高中数学 第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 新人教B版必修1
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高中数学 2.2.2 二次函数的性质与图象配套课件 新人教B版必修1
6．已知二次函数y＝－4x2＋8x－3. (1)画出它的图象，并指出图象的开口方向、对称轴方程、顶
点坐标；
(2)写出单调区间. (不必证明)
[解析] (1)图象如图所示，该图象开口向下；
对称轴为x＝1；顶点坐标为(1,1)． (2)函数在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．
课堂典例讲练
于受地形限制，长、宽都不能超过16m.如果池外墙建造单价 为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建 造 单 价 为 每 平 方 米 80 元 ( 池 壁 的 厚 度 忽 略 不 计 ， 且 无 池 盖)．问污水处理池的长和宽各为多少米时，池的总造价最 低？
知能自主梳理
1.函数 y＝_a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_) __叫做二．次．函．数．，它的定义 域是__R____；当 a>0 时，它的值域是____[_4_a_c4_－a__b_2，__＋__∞__)_； 当 a<0 时，它的值域是_(_－__∞__，__4_a_c4_－a__b_2]_____．
成才之路·数学
人教B版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 函数
第二章 2.2 一次函数和二次函数
第二章 2.2.2 二次函数的性质与图象
课前自主预习
课堂典例讲练
方思法想警方示法探技究巧
易错疑难辨析
课后强化作业
课前自主预习
情境引入导学
某工厂拟建造一座平面图(如图所示)为矩形 且面积为200m2的三级污水处理池，由
∴离对称轴越近，函数值越小． 又|－12－1|>|32－1|， ∴f(－12)>f(32).
Байду номын сангаас
高中数学：2.2.2二次函数图像与性质(共13张PPT)
(1) y x2 2x 5 2
(2) y 2x2 8x
(3) y x2 4x 5
(4) y 1 x2 2x 3
2
2
课堂小结 1.二次函数的定义 2.二次函数的图象 3.二次函数的性质
4.二次函数的三种形式
5、已知函数 f (x) 1 x2 3x c
2
（1）已知 f (7) 41 28
,求
f (5) 2
41 8
(2)不计算函数值，比较 f ( 1), f (15) 的大小 44
f ( 1) f (15)
4
4
6.用配方法将下列函数变形为 y a(x h)2 k 形式，指出它们的对称轴，顶点坐标。
2．抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
3．若一次函数 y ax b的图象经过二、三、四
象限，则二次函数 y a
B
C
D
4、函数 y 3x2 2x 1(x 0)的最小值为__1____.
y ax 2 bx c(a 0) a 0
图像
定义域 值域 顶点 对称轴 单调性 奇偶性 开口程度
a0
例3.求函数 y 3x2 2x 1 的值域和它的图象 的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？ 在哪个区间上是减函数？
四．快乐体验
1.已知y (m2 3m)xm22m2 6x 3是二次函数，则m _2____.
(1)一般式： y ax 2 bx c(a 0) (2)顶点式： y a(x h)2 k(a 0)
(3)两根式：y a(x x1)( x x2 )(a 0)
例1.试述二次函数 f (x) 1 x2 4x 6的性质，并
(2) y 2x2 8x
(3) y x2 4x 5
(4) y 1 x2 2x 3
2
2
课堂小结 1.二次函数的定义 2.二次函数的图象 3.二次函数的性质
4.二次函数的三种形式
5、已知函数 f (x) 1 x2 3x c
2
（1）已知 f (7) 41 28
,求
f (5) 2
41 8
(2)不计算函数值，比较 f ( 1), f (15) 的大小 44
f ( 1) f (15)
4
4
6.用配方法将下列函数变形为 y a(x h)2 k 形式，指出它们的对称轴，顶点坐标。
2．抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
3．若一次函数 y ax b的图象经过二、三、四
象限，则二次函数 y a
B
C
D
4、函数 y 3x2 2x 1(x 0)的最小值为__1____.
y ax 2 bx c(a 0) a 0
图像
定义域 值域 顶点 对称轴 单调性 奇偶性 开口程度
a0
例3.求函数 y 3x2 2x 1 的值域和它的图象 的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？ 在哪个区间上是减函数？
四．快乐体验
1.已知y (m2 3m)xm22m2 6x 3是二次函数，则m _2____.
