高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课时规范训练 理 北师大版
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件理191.ppt
A．2 6 C．4 6
B．8 D．10
解析 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A， B，C 代入，
D＋3E＋F＋10＝0，
得4D＋2E＋F＋20＝0， D－7E＋F＋50＝0，
D＝－2，
解得E＝4， F＝－20.
则圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令 x＝0，得 y2＋4y－20＝0，设 M(0，y1)，N(0，y2)， 则 y1，y2 是方程 y2＋4y－20＝0 的两根， 由根与系数的关系，得 y1＋y2＝－4，y1y2＝－20， 故|MN|＝|y1－y2|＝ y1＋y22－4y1y2＝ 16＋80＝4 6.
4，即 x2＋y2－4x＝0.
4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆 面积最大时，该圆的方程为_x_2＋ ___(y_＋ __1_)_2_＝__1___．
解析
将圆的方程
配方，得
x＋
k22＋
(y＋
1)2＝－34k2＋
1，∵r2＝1－34k2≤1，∴rmax＝1，此时 k＝0.故圆的方程为
(2)[2017·河南百校联盟]经过点 A(5,2)，B(3，－2)，且圆
心 在 直 线 2x － y － 3 ＝ 0 上 的 圆 的 方 程 为 (x_－ __2_)_2_＋__(_y－ ___1_)2_＝ __1_0_．
解 析 设 圆 的 方 程 为 (x－ a)2 ＋ (y－ b)2 ＝ r2(r>0)， 则
－2)2＋y2＝9.
解得ar2＝ ＝29， ， 所以圆 C 的方程为(x
触类旁通 1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的 坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与 两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；
全国通用近年高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业四十七8.3圆的方程文(2021年整理)
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课时分层作业四十七圆的方程一、选择题(每小题5分,共25分）1.已知直线l过圆x2+(y-3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ）A.x+y-2=0 B。
x—y+2=0C。
x+y-3=0 D。
x—y+3=0【解析】选D。
因为圆心为(0，3)，直线x+y+1=0的斜率为—1,所以直线l的斜率为1,所以l 的方程是y=x+3,即x-y+3=0。
【变式备选】1。
圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1 B。
2 C。
D.2【解析】选C。
圆心(—1,0），直线x—y+3=0.所以圆心到直线的距离为=.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1,则a= (）A.-B。
- C. D.2【解析】选A。
圆x2+y2-2x—8y+13=0化为标准方程为（x—1）2+（y-4）2=4，故圆心为（1，4）,d==1,解得a=-。
3。
圆C:x2+y2—2x—4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=________.【解析】因为圆心为（1，2)，所以圆心到直线3x+4y+4=0的距离为d==3。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何圆的方程学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第三节 圆的方程命题分析预测学科核心素养本节是命题的热点，主要考查圆的方程，多以选择题和填空题形式考查，难度中等．本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第171页 知识点一 圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）圆心C （a ，b ）半径为r 一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）充要条件： D 2＋E 2－4F ＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2半径r ＝ 12D 2＋E 2－4F• 温馨提醒 •二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式Δ＝b 2－4ac 相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是_________． 解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋（y －1）2＝m24－2． 由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞22．答案：（－∞，－22）∪（22，＋∞）2．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋（a ＋2）y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是_________．解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为（－2，－4），半径为5．当a ＝2时，方程不表示圆． 答案：（－2，－4） 53．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A （－1，1）和B （1，3），则圆C 的方程为_________． 解析：设圆心坐标为C （a ，0），因为点A （－1，1）和B （1，3）在圆C 上， 所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C （2，0），半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10， 所以圆C 的方程为（x －2）2＋y 2＝10． 答案：（x －2）2＋y 2＝10 知识点二 点与圆的位置关系平面上的一点M （x 0，y 0）与圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2之间存在着下列关系： （1）d ＞r ⇔M 在圆外，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＞r 2⇔M 在圆外； （2）d ＝r ⇔M 在圆上，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2⇔M 在圆上； （3）d ＜r ⇔M 在圆内，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＜r 2⇔M 在圆内Ｗ．1．（2021·南昌二中月考）若坐标原点在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（－3，3） C ．（－2，2）D ．⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵原点（0，0）在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部， ∴（0－m ）2＋（0＋m ）2＜4，解得－2＜m ＜2． 答案：C2．若点（1，1）在圆（x －a ）2＋（y ＋a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是_________． 解析：因为点（1，1）在圆内，所以（1－a ）2＋（a ＋1）2＜4，即－1＜a ＜1． 答案：（－1，1）授课提示：对应学生用书第171页题型一 圆的方程求法[例] 求满足下列条件的圆的方程：（1）过点A （4，1）的圆C 与直线l ：x －y －1＝0相切于点B （2，1）；（2）已知圆C 经过P （－2，4），Q （3，－1）两点，且在x 轴上截得的弦长等于6． [解析] （1）法一：由已知k AB ＝0， 所以AB 的中垂线方程为x ＝3． ①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－（x －2）， 即x ＋y －3＝0， ②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为（3，0），半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2， 所以圆C 的方程为（x －3）2＋y 2＝2．