北文考研曹显兵第二讲—导数与微分
第二章导数和微分共31页word资料
第二章 导数和微分微分学是微积分的重要组成部分.微分学的基本概念是导数和微分，导数反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则是描述当自变量有微小改变时，函数改变量的近似值.本章我们将详细讨论导数、微分的概念，建立导数与微分的基本公式和运算法则，解决初等函数的求导与微分问题.第一节 导数的概念一、 引例1.变速直线运动的速度设某质点沿直线运动,在时刻t 时,质点所在位置()s s t =,当时间从时刻0t 变化到0t t +∆时,质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-,则质点在0t 到0t t +∆时间段内的平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆. 当t ∆很小时,可用v 近似表示物体在0t 时刻的速度.当0t ∆→时,如果极限0lim t st∆→∆∆存在,则称此极限为质点在时刻0t 的瞬时速度,即000()()limlim t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2.切线问题设曲线()y f x =的图形为图2-1, 点00(,)M x y 为曲线上一定点,在曲线上另取一点00(,)N x x y y +∆+∆,作割线MN ,当点N 沿曲线趋于M 时,如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ,直线MT 就称为曲线()y f x =在点M 处的切线.当MN 趋向MT 时,其倾角ϕ也趋向切线倾角α,因此切线MT 的斜率为00000()()tan lim tan limlimx x x f x x f x yK x xαϕ∆→∆→∆→+∆-∆====∆∆.二、导数的定义上面的两个问题,虽然实际意义各不相同,但讨论方法是一致的,所求量都归结为0x ∆→时yx∆∆的极限.一般地,我们有如下导数的概念. 定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在,则称函数()f x 在点0x 处可导,并称这个极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数,记为'0()f x ,0'x x y =,d d =x x yx或d d x x f x=.即'00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 令0x x x =+∆,则0x ∆→时有0x x →,因此'000()()()limx x f x f x f x x x →-=-.如果000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆不存在,则称函数()y f x =在0x 处不可导.如果000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-=∞∆,此时()y f x =在0x 处不可导,但通常也说函数()y f x =在0x 处导数为无穷大.下面利用导数的定义计算： 例1 已知0()1,f x '=求()()0002lim x f x x f x .x→--V V V解：()()()()()00000002lim22lim 222x x f x x f x xf x x f x x f x .→→----=--'=-=-V V V V V V如果函数()y f x =在开区间I 内每一点处都可导,就称函数()f x 在I 内可导,这时对于任意x I ∈,都对应着()f x 的一个确定的导数值,这样的对应关系就构成了一个新的函数,这个函数称为原来函数()f x 的导函数,简称为导数,记作'()f x ,'y ,d d y x 或d d f x. 导函数定义为'0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆.函数()f x 在0x 处的导数'0()f x 就是导函数'()f x 在0x 处的函数值,即''0()()x x f x f x ==.下面根据导数的定义求一些简单函数的导数. 例2 求函数()f x C =(C 为常数)的导数.解 ()()0y f x x f x C C ∆=+∆-=-=, '000limlim 0,x x y y x x∆→∆→∆===∆∆即 '()0C =.例3 求函数()nf x x =(n 为正整数)的导数.解 ()()()n ny f x x f x x x x ∆=+∆-=+∆-122[()]n n n n x nx C x x x --=∆⋅+∆++∆L ,'12200limlim[()]n n n n x x y y nx C x x x x --∆→∆→∆==+∆++∆∆L1n nx -=.即 '1()n n x nx-=.后边我们将证明对一般幂函数y x α=(α为任意实数)也有'1()x xααα-=.例如,当0x ≠时,'1'2211()()x x x x --==-=-,1''2()x ==例4 求函数()sin f x x =的导数.解 sin()sin 2cos()sin 22x xy x x x x ∆∆∆=+∆-=+, '00sin2lim lim 2cos()cos 2x x x y x y x x x x∆→∆→∆∆∆==+=∆∆,即 '(sin )cos x x =. 同理可得 '(cos )sin x x =-.例5 求函数xy a =(0,1a a >≠)的导数. 解 (1)x xx x x y aa a a +∆∆∆=-=-,ln '000011lim lim limln lim ln .∆∆∆→∆→∆→∆→∆--===∆∆∆∆==∆x x a x xx x x x x x y a e y a a x x x x aa a a x即 '()ln x xa a a =.特别地,当a e =时有'()x x e e =.极限000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆存在的充分必要条件是000()()lim x f x x f x x -∆→+∆-∆及000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆都存在且相等,这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作'0000()()()lim x f x x f x f x x--∆→+∆-=∆,'0000()()()lim x f x x f x f x x ++∆→+∆-=∆. 左导数和右导数统称为单侧导数.由函数极限与其左、右极限之间的关系可知，定理 函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数'0()f x -和右导数'0()f x +都存在且相等.如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且'()f a +及'()f b -都存在,则称()f x 在闭区间[,]a b 上可导.三、导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处切线的斜率.即'0()tan f x α=.其中α是切线的倾角,参见图2-1.如果()y f x =在点0x 处可导,则曲线在点00(,())M x f x 处切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-.过切点00(,())M x f x 且与切线垂直的直线叫做曲线()y f x =在点M 处的法线,如果'0()0f x ≠,则法线方程为00'01()()()y f x x x f x -=--. 特别地,若'0()0=f x ,则曲线在点00(,())M x f x 处的切线方程为0()=y f x ,法线方程为0=x x ;若()y f x =在0x 处的导数为∞,则切线方程为0=x x ,法线方程为0()=y f x .例6求曲线y =(1,1)处的切线方程和法线方程.解'y =,则在点(1,1)处切线斜率'112x k y===,所以切线方程为 11(1)2y x -=-,即210x y -+=.法线方程为12(1)y x -=--,即230x y +-=.四、函数的可导性与连续性的关系定理 如果函数()y f x =在点0x 处可导,则它在点0x 处一定连续. 证 因为()f x 在点0x 处可导,即'00lim()x yf x x ∆→∆=∆,所以'0000lim lim()lim lim ()00x x x x y y y x x f x xx ∆→∆→∆→∆→∆∆∆=∆=⋅∆=⋅=∆∆,故()y f x =在点0x 处一定连续. 定理证毕.注意 这个定理的逆命题不成立,即函数()f x 在某一点处连续,则在该点处()f x 未必可导.请看下面的例子.例7 设函数()f x x =,讨论()f x 在0x =处连续性及可导性.解因为0lim ()lim 0x x x f x x →→→===且(0)0f =，所以()f x x =在0x =处连续.由于(0)(0)xy f x f x x x∆∆+∆-==∆∆∆,所以 '000(0)lim lim lim 1x x x x y xf x x x----∆→∆→∆→∆∆-∆====-∆∆∆,'000(0)lim lim lim 1x x x x y xf x x x++++∆→∆→∆→∆∆∆====∆∆∆, 显然''(0)(0)f f -+≠,因此()f x x =在0x =处不可导.由以上讨论可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件.习题2-11. 设2()4f x x =,按定义求'(1)f -.2. 一物体的运动方程为3S t =,求该物体在3t =时的瞬时速度. 3. 求下列函数的导数:(1) y =(2) y =;(3) y =(4) y x =4.求曲线sin y x =在点1(,)62π处的切线方程和法线方程. 5.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性.(1) 2,0,(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩在0x =处;(2) 1arctan ,0,()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处; (3) 21sin ,0,()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处. 6.设函数2,1,(),0,x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩若函数()f x 在点1x =处连续且可导,则a 和b 应取何值?7.已知函数sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求'()f x .8.单项选择题.(1)设()f x 在点0x x =处可导,则'0()f x = [ ].(A) 000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆; （B ）000()()lim 2h f x h f x h h→+--;（C ）000()(2)lim 2x f x f x x x →-+; （D ）0()(0)lim x f x f x→-;(2)函数()f x 在点0x x =处连续是()f x 在点0x x =处可导的 [ ]. (A) 必要条件; (B) 充分条件;(C) 充分必要条件; (D) 既非充分又非必要条件.第二节 函数的求导法则用导数的定义求函数的导数是复杂的和困难的,从本节开始将介绍函数的求导法则,利用这些求导法则和基本初等函数的导数公式,可以比较方便地求出常见初等函数的导数.一、导数四则运算法则定理1 设函数()u u x =及()v v x =都在点x 处可导,那么它们的和、差、积、商（分母不等于0）也均在x 点可导，且'''[()()]()()u x v x u x v x ±=±. （2.1） '''[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x ⋅=+ （2.2）'''2()()()()()[]()()u x u x v x u x v x v x v x -= （2.3）证 只证明（2.1）式，（2.2）和（2.3）可同样证明. 令()()y u x v x =±,则[()()][()()]y u x x v x x u x v x x x∆+∆±+∆-±=∆∆ ()()()()u x x u x v x x v x x x+∆-+∆-=±∆∆, 所以'0limx y y x∆→∆=∆00()()()()lim limx x u x x u x v x x v x x x∆→∆→+∆-+∆-=±∆∆ ''()()u x v x =±.定理证毕.