨯，可得：55n -=，解得：1n =-，把1n =-代入①，可得：(1)3m --=，解得：2m =，m ∴的值为2，n 的值为1-；（2）原式(1)(1)[](1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21x =+，当1x =-时，原式21)12114=-+=-+=-【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式222()2a b a ab b +=++的结构是解题关键．20.如图，反比例函数y ＝mxy ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2，6），点B 的坐标为（n ，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．【答案】（1）y ＝12x ；y ＝12-x ＋7；（2）点E 的坐标为（0，6）或（0，8）．【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入y＝mx，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y＝mx，求出n的值，即可得点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y＝kx＋b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m ﹣7|，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．【详解】解：（1）把点A（2，6）代入y＝mx，得m＝12，则y＝12 x．把点B（n，1）代入y＝12x，得n＝12，则点B的坐标为（12，1）．由直线y＝kx＋b过点A（2，6），点B（12，1）得26 121 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得127kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则所求一次函数的表达式为y＝12-x＋7；（2）如图，直线AB与y P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，则点P的坐标为（0，7）．∴PE＝|m﹣7|．∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，∴12×|m﹣7|×（12﹣2）＝5∴|m﹣7|＝1∴m1＝6，m2＝8∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．21.为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：收集数据：七年级：8688959010095959993100八年级：100989889879895909089整理数据：成绩x （分）年级85＜x ≤9090＜x ≤9595＜x ≤100七年级343八年级5ab分析数据：统计量年级平均数中位数众数七年级94.195d 八年级93.4c98应用数据：（1）填空：=a ______，b =______，c =______，d =______；（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．【答案】（1）1，4，92.5，95；（2）80；（3）25【解析】【分析】（1）利用唱票的形式得到a 、b 的值，根据中位数的定义确定c 的值，根据众数的定义确定d 的值；（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）1a =，4b =，八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，所以八年级成绩的中位数909592.52c +==，七年级成绩中95出现的次数最多，则95d =；故答案为1，4，92.5，95；（2）42008010⨯=，估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，所以抽到同年级学生的概率82 205 ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．22.某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．（1）求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？（2）考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？【答案】（1）A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元（2）为使利润最大，购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．【解析】【分析】（1）设A和B的进价分别为x和y，台数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．（2）设购买B平板电脑a台，则购进A种平板电脑300001000500a-台，由题意可得到不等式组，解不等式组即可．【小问1详解】设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元．由题意得，1239000 669000x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得5001000 xy=⎧⎨=⎩，答：A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；【小问2详解】设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑300001000500a-台，由题意，得3000010002500 300001000 2.8500aaa a-⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得12.5≤a≤15，∵a为整数，∴a=13或14或15．设总利润为w，则：w=（700-500）×300001000500a-+（1300-1000）a=-100a+12000，∵-100＜0，∴w随a的增大而减小，∴为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台，A种平板电脑30000100135-⨯＝34台．答：购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．23.正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE DP⊥于E，点F在DP的延长线上，且DE EF=，连接AF BF、，∠的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：AEG△是等腰直角三角形；（2）求证：AG CG+=；（3）若2AB=，P为AB的中点，求BF的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义得到AF =AD ，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；（2）作CH ⊥DP ，交DP 于H 点，证明△ADE ≌△DCH （AAS ），得到CH =DE ，DH =AE =EG ，证明CG GH ，AG DH ，计算即可．（3）过点F 作FN CD ⊥交,AB CD 分别于点,M N ，则四边形AMND 是矩形，根据DFN ADF ∠=∠，得出tan tan ADP DFN ∠=∠，AP DN PM AD FN FM ==12=，设MB x =，则1PM x =-，则222FM PM x ==-，进而根据勾股定理建立方程求得BM ，在Rt FMB 中，勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵DE =EF ，AE ⊥DP ，∴AF =AD ，∴∠AFD =∠ADF ，∵∠ADF +∠DAE =∠PAE +∠DAE =90°，∴∠AFD =∠PAE ，∵AG 平分∠BAF ，∴∠FAG =∠GAP ．