法二：设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）， 因为点A （4，1），B （2，1）都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为（x －3）2＋y 2＝2．（2）设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0． ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝36， 得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8， 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0．求圆的方程的两种方法（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a ，b ）和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[对点训练]已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为_________．解析：设所求圆的方程为（x 2＋y 2－4）＋a （x ＋y ＋2）＝0，a ≠0，即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 2，因为圆心在直线2x －y －3＝0，所以－a ＋a2－3＝0，所以a ＝－6． 所以圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0，即（x －3）2＋（y －3）2＝34． 答案：（x －3）2＋（y －3）2＝34题型二 与圆有关的轨迹问题[例] （2021·衡水中学调研）已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A （－1，0），B （3，0）．求： （1）直角顶点C 的轨迹方程； （2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解析] （1）法一：设C （x ，y ），因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0． 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0．因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0（y ≠0）．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D （1，0），由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2．由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D （1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x －4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）．求与圆有关的轨迹方程的方法[对点训练]如图，已知点A（－1，0）与点B（1，0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．解析：设动点P的坐标为（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．令动点C的坐标为（x0，y0），由A（－1，0），B（1，0），可知点D的坐标为（2x0－1，2y0），由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，解得⎩⎨⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2（y ≠0），代入x 20＋y 20＝1并整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）． 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）． 题型三 与圆有关的最值、范围问题[例] （2021·兰州市高三诊断考试）已知圆C ：（x －1）2＋（y －4）2＝10和点M （5，t ），若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[－2，6] B ．[－3，5] C ．[2，6]D ．[3，5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝（5－1）2＋（t －4）2≤10sin 45°＝20，所以16＋（t －4）2≤20，所以2≤t ≤6．法二：由于点M （5，t ）是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A ，B ．当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的 切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D ． [答案] C与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析，二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题．[对点训练]（2021·厦门模拟）设点P （x ，y ）是圆：x 2＋（y －3）2＝1上的动点，定点A （2，0），B （－2，0），则P A →·PB →的最大值为_________．解析：由题意，知P A →＝（2－x ，－y ），PB →＝（－2－x ，－y ），所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P （x ，y ）是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋（y －3）2＝1，故x 2＝－（y －3）2＋1，所以P A →·PB →＝－（y －3）2＋1＋y 2－4＝6y －12．由圆的方程x 2＋（y －3）2＝1，易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12． 答案：12与圆有关的轨迹问题中的核心素养直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆历史背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一．[例] 已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为12，求点M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动点M （x ，y ），连接MO ，MA ，有：|MA |＝2|MO |，即（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋y 2＋2x －3＝0， 即（x ＋1）2＋y 2＝4 ①，则方程①即为所求点M 的轨迹方程，它表示以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆．若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到一般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆．“阿波罗尼斯”圆不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现．[对点训练]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是“阿波罗尼斯”圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B （1，1），则2|MA |＋|MB |的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．10D ．11解析：当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为（－1，0）或（1，0）．若点M 的坐标为（－1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×12＋（1＋1）2＋12＝1＋5；若点M 的坐标为（1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×32＋（1－1）2＋12＝4．当点M 不在x 轴上时，取点K （－2，0），连接OM ，MK （图略），因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以|OM ||OA |＝|OK ||OM |＝2．因为∠MOK ＝∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |＝|OM ||OA |＝2，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |．易知|MB |＋|MK |≥|BK |，可知|MB |＋|MK |的最小值为|BK |．因为B （1，1），K （－2，0），所以（2|MA |＋|MB |）min ＝|BK |＝（－2－1）2＋（0－1）2＝10． 综上，易知2|MA |＋|MB |的最小值为10． 答案：C。
