九年级数学每课时精讲精练系列人教版第28章锐角三角函数知识小结
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结28锐角三角函数一、知识框架本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结，包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。
二、知识点、概念总结1.锐角三角函数的定义：在锐角三角形中，对于角A，其对边、邻边、斜边分别为a、b、c，则有：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a2.特殊值的三角函数：对于30°、45°、60°这几个特殊角度，其三角函数值为：3.互余角的三角函数间的关系：对于角度α和其互余角90°-α，有以下关系：sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα4.同角三角函数间的关系：平方关系：sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，cot²α+1=csc²α积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα，tanα=sinα·secα，cotα=cosα·cscα，secα=tanα·cscα，cscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=15.三角函数值：1）特殊角三角函数值2）0°～90°的任意角的三角函数值，可以查三角函数表。
3）锐角三角函数值的变化情况：i）锐角三角函数值都是正值ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1，1≥cosA≥0，tanA>0，cotA>0。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
三角函数专项复习锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)BA cos sin =BA sin cos =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c8、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
九年级数学第28章锐角三角函数
B
10m
②sinB=
（ ×）
6m
③sinA=0.6m （ × ）
A
C
④SinB=0.8 （ √ ）
sinA是一个比值，无单位.
2)如图，sinA=
（×）
九年级数学第28章锐角三角函数
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA
的值（ C ）
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小 1
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
BC=5，则sinA的值是（
）
A. 5 13
B. 12
13
C. 5
12
D. 13
5
【解析】选A．由正弦的定义可得
sin A BC 5 . AB 13
AB 5
BC 3
九年级数学第28章锐角三角函数
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100
倍,tanA的值（ C ）
B
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
C
2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指
九年级数学每课时精讲精练系列人教版第28章锐角三角函数知识小结
知识点总结一、锐角三角函数的概念：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C对的边分别是a、b、c，则锐角A 的各三角函数的定义如下：1、角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA ＝；2、角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝；3、角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.二、特殊角的三角函数值：三、解直角三角形：1、直角三角的边角关系：如图，在Rt△ABC 中，∠A、∠B为锐角，∠C=90º,它们所对的边分别为a,b,c，其中除直角∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90º；（3）边角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinA=，tanA=，tanB=.2、解直角三角型的类型与解法：四、解直角三角形的简单应用：1、与仰角俯角有关的实际问题2、与方向角有关的实际问题3、与坡度坡角有关的实际问题4、与生活有关的实际问题易错点知识分析一、对锐角三角函数的定义理解错误：例1 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4，求sinB 的值.∴sinB=【点评】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，而△ABC 不是直角三角形，必须构建直角三角形解决问题.二、混淆特殊角的三角函数值例2、计算：tan45°－cos60°sin60°·tan30°三、对仰角、俯角、坡角、坡度方向角等概念理解错误例3、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看地面控制点B 的俯角为α，则BC 的距离约为（ ）.A. h ·tan α米B. 米C. 米D. h ·sin α米。
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。
下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。
- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。
- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。
2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。
3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。
4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。
5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。
数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数 小结
第二十八章 锐角三角函数 小结
直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系
锐 角 三 角 函 数
解 直 角 三 角 形
实 际 问 题
1、锐角三角函数的概念
A 的对边 A的 正弦 sin A 斜边 A的邻边 A的 余弦 cos A 斜边
B A C
11、如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶
40海里到达B地,再由B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C地,
则A,C两地的距离为 ____ 北 C
400
A 北
20
有一个角是600的三 角形是等边三角形
D 0
B
盛年不再来，一日不再晨。 ——陶渊明
1 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则∠A= 3 0 ． 2
6、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
4 7、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB=（ B ） 3 5 4 3 4 A． B． C． D． 3 4 5
则cosB的值等于（ B ） 4 3 A. B. 5 5
A , B ,abc , , .
