小升初数学衔接班第8讲——创造的基石

小升初数学衔接班第8讲——创造的基石一、学习目标通过对归纳推理方法的学习，使同学们经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程，培养同学们的创新意识。

二、学习重点在归纳的过程中如何发现规律。

三、课程精讲1、知识回顾在日常生活中，我们经常会自觉或不自觉地根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断。

例如，当我们看到天空乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现象时，会得出即将下雨的判断。

这种思维方式就是推理。

当一个问题涉及到相当多的乃至无穷多的情形时，我们则可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的验证，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳推理，它是创造发明的基石。

例1、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示。

我们试推断第336个圆应是什么颜色呢？○○○●●○○○●●○○○…思路导航：此题有一个“笨”解法，那就是把这336个圆全部画出来看看。

但是，如果不知道其变化规律，也画不出来，因此我们需要先来找规律。

如果找到了规律，那么就不用真的画出来，可以利用其规律来解题，从而得到“聪明”的解法。

解答：由这几个圆，我们归纳出这些圆的排列规律是“三个空心圆，两个实心圆”、“三个空心圆，两个实心圆”、……不断重复，可以说它的周期为5。

÷=因为，3365671所以，336个圆中有67个完整的周期，最后余下的1个是另一新的周期的第一个圆，因此是空心圆。

点津：此题解法的核心是要归纳出变化规律。

仿练、现有若干实心圆与空心圆按一定的规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…请问：前2001个圆中，有多少个空心圆？思路导航：与上题类似，此题也需要找出其变化规律。

解答：仔细观察，发现其变化规律是“●○●●○●●●○”、“●○●●○●●●○”、……循环往复地出现，其周期为9。

÷=因为，200192223所以，前2001个圆中，一个有222个周期，和第223个周期中的前三个。

因为，每个周期中含有3个空心圆，而每个周期的前三个中有1个空心圆⨯+=个空心圆。

所以，前2001个圆中一共有32221667点津：从纷繁芜杂的变化中找出恒定的规律是关键。

2、新知探秘知识点一归纳的逻辑方法方法一：异中求同科学家发现：彩虹可以出现在各种不同的场合。

如夏季雨过天晴，常可看到天际有一条彩虹；飞泻的瀑布旁，透过水星常可看到彩虹；在河中划船，木桨击起水花，也可以见到彩虹。

经过研究，科学家逐一排除了这些场合中不同的先行情况，终于发现了唯一相同的先行情况：阳光穿过水珠。

于是推断出阳光穿过水珠是形成彩虹的原因。

方法二：同中求异一百多年前，一艘远洋帆船，载着五个中国人和几个外国人由中国开往欧洲。

途中，除五个中国人外，几个外国人全病得奄奄一息，经诊断他们都患有坏血病。

这些人同坐一条船，途中的许多生活情况都是相同的，为什么会发生这种情况呢？原来，这五个中国人和几个外国人唯一不同的生活情况是：五个中国人都有喝茶的嗜好，而这几个外国人却没有这种嗜好，于是得出结论：喝茶与不得坏血病有因果联系。

例2、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它们具有一定的规律性。

现根据这一规律，求第24个三角形数与第22个三角形数的差。

思路导航：仔细观察，动手实验，发现其中的共同规律，这是解答本题的关键。

解答：因为，1＝13＝1＋26＝1＋2＋310＝1＋2＋3＋415＝1＋2＋3＋4＋521＝1＋2＋3＋4＋5＋6所以，我们归纳出第24个数为1＋2＋3＋4＋…＋22＋23＋24；而第22个数为1＋2＋3＋4＋…＋21＋22。

因此，第24个三角形数与第22个三角形数的差为23＋24＝47。

点津：这些数都是相异的，如何在异中求同是解此题的关键。

例3、复杂的多面体有许多面、顶点和棱。

多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间有什么关系呢？数一数下图中各多面体的面数F、顶点数V和棱数E，填写表格。

然后根据表格中的数四棱锥 5 5 8 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 正八面体 8 6 12 五棱柱 7 10 15 截角正方体 7 10 15 尖顶塔9916思路导航：从特殊情况入手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本题的关键。

解答：先横向观察三棱锥，发现F 、V 、E 之间有很多关系，比如2F V E +=+，6F V E -=-，24F V E ⨯=+，6F EV =等； 再纵向观察每种多面体，发现以上大部分规律都不具备普遍性，但2F V E +=+对于每个多面体都成立！因此，我们归纳推理出多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 之间具有这样的关系：2F V E +=+，或2F V E +-=。

点津：历史上著名的数学家欧拉曾研究过这个问题。

多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系被称为“欧拉公式”，它不仅在数学方法上有所创新，而且推动了现代数学的重要分支——拓扑学的发展。

知识点二 归纳推理与实验对于非常复杂或涉及的数量很多的问题，为了归纳出一般的性质，我们往往先对简单情形、或者具体的几种情形进行研究，得出规律后再推广到复杂的或者所有的情形。