高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 理 北师大版
【解析】因为圆心在直线 x－2y＝0 上，且圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3， 所以可设圆心坐标为(2a，a)，则(2a)2＝a2＋( 3)2，解得 a＝±1。又圆 C 与 y 轴的正半轴相切，所以 a＝1，故圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝4。
【规律方法】 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出 方程。 (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已 知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据 已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。
基础自测
[判一判] (1)确定圆的几何要素是圆心与半径。(√ ) 解析 正确。根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径。 (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个 圆。( × ) 解析 错误。方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2中，当t>0时才表示圆心为(a， b)，半径为t的一个圆。
【解析】 由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0)，(0,2)，(0，－ 2)，设圆心为(a,0)(a>0)，所以 a－02＋0－22＝4－a，解得 a＝32，故圆 心为23，0，此时半径 r＝4－32＝52，因此该圆的标准方程是x－322＋y2＝245。
(2)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴
第八章 平面解析几何
第三节 圆的方程
【配套K12】2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.3圆的方程模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·福州质检]设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即＋a2＋＋2>2a ，所以原点在圆外．2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 设圆心坐标为(0，b )，则圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，即圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．[2017·昆明一中模拟]若点A ，B 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，弦AB 的中点为D (1,1)，则直线AB 的方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －2＝0答案 D解析 因为直线OD 的斜率为k OD ＝1，所以由垂径定理得直线AB 的斜率为k AB ＝－1，所以直线AB 的方程是y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，故选D.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2 答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.6．[2016·浙江高考]已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．7．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．答案 3－ 2解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1.故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.8．[2017·东城区调研]当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.答案3π4解析 由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.9．[2017·唐山调研]已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝ |CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， 此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.10．已知点(x ，y )满足(x －3)2＋(y －4)2＝9，求： (1)3x ＋4y 的最大值与最小值； (2)(x ＋1)2＋y 2的最小值．解 (1)解法一：设圆(x －3)2＋(y －4)2＝9的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝4＋3sin θ(θ为参数)，∴3x ＋4y ＝3(3＋3cos θ)＋4(4＋3sin θ) ＝25＋9cos θ＋12sin θ＝25＋15sin(θ＋φ)． ∴3x ＋4y 的最大值为40，最小值为10. 解法二：设3x ＋4y ＝t ，直线与圆有公共点， ∴|9＋16－t |5≤3⇔|t －25|≤15⇔10≤t ≤40. ∴t min ＝10，t max ＝40.(2)解法一：(x ＋1)2＋y 2＝(4＋3cos θ)2＋(4＋3sin θ)2＝41＋24(sin θ＋cos θ)＝41＋242sin ( θ＋π4)，∴其最小值为41－24 2.解法二：设M (x ，y )是圆上的点，圆外一点M 0(－1,0)，则(x ＋1)2＋y 2的几何意义是|MM 0|2，而|MM 0|最小值是|M 0C |－r ，即(42＋42－3)2＝41－24 2.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·临汾模拟]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．[4,6)D ．(4,6]答案 A解析 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．13．[2017·泰安模拟]已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [2－1，＋∞)解析 因为x ＋y ＋m ＝0右上方的点满足：x ＋y ＋m >0，结合图象知，要使圆上的任一点的坐标都满足x ＋y ＋m ≥0，只需直线在如图所示的切线的左下方(含切线)，图中切线的纵截距－m ＝ －2＋1，故只需－m ≤－2＋1，即m ≥2－1即可．14．[2014·全国卷Ⅰ]已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课件文
答案：(－1,1)
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一 【例 1】
求圆的方程 根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长 等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．
【解】 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 P、Q 两 点的坐标分别代入得
第八章
平面解析几何
第三节
圆的方程
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准 方程与一般方程． 2 ． 初步了解用代数方法处理几何问题的 思想．
主干知识· 整合 01
课前热身 稳固根基
Hale Waihona Puke 知识点一 圆的方程 1．圆的定义 在平面内，到______的距离等于______的点的______叫圆． 2．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中______为圆心，__为半径． 3．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是____________， 其 中圆心为____________，半径为________________．
解析： 方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 可化为(x＋2m)2＋(y－1)2 1 ＝4m2－5m＋1， 它表示圆的充要条件是 4m2－5m＋1>0， 即 m<4或 m>1.