(1)一般式： y ax 2 bx c(a 0) (2)顶点式： y a(x h)2 k(a 0)
(3)两根式：y a(x x1)( x x2 )(a 0)
例1.试述二次函数 f (x) 1 x2 4x 6的性质，并
高中数学第二章函数2.2.2二次函数的性质与图象课件新人教B版必修1
(2)对称轴 x=h 在区间[p,q]之间,即当 p≤h≤q 时,f(x)min=f(h)=k.
当
p≤h≤������+2 ������
时,f(x)max=f(q);当
h=
������+������ 2
时,f(x)max=f(p)=f(q);当
������+������ 2
<
ℎ≤q 时,f(x)max=f(p).
坐标为
-
������ 2������
,
4������������-������2 4������
, 对称轴为x=− 2������������.
(2)当
a>0
时,抛物线开口向上,函数在
x=−
������ 2������
处取得最小值
ymin
=
4������������-������2 4������
,
B.开口向上,顶点是(1,1)
C.开口向下,顶点是
-
1 2
,
3 4
D.开口向上,顶点是
-
1 2
,
3 4
答案:D
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
������ 2������
<
0,
故选C.
答案:C
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
高中数学人教B版必修一课件：2.2.2《二次函数的性质与图象》
2 2 (3)y=ax 和y=ax +bx+ 0)的
图像之间有
实践探究 1
在同一坐标系下, 画出下列函数的图像 2 (1)y= x ; (2)y=2 x 2 ; 1 2 (3)y= x . 2
观察发现
１.二次函数y=ax2(a0)的图像 2 可由的y=x 图像各点纵坐标 变为原来的a倍得到 ２.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上，a<0开口向下 3.a决定了图像在同一直角坐标 系中的开口大小:画出下列函数的图像： 2 (1) y=2x ; 2 (2) y=2(x+1) ; (3) y=2(x+1) 2 -3 .
观察发现
二次函数y=a(x+h)2+k (a0),
a决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a正开口向上，a负开口向下”； ｜a｜越大开口越小； h决定了二次函数图像的左右平移， 而且“h正左移，h负右移”； k决定了二次函数图像的上下平移， 而且“k正上移，k负下移”。
小结
１.a,h,k对二次函数y=a(x+h) 2 +k图像的 影响 ２.y=x2与y=a(x+h)2+k 的图像变换规律。
2.2.2 二次函数的性质与图像 课件
问题１
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y=(x+2)2-1; (2) y=-(x-2)2+2 ; (3) y=a(x+h)2+k .
问题２ (1)y= x 2 和y=a x 2 (a 0)的图像 之间有什么关系？ (2)y=a x 2 和y=a(x+h) 2 +k(a 0)的 图像之间有什么关系？
高中数学 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 新人教B版必修1
题型二 二次函数性质应用 【例 2】 已知函数 f(x)＝x|x－2|. (1)画出函数 y＝f(x)的图象； (2)写出 f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还 是减函数？(不必证明) (3)已知 f(x)＝41，求 x 的值．
[思路探索] 去掉绝对值号，属于二次函数的图象与性质问 题．
自学导引 1．二次函数的定义 函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 叫做二次函数，它的定义域为 R. 2．函数 y＝ax2 (a≠0)的图象和性质 (1)函数 y＝ax2 (a≠0)的图象是一条顶点为原点的抛物线， a>0 时，抛物线开口 向上 ；a<0 时，抛物线开口 向下 ． (2)函数 y＝ax2 (a≠0)为 偶函数 (填“奇函数”或“偶函 数”)． (3)函数 y＝ax2 (a≠0)的图象的对称轴为 y轴 ．
[规范解答] (1)∵a＝－1， ∴f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1 ………………………2 分 ∴f(x)在[－5,1]上单调递减， 在[1,5]上单调递增 ……………………………………3 分 ∴f(x)min＝f(1)＝1， f(x)max＝f(－6)＝37…………………………………….5 分 (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2 的图象开口向 上，对称轴为 x＝－a， ①当－a≤－5，即 a≥5 时，函数 f(x)在区间[－5,5]上单调 递增， ∴f(x)min＝f(－5)＝27－10a………………………………7 分
解 ∵f(x)＝(x－1)2＋1，对称轴为 x＝1， ①当 t＞1 时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在区间[t，t＋1]上先 减再增，故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时，g(t)＝f(1)＝1.
