第一章 1.2.1 第1课时
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-3) 第1章 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
§1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数的定义及公式1．排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.1．123与321是相同的排列．(×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(×)一、排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a>b还是a<b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．二、排列数公式的应用命题角度1 利用排列数公式求值例2－1 计算A 315和A 66.解 A 315＝15×14×13＝2 730， A 66＝6×5×4×3×2×1＝720. 命题角度2 利用排列数公式化简例2－2 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)； (2)化简n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )．解 (1)∵55－n ,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有(69－n )－(55－n )＋1＝15(个)数， ∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n .(2)由排列数公式可知n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋m )＝A m ＋1n ＋m .命题角度3 利用排列数公式证明例2－3 求证A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·mn ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 反思感悟 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练2 不等式A x 8<6A x －28的解集为( )A ．[2,8]B ．[2,6]C ．(7,12)D ．{8} 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，② 由①②及x ∈N *，得x ＝8.三、排列的简单应用例3 用排列数表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解 (1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A 2100. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A 33.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A 45. 反思感悟 首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题．跟踪训练3 京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解 对于两个火车站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A 221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．1．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．2．排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用．1．下面问题中，是排列问题的是()A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合答案 A解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．A39等于()A．9×3 B．93C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3答案 C3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________.答案 64．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．答案245．从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，不同排法有________种．答案n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)一、选择题1．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A．50 B．60 C．120 D．90答案 C解析5本书进行全排列，A55＝120.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A．12种B．24种C．48种D．120种答案 B解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．下列各式中与排列数A m n相等的是()A.n！(n－m＋1)！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1答案 D 解析∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 答案 C解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20(种)排法， 因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.6．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( ) A ．54B ．45C ．5×4×3×2D ．5答案 D解析 由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种． 二、填空题7．若A 42x ＋1＝140·A 3x ，则x ＝________. 答案 3解析 根据原方程，知x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，解得x ≥3，x ∈N *.由排列数公式，得(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，所以x ＝3.8．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析 根据题意，得A 240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．9．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 答案 3 600解析 不同排法的种数为A 55A 26＝3 600(种)．10．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案 11解析 根据题意，因为“good ”四个字母中的两个“O ”是相同的， 则其不同的排列有12×A 44＝12种， 而正确的排列只有1种， 则可能出现的错误共有11种．11．5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________．(用数字作答) 答案 96解析 可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A 14种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A 44种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为A 14A 44＝96.故填96.12．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有______种不同的招聘方案．(用数字作答) 答案 60解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A 35＝5×4×3＝60(种)． 三、解答题13．A ，B ，C ，D 四人站成一排，其中A 不站排头，写出所有的站法． 解 作出“树形图”如下：故所有的站法：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.14．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.15．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解 由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，∴A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62.∴m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，∵m <2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15， 故原有15个车站，现有17个车站．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
证明
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式， 若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式 Ax8<6A8x－2 的解集为
A.[2,8]
第一章 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列能应用排列知识解决简单的实际 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动. 思考 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第1步确定上午的同学； 第2步确定下午的同学.