1 答案：m<4或 m>1
知识点二 点 Mx0，y0与圆x－a2＋y－b2＝r2 的位置关系 1．若 M(x0，y0)在圆外，则__________________． 2．若 M(x0，y0)在圆上，则__________________． 3．若 M(x0，y0)在圆内，则__________________．
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案理
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程学案理052122628．3 圆的方程[知识梳理] 1．圆的方程标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0) 2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．[诊断自测] 1．概念思辨(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A2P 120例3)过点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝10 B ．x 2＋(y ＋2)2＝10 C ．(x ＋2)2＋y 2＝10 D ．(x －2)2＋y 2＝10答案 D解析 依据题意知圆心为CD 的垂直平分线与x 轴的交点．由已知可得CD 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，即圆心为(2,0)，所以半径为(2＋1)2＋1＝10，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.故选D.(2)(必修A2P 124A 组T 1)动圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0的圆心的轨迹方程是________．答案 x －3y －3＝0解析 圆的方程可化为(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25.不论m 取何实数，方程都表示圆. 设动圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3m ，y 0＝m －1，消去参变量m ，得x 0－3y 0－3＝0，即动圆圆心的轨迹方程为x －3y －3＝0.3．小题热身(1)(2018·西城区期末)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2 B.22C ．1 D. 2答案 D解析 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.故选D.(2)求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程是___________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10解析 设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上， 所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.题型1 求圆的方程典例 根据下列条件求圆的方程．(1)半径为5且与x 轴交于A (2,0)，B (10,0)两点；(2)圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)；(3)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程． (1)(3)用待定系数法；(2)用直接法．解 (1)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25， 如图，∵|AB |＝10－2＝8， ∴|AD |＝4.∵|AC |＝5，∴|CD |＝3. ∴a ＝6，b ＝±3.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25或(x －6)2＋(y ＋3)2＝25.(2)过P (3，－2)与直线l ：x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与4x ＋y ＝0联立解得圆心坐标为(1，－4)，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意⎩⎪⎨⎪⎧r ＝|2b |，|a －2b |5＝55，2r 2－a 2＝2.解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a＝－1，b ＝－1，r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. 方法技巧求圆的方程的两种方法1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见典例(2)． 2．待定系数法(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见典例(1)(3)．(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．冲关针对训练(2017·甘肃模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2＝5 C ．(x －3)2＋y 2＝5 D ．(x ＋3)2＋y 2＝5答案 D解析 由题意，2a ＝－4，∴a ＝－2，∴圆的半径为|BC |2＝(－4＋2)2＋(－2－2)22＝5，圆心为(－3,0)，∴圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.故选D.题型2 与圆有关的最值问题角度1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)典例 (2018·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．求k ＝y －0x －0的最值转化为直线y ＝kx 与圆相切． 答案3 － 3解析 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.[结论探究1] 若本例中条件不变，求y －x 的最大值与最小值．解 y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[结论探究2] 若本例中条件不变，求x 2＋y 2的最大值与最小值．解 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度2 建立函数关系求最值典例已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4∠APB ＝90°，点P 在以AB 为直径的圆上，求m的最大值转化为求半径|OP |的最大值．答案 B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的方法1．借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度1典例． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；见结论探究1.(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．见结论探究2.2．建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值．冲关针对训练1．(2018·福建师大附中联考)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2答案 D解析 设|PO |＝t ，向量PA →与PB →的夹角为θ，则|PA →|＝|PB →|＝ t 2－1，sin θ2＝1t，cos θ＝1－2sin2θ2＝1－2t2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2(t ＞1)，∴PA →·PB →＝t2＋2t2－3(t ＞1)，利用基本不等式可得PA →·PB →的最小值为22－3，当且仅当t ＝42时，取等号．故选D.2．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理，|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.故选A.1.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.2．(2018·山东青岛一模)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又AB ＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.故选B.3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0，2)，C (0，－2)，易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.3．