高中数学人教B版必修一课件：2.2.2 二次函数的性质与图象
大值
(6)b=0 时是偶函数,b≠0 时是非奇非偶函数
2.二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨
论:(其中f(x)max表示最大值,f(x)min表示最小值) (1)对称轴x=h在区间[m,n]左侧,即h<m时, f(x)max=f(n),f(x)min=f(m). (2)对称轴x=h在区间[m,n]右侧,即h>n时, f(x)max=f(m),f(x)min=f(n).
(B)最大值是-2,无最小值 (C)最大值是8,无最小值
(D)最小值是-2,无最大值 解析:因为二次函数的图象开口向下,
故无最小值,且当x=-1时,y最大值=8.故选C.
3.已知二次函数y=x2-2x+1,则它的图象大致为(
B
)
解析:由y=(x-1)2,可知其图象开口向上,顶点为(1,0).故选B.
2.2.2
二次函数的性质与图象
目标导航
1.掌握二次函数的图象和性质. 2.能运用二次函数的图象和性质解决一些简单的问题. 3.能用配方法研究二次函数. 通过二次函数的学习,使学生提高由实际问题观察分析 的建模能力,培养数学建模、数学运算的核心素养.
课标要求
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
(3)对称轴 x=h 在区间[m,n]之间,即 m≤h≤n 时, f(x)min=f(h)=k. ①当 m≤h<
②当 h=
mn 时,f(x)max=f(n). 2
mn 时,f(x)max=f(m)=f(n). 2
③当
mn <h≤n 时,f(x)max=f(m). 2
最新高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.2.2《二次函数的性质和图像》课件2
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2
3
...
-6
8 3
1.5
2 3
0
2 3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y
22 x 7C中小学课件
y x2
y 1 x2 2
函数图象画法
描点法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
列表
描点
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
连线
(3) y 2 x2 3
y x2
y x2
y1 x
用用用用自自自用用用自用自自光光光自光自光光左左左光左光左左滑滑滑左滑左滑滑向向向滑向滑向向曲曲曲向曲向曲曲右右右曲右曲右右线线线右线右线线顺顺顺线顺线顺顺连连连顺连顺连连次次次连次连次次结结结次结次结结连连连结连结连连时时时连时连时时结结结时结时结结要要要结要结要要要要
开口方向称一，条又抛关物于线原 ，向点 另上对 一称 条。 可只 利要 用画 关出于yx=轴a对x2与称y或=关-向a于x下2原中点的
增减性对称来画。
动画演示
极值
当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。 7C中小学课件
y x2
当当当当xxxx====--2112时时时时，，，，yyyy====----4114
y x2
二次函数y=ax2的性质
y x2 1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展； 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且 向下无限伸展。
高中数学人教B版必修一课件2.2.2二次函数的性质与图象
1 2 例1.根据函数y x 4 x 6回答如下问题 2
( 5 )求y 0时的x取值范围？
解不等式 1 2 x 4 x 6>0
2
求y 0时的x取值范围？
解不等式 1 2
2
解得x 6 , 或x 2
x 4x 6 0
y
解得 6 x 2
x
0
例2.根据函数y x 2 4 x 3回答如下问题
y
抛物线(函数)与x轴只有一个交点 方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个 b x1 x2 相等的实根
2a
O x1 x2
x
b 不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是： x | x 2a
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是：
当 0时：
b 2a
4ac b
2
,
c a
4a
)
求根公式x
a0
a0
b 4ac
韦达定理x1 x2
b
2a
,
a
, x1 x2
R 定义域：____ 2 4ac b a>0时，y , ) 值域：
b x 2a
x
b 2a
4ac b 2 ____ a<0时，y ( , 4a
抛物线(函数)与x轴没有交点 方程ax2+bx+c=0(a>0)没有实根
