2017届人教A版 坐标系 考点规范练
高中数学第一章空间向量与立体几何 空间直角坐标系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第一章 1.3 1.3.1A级——基础过关练1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4)C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)【答案】A【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)．2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( )A．(0,2,0) B．(0,2,3)C．(1,0,3) D．(1,2,0)【答案】B【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)．3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,3,1) D．(3,2,1)【答案】A【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)．4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )A ．(－1,－1,－1)B ．(1,－1,1)C ．(1,－1,－1)D ．(－1,1,－1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)．5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43．6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(1,1,－3)B ．(－1,－1,－3)C ．(－1,1,－3)D ．(－1,－1,3)【答案】D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ．7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )A ．点B 1的坐标为(4,5,3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5,8,－3) C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0,5,3) D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0) 【答案】ACD【解析】根据题意知,点B 1(4,5,3),A 正确；B (4,5,0),C 1(0,5,3),故点C 1关于点B 对称的点为(8,5,－3),B 错误；点A 关于直线BD 1对称的点为C 1(0,5,3),C 正确；点C (0,5,0)关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0),D 正确．故选ACD ．8．如图,在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,M 是OB 1与BO 1的交点,则点M 的坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 【解析】因为OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,所以A (2,0,0),A 1(2,0,2),B (2,3,0),故B 1(2,3,2)．所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，32，22,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，1． 9．在空间直角坐标系中,点M (－2,4,－3)在Ozx 平面上的射影为点M ′,则点M ′关于原点对称点的坐标是________．【答案】(2,0,3)【解析】点M 在Oxz 平面上的射影为点M ′(－2,0,－3),所以点M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．已知点P 的坐标为(3,4,5),试在空间直角坐标系中作出点P ,并写出求解过程． 解：如图,由P (3,4,5)可知点P 在x 轴上的射影为点A (3,0,0),在y 轴上的射影为点B (0,4,0),以OA ,OB 为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在Oxy 坐标平面上的射影C (3,4,0)．过点C 作直线垂直于Oxy 坐标平面,并在此直线的Oxy 平面上方截取5个单位长度,得到的点就是P．B级——能力提升练11．在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7,－6)C．(－4,0,－6) D．(－4,7,0)【答案】C【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4,7,－6),点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4,0,－6)．12．(多选)已知点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,则( )A．与点M关于x轴对称的点是(x,－y,－z)B．与点M关于原点对称的点是(－x,－y,－z)C．与点M关于xOy平面对称的点是(x,y,－z)D．与点M关于yOz平面对称的点是(x,－y,z)【答案】ABC【解析】与点M关于yOz平面对称的点是(－x,y,z),D错误,A,B,C均正确．故选ABC．13．直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________．【答案】(3,－1,2)【解析】∵直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(3,1,0),∴顶点B1的坐标是(3,1,2),则其关于平面xAz的对称点为(3,－1,2)．14．在空间直角坐标系Oxyz中,z＝1的所有点构成的图形是________________；点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．【答案】过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面 5【解析】z ＝1表示一个平面,其与平面Oxy 平行且距离为1,故z ＝1的所有点构成的图形是过点(0,0,1)且与z 轴垂直的平面．点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离与其横纵坐标无关,只与其竖坐标有关．由于平面Oxy 的方程为z ＝0,故点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离为|5－0|＝5．15．在空间直角坐标系中有一个点P (1,3,－2),求： (1)点P 关于坐标原点O 的对称点P 1的坐标； (2)点P 关于x 轴的对称点P 2的坐标； (3)点P 关于坐标平面Oyz 的对称点P 3的坐标．解：(1)设点P 1的坐标为(x 1,y 1,z 1),因为点P 和P 1关于坐标原点O 对称, 所以O 为线段PP 1的中点．由中点坐标公式,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－3，z 1＝2，所以点P 1的坐标为(－1,－3,2)． (2)设点P 2的坐标为(x 2,y 2,z 2), 因为点P 和P 2关于x 轴对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，3＋y 22＝0，－2＋z 22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝－3，z 2＝2，则点P 2的坐标为(1,－3,2)． (3)设点P 3的坐标为(x 3,y 3,z 3), 因为点P 和P 3关于平面yOz 对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋12＝0，y 3＝3，z 3＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝3，z 3＝－2，故点P 3的坐标为(－1,3,－2)．。
坐标系的相关练习题
坐标系的相关练习题一、选择题1. 在平面直角坐标系中，点P(3, 2)关于x轴的对称点坐标是（）。
A. (3, 2)B. (3, 2)C. (3, 2)D. (3, 2)2. 在平面直角坐标系中，点A(2, 1)关于原点的对称点坐标是（）。
A. (2, 1)B. (2, 1)C. (2, 1)D. (2, 1)3. 已知点B(3, 4)，则点B到x轴的距离是（）。
A. 3B. 4C. 5D. 74. 在平面直角坐标系中，点C(0, 5)位于（）。
A. 第一象限B. 第二象限C. y轴上D. 第四象限5. 若点D在第二象限，且到x轴的距离等于到y轴的距离，则点D的坐标可能是（）。
A. (3, 3)B. (4, 2)C. (5, 5)D. (6, 6)二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点E(___, ___)关于y轴的对称点坐标是(5, 3)。
2. 已知点F(___, ___)，点F到原点的距离是5个单位长度。
3. 在平面直角坐标系中，点G(___, ___)位于第三象限，且到x 轴的距离是4个单位长度。
4. 若点H(___, ___)在第一象限，且到x轴的距离等于到y轴的距离，则点H的坐标是(___, ___)。
5. 点I(___, ___)关于原点对称的点是(___, ___)。
三、解答题1. 在平面直角坐标系中，求点J(4, 3)关于x轴、y轴和原点的对称点坐标。
2. 已知点K(2, 5)，求点K到x轴和y轴的距离。
3. 在平面直角坐标系中，点L位于第四象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，求点L的坐标。
4. 若点M在第二象限，且到x轴的距离是6个单位长度，到y轴的距离是8个单位长度，求点M的坐标。
5. 已知点N在第一象限，且到原点的距离是10个单位长度，求满足条件的点N的坐标（至少写出两个）。
四、作图题1. 在平面直角坐标系中，画出点A(2, 3)、点B(3, 2)、点C(2, 3)和点D(3, 2)，并标出每个点的坐标。
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.3.1 空间直角坐标系课时练习题