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0B ．x 2＋y 2＋y －1＝0C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0 答案 B解析 设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简得x 2＋y 2＋y －1＝0.故选B.4．(2018·山西运城模拟)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0答案 D解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.5．(2018·唐山期末)若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4答案 A解析 将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24， ∵半径r 满足r 2＝1－3k 24，当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1.因此直线y ＝(k －1)x ＋2即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝3π4.故选A.6．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.故选B.7．(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4 D.163答案 D解析 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.8．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆C ：x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3 答案 C解析 解法一：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径长为r ＝1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.解法二：易知P (m ，m ＋1)在直线y ＝x ＋1上，由切线长公式得|PC |＝m 2－6m ＋(m ＋1)2＋8＝ 2(m －1)2＋7，由m ∈R 可得|PC |min ＝7.9．(2017·山东菏泽一模)已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·EA ＋12BD ·EC ＝12BD ·(EA ＋EC )＝12BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D.10．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( )A ．6＋22，6－2 2B ．6＋2，6－ 2C ．4＋22，4－2 2D ．4＋2，4－ 2答案 A解析 设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.故选A.二、填空题11．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9 解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.13．(2017·金牛期末)已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析 ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆， ∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2，当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5； 当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋2.5＝0， 此时D 2＋E 2－4F <0，方程不表示圆， 所以圆心坐标为(－2，－4)．14．(2018·河北邯郸模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝8，点A (2,0)，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为________．答案π4解析 设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos ∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM ||MA |＝(22)2＋a 2－222×22a＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a ≥142×24a·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，∴∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4. 三、解答题15．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解 (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1→·MO →＝0. 又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．16．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.。
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】 由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】 由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－ －aa22＋ ＋05－ －bb22＝ ＝rr22， ， 2a－7b＋8＝0，
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8-3 圆的方程 文
(2)由(1)可知 M 的轨迹方程为以 N(1,3)为圆心，半径为 2的圆，由于|OP|＝|OM|，故 O 在线段 PM 的垂 直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ON⊥PM.
因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为－13， 故 l 的方程为 y＝－13x＋83. 又|OM|＝|OP|＝2 2，O 到 l 的距离为4 510， |PM|＝45 10，所以△POM 的面积为156.
命题角度 2 求与圆有关的轨迹方程
典例2
[2014·课标全国卷Ⅰ]已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，
B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
小题快做 1.思考辨析 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＝0 不一定表示圆．( × ) (4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
D2＋E2－4F
2
.
4．若圆 x2＋(y－1)2＝5 内有一点为(2a，a＋1)，则 a 的取值为_(_－__1_,1_)__．
解析 把(2a，a＋1)代入方程得 (2a)2＋(a＋1－1)2<5 得－1<a&容之一，形式以选择题、填空题为主，且主要有以下命题角度.
第八章 平面解析几何
第3讲 圆的方程
考纲展示
三年高考总结
从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点， 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课件文 共60页
2．已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y －4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的 动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 2－4 B. 17－1 C．6－2 2 D. 17
解析 圆 C1，C2 的图象如图所示．
解 设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x－2y－3＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过 A，B 两点， 所以|CA|＝|CB|，即 2a＋3－22＋a＋32＝
2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2，所以圆心 C 的 坐标为(－1，－2)，半径 r＝ 10.
