数值分析老师划重点(个人记录)
中国农业大学研究生数值分析考试重点及笔记
中国农业大学数值分析研究生课程重点后面有笔者的笔记！！第1章1、 5个概念（绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字）及其计算，数值运算的误差估计2、算法稳定性的概念及算法设计的5个原则第2章1、牢记拉格朗日插值公式、牛顿插值公式，掌握余项推导2、了解均差的性质3、会用基函数和承袭性两种方法构造埃尔米特插值问题，并会推导余项4、为何要分段低次插值？会构造分段线性和分段三次埃尔米特插值5、三次样条插值的2种构造思路第3章会利用最小二乘法解决具体问题第4章1、机械求积公式、代数精度的概念理解和计算2、插值型求积公式的定义和判断，插值型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？3、求积公式余项的推导4、什么叫牛顿-柯特斯求积公式？总结其优缺点5、牢记梯形公式、辛普森公式及其余项（会推导），牢记柯特斯公式6、复化求积公式的计算7、高斯型求积公式的定义、判断和使用，高斯型求积公式中求积系数有何特点？如何证明？8、总结学过的数值求积公式，说明其关系第5章1、会用高斯消去法、高斯列主元素法、直接三角分解法、（改进）平方根法、追赶法求解线性方程组2、会计算矩阵和向量的常用范数3、线性方程组性态的分析第6章1、三种迭代法（雅可比、高斯-赛德尔、松弛法）的构造及其矩阵形式的推导2、会构造迭代公式求方程组的解，并判断是否收敛第7章1、了解不动点迭代法是否收敛的判断方法2、会判断迭代法收敛的收敛速度（收敛阶）3、会构造不动点迭代公式求方程的根，并指明收敛阶数4、牛顿迭代法公式推导，求单根和重根收敛性的证明5、牛顿迭代法的优缺点及其改进第9章1、牢记欧拉的5个公式及其推导2、会用三种不同方法推导欧拉显式单步公式3、掌握局部截断误差的概念及其应用Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
(参考资料)数值分析笔记
常用的矩阵范数
n
矩阵的 1-范数:
A
1
max
1 jn
i 1
aij
矩阵的 2-范数:
A 2
max (AT A)
n
矩阵的-范数:
A
max 1in
j 1
aij
n
矩阵的 F-范数: A F
ai2j
i, j1
,也称矩阵的列范数. ,也称为谱范数. ,也称为行范数.
1, 2, …, n 为矩阵 A 的 n 个特征值,
向量的 1-范数:
向量的 2-范数:
向量的-范数:
x 1 x1 x2 xn
x 2
x12 x22 xn2
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn
x
max
1in
|
xi
|
常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x n x ,x Rn
2
x x n x ,x Rn
凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半
个单位。
2.设近似值 x 的相对误差限位 10-5，则 x 至少具有（5）为有效数字。
第二章 解线性方程组的直接法
1、Gauss 消去法
是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。
顺序 Gauss 消去法(简称为 Gauss 消去法):
a11 U
a12 a22 l21u12
a13
a23 l21u13
a33 l31u13 l32u23
（2）平方根法
u11
LDM 分解 和 Cholesky 分解(GGT) D u22
数值分析重点
第一章、绪论1、了解数值分析的研究对象与特点。
2、了解误差的来源与分类，会求有效数字，会简单的误差估计。
3、了解误差的定性分析及避免误差危害。
重点题目：P8,例4；P20, 5, 7.第二章、插值法1、了解插值的概念。
2、掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。
3、了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿(Newton)插值法。
4、了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
5、会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。
6、知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。
7、了解三次样条插值,知道其误差和收敛性。
重点题目：P28,例2；P48, 2, 6, 8.第三章、函数逼近与曲线拟合1、了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。
2、了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质，知道其他常用正交多项式。
3、理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理，掌握简单的最佳一致逼近多项式的求法。
4、理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。
5、了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。
6、了解最佳平方逼近与快速傅里叶变换。
7、了解有理逼近。
重点题目：P63,例3；P68,例6；P94, 4, 13, 16.第四章、数值积分与数值微分1、了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。
2、掌握低阶牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式及其性质和余项。
3、会复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。
4、会龙贝格(Romberg)求积算法。
5、了解高斯求积公式的理论,会高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。
6、了解几种常用的数值微分方法。
重点题目：P135, 1, 4, 6.第五章、解线性方程组的直接方法1、了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。
数值分析各章重点公式整理
数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。