§1.3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是()A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案C解析∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案B解析由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于()A.⎝⎛⎭⎫0，14，－1B.⎝⎛⎭⎫－14，0，1 C.⎝⎛⎭⎫0，－14，1D.⎝⎛⎭⎫14，0，－1 答案C解析BE →＝BB 1—→＋B 1E —→＝k －14j ＝⎝⎛⎭⎫0，－14，1. 6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案0解析点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 答案(4,0，－1)解析设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________． 答案(5,4,1)解析设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．解正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a ，F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，a ，G ⎝⎛⎭⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，I ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，J ⎝⎛⎭⎫0，a ，a 2. 10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩⎨⎧⎭⎬⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为P A ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)．由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)， 由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)， 由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)． 又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得E ⎝⎛⎭⎫12，－12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，12，1.11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________． 答案(1，－3，－5)12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________． 答案(2,0,3)解析由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)，所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．答案(－1，－2，－1)解析因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)， 所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3解析由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )． 由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________． 答案(1,1,1)⎝⎛⎭⎫32，12，－1 解析由题意知p ＝2a ＋b －c ，则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)． 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则 p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ， 又∵p ＝2a ＋b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，解得x ＝32，y ＝12，z ＝－1，∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32.。
人教A版高中数学选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 经典例题及配套练习题
C1D1 上，
B1E1
1 4
A1B1 ，
D1F1
1 4
C1D1 ．
图 1.3-9
（1）求 AM 长．
的 （2）求BE1与 DF1所成角的余弦值．
分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式
求出 AM 的长．（2）BE1 与 DF1 所成的角就是 BE1 ，DF1 所成的角或它的补角．因此，可以通过 BE1 ，
（2）写出点 P 2,3, 4 在三个坐标平面内的射影的坐标． （3）写出点 P 1,3,5 关于原点成中心对称的点的坐标． 【答案】（1）平面 yoz 与 x 轴垂直,平面 xoz 与 y 轴垂直,平面 xoy 与 z 轴垂直；（2）点 P 2,3, 4 在平面 yoz 的射影的坐标 P0,3, 4 ,点 P 2,3, 4 在平面 xoy 的射影的坐标 P2,3,0 ；点 P 2, 3, 4 在平面 xoz 的射影的坐标 P2, 0, 4 ；（3）点 P 1, 3, 5 关于原点对称点的坐标是 P1, 3, 5 ．
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系 例 1 如图 1.3-6，在长方体 OABC DABC 中， OA 3， OC 4 ， OD 2 ，以
1 3
OA,
1 4
OC,
1 2
OD
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz
．
图 1.3-6
（1）写出 D¢，C， A ， B 四点的坐标； （2）写出向量 AB ， BB ， AC ， AC 坐标．
图 1.3-8
分析：要证明 EF DA1 ，只要证明 EF DA1 ，即证 EF DA1 0 ．我们只要用坐标表示 EF ，DA1 ，
2016-2017学年高中数学第1讲坐标系2极坐标第2课时极坐标和直角坐标的互化课后练习新人教A版选修4-4资料
2016-2017学年高中数学 第1讲 坐标系 2 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化课后练习 新人教A 版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析： 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．答案： A2．两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，则A ，B 两点间的距离为( )A ．36＋π26B ．36－π26C ．13＋6 3D ．13－6 3解析： 点A ，B 的直角坐标分别为(1，3)，(0,3)， 则|AB |＝ 1－0 2＋ 3－3 2＝13－6 3. 答案： D3．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，11π6，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为( )A ．(－33，－3)B ．(33，－3)C ．(－33，3)D ．(33，3)解析： ∵点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，11π6， ∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin11π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－6×12＝－3， ∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)． 答案： A4．在极坐标系中，两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3和Q ⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6，则PQ 的中点的极坐标是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋3，7π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫1＋3，5π12解析： 先化直角坐标，再化为极坐标． ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，∴P (1，3)．∵Q ⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos 5π6＝－3，y ＝23sin 5π6＝3，∴Q (－3，3)．∴中点M 的直角坐标为(－1，3)． ∴ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. ∴tan θ＝3－1＝－3，∴θ＝2π3.∴中点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析： 点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )， 依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2， 故y ＝θ＝0，ρ>0，所以M (ρ，0)． 答案： (ρ，0)6．已知点M 的坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析： ∵tan θ＝－43，π2<θ<π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45，∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4，∴点M 的直角坐标为(－3,4)． 答案： (－3,4)三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知△ABC 三个顶点的极坐标分别为A⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π3，极点O (0,0)， (1)判断△OAB 的形状； (2)求△ABC 的面积．解析： 所给各点的直角坐标分别为A (0,2)，B (－3，1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，O (0,0)，(1)∵|AB |＝ －3－0 2＋ 1－2 2＝2，|OA |＝|OB |＝2， ∴△OAB 为等边三角形． (2)∵|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－22＝13，|BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＝13，|AB |＝2，∴△ABC 为等腰三角形． ∵AB 的中点为D ⎝⎛⎭⎪⎫－32，32， |CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－322＝23，∴S △ABC ＝12|AB ||CD |＝12×2×23＝2 3.8．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P 的极坐标．解析： 设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∵点P 的直角坐标为(3，－3)，∴ρ＝32＋ －3 2＝23，tan θ＝－33，∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6.9．(10分)如果点M 的极坐标为(ρ，θ)，那么点M 关于极点O 的对称点M ′可以表示为(－ρ，θ)．(1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性；(2)已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ>0,0≤θ<2π，求点M 的极坐标；(3)试问(ρ，θ)，(－ρ，π＋θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)是否都表示同一点的极坐标？解析： (1)由于点M (ρ，θ)关于极点的对称点为M ′(ρ，θ＋π)，根据上述表示，点(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)应为同一点．设点M ′的直角坐标为(x ，y )，由点M ′(ρ，θ＋π)得x ＝ρcos(θ＋π)＝－ρcos θ， y ＝ρsin(θ＋π)＝－ρsin θ，由M ′(－ρ，θ)，得x ＝－ρcos θ，y ＝－ρsin θ， 所以上述表示是合理的．(2)∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－2，－5π6与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.(3)由上述可知(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)为同一点，又由于(ρ，θ)与(ρ，2π＋θ)为同一点，(－ρ，π＋θ)与(－ρ，－π＋θ)为同一点，所以(ρ，θ)，(－ρ，θ＋π)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的极坐标．。