解析 设|PO|＝t，向量P→A与P→B的夹角为 θ，则|P→A|＝|P→B |＝ t2－1，sinθ2＝1t ，cosθ＝1－2sin2θ2＝1－t22，∴P→A·P→B＝ |P→A||P→B|cosθ＝(t2－1)1－t22(t＞1)，∴P→A·P→B＝t2＋t22－3(t＞ 1)，利用基本不等式可得P→A·P→B的最小值为 2 2－3，当且仅
题型 2 与圆有关的最值问题 角度 1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)
典例 (2018·抚顺模拟)已知实数 x，y 满足方程 x2＋
y2
－
4x
＋
1
＝
0
，
则
y x
的
最
大
值
为
____3____
，
最
小
值
为
__－___3___．
求 k＝yx－ －00的最值转化为直线 y＝kx 与圆
相切．
解析 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆 心， 3为半径的圆．
2020高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-3圆的方程课时提升作业理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-3圆的方程课时提升作业理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件的是( )A.<m<1B.m<或m>1C.m<D.m>1【解析】选B.由(4m)2+4-4×5m>0,得m<或m>1.2.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为( )A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.由(a-1)x-y+a+1=0得a(x+1)-(x+y-1)=0,所以直线恒过定点(-1,2).所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.3.方程|x|-1=所表示的曲线是( )A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【解析】选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆.4.(2016·运城模拟)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为,则a<0,b>0.直线y=-x-,k=->0,->0,直线不经过第四象限.5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)【解题提示】圆上的所有点都在第二象限,因此圆心必在第二象限,且圆心到两坐标轴的距离大于半径.【解析】选D.曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,其为圆心为(-a,2a),半径为2的圆,要使圆C的所有的点均在第二象限内,则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有a>0,并且圆心到两坐标轴的最小距离应大于圆C的半径,易知圆心到坐标轴的最小距离为|a|,则有|a|>2,得a>2.6.(2016·忻州模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,当k=0时,rmax==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2016·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中已知圆C:x2+(y-1)2=5,A为圆C与x 轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M.若OA=OM,则直线AB的斜率为.【解析】C(0,1),所以A(-2,0),连接CM,显然CM⊥AB,因此,四点C,M,A,O共圆,且AC就是该圆的直径,2R=AC=,在三角形OCM中,利用正弦定理得2R=,根据题意,OA=OM=2,所以,=,所以sin∠OCM=,tan∠OCM=-2(∠OCM为钝角),而∠OCM与∠OAM互补,所以tan∠OAM=2,即直线AB的斜率为2.答案:28.(2016·新乡模拟)已知在Rt△ABC中,A(0,0),B(6,0),则直角顶点C的轨迹方程为.【解析】依题意,顶点C的轨迹是以AB为直径的圆,且去掉端点A,B,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3)2+y2=9(y≠0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点C的坐标为(x,y),由于AC⊥BC,故kAC·kBC=-1,所以·=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3)2+y2=9(y≠0)9.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α= .【解析】由题意知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:10.定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .【解题提示】先求出圆C2上的点到直线y=x的最小值,从而得出曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离,再利用平行线的距离即可求出a的值.【解析】x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为-=,所以y=x2+a到直线l:y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.答案:(20分钟40分)1.(5分)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|= ( )A.4B.4C.8D.8【解题提示】由已知可知两圆均在第一象限,且圆心的横、纵坐标相等,再由已知条件得出关于圆心的方程,进而求出两圆心的距离.【解析】选C.因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,所以|C1C2|===8.2.(5分)(2016·邯郸模拟)若△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,∠APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为( )A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=1【解析】选A.