B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，
①
1.2.1离子反应第一课时电解质的电离
正盐：酸跟碱完全中和生成的盐，如CuSO4、AgNO3； 酸式盐：酸中的氢离子部分被中和生成的盐，如KHSO4； 碱式盐：碱中的氢氧根部分被中和生成的盐，
如Cu2(OH)2CO3、Mg(OH)Cl；
人体汗液中排出的NaCl在 水中电离成离子，形成电 解质溶液。电解质溶液是 能够导电的，所以湿手给 电器通电或者接触带电设 备时容易发生触电事故。
三、电解质
练习：下列叙述中，正确的是（ C ） A．KNO3固体不导电，所以KNO3不是电解质 B．金箔、石墨烯均能导电，所以它们都是电解质 C．熔融的MgCl2能导电，所以MgCl2是电解质 D．NaCl溶于水，在通电的条件下才能发生电离
四、电离和电离方程式
电解质溶于水或受热熔化时，形成自由移动的离子的过程叫电离。 用化学式和离子符号表示电离过程的式子叫电离方程式。
质。强酸、强碱、盐在水溶液中能完全电离，称为强电解质。 总之，电解质按照在水溶液中的电离程度，可以进一步细分
为强电解质和弱电解质。
【电离答疑】
1．预测NaHCO3的电离方程式： NaHCO3
Na+ + H+ + CO32– 。
类比NaHSO4的电离：NaHSO4
Na++H++SO42–
NaHCO3的实际电离过程：NaHCO3
（1）能导电的是 ①④⑦⑧ （2）属于化合物的是 ②③⑤⑥⑧ （3）属于电解质的是 ②③⑤⑧
④硝酸银溶液 ⑧熔融氯化镁
； ； ；
NaCl
Na+ + Cl－
用微观示意图表示电离过程
五、酸、碱、盐的电离本质
例题1．用电离方程式表示下列物质在水溶液中的电离：
第1章-1.2-1.2.1-第1课时 排列与排列数公式
A．6 个
【解析】 符合题意的商有 A2 4＝4×3＝12. 【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票，那么这段 铁路共有的车站数是( A．8 B．12 ) C．16 D．24
【解】 设车站数为 n，则 A2 n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.
【答案】 B
4．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排； (2)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长．
沿途有四个车站，求这四个车 要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2 个车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A2 4种 不同的排法，即共有 A2 4 种不同的车票，由排列数公式可得 A2 4＝4×3＝12.
树形图法在解决简单排列问题中的应用 (12 分)从 0,1,2,3 这四个数字中，每次取出三个 不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1 不能在百位，2 不能在十位， 3 不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三 位数．
【提示】 不是．
排列的概念 一般地，从 n 个不同元素中取出 m( 按照 一定的顺序
m≤n )个元素，
排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列．
排列数及排列数公式
【问题导思】 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数 字游戏．
1． 从这 4 个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的 两位数？
【解】 (1)四名同学站成一排， 共有 A4 4＝24 个不同的排 列，它们是： 甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙， 甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙， 乙丁丙甲；
人教版七年级数学上册1.2.1《有理数》教学设计
人教版七年级数学上册1.2.1《有理数》教学设计一. 教材分析《有理数》是人教版七年级数学上册第一章第二节的第一课时，主要介绍了有理数的定义、分类和运算法则。
本节课的内容是学生学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和抽象思维能力具有重要意义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握有理数的概念和运算法则，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数的概念有一定的了解。
但是，对于有理数的定义和分类，以及有理数的运算法则，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出有理数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练掌握有理数的运算法则。
三. 教学目标1.了解有理数的定义、分类和运算法则。
2.能够运用有理数的运算法则进行简单的计算。
3.培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.有理数的定义和分类。
2.有理数的运算法则。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入有理数的概念，让学生从实际问题中抽象出有理数的概念。
2.讲解法：对于有理数的定义、分类和运算法则，采用讲解法进行详细讲解。
3.练习法：通过大量的练习，让学生熟练掌握有理数的运算法则。
六. 教学准备1.PPT课件：制作与本节课内容相关的PPT课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备与本节课内容相关的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示一些实际问题，如温度、海拔等，引导学生从实际问题中抽象出有理数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，详细讲解有理数的定义、分类和运算法则。
讲解过程中，注意结合实例进行说明，让学生更好地理解和掌握。
3.操练（10分钟）让学生进行一些有关有理数的运算练习，巩固所学知识。
教师可适时给予提示和指导，确保学生能够熟练掌握有理数的运算法则。
4.巩固（5分钟）通过PPT课件，总结本节课所学的主要内容和知识点，帮助学生巩固记忆。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
1.2.1任意角的三角函数的定义(第一课时)
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程1.复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?Rt △ABC 中,设A 的对边为a ,B 的对边为b ,C 的对边为c ,锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin A=,cos A= ,tan A= .2.探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ),点P 与原点的距离r=,sin α= ;cos α= ;tan α= . 思考:对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．.思考:怎样适当地选取P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆. 新知:1.任意角的三角函数.设α为一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ): 那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2)x 叫作α的余弦,记作cos α,即 ;(3)叫作α的正切,记作 ,即tan α=(x ≠0).三角函数:对于确定的角α,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4.思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一典型例题【例1】求π的正弦、余弦和正切值.解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】已知角α的终边过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:sin α==-,cos α==-,tan α=.【例3】求证:当下列不等式组成立时,角α为第三象限角,反之也对.