教案7.不等式的基本性质及一元二次不等式(教师版)
一元二次不等式教案5篇
一元二次不等式教案一元二次不等式教案5篇作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么教案应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一元二次不等式教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一元二次不等式教案1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
教学设计 人教版 数学 八年级 下册 《一元二次不等式解法》
教学设计人教版数学八年级下册《一元二次不等式解法》一. 教材分析人教版数学八年级下册《一元二次不等式解法》是本册教材的重要内容，它是在学生学习了多项式、有理数、函数等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是一元二次不等式的概念、性质、解法以及应用。
通过本节课的学习，使学生掌握一元二次不等式的解法，提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一定的数学基础，如代数知识、有理数、函数等。
但部分学生对这些知识的掌握程度不够扎实，对一些概念、性质的理解还不够深入。
此外，学生对于解不等式的方法还不太熟悉，需要在本节课中进行进一步的巩固和提高。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次不等式的概念、性质、解法以及应用；2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力；3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次不等式的概念、性质、解法以及应用；2.难点：一元二次不等式的解法以及如何在实际问题中应用。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、启发引导的教学方法。
在教学过程中，充分发挥学生的主体作用，引导学生积极思考、探索，培养他们的创新精神和实践能力。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT、教案、练习题等；2.准备黑板、粉笔等教学工具；3.提前让学生预习相关内容，了解一元二次不等式的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾之前学过的一元二次方程、不等式的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一元二次不等式的定义、性质，让学生初步了解一元二次不等式的基本概念。
3.操练（10分钟）教师给出一些简单的一元二次不等式，让学生在课堂上进行解答，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些典型的一元二次不等式题目，引导学生运用所学知识进行解答，提高他们的解题能力。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质：a. 不等式两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变。
b. 不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
c. 不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及运用。
2. 教学难点：不等式性质的灵活运用，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 利用例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
3. 小组讨论，培养学生的合作意识。
五、教学准备：1. 课件、黑板、粉笔2. 例题及练习题3. 学生分组合作的材料教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入不等式的概念，让学生回顾已学的相关知识。
2. 提问：不等式有什么特点？如何表示不等式？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解不等式的基本性质，引导学生发现规律。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式性质解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
四、小组讨论（10分钟）1. 教师给出讨论题目，让学生分组合作解决问题。
2. 各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结不等式的基本性质及运用。
2. 教师补充讲解，强调重点知识点。
六、课后作业（课后自主完成）1. 巩固不等式的基本性质，提高解题能力。
2. 结合生活实际，解决相关问题。
六、教学拓展（10分钟）1. 引导学生思考：不等式性质在实际生活中的应用。
2. 举例说明：如购物时比较价格、比赛成绩排名等。
七、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些巩固不等式性质的习题。
2. 教师点评答案，解答学生疑问。
八、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题，让学生分组讨论、回答。
中职 不等式教案
不等式一、不等式的基本性质1、不等关系对于两个任意的实数a 和b ，有： 0a b a b ->⇔>； 0a b a b -=⇔=； 0a b a b -<⇔<．例1：比较23与58的大小．例2：当0a b >>时，比较 2a b 与2ab 的大小．2、不等式的基本性质性质1：如果a b >，且b c >，那么a c >．（不等式的传递性） 性质2：如果a b >，那么a c b c +>+． 性质3：如果a b >，0c >，那么ac bc >； 如果a b >，0c <，那么ac bc <例1：36x >，则 x > ； 例2：设151x -<-，则 x > ．巩固练习：已知a b >，c d >，求证a c b d +>+．二、区间1、区间：一般地，由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.不含端点的区间叫做开区间.如集合{}|24x x <<表示的区间是开区间，用记号(2,4)表示.其中2叫做区间的左端点，4叫做区间的右端点.含有两个端点的区间叫做闭区间.如集合{}|24x x表示的区间是闭区间，用记号[2,4]表示.只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.具体如下表所示：例1：已知集合()1,4A =-，集合[0,5]B =，求：A B ，A B ．三、一元二次不等式1、一元二次不等式的解法回顾等式解法：概念：一般的，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax²+bx+c=0的解，函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图像在x轴上方（下方）的部分所对应的自变量x的取值范围，即为一元二次不等式ax²+bx+c＞0（＜0）（a＞0）的解集。
不等式的性质(教案)
第六章不等式在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样一些问题：1．小丽的家离学校a km，如果步行速度为b km / h ，为了保证上午八点钟以前到校，小丽最晚什么时候出发？2．为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大？在这两个问题中，前者是解不等式问题，后者是证明不等式问题，但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。
自然界中的等量关系是相对的，而不等量关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，在中学数学中是重要的内容。
本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。
§6.1不等式的性质【学习目标要求】1．运用数形结合的观点，认识实数顺序的规定，掌握判断两个实数大小的充要条件。
2．理解不等式的重要性质，掌握这些性质的证明方法。
3．会用不等式的性质解决一些简单问题。
【基础知识导学】1．不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠。
（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R。
2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。
判断两个实数大小的充要条件是a＞b ⇔ a - b＞0a= b ⇔ a - b = 0a＜b ⇔ a - b＜0由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。
不等式的性质是学好本章的基础，也是重点和难点，要掌握好需要注意以下几个问题： （1）充分重视不等式成立的条件，如a ＞ b,c ＞d ⇒ a+c ＞b+d 成立的条件是a 、b 、c 、d 可以是任何实数； a ＞b ＞0, c ＞d ＞0⇒ ac ＞bd 成立需要的是两个同向不等式；a ＞b ，ab ＞0 ⇒ba 11<成立只要a 、b 同号， 因此，在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致。
不等式不等式的性质及一元二次不等式课件理ppt
算术平均数不等式
算术平均数不等式
$a_1+a_2+...+a_n \geq \frac{n}{n}(a_1+a_2+...+a_n)=n\frac{(a _1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n)^{\frac{1}{n}}}{n}$
VS
应用场景
在生产、科研、日常生活中，凡涉及比较 、大小、排序、分组等问题时，常需要用 到不等式。
一元二次不等式在金融经济中的应用
一元二次不等式在金融经济学中也有着广泛的应用。例如，在研究公司财务理论时，公司需要根据其财务状况 和目标来制定财务策略，这时一元二次不等式可以用来描述公司财务的约束条件。
在其他领域中的应用
不等式在其他领域中的应用
不等式不仅仅在数学建模和金融经济学中有广泛的应 用，在其他领域中也同样有着广泛的应用。例如，在 物理学中，不等式可以用来描述物理量的约束条件； 在医学中，不等式可以用来描述疾病的控制和预防的 约束条件。
03
一元高次不等式
一元高次不等式的解法
准备知识
一元高次不等式的解法需要先了解一元高次方程的解法，因 为一元高次不等式和一元高次方程的解法类似。
解法步骤
将一元高次不等式化为标准形式，然后利用因式分解、数学 归纳法等数学方法，逐步分解出各个因式，并求出不等式的 解。
一元高次不等式的应用
实际应用
一元高次不等式可以应用于各种实际问题中，如最优化问题、分式不等式问 题、多元函数极值问题等。
绝对值不等式
绝对值不等式
$|a|-|b| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$
应用场景
绝对值不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如在求解最值问题 时可以用来进行放缩和缩放。
中职数学教案：不等式的基本性质
备课组别
数学Biblioteka 上课日期主备教师
授课教师
课题：
2.1.2不等式的基本性质
教学
目标
知识目标:不等式的基本性质.