∵∠AFD +∠FAE =90°，∴∠AFD +∠PAE +∠FAP =90°∴2∠GAP +2∠PAE =90°，即∠GAE =45°，∴△AGE 为等腰直角三角形；【小问2详解】证明：作CH ⊥DP ，交DP 于H 点，∴∠DHC =90°．∵AE ⊥DP ，∴∠AED =90°，∴∠AED =∠DHC ．∵∠ADE +∠CDH =90°，∠CDH +∠DCH =90°，∴∠ADE =∠DCH ．∵在△ADE 和△DCH 中，AED DHC ADE DCH AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△DCH （AAS ），∴CH =DE ，DH =AE =EG ．∴EH +EG =EH +HD ，即GH =ED ，∴GH =CH ．∴CGGH ．∵AGEG ，∴AGDH ，∴CG +AGGHHD ，∴CG +AG（GH +HD ），即CG +AGDG ．【小问3详解】如图，过点F 作FN CD ⊥交,AB CD 分别于点,M N ，则四边形AMND 是矩形，∴AD FN ∥，∴2MN AD ==，P 为AB 的中点，2AB =，则112AP AB ==， AD FN ∥，DFN ADF ∴∠=∠，tan tan ADP DFN ∴∠=∠，AP DN PM AD FN FM ∴==12=，设MB x =，则1PM x =-，则222FM PM x ==-，Rt AFM △中，2,2AF AB AM AB MB x ===-=-，222AF FM AM =+，即()()2222222x x =-+-，解得25x =或2x =（舍去），25BM ∴=，262255FM =-⨯=，Rt FMB中，FB ===．【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握正方形的性质、解直角三角形，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.如图，抛物线2321y mx mx m =+-+的图象经过点C ，交x 轴于点()()12,0,,0A x B x （点A 在点B 左侧），且215x x -=连接BC ，D 是AC 上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，CD ，:DCE BCE S S △△是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D ，DF 垂直AC 于点F ，使得DCF 中有一个锐角等于与BAC ∠的两倍？若存在，求点D 得横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2132;22y x x =--+（2）存在，:DCE BCE S S △△的最大值是45，()2,3D -（3）存在，点D 的横坐标为2-或2911-【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得m 的值进而即可求解；（2）令y =0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得()4,0A -,()10B ,，进而求得直线AC 的解析式，，过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA =PC =PB =52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，情况一：如图2，∠DCF =2∠BAC =∠DGC +∠CDG ，情况二，∠FDC =2∠BAC ，解直角三角形即可得到结论．【小问1详解】由2321y mx mx m =+-+，令0y =，即23210mx mx m +-+=则12122112,3m x x x x m m-+⋅==-++=- 交x 轴于点()()12,0,,0Ax B x （点A 在点B 左侧），且215x x -=∴()12225x x -=即()21212425x x x x +-=∴()2134225m ⎛⎫--⨯-+= ⎪⎝⎭解得12m =-∴抛物线的函数表达式为213222y x x =--+；【小问2详解】由213222y x x =--+，令0y =，则213x x 2022--+=解得124,1x x =-=则()4,0A -,()10B ,令0x =，则2y =即()0,2C 设直线AC 的解析式为y kx b=+则402k b b -+=⎧⎨=⎩解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为122y x =+过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ，∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴:DCE BCE S S △△=DE ：BE =DM ：BN ，设D （a ，213222a a --+），∴M （a ，12a +2），∵B （1.0），∴N （1，52），∴:DCE BCE S S △△=DM ：BN =（-12a 2-2a ）：52∴:DCE BCE S S △△=-15（a +2）2+45；∴当a =-2时，S 1：S 2的最大值是45；213222a a --+3=，则()2,3D ；【小问3详解】∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC BC AB =5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （-32，0），∴PA =PC =PB =52，∴∠CPO =2∠BAC ，∴tan ∠CPO =tan （2∠BAC ）=43，过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，情况一：如图2，∴∠DCF =2∠BAC =∠DGC +∠CDG ，∴∠CDG =∠BAC ，∴tan ∠CDG =tan ∠BAC =12，即RC ：DR =12，令D （a ，-12a 2-32a +2），∴DR =-a ，RC =-12a 2-32a ，∴（-12a 2-32a ）：（-a ）=1：2，∴a 1=0（舍去），a 2=-2，∴x D =-2，情况二：∴∠FDC =2∠BAC ，∴tan ∠FDC =43，设FC =4k ，∴DF =3k ，DC =5k ，∵tan ∠DGC =3k ：FG =1：2，∴FG =6k ，∴CG =2k ，DG ∴2545,55RC k RG ==，1155DR DG RG k =-=，∴21152513.:():()():()5522DR RC k k a a a ==---，解得a 1=0（舍去），a 2=-2911，综上所述：点D 的横坐标为-2或2911．【点睛】本题考查了二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．25.如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD ，以AB 为直径的⊙O 经过点C ，连接AC ，OD 交于点E ．（1）证明：OD ∥BC ；（2）若tan ∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；（3）在（2）条件下，连接BD 交于⊙O 于点F ，连接EF ，若BC=1，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22【解析】【详解】【分析】（1）连接OC ，证△OAD ≌△OCD 得∠ADO=∠CDO ，由AD=CD 知DE ⊥AC ，再由AB 为直径知BC ⊥AC ，从而得OD ∥BC ；（2）根据tan ∠ABC=2可设BC=a 、则AC=2a 、=，证OE 为中位线知OE=12a 、AE=CE=12AC=a ，进一步求得DE==2a ，在△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；（3）先证△AFD ∽△BAD 得DF•BD=AD 2①，再证△AED ∽△OAD 得OD•DE=AD 2②，由①②得DF•BD=OD•DE ，即DF DE OD BD =，结合∠EDF=∠BDO 知△EDF ∽△BDO ，据此可得EF DE OB BD=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．