公式（2.1），（2.2）可推广到有限多个函数的情况，如 推论1 设有限多个()i u x (1,2,,i n =L )在x 处均可导,则''''1212(()()())()()()n n u x u x u x u x u x u x +++=+++L L .推论2 设()u u x =,()v v x =,()w w x =在点x 处均可导,则''''()uvw u vw uv w uvw =++.推论3 设()u x 在点x 处可导,C 为常数,则''[()]()Cu x Cu x =.例1 设23cos ln 2y x x =+-,求'y .解 2'''(3)(cos )(ln 2)y x x =+-6sin x x =-.例2 设sin xy e x =,求'y .解 '''()sin (sin )x x y e x e x =+sin cos (sin cos ).x x xe x e x e x x =+=+例3 设tan y x =,求'y .解 '''sin (tan )()cos x y x x==''2(sin )cos sin (cos )cos x x x x x-=22222cos sin 1sec cos cos x x x x x+===. 即'2(tan )sec x x =.类似可求得'2(cot )csc x x =-.例4 设sec y x =,求'y .解 ''''221(cos )sin (sec)()cos cos cos x xy x x x-==== sec tan x x =,即'(sec )sec tan x x x =.类似可得'(csc )csc cot x x x =-.二、反函数的求导公式定理4 设函数()y f x =在区间x I 上单调、可导且'()0f x ≠,则它的反函数1()x f y -=在对应区间y I 上也单调、可导,且1''1[()]()f y f x -=或d 1d d d x yy x=. 证 任取y y I ∈,给y 以增量0y ∆≠,由()y f x =的单调性知1()x f y -=在y I 上也单调,从而11()()0x f y y f y --∆=+∆-≠,于是1x y yx∆=∆∆∆.因为()y f x =连续,所以1()x fy -=也连续,故lim 0y x ∆→∆=.从而1''0011[()]lim()lim y x x f y y y f x x-∆→∆→∆===∆∆∆. 定理证毕.例5 arcsin y x =,(1,1)x ∈-,求'y .解 arcsin y x =,(1,1)x ∈-是sin x y =,(,)22y ππ∈-的反函数,故''11(sin )cos y y y ====即'(arcsin )x =类似可得下列导数公式:'(arccos )x ='21(arctan )1x x =+, '21(arccot )1x x =-+. 例6 求函数log a y x =(0,1)a a >≠的导数.解 函数log a y x =是函数yx a =的反函数,因为'()ln y ya a a =,故'11(log )ln ln a y x a a x a==, 即'1(log )ln a x x a=. 特别地,当a e =时,'1(ln )x x=. 三、复合函数的求导法则定理 5 设函数()u g x =在点x 处可导,函数()y f u =在对应点()u g x =处可导,则复合函数(())y f g x =在点x 处可导，且其导数为''d ()()d y f u g x x =或d d d d d d y y ux u x=⋅. 证 设x 取得增量x ∆,则u 取得相应的增量u ∆,从而y 取得相应的增量y ∆,即()()u g x x g x ∆=+∆-, ()()y f u u f u ∆=+∆-,当0u ∆≠时,有y y ux u x∆∆∆=⋅∆∆∆. 因为()u g x =可导,则必连续,所以0x ∆→时,0u ∆→,因此000limlim limx u x y y ux u x ∆→∆→∆→∆∆∆=⋅∆∆∆, 即''d ()()d yf ug x x=. 当0u ∆=时,可以证明上述公式仍然成立. 定理证毕.例7 设函数2x y e =,求'y .解 2x y e =是由u y e =,2u x =复合而成的,因为d d u ye u =,d 2d u x x=, 所以2d d d 22d d d u x y y u e x xe x u x=⋅==. 例8 设函数2ln(2)y x =+，求'y .解 2ln(2)y x =+是由ln y u =,22u x =+复合而成的,故2d d d 122d d d 2y y u x x x u x u x =⋅=⋅=+. 当复合函数求导法则应用比较熟练后,可以不写出复合过程.例9 设函数y =求'y .解 23''1(12)(12)3y x x -=--231(12)(2)3x -=--=例10 设函数1sinxy e=,求'y .解 1sin '211(cos )()xy ex x=-1sin 211cos x e x x=-.例11 设函数ln cos()xy e =,求'y .解 '1(sin())cos()x x xy e e e =-⋅ tan()x x e e =-.例12 设0x >,证明:'1()x x μμμ-=(其中μ为任意实数).证 由于ln xx eμμ=,所以'ln 'ln '11()()(ln )x x x e e x x x x μμμμμμμμ--====.例13 设函数ln(y x =,求'y . 解 'y ===.四、基本导数公式与求导法则1. 基本导数公式(1) '()0C =;(2) '1()x xμμμ-=,特别地'211()xx =-,'=; (3) '(sin )cos x x =; (4) '(cos )sin x x =-;(5) '2(tan )sec x x =; (6) '2(cot )csc x x =-; (7) '(sec )sec tan x x x =; (8) '2(csc )csc cot x x x =-;(9) '()x xe e =; (10) '()ln x xa a a =;(11) '1(ln )x x =; (12) '1(log )ln a x x a=; (13) '(arcsin )x =(14) '(arccos )x =(15) '21(arctan )1x x =+; (16) '21(cot )1arc x x=-+. 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设()u u x =，()v v x =均可导，则(1) '''()u v u v ±=±; (2) '''()uv u v uv =+;(3) ''()Cu Cu =; (4) '''2()u u v uv v v-=. 3.复合函数的求导法则设()y f u =,()u g x =,且()f u ,()g x 均可导,则d d d d d d y y u x u x=⋅或'''()()()y x f u g x =.例14 设函数y =求'y .解 '2)y x =-=22=例15 设函数2sin1x y x=+,求'y . 解 '''222(sin)(cos )()111x x x y x x x ==+++ 222212(cos )1(1)x x x x x x +-⋅=++22221cos (1)1x x x x -=++. 习题2-21.求下列函数的导数:(1) 235y x x =-+; (2) 212y x x =+; (3) 3y=; (4) ln y x x =;(5) 3cos y x x =; (6) 2ln 3xe y x=+;(7) 11x y x -=+; (8) 251xy x =+; (9) sin sin x x y x x=+; (10) 2ln cos y x x x =. 2.求下列函数在给定点的导数: (1)sin cos y x x =-，求'6x yπ=和'4x yπ=；（2）23()55x f x x =+-，求'(0)f 和'(2)f . 3.求曲线22y x x =+-的切线方程,使该切线平行于直线30x y +-=. 4.求下列函数的导数:(1)7(35)y x =+; (2)sin(24)y x =-; (3)32x y e -=; (4)22ln()y a x =-;(5)2cos y x =; (6) y =(7)arctan xy e =; (8)2(arcsin )y x =. 5.求下列函数的导数:(1)2(arccos )2x y =; (2)ln cot 2x y =;(3)y =; (4)y e =(5)y = (6)23(ln )y x =;(7)ln ln ln y x =; (8)ln tan2x y =; (9)1ln sin y x=; (10)1tan x y e =.6.求下列函数的导数: (1)21arctan ln(1)2y x x x =-+; (2)x xx xe e y e e ---=+.7.设()f x 可导,求d d y x . (1)1(arcsin )y f x=; (2)()()x f x y f e e =;(3)22(sin )(cos )y f x f x =+.第三节 高阶导数设一物体作直线运动,其速度()v t 是位移()s t 对时间t 的导数,而加速度()a t 又是速度()v t 的变化率,即d d d ()()d d d v s a t t t t==. 我们把导数的导数称为二阶导数.一般地,函数()y f x =的导数''()y f x =仍是x 的函数,因此,如果'()f x 在点x 处仍然可导,则'()f x 在点x 处的导数称为()f x 在点x 处的二阶导数,记为"y 或22d d yx,即''''()y y =或22d d d ()d d d y yx x x=.类似地,二阶导数"y 的导数称作()f x 的三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,分别记为"'y ,(4)y.(1)n y -的导数称作()f x 的n 阶导数,记作()n y ,()()n fx ,d d n n yx或d ()d n n f x x .二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数, 相应地'()f x 称为一阶导数.例1 求函数2325y x x =++的各阶导数.解 '2'(325)62y x x x =++=+,'''()(62)6,0(3).n y x y n =+==≥一般地，若10110() (0),n n n n n y P x a x a x a x a a --==++++≠L 则()()0!,0 (1).n k y n a y k n ==≥+例2 求函数(0,1)xy a a a =>≠的n 阶导数.解 'ln xy a a =,''2ln xy a a =,'''3ln xy a a =,(4)4ln x y a a =,L ,()ln .n x n y a a =特别地，()().n x x e e =例3 求sin y x =的n 阶导数.解 ''(sin )cos sin()2y x x x π===+,'''2[sin()]cos()sin()222y x x x πππ=+=+=+,''''223[sin()]cos()sin()222y x x x πππ=+=+=+,(4)'334[sin()]cos()sin()222y x x x πππ=+=+=+,L ,()sin()2n n y x π=+.类似可得, ()(cos )cos()2n n x x π=+.例4 求ln(1)y x =+的n 阶导数.解 ''1[ln(1)]1y x x=+=+, ''2(1)y x -=-+, '''312(1)y x -=⋅⋅+,(4)4(1)23(1)yx -=-⋅⋅+,L ,1()(1)(1)!(1)n n nn yx ---=+. 如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 处具有n 阶导数，那么显然()()u x v x +及()()u x v x -也在点x 处具有n 阶导数，且()()()()nn n u v u v .±=±但乘积()()u x v x ⋅的n 阶导数并不如此简单.由()uv u v uv '''=+首先得出()2uv u v u v uv ,''''''''=++ ()33uv u v u v u v uv .'''''''''''''''=+++用数学归纳法可以证明()()()()()()()()()()()()()12012!11!n n n n n k k n nn k k k n k n n u v u v nuv u v n n n k u v uv k C u v ----=-'''⋅=+++--++++=∑L L L上式称为莱布尼兹（Leibniz ）公式.例5 22xy x e ,=求()20y.解 设22xu e ,v x ,==则()()221220kk xu e k ,,,,==L()()2203420kv x,v ,v k ,,,,'''====L代入莱布尼兹公式，得()()()()20202220221921822022201922022222!22095.x x x xx y x e e x e x e e x x =⋅=⋅+⋅⋅+⋅=++习题2-31.