能力目标：能用不等式基本性质比较大小.
素质目标：举例说明不等式的基本性质，逐步提高数学抽象核心素养.
能用不等式基本性质推断、证明数的大小关系，提高逻辑推理核心素养.
重点
不等式基本性质的简单应用
难点
不等式基本性质的简单应用
教法
讲授法、讨论法、练习法
教学设备
多媒体
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
一、创设情境：
上一节我么学习的比较两个实数大小的作差比较法为研究不等式奠定了基础．那么，如何用这个方法研究不等式的性质呢？
在义务教育阶段，我们学习过一些不等式
点 的位置．
显然，两种情况中，点 的左右位置
与点 的情况相同．
教
学
内
容
性质3表明不等式具有传递性．
同样，我们也可以借助数轴来看不等式的传递性．如图所示，对于实数 和 ，它们在数轴上分别对应点 ，由 ，所以
点 在点 的右边，又因为 ，即点 在点
右边，所以三个点从左到右依次为 ，即．
利用已有的性质可以证明如下结论：
性质4也称为同向不等式的可加性．
教
学
内
容
例4已知 ， ，求证 ．
证明因为 ，由不等式的性质3知， ，
同理由于 ，故 ．
因此，由不等式的性质1知 ．
三、总结交流
不等式的四条基本性质：
高一数学05—不等式基本性质—教师版
不等式基本性质知识梳理一、不等式的性质： （1）;a b b a <⇔> （2） （3）;c b c a b a +>+⇒> （4）;,d b c a d c b a +>+⇒>>（5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （6）;0,0bd ac d c b a >⇒>>>> （7）;0nn b a b a >⇒>>、 （8）;0n nb a b a >⇒>>（9）;11,0,ba b a ab b a <⇒>≠且同号、 （10）.b a b a b a +≤±≤-注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。
其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.;,c a c b b a >⇒>>例题解析一、不等式基本性质【例1】设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______ 【难度】★【答案】0,0a b >< 【解析】110b a a b ab->⇒>，根据，可知要使两者同时成立，则0,0a b ><．【例2】下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 【难度】★★【答案】C【解析】此题是2016年模考题，较主流的一种出法，利用不等式基本性质即得，较常规【例3】设0ab >，下面四个不等式中，正确的是________ ①||||a b a +>②||||a b b +<③||||a b a b +<-④||||||a b a b +>-A 、①和②B 、①和③C 、①和④D 、②和④【难度】★★【答案】C 【解析】0ab >，所以,a b 同号，再根据不等式性质即可求得【例4】已知101a b c <-<<<<，则下列不等式成立的是_________A 、22b c a <<B 、1ab c ab +<C 、111b a c<< D 、2b ab bc ac >-+ 【难度】★★【答案】C【解析】本题,,a b c 的范围均限制的非常具有区分度，此类问题可以采用赋值法的方式进行排除判断，本题是此类方法较为典型的例题，赋值法也是考试中较为快捷的排除手段，准确率高 【例5】已知三个不等式： （1）;0>ab (2);bda c > (3).ad bc > 以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题. 【难度】★★a b b a >ba 11>b a >【答案】3【解析】解法一：显然0()(),011ab c d ab ab bc ad c da b a bab c dbc ad bc ad ab ab a b >⎧⎪⇒⋅>⋅⇒>⎨>⎪⎩>⎧⇒⋅>⋅⇒>⎨>⎩ 第三个命题是".0,,">>>ab ad bc bda c 则且若下面证明这个命题也正确.首先,由b d a c >知,0,.0<≠ab ab 若则由b d a c >可得，即ad bc ab bdab a c <⋅<⋅),()(这与bc>ad 矛盾.因此只能ab>0.综上所述,可以组成3个正确命题.解法二：由式（2）00,c d c d bc ada b a b ab->⇔->⇔>式（1）就是分母大于0，式（3）等价于分子大于0。
中职数学(高教版)授课教案：不等式的基本性质
【课题】2.1不等式的基本性质【教学目标】知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．【教学重点】⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．【教学难点】比较两个实数大小的方法．【教学设计】（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】【课题】2．2区间【教学目标】知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】区间的概念．【教学难点】区间端点的取舍．【教学设计】⑴实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵数形结合，提升认识；⑶通过知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷通过列表总结知识，提升认知水平.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】讲解}4xx<|24}过 程行为 行为 意图 间表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350)． 强调 细节领会各区 间的 规范 书写10*巩固知识 典型例题例1 已知集合()1,4A =-，集合[0,5]B =，求：AB ，A B ．解 两个集合的数轴表示如下图所示,(1,5]A B =-， [0,4)A B =．质疑 分析 讲解 思考 理解 复习 相关 集合 运算 知识 15*运用知识 强化练习 教材练习2.2.11.已知集合(2,6)A =，集合()1,7B =-，求A B ，A B ．2.已知集合[3,4]A =-，集合[1,6]B =，求A B ，A B ．3. 已知集合(1,2]A =-，集合[0,3)B =，求A B ，A B ．巡视辅导思考 解题 交流 反馈 学习 效果20 *动脑思考 明确新知 问题集合{|2}x x >可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？ 解决集合{|2}x x >表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号(2,)+∞表示．其中符号“+∞”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．类似地，集合{|2}x x <表示的区间为开区间，用符号(,2)-∞表示（“-∞”读作“负无穷大”）． 集合{|2}x x表示的区间为右半开区间，用记号[2,)+∞表 质疑 讲解 说明 强调 细节思考 领会 记忆 理解学习 各种 区间过 程行为 行为 意图 间示；集合{|2}x x表示的区间为左半开区间，用记号(,2]-∞表示；实数集R 可以表示为开区间，用记号(,)-∞+∞表示． 注意“-∞”与“+∞”都是符号，而不是一个确切的数．明确25*巩固知识 典型例题例 2 已知集合(,2)A =-∞，集合(,4]B =-∞，求AB ，A B ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 （1）(,4]AB B =-∞=；（2）(,2)A B A =-∞=．例3 设全集为R ，集合(0,3]A =，集合(2,)B =+∞， （1）求A ，B ；（2）求AB ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 (1) (,0](3,)A =-∞+∞,(,2]B =-∞； (2) (0,2]AB =．质疑 说明 讲解 启发 强调观察 思考 领会 主动 求解通过 例题 巩固 区间 的概 念 注意 规范 书写30 *理论升华 整体建构下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a 、b 为任意实数，且a b <）． 区间(,)a b[,]a b (,]a b 集合 {|}x a x b << {|}x a x b ≤≤ {|}x a x b <≤ 区间[,)a b(,)b -∞ (,]b -∞ 集合 {|}x a x b <≤ {|}x x b < {|}x x b ≤ 区间(,)a +∞[,)a +∞ (,)-∞+∞集合 {|}x x a >{|}x x a ≥R引导分析思考 互动 总结小组 讨论 教师 归纳35B，A B.(0,3)，求A，B，B A．巡视指导*归纳小结强化思想（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？引导提问【课题】2.3 一元二次不等式【教学目标】知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．