已知其中两个条件 （必须有一个条件是边），
A
可求其它三个条件，简称“知二求三”，我们把具备两个条件 的直角三角形叫已知直角三角形。
利用的关系式：
(1) 三边间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) (2) 锐角间的关系:∠A+∠B=90° a b a sin A ;cos A ;tan A ; (3) 边角间的关系: c c b b a b sin B ;cos B ;tan B . c c a
4 5
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
《锐角三角函数》是九年级数学中的一个重要的章节，它在高中数学中也有重要的应用。
下面是对《锐角三角函数》的知识点进行总结归纳。
一、角度的度和弧度制1.角度的度制：一个圆周分为360等份，每一份称为一度，用符号°表示。
2.角度的弧度制：弧度制通过角对应的弧长与半径的比值来表示。
弧度制度数=角度的度数×π/180二、正弦、余弦、正切关系1. 正弦函数：对于任意锐角A，正弦函数表示为sinA=对边/斜边。
2. 余弦函数：对于任意锐角A，余弦函数表示为cosA=邻边/斜边。
3. 正切函数：对于任意锐角A，正切函数表示为tanA=对边/邻边。
三、特殊角的值1. 30°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√32. 45°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=13. 60°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3四、三角函数的基本性质1. 同角三角函数值的关系：sinA/cosA=tanA，cosA/sinA=1/tanA，sin^2A+cos^2A=12. 三角函数的周期性：sin(A+2π)=sinA，cos(A+2π)=cosA，tan(A+π)=tanA。
3. 正负关系：在第一象限，sinA>0，cosA>0，tanA>0，在第二象限，sinA>0，cosA<0，tanA<0，在第三象限，sinA<0，cosA<0，tanA>0，在第四象限，sinA<0，cosA>0，tanA<0。
五、三角函数的应用1.解三角形：根据已知两边和夹角，用余弦定理和正弦定理求解。
九年级数学下册 第28章 锐角三角函数小结
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一、回顾思考
(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中 已知一条边和一个锐角(ruìjiǎo)，或已知两边，能够解这个直角三角 形？
答：两个直角三角形全等的判定方法有：①两条直角边对应(duìyìng)相等 的两个直角三角形全等，②斜边和一条直角边对应(duìyìng)相等的两个直 角三角形全等，③有一个锐角和一条直角边对应(duìyìng)相等的两个直角 三角形全等，④有一个锐角和斜边对应(duìyìng)相等的两个直角三角形全 等. 由直角三角形全等的判定定理可知，一个直角三角形可以由它的三条 边和两个锐角这五个元素中的两个（其中至少有一个是边）唯一确定， 因此在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这 个直角三角形.
（3）综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.
（4）通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.（难点）
（5）经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.（难点）
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三、典例剖析
4.解直角三角形的实际(shíjì)应用
【点评】此题作垂线(chuíxiàn)构造出直角三角形后，两个直角三角形均不具备可解的条件， 需要设未知数列方程求解.
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四、归纳小结
请同学们回答下列问题： (1)通过对本章的学习(xuéxí)，你认为本章的核心知识是什么？
（5）在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数数学九年级知识点总结【28 锐角三角函数】一、基本概念1. 角度的定义：角度是两条半直线公共定点分割的平面成图的两条半平直线之间的夹角。
2. 同角的定义：具有相同动作线的角是同角。
3. 弧度的定义：所对的弧长等于半径的角叫做一个单位角。
4. 弧度制的与度-弧度制间的换算（1）度转换为弧度：${\alpha} = {\frac{{\pi}}{{180}}}$.（2）弧度转换为度：${\alpha} = 180{\pi}$.5. 角度的运算（1）角度的加法：角度的加法满足交换律与结合律。
（2）角度的减法：角度的减法满足减法原则。
6. 单位圆（1）单位圆的概念：圆心为原点，半径为 1.（2）角度和弧度的表示方法：在单位圆上，角度等于所对的弧长。
（3）三角函数：正弦函数，余弦函数和正切函数是角的函数。
二、正弦函数1. 正弦函数的定义：在单位圆上，对于给定的角 ${\theta}$，点$(\cos\theta,\sin\theta)$被定义为角度为 ${\theta}$ 的角上离圆心距离为 $\sin\theta$ 的点。
2. 正弦函数的图像：正弦函数的图像在 x 轴上方，且对称于 x 轴。
3. 正弦函数的性质：（1）定义域：${\mathbb{R}}$.（2）值域：[-1, 1].（3）奇函数：即 $\sin(-{\theta}) = -\sin{\theta}$.（4）周期性：$\sin({\theta} + {2n\pi}) = \sin{\theta}$.（5）同一正弦值的角：$\sin\theta = \sin{\alpha}$ 当且仅当${\theta} = (-1)^n\alpha + n\pi$.4. 正弦函数的图像性质：在 $y = A\sin{\theta}$ 中，A 表示振幅，若 A > 1，则图像的最高点和最低点将超过1和-1；若 A < 1，则图像的最高点和最低点将在1和-1之间。
人教版九年级下册第28章《锐角三角函数》小结与复习
考点2 特殊角的三角函数值
例2
计算： 3 tan 60 3
2 3
0
.
