人教版高中物理选修3-1：带电粒子在有界磁场中运功的临界问题
2019-2020学年人教版高二物理(选修3-1)期末备考专题07 带电粒子在有界匀强磁场中的运动(解析版)
2019-2020学年人教版高二物理（选修3-1）期末备考：重点、难点、热点突破专题07 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 主题一 带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动1．有单平面边界的磁场问题从单平面边界垂直磁场射入的正、负粒子重新回到边界时的速度大小、速度方向和边界的夹角与射入磁场时相同。
2．有双平行平面边界的磁场问题带电粒子由边界上P 点以如图所示方向进入磁场。
(1)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r ≤d 时(如图中的r 1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q 1点飞出磁场。
(2)当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足r >d 时(如图中的r 2)，粒子将从另一边界上的Q 2点飞出磁场。
【例1】 如图所示，直线MN 上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，质量为m 、电荷量为－q (q ＞0)的粒子1在纸面内以速度v 1＝v 0从O 点射入磁场，其方向与MN 的夹角α＝30°；质量为m 、电荷量为＋q 的粒子2在纸面内以速度v 2＝3v 0也从O 点射入磁场，其方向与MN 的夹角β＝60°。
已知粒子1、2同时到达磁场边界的A 、B 两点(图中未画出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
求：(1)两粒子在磁场边界上的穿出点A 、B 之间的距离d ；(2)两粒子进入磁场的时间间隔Δt 。
【答案】 (1)4mv 0qB (2)πm 3qB【解析】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB ＝m v 2r ，则r ＝mv qB故d ＝OA ＋OB ＝2r 1sin 30°＋2r 2sin 60°＝4mv 0qB。
(2)粒子1做圆周运动的圆心角θ1＝5π3粒子2圆周运动的圆心角θ2＝4π3粒子做圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πm qB粒子1在匀强磁场中运动的时间t 1＝θ12πT 粒子2在匀强磁场中运动的时间t 2＝θ22πT 所以Δt ＝t 1－t 2＝πm 3qB。
人教版选修3-1第三章磁场带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题(上课)
N
B S
O点左右距离O点L的范围内有质子穿出．
M
O B S
N
3．如图,真空室内存在匀强磁场 ,磁场方向垂直于纸面向里,磁感 应强度的大小B=0.60T,磁场内 有一块平面感光板ab,板面与磁 场方向平行,在距ab的距离 L=16cm处,有一个点状的放射 源S,它向各个方向发射α粒子,α 粒子的速度都是v=4.8x106 m/s, 已知α粒子的电荷与质量之比 q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图 纸平面中运动的α粒子,求ab上 被α粒子打中的区域的长度.
r
O’
． v
0 O
·
r R cot30 3R v2 m v0 m v0 qvB m B r qr 3qR 1 m 3R t 3 T 6 qB v0
0
60
r
S
当发生碰撞次数n=3时
90
r' R
0
B
R
v qvB m r
2
m v0 m v0 B' qr' qR
ACD
M
θ v0
O N Q
M
P
O
N
Q
矩形边界
B
v
o
d
圆心在过 入射点跟 跟速度方 向垂直的 c 直线上
B
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 ①速度较小时粒子作部分圆周运动 运动后从原边界飞出；② 后从原边界飞出；②速度在某一范 速度在某一范围内时从侧 围内从侧面边界飞；③速度较大时 面边界飞出；③速度较大 粒子作部分圆周运动从另一侧面边 时粒子作部分圆周运动从 界飞出。 对面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
(完整版)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。
粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。
如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
人教版高中物理选修3-1第三章 专题：带电粒子在磁场中运动的临界极值多解问题 (共50张PPT)
α
O
t
2
θ = 2α
注意：θ 应以弧度制表示
T
临界问题之不确定情况讨论
1.电性不确定引起的分类讨论问题。
2.入射点不确定引起的临界问题。 3.出射点不确定引起的临界问题。 4.入射速度方向确定、大小不确定，从而使得轨迹多样，
并且出射点不确定，引起的临界问题。
5.入射速度大小确定，方向不确定，从而引起的临界问题
力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行
O
极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射
速度v应满足什么条件？
从右边出， ( R 1 L 2 ) L R1 , 得 R1
2 2 2
5L 4
，从而 v 1
5 qBL 4m
L
v +q , m
B
从左边出，
R
2
L 4
，从而 v 2
qBL 4m
放缩法：带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场
中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中
只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大．可以发现这样 的粒子源产生的粒子射 入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向 的直线PP′上． 由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确 定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为
60º
如粒子带正电，则：
O
120º
x
如粒子带负电，则：
入射点不确定引起的临界问题
如下图所示，两块长度均为5d的金属板相距d，平行放置，
下板接地，两极间有垂直只面向里的匀强磁场，一束宽为d
的电子束从两板左侧垂直磁场方向射入两极间，设电子的
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是A ．使粒子的速度v <BqL 4mB ．使粒子的速度v >5BqL4mC ．使粒子的速度v >BqL mD ．使粒子的速度BqL 4m <v <5BqL4m【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。
轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。