【教学重点】⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；⑷ 讨论、交流、总结，培养团队精神，提升认知水平．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题 2.3 一元二次不等式 *回顾思考 复习导入 问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？ 解决观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集{|3}x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集{|3}x x <． 归纳一般地，如果方程0ax b +=(0)a >的解是0x ，那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且（1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；介绍 提出 问题 引领 分析 讲解了解 思考 观察 领悟 理解复习 相关 知识 内容 强化 知识 点的 内在 联系 突出 数形 结合()0或()0(a≠感受新知二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存过 程行为 行为 意图 间内的值，使得260y x x =--<．30 *动脑思考 探索新知 解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a >的图像可以解不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<．（1）当240b ac ∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是12(,)(,)x x -∞+∞；（1） （2） （3）（2）当240b ac ∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数解0x ，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x （如图（2）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是00(,)(,)x x -∞+∞．（3）当240b ac ∆=-<时，方程20ax bx c ++=没有实数解，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是R ． 归纳 总结讲解分析强调 讲解思考 观察 理解 领会 记忆引导 学生 经历 由特 殊到 一般 的提 炼过 程 强化 图像 作用 熟练 数形 结合 应用40*理论升华 整体建构2(,)x +∞0(,)x +∞0([)2,x +∞R 0< 12,)x∅]12,x }0x224b ac x =-． 典型例题解下列各一元二次不等式：26x x --0．首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．26x --=0的解(3,)+∞．）29x <可化为290-=的解集为）253x x -两边同乘1-，得30．由于判别式0的解集为0的解集为是什么实数时，有意义． 题意需要20-．解0=得1x =．由于二次项系数为30>以不等式的解集为[)1,⎛-∞+∞．[)1,+∞时，32有意义． 解下列各一元二次不等式：0．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 【课题】2.4含绝对值的不等式【教学目标】知识目标：（1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标：（1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力； （2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．【教学重点】（1）不等式x a <或x a >的解法 ．（2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．【教学难点】利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学设计】（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间不等式2x <和2x >的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程2x =的解是2x =或2x =-，不等式2x <的解集是(2,2)-（如图（1）所示）；不等式2x >的解集是(,2)(2,)-∞-+∞（如图（2）所示）．引导分析观察 领会习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析10 *动脑思考 明确新知一般地，不等式x a <（0a >）的解集是(),a a -；不等式x a >（0a >）的解集是()(),,a a -∞-+∞．试一试：写出不等式x a 与x a （0a >）的解集．总结 强化理解 记忆强调 特点15*巩固知识 典型例题 例１ 解下列各不等式： （1）310x ->； （2）26x．分析：将不等式化成x a <或x a >的形式后求解．解 （1）由不等式310x ->，得13x >，所以原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由不等式26x ，得3x ，所以原不等式的解集为[]3,3-．分析讲解强调 细节思考 主动 求解进一 步巩 固知 识点20*运用知识 强化练习 教材练习2.4.1 解下列各不等式：巡视解题反馈 学习（2）（1）8；（2）实际操作 探索新知如何通过x a <等式2x +3．3213x --， 224x -， 12x-，所以原不等式的解集为 []1,2-． 7>．257x +>，整理，得6- 或 1x >，()1,+∞．11；4212．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？。
一元二次不等式教案
一元二次不等式教案一元二次不等式教案【学科】数学【年级】高中【教时】2课时【教学目标】1. 了解一元二次不等式的定义和性质。
2. 掌握解一元二次不等式的方法。
3. 学会应用一元二次不等式解决实际问题。
【教学重点】1. 掌握解一元二次不等式的方法。
2. 学会应用一元二次不等式解决实际问题。
【教学难点】1. 学会应用一元二次不等式解决实际问题。
【教学准备】1. 教师准备课件和习题。
2. 学生准备笔记和习题。
【教学过程】【Step 1】引入新知识1. 引导学生回顾一元二次方程的概念和解法。
2. 提问：你们知道什么是一元二次不等式吗？3. 提示学生思考一元二次不等式和一元二次方程有何不同。
4. 板书一元二次不等式的定义。
【Step 2】讲解一元二次不等式的性质和解法1. 通过例题，讲解一元二次不等式的性质。
2. 教师讲解解一元二次不等式的方法。
3. 举例让学生跟着解一元二次不等式。
4. 提醒学生在解一元二次不等式时注意方程中变量的范围。
【Step 3】练习解一元二次不等式1. 学生自主解一元二次不等式的习题。
2. 学生互相批改对方的解答。
3. 教师给出解答，并进行讲解。
【Step 4】应用一元二次不等式解决实际问题1. 引导学生思考如何应用一元二次不等式解决实际问题。
2. 教师给出一个实际问题，要求学生用一元二次不等式解决。
3. 学生进行讨论和思考，然后给出答案。
4. 教师讲解解决问题的方法。
【Step 5】总结与展示1. 教师带领学生总结一元二次不等式的解法和应用。
2. 提醒学生在解一元二次不等式时要注意各项符号的取值范围。
3. 引导学生思考一元二次不等式的局限性和改进方法。
【作业】完成课堂练习和作业册习题。
【板书设计】一元二次不等式的定义解一元二次不等式的方法实际问题的解法【教学反思】通过本次教学，学生对一元二次不等式的概念和性质有了更深入的理解，掌握了解一元二次不等式的方法，并能够应用一元二次不等式解决实际问题。
《不等式的性质》教案
《不等式的性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义与表示方法介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。
学习使用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示不等式。
1.2 不等式的基本性质学习不等式的传递性质、反射性质和封闭性质。
掌握不等式的同向相加、反向相减、同向乘除等基本变换方法。
第二章：不等式的解法2.1 简单不等式的解法学习解一元一次不等式，例如：3x 7 > 2。
掌握不等式的解法步骤，包括移项、合并同类项、系数化等。
2.2 不等式的组解法学习解不等式组，例如：{3x 7 > 2, 2x + 5 ≤15}。
掌握解不等式组的步骤，包括画数轴、找出解集、合并解集等。
第三章：不等式的应用3.1 最大值与最小值的求解学习使用不等式求解函数的最大值和最小值问题。
掌握利用不等式转化为等式求解极值的方法。
3.2 不等式在实际问题中的应用学习将实际问题转化为不等式问题，并求解。