【详解】（1）如图，连接OC ，在△OAD 和△OCD 中，OA OC AD CD OD OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAD ≌△OCD （）∴∠ADO=∠CDO ，又AD=CD ，∴DE ⊥AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=90°，即BC ⊥AC ，∴OD ∥BC ；（2）∵tan ∠ABC=AC BC=2，∴设BC=a 、则AC=2a ，∴=，∵OE ∥BC ，且AO=BO ，∴OE=12BC=12a ，AE=CE=12AC=a ，在△AED中，=2a，在△AOD中，AO2+AD2=（52）2+）2=254a2，OD2=（OF+DF）2=（12a+2a）2=254a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切；（3）如图，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DF ADAD BD=，即DF•BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴AD DEOD AD=，即OD•DE=AD2②，由①②可得DF•BD=OD•DE，即DF DE OD BD=，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴EF DE OB BD=，∵BC=1，∴OD=52、ED=2、、OB=2，2=，∴EF=2 2 .【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解题的关键.。
2023年泰安市中考数学试卷及答案
2023年山东省泰安市区中考数学试卷一、选择题. 1. 23-的倒数是（ ） A. 23 B. 23- C. 32 D. 32- 2. 下列运算正确的是（ ）A. 235a b ab +=B. 222()a b a b -=-C. ()3235ab a b =D. ()3253412a a a ⋅-=- 3. 2023年1月17日,国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究,精确测定了月球的年龄是20.3亿年,数据20.3亿年用科学记数法表示为（ ）A. 82.0310⨯年B. 92.0310⨯年C. 102.0310⨯年D. 920.310⨯年 4. 小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线,得到如下四种图形,则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 5. 把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若135∠=︒,则2∠的度数等于（ ）A. 65︒B. 55︒C. 45︒D. 60︒6. 为了解学生的身体素质状况,国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中,某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试,他们的成绩（单位：个）如下：7,11,10,11,6,14,11,10,11,9．根据这组数据判断下列结论中错误．．的是（ ）A. 这组数据的众数是11B. 这组数据的中位数是10C. 这组数据的平均数是10D. 这组数据的方差是4.6 7. 如图,AB 是O 的直径,D ,C 是O 上的点,115ADC ∠=︒,则BAC ∠的度数是（ ）A. 25︒B. 30︒C. 35︒D. 40︒8. 一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x=（a ,b 为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B.C. D.9. 如图,O 是ABC ∆的外接圆,半径为4,连接OB ,OC ,OA ,若40CAO ∠=︒,70ACB ∠=︒,则阴影部分的面积是（ ）A. 4π3B. 8π3C. 16π3D. 32π310. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题：“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金,银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同）,乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）,称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）,问黄金,白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两．根据题意得（ ）A. ()()11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，． B. 10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩，． C. ()()91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩，． D. ()()91181013x y x y y x =⎧⎨+-+=⎩． 11. 如图,ABC 是等腰三角形,36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心,任意长为半径作弧,交AB 于点F ,交BC 于点G ,分别以点F 和点G 为圆心,大于12FG 的长为半径作弧,两弧相交于点H ,作射线BH 交AC 于点D ;分别以点B 和点D 为圆心,大于12BD 的长为半径作弧,两孤相交于M ,N 两点,作直线MN 交AB 于点E ,连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠;①BC AE =;①12ED BC =;①当2AC =时,1AD =．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图,在平面直角坐标系中,Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上,点A 的坐标为(64)-，;Rt COD 中,9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，,连接BC ,点M 是BC 中点,连接AM ．将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段AM 的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 2D. 2二、填空题.13. 已知关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是_______． 14. 为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺,光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出4cm AB =,则这张光盘的半径是_______cm ．（精确到0.1cm 173≈．）15. 二次函数234y x x =--+的最大值是__________．16. 在一次综合实践活动中,某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图,在塔前C 处,测得该塔顶端B 的仰角为50︒,后退60m （60m CD =）到D 处有一平台,在高2m （2m DE =）的平台上的E 处,测得B 的仰角为266︒.．