坐标系与参数方程章节综合考点检测练习(二)带答案人教版高中数学考点大全家教辅导
高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x （t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ ）A ．（x －1）2（y －1）＝1B ．y ＝2)1()2(x x x -- C ．y ＝1)1(12--x D ．y ＝21xx -＋1（汇编全国理，9）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是____________．3．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.评卷人得分 三、解答题4．在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为 ()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值. （汇编年高考辽宁卷（文））选修4-4:坐标系与参数方程5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的参数方程为3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中θ为参数.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos()363πρθ+=. 求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值.6．若t 为参数，θ为常数，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程．7．P 为曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上一点，求它到直线2C ：122x t y =+⎧⎨=⎩（t 为参数）距离的最小值．8．已知圆M 的参数方程为03sin 4cos 4222=+--+R Ry Rx y x αα（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M 的半径。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 1.3.1 空间直角坐标系
有序实数组(, , )；反之,给定一个有序实数组(, , ),空间也
有唯一的点与之对应.
2.［苏教版教材习题］已知正方体 − ′′′′的棱长为2,建立如图所示的空间直
角坐标系,写出正方体各顶点的坐标.
解由正方体的性质,可得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),′(0,0,2),′(2,0,2),
= + + .在单位正交基底{, , }下与向量对应的有序实数组(, , ),叫做
点在空间直角坐标系中的坐标,记作(, , ).其中叫做点的横坐标,叫做点的纵
坐标,叫做点的竖坐标.
3.向量的坐标
在空间直角坐标系中,给定向量,作 = .由空间向量基本定理,存在唯一的
有序实数组(, , ),使 = + + .
有序实数组(, , )叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作 =
(, , ).（当向量的始点为坐标原点时,向量的坐标与向量终点坐标是一致的）
名师点睛
1.画空间直角坐标系时,一般使∠ = 135∘ （或45∘ ）,∠ = 90∘ .三个坐
标系.
（1）1 ,1 ,,1 ；
解 1 (2, −2,0),1 (2,2,0)，(2,0,2 3)，1 (0, −2,0).
（2）；
解 ∵ 是△ 1 1 的重心,∴ =
（3）.
2+2+0 2+0−2 0+2 3+0
(
,
,
)
3
3
3
解 由题知(0,0,2 3),则1 = (0,2,2 3).
坐标表示.通过空间直角坐标系的建立及空间向量的坐标表示,培养学生的数学抽象、
人教版高中物理一轮总复习课后习题 考点规范练36 带电粒子在复合场中的运动及实际应用
考点规范练36带电粒子在复合场中的运动及实际应用一、单项选择题1.如图所示,一倾角为θ=53°的粗糙绝缘斜面固定在水平面上,在其所在的空间存在竖直向上、大小E=1×102 N/C的匀强电场和垂直于纸面向外、大小B=1×102T的匀强磁场。
现让一质量m=0.4 kg、电荷量q=1×10-2 C的带负电小滑块从斜面上某点由静止释放,小滑块运动1 m后离开斜面。
已知cos 53°=0.6,g取10 m/s2,则以下说法正确的是( )A.离开斜面前小滑块沿斜面做匀加速运动B.小滑块离开斜面时的速度为1.8 m/sC.在离开斜面前的过程中小滑块电势能增加了0.8 JD.在小滑块离开斜面前的过程中摩擦产生的热量为2.2 J2.磁流体发电机的结构简图如图所示。
把平行金属板A、B和电阻R连接,A、B之间有很强的磁场,将一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)以速度v喷入磁场,A、B两板间便产生电压,成为电源的两个电极。
下列推断正确的是( )A.A板为电源的正极B.A、B两板间电压等于电源的电动势C.两板间非静电力对等离子体做功,使电路获得电能D.若增加两极板的正对面积,则电源的电动势会增加3.如图所示的虚线区域内,充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场。
一带电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域,恰好沿直线由区域右边界的O'点(图中未标出)穿出。
若撤去该区域内的磁场而保留电场不变,另一个同样的粒子b(不计重力)仍以相同初速度由O点射入,从区域右边界穿出,则粒子b( )A.穿出位置一定在O'点下方B.穿出位置一定在O'点上方C.运动时,在电场中的电势能一定减小D.在电场中运动时,动能一定减小4.下图是医用回旋加速器示意图,其核心部分是两个D形金属盒,两金属盒置于匀强磁场中,并分别与高频电源相连。
高考数学第一章空间向量与立体几何3-1空间直角坐标系练习含解析新人教A版选择性必修第一册
空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 思考 空间直角坐标系有什么作用？答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 知识点二 空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x ，0,0)．y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y ，0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )．知识点三 空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )． 思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？答案 点A 在空间直角坐标系中的坐标为(x ，y ，z )，那么向量 OA →的坐标也为(x ，y ，z )．1．空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( × ) 2．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a ，0，c )的形式．( √ ) 3．关于坐标平面yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( √ )一、求空间点的坐标例1 (1)画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A ，C 的坐标分别为________________； ②棱C 1C 中点的坐标为________；③正方形AA 1B 1B 对角线的交点的坐标为________． 答案 ①(0,0,0)，(1,1,0) ②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12(2)已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解 ∵正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为223.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．答案不唯一．反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )． 跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．解 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为0， 而E 为DD 1的中点， 故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.因为CG ＝14CD ，G ，C 均在y 轴上，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG ，可得DK ＝78，HK ＝12，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(答案不唯一) 二、空间点的对称问题例2 在空间直角坐标系中，已知点P (－2,1,4)． (1)求点P 关于x 轴对称的点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面对称的点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)对称的点的坐标．解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 1(－2，－1，－4)．(2)由点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点， 由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3的坐标为(6，－3，－12)． 