举例说明不等式在实际问题中的应用，如利润最大化、成本最小化等。
第四章：不等式的证明4.1 直接证明学习使用直接证明法证明不等式，例如：证明a+b ≥2√(ab)。
4.2 综合证明学习使用综合证明法证明不等式，例如：证明a²+ b²≥2ab。
4.3 反证法学习使用反证法证明不等式，例如：证明不等式a+b ≤2√(ab) 是错误的。
第五章：不等式的进一步性质5.1 不等式的恒等变形学习使用恒等变形法，如替换、移项、合并同类项等，保持不等式的恒等成立。
5.2 不等式的比例性质学习不等式的比例性质，例如：若a > b，且c > d，则ac > bd。
5.3 不等式的均值不等式学习使用均值不等式，如算术平均数不等式、几何平均数不等式等，求解不等式问题。
第六章：不等式的应用举例6.1 线性规划问题学习如何将线性规划问题转化为不等式问题。
高中高一数学上册《不等式》教案、教学设计
1.设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
-基础题：求解一元一次不等式；
-提高题：求解一元二次不等式；
-拓展题：求解不等式组及实际问题。
3.教师巡回指导：在学生做题过程中，教师进行巡回指导，解答学生疑问，及时发现问题并进行纠正。
（五）总结归纳
1.学生总结：让学生回顾本节课所学内容，用自己的话总结不等式的概念、性质、解法及实际应用。
（二）讲授新知
1.不等式的概念：介绍不等式的定义，强调不等式与等式的区别，让学生理解不等式的意义。
2.不等式的性质：详细讲解不等式的性质，如同向可加性、反向可减性等，并通过实例进行说明。
3.不等式的解法：以一元一次不等式为例，讲解求解不等式的基本步骤，引导学生掌握解题方法。
4.不等式在实际问题中的应用：结合购物优惠券问题，讲解如何将实际问题转化为不等式模型，并求解。
8.适时进行课堂小结，巩固所学知识，查漏补缺。
-通过提问、讨论等方式，帮助学生梳理知识体系，形成系统化认识。
9.注重课后辅导，针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和帮助。
-定期检查作业，了解学生学习情况，及时解答学生疑问，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以同学们熟悉的购物优惠券问题作为切入点，提出问题：“同学们在购物时，如何利用优惠券使得自己的购物更加划算？”通过这个实例，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题。
2.一元一次不等式、一元二次不等式及不等式组的解法。
3.不等式在实际问题中的应用。
4.不等式的证明方法及逻辑推理能力的培养。
（二）教学难点
1.学生对不等式性质的灵活运用。
优质课一元二次不等式教案
优质课一元二次不等式教案第一篇：优质课一元二次不等式教案一元二次不等式及其解法一、教学目标：1、知识目标：理解“三个二次”的关系，从而熟悉掌握看图象找一元二次不等式的解集。
2、能力目标：通过图像找解集，培养学生从“形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“ 从特殊到一般”的归纳概括能力。
3、情感目标：创设问题情境，激发学生的学习热情，强化学生参与意识及主体作用，培养学生的数学兴趣。
二、教学重点：一元二次不等式的图像解法。
三、教学难点：“三个二次”的关系，从图像上找一元二次不等式的解集。
四、教学过程：（一）创设情境，引入新课问题：在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6米的矩形。
假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地，那么矩形带长为多少时，树苗会不够栽？这个问题两天前在微信群里就让学生讨论思考，学生们已经建立好了数学模型，大大的激发了学生的学习兴趣。
解决：设绿化带长为x m，则依题意有x(x-6)>40整理为定义：一般地，含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等20≥0）式。
它的一般形式是ax2+bx+c>（或者ax+bx+c<0(≤0），其中a≠0。
（二）复习旧知，确立思想例：请同学们解下面的方程和不等式。
1.2x-6=02.2x-6>03.2x-6<0为完成本题，首先将学生们每五人分为一组。
让学生以小组为单位进行讨论，并派代表展示结果。
结果如下图（教师随后展示的标准图）：师生一起归纳出“三个一次”的关系：①2x-6=0的解恰是函数y=2x-6的图象与x轴交点的横坐标x=3②2x-6>0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合{x|x>3}③2x-6<0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合{x|x<3}“三个一次”的一般结论：若ax+b=0(a>0)的解为x0，则函数y=ax+b的图象与x轴交点为（x0，0）①ax+b>0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合{x|x>x0}②ax+b<0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合{x|x<x0}（三）依旧悟新，引出“三个二次”的关系师：我们一起来求解一元二次不等式x2-x-6>0,x2-x-6<0吧！先让学生自己动手画出二次函数y=x2-x-6的图像然后再用多媒体展示出标准图，如下：学生以小组为单位继续对图像上纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x的取值范围进行讨论并派小组代表说出讨论结果：①方程x2-x-6=0的解是x1=-2或x2=3；一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴的交点。
一元二次不等式的解法教学设计与不等式的基本性质教学
《一元二次不等式的解法》教学设计与《不等式的基本性质》教学设计《一元二次不等式的解法》教学设计1．创设情景——引入新课。
我们常说“兴趣是最好的老师”，长期以来，学生对学习数学缺乏兴趣，甚至失去信心，一个重要的原因，是老师在教学中不重视学生对学习的情感体验，教学应该充分考虑学生的情感和需要，想方设法让学生在学习中树立信心，感受学习的乐趣。
根据教材内容的安排，设计了四个层层递进的问题问题1：解不等式(x-3)(x+2)<0 -2问题2：解不等式x2 -x-6 <0问题3：y=x2 -x-6与x轴的交点坐标是多少？问题4：x2 -x-6=0的根是多少？第一个问题学生能看出用分类讨论的方法，讨论出x的范围，进而给出答案，将第一个问题中的括号去掉就得到了第二个问题，由第二个问题提出两个问题;1.这个不等式的解是什么？2.能否给这个不等式起个名字？学生能直接给出答案，直接让学生给第二个问题中的不等式起个名字，学生立马给出了答案：一元二次不等式，从而引出一元二次不等式的概念。
2．探究交流——发现规律。
从特殊到一般是我们发现问题、寻求规律、揭示问题本质最常用的方法之一。
这部分我先给出一个一元二次不等式x2 -x-6 <0，师生共同研究二次函数的图像，并探究这个一元二次不等式的解集。
之后就直接给出例题x2 -x-6 <0,并规范解题步骤，3．启发引导——形成结论。
给出3个例题：解下列关于一元二次不等式一元二次不等式的解法教学设计总结二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解的情况应该水到渠成。
至此，学生可以感受到，解一元二次不等式只须1.化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；2.计算判别式的值：3.求根：若判别式的值为正或零，则求出相应方程的两根；4.写解集：注意结果要写成集合或者区间的形式4．训练小结——巩固深化。
为了巩固和加深二次不等式的两种解法，接下来及时组织学生进行课本练习，本环节请不同层次的学生在黑板上书写解题过程，之后师生共同纠正问题，规范解题过程的书写。
一元二次不等式教案
欢迎来到我们的一元二次不等式教案！在本课程中，您将了解一元二次不等 式的概念，学习解决它们的步骤和技巧，并讨论它们的性质。让我们开始吧！
了解一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次不等式
了解一元二次不等式的定义和表示方法，掌握解决它们的基本知识。
解一元二次不等式的步骤
通过示例和练习，学习如何正确地解决一元二次不等式，包括变换形式、移 项和合并同类项。
解决一元二次不等式的技巧
掌握解决一元二次不等式的一些快速和有效的技巧，如确定开口方向、找到关键点和使用图像法。
讨论一元二次不等式的性质
深入了解一元二次不等式的性质，例如开口方向、最值点和图像特征，以便更好地理解和应用它 们。
根据题目分析不等式的解集
学习如何根据题目中给定的条件来分析一元二次不等式的解集，包括判断是 否有解或多个解，以及确定解的范围。
练习题的解答和讨论
通过解答和讨论一些挑战性的练习题，加深对一元二次不等式的理解和应用能力。
总结一元二次不等式的教法和 实践方法
总结本课程中学到的一元二次不等式的教学方法和实践经验，让学生能够系 统地掌握和应用这一重要的数学概念。
高中数学复习教案：不等式的性质与一元二次不等式