求下列函数的二阶导数:(1)22ln y x x =+; (2)sin xy e x -=;(3)tan y x =; (4)ln(y x =;(5)21x y x=-; (6)2(1)arccot y x x =+;(7)23xy x e =; (8)2cos ln y x x =.2.求下列函数的导数值:(1)34()(10)f x x =+,求'''(0)f ;(2)2()x f x xe =,求''(1)f ;(3)()x e f x x=,求''(2)f .3.设()f u 二阶可导,求22d d yx.(1)2()y f x =; (2)1()y f x=; (3)ln[()]y f x =; (4)()f x y e -=.4.验证函数cos xy e x =满足关系式:'''220y y y -+=.第四节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数函数()y f x =表示两个变量y 与x 之间的对应关系,这种对应关系可以用各种不同方式表达,如sin y x =,y =这样的函数称为显函数.有些函数的表达式却不是这样的,例如方程2310x y +-=表示一个函数y =但这个函数关系是隐含在这一方程中的,这样的函数称为隐函数.一般地,如果变量x 和y 满足一个方程(,)0F x y =,在一定条件下,能确定y 是x 的函数,那么称方程(,)0F x y =确定了一个隐函数.与此相对应,具有()y f x =形式的函数称为显函数.把一个隐函数化为显函数,称为隐函数显化.但有些隐函数显化是相当困难的,如2sin()ln()0xy x y -+=.下面通过具体例子说明不进行显化的隐函数求导方法. 例1 求由方程0xyxy e e -+=确定的隐函数()y y x =的导数. 解 方程两边对x 求导并注意()y y x =,则得''0x y xy y e e y +-+=,解得'x y e y y e x-=+ (0)ye x +≠.例2 求由方程57230y xy x x +--=所确定的隐函数在0x =处的导数0d d x y x=.解 方程两边对x 求导,有46d d 5221210d d y yy y x x x x++--=, 由此得644d 1212 (520)d 52y x y y x y +-=+≠+. 因为当0x =时,由原方程得0y =,所以60040d 12121d 522x x y y x y xy ===+-==+. 例3 求曲线224x xy y ++=在点(2,2)-处的切线方程. 解 方程两边对x 求导,有''220x xy y yy +++=,则'(2)2x y y x y-+=+,'(2,2)1y-=.于是曲线在点(2,2)-处的切线方程为(2)1(2)y x --=⋅-,即40x y --=.例4 求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d d y x .解 由原方程得d 1d 1cos 0d 2d y yy x x--=. 于是d 2d 2cos y x y=-. 上式两边对x 再求导,仍注意()y y x =,得2223d 2sin d 4sin d (2cos 0)d (2cos )(2cos )yy y y x y x y y -⋅-==-≠--. 例5 设函数sin (0)xy x x =>,求'y .解 在sin xy x=两边取对数,得ln sin ln y x x =.将上式两边对x 求导,有'11cos ln (sin )y x x x y x=+. 于是'sin (cos ln )xy y x x x =+sin sin (cos ln )xx x x x x=+.例6设y =,求'y .解 两边取对数,得1ln [ln(1)ln(2)ln(3)]3y x x x =+++-+,两边对x 求导,得'1111[]3123y y x x x =+-+++. 即'111)123y x x x =+-+++.这种先取对数再求导的方法称为对数求导法.一般地,对幂指函数,以及经多次乘、除、乘方和开方运算构成的函数，用对数求导法比较简便.二、由参数方程所确定的函数的导数.若y 与x 的函数关系是由参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩确定的,则称此函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中,需要计算由参数方程所确定的函数的导数,但从参数方程中消去参数t ,有时会很困难.下面给出直接由参数方程求出它所确定的函数导数的方法.设()t ϕ，()t ψ均可导，且()t ϕ有反函数1()t x ϕ-=，则由参数方程所确定的函数就是复合函数1[()]y x ψϕ-=，利用复合函数及反函数的求导法则,得''d d d d 1()d d d d d ()d y y t y t x x t x t t tψϕ===，即''d ()d ()y t x t ψϕ=. 如果()x t ϕ=,()y t ψ=是二阶可导的,则由新的参数方程''(),d ()d ()x t y t x t ϕψϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得'2'''''''2'3()d ()'d()d ()()()()()d d d '()[()]t yy t t t t t x x x t t ψψϕϕψϕϕϕ-===. 例7 设1,1,x t t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩求d d yx .解2d 11d x t t =-,d 1d yt=,于是222d d 1d d 1d 11d y y t t x x t t t===-- (1t ≠±). 例8 已知椭圆的参数方程cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩求椭圆在4t π=处的切线方程.解 当4t π=时,得点)M ，在M 点处切线斜率为 ''444d (sin )cos d (cos )sin t t t y b t b t b K x a t a taπππ=======--.于是,椭圆在M 点处的切线方程为()22b y x a -=--或0bx ay +=. 例9 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求222d d t yxπ=.解 d d sin d d d 2d y y tt x x t t==-, 2223sin ()'d sin cos 2d (1)'4ty t t t t x t t--==+, 于是223322d sin cos 2d 4t t yt t tx t πππ==-==.习题2-41.求下列方程所确定的隐函数的导数d d y x. (1) 2290y xy -+=; (2) 1cos sin 2y x y =+; (3) 22sin xx y ey -=; (4) x y xy e +=;(5) 1yy xe =+; (6) y xx y =.2.求由方程sin()ln()xy y x x +-=所确定的隐函数()y x 在0x =处的导数d d x y x=.3.求椭圆221169x y +=在点处的切线方程和法线方程. 4.用对数求导法求下列函数的导数.(1) 2(sin )x y x =;(2) y =(3) 23(1)(1)x x y x -=+; (4) 1(1cos )x y x =+. 5.求下列参数方程所确定函数的导数d d y x. (1) 232,3;x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ (2) (1sin ),cos ;x t t y t t =-⎧⎨=⎩ (3) cos ,sin ;x a t y at t =⎧⎨=⎩(4)sin ,cos .ttx e t y e t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 6.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d d y x.(1) 23,;x at y bt ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (2) 2ln(1),arctan .x t y t t ⎧=+⎨=-⎩ 7.求曲线2,ttx e y e-⎧=⎪⎨=⎪⎩在0t =处的切线方程及法线方程. 第五节 函数的微分一、微分的定义引例 如图2-2所示,设有半径为0x 的圆形金属薄片,受温度影响,半径改变了x ∆,这时面积的增量为222000()2()S x x x x x x ππππ∆=+∆-=∆+∆,其中02x x π∆是x ∆的线性函数,2()x π∆是x ∆的高阶无穷小,因此,当x ∆很小时,金属薄片的面积改变量02S x x π∆≈∆.图 2-2定义 设函数()y f x =在某区间内有定义,如果在点0x 处给自变量一增量x ∆,函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-可表示为()y A x o x ∆=∆+∆,其中A 是不依赖于x ∆的常数,则称函数()f x 在0x 处是可微的,而A x ∆叫做函数()f x 在点0x 处相应于自变量增量x ∆的微分,记作d y ,即d y A x =∆.定理 函数()y f x =在点0x 处可微的充分必要条件是函数()y f x =在点0x 处可导,且'0()A f x =.证 必要性 设函数()y f x =在点0x 处可微,即00()()()y f x x f x A x o x ∆=+∆-=∆+∆.上式两边同除以x ∆,得()y o x A x x∆∆=+∆∆, 所以0limx yA x ∆→∆=∆,即函数()f x 在点0x 处可导,且'0()f x A =.充分性 设函数()y f x =在点0x 处可导,即'00lim()x yf x x ∆→∆=∆.由极限与无穷小的关系,有'0()yf x xα∆=+∆, 其中0lim 0x α∆→=,故'0()y f x x x α∆=∆+∆.因为'0()f x 与x ∆无关,且0lim0x xxα∆→∆=∆,所以函数()y f x =在点0x 处可微,且'0d ()y f x x =∆.定理证毕.通常把自变量的增量x ∆称为自变量的微分,记作d x ,则函数()y f x =在x 处的微分'd ()d y f x x =,从而有'd ()d yf x x=. 因此,导数也叫做微商.微分的几何意义 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线MT 的方程为'000()()()y f x f x x x -=-,由于'00()()d f x x x y -=,所以0d ()y y f x =-,即d y 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量,见图2-3.当'0()0f x ≠，且x ∆很小时,有d y y ∆≈.例1 求函数2()y f x x ==当x 由1改变到1.01时的微分.解 函数的微分为d '()2y f x x x x =∆=∆.由已知条件1x =,0.01x ∆=,故10.01d 210.010.02x x y =∆==⨯⨯=.二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由'd ()d y f x x =可知,求微分d y ,只要求出导数'()f x ,再乘以d x 即可. 1.基本初等函数的微分公式(1)d()0 ()C C =为常数; (2)1d()d x xx μμμ-=;(3)d(sin )cos d x x x =; (4)d(cos )sin d x x x =-; (5)2d(tan )sec d x x x =; (6)2d(cot )csc d x x x =-; (7)d(sec )sec tan d x x x x =; (8)d(csc )csc cot d x x x x =-;图2-3(9)d()d x x e e x =; (10)d()ln d x xa a a x =; (11)1d(ln )d x x x =; (12)1d(log )d ln a x x x a=; (13)d(arcsin )x x =; (14)d(arccos )x x =;(15)21d(arctan )d 1x x x =+; (16)21d(arccot )d 1x x x =-+.2.函数和、差、积、商的微分法则(1)d()d d u v u v ±=±; (2)d()d Cu C u =; (3)d()d d uv v u u v =+; (4)2d d d()uv u u vv v -=. 三、微分的形式不变性设()y f u =可导，这里u 是自变量，则微分'd ()d ;y f u u =另一方面，若()y f u =及()u g x =均可导,这里u 是中间变量，则复合函数[()]y f g x =的微分为''d ()()d ,y f u g x x =由于'()d d g x x u =,所以'd ()d y f u u =.由此可见,无论u 是自变量还是中间变量,微分形式'd ()d y f u u =保持不变.这一性质称为微分的形式不变性.