解：原式＝ 3 3 1 2 3 1.
侵权必究
考点13 解直角三角形
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=3，S△ABC= 9 3 ，解这个直角三角形.
2
解析 先根据三角形的面积求出a，再解直角三 角形求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B， 根据含30°角的直角三角形的性质求出c即可.
侵权必究
解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中， ∠ABF =∠α=60°， 则AF=AB·sin60°= 10 3 (m)， 在Rt△AEF中， ∠E=∠β=45°， 则 AE AF 10 6 (m).
sin 45 故改造后的坡长 AE 为
10 6 m. F
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
解：原式 3 3 3
3
4
7. 4
侵权必究
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=2，c=6，求 sinA，cosA和tanA的值.
解： C 90， b c2 a2 4 2，
sinA a 1，cosA b 2 2 ，tanA b 2 .
c3
c3
a4
侵权必究
3. 用计算器求下列各式的值： (1)cos76°39′+sin17°52′； (2)sin57°18′-tan22°30′； (3)tan83°6′-cos4°59′； (4)tan12°30′-sin15°. 解：(1)0.5378 (2)0.4273 (3)7.2673 (4)-0.0371
侵权必究
例5 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上， BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = 3 ，求：
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
九年级下册数学第28章《锐角三角函数》知识点梳理
九年级数学下册第28章《锐角三角函数》知识点梳理一．知识框架
二．知识概念
1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边
2.特殊值的三角函数：
本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
并能应用这些概念解决一些实际问题。
的解，将其定义扩展到复数系。
】。
新人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数小结
Rt△ABC中的已知条件
一边一角
斜边c和一锐角A 一直角边a和一锐角A
两边
斜边c和一直角边a 两直角边a,b
一般解法
①∠B－90°－∠A ②a－c·sinA ③b－c·cosA
①B 90 A ②b a tan B ③c a
sin A ①b c2 a2 ② sin A a
c ③B 90 A ①c a2 b2 ② tan A a
b ③B 90 A
3. 结合实例体会锐角三角形函数的广泛应用． 4. 结合本章内容，体会数形结合地研究问题的方法．
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4.4 21.4.4S unday, April 04, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。0 9:21:17 09:21:1 709:21 4/4/202 1 9:21:17 AM
我们把 a的正弦、余弦、正切都叫做∠ a的三角函数
（2）直角三角形的边角关系包括哪些内容？
sin
A
A的对边 斜边
a c
B
c
a
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
A bC
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
B
A的邻边 斜边
a c
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
2. 总结直角三角形的边角关系，完成下面的表格．
一、本章知识结构图
直角三角形中 的边角关系
锐角三角函数
解直角三角形
实际问题
二、回顾与思考
1. （1）锐角三角形函数是如何定义的？
2020版九年级人教数学下册：第28章 锐角三角函数：章末小结与提升
(2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数,参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7 )
解:(1)∵在 Rt△ABE 中,∠BAE=30°,∴BE=12AE=12×80=40(米).
答:旋转木马 E 处到出口 B 处的距离为 40 米.
(2)∵在 Rt△ABE 中,∠BAE=30°,∴∠AEB=90°-30°=60°, ∴∠CED=∠AEB=60°,
在 Rt△CDE 中,DE=sin���∠���������������������������≈40(米),
∴BD=DE+BE=40+40=80(米).
A.
5 5
B.12
C.2 5 5
D.2
第二十八章 章末小结与提升
知识网络
重难点突破
-4-
3.如图,B,C是线段AD的两个三等分点,P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B,C点除
1
外),则tan ∠APB·tan ∠CPD= 4 .
第二十八章 章末小结与提升
知识网络
重难点突破
-5-
4.(舟山中考)如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan ∠BA1C=1,
在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 CD= 22 + 12 = 5,
∴cos
∠CDB=
1 5
=
55.