则该电视发射塔的高度AB 为_______m ．（精确到1m ．参考数据：tan50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈，）17. 如图,在ABC 中,16AC BC ==,点D 在AB 上,点E 在BC 上,点B 关于直线DE 的轴对称点为点B ',连接DB ',EB ',分别与AC 相交于F 点,G 点,若87,4AF DF B F '===，,则CG 的长度为__________．18. 已知,12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形,按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上,且2356891A A A A A A ====,则点2023A 的坐标是______．三、解答题.19. （1）化简：2211025224x x x x x -++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭; （2）解不等式组：2731132x x x +>⎧⎪+-⎨>⎪⎩． 20. 某市组织了一次知识竞赛,依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A 级为特等奖,B 级为一等奖,C 级为二等奖,D 级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据相关信息解答下列问题：（1）本次竞赛共有______名选手获奖,扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是______度;（2）补全条形统计图;（3）若该馆有一个入口,三个出口．请用树状图或列表法,求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．21. 如图,一次函数122y x =-+的图象与反比例函数2k y x=的图象分别交于点A ,点B ,与y 轴,x 轴分别交于点C ,点D ,作AE y ⊥轴,垂足为点E ,4OE =．（1）求反比例函数的表达式;（2）在第二象限内,当12y y <时,直接写出x 的取值范围;（3）点P 在x 轴负半轴上,连接PA ,且PA AB ⊥,求点P 坐标．22. 为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,求这个学校九年级学生有多少人？23. 如图,矩形ABCD 中,对角线AC BD ，相交于点O ,点F 是DC 边上的一点,连接AF ,将ADF △沿直线AF 折叠,点D 落在点G 处,连接AG 并延长交DC 于点H ,连接FG 并延长交BC 于点M ,交AB 的延长线于点E ,且AC AE =．（1）求证：四边形DBEF 是平行四边形;（2）求证：FH ME =．24. 如图,ABC ,CDE 是两个等腰直角三角形,EF AD ⊥．（1）当AF DF =时,求AED ∠;（2）求证：EHG ADG ∽△△;（3）求证：AE AC EH HC=． 25. 如图1,二次函数24y ax bx =++的图象经过点(4,0),(1,0)A B --．（1）求二次函数的表达式;（2）若点P 在二次函数对称轴上,当BCP 面积为5时,求P 坐标;（3）小明认为,在第三象限抛物线上有一点D ,使90DAB ACB +=︒∠∠;请判断小明的说法是否正确,如果正确,请求出D 的坐标;如果不正确,请说明理由．2023年山东省泰安市区中考数学试卷答案一、选择题1.D2.D3.B4. D5. B6. B7. A8. D9. C10. C11. C①ABC 中,AB AC =,36A ∠=︒. ①()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒. 由作图知,BD 平分ABC ∠,MN 垂直平分BD . ①1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,EB ED =. ①EBD EDB ∠=∠.①EDB CBD ∠=∠.①DE BC ∥.①AED ABC ∠=∠,①正确; ADE C ∠=∠.①AED ADE ∠=∠.①AD AE =.①A ABD ∠=∠.①AD BD =.①72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒.①BDC C ∠=∠.①BC BD =.①BC AE =,①正确;设ED x =,BC a =.则AD a =,BE x =.①CD BE x ==.①AED ABC △∽△. ①ED AD AD BC AC AD DC==+. ①x a a a x =+. ①220x ax a +-=.①0x >.①x =.即12ED BC =,①错误; 当2AC =时,2CD AD =-.①CD AD =.2AD AD =-,①1AD =,①正确 ①正确的有①①①,共3个．12. A解：如图所示,延长BA 到E ,使得AE AB =,连接OE CE ，.①Rt AOB △的一条直角边OB 在x 轴上,点A 的坐标为(64)-，. ①46AB OB ==，.①4AE AB ==.①8BE =.①点M 为BC 中点,点A 为BE 中点.①AM 是BCE 的中位线.①12AM CE =;在Rt COD 中,9030COD OD D ∠=︒=∠=︒，.①4OC ==. ①将Rt COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转. ①点C 在以O 为圆心,半径为4的圆上运动.①当点M 在线段OE 上时,CE 有最小值,即此时AM 有最小值.①10OE ==.①CE 的最小值为1046-=.①AM 的最小值为3.故选A ．二、填空题13. 4a >-14. 6.9 15. 25416. 55解：如图所示,过点E 作EF AB ⊥于F .由题意得,AB AD DE AD ⊥，⊥.①四边形ADEF 是矩形.①2m AF DE EF AD ===，.设m BF x =,则()2m AB AF BF x =+=+.在Rt ABC △中,tan AB ACB AC∠=.①()252m tan tan506AB x AC x ACB +==≈+︒∠. 在Rt BEF △中,tan BFBEF EF ∠=. ①2m tan tan 26.6BFxEF x BEF ==≈∠︒.①EF AD =. ①()522606x x =++.①53x ≈.①255m AB x =+≈.故答案为：55．17. 4.5解：①16AC BC ==.①A B ∠=∠.由折叠的性质可得B B '∠=∠.①A B '∠=∠.又①AFD B FG ∠=∠'.①AFD B FG '∽. ①AFDFB F GF =',即874GF =.① 3.5GF =.① 4.5CG AC AF GF =--=.故答案为：4.5．18. (2023,解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A如图：过1A 作1A B x ⊥轴.①12,OA A①111cos601,sin60OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯=①(1A同理：(((4774,,,10,,A A A①()()(3133131,0,3,0,3n n n A n A n A n -+-+()31n +为偶数,(3131,n A n ++为奇数; ①202336741÷=,2023为奇数①(20232023,A ．故答案为(2023,． 三、解答题19. （1）25x x -+;（2）25x -<< 20. （1）200,108 （2）见解析 （3）13 【小问1详解】 解：14480200360︒÷=︒名. ①本次竞赛共有200名选手获奖.①C 级的人数为2008020025%1060--⨯-=名.①扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是60360108200︒⨯=度. 故答案为：200,108;【小问2详解】解：B 级的人数为20025%50⨯=名.