这种先研究简单情形，或者具体的几种情形的方法，我们称为“数学实验”。

例4、化简9999991999n n n ⨯+个个个思路导航：先分析1,2,3n =时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确。

解答：当1n =时，199999919999919100100n n n ⨯+=⨯+==个个个； 当2n =时，29999991999999919910000100n n n ⨯+=⨯+==个个个； 当3n =时，3999999199999999919991000000100n n n ⨯+=⨯+==个个个；我们猜想9999991999100n n n n ⨯+=个个个。

点津：从本质上讲，数学实验和物理、化学及生物实验没有区别。

实验通常用来验证已知的规律和发现未知的规律，这里属于后者。

知识点三 归纳推理与递推归纳常常与递推联系在一起。

所谓递推就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，进而发现规律或证明通过归纳推理所猜测的规律的正确性。

例5、平面上有n 条直线，它们最多将平面分成几个区域？ 思路导航：首先要明确怎样才能使平面被分成的区域最多？只有使每条直线与另外所有的直线都相交，并且交点都不重合，得到的区域才能最多。

此题我们也可以做做数学实验，计算出当平面上分别有1条、2条、3条直线时，平面被分成的最多区域的个数。

解答：当1n =时，平面最多可以分成2个区域； 当2n =时，平面最多可以分成4个区域； 当3n =时，平面最多可以分成7个区域； 当4n =时，平面最多可以分成11个区域； 仔细观察它们之间的递推关系，可以发现：422=+743223=+=++ 11742234=+=+++因此，归纳推理出当平面上有n 条直线时，平面最多被分成的区域个数为 2234n +++++ 11234n =++++++11(1)2n n =++1(1)12n n =++此题的规律是通过观察前后两个数之间的递推关系得到的。

设平面上有(1)k -条直线时，平面最多被分成的区域个数为1k a -，则平面上有k 条直线时的区域个数为1k k a a k -=+。

那么，这个递推关系正确吗？我们可以这样证明：若平面上已经有(1)k -条直线了，平面已知最多被分成1k a -个区域。

这时，在平面上增加一条直线，即第k 条直线，它将与前(1)k -条直线均相交，共得到(1)k -个交点；那么(1)k -个交点把这条新增直线分为k 段；则k 段中的每一段都把它所在区域一分为二。

因此区域就增加了k 个，于是1k k a a k -=+。

从而，用点—线—面的思维顺序就得到了这个递推关系。

仿练：阳阳和明明玩上楼梯的游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，这时两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级、……逐级增加时，楼梯的上法依次为1，2，3，5，8，13，21，……（这就是著名的斐波拉契数列）。

那么上10级台阶共有多少种上法？思路导航：观察前7个数，我们若能发现它们之间的递推关系就能解决问题。

解答：通过观察发现312=+ 523=+ 835=+ 1358=+ 21813=+归纳起来的规律就是：除第1、2项外，其余每项都等于其前两项的和。

按照这个规律可以将这个数列补充出来：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，… 所以，上10级台阶共有89种上法。

点津：这个递推关系是通过观察得出来的，它正确吗？实际上，我们也可以仿照上题来寻找递推关系。

我们设从第1级台阶到第k 级台阶的方法共有k a 种，然后思考这样一个问题：要到达第k 级台阶有哪些方法？应该有两种方法，一种是从第(1)k -级台阶通过上一级就能到达第k 级台阶，另一种是从第(2)k -级台阶通过上两级就能到达第k 级台阶。

前者共有1k a -种方法，后者共有2k a -种方法，所以从第1级台阶到达第k 级台阶的方法种数共有12k k k a a a --=+种。

以上过程不属于归纳推理，而是实实在在的证明。

我们是如何想到这个证明结果的？那就是用归纳推理的方法得到结论，然后返回来再证明。

知识点四 归纳推理的可靠性归纳推理是通过观察个别情况来发现某些相同的性质，从而推测出一个一般性的结论。

那么，这种结论可靠吗？ 例6、计算当1,2,3,,10n =时，代数式241n n ++的值，同时作出归纳推理，并用40n =验证猜想是否正确。

思路导航：把当1,2,3,,10n =时的代数式的值算出来，观察这些值的特点，再作归纳推理。

当1n =时，2241114143n n ++=++=； 当2n =时，2241224147n n ++=++=； 当3n =时，2241334153n n ++=++=； 当4n =时，2241444161n n ++=++=； 当5n =时，2241554171n n ++=++=； 当6n =时，2241664183n n ++=++=； 当7n =时，2241774197n n ++=++=； 当8n =时，22418841113n n ++=++=； 当9n =时，22419941131n n ++=++=；当10n =时，2241101041151n n ++=++=。

因为，43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数所以，归纳推理得出结论：当n 取任何正整数时，241n n ++的值都是质数。

当40n =时，22414040414141n n ++=++=⨯，所以241n n ++的值是合数。