例2 设ax by e+=,求d y .解 因为''()ax bax b y eax b e a ++=+=,所以d d ax b y ae x +=.或者由微分的形式不变性，有d d()d .ax b ax b ye ax b ae x ++=+=例3 求2sin 3xy e x =的微分.解 2d d(sin 3)xy e x =22sin 3d()d(sin 3)x x x e e x =+22sin32d 3cos3d x xx e x e x x =⋅+⋅ 2(2sin 33cos3)d xe x x x =+.四、微分在近似计算中的应用如果()y f x =在点0x 处可导,且'0()0f x ≠,则当x ∆很小时,有'000()()()y f x x f x f x x ∆=+∆-≈∆,即'000()()()f x x f x f x x +∆≈+∆.例4 利用微分求0sin 29的近似值. 解 令()sin f x x =,取06x π=,180x π∆=-,由'()cos f x x =得0'00sin 29()()f x f x x ≈+∆sin(cos )()66180πππ=+-10.4842=≈. 例5 证明当x 较小时，sin x x ≈.证 取()sin f x x =，(0)0f =，'(0)cos1x f ===，则'sin (0)(0)x f f x ≈+，即sin x x ≈.当x 很小时，类似有下列近似公式（1）ln(1)x x +≈ （2）1xe x ≈+（3）tan x x ≈ （4）(1)1x x αα+≈+习题2-51.求下列函数的微分： （1）21xy x=-； （2）sin 2y x x =；（3）ln y x=（4）y =； （5）22tan (12)y x =+； （6）2sin x y e =. 2.设2290y xy -+=，求d y . 3.计算下列函数值的近似值：（1 （2）0'sin 3030. 4.证明当x 很小时下列近似公式成立：（1）ln(1)x x +≈； （21x n≈+. 总习题二（A 类）1.设函数,0,(),0x e x f x ax b x ⎧≥=⎨+<⎩在点0x =处可导,求a 和b .2.讨论下列函数在指定点处的连续性及可导性: (1) ln(1),0,(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩ 在0x =处;(2) ()sin f x x = 在0x =处.3.在抛物线2y x =上过横坐标为11x =及23x =的两点作割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?4.证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于22a . 5.求下列函数的导数:(1) 2tan y x =; (2) arcsin(2)y x =+; (3) sin 2x x y a+=; (4) 1ln 1ln xy x-=+;(5) 22(arcsin )y x =; (6) 21ln tan(2)y x x=+;(7) 1arctan()1x y x +=-; (8) 2y =;(9) arcsin y x =; (10) 11()1x x y x +=-. 6.求下列函数的导数:(1) 21sin ,0,()0,0;x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩(2) 21,0,()21,01,2, 1.x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩7.设()3sin 2xf x x =,求'''(0)f .8.求下列方程所确定的隐函数的导数d d y x: (1) 2230xy y ++=; (2) cos cos 10x y =; (3) 222xyx y++=;(4) arctanyx=. 9.求下列方程所确定的隐函数的二阶导数22d d yx.(1)1yy xe =+; (2)arctan y x y =+.10.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d d yx:(1) 2,21;t x y t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩(2)cos ,sin ;x a t y b t =⎧⎨=⎩ (3) ''(),()(),x f t y tf t t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩设''()f t 存在且不为零. 11.求下列函数的微分:(1) 2ln y x x =;(2) y x =;(3) cos(3)xy e x -=-; (4) 221arctan 1x y x-=+. 12.求下列方程确定的隐函数的微分: (1) ln 1yxxe ye y -+=;(2) sin()y xy =.（B 类）一.填空题.1.已知2x =是()f x 的连续点,且2()lim32x f x x →=-,则'(2)_________f =.2.已知'(3)2f =,则0(3)(3)lim ___________2h f h f h→--=.3.设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩则22d ___________d yx=.4.设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则d _____________d yx=. 5.曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为______________.6.函数()f x 在0x 可导是()f x 在点0x 连续的___________条件, ()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的__________条件.二.选择题.1.设20,()(),0,x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 [ ].(A) 极限不存在; (B) 极限存在但不连续; (C) 连续但不可导; (D) 可导.2.已知函数()f x 有任意阶导数，且'2()[()]f x f x =，则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n 阶导数()()n fx 是 [ ].(A) 1![()]n n f x +; (B) 1[()]n n f x +;(C) 2[()]nf x ; (D) 2![()]nn f x .3.设22()3f x x x x =+,则使()(0)n f存在的最高阶数n 为 [ ].(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.4.若函数()f x 可导，且'2()sin [sin(1)]f x x =+，(0)4f =，则()f x 的反函数()x y ϕ=当自变量y 取值为4时导数值为 [ ].(A)21sin (sin 4); (B) 21sin (sin 5);第 94 页 (C) 0; (D)21sin (sin1). 三．解答题1.设函数()y y x =由方程()f x y xe e =确定，其中''()f x 存在，且'()1f x ≠，求''y .2.设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在区间(,)-∞+∞内有定义且在a 处可导，求'(0)f .3.设32()3(1)(1)1f x x x x =-+--，求'(1)f 及''(1)f .4.设函数1sin ,0,()0,0,x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩问α满足什么条件时，()f x 在0x =处 （1）连续;（2）可导;（3）导数连续. 5.若()f x 可导，求lim [()()]n ab n f x f x n n→∞+-- (,0)a b ≠. 6.设一多项式()f x 满足'''()(1)()3()0xf x x f x f x +-+=，且(0)1f =，求该多项式.7.设()f x 满足113()()2f x f x x+=，求'()f x .。
(整理)经济数学基础讲义 第2章 导数与微分
第2章 导数与微分2.1 极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)( )(0x x →若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在0x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时，（0x x ≠）2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）例1 讨论2x y =时, 22lim x x →=？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当2→x 时，42→=x y ，即22lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限11lim 21--→x x x解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到211lim 21=--→x x x2.1.3 左极限和右极限考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作= R .极限存在的充分必要条件：极限)(lim 0x f xx →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x 处的左，右极限都存在且相等.即例3 ⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.11lim )(lim 00==++→→x x x f ，0lim )(lim 0==--→→x x f x x可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量0)(lim 0=→x f x x 称当0x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为+∞=+∞→xx 2lim ，所以，当+∞→x 时，x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当0x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则)(1x f 是无穷大；反之，若)(x f 是无穷大，则是无穷小.例4 2x y =，当0→x 时，?2→x解： 由图形可知，当0→x 时，02→x ，当0→x 时，2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算2.2.1 极限的四则运算法则在某个变化过程中，变量v u ,分别以B A ,为极限，则B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(，B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(例1 求22lim x x → 解：422)lim )(lim ()(lim lim 22222=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求11lim 21--→x x x解：21)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x例3 求xx x x +-∞→2231lim解：31)13()11(lim 31lim22222=+-=+-∞→∞→xx x x x x x x x 例4 求xx x 11lim 0-+→解：)11()11)(11(lim 11lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )11(lim++=→x x xx 21111lim=++=→x x 2.2.2 两个重要极限 1.1sin lim0=→xxx几何说明： 如图，设x 为单位圆的圆心角，则x 对应的小三角形的面积为2sin x，x 对应的扇形的面积为2x ，x 对应的大三角形的面积为2tan x 当0→x 时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.