本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。
一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。
其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。
数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。
二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。
常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。
三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。
常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。
常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。
四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。
常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。
同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。
五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。
直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。
LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。
Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。
六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。
常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。
(完整版),数值分析笔记期末复习汇总,推荐文档
x
*n )
e(x *1)
f
(x *1,
x *2 ,, xn
x *n
)
e(x *n )
n i 1
f
(x *1, x *2 ,, x *n ) xi
e(x *i )
9、加减乘除运算的误差估计
加法
绝
对 误
e(x1 x2 ) e(x1) e(x2 )
差
绝
对
误 (x1 x2 ) (x1) (x2 )
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
x1
x2
c a
x2
c a x1
109 109
1
求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
结果的相对误差限较小
y 54321100 0.4100 0.3100 0.4100 54322
(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）
则称 r (x*) 为近似值 x*的相
对误差限。 （2）性质：
当|| er (x*) | 较小时，可用下
是有量纲的。 (2)绝对误差限是正的，有无穷
常取
er
( x*)
e( x*) x*
式计算
绝对误差是误差的绝对值？ 多个【则比 * 大的任意正数均
（错）
是绝对误差
限】
r
( x*)
(x*) | x |
取
x2* =3.14
作为 π 的近似值，则 | e2
| 0.00159
1 102 ：三个有效数字 2
取
x3* =3.1416 作为 π 的近似值，则 | e3
| 0.00000734
数值分析期末复习要点总结
故一般取相对误差为
er x*
e x* x*
x x* x*
如果存在正数 r 使得
er x*
ex*
x*
r
则称 r为 x*的相对误差限.
(1-4)
4
绝对误差、相对误差和有效数字
有效数字
如果近似值 x* 的误差限是 1 10n 则称x*
2
准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到 这一位的所有数字均称为有效数字.
若
e(x* ) x x*
(1-2)
通常称 为近似值 x* 的绝对误差限，简称误差限.
定义2 设 x* 为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比为近似值 x* 的相对误差，记为 er (x* )
即
er
x*
ex*
x
x
x* x
(1-3) 3 3
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x 总是未知的，
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式 P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + ···+ anzn(x)
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数
② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
数值分析
期末复习要点总结
1
第一章 误差
一. 误差的来源: 1.模型误差 2.观测误差 3.截断误差 4.舍入误差
二. 绝对误差、相对误差和有效数字
2
第一章 误差
2
绝对误差、相对误差和有效数字
定义1 设 x* 为准确值x的一个近似值，称
山东省考研数学复习资料数值分析重点知识点
山东省考研数学复习资料数值分析重点知识点数值分析是数学中的一个重要分支，它研究的是利用数值方法解决实际问题的理论和方法。
对于山东省考研的学生来说，数值分析是一个必修课程，理解和掌握数值分析的重点知识点对于备考非常重要。
本文将详细介绍山东省考研数学复习资料中数值分析的重点知识点。
一、数值误差与有效数字在进行数值计算时，绝对精确的数值很难获得，因此数值计算中会产生误差。
数值误差主要分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指计算结果与真实值之差的绝对值，相对误差是指绝对误差与真实值之比的绝对值。
为了评估数值的精确程度，我们还需要了解有效数字的概念。
有效数字是指一个数中，从第一个非零数位开始，一直到最后一个数字位之间的数字个数。
在进行数值计算时，我们需要考虑有效数字和误差的影响。
二、插值与多项式逼近插值是指利用已知数据点构造出一个函数，在这些数据点上与给定函数的函数值相等。
