第12课时 函数模型及其应用

第12课时 函数模型及其应用【重点难点】：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义． 【考点概述】①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．【热身练习】1．（2009·兴化市期中）计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是 元.2. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是 ．3．（2009·徐州市期中）某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是y =3000+20x －0.1x 2（0<x <240，x ∈N ），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是 .4. 购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．5. 从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________．【范例透析】【例1】（本小题满分14分）(2010·盐城市第一次调研)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--. （Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--…… ………………5分 （Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t=，即5t =时取等号……… ………………………10分 ②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033………… …………13分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…… ……14分【变式训练】经市场调查，某种商品在过去50天的销售和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足),501(2002)(N t t t t f ∈≤≤+-=，前30天价格为),301(3021)(N t t t t g ∈≤≤+=，后20天价格为 ),5031(45)(N t t t g ∈≤≤=。

（1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； （2）求日销售额S 的最大值。

【例2】（2009·启东市第一次调研）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元） [200，400） [400，500） [500，700） [700，900） ---获奖券金额（元）3060100130---根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2+30=110（元）．设购商品得到的优惠率为 试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可 得到不小于31的优惠率？ 【例3】(2009·海安县调研)为了缓解交通压力，某省在两个城市之间修建一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y 是每次拖挂车厢节数x 的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．（1）求出y 关于x 的函数关系式；（2）这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多购买商品获得的优惠额商品的标价的营运人数。

【例4】(2009·赣榆县调研)某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外,每生产1件这种产品还需要增加投入25元,经测算,市场对该产品的年需求量为500件,且当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为2152t t(万元). (1)若该公司这种产品的年产量为x (单位:百件).试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为年产量x 的函数;(2)当该公司的年产量x 多大时,当年所得利润y 最大?【巩固练习】 1. （2009·徐州市调研）一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为______________（万元）（用数字作答）.2. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ．3. 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入 广告费,才能获得最大的广告效应．4. (2009·苏、锡、常、镇调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不 超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了____________千米．5. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系是v ＝2000·ln(1＋M /m )．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.【双基达标】1．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%之后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是 .2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是_______万元． 3．（2009·济南市期中）将进贷单价为80元的商品按90元一个售出进，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个定价应定为_________元.4．（2009·如皋、海安市调研）已知某皮鞋厂一天的生产成本C (元)与生产数量n (双)之间的函数关系是C =4000+50n .若每双皮鞋的售价为90元，且生产的皮鞋全部售出. 试写出这一天的利润P 关于这一天的生产数量n 的函数关系式，则每天至少生产______双皮鞋，才能不亏本．5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．6．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y （只）与时间x （年）的关系可近似地由关系式2log (1)y a x =+给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为 ．【能力提升】7．某超市为了吸引顾客，采用“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元（可以是现金，也可以现金与奖励劵合计），就送20元奖励劵，满200元就送40元奖励劵，满300元就送60元奖励劵….当时有一位顾客共花出现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他最多能购买 元的商品。

8．某厂家根据以往的经验得到下面有关生产销售的统计：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元， G （x ）=2＋x ；销售收入R(x )（万元）满足：20.4 4.20.8(05);()10.2(5).x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩要使工厂有赢利，产量x 的取值范围是 ．9.（2009·潍坊市第一次调研）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨．10．(2010·苏北四市期末)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 11．（2009·苏州市联考）某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲 乙(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?12. （2008·无锡市期中）某种商品在30天内每件的销售价格P （元）与时间)(*N ∈t t （天）的函数关系用下图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q （件）与时间)(*N ∈t t （天）之间的关系如下表：（I ）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系； （II ）根据表中提供的数据，确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式； （III ）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）13．（2010·兴宁市摸底）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）． （1）求函数)(x f y =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？14. (2010·青岛市一模)某企业自2009年1月1日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表．并预测，如果不加以治理，该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列.25 30204570 75(Ⅰ)如果不加以治理，求从年月起，个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水？(Ⅱ)为保护环境，当地政府和企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业停止排放污水后，再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米？第12课时 函数模型及其应用参考答案【热身练习】 1．答案：300解析： 9年后的价格大约是8 100×(13)3＝300元．2. 答案：x =60,0 2.5150,2.53.515050( 3.5),3.5 6.5t t t t t ⎧⎪<⎨⎪--<⎩≤≤≤≤3. 答案： 150台解析： 由题意知：23000200.125x x x +-≤，整理得：250300000x x +-≥，0x > ，150x ∴≥。