例1 xxx 3sin lim0→解：x x x 3sin lim 0→=333sin 3lim0=→x x x 333sin lim 0=→xxx 2.e )11(lim =+∞→xx x e )1(lim 10=+→x x x 例2 求极限xx x)311(lim +∞→ 解: 31313313e ])311(lim [)311(lim )311(lim =+=+=+∞→⋅∞→∞→x x x x x x xx x例3 求极限xx x 10)21(lim -→解 2221)2(211e ]))2(1(lim [))2(1(lim )21(lim ---→--→→=-+=-+=-x x xx xx x x x2.3 函数的连续性定义 设函数)(x f 在点0x 的邻域内有定义，若满足)()(lim 00x f x f xx =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续.点0x 是)(x f 的连续点. 函数间断、间断点的概念如果函数f x ()在点x 0处不连续，则称f x ()在点x 0处发生间断.使f x ()发生间断的点x 0，称为f x ()的间断点例如 函数32,x y x y ==，x y x y cos ,sin ==，xy x y e ,ln ==在定义域内都是连续的.例1 ⎩⎨⎧>-≤+=13211)(x x x x x f ,问)(x f 在1=x 处是否连续？ 注意：此函数是分段函数，1=x 是函数的分段点.解: 1)32(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ，2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x )(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处是间断的. 例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx y ,问)(x f 在0=x 处是否连续？解: )0(01sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ （无穷小量×有界变量=无穷小量）∴)(x f 在0=x 处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3xx x x 220cos 1e lim ++→解: 21110cos 01e cos 1e lim 220220=+=++=++→x x x x 注意： xx x 22cos 1e ++是初等函数，在0=x 处有定义，利用结论有极限值等于函数值. 2.4 导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念. 三个引例边际成本问题 瞬时速率问题 曲线切线问题引例1： 边际成本问题 C —总成本，q —总产量已知 时当q q q q C C ∆+→=00),(（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）)()(0q q C q C ∆+→），qq C q q C ∆-∆+)()(00（成本平均变化率），qq C q q C q ∆-∆+→∆)()(lim 000（边际成本）引例2: 瞬时速率问题路程S 是时间t 的函数)(t S ，当t 从t t t ∆+→00时，)(t S 从)()(00t t S t S ∆+→tt S t t S ∆-∆+)()(00 （平均速率）t t S t t S t ∆-∆+→∆)()(lim000 （在0t 时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线)(x f y =在0x x =处的切线斜率.当x x x ∆+→00时，对应的y y y ∆+→00，曲线上))(,(00x f x 和))(,(00x x f x x ∆+∆+两点间割线的斜率为xx f x x f ∆-∆+=)()(tan 00φ（当0→∆x 时），xx f x x f x x ∆-∆+==→∆→∆)()(limtan lim tan 000φα 称为切线的斜率.qq C q q C q C q ∆-∆+=→∆)()(lim)(000tt S t t S t S t ∆-∆+=→∆)()(lim)(000xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(000关于函数)(x f y =x x x ∆+→00，)()(00x x f x f ∆+→，考虑极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000定义 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得改变量)0(≠∆x 时，函数y 取得相应的改变量.)()(00x f x x f y -∆+=∆ 若当0→∆x 时，两个改变量之比xy∆∆的极限 x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称此极限值为 )(x f y =在点0x 处的导数， 记为)(0x f '或0x x y ='或d d x x xf =或d d x x x y =即 )(0x f '=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000若极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导. 在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的. 导数定义的意义· 数量意义 变化率 · 经济意义 边际成本 · 几何意义 切线的斜率例1 2)(x x f y ==，求.)2(,)3(,)1(-'''f f f思路：先求)(x f '，再求)(0x f '.解：因为22)()(,)(x x x x f x x f ∆+=∆+=x x x x x xx x x xx f x x f x x x 2)(2lim )(lim )()(lim202200=∆∆+∆=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆→∆ 所以x x x f 2)()(2='='，426321-=-'='='）（，）（，）（f f f 例2 x xg ln )(=，求).5.0(),10(g g ''解: 因为)ln()(,ln )(x x x x g x x g ∆+=∆+=xx x x x xx x xx x x xx x x xx g x x g ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆-∆+=∆-∆+10000)(ln lim ln 1lim ln )ln(lim )()(limx x xx x x xx x 1e ln ]lim ln[1110==∆+=⋅∆→∆）（所以2)5.0(,101)10(='='g g 导数公式 xx 1)(ln ='求导步骤1、求)(x f '；2、求0)(x x x f ='.注意：)(x f '是)(x f 的导函数，函数在0x 处的导数值0)()(0x x x f x f ='=' 微分的概念 设)(x f y =，导数)(d )(d d d x f y xx f x y '='==，两边同乘x d ，得到函数的微分. 微分 x x f x y x f y d )(d )(d d '='== 导数公式xx x x c 1)(ln )(0)(1='='='-αααxx x xa a a x x x x e )e (ln )(sin )(cos cos )(sin ='='-='='微分公式由导数公式可以得到微分公式x x x x x d )(d )(11--=='αααααα x xx xx d 1)(ln d 1)(ln ==' x x x x x d cos )(sin d cos )(sin ==' x x x x x d sin )(cos d sin )(cos -=-='x a a a a a a x x x x d ln )(d ln )(=='2.5 导数的计算 导数的加法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ±在点x 处可导亦可导，且)()())()((x v x u x v x u '±'='± )())((x v c x cv '='（c 为常数）加法公式证明)()())()((x v x u x v x u '+'='+证：设)()()(x v x u x f +=，则)()()(x x v x x u x x f ∆++∆+=∆+，)()()(x v x u x f +=xx f x x f x v x u x f x ∆-∆+='±='→∆)()(lim))()(()(0xx v x u x x v x x u x ∆+-∆++∆+=→∆))()(())()((lim0])()()()([lim 0xx v x x v x x u x x u x ∆-∆++∆-∆+=→∆x x v x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆)()(lim)()(lim 00)()(x v x u '+'= 由已知条件，)(),(x v x u 均可导. 导数的乘法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ⋅在点x 处可导亦可导，且)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'=' )()()())((x v c x v c x v c x cv '='+'='导数除法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u 在点x 处可导亦可导，且 )()()()()())()((2x v x v x u x v x u x v x u '-'='（0)(≠x v ） 例1 设函数1453+-=x x y ，求?='y析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数. 解： )1()4()5(3'+'-'='x x y （利用加法法则）1)(4)(53'+'-'=x x )())((x v c x cv '='=4152-x （利用导数公式0)(,)(1='='-c x x ααα）例2 设x x x y ln 243+-=，求y '.解：)ln 2()()4(3'+'-'='x x x y)(ln 2)()(43'+'-'=x x x （提示 xx xx 1)(ln 21)(='=' ）212x =xx221+-例3 设4cos 3xy x+=，求y '. 解：)4cos ()3('+'='x y x（提示x x a a a x x sin )(cos ln )(-='='）)sin (413ln 3x x -+=4sin 3ln 3xx -=例4 x x y ln 213+-=，?='y解：因为x x y ln 212123+-=（由对数的性质：x x x ln 21ln ln 21==）所以 xx y 21232+='（其中常数的导数为0） 例5 设xx y e 2=，求y '.解：利用导数的乘法法则，)(e e )(22'+'='xxx x y （利用导数公式xx e )e (='）)2(e e e 22x x x x x x x +=+=例6 4x y =，求y '.解：<方法1> 由导数基本公式344)(x x =' <方法2> 利用导数的乘法法则224x x x y ⋅==3222222224422)()()()(x x x x x x x x x x x x y =⋅+⋅='⋅+⋅'='⋅='='说明无论用哪种方法其结果是唯一的. 例7 xxy sin =，求y '. 解：<方法1> 将函数看成x xy sin 1=，利用乘法法则求导. 22cos sin cos 1sin 1)(sin 1sin )1(x x x x x x x x x x x x y +-=+-='+'='<方法2> 利用导数的除法法则求导2sin cos )sin (xxx x x x y -='=' 其中x x v x x u ==)(,sin )(.两个结果是完全一样的. 例8 求)(tan 'x解：xx x x x x x x x 22cos 1cos )sin (sin cos cos )cos sin ()(tan =--⋅='=' （利用三角公式1cos sin 22=+x x ）同理可求x x 2sin 1)(cot -='. 2.5.2 复合函数求导法则问题：2)32(+=x y ，求?='y 100)32(+=x y ，则?