而多项式逼近是指利用已知数据点构造出一个多项式函数，使该多项式函数与给定函数在这些数据点上尽可能接近。
插值与多项式逼近是数值分析中常见的实用计算方法，可以用于曲线拟合、数据恢复等实际问题的求解。
三、数值积分与数值微分数值积分是利用数值方法计算给定函数在一个区间上的积分值。
数值微分是利用数值方法计算给定函数在一个点处的斜率或导数值。
数值积分和数值微分是计算积分和求导数的常用数值方法，可以广泛应用于物理、工程、金融等领域的问题求解。
四、常微分方程的数值解法常微分方程是研究物理、生物和工程等领域的重要工具。
数值解法通过将常微分方程问题转化为数值离散问题，进而求解出近似的数值解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，每种方法都有其适用范围和特点，需要根据具体问题选择合适的方法。
五、线性代数方程组的数值解法线性代数方程组是数值分析中的重要问题，常常涉及到大规模的稀疏矩阵。
数值解法通过将线性代数方程组转化为数值问题，并应用迭代法或直接法求解出线性代数方程组的解。
数值分析重点
百度文库•好好学习.天天向上数值分析重点第一章误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差帝效数字1、有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论：(1) 、设数X 的近似值可以表示为 X* =±0.a {a 2 - a n xlO m其中m 是整数E,2,…，”)是0到9中的一个数字， 而6 H 0.如果其绝对误差限为< _ x 1"2(不超过其末尾数的半个单位)则称近似数x*具有"位有效数字。
(2) 、相对误差与有效数字的关系(课差：精确值与近似值的差值) x* = ±0.a }a 2 • • a” x 10" = a x .a 2a y a n x >a 1xl0//,"1A -/ S 丄xl （严得到相对误差限■Sr(讣知讣煤心—xl0〃i 2 ----------- =_Lx]0ZV - ---------- - = ------- a } x 10m_,2a,唱(r ；)+菁(一；)+•••+签GT)例如：E (X1+X2)= £(Xl)+ e(X2)e (xi*X2)=1x11 e(X2)+Ix2l e (xi)e (X1/X2) ={lxil 8 (X2)+IX2l e (Xi)}/IX2l2第二章代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式(多项式)。
n+1个互异的节点可以唯一确定一个n次多项式。
填空1 •差商与微商的关系f[x9xo9xl9..9x j=--—例1：f(x) = x5-x + l，试求其如下差商：/[2°,2*,22,2\ 2\ 25] /[2°, 2*,22,23,24,25,26]例2：已知一个四阶差商和一个五阶差商，用定义反求另一个四阶差商。
一般地，称阶差商的一阶差商为R阶差商：为他)关于点“I,…心的k阶差商。
《数值分析》复习笔记
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )
10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90
1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分
3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
数值分析重点内容总结
一绪论 ..............................................................................................................................................2 1.1 函数的误差估计及有效数字问题（5） ...........................................................................2 1.2、函数求值的误差估计 ......................................................................................................3 算法的稳定性（1） .................................................................................................................3 1.3. 向量范数的定义及证明（2） .........................................................................................3 二、线性方程组的解法 ..............................................................................................................
数值分析复习重点归纳
1. 已知如下数据()i i x y ，，1,2,3,4i =，即（1，8），（2，7），（5，10），（10，21），试求一条形如by ax x=+的最小二乘拟合函数。
2. 考虑n 阶线性代数方程组Ax b =的扰动方程组()()A A x x b b +∆+∆=+∆设A 是非奇异矩阵，∙表示某种向量范数或从属于它的矩阵范数，且11A A -∆<，证明：（1）扰动方程有唯一解； （2）有估计()()1111A A A AA ---+∆≤-∆（3）记()1K A A A -=称为矩阵A 的条件数，则还有估计()()1x A b K A x K A AA A b ⎛⎫∆∆∆≤+ ⎪ ⎪-∆⎝⎭3. 方程组Ax b =，其中10.50.520.5,,0.51a A x a R a -⎡⎤⎢⎥=--∈⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1）试用迭代次数的充要条件求出使jacbi 迭代法收敛的a 的取值范围； （2）选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出G-S 迭代法收敛的a 的范围，并求出G-S 迭代公式（分量形式）；4. 设矩阵210131012A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求()()2,,A cond A A ρ. 5. 设求()0f x =的迭代格式，()()()10,1,2,3......n n n n f x x x n f x +=-='收敛到()0f x = 精确解*x ，且*x 是方程()0f x =的单根，试证牛顿迭代格式二阶收敛，即()()()*1*12lim 2n n n n n f x x x x x f x -→∞--''-=-'- 6. 设*x 为()0f x =的一个根，()f x 在*x 的某领域为三次连续可微，且()*0f x ≠，对牛顿法做如下修改：()()()()()()10,1,2,3......n n nnn n n nn f x x x D f x f x f x D n f x +⎧=-⎪⎪⎨+-⎪==⎪⎩，证明该迭代法二阶收敛。