反思感悟 空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 跟踪训练2 已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________． 答案 (2，－3,1)解析 点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)．三、空间向量的坐标例3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量AB →，AC 1—→，BC 1—→的坐标．解 建立如图所示的空间直角坐标系，设14AB →＝i ，14AC →＝j ，14AA 1→＝k ，AB →＝4i ＋0j ＋0k ＝(4,0,0)，AC 1—→＝AA 1—→＋AC →＝0i ＋4j ＋4k ＝(0,4,4)， ∴BC 1—→＝BC →＋CC 1—→ ＝BA →＋AC →＋CC 1—→ ＝－4i ＋4j ＋4k ＝(－4,4,4)．反思感悟 向量坐标的求法(1)点A 的坐标和向量 OA →的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．跟踪训练3 已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，设点A ，B 在yOz 平面上的射影分别为A 1，B 1 ，则向量A 1B 1—→的坐标为__________． 答案 (0，－1,10)解析 点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为 A 1 (0,5，－7), B 1 (0,4,3)， ∴向量A 1B 1—→的坐标为(0，－1,10)．1．点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．y 轴上 B ．xOy 面上 C ．xOz 面上 D ．yOz 面上答案 C2．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( ) A ．(－1,3，－5) B ．(1,3,5) C ．(1，－3,5) D ．(－1，－3,5) 答案 B3．在空间直角坐标系中，点P (－1，－2，－3)到平面yOz 的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.14 答案 A4．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为______；点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为________．答案 (1,1，－1) (－1，－1,1)解析 点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为(1,1，－1)，点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为(－1，－1,1)．5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则向量AC 1—→的坐标为________． 答案 (－4,2,3)解析 AC 1—→＝AD →＋DC 1—→＝AD →＋DC →＋CC 1—→＝－4i ＋2j ＋3k ＝(－4,2,3)．1．知识清单：(1)空间直角坐标系的概念． (2)点的坐标． (3)向量的坐标．2．方法归纳：数形结合、类比联想．3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案 C解析∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 B解析 由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1 答案 C解析 BE →＝BB 1—→＋B 1E —→＝k －14j ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，1.6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 0解析 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 答案 (4,0，－1)解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________．答案 (5,4,1)解析 设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．解 正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，I ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，0，J ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩⎨⎧⎭⎬⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解 由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)． 由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)， 由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)， 由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)． 又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________． 答案 (1，－3，－5)12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________． 答案 (2,0,3)解析 由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)， 所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．答案 (－1，－2，－1)解析 因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)， 所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3 解析 由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3.15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________．答案 (1,1,1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1 解析 由题意知p ＝2a ＋b －c ，则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)． 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，又∵p ＝2a ＋b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，解得x ＝32，y ＝12，z ＝－1，∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin 30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.。
高中数学 第四章4.3.1空间直角坐标系基础过关训练 新人教A版必修2
§4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系一、基础过关1．点P (5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为________． 6．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标． 8. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3， －1)，求其它7个顶点的坐标． 二、能力提升9．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是 ( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．答案1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.8．解 长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)． 又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， 所以C (2,3，－1)．而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)． 因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)．B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)．同理D 1(2，－3,1)．综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)．9．C 10．D11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22 12．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2. 以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．13．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，3 2，0)．E(1，。