='y解：第一个问题2)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开9124)32(22++=+=x x x y利用加法法则有128+='x y方法2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32)(32()32(2++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y第二个问题100)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论100)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u9999)32(2002100d d d d d d +=⋅==='x u xu u y x y y 2.5.2 复合函数求导法则定理 设y=f (u ),u=(x ),且u (x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=x )处可导，则复合函数y=f ((x ))在点x 处可导，且)()(x u f y x φ''='或x u x u y y '⋅'='复合函数求导步骤·分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；·依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φϕ===，则)()()(x v u f y φϕ'''=' 或x v u x v u y y '⋅'⋅'='注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.问题: 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和21x y --=分别求导21x xy --='和21x xy -=' 将21x y -=和21x y --=分别代入，得 yx y -=' 01232=+--y x x （1）由（1）解得:)13(212+-=x x y 0e e =-+x xy y （2）在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y =隐函数求导方法步骤·方程两边求导，)(x y y =；·整理方程，求出y '.例1 求下列函数的导数或微分（1）xy 2e =，求.y ' 解：方法一: 由x x x x y e e e e )11(2⋅===+x x x y 222e 2e e =+='.这是用导数的乘法法则.方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u2,e ==x x u u u y 2e 2)e (='⋅'='（其结果是完全一样的) （2）x y e =，求.y ' 解：利用复合函数求导法则，设x u y u ==,e x u x u u x x u y e 2121e )e (⋅=⋅='⋅'='.（3）x y cos ln =，求y d .解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==x x xx u u u y x u tan )sin (cos 1)(cos 1)(ln -=-='='⋅'=',x x y d tan d -= 例2 设21x y -= ，求).0(y '解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果. 设21,x u u y -==，利用复合函数求导法则，221)2(21)1()(x x x ux u y x u --=-='-⋅'=',.0)0(='y 例3 设函数)2(sin 32x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）322,sin ,x v v u u y +===,23cos 2x v u y ⋅⋅='2333)2cos()2sin(2x x x ⋅+⋅+=)2cos()2sin(6332x x x +⋅+= 例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2311,x u u y -==)1()1(3121312'-⋅-='-x x y 322)1(32---=x x 例5 设函数x y 1cos 3=，求y '. 解: xv v u y u 1,cos ,3=== x v u u x v y )1()(cos )3(''⋅'=' [21)()1(---='='x x x ] )1)(sin )(3ln 3(2xv u --=)1)(1sin )(3ln 3(21cos x x x --=x x x 1cos 231sin 3ln ⋅⋅= 例6 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.022='+y y x ,解出yx y -='（与前面的结果相同）. 例7 求由方程0e e =++x y xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.0e e =+'++'x y y x y y ,解得注意：在隐函数的导数结果中常常含有y .例8 求双曲线1=xy 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为0='+y x y ,所以xy y -=',且在点（1，1）处的切线斜率1)1,1(-='y2.6 高阶导数 )(x f 的高阶导数例1：4)(x x f = 34)(d )(d x x f xx f ='=22212)(d )(d d )d )(d d(x x f x x f x x x f =''==x x f xx f 24)(d )(d 33='''= 一般地，)(x f y =，函数的n 阶导数记为)(d d )()(x f y xy n n n n == 例1 求函数522-+=x x y 的二、三阶导数. 解： 14+='x y ，4=''y ，0='''y例2 求)1ln(x y +=的二阶导数 至n 导数. 解： xy +='11，2)1(1)11()(x x y y +-='+=''=''， 32)1(1)!2()1(x y +-=''' … n n n x n y )1(1)!1()1(1)(+--=-。
考研数学D2考研基础班精品课件
1.表示导数时能显示谁是函数谁是
自变量
2.表示微分时有商的含义，故
dy dx
1 dx
3.隐含着微分形式的不变性
dy
13
三、典型题型的解题方法及技巧
题型1：已知导数求极限
f ( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
例1.设
f (x0 ) 存在,求 lim x0
f (x0 x (x)2 ) x
注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法(直接法、微分法） (3) 参数方程求导法（复合函数法、微商法） (4) 对数函数求导法（对多个因式的积商、乘方开方 及幂指函数有用）
(5) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) (6) 高阶导数的求法（逐次求导归纳 ;间接求导法）
8
3.常数和基本初等函数的导数 (P94)及法则
2）不符合求导法则的条件时
3）表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的
用求导法则
y x x 在 x 0 处的导数.
例5.求 y 3 x sin x 在 x 0处的导数.
0 注解意: ：f 可y0导3lxi3m可10xf2导sxi=nx可x0导f30；x可colx导ismx0 3 x不sxi可n x导就一定不可导.
(csc x) csc x cot x
(ex ) ex
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
9
★有限次四则运算的求导法则（注意条件）
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
导数与微分(经典课件)
导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。
教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。
教学难点：导数的概念。
教学方法：讲授与练习。
学习学时：3学时。
一、导数的定义：1．引入〔背景〕：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马〔Fermat 〕为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿〔Newton 〕在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹〔Leibuiz 〕在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。
这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1。
直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，假设0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：00)()(limt t t s t s v t t --=→。
导数与微分课件
导数的计算
导数的计算可以通过使用导 数的定义和基本的微积分规 则。
导数的应用
导数的应用包括函数的单调 性、极值点和图像与导数的 关系。
微分的定义
增量与微分
微分是通过增量的概念进行定 义的，它描述了函数在某一点 上的变化情况。
微分的几何意义
微分具有几何意义，可以用来 描述件
欢迎来到本次的导数与微分ppt课件！在本课件中，我们将介绍导数和微分的 概念，探讨它们的应用和真实世界中的案例，帮助您更好地理解这一重要的 数学概念。
什么是导数和微分
我们将开始本次课程的旅程，从导数与微分的概念入手。导数是函数在某一点上的变化率或斜率。微分是通过 导数对函数进行近似的方法。让我们深入了解这两个重要的数学概念。
导数和微分的关系
1 密切联系
导数和微分是密切相关的 概念，导数提供了微分的 基础。
2 应用广泛
3 互相补充
导数和微分在数学和实际 应用中都起着重要的作用， 例如函数的图像和曲线拟 合。
通过导数和微分，我们可 以更好地理解函数的性质 和变化规律。
导数的定义
极限的概念
导数的定义涉及到极限的概 念，即函数在某一点上的变 化率。
微分的计算
微分可以通过使用微分的定义 和数学推导方法进行计算。
微分的应用
1
极值问题
微分可以帮助解决极值问题，即找到函数的最大值和最小值。
2
最优化问题
微分还可以应用于最优化问题，例如在限制条件下求函数的最大或最小值。
3
凸函数与微分
微分可以用于研究凸函数，以及凸函数与微分之间的关系。
总结
通过本次课程，我们深入了解了导数与微分的关系，学会了计算导数和微分， 并了解了它们在实际问题中的应用。下一节课，我们将进一步学习函数的积 分。
考研数学解题技巧之导数与微分
考研数学解题技巧之导数与微分导数与微分是数学中的基础概念，也是考研数学中的重要内容之一。
掌握好导数与微分的解题技巧对于考研数学的学习和考试都具有重要的意义。
在本文中，将介绍一些关于导数与微分的解题技巧，希望能够帮助考生更好地应对考研数学。
一、导数与微分的概念首先，我们需要明确导数与微分的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
而微分是导数的微小变化，它是导数在微小区间上的平均值。
我们可以利用导数与微分的概念来进行数学问题的求解。
二、导数与微分的计算方法导数与微分的计算方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法：1. 利用基本的导数公式进行计算。
对于常见的指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以通过掌握它们的导数公式来快速计算导数。
2. 利用求导法则进行计算。
求导法则是一些导数计算的常用规则，有加法法则、乘法法则、链式法则等。
熟练掌握这些法则可以简化计算过程。
3. 利用导数的几何意义进行计算。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率，利用这一性质可以通过几何图形来求解导数。
三、导数与微分的应用导数与微分不仅仅是数学概念，它们在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用：1. 极值与最优化问题。
通过求函数的导数可以找到函数的极值点，从而解决最大化或最小化的问题。
2. 曲线的切线与法线。
导数可以帮助我们求解曲线在某一点的切线方程和法线方程，进而了解曲线的性质。
3. 弧长与曲率。
导数可以帮助我们求解曲线的弧长和曲率，这在几何问题中经常被用到。
四、导数与微分的常见问题解析在考研数学中，有一些经典的导数与微分问题经常出现，下面将对其中一些问题进行解析：1. 求函数的导函数。
这是一个基础的问题，在求解过程中可以运用到前面提到的导数计算方法。
2. 求函数的极值点和最值。
对于一个函数，通过求解其导函数的零点可以找到函数的极值点，再通过二阶导数的符号可以判断是极大值还是极小值。
北文考研曹显兵第二讲—导数与微分
Ⅱ．考试内容
一． 导数概念
1. 定义
如果极限
lim Δy = lim f (x0 + Δx) − f (x0 ) = lim f (x) − f (x0 )
Δx Δx→0
Δx→0
其中 α (x) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f (x) 在 x = 1 处可导, 求曲线
y = f (x) 在点 (6, f (6)) 处的切线.