【解答】 AB类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小；出射方向、速度大小； 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点，入射方向 图乙图甲 ①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有 r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2 ， 得 r 1＝5L4由 r 1＝mv 1Bq ，得 v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有 r 2＝L4由 r 2＝mv 2Bq ，得 v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL4m时粒子能从左边穿出．类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心，以mvr qB=为半径的圆。
人教版高二物理选修3-1 3.6带电粒子在匀强磁场中的运动--带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 (共21张PPT)
正方形边界 创新设计
【典例 3】(多选)如图示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内,O 点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力作用下,从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30°角的 方向,以大小不同的速率射入正方形内,下列说法中正确的是( ) A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5t0/3,则它一定从 cd 边射出磁场 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 2t0/3,则它一定从 ad 边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5t0/4,则它一定从 bc 边射出磁场 D 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从 ab 边射出磁场
v
O1
+q
v
粒子擦着上板从左边穿出时，圆
O2
心在O1点，有
r1
L 4
v2
r2
v
r2
qvBm r
O1
v1
qB1 m
rqBLv 4m
qBL 4m
+q
v
粒子擦着上板从右边穿出时，圆心在O2点，有
r22L2(rL 2)2
5L r2 4
v2
qB2r5qBL m 4m
5qBL v 4m
粒子不打在极板上可能从左端穿出，也可能从右端穿出，必须全面分析问题．
8-3 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 多 维 探 究
例1．在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为
ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直
射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从
磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：
高中物理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题
r1 n ＝ r2 n＋1
(n＝1,2,3……)⑤
联立①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件 B2 n ＝ B1 n＋1 (n＝1,2,3……)
【答案】
B2 n ＝ (n＝1,2,3……) B1 n ＋ 1
例3
如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的
匀强磁场I，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强 磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ =60°，
直于纸面向里，且B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原
点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时 间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？
【解析】
粒子在整个运动过程中的速度大小恒为
v， 交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运 动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小 分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1 和 r2，有 mv r1 ＝ ① qB1 mv r2 ＝ ② qB2
现分析粒子运动的轨迹，如图所示，在 xy 平面内， 粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距离为 2r1 的 A 点，接着沿半径为 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴上 O1 点，OO1 的距离 d＝2(r2－r1)③
此后，粒子每经历一次“回旋”(即从 y 轴出发沿半径 为 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆回到原点下方的 y 轴)，粒 子的 y 坐标就减小 d，设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点，若 OOn 即 nd 满足 nd＝2r1④ 则粒子再经过半圆 Cn＋1 就能够经过原点，式中 n＝ 1,2,3……为回旋次数． 由③④式解得
【解析】
设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力：B0qv0＝
2013带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析1．给定有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它【例1】（2001年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B。
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
速度小的粒子将在 x<a 的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在 y 轴上，半径的范围从0到 a，
屏上发亮的范围从0到2a。
轨道半径大于 a 的粒子开始进入右侧磁场，考虑 r=a
的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与 x 轴在 D 点相切（虚
线），OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界。