人教版数学高一-必修二(人教A)练习 4.3空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若已知A (1，1，1)，B (－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( ) A ．4 3 B ．2 3 C ．4 2 D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，3) D ．(－1，2，－3)3．若点P (x ，2，1)到M (1，1，2)，N (2，1，1)的距离相等，则x ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 4．以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 5．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为( ) A ．(0，2，0) B ．(0，2，3) C ．(1，0，3) D ．(1，2，0)6．已知点B 与点A (1，2，3)关于点M (0，－1，2)对称，则点B 的坐标是( ) A ．(－1，4，1) B ．(－1，4，－1) C ．(－1，－4，1) D ．(1，4，－1)7．在空间直角坐标系中，若以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则实数x 的值是( )A ．－2B ．2C ．6D ．2或6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知点B 是A (2，－3，5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于 ______________．9．已知A (1，2，1)，B (2，2，2)．若点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．10．点B 是点A (3，－1，－4)关于y 轴的对称点，则线段AB 的长为____________．11．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P 的坐标为P (x ，y ，z )，则x ，y ，z 满足关系式__________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)在yOz平面上求与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点P的坐标．13．(13分)如图L431所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度．图L431得分14．(5分)图L432是一个正方体截下的一角P-ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图L432所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是____________．图L43215．(15分)在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)．试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标；若不存在，请说明理由．4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式1．A [解析] 由公式得|AB |＝()－3－12＋()－3－12＋()－3－12＝ 4 3.2．B [解析] 点关于x 轴对称，横坐标不变，其他符号相反． 3．B [解析] 由空间两点间距离公式可得（x －1）2＋（2－1）2＋（1－2）2＝（x －2）2＋（2－1）2＋（1－1）2，解得x ＝1.4．C [解析] 画出图形(图略)即知CC 1的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 5．D [解析] 由于垂足在平面xOy 上，故横、纵坐标不变，竖坐标为0.6．C [解析] 设B (x ，y ，z )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x2＝0，2＋y2＝－1，3＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－4，z ＝1，即B (－1，－4，1)．7．D [解析] 依题意有|AB |＝|AC |，即（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2＝（x －4）2＋（4－1）2＋（3－9）2， 即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6.8．10 [解析] B 点坐标的(2，－3，－5)，∴|AB |＝（2－2）2＋（－3＋3）2＋（5＋5）2＝10.9．(0，0，3) [解析] 设点P (0，0，z )．由已知得12＋22＋（1－z ）2＝22＋22＋（2－z ）2，解得z ＝3，故点P 的坐标为(0，0，3)．10．10 [解析] 易知点B 的坐标为(－3，－1，4)．根据空间两点间距离公式，可得|AB |＝10. 11．x 2＋y 2＋z 2＝25 [解析] 由空间两点间距离公式可得x 2＋y 2＋z 2＝25.12．解：设P (0，y ，z )．由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PA |＝|PC |，|PB |＝|PC |，所以⎩⎨⎧（0－3）2＋（y －1）2＋（z －2）2＝（0－0）2＋（y －5）2＋（z －1）2，（0－4）2＋（y ＋2）2＋（z ＋2）2＝（0－0）2＋（y －5）2＋（z －1）2，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2，所以点P 的坐标为(0，1，－2)． 13．解：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)． 由中点坐标公式，可得D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)， 所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5， |EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.14.⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3 [解析] 由题知A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，C (0，0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.15．解：(1)假设在在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y，0)．由|MA|＝|MB|，得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝（3－0）2＋（0－y）2＋（1－02）＝10＋y2，|AB|＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10，故y轴上存在点M使△MAB等边，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。
高考数学(人教a版,理科)题库：坐标系(含答案)
选修4-4 坐标系与参数方程第1讲 坐标系一、填空题1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________．解析 设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0)2．过点(2，π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________．解析 设直线上点坐标P (ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2. 答案 ρsin θ＝ 23．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3.答案 2 34．在极坐标系中，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为|2＋23×3－4|12＋(3)2＝2.答案 25．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)，由图可知⎩⎨⎧φ＝θr ＝12ρ.把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ， 得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤φ≤π2，这就是所求的轨迹方程．由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a2的圆． 答案 以(a 2，0)为圆心，以a2为半径的圆6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4得⎩⎨⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.答案 27．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2过点P 作圆C 的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析 圆C 的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x ＋1)2＋y 2＝1，点P 的直角坐标为(0,2)，圆C 的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2，则圆心到切线的距离为|－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34，即tan α＝34.易知满足题意的另一条切线的方程为x ＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为43. 答案 438．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析 注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×(－2)＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答题9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解 (1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.10．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t(－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y (－3≤y ≤3) 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1， 从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由． 解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，①所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项， 所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，②所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1， 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n . (2)证明 c n ＝6n －3b n＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n＝2－13n －1－2n －13n＝2－2(n ＋1)3n ，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1，由S n ＝12(a 2n ＋n )，①则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，②①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)， 又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .(2)c n＝⎩⎨⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n ) ＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n2)1－4＋n 2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1).当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1) ＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2).所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3an 3＝a n ＋23，∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13)＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，即9n2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，又9n2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列， 当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列． 又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， 则第9年年初需更新生产线．。