y
O 不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是： R
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是：
《二次函数的性质与图象》课件8(12张PPT)(人教B版必修1)
x (+,-)
B(-x,y)
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数图象画法
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
对称这对轴对这对对这对条称对称与条称称条称抛，称轴抛抛，轴抛，y物轴。物轴物y。物轴y线。线轴就线线就关的就是关关是于交是它于于它y点它的轴y轴的y轴的 叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、x数函轴线y数的抛=ay物上x=2线方a与xy（2=y与x=2除与y-=顶a抛x-物2点a的x线外2图的y）=象图-x，在2象既x怎，轴关样的怎于画下x样轴方才画对（简才除便简顶？点便外？）
开口方向称一，条又抛关物于线原 ，向点 另上对 一称 条。 可只 利要 用画 关出于yx=轴a对x2与称y或=关-向a于x下2原中点的
增减性对称来画。
动画演示
极值
当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
y x2
当当当当xxxx====--2112时时时时，，，，yyyy====----4114
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
y x 当当当当xx==xx==--2112时时时时，，，，yyyy====4114
右当2侧a<，0时y随，着在x对的称增轴大的而
(新课程)高中数学2.2.2《二次函数的性质与图象》教案新人教B版必修1
222二次函数的性质与图象教案【教学目标】1、让学生学会画函数y ax2k的图象，并能通过图象和解析式，正确地说出开口方向,对称轴以及顶点坐标，图象性质.2、通过探索让学生经历二次函数y ax2bx c性质探究的过程，理解二次函数y ax2k的性质及它与函数y ax2的关系。
3、在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想重点：理解二次函数y ax2bx c的性质，难点：二次函数y ax2bx c（a 0）的增区间和减区间。
【概念探究】1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的？2、a、b、c对函数y ax2 bx c（a 0）的性质与图象有哪些影响？3、分析二次函数的性质时，需要对其解析式进项变形，主要用什么方法？4、基本知识填空：（1）、函数（2）、若—c 0时，二次函数y叫二次函数，它的定义域是•2ax bx c(a0）是一条的抛物线，（3）、二次函数y ax2 bx c(a0）的顶点坐标为,对称轴为当a 0时，抛物线的开口F,在上是增函数，在上是减函数；当 a 0时，抛物线的开口,在上是增函数「在「上是减函数.【例题解析】例1、已知关于x的不等式k x22x6k0( k 0)（1）若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值;（2）若不等式的解集为R,求k的值；（3）若不等式的解集为，求k的值；（4）若不等式的解集为{x|2<x<3},求k的值宜；k0例1、解析：（1）由题设知：3(2)2 2 k=k5(2)224k20时，函数f (m)的值「域为k 0(2) 由题设知：k=( 2)2 24k 2 06(3) 由题设知：k 0k<6( 2)2 24k 2 06由题设知：k 0空(3)k( 2)2 24k 2 06例2、 已知f(x)=2x 3x 5,x [t,t 1],若 f(x) 的最小值为h(x)，写出h(t)的表达式。
t 2 2t7,t 1 例 2、解：g(t) t 2 4t4,t 28,1 t 2【课堂检测】 1.如果函数y |x 2 11的图像与直线y xk 的交点恰为3个，则 k 的值为(A.1B.5C.15或—D.0 或144f22.若函数y .. mx6mx 9的定义域为R, 则m 的取值范围是( )A. m 0或 m 1B. m 1C. 0 m 1D.6.已知函数y •. mx 2 6mx m 8的定义域为R,且记y 的最小值为f (m)，则当m 变化3.如果函数 f (x) (x 1)(1 |x|)的图像在x 轴上方，则f(x)的定义域为(A. {x||x|<1 }B.{x||x|>1} C. {x|x<1 且 x — 1} D. {x|x> — 1 且 x 1}4.设 f(x)2x 23tx t(x,tR)的最大值是u(t)，当u(t)有最小值时，t 的值为()A .4B .C. 4D.5.已知函数f(x)1,x 01,x 0，则不等式x (x 2) f (x 2) 5的解集是参考答案:1.C2. C3. C4. D5. (6. [0,2 .. 2]【课堂小结】1.你能说出函数y ax2bx c具有哪些性质？时，函数f (m)的值「域为。
