教案十二：幂函数(T)

3 2a 3 ，求实数 a 的取值范围．
1 3
1
分析：若 x
y ，
则有三种情况 x 0 y ， y x 0 或 0 y x ． 解：根据幂函数的性质，
a 1 0 a 1 0 a 1 0 有三种可能： 或 3 2a 0 或 3 2a 0 ， 3 2a 0 a 1 3 2a a 1 3 2a
2 ∴ m 2m 3 0 ，∴ 1 m 3 ；
∵ m Z ，∴ (m2 2m 3) Z ，又函数图象关于原点对称，
2 ∴ m 2m 3 是奇数，∴ m 0 或 m 2 ．
例6、
设函数 f（x）＝x3，
（1）求它的反函数； （2）分别求出 f－1（x）＝f（x） ，f－1（x）＞f（x） ，f－1（x）＜f（x）的实数
点评：本题在确定 x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或 方程则较为麻烦． 例7、 求函数 y＝ x ＋2x ＋4（x≥－32）值域．
1
2 5
1 5
解析：设 t＝x 5 ，∵x≥－32，∴t≥－2，则 y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3． 当 t＝－1 时，ymin＝3． ∴函数 y＝ x ＋2x ＋4（x≥－32）的值域为［3，＋ ） ． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 【练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是（ Ａ． y x 答案：Ｃ 2. 下列函数在 , 0 上为减函数的是（ Ａ． y x 3 答案：Ｂ 3. 下列幂函数中定义域为 x x 0 的是（ Ａ． y x 答案：Ｄ 4．函数 y＝（x －2x）
2
2 5
1 5
） Ｃ． y 2 x Ｄ． y x 1
Ｂ． y x 3
） Ｄ． y x 2
1
Ｂ． y x 2
Ｃ． y x 3
）
2 3
2 3
Ｂ． y x
3 2
Ｃ． y x
Ｄ． y x

3 2
1 － 2
的定义域是（
）
A．{x|x≠0 或 x≠2}
B． （－∞，0） （2，＋∞） C． （－∞，0） ］ ［2，
1 2
1 － 2
2 2 5
） C． ［0，＋∞］ D． （－
B． （－∞， 0）
，则 a 的取值范围是（ B．a＞0
） C．1＞a＞0 D．1≥a≥0
解析：运用指数函数的性质，选 C． 答案：C 8．函数 y＝ (15＋2 x－x 2 ) 3 的定义域是 。
解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5． 答案：A 9．函数 y＝
a b d c ，应选 (C ) ．
例3、
比较下列各组数的大小：
1 3 1 3
（1） 1.5 ， 1.7 ， 1 ；
2
（2） 2
2

， 3 ， 5 ；
3 7
3 7
3 7
4 2 3 10 3 3． （3） ， ， 1.1 2 7
2 5 2 2 5
2 5
2 ＞ 0， 5
2
∴幂函数 y＝ x 5 在［0，＋ ］上单调递增． 由于幂函数 y＝ x 5 是偶函数， ∴幂函数 y＝ x 5 在（－ ，0）上单调递减． （5）其图象如下图所示．
2 2
12．已知函数 y＝ 4 15－2 x－x 2 ． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 答案： （1）定义域为［－5，3］ ，值域为［0，2］ ； （2）函数即不是奇函数，也不是偶函数； （3） （1，3］ ．
x 的范围．
解析： （1）由 y＝x 两边同时开三次方得 x＝ y ，∴f－1（x）＝x 3 ．
3
1
3
（2）∵函数 f（x）＝x3 和 f－1（x）＝x 3 的图象都经过点（0，0）和（1，1） ． ∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1 及 0；
1
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知
f－1（x）＞f（x）时，x＜－1 或 0＜x＜1； f－1（x）＜f（x）时，x＞1 或－1＜x＜0．
解： （1）底数不同，指数相同的数比大小， 可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵ y x 3 在 0 , 上单调递增，且 1.7 1.5 1 ， ∴ 1.7 3 1.53 1 ． （2） 底数均为负数， 可以将其转化为 2
1 1
1


3 7

2 ， 3
2 3 解得： a , 1 , ． 3 2
例5、
已知幂函数 y x
m2 2 m 3
（ m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，且关于
原点对称，求 m 的值． 解：∵幂函数 y x
m2 2 m 3
（ m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点，
1 x
2－m－m 2
在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是________．
解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故 m＝－1． 答案：m＝－1
10、讨论函数 y＝ x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 思路：函数 y＝ x 是幂函数． （1）要使 y＝ x 5 ＝ 5 x 2 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为 R． （2）∵x R，∴x2≥0．∴y≥0． （3）f（－x）＝ 5 (－x) 2 ＝ 5 x 2 ＝f（x） ， ∴函数 y＝ x 是偶函数； （4）∵n＝
④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．
二、幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图 象都过点（1，1） ； （2）α＞0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 [0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0 时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是 减函数.
三、幂函数的应用
例1、 幂函数 y x （ m 、 n N ，且 m 、 n 互质）的图象在第一，二象限，且 （ ）
n 1
O
x
O
x
O
x
y
y
y
0 n 1
O
x
O
x
O
x
y
y
y
n0
O
x
O
x，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函 数图像都不过第四象限．
1 1 ② a , ,1, 2 , 3 时，幂函数图像过原点且在 0 , 上是增函数． 3 2 1 ③ a , 1, 2 时，幂函数图像不过原点且在 0 , 上是减函数． 2
y
n m
不经过原点，则有
( A) m 、 n 为奇数且
m 1 n
m 1 n m (C ) m 为偶数， n 为奇数，且 1 n m ( D ) m 奇数， n 为偶数，且 1 n
( B) m 为偶数， n 为奇数，且
x O
例2、
右 图 为幂 函数 y x 在 第 一象 限 的图 像， 则 （ ）
3 7
3 7

3
3 7
，

∴
5

3 7


3 7
3
5 7．
∵ y x 7 在 0 , 上单调递增，且 5 3 2 ，
3
5 3 2 ，即 5 3 ∴ 5 3 2 ．
1.1 3 ．

4
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小． 例4、 若 a 1
1 3 1 3
教案十二：幂函数
一、幂函数的图像
幂函数 y x n 随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质 和图像分类记忆的方法． 熟练掌握 y x n ， 当 n 2 , 1, 列表如下．
y xn
1 1 , , 3 的图像和性质， 2 3
奇函数
y
偶函数
y
非奇非偶函数
y

2
2
2
∵ y x 在 0 , 上单调递减，且
7 ∴ 10
2 3

2 3
7 2 1.21 ， 10 2
2 2
2 3

2 3
1.21 3 ，
2 3
2
7 即： 10
2 2
＋∞］ D． （0，2） 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案：B 5．函数 y＝（1－x ） 的值域是（
2
1 2
） C． （0，1） D． ［0，1］
A． ［0，＋∞］
B． （0，1）
解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令 t＝1－x2，则 y＝ t ． ∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1． 答案：D 6．函数 y＝ x 的单调递减区间为（ A． （－∞，1） ∞，＋∞） 解析：函数 y＝ x 5 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选 B． 答案：B 7．若 a ＜a A．a≥1
y
a, b, c, d 的大小关系是
( A) a b c d (C ) a b d c
( B) b a d c
( D) a d c b
O
x
解：取 x