补全统计图如下：【小问3详解】解：设这三个出口分别用E ,F ,G 表示,列表如下：由表格可知一共有9种等可能性的结果数,其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种.①参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率3193==． 21.（1）4y x=-; （2）10x -<<;（3）()9,0-．【小问1详解】①4OE =,AE y ⊥轴.①()0,4E ,点A 的纵坐标为4.①点A 在122y x =-+图象上.①当4y =时,422x =-+,解得：1x =-.①点A 坐标为()1,4-.①反比例函数2k y x=的图象过点A . ①144k =-⨯=-. ①反比例函数的表达式为：4y x =-; 【小问2详解】如图,在第二象限内,当12y y <时,10x -<<.【小问3详解】如图,过A 作AM x ⊥轴于点M .①AE y ⊥轴.①90AEO EOM OMA ∠=∠=∠=︒.①四边形AEOM 是矩形.①4AM OE ==,1OM AE ==.①PA AB ⊥.①90PAD ∠=︒,即：90PAM DAM ∠+∠=︒.①90DAM ADM ∠+∠=︒.①PAM ADM ∠=∠.①DAM APD ∠=∠.①PAD AMD ∽.①AD PD MD AD=. 由22y x =-+得：0y =时,220x -+=,解得：1x =.①点()1,0D .①AD ==2MD =.①2= ①10PD =.①点()9,0P -．22. 这个学校九年级学生有300人．解：设零售价为x 元,批发价为y .根据题意可得：50603600360060x y y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得：1210x y =⎧⎨=⎩. 则学校九年级学生360012300÷=人．答：这个学校九年级学生有300人．23. （1）证明见解析（2）证明见解析【小问1详解】 证明：①四边形ABCD 是矩形.①1902AB CD AD BC ADC ABC BAD AC BD ====︒=∥，，∠∠，. 由折叠的性质可得AD AG =，90AGF ADF ∠=∠=︒. ①90AGE DAB ==︒∠∠.①AC AE =,AC BD =.①AE BD =.①()Rt Rt HL ABD GEA △≌△.①AEG DBA ∠=∠.①BD EF ∥.又①BE DF ∥.①四边形DBEF 是平行四边形;【小问2详解】证明：①四边形DBEF 是平行四边形.①BE DF =.由折叠的性质可得GF DF =.①BE GF =.①CD AB ∥.①HFG E =∠∠.又①18090FGH AGF MBE ∠=︒-∠=︒=∠.①()ASA FGH EBM △≌△.①FH ME =．24. （1）60︒（2）见详解 （3）见详解【小问1详解】①EF AD ⊥.①90EFA EFD ∠=∠=︒.①EF EF =,AF DF =.①EFA EFD ≌.①EA ED =.①ABC ,CDE 是两个等腰直角三角形.①GC DE ⊥.①等腰直角CDE 中,EG GD =.①GC 是线段ED 的垂直平分线.①EA AD =.①EA AD DE ==,即EAD 是等边三角形.①60AED ∠=︒;【小问2详解】在（1）中有GC DE ⊥,EF AD ⊥.EHG ADG ∽△△;【小问3详解】过H 点作HK BC ⊥于点K ,如图.①HK BC ⊥,45BCH ∠=︒.①90HKB HKC ∠=∠=︒.①45KHC KCH ∠=∠=︒,即是等腰Rt KHC △.①HK KC =.①180EHK HKE HEK ∠=︒-∠-∠,45DEC ∠=︒,HEK HEG DEC ∠=∠+. ①45EHK HEG ∠=︒-∠.①GC 是线段ED 的垂直平分线.①EAG DAG ∠=∠.在（1）中已证明HEG DAG ∠=∠.①HEG EAG ∠=∠.①45BAE BAC EAG EAG ∠=∠-∠=︒-∠.①45BAE HEG EHK ∠=︒-∠=∠.①90B HKE ∠=∠=︒.①ABE HKE ∽. ①AE AB HE HK=. ①AB BC =,HK KC =. ①AE AB BC HE HK KC ==. ①HK BC ⊥,AB BC ⊥.①HK AB ∥.①ABC HKC ∽. ①BC AC KC HC=. ①AE AC HE HC =．25. （1）254y x x =++（2）5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,162⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）正确,820,39D ⎛⎫--⎪⎝⎭ 【小问1详解】解：将(4,0),(1,0)A B --代入24y ax bx =++得： 1644040a b a b -+=⎧⎨-+=⎩,解得：15a b =⎧⎨=⎩. ①抛物线解析式为：254y x x =++;【小问2详解】解：由抛物线254y x x =++可知,其对称轴为直线52x =-,()0,4C . 设直线BC 解析式为：y kx c =+.将()1,0B -,()0,4C 代入解得：44k c =⎧⎨=⎩. ①直线BC 解析式为：44y x =+.此时,如图所示,作PQ x ∥轴,交BC 于点Q .①点P 在二次函数对称轴上.①设5,2P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则4,4m Q m -⎛⎫ ⎪⎝⎭.①456424m m PQ -+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. ①()116642242BCPC B m m S PQ y y ++=-=⨯⨯=. ①要使得BCP 面积为5. ①652m +=,解得：4m =或16m =-. ①P 的坐标为5,42⎛⎫-⎪⎝⎭或5,162⎛⎫-- ⎪⎝⎭; 【小问3详解】解：正确,820,39D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,理由如下： 如图所示,连接AC ,BC ,设AC 与对称轴交点为K ,对称轴与x 轴交点为H ,连接BK ,延长AD 与对称轴交于点M .由（1）,（2）可得4OA OC ==,=90AOC ∠︒.①45CAO ∠=︒,AC =根据抛物线的对称性,AK BK =.①45KAB KBA ∠=∠=︒,90AKB ∠=︒.①3AB =.①2AK BK ==.①2CK AC AK =-=. 在Rt CKB 中,5tan 3CK CBK BK ∠==.①90CBK ACB ∠+∠=︒且90DAB ACB +=︒∠∠. ①DAB CBK ∠=∠. ①5tan tan 3DAB CBK ∠=∠=. 即：在Rt AHM 中,53HM AH =. ①()53422AH =---=. ①355232HM =⨯=. ①55,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 设直线AM 解析式为：y sx t =+.将()4,0A -,55,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入解得：53203s t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ①直线AM 解析式为：52033y x =--. 联立25452033y x x y x ⎧=++⎪⎨=--⎪⎩,解得：83209x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或40x y =-⎧⎨=⎩（不合题,舍去） ①小明说法正确,D 的坐标为820,39D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。
2022年山东省泰安市中考数学试题(含答案解析)
17．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序，则表示99的有序数对是_______．
18．如图，四边形 为正方形，点E是 的中点，将正方形
A. B.
C. D.
11．如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O．点E为 的中点，连接
并延长交 于点F， ， ．下列结论：① ；② ；