第6章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b ＜0⇔a ＜b (a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b (a ∈R ，b ＞0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b ＜1⇔a ＜b (a ∈R ，b ＞0).2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ,b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) (4)加法法则：a >b ,c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (5)可乘性：a >b ,c >0⇒ac >bc ；(单向性) a >b ,c <0⇒ac <bc ；(单向性)(6)乘法法则：a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ；(单向性) (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ≥2,n ∈N )；(单向性) (8)开方法则：a >b >0n a >nb n ≥2,n ∈N )；(单向性) 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[常用结论]1．有关分数的性质若a＞b＞0,m＞0,则(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．2．有关倒数的性质a＞b,ab＞0⇒1a＜1b.3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd.4．简单的分式不等式(1)f(x)g(x)≥0⇔⎩⎨⎧f(x)·g(x)≥0，g(x)≠0；(2)f(x)g(x)＞0⇔⎩⎨⎧f(x)g(x)＞0，g(x)≠0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2. ()(2)a>b>0,c>d>0⇒ad>bc. ()(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. ()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论,正确的是()①a>b,c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①②B．②③C．①④D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②,根据不等式的性质可知ac<bd,故②不正确；因为函数y＝x 13是单调递增的,所以③正确；对于④,由a>b>0可知a2>b2>0,所以1a2<1b2,所以④不正确．]3．(教材改编)设a,b,c∈R,且a＞b,则()A．ac＞bc B.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1,b＝－2,c＝－1,排除A,B,C,故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1,则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1},故选A.]5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________．(－∞,－4]∪[4,＋∞)[由题意知Δ＝a2－42≥0,解得a≥4或a≤－4.]不等式的性质及应用1．若a ＞b ＞0,c ＜d ＜0,则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b dB [由c ＜d ＜0得1d ＜1c ＜0,则－1d ＞－1c ＞0,∴－a d ＞－b c ,∴a d ＜bc ,故选B.] 2．(2016·北京高考)已知x ,y ∈R ,且x >y >0,则( ) A.1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,＋∞)上为减函数,∴当x >y >0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0,故C 正确；函数y ＝1x 在(0,＋∞)上为减函数,由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0,故A 错误；函数y ＝sin x 在(0,＋∞)上不单调,当x >y >0时,不能比较sin x 与sin y 的大小,故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ln(xy )>0⇒/ln x ＋ln y ＞0,故D 错误．]3．若a ＝20.6,b ＝log π3,c ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5,则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [因为a ＝20.6＞20＝1,又log π1＜log π3＜log ππ,所以0＜b ＜1,c ＝log 2sin 2π5＜log 21＝0,于是a ＞b ＞c .故选A.]4．已知角α,β满足－π2＜α－β＜π2,0＜α＋β＜π,则3α－β的范围是________． (－π,2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β),则 ⎩⎨⎧ m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1， 从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β), 又－π＜2(α－β)＜π,0＜α＋β＜π, ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.](1)利用不等式的范围判断正误时,常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案. (2)比较大小常用的方法①作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断, ②构造函数法：利用函数的单调性比较大小,③中间量法：利用中间量法比较两式大小,一般选取0或1作为中间量.(3)由a <f (x ,y )<b ,c <g (x ,y )<d 求F (x ,y )的取值范围,要利用待定系数法解决,即设F (x ,y )＝mf (x ,y )＋ng (x ,y ),用恒等变形求得m ,n ,再利用不等式的性质求得F (x ,y )的取值范围.一元二次不等式的解法►考法1 不含参数的一元二次不等式【例1】 (1)不等式2x 2－x －3＞0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1 (2)(－4,1) [(1)方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1,x 2＝32,则不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1. (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0,解得－4<x <1,所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]►考法2 含参数的一元二次不等式【例2】 (1)解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. [解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0, 当a ＞1时,原不等式的解集为(1,a )； 当a ＝1时,原不等式的解集为∅； 当a ＜1时,原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. [解] 若a ＝0,原不等式等价于－x ＋1＜0, 解得x ＞1.若a ＜0,原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0,解得x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0,原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时,1a ＝1,⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时,1a ＜1,解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0,得1a ＜x ＜1；③当0＜a ＜1时,1a ＞1,解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0,得1＜x ＜1a .