三．求导（微分）
【例 5】设 y
=
⎧x = arctan t
y(x)
由
⎨ ⎩2 y
−
ty 2
+
et
确定,
=5
求 dy dx
.
四．变限积分求导
注：（1） { f [ϕ(x)]}′ = f ′(ϕ(x))ϕ′(x) ．
（２） 剥皮求导法：
【例 5】 y = e2sin2 (x2 +1)
2
5. 对数求导法：
【例 6】设 y = x2x + xx2 + 2xx ，则 y′ =
dy =
.
6．隐函数求导：
7．参数方程求导
dy
⎧x
⎨ ⎩
y
= φ′(t) ,则 =ψ ′(t)
，
dy dx
= ψ ′(t)φ′′(t) −ψ ′′(t)φ′(t) ⋅ 1
φ′2 (t)
φ ′(t )
【例 11】设函数
y
=
⎧x = t − ln(1 + t)
y(x)
由方程
导数与微分重点知识点总结
导数与微分重点知识点总结导数和微分是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将对导数与微分的重点知识点进行总结。
一、导数的定义与性质1. 导数的定义：如果函数f(x)在点x处的导数存在，那么导数可以定义为f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h。
导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的几何意义：导数等于函数图像在某点的切线斜率，也可以表示函数图像在该点的切线与x轴正方向夹角的正切值。
3. 导数的性质：导数存在的函数在该点必然连续，导数具有可加性和数乘性，即对于函数f(x)和g(x)，有[f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x)和[cf(x)]'= cf'(x)。
二、常见函数的导数公式1. 幂函数：对于f(x) = x^n，其中n为实数，导数为f'(x) = nx^(n-1)。
2. 指数函数：对于f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1，导数为f'(x)= a^x·ln a。
3. 对数函数：对于f(x) = logₐx，其中a为正实数且a≠1，导数为f'(x) = 1/(x·ln a)。
4. 三角函数：对于f(x) = sin x，导数为f'(x) = cos x；对于f(x) = cos x，导数为f'(x) = -sin x；对于f(x) = tan x，导数为f'(x) = sec² x。
5. 反三角函数：例如arcsin x的导数为1/√(1-x²)，arccos x的导数为-1/√(1-x²)，arctan x的导数为1/(1+x²)。
三、微分的定义与应用1. 微分的定义：对于函数y = f(x)，若f(x)在某一点x处有定义且可导，那么对应的微分dy为dy = f'(x)dx。
经济数学复习第二章导数与微分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x2 1
1
1 x2
，dy
1
dx x2
．
x2
（3） y2 f (e2x)e2x dy2 f (e2x)e2xdx
练习
若
y
tan
x 2
则
dy ?
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
(1) d(C) 0
(10) d(cot x) csc2 xdx
(2) d(x) x 1dx (11) d(sec x) sec x tan xdx
d u v du dv d uv vdu udv
d cu cdu，（c为常数）
d
(u v
)
vdu udv， v2
(v 0)
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
例7求 d(cos2x)
例8 求函数 yexcos4x 旳微分 解：dycos4xd(ex)exd(cos4x) cos4xexd(x)ex(sin4x)d(4x) excos4xdx4exsin4xdx ex(cos4x4sin4x)dx
f (x0),
y x ,x0
dy dx
, x x0
或
df dx
. x x0
ESC
一、导数旳概念
即
f (x0)
lim
x0
f
(x0 x) x
f
(x0) .
或
f (x0)
lim
x x0
f
(x) x
f (x0) x0
.
定义2.2 若函数 y f (x) 在区间 (a,b)内
任意一点处都可导，则称函数 f ( x)在区间 (a,b)
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分知识点
第二章 导数与微分一、导数1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限 ()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。
多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。
如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。
2、单侧导数右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
3、导数的几何意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()()()010000≠'-'-=-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。
微分公式和导数公式的理解记忆方法
微分公式和导数公式的理解记忆方法宝子们，今天咱们来唠唠微分公式和导数公式咋记哈。
导数呢，就像是一个函数的变化率。
比如说对于简单的函数y = x²，它的导数y' = 2x。
你就想啊，x²这个函数图像是个抛物线，在每一点的切线斜率就是2x。
对于常数函数y = C（C是常数），那它的导数就是0啦，因为常数就像一潭死水，一点变化都没有，变化率可不就是0嘛。
像y = sinx这个函数，它的导数是cosx。
你可以想象sinx的图像是那种波浪形状的，它的变化情况呢就和cosx的图像能对应上。
就好像sinx在那扭啊扭，cosx就在旁边指挥着它的变化方向和节奏。
再说说微分公式哈。
微分其实和导数是紧密相关的。
对于函数y = f(x)，微分dy = f'(x)dx。
你可以把dx想象成一个小的改变量，dy就是y对应的小改变量。
比如说y = x³，先求导得y' = 3x²，那微分dy = 3x²dx。
你就把dx当成一个小点点，3x ²dx就是y因为x有了这个小点点的改变而产生的改变量。
还有啊，对于复合函数求导，就像y = f(g(x))这种。
你就把里面的g(x)当成一个整体先求导，再乘上g(x)对x的导数。
这就好比是剥洋葱，一层一层来。
比如说y = sin(2x)，先把2x当成一个整体，sin这个函数对这个整体求导是cos(2x)，然后再乘上2x对x的导数2，最后结果就是2cos(2x)。
宝子们，记这些公式的时候别死记硬背，要多画画函数图像，多从函数的变化意义上去理解。
就把这些函数当成有生命的小怪兽，导数和微分就是它们的小秘密，咱们把这些小秘密搞清楚了，数学就变得超级有趣啦。
加油哦，宝子们，数学小怪兽可难不倒咱们呢！。
第二讲导数与微分内容提要与典型例
例 设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x) ② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) |( x) | 在 x = a 处的可导性
解 ① lim f ( x) f (a) lim ( x a) ( x)
xa x a
所确
定,
求
d2 y dx 2
.
解 两边取对数 1 ln y 1 ln x, 即y ln y x ln x,
x
y
(1 ln y) y ln x 1,
y ln x 1,
1 ln y
1 (ln y 1) (ln x 1) 1 yBiblioteka y xy (1 ln y)2
y(ln
y 1)2 x(ln x 1)2 xy(ln y 1)3
x
x x ln
x
3
2x (2 x)2
,
求 y.