数值分析老师划重点(个人记录)
解线性方程组的直接法高斯消去法：与线性代数做法相同。
高斯列主元消去法，在高斯消去法的基础上每一步之前把绝对值最大的数调上来。
Doolittle分解，选列主元的Doolittle分解。
条件数的性质填空cond(kA)=cond(A)。
考试一般二阶的计算，三阶略麻烦解线性方程组的迭代法Jacobi&Gauss-Seidel迭代法，记住迭代公式。
Jacobi口诀（去心变负保常除）高斯迭代法更容易出现在考试中。
首先，求出Jacobi迭代公式，然后，改写口诀：第一行不动，第二行改1，第三行到2……以此类推。
考试中以掌握方法为主，不要死套公式。
插值法（考试重点章）牛顿均差考到二阶就截止，3阶计算量有点多。
关于余项，还要看看书上的讲解。
第五章数值逼近要求掌握例5.2.1，考试就是这种。
Legendre多项式例题5.2.1，要求用Chebyshev定理做。
例题5.3.1，要么考一致逼近，要么考平方逼近，都有例题。
正交多项式的性质（根，重）。
legendre多项式首项系数等于多少。
legendre多项式性质1&2&4（尤其是性质4）。
定义5.4.3会出填空题。
Chebyshev性质1、首项系数、性质4。
例题5.4.1两边首项系数要相同另外，5.5和5.6节不考。
第六章数值积分与数值微分Simpson公式梯形公式与Simpson公式书上都有余项的表达式（这个余项是不是就是截断误差的意思呢）。
考梯形公式，要记住余项。
考Simpson公式，余项比较长，所以不考。
考试证明题不多，注意6.2.1定理的证明以及定理6.2.2的证明。
几次代数精度和几阶收敛怎么区别。
各种复化求积公式分别是几阶收敛（考填空）Romberg（考计算）。
Romberg公式如何构造要考，记忆方法：半新半旧。
考试题目类似于例题6.4.1，考试时先写后面的公式，再按需要求T0，不要全部T0都求出来，有时会浪费。
证明高斯公式系数为正，加起来为1的那个定理6.5.2。
数值分析复习要点
1.设矩阵A
2
1
,
用Schmidt正交化方法,
1 2
对A作正交分解A QR.
2.设矩阵A
2 0
1 3
7 10
,
用Householder变换法,
0 4 5
对A作正交分解A QR.
3.已知一组线性无关的向量
u1 (1,1,1)T , u2 (1, 0, 1)T , u1 (0,1,1)T , 由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的
Gauss变换阵
1
Lj
1
l j1, j 1
ln, j
1
对x x1,..., x j ,..., xn T 0, x j 0 构造Gauss变换阵G，使Gx x1,..., x j ,0,...,0 T
奇异值与奇异值矩阵
i
i ( AT A) 0,
i 1,..., r,
r
0
0 0
条件数 cond(A) p || A1 ||p|| A ||p , p F,1,2,
谱条件数 cond ( A)2 || A1 ||2|| A ||2
max ( AT A) min ( AT A)
y0
1 yn n 5 yn1
n 1, 2，...
计算yn，试分析算法的稳定性
习题：p15 10
数值计算中应注意的问题
(1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数
(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点
计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。
其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。
通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。
数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。
数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。
学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。
数值分析复习要点
数值分析复习要点
题型：
一、填空题：30分，前五个每题2分，后五个需计算的每个5分（第一章，
2个；其余各章一个）；
二、计算题：40分，共五道题选作四道，每题10分（章节不清楚）；
三、证明题：30分，共四道选作三道，每题10分（第二、三、四、八章）
老师说他给的资料里都有？？？；
说明:
每一章都有题，二三章大题较多。
第一章，无大题，可能是两个填空
第二章，有大题，代数方程求根不考
第三章，迭代法、LU分解法至少会一种、判断收敛性的充分条件和充要条件、算子范数、迭代课后题
第四章，三次样条不考大题
第五章，有大题，正交多项式，最多三阶？？
第六章，代数精度？记住梯形公式、辛普森公式、复化公式
第七章，会三种求特征值的方法（填空），特征值特征向量无大题，QR分解不考
第八章，证明题：收敛性、求阶，代数精度？（不清楚指的是哪一章的），平面旋转法要考
注：两道与导数有关的题？，均差不考，看一下老师讲过的习题4的4、5题证明题，求步长待定，老师说其他两个老师建议考，但是到今天还没有改，应该不会改了。
题是张老师出的，经过了最优化的考试，他出题有一定的难度的。
大家好好复习。
由于本人还没有开始复习，只记了关键词，好多不知道什么意思，仅供参考。
数值分析要点
− −
y2 )( y − y2 )( y0
y3 ) − y3
)
+
f
−1
(
y1
)
(
(y y1
− −
y0 )( y y0 )( y1
− −
y2 )( y − y3 ) y2 )( y1 − y3
)
+
f
−1
(
y
2
)
(
(y − y2 −
y0 )( y y0 )( y2
− −
y1 )( y − y1 )( y2
于求例解如的：问函题数，这f (种x) 简用化泰带勒入(T误ay差lo称r) 多为项方式法误差或截断误差。
Pn (x) =
f (0) +
f ′(0) x + 1!