综上所述,当a ＜0时,解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时,解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时,解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a； 当a ＝1时,解集为∅； 当a ＞1时,解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法,再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13,则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13,∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13,且a <0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0,解得x ≤2或x ≥3.] (2)解不等式x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0,即－2≤a ≤2时,原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0,即a ＞2或a ＜－2时,方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42,x 2＝－a －a 2－42,则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a ＋a 2－42. 综上所述,当－2≤a ≤2时,原不等式无解． 当a ＞2或a ＜－2时,原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a ＋a 2－42.一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ,f (x )＜0恒成立,求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3],f (x )＜5－m 恒成立,求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝0时,f (x )＝－1＜0恒成立． 当m ≠0时,则⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0. 综上,－4＜m ≤0,故m 的取值范围是(－4,0]． (2)不等式f (x )＜5－m ,即(x 2－x ＋1)m ＜6, ∵x 2－x ＋1＞0,∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立,只需求6x 2－x ＋1的最小值,记g (x )＝6x 2－x ＋1,x ∈[1,3],记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34,h (x )在x ∈[1,3]上为增函数,则g (x )在[1,3]上为减函数, ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67,∴m ＜67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. [规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是.(1)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0](2)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ,m ＋1]都成立,则实数m 的取值范围是________． (1) D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)当k ＝0时,显然成立；当k ≠0时,即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立． 则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上,满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得,函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ,m ＋1]上的最大值小于0,又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上,所以只需⎩⎨⎧f (m )＝m 2＋m 2－1＜0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 即⎩⎨⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.]一元二次不等式的应用【例4】 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10),每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意, 得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000,整理得5x －14－3x ≥0,即5x 2－14x －3≥0,又1≤x ≤10,可解得3≤x ≤10. 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元,则 y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112, 故当x ＝6时,y ma x ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元．[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤：(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系；(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型；(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义； (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s＝0.1x＋0.01x2,s乙＝0.05x甲＋0.005x2,问：甲、乙两车有无超速现象？[解]由题意知,对于甲车,有0.1x＋0.01x2＞12,即x2＋10x－1 200＞0,解得x＞30或x＜－40(不合实际意义,舍去),这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x＋0.005x2＞10,即x2＋10x－2 000＞0,解得x＞40或x＜－50(不合实际意义,舍去),这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速．。
一元二次不等式教案
《2.3一元二次不等式》教学设计学习目标学习重难点教材分析一元二次不等式解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，由于它是高中数学的重要基础，而且也有非常广泛的应用，所以本节内容教学在中学数学教学中有重要的地位。
学情分析学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，基本上掌握了一元二次方程和二次函数的基本知识，学生为中职一年级学生，普遍基础较差，对知识的理解处于模糊阶段，因此借助图像直观学习和理解数学，以使学生更好理解知识．知识能力与素养（1）了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；（2）掌握一元二次不等式的图像解法．（1）通过一元二次不等式的学习，培养计算技能和观察能力。
（2）通过现代信息技术应用的学习，培养计算工具使用技能。
重点难点（1）方程、不等式、函数的图像之间的联系；（2）一元二次不等式的解法．一元二次不等式的解法．教学工具教学课件课时安排2课时教学过程（一）创设情境，生成问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集(3,)+∞；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集(,3)-∞．由此看到，通过对函数y ax b =+的图像的研究，可以求出不等式0ax b +>与0ax b +<的解集．当a ＞0时，关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 之间有下表所示结论．Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的实数解的个数22y=ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的图象与x 轴交点个数21y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象图像在轴上方的部分所对应的函数值>0，即ax 2＋bx ＋c ＞0，图像在轴下方的部分所对应的函数值<0，即ax 2＋bx ＋c ＜0．像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax 2＋bx ＋c ＞0（a ≠0)．