2017-2018学年高中数学 考点46 坐标系与参数方程(含2016年高考试题)新人教A版
考点46 坐标系与参数方程一、填空题1.(2016·天津高考理科·T14)设抛物线2x 2pt ,y 2pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B.设C 7p,02⎛⎫⎪⎝⎭,AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE 的面积为3则p 的值为 .【解题指南】首先写出抛物线的标准方程,得到焦点坐标与准线方程,由抛物线的定义得出AB=AF,得出A 点的坐标,利用△AEB ∽△FEC 得出AE 与AF 的关系,从而表示出△AEC 与△AFC 的面积关系,进而求出p 的值.【解析】x,y 满足函数y 2=2px,所以F p ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,CF=3p,AB=AF=32p,可得:A ().S △ACE =13S △ACF =13×3p ×12 =(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T23)选修4—4:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x acost,y 1asint ⎧=⎨=+⎩ (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程.(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.【解析】(1)x acost,y 1asint ⎧=⎨=+⎩ (t 为参数),所以x 2+(y-1)2=a 2. ①所以C 1为以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.方程为x 2+y 2-2y+1-a 2=0.因为x 2+y 2=ρ2,y=ρsin θ,所以ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,即为C 1的极坐标方程.(2)C 2:ρ=4cos θ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcos θ,∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,∴x 2+y 2=4x.即(x-2)2+y 2=4. ②C 3:化为普通方程为y=2x,由题意:C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3.①-②得:4x-2y+1-a 2=0,即为C 3,所以1-a 2=0,所以a=1.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T23)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程.(2)直线l 的参数方程是x tcos α,y tsin α⎧=⎨=⎩ (t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=求l的斜率.【解题指南】(1)给出的圆的方程为普通方程,要求其极坐标方程,直接套用公式转化即可.(2)由直线l 的参数方程可知,直线过原点,可写出其普通方程,利用几何法建立, kx-y=0,即2236k 90=41k +,整理得k 2=53,则k=. 4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T23)与(2016·全国卷3·理科·T23)相同选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程.(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.【解析】(1)由x αy sin α⎧⎪=⎨⎪=⎩得2x 3+y 2=1. 因为ρsin πθ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=ρsin θ+ρcos θ=2, 所以x+y=4.所以C 1的普通方程为2x 3+y 2=1,C 2的直角坐标方程为x+y=4. (2)由题意,可设点P的直角坐标为)α,sin α,因为C 2是直线,所以PQ 的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值,d(α)=πsin α23⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 当且仅当α=2k π+π6 (k ∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5.(2016·江苏高考T21)C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为1x 1t,2y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数),椭圆C的参数方程为x cos θy 2sin θ⎧=⎨=⎩ (θ为参数),设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求线段AB的长.【解题指南】将参数方程化为普通方程,联立求出点A,B 的坐标.【解析】直线l方程化为普通方程为=0,椭圆C 方程化为普通方程为x 2+2y 4=1,联立得22y 0,y x 14--=⎨+=⎪⎩⇒x 1,y 0⎧=⎨=⎩或1x ,7y ,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因此167 =.。
【人教A版】必修2《4.3.1空间直角坐标系》课后导练含解析
课后导练基础达标1点A （2，0，3）在空间直角坐标系中的位置（ ）A.在y 轴上B.在xOy 平面上C.在xOz 平面上D.在第一象限内解析：由于点A 的纵坐标为y=0,横坐标与竖坐标分别为2,3,所以点A 应在xOz 平面上. 答案：C2点M(3，-3，1)关于xOy 平面的对称点是…( )A.(-3，3，-1)B.(-3，-3，-1)C.(3，-3，-1)D.(-3，3，1)解析：一点关于xOy 平面的对称点，它们的横，纵坐标不变，而竖坐标互为相反数，∴对称点为（3，-3，-1）.答案：C3点M(3，-3，1)关于xOz 平面的对称点是…( )A.(-3，3，-1)B.(-3，-3，-1)C.(3，-3，-1)D.(3，3，1)解析：M 点关于xOz 平面的对称点与M 的横，竖坐标相同，纵坐标互为相反数. 答案：D4点M(3，-3，1)关于yOz 平面的对称点是…( )A.(-3，3，-1)B.(-3，-3，1)C.(3，-3，-1)D.(-3，3，1)解析：M 关于yOz 平面的对称点与M 的纵，竖坐标相同，而横坐标互为相反数. 答案：B5点M(3，-3，1)关于x 轴的对称点是( )A.(3，3，-1)B.(-3，-3，-1)C.(3，-3，-1)D.(-3，3，1)解析：M 关于x 轴的对称点与M 的横坐标相同，纵，竖坐标都互为相反数.答案：A6点M(3，-3，1)关于y 轴的对称点是( )A.(-3，3，-1)B.(-3，-3，-1)C.(3，-3，-1)D.(-3，3，1)解析：M 关于y 轴的对称点与M 的纵坐标相同，而横、竖坐标都互为相反数. 答案：B7点M(3，-3，1)关于z 轴的对称点是( )A.(-3，3，1)B.(-3，-3，-1)C.(3，-3，-1)D.(-3，3，1)解析：M 关于z 轴的对称点与M 的竖坐标相同，而横，纵坐标分别互为相反数. 答案：D8点A(-3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是( ) A.(27,1,-2) B.(21,2,3) C.(-12,3,5) D.(31,34,2)解析：设中点坐标为（x,y,z ）,由中点坐标公式得x=21243=+-，z=215+=3,y=231+=2. 答案：B综合运用 9在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)，过点P 作平面yOz 的垂线，垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A.(0,2,0)B.(0,2,3)C.(1,0,3)D.(1,2,0)解析：由于PQ ⊥平面yOz ，且Q 在yOz 内，所以点Q 的横坐标x 为0，而Q 与P 的纵，竖坐标分别相同.∴Q(0,2,3).答案：B10点A （a,b,c ）在x 轴上投影点的坐标为_____________解析：设投影点为A′(x,y,z)，因为A′在x 轴上，∴y=0,z=0,又AA′⊥x 轴，∴A′与A 的横坐标相同，即x=a.答案：（a,0,0）11设z 为任意实数，相应的所有点P(1，2，z)的集合是什么图形？解：由于z ∈R ，所以P （1，2，z ）对应的所有点的横，纵坐标分别相等，竖坐标任意，因此这些点都在一条与xOy 平面垂直的直线上.故点P （1，2，z ）的集合是过平面xOy 内一点（1，2，0）且与xOy 面垂直的一条直线. 拓展探究12已知一长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面，顶点A 的坐标为（-2，-3，-1）.求其他7个顶点的坐标. 解：如图，∵A 与C 1点关于原点对称，∴C 1（2，3，1），又∵A 与D 点关于平面yOz 对称，∴D （2，-3，-1），又D 与B 1关于原点对称，∴B 1（-2，3，1），又A 与A 1关于平面xOy 对称，∴A 1（-2，-3，1），又A 1与C 关于原点对称，∴C （2，3，-1）.又∵A 1与D 1关于yOz 对称，∴D 1（2，-3，1），又D 1与B 关于原点对称，∴B （-2，3，-1）.故其他7个顶点的坐标分别为B （-2,3,-1）、C(2,3,-1)、D(2,-3,-1)、A 1(-2,-3,1)、B 1(-2,3,1)、C 1(2,3,1)、D 1(2,-3,1).。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间直角坐标系
∴ ൞ 2 + ( − 2)2 + 2 = 8, 解得൞ = 2,
= 2 2,
2 + 2 + 2 = 12,
∴ (0,2,2 2).（不同的建系,坐标当然不同,这里主要介绍待定系数法求点坐标）
C级 学科素养创新练
11.如图,在长方体 − 1 1 1 1 中,,分别为1 1 ,1 1 的中点,若以{,,1 }
= (2,2,1), = (0,1,0).