证明:如果sin α<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非负半轴重合;如果tan α>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250°; (2)sin(-4π); (3)tan(-672°); (4)tan3π. 解:(1)因为250°是第三象限角,所以 cos250°<0; (2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0; (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tan π,而π的终边在x 轴上,所以tan π=0. 【例5】求下列三角函数值. (1)sin1480°10'; (2)cos; (3)tan(-).解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645; (2)cos =cos(+2π)=cos ;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.【例6】 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 【例7】 判断下列各式的符号： (1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0， ∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角． 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin810°＋tan765°－cos360°. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos360°＝sin90°＋tan45°－1＝1＋1－1＝1.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C.22D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α等于( )A.12B ．－12C ．－32D ．－33 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r ＝x x 2＋5＝24x ，∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 C解析 根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角． 二、填空题8．tan405°－sin450°＋cos750°＝________. 答案32解析 tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 答案 －3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上， sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3. 11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 答案32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________.答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是________________．答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0， sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0， sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0， sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域为{－4,0,2}．三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义， ∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限． (2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， ∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45.由三角函数定义知，sin α＝－45.达标检测1.α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin αB.cos αC.tan αD.2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知角α的终边过点P (-1,2),则cos α的值为 .4.已知角α的终边过点(a ,2a )(a ≠0),求α的正弦、余弦和正切值.5.判断sin4·tan(-)的符号.参考答案复习:探究:1.坐标法求三角函数.锐角α可放在坐标系中,在角α的终边上任取一点P (a ,b ), 点P 与原点的距离r=,sin α=,cos α=,tan α=.由三角形相似,确定的α可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随P 在角的终边的位置改变而改变. 2.单位圆.不难想到,当r=1时形式上比较简单,即sin α=b ,cos α=a ,tan α=,而当r=1时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角α的终边与圆的交点选为P 点.此时,点P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以1个单位长度为半径的圆为单位圆. 新知:1.cos α=x ;tan α;自变量2.≠+k反思:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P(除了原点)的坐标为(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例1】解:在直角坐标系中,作∠AOB=,∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,-),所以sin=-,cos,tan=-.【例2】解:sinα==-,cosα==-,tanα=.【例3】证明:如果sinα<0成立,那么角α的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非负半轴重合;如果tanα>0,则角α的终边位于第一或第三象限.所以,角α的终边只能位于第三象限.【例4】解:(1)因为250°是第三象限角,所以cos250°<0;(2)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0;(3)因为tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48°,而48°是第一象限角,所以tan(-672°)>0;(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ,而π的终边在x轴上,所以tanπ=0.【例5】解:(1)sin1480°10'=sin(40°10'+4×360°)=sin40°10'≈0.645;(2)cos=cos(+2π)=cos;(3)tan(-)=tan(-2π)=tan.达标检测1.B2.B3.-4.当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=2;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=2.5.略。
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式检测(含解析)
1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。
北师大版数学七年级上册1.2有理数(第1课时)课件
负数集合 整数集合
整数集合 正数集合
归纳新知
1.到现在为止，我们学过的数（π 除外）都是有理数．
2.有理数的分类
正整数
有 整数 0
理
负整数
数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
有
正分数
人教版·数学·七年级（上）
有理数③分类不的几是个整注意数点：，是有理数；④是整数，不是自然数．
6．下列关于“0”的说法正确的是( )
正1．整在数数A、0．零，和2，①负－整④3数，统－称1.B为．整数②. ③
A．甲、丙两部分有无数个，乙部分只有一个是0
A．0 CB．．2 ①C．②－3 DD．．－1①. ③
14．把下列各数填在相应的括号内：
－19，2.3，－12，－0.92，35 ，0，－14 ，0.563，π.