高中数学人教B版必修一课件2.2.2《二次函数的性质与图像》
2
（5）函数的增减性 函数在区间（ 4]上是减函数，在区间[4,+) 上是增函数
例2试述函数f (x) x2 4x 3的性质，并作出它的图像
解：f (x) （x 2）2 7
（1）函数在x 2时，取得最大值7，记为ymax 7 图像顶点为（-2，7）
2
2
（1）函数在x 4时，取得最小值 2，记为ymin 2
图像顶点为（-4，-2）
（2）解：f (x) 1 x2 4x 6 =0得 2
x1 6, x2 2 所以该函数图像与x轴交于两点（-6，0),(-2,0）
（3）描点作图
（4）图像的对称性
对任意的h, 有 ｆ(-4-h)=f(-4+h) 所以抛物线f (x) 1 x2 4x 6 关于直线x 4对称
（2）解：f (x)=0得 x1 2 7, x2 2 7 所以该函数图像与x轴交于两点（ 2 7，0),( 2 7,0）
（3）描点作图
（4）图像的对称性
对任意的h, 有 ｆ(-2-h)=f(-2+h) 所以抛物线f (x) x2 4x 3 关于直线x 2对称
2a
( 2)当 a>0时，抛物线开口向上，函数在x b 处取最小值
2a
ymin
4ac b2 4a
；在区间（-，
b ]上是减函数，在[ 2a
b 2a
,
)上是增函数；
(3)当a<0时，抛物线开口向下，函数在x b 处取最大值 2a
ymax
4ac b2 4a
中的应用
所以ymin
f
( 1) 3
（5）函数的增减性 函数在区间（ 4]上是减函数，在区间[4,+) 上是增函数
例2试述函数f (x) x2 4x 3的性质，并作出它的图像
解：f (x) （x 2）2 7
（1）函数在x 2时，取得最大值7，记为ymax 7 图像顶点为（-2，7）
2
2
（1）函数在x 4时，取得最小值 2，记为ymin 2
图像顶点为（-4，-2）
（2）解：f (x) 1 x2 4x 6 =0得 2
x1 6, x2 2 所以该函数图像与x轴交于两点（-6，0),(-2,0）
（3）描点作图
（4）图像的对称性
对任意的h, 有 ｆ(-4-h)=f(-4+h) 所以抛物线f (x) 1 x2 4x 6 关于直线x 4对称
（2）解：f (x)=0得 x1 2 7, x2 2 7 所以该函数图像与x轴交于两点（ 2 7，0),( 2 7,0）
（3）描点作图
（4）图像的对称性
对任意的h, 有 ｆ(-2-h)=f(-2+h) 所以抛物线f (x) x2 4x 3 关于直线x 2对称
2a
( 2)当 a>0时，抛物线开口向上，函数在x b 处取最小值
2a
ymin
4ac b2 4a
；在区间（-，
b ]上是减函数，在[ 2a
b 2a
,
)上是增函数；
(3)当a<0时，抛物线开口向下，函数在x b 处取最大值 2a
ymax
4ac b2 4a
中的应用
所以ymin
f
( 1) 3
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= 大值 4ac b2 4a
(6)b=0 时是偶函数,b≠0 时是非奇非偶函数
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2.二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨 论:(其中f(x)max表示最大值,f(x)min表示最小值) (1)对称轴x=h在区间[m,n]左侧,即h<m时, f(x)max=f(n),f(x)min=f(m). (2)对称轴x=h在区间[m,n]右侧,即h>n时, f(x)max=f(m),f(x)min=f(n).
2.2.2 二次函数的性质与图象
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课标要求 素养达成
1.掌握二次函数的图象和性质. 2.能运用二次函数的图象和性质解决一些简单的问题. 3.能用配方法研究二次函数.
通过二次函数的学习,使学生提高由实际问题观察分析 的建模能力,培养数学建模、数学运算的核心素养.
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2.二次函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是( C ) (A)最小值是8,无最大值 (B)最大值是-2,无最小值 (C)最大值是8,无最小值 (D)最小值是-2,无最大值
解析:因为二次函数的图象开口向下, 故无最小值,且当x=-1时,y最大值=8.故选C.
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3.已知二次函数y=x2-2x+1,则它的图象大致为( B ) 解析:由y=(x-1)2,可知其图象开口向上,顶点为(1,0).故选B.