B级 关键能力提升练
7.已知向量在基底{,,}下的坐标为(2,1, −1),则在基底{2,,−}下的坐标为
31
(
, ,−1)
(1,1,1)
________,在基底{
+ , − ,}下的坐标为________.
22
[解析]由题意知 = + − ,
2 (−2,1, −4).
（3）求点关于点(2, −1, −4)对称的点3 的坐标.
解设3 (, , ),则点为线段3 的中点,由中点坐标公式,可得 = 2 × 2 − (−2) = 6,
= 2 × (−1) − 1 = −3, = 2 × (−4) − 4 = −12,所以3 的坐标为(6, −3, −12).
∴ (−1, −1,0),(1, −1,0).又 = 2, = 2,
∴在Rt △ 中, = 2,∴ (0,0, 2).
（答案不唯一,也可选择其他的点建系）
6.已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为2,,分别为棱1 ,
的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
正六边形各顶点的坐标.
解正方体 − ′′′′的棱长为,且,,,,,分别是棱
′′,′′,′,,,′的中点,∴正六边形各顶点的坐
最新人教A版文科数学一轮复习坐标系专题精选课时习题(含解析)
课时作业(六十四) [第64讲 坐标系][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ地 圆心地 距离为________．2．已知极坐标平面内地 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P关于极点地 对称点地 极坐标与直角坐标分别为________．3． 在极坐标系中，已知两点A 、B 地 极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)地 面积为________．4． 若曲线地 极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线地 直角坐标方程为________．能力提升5． 已知圆地 极坐标方程为ρ＝4sin θ，则该圆地 圆心到直线ρcos θ－ρsin θ＝4地 距离是________．6．以极坐标系中地 点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心，1为半径地 圆地 极坐标方程是________．7． 极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示地 曲线为________．8． 在极坐标系中，设圆ρ＝32上地 点到直线ρ(7cos θ－sin θ)＝2地 距离为d ，则d 地 最大值是________．9． 在极坐标系中，若直线ρsin θ＋π4＝a 被圆ρ＝2截得地 弦长为23，则实数a ＝________.10． 在以O 为极点地 极坐标系中，直线l 地 极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径地 圆地 极坐标方程是________．11． 直线l 地 极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则l 在直角坐标系下地 方程是________．12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1地 交点地 极坐标为________．13． 以平面直角坐标系地 原点为极点，x 轴地 正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同地 长度单位．若直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.14．(10分)极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上地 动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上地 动点，求|AB |地 最小值．15．(13分)如图K64－1，点A 在直线x ＝4上移动，△POA 为等腰直角三角形，其直角顶角为∠OPA (O ，P ，A 依次按顺时针方向排列)，求点P 地 轨迹方程，并判断轨迹形状．图K64－1难点突破16．(12分)在极坐标系中，已知△ABC三个顶点地极坐标为A(2，10°)，B(－4，220°)，C(3，100°)．(1)求△ABC地面积；(2)求△ABC地边AB上地高．课时作业(六十四)【基础热身】 1.3 [解析] 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3地 直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3. 圆ρ＝2cos θ 地 直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)到点(1，3)地 距离为 3.2.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3) [解析] 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点地 对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3＋π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2sin π3＝－ 3. 3．3 [解析] 由已知得∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以S △AOB ＝12×|OA |×|OB |sin π6＝3. 4．x 2＋y 2－4x －2y ＝0 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 【能力提升】5．3 2 [解析] 直线ρcos θ－ρsin θ＝4化为直角坐标方程为x －y －4＝0，圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0，2)，由点到直线地 距离公式，得圆心(0，2)到直线x －y －4＝0地 距离为3 2.6．ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 [解析] 以极坐标系中地 点⎝⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心，1为半径地 圆地 直角坐标系中地 方程是：⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，转化为极坐标方程是：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 7．一条直线和一个圆 [解析] ∵ρcos θ＝4sin θcos θ，∴cos θ＝0或ρ＝4sin θ，则θ＝k π＋π2，k ∈Z 或x 2＋y 2＝4y ，所以极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示地 曲线为：一条直线和一个圆．8．2 [解析] 将ρ(7cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程，得7x －y －2＝0，圆心(0，0)到该直线地 距离是d 1＝27＋1＝12，结合图形知d 地 最大值是d 1＋32＝2. 9．±1 [解析] 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝a ⇒ρsin θ＋ρcos θ＝2a ，化为直角坐标方程为x ＋y ＝2a ，圆ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，由圆地 弦长公式222－d 2＝23，得d ＝1，即|2a |2＝1，故a ＝±1.10．ρ＝2cos θ [解析] 直线l 地 直角坐标方程为x ＝2，所以|OM |＝2，圆半径为r ＝1，圆心(1，0)，所以圆地 直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，化为极坐标方程得ρ＝2cos θ.11．x ＋y －2＝0 [解析] 将ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2展开得ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，化简得x ＋y －2＝0.12.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4 [解析] 由极坐标方程与普通方程地 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知，这两条曲线地 普通方程分别为x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1.联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1，再由互化公式将点(－1，1)化成极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.13．－3 [解析] 直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为普通方程为x ＋y ＝1，所以有3＋k ＝0⇒k ＝－3.14．[解答] 将互化公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线地 极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1，0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线地 距离d ＝|－1－7|2＝4 2. 所以|AB |地 最小值为42－2.15．[解答] 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝4地 极坐标方程为ρcos θ＝4，设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝4上，所以ρ0cos θ0＝4.