正 负 负数 数 分集 集 数合 合 集： ： 合：{{ －{ 21.93－，，0－35.921，，2，0－.5－61430，….92π，…－14 …
}； }；
}；
非正整数集合：{ －19，－12，0…
．
有理数中，是整数而不是正数的是___________；
像1，2，3，···称为正整数； 像1，2，3，···称为正整数；
负数集合 整数集合 正数集合 有理数中，是整数而不是正数的是___________； 正整数、零和负整数统称为整数.
正数
10．如图，圆圈分别表示负数集合、整数集合和正数集合．其中有甲、乙、丙三个部分，这三部分的数的个数为(
理0 数 负有理数 负整数
负分数
3.注意0的特殊性，分类时不要遗漏0．
《1.2.1 电解质及其电离》参考课件
NaCl
宏观
不能导电
NaCl 固体
NaCl晶体结构
加水溶解
能够导电
NaCl 溶液
NaCl固体在水中的溶解和形成水合离 子示意图
微观 Na+和Cl-
不能 自由移动
Na+和Cl 能
自由移动
NaCl溶液导电示意图
【 活动探究2 】：熔融状态的NaCl能够导电，你认为加热熔融对 NaCl 起到了什么作用？
作用？
不能导电
能够导电
宏观
NaCl固 体
加水溶解 加热熔化
NaCl溶液 熔融NaCl
微观
Na+和Cl 不能
自由移动
电离
Na+和Cl 能
自由移动
【 活动探究2 】：探究物质导电的本质
不能导电
能够导电
宏观
NaCl 固体
加水溶解 加热熔化
NaCl溶液
熔融NaCl
微观
Na+和Cl 不能
自由移动
电离
Na+和Cl 能
实验现象 灯泡不亮
灯泡亮 灯泡亮
导电性 不能导电 能够导电 能够导电
微观解释 （猜想）
无自由移动的带 电荷粒子
有自由移动的带 电荷粒子
有自由移动的带 电荷粒子
熔融状态的NaCl和NaCl溶液中均有自由移动的带电荷粒子
Cl﹣ Na＋
【 活动探究2 】： NaCl溶液能够导电，你认为水对 NaCl 起到了什么作用？
能够导电 NaCl溶
液
熔融 NaCl
微观
Na+和Cl不能
自由移动
电离
Na+和Cl能
自由移动
电离
必修四第一章 三角函数1.2.1第一课时
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则2θ是第
象限角．
A．一
数
学 必
C．一或三
修
④
·
人
教
A
版
B．三 D．任意象限角
( C)
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第一章 三角函数
[解析] (1)①π2<3<π，π<4<32π，32π<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标
(a，b)，则对应角的正弦值 sinα＝ a2b＋b2，余弦值 cosα＝ a2a＋b2，正切值 tanα数 学Fra bibliotek必＝ab．
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
·
人 教
数进行分类讨论．
A
版
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数 学 必 修 ④ · 人 教 A 版
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第一章 三角函数
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
(A)
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于 25 _____5_．
数 学 必
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝yx＝2，cosα＝xr＝ 55，∴tanα·cosα＝255．
人 教
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
A
版
2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3
第1课时排列与排列数公式学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)[自主预习·探新知]1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．思考：如何理解排列的定义？[提示]可从两个方面理解：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同．3．排列数与排列数公式阶乘式A m n＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)[提示]“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．[解析](1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．(2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( )A．3种B．4种C．6种D．12种C[由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．]3．90×91×92×…×100可以表示为( )A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100B[由排列数公式得原式为A11100，故选B.]4．A24＝________，A33＝________.【导学号：95032026】12 6[A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6.][合作探究·攻重难](1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；[思路探究]判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题．1．判断下列问题是否是排列问题(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？[解](1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.【导学号：95032027】[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为( ) A．3种B．4种C．6种D．12种(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．(1)C (2)12[(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．]1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？[提示]从这4个数字中选出2个能构成A24＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．2．由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？