(1)定义域 R (2)抛物线开口向下,并向下无限延伸
(3)对称轴是 x=-
b 2a
,顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
(4)在区间
,
b 2a
上是减函数,在区间
性
质
b 2a
,
上是增函数
(3)对称轴是 x=-
b 2a
,顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
(4)在区间
,
b 2a
上是增函数,在区间
b 2a
,
上是减函数
(5)抛物线有最低点,
当 x=- b 时,y 有最小值,y = 最小值 4ac b2
2a
4a
(5)抛物线有最高点,当 x=- b 时,y 有最大值,y 最 2a
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4.将函数y=3x2的图象向 就得到y=3(x+2)2个单位,再向
平移3个单位,
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类型一 二次函数的图象与性质
【例1】 (1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结 论中正确的是( ) (A)a>0 (B)在(1,+∞)上,函数单调递增 (C)c<0 (D)3是方程ax2+bx+c=0的一个根
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解析:(1)因为抛物线开口向下,所以a<0,所以选项A错误; 又因为抛物线和y轴正半轴相交, 所以c>0,所以选项C错误; 又因为对称轴为x=1, 所以当x∈(1,+∞)时,函数单调递减,所以选项B错误; 又因为x=-1是ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,而另一个根到1的距离与-1 到1的距离相等, 所以另一根为3,所以选项D正确.故选D.
以上结论不必死记硬背,在给定区间上求函数最值时,关键在于用好数形结 合与分类讨论的思想.
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1.抛物线y=-5x2不具有的性质是( C )
(A)开口向下
(B)对称轴是y轴
(C)与y轴不相交 (D)最高点是原点
解析:由y=-5x2,知该抛物线的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0), 与y轴交于点(0,0).
2 所以实数 m 的取值范围是(-∞,5].选 B.
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方法技巧 二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质,一定要和相应 函数的图象对应好,解题时要注意运用数形结合思想.
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变式训练1-1:(1)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则a
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1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 叫做二次函数,它的定义域是 R .当 b=c=0 时, 二次函数变为y=ax2(a≠0),它的图象是一条顶点为原点的抛物线, a>0 时, 抛物线开口向上,a<0时,抛物线 开口向下,这个函数是 偶 函数. 2.二次函数f(x)=a(x-h)2+k有如下性质: (1)函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k) ,对称轴是 x=h ;
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(3)对称轴 x=h 在区间[m,n]之间,即 m≤h≤n 时, f(x)min=f(h)=k.
①当 m≤h< m n 时,f(x)max=f(n). 2
②当 h= m n 时,f(x)max=f(m)=f(n). 2
③当 m n <h≤n 时,f(x)max=f(m). 2
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(2)当a>0时,抛物线的开口向上,函数在x=h处取最小值ymin= k=f(h) , 在区间 (-∞,h] 上是减函数,在 [h,+∞) 上是增函数;
(3)当a<0时,抛物线开口向下,函数在 x=h 处取最大值ymax= k=f(h),在 区间 (-∞,h]上是增函数,在 [h,+∞) 上是减函数.
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(2)函数f(x)=x2-(m+1)x+m2在(3,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 () (A)(-∞,5) (B)(-∞,5] (C)[5,+∞) (D)(5,+∞)
解析:(2)函数 f(x)=x2-(m+1)x+m2 为开口向上的抛物线,且对称轴为 x= m 1 . 2
因为函数 f(x)=x2-(m+1)x+m2 在(3,+∞)上单调递增, 所以 m 1 ≤3,解得 m≤5.
3.函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方后为:
y=a
x
b 2a
2
+
4ac 4a
b2
.
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【拓展延伸】
1.二次函数的图象与性质可列表如下:
函数
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)
a>0
a<0
图
象
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(2)抛物线开口向上,并向上无限延伸
(6)b=0 时是偶函数,b≠0 时是非奇非偶函数
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2.二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨 论:(其中f(x)max表示最大值,f(x)min表示最小值) (1)对称轴x=h在区间[m,n]左侧,即h<m时, f(x)max=f(n),f(x)min=f(m). (2)对称轴x=h在区间[m,n]右侧,即h>n时, f(x)max=f(m),f(x)min=f(n).