③四边形 是菱形；④ ．其中正确结论的个数是
A.4B.3C.2D.1
12．如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段 上一动点，点M为线段 上一点． ，则 的最小值为
21．（本小题满分10分）
如图，点A在第一象限， 轴，垂足为C， ， ，反比例函数 图像经过 的中点B，与 交于点D．
（1）求k值；
（2）求 面积．
22．（本小题满分10分）
泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
（1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在组；
（2）补全学生成绩频数直方图：
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
9．抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
泰安中考数学试题及答案
泰安中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2x + 3 = 7B. 2x - 3 = 7C. 3x + 2 = 7D. 3x - 2 = 7答案：B2. 计算下列表达式的值：A. (x+1)(x-1) = x^2 - 1B. (x+1)(x-1) = x^2 + 1C. (x+1)(x-1) = x^2 + x - 1D. (x+1)(x-1) = x^2 - x + 1答案：A3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：A4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 梯形C. 菱形D. 不规则多边形答案：C5. 以下哪个选项表示的是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 3x^2 - 2x + 1D. y = 1/x答案：A6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A7. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度答案：B8. 以下哪个选项是正确的比例关系？A. 2:3 = 4:6B. 2:3 = 4:5C. 2:3 = 4:7D. 2:3 = 4:8答案：A9. 一个数的绝对值是5，这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C10. 计算下列表达式的值：A. |-3| + |-2| = 5B. |-3| + |-2| = 1C. |-3| + |-2| = 3D. |-3| + |-2| = 7答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是__5__。
12. 如果一个角的补角是120度，那么这个角的度数是__60度__。
13. 一个等腰三角形的底角是45度，那么它的顶角是__90度__。
14. 一个数的立方根是2，那么这个数是__8__。
泰安数学中考真题试卷答案
泰安数学中考真题试卷答案
《泰安数学中考真题试卷答案》
近日，泰安市举行了数学中考真题试卷，考生们在紧张的考试中展现了自己的数学能力。
试卷中的题目涵盖了数学的各个领域，考察了考生们的数学基础和解题能力。
以下是试卷的答案及一些考生的感想。
首先是选择题部分的答案：
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. B
7. C
8. D
9. A
10. C
接着是填空题部分的答案：
1. 24
2. 0.5
3. 36
4. 7
5. 12
最后是解答题部分的答案：
1. 解：设这个数为x，则有：x-5=2(x+3)，解得x=-11，所以这个数是-11。
2. 解：设这两个数分别为x和y，则有：x+y=15，x-y=3，解得x=9，y=6，所
以这两个数分别是9和6。
试卷的答案展示了考生们对数学知识的掌握程度和解题能力。
而在考试结束后，一些考生也分享了他们的感想。
有的考生表示，试卷中的选择题比较简单，但
填空题和解答题的难度较大，需要一定的思考和计算能力。
还有的考生提到，
他们在平时的学习中就注重了数学的基础知识和解题技巧，这次考试也得到了
很好的发挥。
总的来说，泰安数学中考真题试卷考察了考生们的数学基础和解题能力，也为
他们提供了一个检验自己的机会。
希望考生们在接下来的学习中能够继续努力，不断提高自己的数学水平。
同时，也希望学校和教师们能够给予学生更多的指
导和帮助，共同促进学生的数学学习和发展。
泰安中考数学试题及答案
泰安中考数学试题及答案第一部分选择题1. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），则点A关于x轴的对称点是（）A. (-2, 0)B. (0, -2)C. (0, 2)D. (2, 0)2. 已知函数y=2x+8，则当x=3时，y的值为（）A. 14B. 9C. 5D. 23. 若2x-3y=5，则y是x的函数，此函数的解析式为（）A. y=5x/3+5/3B. y=3x/5-5/5C. y=5/3x+5/3D. y=5/3x-5/34. 若点P(-5, 4)关于原点对称的点为A，点Q(3, -2)关于原点对称的点为B，则直线AP的斜率为（）A. -2B. 2C. -4/3D. 4/35. 若点A(a, 5)在直线y=3x+7上，则实数a的值是（）A. -4B. -2C. 0D. 5第二部分解答题（一）简答题1. 请简述直线与平面分离的条件。
（）解：直线与平面要分离，必须使直线上无满足平面方程的点，即该直线不属于该平面2. 请推导与函数y=kx+k的图像关于x轴对称的图像方程。
解：设对称图像的方程为y=-kx+b，其中b为待求实数。
由于点（x，kx+k）关于x轴对称的点（x，-kx+b），所以根据对称性可得-kx+b=-kx+k解得b=2k所以对称图像的方程为y=-kx+2k（二）计算题1. 已知三点A(2, 1)，B(5, -2)和C(3, -1)，请问直线AB与直线BC的交点是（）解：首先计算直线AB的斜率k1k1 = (-2 - 1) / (5 - 2) = -1然后计算直线BC的斜率k2k2 = (-1 - (-2)) / (3 - 5) = 1/2联立直线AB和直线BC的方程得到y = -x + 3 和 y = 1/2x - 3/2解得交点为(-1, 4/2) = (-1, 2)2. 若函数y = ax^2 + bx + c 关于x轴对称，则实数c的值为（）解：对称性可表示为 f(x) = f(-x)，即 f(x) - f(-x) = 0将函数y = ax^2 + bx + c代入得到ax^2 + bx + c - a(-x)^2 - b(-x) - c = 0化简得到ax^2 + bx + c - ax^2 + bx - c = 0合并同类项得到2bx = 0由于题目中要求关于x轴对称，所以b = 0因此，实数c的值与b无关，可以是任意实数。