①因为△POA 为等腰直角三角形，且∠OPA ＝π2， 而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝π4， 所以ρ0＝2ρ，且θ0＝θ－π4.② 把②代入①得点P 地 轨迹地 极坐标方程为2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4，即ρ(cos θ＋sin θ)＝4. 所以点P 地 轨迹地 普通方程为x ＋y ＝4，是过点(4，0)且倾斜角为3π4地 直线． 【难点突破】16．[解答] (1)因为B(－4，220°)即为B(4，40°)，所以∠AOB＝40°－10°＝30°，∠AOC＝100°－10°＝90°，∠BOC＝100°－40°＝60°，所以S△OAB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12×2×4sin30°＝2，S△OBC＝12|OC|·|OB|sin∠BOC＝12×3×4sin60°＝33，S△OAC＝12|OA|·|OC|sin∠AOC＝12×2×3sin90°＝3.所以S△ABC＝S△OAB＋S△OBC－S△OAC＝2＋33－3＝33－1.(2)设△ABC地边AB上地高为h，因为|AB|＝22＋42－2×2×4cos30°＝25－23，S△ABC＝12|AB|h，所以h＝2(33－1)25－23＝8＋23，即△ABC地边AB上地高为8＋2 3.。
空间直角坐标系(人教A版)(含答案)
空间直角坐标系（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则点Q的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：点P和点Q的横坐标和纵坐标相同，只有竖坐标不同．又在xOy平面上的点的竖坐标为0，所以点Q的坐标为．试题难度：三颗星知识点：空间中的点的坐标2.在空间直角坐标系中，点A（1，-1，1）与点B（-1，-1，-1）关于( )对称．A.x轴B.y轴C.z轴D.原点答案：B解题思路：∵A（1，-1，1），B（-1，-1，-1）两点的纵坐标相等，横坐标与竖坐标互为相反数，∴A，B两点关于y轴对称．试题难度：三颗星知识点：空间中的点的坐标3.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中的点的坐标4.设点P（a，b，c）关于原点的对称点为，则等于( )A. B.C. D.答案：A解题思路：点P（a，b，c）关于原点的对称点为．所以．试题难度：三颗星知识点：空间两点间的距离公式5.设点P在x轴上，它到的距离为到点的距离的2倍，则点P的坐标为( )A.（0，1，0）或（0，0，1）B.（0，-1，0）或（0，0，1）C.（1，0，0）或（0，-1，0）D.（1，0，0）或（-1，0，0）答案：D解题思路：设点P（a，0，0），∵，∴，∴a=1或a=-1，∴点P的坐标为（1，0，0）或（-1，0，0）．试题难度：三颗星知识点：空间两点间的距离公式6.若A（x，5-x，2x-1），B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时，x的值等于( )A.19B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间两点间的距离公式7.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体，的中点E与AB的中点F的距离为( )A. B.C.aD.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间两点间的距离公式8.如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，|AB|＝4，O是AB的中点，平面PAB⊥平面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O且平行于AD的直线为y轴、以直线OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，E为线段PD的中点，则点E的坐标是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∵△PAB是正三角形，|AB|＝4，O是AB的中点，∴，∴点P的坐标为．结合图象易得，点D的坐标为D(-2，4，0)．∵点E为PD的中点，∴点E的坐标为．试题难度：三颗星知识点：空间中的点的坐标9.点P（x，y，z）满足，则点P在( )A.以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B.以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C.以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D.无法确定答案：C解题思路：可化为．表达式的几何意义是到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合，即以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面．试题难度：三颗星知识点：空间两点间的距离公式10.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间两点间的距离公式。
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第十三篇坐标系与参数方程(选修44)
第1节坐标系
【选题明细表】
1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,
即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0.
直线l:ρsin=,
即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l的直角坐标方程为y-x=1,
即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的极坐标为.
2.在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cos θ,过点A(5,α)（α为锐角且tan α=）作平行于θ=(ρ∈R)的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.
(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的直角坐标方程. (2)求|BC|的长.
解:(1)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),由曲线L的极坐标方程ρsin2θ=2cos θ,
得ρ2sin2θ=2ρcos θ,
所以L的直角坐标方程为y2=2x.
由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),
故直线l的直角坐标方程为y-3=x-4,即y=x-1.
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),
由消去y,得x2-4x+1=0,
由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=4,x1x2=1,
由弦长公式得|BC|==2.
3.在极坐标系中,圆C是以点C(2,-)为圆心,2为半径的圆.
(1)求圆C的极坐标方程.
(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.
解:法一(1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),如图,
在Rt△OAM中,∠OMA=,
∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.
因为cos ∠AOM=,
所以|OM|=|OA|·cos ∠AOM,
即ρ=4cos(2π-θ-)=4cos(θ+),
验证可知,极点O与A(4,-)的极坐标也满足方程,
故ρ=4cos (θ+)为所求.
(2)设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于点P,
在Rt△OAP中,∠OPA=90°,
易得∠AOP=,
所以|OP|=|OA|cos ∠AOP=2.
法二(1)圆C是将圆ρ=4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos(θ+).
(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos(θ+),得ρ=2,所以圆C 被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长为2.
4.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程
为ρ=2cos(θ-).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程.
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
解:(1)依题意得ρ=2cos(θ-)=2(cos θ+sin θ),
即ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),
可得x2+y2-2x-2y=0,
故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,
即ρ(cos θ+sin θ)=-1,
化为直角坐标方程为x+y+2=0,
由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心,为半径的圆,且圆心到直线C1的
距离d==>r=,
于是直线与圆相离,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.。