f ′′(0) x 2 2!
+⋯+
f (n) (0) x n n!
近似代替，则数值方法的截断误差是泰勒余项。
4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参 数或中例间如结：果用都必3 .须141进59行近四似舍代五替入运π ，算产，生这的种误误差差称为舍入误差。
⎢ ⎢
y1
⎥ ⎥
⎢y2 ⎥ ⎢⎢⋯ ⎥⎥
⎢⎣ yn ⎥⎦
其系数行列式为范德蒙 ( Vandemonde )矩阵行列式
1 x0 x02 ⋯ x0n
∏ 1
A= ⋯
x1 ⋯
x12 ⋯
⋯ ⋯
x1n ⋯
= (xi
0≤ j<i≤n
− xj) ≠ 0
1
xn
x
2 n
⋯ xnn
因此，线性方程组的解 a0，a1，⋯，an 存在且唯一。
研究生课程数值分析重点
误差：x 是某实数的精确值，x A 是它的一个近似值，x-x A 是x A 的绝对误差，|x-x A |≤εA ，εA 是x A 的绝对误差限。
(x-x A )/x 为x A 的相对误差。
若|(x-x A )/x|≤εR ，为x A 的相对误差限。
x=±(0.a 1La n a n+1L)*10k (a 1≠0,k 是整数)，x A 是x 的a n+1的4舍5入得到的近似数，如果|x-x A |≤1/2*10k-n，则x A 为x 的具有n 位有效数字的近似值。
如果x A 有n 位有效数字，则nAAa x x x -⨯≤-=11R1021ε。
如果nAA a x x x -⨯+≤-=11R 10)1(21ε，则x A 至少有n 位有效数字。
函数求值的误差估计：()()A A A x x f x f εε)()('≈对n 元函数()n x K x x f ,,,21，自变量n x K x x ,,,21分别为nA A A x x x ,...,,21，则有()()()kA nk Ak nA A A x x fx K x x f εε∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈121,,,。
特别地，对()2121,x x x x f ±=有()()()A A A A x x x x 2121εεε+=±()()()A A A A A A x x x x x x 122121εεε+≈()()22122121A A A A A A A x x x x x x x εεε+≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 02≠A x 。
向量的范数：如果向量n R x ∈的某个实值函数()x x f =满足 （1）正定性：0≥x ，且0=x 当且仅当0=x ；（2）齐次性：对任意实数α，都有x x αα=；（3）三角不等式：对任意nR y x ∈,，都有y x y x +≤+，则称x 为n R 上的一个向量范数。
在n R 中，记()Tn x x x x ,...,,21=，常用的向量范数有：向量∞的范数：i ni x x≤≤∞=1max 向量的1范数：∑==ni i x x11向量的2范数：21122⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x x 向量的p 范数：pni ppx x11⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=向量的夹角：x x x y x yx y x y x ,,0,,arccos ,,=≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧∧π矩阵的范数： 如果矩阵nn RA ⨯∈的某个实值函数()A A f =满足（1）正定性：0≥A ，且0=A 当且仅当0=A （2）齐次性：对任意实数α，都有A A αα=（3）三角不等式：对任意n n R B A ⨯∈,，都有B A B A +≤+（4）相容性：对任意n n R B A ⨯∈,，都有B A AB ≤。
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
