第二章随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量在第一章中研究了随机事件及其概率。

细心的读者可能会注意到，在某些例子中，样本空间中的样本点本身就是数，从而样本空间中的样本点和某些实数之间有着直接的对应。

例2.1.1 掷一枚均匀的骰子，样本空间{},16i i ωΩ=≤≤，其中i ω表示出现的点数为i ，16i ≤≤。

样本空间与集合{}1,2,,6 对应。

事件“出现1点”的概率为1/6，“出现的点数大于等于3小于等于5”的概率为1/2。

例2.1.2 观察某电话总机在时间区间(]0,T 内收到的呼叫总数，观察结果可能是零次呼叫，一次呼叫，两次呼叫，……。

样本空间可用{};0,1,2,k k Ω== 次呼叫来表示。

此样本空间与全体非负整数相对应。

在某些试验中，所关心的随机事件可能与实数没有上述那种“自然的”联系，但是可以人为地建立一种对应关系，将可能出现的所有结果数量化，即假设存在一个法则，使得按照这个法则，每个试验结果与一个实数相对应（或者每个结果对应一个确定维数的向量）。

例2.1.3 向上抛掷一枚均匀硬币，其样本空间为{}12,ωωΩ=，其中1ω、2ω分别表示硬币落地时“正面向上”、“背面向上”两个基本事件。

可以约定数1ω与实数0对应，2ω与实数1相对应。

这样就建立了样本空间{}12,ωωΩ=与{}0,1之间的对应。

例2.1.4 一个投资者观察某股票的收盘价，他只考虑股价与昨天收盘价相比是上涨、下跌还是不变，而不关心具体的股价，则对该投资者而言，样本空间{}1012,,ωωωΩ=，其中0ω、1ω、2ω分别表示股价不变、上涨和下跌三个基本事件。

约定0ω与0对应，1ω与1对应，2ω与－1相对应。

那么，样本空间1Ω与集合{}0,1,1-对应。

如果另有一投资者关心的是该股票每天的收盘价，那么对第二个投资者而言，样本空间{}2:0x x ωΩ=≤<+∞，其中x ω表示“收盘价为x ”这个基本事件。

显然样本空间2Ω与非负实数集之间有着直接的对应。

由上面这些例子可以看到，不论样本点与实数之间是“自然”对应，还是“人为”对应，都能将随机试验的样本点“数量化”，即存在一个对应法则，不妨设为X ，使得在该对应法则下，将每一个样本点ω，必有唯一一个实数()X ω与之对应。

这与熟知的“函数”概念在本质上是一致的，因此对应法则X 是一个函数，或者说X 是一个变量。

该对应法则X 可以在试验前确定，但是不能在试验前确定X 的具体取值，这是由于X 的取值依赖每次试验的结果，故X 的取值是随机事件，其随机性可由概率来刻画，故称变量X 为随机变量。

定义 2.1.1 将某条件下随机试验的每一个样本点ω通过某一对应法则X ，使之与唯一的实数值()X ω对应，则称实值变量()X ω为一个随机变量，简记为X 。

随机变量通常用大写的英文字母X ，Y ，Z ，…表示，或用希腊字母 ξη，，…表示。

随机变量的取值常用英文小写字母,,x y z ，…表示。

通常将事件{}:()X x ωω=简记为{}x X =.例如人的身高、体重；一个人到达公共汽车站后等车的时间，一个银行一天内服务的客户数；顾客在银行等待服务的时间及接受服务的时间等等都是随机变量。

需要注意的是，在一般函数概念中，函数()f x 的自变量x 的定义域是实数。

而在随机变量的概念中，随机变量()X ω的自变量ω的定义域是样本空间Ω。

但不管是普通的变量，还是随机变量，值域都是实数。

在例2.1.1中，令X 表示掷骰子所得的点数。

则i X i ω()=，16i ≤≤；事件“出现的点数大于等于3小于等于5”可以表示为"35"X≤≤。

在例2.1.2中，令X 表示收到的呼叫次数。

则i X i ω()=，i 为非负整数； 在例2.1.3中，随机变量X 定义为：1X ω()=0，2X ω()=1。

例2.1.5 掷两颗均匀的骰子，则其概率空间{}(,):1,6i j i j Ω=≤≤。

用Y 表示出现的点数之和，则Y 是一个随机变量，可能取值为2，3，……，12。

{}3Y =是一随机事件，它包含两个基本事件()1,2和()2,1。

事件“出现的点数在3和6之间”可以表示为{}36Y ≤≤，是事件{}3Y =、{}4Y =、{}5Y =和事件{}6Y =的和，包括{}(,)|36,1,6i j i j i j ≤+≤≤≤共14个基本事件，因此事件{}36Y ≤≤的概率为1473618=。