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2013年山东省泰安市中考数学试卷一．选择题（本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对的3分，选错，不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（2013泰安）（﹣2）﹣2等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．考点：负整数指数幂．分析：根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可．解答：解：（﹣2）﹣2==．故选D．点评：本题考查了负整数指数幂的知识，解答本题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则．2．（2013泰安）下列运算正确的是（）A．3x3﹣5x3=﹣2x B．6x3÷2x﹣2=3x C．（）2=x6D．﹣3（2x﹣4）=﹣6x﹣12考点：整式的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．分析：根据合并同类项的法则、整式的除法法则、幂的乘方法则及去括号的法则分别进行各选项的判断．解答：解：A．3x3﹣5x3=﹣2x3，原式计算错误，故本选项错误；B．6x3÷2x﹣2=3x5，原式计算错误，故本选项错误；C．（）2=x6，原式计算正确，故本选项正确；D．﹣3（2x﹣4）=﹣6x+12，原式计算错误，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了整式的除法、同类项的合并及去括号的法则，考察的知识点较多，掌握各部分的运算法则是关键．3．（2013泰安）2012年我国国民生产总值约52万亿元人民币，用科学记数法表示2012年我国国民生产总值为（）A．5.2×1012元B．52×1012元 C．0.52×1014元D．5.2×1013元考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：13元．故选：D．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2013泰安）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（）A．13 B．11 C．10 D．8考点：轴对称图形．分析：根据轴对称及对称轴的定义，分别找到各轴对称图形的对称轴个数，然后可得出答案．解答：解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11．故选B．点评：本题考查了轴对称及对称轴的定义，属于基础题，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．5．（2013泰安）下列几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的几何体是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．解答：解：A．主视图为矩形，俯视图为圆，故选项正确；B．主视图为矩形，俯视图为矩形，故选项错误；C．主视图为等腰三角形，俯视图为带有圆心的圆，故选项错误；D．主视图为矩形，俯视图为三角形，故选项错误．故选：A．点评：本题考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力．6．（2013泰安）不等式组的解集为（）A．﹣2＜x＜4 B．x＜4或x≥﹣2 C．﹣2≤x＜4 D．﹣2＜x≤4考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，解①得：x≥﹣2，解②得：x＜4，∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜4，故选：C．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（2013泰安）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（）A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5考点：众数；中位数．分析：根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．解答：解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，这组数据的众数为：5；中位数为：4．故选A．点评：本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．8．（2013泰安）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．90°B．180°C．210°D．270°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B．点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠4+∠5=180°，根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°．故选B．点评：本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．9．（2013泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC 等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°考点：圆周角定理．分析：过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．解答：解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．故选D点评：本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．10．（2013泰安）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解：①∵a=﹣＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．11．（2013泰安）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A．（1.4，﹣1）B．（1.5，2） C．（1.6，1） D．（2.4，1）考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解答：解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．12．（2013泰安）有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法；点的坐标．专题：图表型．分析：画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，所以，P==．故选B．点评：本题考查了列表法与树状图法，第二象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A正确；由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．解答：解：A．∵点C是的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B．∵=，∴BC=CE，本选项正确；C．∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．14．（2013泰安）化简分式的结果是（）A．2 B．C．D．﹣2考点：分式的混合运算．分析：这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的加法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．解答：解：=÷[+]=÷=2．故选：A．点评：本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简是解答的关键，通分、因式分解和约分是基本环节．15．（2013泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（）A． B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：首先设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，由题意可得等量关系：甲乙两车间生产2300件所用的时间+乙车间生产2300件所用的时间=33天，根据等量关系可列出方程．解答：解：设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，根据题意可得：+=33，故选：B．点评：题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．