2.2.2 二次函数的性质与图象
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1.掌握二次函数的图象和性质. 2.能运用二次函数的图象和性质解决一些简单的问题. 3.能用配方法研究二次函数.
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2.二次函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是( C ) (A)最小值是8,无最大值 (B)最大值是-2,无最小值 (C)最大值是8,无最小值 (D)最小值是-2,无最大值
解析:因为二次函数的图象开口向下, 故无最小值,且当x=-1时,y最大值=8.故选C.
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3.已知二次函数y=x2-2x+1,则它的图象大致为( B ) 解析:由y=(x-1)2,可知其图象开口向上,顶点为(1,0).故选B.
(1)定义域 R (2)抛物线开口向下,并向下无限延伸
(3)对称轴是 x=-
b 2a
,顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
(4)在区间
,
b 2a
上是减函数,在区间
性
质
b 2a
,
上是增函数
(3)对称轴是 x=-
b 2a
,顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
(4)在区间
,
b 2a
上是增函数,在区间
b 2a
,
上是减函数
(5)抛物线有最低点,
当 x=- b 时,y 有最小值,y = 最小值 4ac b2
2a
4a
(5)抛物线有最高点,当 x=- b 时,y 有最大值,y 最 2a
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4.将函数y=3x2的图象向 就得到y=3(x+2)2个单位,再向
平移3个单位,
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类型一 二次函数的图象与性质
【例1】 (1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结 论中正确的是( ) (A)a>0 (B)在(1,+∞)上,函数单调递增 (C)c<0 (D)3是方程ax2+bx+c=0的一个根
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解析:(1)因为抛物线开口向下,所以a<0,所以选项A错误; 又因为抛物线和y轴正半轴相交, 所以c>0,所以选项C错误; 又因为对称轴为x=1, 所以当x∈(1,+∞)时,函数单调递减,所以选项B错误; 又因为x=-1是ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,而另一个根到1的距离与-1 到1的距离相等, 所以另一根为3,所以选项D正确.故选D.
以上结论不必死记硬背,在给定区间上求函数最值时,关键在于用好数形结 合与分类讨论的思想.
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1.抛物线y=-5x2不具有的性质是( C )
(A)开口向下
(B)对称轴是y轴
(C)与y轴不相交 (D)最高点是原点
解析:由y=-5x2,知该抛物线的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0), 与y轴交于点(0,0).
2 所以实数 m 的取值范围是(-∞,5].选 B.
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1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 叫做二次函数,它的定义域是 R .当 b=c=0 时, 二次函数变为y=ax2(a≠0),它的图象是一条顶点为原点的抛物线, a>0 时, 抛物线开口向上,a<0时,抛物线 开口向下,这个函数是 偶 函数. 2.二次函数f(x)=a(x-h)2+k有如下性质: (1)函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k) ,对称轴是 x=h ;
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(3)对称轴 x=h 在区间[m,n]之间,即 m≤h≤n 时, f(x)min=f(h)=k.
①当 m≤h< m n 时,f(x)max=f(n). 2
②当 h= m n 时,f(x)max=f(m)=f(n). 2
③当 m n <h≤n 时,f(x)max=f(m). 2
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(2)当a>0时,抛物线的开口向上,函数在x=h处取最小值ymin= k=f(h) , 在区间 (-∞,h] 上是减函数,在 [h,+∞) 上是增函数;
(3)当a<0时,抛物线开口向下,函数在 x=h 处取最大值ymax= k=f(h),在 区间 (-∞,h]上是增函数,在 [h,+∞) 上是减函数.
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(2)函数f(x)=x2-(m+1)x+m2在(3,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 () (A)(-∞,5) (B)(-∞,5] (C)[5,+∞) (D)(5,+∞)
解析:(2)函数 f(x)=x2-(m+1)x+m2 为开口向上的抛物线,且对称轴为 x= m 1 . 2
因为函数 f(x)=x2-(m+1)x+m2 在(3,+∞)上单调递增, 所以 m 1 ≤3,解得 m≤5.
3.函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方后为:
y=a
x
b 2a
2
+
4ac 4a
b2
.
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【拓展延伸】
1.二次函数的图象与性质可列表如下:
函数
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)
a>0
a<0
图
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