由前面的例子可知，有了随机变量，随机事件的表达在形式上简洁多了。

但这个好处毕竟只是形式上的，在以后的讨论中，会发现引入“随机变量”这个概念还有更为深远的意义。

按照随机变量取值的不同，可将随机变量分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量。

如果随机变量的所有可能取值是有限的或者无限可数的，则称该随机变量是离散型随机变量。

比如例2.1.1中的掷骰子所得的点数，例2.1.2总机收到的呼叫次数。

如果随机变量的可能取值不能一一列举，是无限不可数的，那么该随机变量就是非离散型随机变量。

非离散型随机变量的范围很广，其中最重要的、也是实际应用中最常遇到的是连续型随机变量。

例如人体身高或体重、等车时间、服务部门对顾客的服务时间等都是连续型随机变量。

§2.2 离散型随机变量及其分布当随机变量的可能取值为有限或无限可数的时候，称此随机变量为离散型随机变量。

例如在掷骰子试验中，设随机变量X 为骰子掷出的点数，则X 可能取值为1，2，3，4，5，6。

显然，知道随机变量的取值还不足以了解掷骰子这一试验。

如果知道X 取各个值的概率为1/6，就可以知道事件“1X =”，“2X =”，……，“6X =”构成等可能完备事件组。

这样，就可以较好地把握这一试验。

如果用表格把随机变量X 的取值及其对应的概率列举出来，就可以得到表2.1 骰子掷出点数的概率分布一般地，设某一随机变量X 可能取值为{},1k x k ≥，可将X 的可能取值及其相应的概率列成表：称此表为的概率分布。

这张表清楚而完整地表示了取值的概率分布情况。

有时候，X 的概率分布情况也可以用矩阵的形式表示1212,,,,,,,,,n n x x x p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2.2.1)或者直接用下面一系列等式来表示：() (1,2,3,)k k p P X x k === ，(2.2.2)随机变量X 的概率分布表和式(2.2.1)、式(2.2.2)统称为概率分布或分布律，简称分布，它是描述离散型随机变量的有力工具。

确定了其中的{},1k x k ≥和{},1k p k ≥，也就确定了随机变量的分布。

因此求一随机变量X 的分布律分为两步：第一步：列出随机变量X 的一切可能取值；第二步：利用概率的计算方法计算出X 取各个确定值的概率， 这样就得到了X 的概率分布律。

由概率性质可知，任意离散型随机变量的分布律{},1k p k ≥都有下述性质：1．非负性：0, 1,2,3,;k p k ≥= (2.2.3)2．规范性：11.kk p∞==∑ (2.2.4)反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{,1}k p k ≥都可以作为某个随机变量的概率分布律。

随机变量的分布律不仅明确给出了事件{}k X x =( 1,2,3,)k = 的概率，而且由分布律可求出随机变量落在任意区间内的概率。

例如对于任意的实数a b <，事件{}a X b ≤≤可写为下列事件的和：k k a x ba Xb X x ≤≤≤≤== ，由概率的可列可加性得：()(),,{},k a b a bk k k a x b k I k I P a X b P X x P X x p ≤≤∈∈⎛⎫≤≤==== ⎪⎝⎭∑∑ ＝ (2.2.5)其中{},: 1a bk I k a x b k =≤≤≥，。

在例2.1.5中，随机变量Y 的分布律为表2.3 掷两颗骰子点数之和的概率分布事件{}36Y ≤≤的概率为()()36{3}{4}{5}P Y P Y Y Y ≤≤====23457(3)(4)(5).3636363618P Y P Y P Y ==+=+==+++= 事件“出现的点数之和不大于四”可以表示为{}4Y ≤，其概率为1231(4)(2)(3)(4).3636366P Y P Y P Y P Y ≤==+=+==++= 同样可计算出 5654(69)(6)(7)(8).3636369P Y P Y P Y P Y ≤<==+=+==++=§2.3 重要的离散型分布2.3.1 两点分布如果随机变量X 的可能取值只有两个，不妨设为0和1，且其概率分布为 01,1p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(2.3.1)其中01p <<，则称随机变量X 服从两点分布。

其中p 为参数，并称X 为服从参数为p 的两点分布。

两点分布尽管简单，但是很有用。

如果随机试验只有两种可能结果，且均有正的概率，那么该试验就确定了一个两点分布。

例如，在一次试验中事件A 发生的概率为1/3，以X 表示一次试验中事件A 发生的次数，则X 服从参数为1/3的两点分布。

再比如，某股票某一天的收盘价与前一天的收盘价相比，上升与不升的概率均为1/2。

令0 1 Y ⎧=⎨⎩股票价格上升；股票价格下降或相等。

，， 则Y 服从参数为1/2的两点分布。

2.3.2 二项分布如果随机变量X 的分布如下：(), (0,1,2,)k k kn P X k C p q k n ===(2.3.2)其中01p <<，1p q +=，则称随机变量X 的这种分布为二项分布，或伯努利（Bernoulli ）分布。

其中,n p 为参数，又称X 为服从参数为,n p 的二项分布，记为~(,)XB n p 。

可以看出当1n =时，二项分布就是两点分布，因此两点分布可表示为(1,)B p 。

利用二项式定理，不难证明由(2.3.2)式给出的分布律满足： 0()()1n nkk n k n nk k p X k Cp q p q -=====+=∑∑。

通项kkn k n C pq -正好是()n p qx +的二项展式中k x 项的系数，因此把概率分布(2.3.2)式称为二项分布。

图2.1给出了,n p 取不同值时的二项分布的图形。

图2.1,n p 取不同值时的二项分布在n 次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，以X 表示这n 次独立重复的伯努利试验中事件A 发生的次数。

容易求得X 就服从参数为p 的二项分布。

例2.3.1 设某保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份，这些被保人一年内死亡是相互独立的，且死亡概率均为0.001，那么一年内被保人的死亡人数X 服从参数为2500、0.001的二项分布。