[提示]A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，a n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．3．你能写出A m n的值吗？有什么特征？若m＝n呢？[提示]A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当m ＝n 时，即n 个不同元素全部取出的一个排列． 全排列数：A nn ＝n (n －1)(n －2)·…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 另外，我们规定0！＝1.所以A mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！n －m ！＝A nnA n －m n －m.(1)计算：2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .【导学号：95032028】[思路探究]：(1)合理选用排列数的两个公式进行展开． (2)提取公因式后合并化简． [解] (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝＋－＝1.(2)证明：∵A m n ＋1－A mn ＝n ＋！n ＋1－m ！－n ！n －m ！＝n ！n －m ！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！n －m ！·m n ＋1－m ＝m ·n ！n ＋1－m ！＝m A m －1n .∴A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .3．求3A x 8＝4A x －19中的x . [解] 原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！－x ！＝4×9！－x ！，即3×8！－x ！＝4×9×8！－x －x－x ！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 由题意知{ x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8.所以原方程的解为x＝6.[当堂达标·固双基]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个B[①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．]2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )【导学号：95032029】A．A4n B．A n－4nC．(n－4)! D．A n－3nD[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝A n－3n.]3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．120[利用排列的概念可知不同的分配方法有A55＝120种．]4．A66－6A55＋5A44＝________.120[原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.]5．计算：A59＋A49A610－A510；[解]法一：A59＋A49A610－A510＝5A49＋A4950A49－10A49＝5＋150－10＝320.法二：A59＋A49A610－A510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.。
华师版科学七下第一章课件1.2.1 熔化与凝固
10．在探究冰的熔化规律时，小芳记录的实验数据如下表所示， 请根据表中的实验数据完成填空。 冰的熔点是____0____℃，从开始加热经过 2 min，冰处于 ___固_____(填“固”或“液”)态。
【点拨】晶体熔化过程中，吸热温度保持不变，所以 0 ℃为冰 的熔点，故当温度还没有达到熔点时，冰仍然处于固态。
【点拨】雪是晶体，－6 ℃的雪处于固态，当它从周围的热水吸 热后，雪的温度会升高；当温度升高到 0 ℃时开始熔化，继续 吸热，但温度保持不变；等雪全部熔化成水后，继续吸热，温度 会升高。故选 D。
【答案】D
13．保温瓶中有 1 000 g 水，水温为 0 ℃，当向瓶中放－2 ℃的 冰块 10 g 后，盖好瓶口的软木塞，下列说法正确的是( ) A．有少量冰熔化成水 B．有少量水结成冰 C．冰和水温度都不会变 D．冰和水的质量都不会改变
18．晓轩同学在“探究冰和蜡的熔化规律”时，使用的实验装置如 图甲所示：
(1)实验装置用水浴法加热，这种加热方式的好处是 _使__蜡__和__冰__均__匀__受__热_____。
【点拨】实验装置用水浴法加热，可以使蜡与冰均匀受热。
(2)蜡在加热过程中某一时刻温度计的示数如图乙所示，温度是
__3_9_____℃，实验数据如下表，可以判断蜡属于_非__晶__体___(填
A．变多 B．变少
C．不变 D．无法判断
【点拨】因为冰水混合物的温度是 0 ℃，而盐冰水混合物的温
度是－2 ℃，所以冰水混合物会向盐冰水混合物放热，冰水混合
物中的水会达到凝固结冰的条件，冰水混合物中的冰会变多。故
选 A。
【答案】A
12．下雪了，小宇从外面捧回一团雪放在杯子中，插入一支温度 计，发现温度计的示数降到－6 ℃，他将杯子放在盛有许多 热水的盆中，观察到温度计示数的变化是( ) A．一直不变 B．先不变，后变大 C．一直变大 D．先变大后不变，后来又变大
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列与排列数公式
答案 (1)D (2)5 (3)见解析
12/13/2021
答案
解析 (1)27－a,28－a，…，34－a 中最大数为 34－a，一共有 34－a－(27 －a)＋1＝8 个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A834－a.
(2)解法一：A1248AA611412＝841！ ！2××11182！！！＝54！ ！＝5. 5！
12/13/2021
[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南 京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种．
12/13/2021
答案
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
12/13/2021
答案
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
12/13/2021
答案 B
12/13/2021
答案
解析 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有 B 中的问题是与 顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选 B.