y2
提示: 分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案:
y y1 y2
(sin x)tan x (sec2 x ln sin x 1)
1 xln x
3
3 x (2 x)2
1 2 ln x x 2x
3(2 x) 3(2
x)
例 设函数y f ( x)由方程 x y y x( x 0, y 0)
y
' t
x
' t
1
1
1 t
2
2t
1 t2
t2
1t2 t
2t
2
1 t2
d2y dx2
d dx
dy dx
d t dt dt 2 dx
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
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第二讲 Ⅰ．考试要求导数与微分1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面 曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的 可导性与连续性之间的关系. 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数微分. 3．了解高阶导数概念，会求简单函数的高阶导数. 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.Ⅱ．考试内容一． 导数概念 1. 定义如果极限f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δy f ( x) − f ( x0 ) = lim = lim Δx →0 Δx Δx →0 x → x0 Δx x − x0 lim存在, 则称该极限为函数 y = f (x) 在点 x 0 处的导数. 记作 f ′( x 0 ) , 或者dy dx.x = x0此时, 称函数在该点可导, 否则称为不可导. 注： (1)导数是一种特殊的极限. 因此, 可以用极限计算导数, 也可以用导 数求特殊形式的极限.抽象函数. 【 例 １ 】 11202 ） 11302 ） 已 知 f (x ) 在 x = 0 处 可 导 , 且 f (0) = 0 , 则 （ （ x 2 f ( x) − 2 f ( x3 ) ) =( x →0 x3 ( A) − 2 f ′(0) . ( B ) − f ′(0) . lim （２） 隐含的导数结论x → x0(C ) f ′(0) .(D ) 0 .y = f (x) 在点 x 0 处连续， limf ( x) = A ⇔ f ( x0 ) = 0 ， f ′( x0 ) = 0 x − x02. 单侧倒数 左右极限产生左导数与右导数的概念, f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) f +′( x0 ) = lim Δx → 0 + Δx f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) f −′ ( x0 ) = lim Δx →0 − Δx 命题 函数在一点可导的充分必要条件是: 它在该点的左导数与右导数存 在且相等.1注： 单侧倒数用于研究分段函数的导数．计算分段函数的导数时, 对不同 表达式分别求导, 分段点处用左右导数.特别要注意隐含的分段函数. 【例 2】 设 f (0) = 0, 则 f (x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 1 1 ( A) lim 2 f (1 − cos h) 存在. (B ) lim f (1 − e h ) 存在. h →0 h h→0 h 1 1 (C ) lim 2 f ( h − sin h) 存在. (D ) lim [ f ( 2h) − f ( h)] 存在. h →0 h h →0 h 3. 导函数 如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 中每一点都可导, 则产生了一个新的函数, dy . 称为函数 y = f (x) 的导函数, 记作 f ′(x ) , 或者 dx 注:函数在一个闭区间上可导的含义. 4. 导数的几何应用 函数 y = f (x) 在点 x 0 处的导数等于曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 切线方程: y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) 法线方程: y − f ( x 0 ) = − 注： f ′( x0 ) = ∞ ，切线为 x = x0【例 3】求曲线 y = x3/ 21 ( x − x0 ) f ′( x 0 )通过点(5,11)的切线方程.5． 可导与连续 极限 ⇐ 连续 ⇐ 可导. 反例 y =| x |【例 4】 研究函数 limx 2 e n ( x −1) + ax + b 的连续性与可导性. n →∞ e n ( x −1) + 1二． 求导方法 1. 按定义求导：抽象函数，分段函数 ′ ⎛ u ⎞ u ′v − uv ′ (u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ ， (uv ) ′ = u ′v + uv ′ ， ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ 3． 反函数求导 设 y = f (x) , 则其反函数 x = ϕ ( y ) 的导数 ϕ ′( y ) = 4. 复合函数求导y = f (u ) ， u = ϕ (x ) , 则 y ′ = f [φ ( x )]′ = f ′(u )φ ′( x ) , 或2．函数四则运算的求导1 ． f ′( x)dy dy du = dx du dx注： （1） { f [ϕ ( x )]}′ = f ′(ϕ ( x ))ϕ ′( x ) ． （２） 剥皮求导法：【例 5】 y = e2sin 2 ( x 2 +1)25.对数求导法：【例 6】设 y = x2x+ x x + 2 x ，则 y ′ =2 xdy =.6．隐函数求导： 7．参数方程求导dy ′(t ) ⎧ x =φ dy dt dy ψ ′(t ) = = ,则 或 . ⎨ dx dx dx φ ′(t ) ⎩ y = ψ ′(t ) dt8. 积分上限函数、原函数存在定理1．若 f (x ) 在 [a , b] 上可积，则函数 Φ( x) =∫a f (t )dt 在 [a , b] 上连续． ∫a f (t )dt 在 [a , b]xx2．原函数存在定理：若 f (x ) 在 [a , b] 上连续，则函数 Φ( x) = 上可导，且 Φ′( x ) = f ( x ) ，即 Φ( x) = 3. 变限积分的导数公式：x∫a f (t )dt 是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数．d x d b ∫a f (t )dt = f ( x) ， dx ∫ x f (t )dt = − f ( x) ； dx d ϕ ( x) d b (2) f (t ) dt = f [ϕ ( x )] ⋅ ϕ ′( x ) ， ∫ f (t ) dt = − f [ψ ( x )] ⋅ψ ′( x ) ； dx ∫ a dx ψ ( x ) d ϕ ( x) (3) f (t ) dt = f [ϕ ( x )] ⋅ ϕ ′( x ) − f [ψ ( x )] ⋅ψ ′( x ) ． dx ∫ψ ( x ) 注: 当积分中有变量 x 时,不能用上述公式直接求导.(1) 【例 7】函数 y = y (x) 由方程 x − ∫x+ y 1e −t dt = 0 确定, 求 y ′(0) .2三． 高阶导数 1.定义d2y dx 2 类似可以定义三阶导数, 四阶导数, 直到 n 阶导数. 2. 常用高阶导数公式 （1） y = e x , 求 y (n ) . π （2） y = sin x , (sin x ) ( n ) = sin( x + n ⋅ ) 2 π (cos x) ( n ) = cos( x + n ⋅ ) 2 ( n − 1)! （3） y = ln(1 + x ) , [ln(1 + x)]( n ) = ( −1) n −1 (1 + x) n 3. 莱布尼兹公式 设 u (x) ， v (x ) n 阶可导, 则 1 2 (uv ) ( n ) = u ( n ) v + C n u ( n −1) v ′ + C n u ( n − 2 ) v ′′ + L + uv ( n ) ４.复合函数求二阶导数 导函数与原函数有相同的复合关系导函数的导数称为二阶导数, 记作 f ′′(x) , 或3【例 8】 y = f ( ) + f (sin 2 x)1 x5. 反函数求二阶导数 6. 隐函数求二阶导数d2y 1 sin y = 0 所确定的函数 y 的二阶导数 2 . 2 dx y 【例 10】设 y = y ( x ) 是由方程 xy + e = x + 1 确定的隐函数，则【例 9】 求由方程 x − y +d2y = . dx 2 x = 0 方法 先求导数, 再将导数对自变量求导, 最后代入导数.7． 参数方程求二阶导数 ⎧ x = φ ′(t ) dy ψ ′(t ) dy ψ ′(t )φ ′′(t ) −ψ ′′(t )φ ′(t ) 1 = ， ， = ⋅ ⎨ φ ′2 (t ) φ ′(t ) dx ⎩ y = ψ ′(t ) dx ϕ ′(t )⎧ x = t − ln(1 + t ) d2y 【例 11】设函数 y = y ( x ) 由方程 ⎨ 确定, 则 = 3 2 dx 2 ⎩y = t + t.四． 微分 1. 定义 函数的增量 Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 可以表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δx ) 其 中 A 是 不 依 赖 于 Δx 的 常 数 , 而 o(Δx) 是 比 Δx 高 阶 的 无 穷 小 , 则 称 函 数 y = f ( x) 在点 x 0 处可微, 而 AΔx 称为 y = f ( x) 在点 x 0 处相应于自变量的增量 Δx 的微分, 记作 dy = AΔx . 2. 可微条件 极限 ⇐ 连续 ⇐ 可导 ⇔ 可微 3. 微分的几何意义 微分三角形. 微分是曲线的切线的增量. 4． 一阶微分形式不变性 无论 x 是自变量还是中间变量, 微分都是 dy = f ′( x ) dx .Ⅲ．题型与例题一．导数定义f (a + x) − 2 f (a ) + f ( a − x) . x →0 x2 【例 2】设 f ( x ) 具有一阶连续导数, F ( x ) = f ( x ) ⋅ (1+ | sin x |) , 则 f (0) = 0 是 . F ( x ) 在 x = 0 处可导的 ( A) 必要但非充分条件. ( B ) 充分但非必要条件. (C ) 充分且必要条件. ( D ) 既非充分也非必要条件.【例 1】 设函数 f ( x ) 在点 x = a 二次可导, 求 lim4二．切线与法线方程. ) = e y 在点 (0,0) 处的切线方程为 4 【例 4】设 f ( x ) 是周期为 5 的函数, 它在 x = 0 的某个邻域内满足关系式 f (1 + sin x) − 3 f (1 − sin x ) = 8 x + α ( x ) 其中 α ( x ) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f ( x ) 在 x = 1 处可导, 求曲线 y = f ( x) 在点 (6, f (6)) 处的切线. 三．求导（微分） 【例 3】 （11311） 【例 5】设 y = y ( x ) 由 ⎨ 曲线 tan( x + y +π⎧ x = arctan t ⎩2 y − ty + e = 52 t确定, 求dy . dxx四．变限积分求导【例 6】 设函数 f ( x ) 连续, f (1) = 1 , 且满足方程 积分∫ tf (2 x − t )dt = 2 arctan x012, 求定∫21f ( x ) dx .【例 7】设 f ( x ) =∫0xπ sin t dt ，求积分 ∫ f ( x)dx ． 0 π −t【例 8】 f ( x ) 连续, F ( x) = 设 并讨论 F ′( x ) 在 x = 0 处的连续性.∫10f ( xt )dt , 且 limx →0f ( x) = A ( A 是常数), 求 F ′( x ) , x【例 9】 （11215） （本题满分 10 分）∫ ln(1 + t 已知函数 F ( x) =0x2)dtxα,设 lim F ( x ) = lim F ( x ) = 0 ,试求 α 的取值范围. +x → +∞ x →05。