设线段AB的中点为D,则由题意,PA=PB,∠APB=120°,所以∠ACB=120°,因为CB=2,所以CD=1,所以线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,所以线段AB的中点的轨迹方程是:(x-2)2+(y-2)2=1.3.(5分)已知直线ax+by=1(a,b是实数)与圆O:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积的最小值为.【解析】因为直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圆心O 到直线的距离为=,所以a2=1-b2≥0,即-≤b≤.设圆M的半径为r,则r=|PM|===(2-b),又-≤b≤,所以+1≥|PM|≥-1,所以圆M的面积的最小值为(3-2)π.答案:(3-2)π【加固训练】已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为.【解析】如图,取AC的中点F,BD的中点E,则OE⊥BD,OF⊥AC.又AC⊥BD,所以四边形OEMF为矩形,设|OF|=d1,|OE|=d2,所以+=|OM|2=3.又|AC|=2,|BD|=2,所以S四边形ABCD=|AC|·|BD|=2·=2=2=2.因为0≤≤3.所以当=时,S四边形ABCD有最大值是5.答案:54.(12分)(2016·许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程.(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有⇒或由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解之得x=或x=0(舍去),y=.所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.5.(13分)(2016·朔州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D 分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD.(1)若AC=4,求直线CD的方程.(2)证明:△OCD的外接圆恒过定点.【解析】(1)若AC=4,则BD=4,因为B(9,0),所以D(5,0).因为A(-3,4),所以|OA|==5,则|OC|=1,直线OA的方程为y=-x,设C(3a,-4a),-1<a<0,则|OC|===5|a|=-5a=1,解得a=-,则C,则CD的方程为=,整理得x+7y-5=0,即直线CD的方程为x+7y-5=0.(2)设C(3a,-4a),-1<a<0,则|AC|===5|a+1|=5(a+1),则|BD|=|AC|=5(a+1),则D(4-5a,0),设△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆的方程满足即则解得E=10a-3,F=0,D=5a-4,则圆的一般方程为x2+y2+(5a-4)x+(10a-3)y=0,即x2+y2-4x-3y+5a(x+2y)=0,由解得或即△OCD的外接圆恒过定点(0,0)和(2,-1).。
数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程课件
解析 四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
25＋0＋5D＋0＋F＝0， 则1＋0－D＋0＋F＝0，
9＋9－3D＋3E＋F＝0，
D＝－4， 解得E＝－235，
F＝－5，
所以圆的方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0，
将D(a,3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍).
§8.3 圆的方程
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
圆的定义与方程
定义 标准式
方程 一般式
平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为_(a_，__b_)_ 半径为_r_
充要条件：_D_2_＋__E_2_－__4_F_>_0__
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)， 由直角三角形的性质知 CD＝21AB＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C
三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，
直线 OM 与轨迹相交于两点－95，152和－251，258，不符合题意，舍去， 所以点 P 的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点－59，152和－251，258.
题型三 师生共研 与圆有关的最值问题
例2 (1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2
提示 点和圆的位置关系有三种.
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第三节+圆的方程
[解析] , 或 .当 时，原方程为 , ，没有意义，不符合题意；当 时，原方程为 , ，表示一个圆，满足题意.故 .
关键能力·突破
考点一 圆的方程
1. （2022黑龙江哈尔滨哈三中高三联考）已知圆的圆心为点 ，一条直径的两个端点分别在 轴和 轴上，则此圆的方程是( )
若圆过 ， ， 三点，则 解得 所以圆的方程为 ，即 .
方法感悟求圆的方程的两种方法1.直接法：通过研究圆的性质，求得圆的圆心和半径，进而求得其方程.
2.待定系数法：根据题意选择圆的方程的形式（标准形式或一般形式），利用条件列出关于 ， ， （或 ， ， ）的方程组，解出 ， ， （或 ， ， ） ，代入标准方程（或一般方程）即可.
[解析] 原方程可化为 ,表示以 为圆心, 为半径的圆. 可看作直线 在 轴上的截距,当直线 与圆相切时,纵截距 取得最大值或最小值,此时 ,解得率,设 ,即 .当直线 与圆相切时,斜率 取得最大值或最小值,此时 ,解得 ，所以 的最大值为 .
选择圆的方程的形式的关键:若已知圆上三点，则选用圆的一般方程;若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.
考点二 与圆有关的最值问题
例1
（1） 若点 是圆 上的一个动点，点 , 为两个定点，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 易知 , ,又 ,当且仅当 时取等号， ，即 的最大值为 .