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解线性方程组的直接法
高斯消去法：与线性代数做法相同。
高斯列主元消去法，在高斯消去法的基础上每一步之前把绝对值最大的数调上来。
Doolittle分解，选列主元的Doolittle分解。
条件数的性质填空cond(kA)=cond(A)。
考试一般二阶的计算，三阶略麻烦
解线性方程组的迭代法
Jacobi&Gauss-Seidel迭代法，记住迭代公式。
Jacobi口诀（去心变负保常除）
高斯迭代法更容易出现在考试中。
首先，求出Jacobi迭代公式，然后，改写口诀：第一行不动，第二行改1，第三行到2……以此类推。
考试中以掌握方法为主，不要死套公式。
插值法（考试重点章）
牛顿均差考到二阶就截止，3阶计算量有点多。
关于余项，还要看看书上的讲解。
第五章数值逼近
要求掌握例5.2.1，考试就是这种。
Legendre多项式
例题5.2.1，要求用Chebyshev定理做。
例题5.3.1，要么考一致逼近，要么考平方逼近，都有例题。
正交多项式的性质（根，重）。
legendre多项式首项系数等于多少。
legendre多项式性质1&2&4（尤其是性质4）。
定义5.4.3会出填空题。
Chebyshev性质1、首项系数、性质4。
例题5.4.1两边首项系数要相同
另外，5.5和5.6节不考。
第六章数值积分与数值微分
Simpson公式
梯形公式与Simpson公式书上都有余项的表达式（这个余项是不是就是截断误差的意思呢）。
考梯形公式，要记住余项。
考Simpson公式，余项比较长，所以不考。
考试证明题不多，注意6.2.1定理的证明以及定理6.2.2的证明。
几次代数精度和几阶收敛怎么区别。
各种复化求积公式分别是几阶收敛（考填空）
Romberg（考计算）。
Romberg公式如何构造要考，记忆方法：半新半旧。
考试题目类似于例题6.4.1，考试时先写后面的公式，再按需要求T0，不要全部T0都求出来，有时会浪费。
证明高斯公式系数为正，加起来为1的那个定理6.5.2。
数值微分不考。
第七章解非线性方程
牛顿迭代法一般会以计算题出现，如果考相关计算题则只能是牛顿迭代法。
第七章主要就是考牛顿迭代法。
二分法比较简单，可能出现在填空题当中。
牛顿迭代法的几何意义（切线法，图形表示）。
第八章求矩阵特征值
幂法与反幂法（考）（后来的通知说只靠乘幂法）。
Householder方法等一般不考。
考试不要求求比值。
考试只要求求一两步，一般不采用求逆，而用解方程组。
考试是大题。
第九章常微分方程数值解法
考Euler方法，Runge-Kutta方法，方程组与高阶方程。
考试一般考后退的Euler公式。
5个Euler公式两个显式两个隐式，一个两步法。
若考显式就考改进的Euler公式，若考隐式则考后退的Euler公式。
后退的Euler公式有例子，考到u2（1）。
经典的四阶Runge-Kutta公式（考）
线性多步法不考。
方程组与高阶方程是重点中的重点。
考试也考高阶方程（因为高阶方程终要转化为方程组）。
边值问题不考。
例题9.5.1要考。
本章考点重申：
Euler公式&后退的Euler公式&Euler两步法。
9.2考一些概念，比如一阶收敛&稳定性是什么意思。
经典的四阶Runge-Kutta公式。
9.5如何把一阶方程组变成向量方程，以及如何把高阶方程写成向量形式。
经典的四阶龙格库塔公式要记住它的过程，考试会考，考试会将函数变成简单。
复习课
考Hermite插值，一般不考样条。
本科课程最终得分主要以考试得分为主，若考试成绩高，平时差也不怕；若考得太低，则平时成绩也帮不了什么忙。
证明题比较多，要有准备。
5.6.2例题5.6.1。
证明φ※（x）满足式（5.3.3）
加权内积∫ρ(x)f(x)g(x)dx
求解极小值点。
一元最小二乘法&二元最小二乘法。
最小二乘法也是考试重点，跟平方逼近一样，把积分换成Σ。
最后一课
填空选择有一半的把握就可以了（意思就是不要都去进行完整复杂的计算，可以多用推理、试探之类的方法）。
梯形公式Romberg之后可以变成Simpson公式，Simpson公式Romberg之后可以变成Newton-Cotes。
高阶方程最容易了。
证明题＞12分。