16．（2013泰安）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．解答：解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．17．（2013泰安）把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4考点：一次函数图象与几何变换．分析：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，求出直线y=﹣x+3+m 与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．解答：解：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），∵交点在第一象限，∴，解得：m＞1．故选C．点评：本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．18．（2013泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8 B．4 C．4π+4D．4π﹣4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故选：A．点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．19．（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD 与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．20．（2013泰安）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．7考点：尾数特征．分析：根据数字规律得出3+32+33+34...+32013的末位数字相当于：3+7+9+1+ (3)而得出末尾数字．解答：解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2013÷4=503…1，∴3+32+33+34…+32013的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3的末尾数为3，故选：C．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．二．（本大题共4小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）21．（2013泰安）分解因式：m3﹣4m= ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：m3﹣4m，=m（m2﹣4），=m（m﹣2）（m+2）．点评：本题考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，要注意分解因式要彻底．22．（2013泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．考点：二次根式的混合运算．分析：根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．解答：解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．点评：此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．23．（2013泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC 于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE 中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．24．（2013泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为（取，结果精确到0.1海里）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题．分析：过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE 中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．解答：解：∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，设DE=x，则AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DAE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CE﹣BE=x﹣x=25，解得：x=，故AB=25（+1）=67.5海里．故答案为：67.5．点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．三．解答题（本题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）25．（2013泰安）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；（2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=﹣，即可求出P 点的坐标．解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），∴AB=5，∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（5，﹣3）．∵反比例函数y=的图象经过点C，∴﹣3=，解得k=﹣15，∴反比例函数的解析式为y=﹣；∵一次函数y=ax+b的图象经过点A，C，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）设P点的坐标为（x，y）．∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×OA•|x|=52，∴×2|x|=25，解得x=±25．当x=25时，y=﹣=﹣；当x=﹣25时，y=﹣=．∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．26．（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．27．（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．解答：解：由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+[（4﹣6）（600﹣200﹣（200+50x）]=1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，整理得：x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∴10﹣1=9，答：第二周的销售价格为9元．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．28．（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE 交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．解答：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．29．（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE 面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PB E=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．。