迁移应用
1. （2021河北衡水中学模拟）若实数 、 满足条件 ，则 的取值范围是( )
×
（3） 表示以 为圆心， 为半径的圆.( )
×
（4） 圆 的圆心是 .( )
×
（5） 若点 在圆 外，则 .( )
√
2. （2022安徽合肥高三模拟）圆 的圆心坐标和半径分别为( )
2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程学案理新人教版202106221107
第三节圆的方程1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D2＋E2－4F>0圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝12_D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF＞0.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是() A．(2，3) B．(－2，3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．(基本方法：求圆的方程)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．(基本方法：求圆的方程)△AOB 中，A (4，0)，B (0，3)，O (0，0)，则△AOB 外接圆的方程为________________．答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值X 围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9题型一 求圆的方程[典例剖析][典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．解析：因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝（1＋m ）21＋m2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.方法总结求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征[对点训练]1．(母题变式)将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，可设圆的方程为x 2＋(y －r )2＝r 2，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案：B2．(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝03．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________．解析：法一(几何法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a ).又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三(待定系数法)：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10题型二 与圆有关的轨迹问题[典例剖析]类型 1 直接法求与圆有关的轨迹方程[例1] 已知点M 与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为________________．解析：设点M (x ，y )，由题意得x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12， 整理得x 2＋y 2＋2x －3＝0. 答案：x 2＋y 2＋2x －3＝0类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程[例2] 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法； (2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法； (3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法．[题组突破]1．(2020·某某模拟)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． 解析：(1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得y x －3·y x ＝－1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94， 又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立．设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53＜x ≤AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. 2．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解析：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).题型三 与圆有关的最值[典例剖析][典例] 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值与最小值；(2)求y －x 的最大值、最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值、最小值． 解析：(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心(2，0)到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 方法总结与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[对点训练]已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎨⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知 |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 5再研高考挖掘圆的几何性质1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55B ．255C ．355D ．455解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b ).∵圆与两坐标轴均相切，∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.当a ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255. 答案：B 2．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1，1)，⊙M 的半径为2.如图所示，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |， ∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1，0). 又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1(∵在⊙M 中，－1≤x ≤1)，∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A (－1，1).又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A (－1，1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1.∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案：D素养升华数形结合求X 围若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值X 围是________． 解析：x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示圆的一半，如图，设P (x ，y )是此曲线上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1).从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求X 围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，3。
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【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何8.3 圆的方程课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2D ．1解析：当方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆时，a ≠0. ∴方程可转化为x 2＋a ＋2a 2y 2＋2a x ＋1a＝0. ∴若方程表示圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a 2＝1，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝2，a ＜1且a ≠0，即a ＝－1时表示圆． 答案：A2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：圆的圆心为(1,2)．直线x －y ＋1＝0过圆心．故选C. 答案：C3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，由题意得|AC |＝2×5＝10，|BD |＝252－12＝46，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |·|BD |＝12×10×46＝20 6.故选B.答案：B4．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以－2＋－m2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2545．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.解析：由于弦AB 的长为23，则圆心(1,2)到直线ax －y ＋3＝0的距离等于1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 答案：06．(2015·高考课标卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2547．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：(1)原方程化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以点(2,0)为圆心，半径为3的圆．设y x ＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时有|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 即b ＝－2± 6.故(y －x )max ＝－2＋6，(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知在原点和圆心连线与圆的两个交点处x 2＋y 2取得最大值或最小值．又圆心到原点的距离为2， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.8．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[B 级 能力突破]1．(2016·内蒙古呼伦贝尔一模)已知⊙M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则⊙M 的方程是( )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧|x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A.答案：A2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －10)2＋y 2＝5 B ．(x ＋5)2＋y 2＝5 C ．(x ＋10)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y ＋10)2＝5解析：设圆心为(a,0)(a ＜0)，则|a |2＝5，∴a ＝－10，∴圆O 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝5，故选C. 答案：C3．(2016·天津模拟)圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254解析：∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， ∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的． 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝52，故选C.答案：C4．(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧，弧长比为1∶2，则圆C 的标准方程为________．解析：由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝435．(2016·天津四校联考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1D ．5 5解析：将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，|2x －y －2|＝5×|2x －y －2|5，从几何意义上讲，上式表示在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y－2＝0的距离的5倍，要使其值最小，只需|2x －y －2|5最小即可．由直线和圆的位置关系可知⎝⎛⎭⎪⎫|2x －y －2|5min ＝|2×2＋3－2|5－1＝5－1，所以|2x －y －2|的最小值为5×(5－1)＝5－ 5.答案：A6．(2015·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， |CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.。