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆
Bq
4m
4m
粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 O′点，有 r2＝L4
由
r2＝mBvq2 ，得
v2＝B4qmL
，所以 v<BqL时粒子能从左边穿出． 4m
【易错提醒】容易漏选 A，错在没有将 r 先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左
边界穿出的情况。
【练习1】两平Biblioteka 荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴，交点 O
2R sin 60 2a
R2 3a ⑧ 3
由图可知 OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标
x 2a 2 3 a
⑨
3
【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件——所有在 x>a 的区域内的轨迹圆圆心均在在 x=2a 直线上，
从而造成在 x>a 的区域内的作图困难；另一方面，在 x>a 的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开
心圆”上不同点为圆心、r 为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦
长——半径一定、圆心角都较小时（均小于 180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长
——故轨迹①对应圆心角为 90°。
①
②
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文件名
例1 如图所示，在边界为AA′、DD′狭长区域内， 匀强磁场的磁感强度为B，方向垂直纸面向里，磁场 区域宽度为d（边界有磁场）。电子以不同的速率v 从边界AA′的S 处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方 向跟AA′的夹角为θ。已知电子的质量为m，带电量 为e。为使电子能从另一边界DD′射出，问电子的速 率应满足什么条件?(电子重力不计)
文件名
A
D
A
D
A’
D’
A’
D’
2．轨迹圆旋转法
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹 圆半径相同，轨迹圆的位置绕着入射点旋转， 从定圆的动态旋转中寻找临界点。
①计算圆周的半径 ②确定带电粒子圆周运动 的旋转方向 ③“画出”其中某个入射 速度对应的轨迹圆 ④根据入射速度的角度范 围旋转轨迹圆 ⑤确定临界点
例4 如图所示，DD′左侧区域内有一匀强磁场，磁感强度为 B=0.60T，方向垂直纸面向里，边界DD′处有一块无限长感光板 。在距DD′的距离d=16cm处有一个点状的α放射源S，发射的α 粒子速度在纸面内沿任意方向，α粒子的速率都是v=3.0×106m/s ，已知α粒子的电荷与质量之比q/m= 5.0×107C/kg ，求DD′上被α 粒子打中的区域的长度。(α粒子重力不计)
文件名
D D
D’ D’
小结：
1、入射速度方向不变大 小改变：轨迹圆放缩法
2、入射速度大小不变方 向改变：轨迹圆旋转法
3、临界条件： （1）刚好穿出磁场边界的条件是运动的轨迹圆 与边界相切。 （2）当入射速度大小一定时，临界条件有可 能为运动圆弧的弦长最长。
练习 如图所示，在0≤ x ≤ a、0≤ y ≤a/2范围内有 垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐 标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、 电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方 向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范 围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a
之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好 为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离 开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小 （2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
文件名
aa
bb
dd
cc
1．轨迹圆放缩法
①确定带电粒子圆周运动的旋 转方向 ②画出圆心所在直线 ③画出半径不同的圆，得到轨 迹圆的动态变化图 ④确定临界点
2、入射速度大小不变，方向变化
轨迹圆有什么特点？
半径不变 一定过入射点 圆心位于以入射点为圆心、轨迹圆的 半径为半径的圆上
例3 如图所示，在边界为A A ′、DD′狭长区域内，匀强磁场的磁 感强度为B=0.60T，方向垂直纸面向里，磁场区域宽度d=16cm （边界有磁场），边界DD′处有一块无限长感光板。有一个点状 的α放射源S，发射的α粒子速度在纸面内沿任意方向，α粒子的 速率都是v=3.0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m= 5.0×107C/kg ，求DD′上被α粒子打中的区域的长度。(α粒子重力 不计)
画轨迹、定圆粒子以不同的速度进入有界磁场，由于入射速度的 差别，致使带电粒子在不同的位置射出，因此也就存在着不同 情况的边界极值问题．这一类问题就叫临界问题。
带电粒子在有界磁场中 运动的临界问题
——临界点的确定
两种类型： 1、入射速度方向不变，大小变化 2、入射速度大小不变，方向变化
1．轨迹圆放缩法
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆
半径随入射速度的变化而变化，速度越大，运动
半径也越大。从轨迹圆的动态变化中寻找临界
点。
A
D
①确定带电粒子圆周运动的旋
转方向
②画出圆心所在直线
③画出半径不同的圆，得到轨
迹圆的动态变化图
④确定临界点
A'
D'
例2 如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感 应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场（边界 无磁场） ，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向 射入一速度为v0的带正电粒子，v0与ad边的夹角为 30°.已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L， 不计粒子的重力. 求要使粒子能从ab边射出磁场，v0的大小范围.
例1 如图所示，在边界为AA′、DD′狭长区域内， 匀强磁场的磁感强度为B，方向垂直纸面向里，磁场 区域宽度为d（边界有磁场）。电子以不同的速率v 从边界AA′的S 处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方 向跟AA′的夹角为θ。已知电子的质量为m，带电量 为e。为使电子能从另一边界DD′射出，问电子的速 率应满足什么条件?(电子重力不计)