第二十八章 章末小结与提升
知识网络
重难点突破
-11-
类型4 解直角三角形的应用
15.(安庆期末)已知斜坡AB的坡度i=1∶ ,3则斜坡AB的坡角是 30 度.
人教版九年级数学下册同步教学：28章 锐角三角函数小结
谢 谢 观 看！
[解析] 如图,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D.
∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵∠A=45°,∴∠ABD=∠A=45°,∴AD=BD.
∵∠ADB=∠CDB=90°,∴AB2=AD2+BD2=2BD2,BC2=DC2+BD2,
∴AC2-BC2=(AD+DC)2-(DC2+BD2)=AD2+DC2+2AD·DC-DC2-BD2=2AD·DC=2BD
竖立标杆CD,标杆的高是2 m.在DB上选取观测点E,F,从E处测得标
杆和建筑物的顶部C,A的仰角分别为58°,45°,从F处测得C,A的仰
角分别为22°,70°.求建筑物AB的高度(精确到0.1 m).(参考数
据:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,
tan70°≈2.75)
图28-X-12
点,∠BDC=45°,AD=4,求BC的长.(结果保留根号)
图28-X-10
解: 设 BC=x.
在 Rt△BCD 中,∠ABC=90°,∠BDC=45°,
∴BD=BC=x.
在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠A=30°,AB=4+x.
∵tanA= ,∴
3
3
=
4+
解得 x=2 3+2.
∴∠ABD=90°-∠DBC.
由题意,知 DE 是☉C 的直径,
∴∠DBE=90°,
∴∠E=90°-∠BDE.
∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDE,
∴∠ABD=∠E.
又∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△AEB.
(2)∵
2020-2021学年人教版九年级下册数学：第28章 锐角三角形函数小结复习
锐角三角形函数小结复习 主备： 上课时间 学生姓名学习目标1.理解锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值,2.认识知识应用于实践重点难点解决与直角三角形有关的实际问题知识点回顾：1．正弦，余弦，正切练习：如图，△ABC 中，AC=4，BC=3，BA=5，则sinA=______，sinB=______.cosA=______，cosB=______. tanA=______，tanB=______.2．三角函数的增减性：正切值随着锐角的度数的增大而_____；正弦值随着锐角的度数的增大而_____；余弦值随着锐角的度数的增大而_____.练习：已知：300＜α＜450，则：(1)sin α的取值范围：________；(2)cosα的取值范围：____；(3)tanα的取值范围：________.3．特殊的三角函数的值，见右图4.解直角三角形应用：(1)．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．(2)．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．00245cos 30sin 460tan )1(-00030tan 130cos 130sin )2(++(3)．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．（4）如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里外，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去.1）快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？2）快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？（5)．如图，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A→D→C→B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．已知BC=11km ，∠A=45°，∠B=37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km)5.随堂练习（1）在△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则cosA 的值是（ ）A ．B ．C ． （2）如图，在某广场上空飘着一只汽球P ，A 、B 是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正353545916.2525D 1.412≈东，测得仰角∠PAB=45o ，仰角∠PBA=30o，求汽球P 的高度。
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九年级数学每课时精讲精练系列人教版第28章锐角三角函数知识小结
一、锐角三角函数的概念：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C对
的边分别是a、b、c，则锐角A 的各三角函数的定义如下：
1、角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA
＝；
2、角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA
＝；
3、角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA
＝.
二、特殊角的三角函数值：
三、解直角三角形：
1、直角三角的边角关
系：
如图，在Rt△ABC 中，
∠A、∠B为锐角，∠C=90º,
它们所对的边分别为a,b,c，
其中除直角∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90º；
（3）边角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinA=，tanA=，tanB=.
2、解直角三角型的类型与解法：
四、解直角三角形的简单应用：
1、与仰角俯角有关的实际问题
2、与方向角有关的实际问题
3、与坡度坡角有关的实际问题
4、与生活有关的实际问题
易错点知识分析
一、对锐角三角函数的定义理解错误：
例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值.
∴sinB=
【点评】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，而△ABC不是直角三角形，必须构建直角三角形解决问题.
二、混淆特殊角的三角函数值
例2、计算：·tan30°
三、对仰角、俯角、坡角、坡度方向角等概念理解错误
例3、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=h米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则BC的距离约为（）.
A. h·tanα米
B. 米
C. 米
D. h·sinα米。