上面不等式中的”>”也可以换成”<”、“≥”或“≤”例如，2−9>0，32−2−1⩽0，−22+5+4<0等都是一元二次不等式．一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如ax 2＋bx ＋c ＜0或ax 2＋bx ＋c ＞0这样的一元二次不等式呢？【设计意图】复习相关知识内容,强化知识点的内在联系,突出数形结合明确定义（二）调动思维，探究新知分析一元二次不等式2230x x --<和二次函数223y x x =--、一元二次方程223=0x x --之间的关系.如图(1)所示，二次函数223y x x =--的图像与x 轴交于两点，方程223=0x x --的解是11x =-，也就是抛物线与23x =轴交点(-1,0)和(3,0)的横坐标．如图(2)所示，当-1<x <3时，函数的图像位于x 轴的下方，此时y <0.由此得到，不等式2230x x --<的解集为(-1,3)；如图(3)所示，当x <-1或x >3时，函数的图像位于x 轴的上方，此时y >0.不等式2230x x -->的解集为(-∞，-1)∪(3,+∞)．按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的求解方法：先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．假设12x x <【设计意图】引导学生经历由特殊到一般的提炼过程,强化图像作用熟练数形结合应用,综合归纳便于学生理解记忆,强化求解步骤使学生进一步明确方法（三）巩固知识，典例练习【典例1】求下列一元二次不等式的解集：(1)260x x --<(2)()30x x -≥(3)2243x x -+<0解（1）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程260x x --=的解为12=23x x -=,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式260x x --<的解集为[]2,3-．（2）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程(3)0x x -=的解为12=03x x =,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式()30x x -≥的解集为(][),03,-∞+∞ ．（3）因为不等式的二次项系数2＞0，对应方程2243x x -+=0无实数根（()2442380∆=--⨯⨯=-<），对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式2243x x -+<0的解集为∅．【典例2有意义，试求x 的取值范围．解有意义，x 应该满足不等式2321x x --≥0．因为不等式的二次项系数3＞0，对应方程2321x x --=0的解为12113x x =-=,，对应的二次函数的图像如图所示．所以不等式2321x x --≥0的解集为1(,][1,)3-∞-+∞ ,即当1(,][1,)3-∞-+∞ 有意义．探究与发现如何求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++=<？当二次项系数a ＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a ＜0的情形转化为a ＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．【典例3】求一元二次不等式2420x x -++<的解集．解因为不等式的二次项系数为-1<0，，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式2-420x x +>，其对应方程2-42=0x x +的解为12x x ==2-420x x +>0的解集为-∞∞ （）.即不等式2420x x -++<的解集为-∞∞ （，）.【设计意图】强化一元二次不等式的解题思路（四）巩固练习，提升素养【巩固1】解下列各一元二次不等式：（1）260x x -->；（2）29x <；（3）25320x x -->；（4）22430x x -+- ．分析首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．解（1）因为二次项系数为10>，且方程260x x --=的解集为{2,3}-，故不等式260x x -->的解集为(,2)(3,)-∞-+∞ ．（2）29x <可化为290x -<，因为二次项系数为10>，且方程290x -=的解集为{3,3}-，故29x <的解集为()3,3-．（3）25320x x -->中，二次项系数为30-<，将不等式两边同乘1-，得23520x x -+<．由于方程23520x x -+=的解集为2{,1}3．故不等式23520x x -+<的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭，即25320x x -->的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（4）因为二次项系数为20-<，将不等式两边同乘1-，得22430x x -+ ．由于判别式()2442380∆=--⨯⨯=-<，故方程22430x x -+=没有实数解．所以不等式22430x x -+ 的解集为R ，即22430x x -+- 的解集为R ．【巩固2】x 解根据题意需要解不等式2320x x -- ．解方程2320x x --=得122,13x x =-=．由于二次项系数为30>，所以不等式的解集为[)2,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．即当[)2,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 有意义．【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺（五）巩固练习，提升素养1.不等式(2)(3)0x x --≥的解集为()．2．不等式220x x ->解集为()．3．不等式2-2+10x x ≤解集为()．4．求下列一元二次不等式的解集：5.当x在什么范围取值时，有意义？6．若一元二次方程2++10x mx=无实数解，求m的取值范围．（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.自我反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？【设计意图】通过总结，让学生进一步理解区间的概念。
一元二次不等式教案
一元二次不等式教案
教案标题：一元二次不等式教案
教案目标：
1. 学生能够理解一元二次不等式的概念和性质。
2. 学生能够解决一元二次不等式，并用图形表示解集。
3. 学生能够应用一元二次不等式解决实际问题。
教案步骤：
引入活动：
1. 引导学生回顾一元二次方程的概念和解法，并与一元二次不等式进行对比。
2. 提问学生：一元二次不等式与一元二次方程有何相同之处和不同之处？
知识讲解：
1. 解释一元二次不等式的定义和性质，包括不等式的符号、系数、次数等概念。
2. 讲解如何解决一元二次不等式，包括移项、因式分解、求解零点等方法。
3. 引导学生理解解集的概念，并用图形表示解集。
练习活动：
1. 给学生提供一些简单的一元二次不等式，让他们尝试解决并表示解集。
2. 给学生提供一些实际问题，让他们将问题转化为一元二次不等式并解决。
拓展活动：
1. 引导学生思考一元二次不等式在现实生活中的应用，例如优化问题、面积问
题等。
2. 提供更复杂的一元二次不等式，让学生挑战更高难度的解法。
总结：
1. 总结一元二次不等式的概念和性质。
2. 强调解决一元二次不等式的方法和步骤。
3. 鼓励学生在实际问题中应用一元二次不等式。
教案评估：
1. 观察学生在课堂上的参与程度和解决问题的能力。
2. 给学生布置一些练习题，检查他们对一元二次不等式的掌握程度。
3. 针对学生的表现给予反馈和指导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点1 不等式的定义及比较大小1.不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠：（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）；（3）不等式研究的范围是实数集R．2.判断两个实数大小的充要条件：对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。
判断两个实数大小的充要条件是：0ba,0a⇔>>b--<b⇔b<aa⇔-==baba,0考点2 不等式的基本性质定理1 如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b(对称性)即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c(传递性)即a>b，b>c⇒a>c定理3 如果a>b，那么a+c>b+c(可加性)即a>b⇒a+c>b+c推论如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d(叠加性或相加法则)即a>b ，c>d ⇒a+c>b+d ． 定理4 如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc (可乘性)推论1 如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd (叠乘性或相乘法则) 推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且(可乘方性) 定理5若0,1)a b n N n >>>∈>且(可开方性)考点3 区间的概念及表示：设 a ，b 是实数，且 a ＜b ，满足 a ≤x ≤b 的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[a ，b]，如图，a ，b 叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”考点4 一元一次不等式和一元二次不等式的解法 1.一元一次不等式：考点5 含参数的一元二次不等式及其讨论(参考高中知识方法与实践P34--35) 第一类问题：解含参数的一元二次不等式(基本方法是分类讨论)； 第二类问题：一元二次不等式的恒成立问题(利用二次函数图像)； 第三类问题：一元二次不等式与集合(求根法与图像法)考点6 一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x .下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布充要条件及其运用。
一、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x 、2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，(两个正根)推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b上述推论结合二次函数图象不难得到。
【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，(两个负根)推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b由二次函数图象易知它的正确性。
【例2】若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
【定理3】210x x <<⇔0<ac(一正根一负根) 【例3】k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】①01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b ；②01<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。
【例4】若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？二、一元二次方程根的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ,2x ，且21x x ≤，k 为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ,2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。
【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af推论1 210x x <<⇔0<ac ； 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请学生自证。
【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b例1.已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. 【规范解答】 由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）=（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）=x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1=x 2 ∵x ≠0 ∴x 2＞0 ∴（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＞0 ∴（x 2＋1）2＞x 4＋x 2＋1【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x 有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.例2.比较a 4-b 4与4a 3(a-b)的大小. 【规范解答】 a 4-b 4 -4a 3(a-b)=(a-b)(a+b)(a 2+b 2)-4a 3(a-b) =(a-b)(a 3+a 2b+ab 2+b 3-4a 3) =(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)] =-(a-b)2(3a 3+2ab+b 2)=-(a-b)20323322≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d=b 时取等号)∴a 4-b 4≥4a 3(a-b)【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法例3.已知x>y ，且y ≠0，比较yx与1的大小. 【规范解答】yyx y x -=-1 ∵x>y ，∴x-y>0 当y<0时，y y x -<0，即y x<1 当y>0时，y y x ->0，即yx>1 【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论. 例4.已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dcb a =，求证：a ＋d ＞b ＋c. 【规范解答】∵dcb a = ∴ddc b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db＞1 ∴dbd c b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧.例5.已知函数2()f x ax c =-，-4≤(1)f ≤-1，-1≤f (2)≤5，求(3)f 的取值范围.【规范解答】∵⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴)1(35)2(389)3(f f c a f -=-= ∵-4≤f (1)≤1,故)35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1)又 -1≤f (2)≤5,故340)2(3838≤≤-f (2)把(1)和(2)的各边分别相加得： -1≤)1(35)2(38f f -≤20 所以，-1≤f (3)≤【总结与反思】利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围. 例6.解关于x 的不等式:0)1(2>---a a x x . 【规范解答】原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x 即R x x ∈≠,21若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1.【总结与反思】结合二次函数图象求解，注意分类讨论.1.甲、乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度相同，那么先到教室的应是 ．2.已知0a b +>，则22a b b a+与11a b +的大小关系是 ． 3.选择题：（1）如果0a <，0b >，那么下列不等式中正确的是（ ）A.11ab<22a b < D.a b >（2）若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ）A.11ab< B.22a b > C.2211a bc c >++ D.a c b c >（3）已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ） A.22a b < B.22a b ab < C.2211ab a b< D.b a a b < （4）已知不等式222xy ax y ≤+对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]1,2- B.(],1-∞ C.(]0,2 D.[)1,-+∞ （5）不等式组2506x y xy <+<⎧⎨<<⎩成立是不等式组0223x y <<⎧⎨<<⎩成立的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 4.已知二次函数()2f x ax bx =+（0a ≠）满足()112f ≤-≤，()314f ≤≤，求()2f -的取值范围 5.（1）设2034a <<，2460b <<，求a b +，a b -，ab的取值范围； （2）已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围．。