12/13/2021
2．下列各式中与排列数 Amn 相等的是( )
n！ A.m－n！
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.n－mn ＋1Ann－1
D．An1·Amn－－11
12/13/2021
人教版七年级上册第一章有理数1.2.1有理数课件
，3 1 4
，0.63，-4.95；
分组讨论 探索发现
你能对有理数进行合理分类吗?有不同的分类 方法吗？分类标准是什么？
有理数有两种常用的分类方式: (1)按定义分类： (2)按性质分类：
知识归纳
1.按定义将有理数分成两类：
正整数
整数 0 负整数
有理数
正分数
分数
负分数
(1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，例如本题中的 π，含有π，就不是分数．
2
注意：π、无限不循环小数不是有理数
当堂训练
2 给出一个有理数－107.987及下列判断：
（1）这个数不是分数，但是有理数；
（2）这个数是负数，也是分数；
（3）这个数与π一样，不是有理数；
正分数
理 0
数
负整数
负有理数
负分数
(1)凡是整数、分数，都是有理数．
(2) 有 限 小 数 和 无 限 循 环 小 数 都 可 化 为 分 数 ， 所 以 是 有 理 数 ；
无限不循环小数不能化为分数，所以不是有理数．
1.必做: 完成教材P6-P7练习T1，T2， P14习题1.2T1
（4）这个数是一个负小数，也是负分数．
其中判断正确的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
课堂小结
1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数
2.有理数的分类:
正整数
有
理
整数 0 负整数
数
分数
正分数
负分数
3.注意0的特殊性．
4.有理数的判别技巧：
第一章§1.2第1课时 空间向量基本定理课件(人教版)
1234
2.已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 a＝O→A＋O→B＋O→C，向
量 b＝O→A＋O→B－O→C，则与 a，b 不能构成空间基底的是
→ A.OA
√C.O→C
→ B.OB D.O→A或O→B
解析 ∵O→C＝12(a－b)， ∴O→C与 a，b 共面，
∴a，b，O→C不能构成空间基底.
个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一个基底
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d 与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ kλa＋μkb，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真 命题；
内容索引
一、空间向量基本定理 二、空间向量的正交分解 三、用基底表示空间向量
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有 向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝O→P ，p 能否用i，j，k表 示呢？
提示 如图，设O→Q为O→P在 i，j 所确定的平面上的 投影向量，则O→P＝O→Q＋Q→P. 又向量Q→P，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得Q→P＝zk，从而O→P＝O→Q＋zk. 在 i，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得O→Q＝xi＋yj.
可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
人教版(2024)七年级地理上册第一章第二节《地球与地球仪》“学教评一致性”教学设计(第1课时)
1.2.1 地球与地球仪（第1课时）“学教评”一致性教学设计模版较的方式来认识地球的大小。
些角度认识地球的大小？（教师直接讲授还可以用比较的方式认识地球的大小。
）出示地球数据、操场和太阳月亮大小的图片（直接讲授即可，不用让学生计算，因为这不是在培养学生的计算能力，而是让学生能够从比较中再次认识地球的大小。
）过渡：地球如此之大，为了便于研究和学习交流，人们按照一定比例把它缩小，制作了地球的模型——地球仪数据说明地球的大小环节二新课讲授——一起观察地球仪认识地球仪上的点和线学生阅读课本，并观察手中的地球仪，思考活动提出的问题。
出示地球仪的图片，提出活动 2.同桌互相观察地球仪，说说你在地球仪上发现了什么？（提示：不同颜色代表什么？线又代表什么？虚线代表什么？）教师出示动画，并提问学生这些点和线的名称是什么（可以开火车回答）你还能找到特殊的纬线吗？（提示虚线表示）方法指导：为了让学生更快辨别清楚经线纬线，教学生一个口诀“横纬竖经”来记忆。
学生能够通过阅读课本和观察地球仪，找到一些特殊的点和线。
环节二新课讲授——深入学习经线和经度学生阅读课本，说出经线的特征定义：连接南北两极的半圆弧叫经线。
形状：半圆长度：相等指示方向：南北方向（这个估计会有学生不清晰，需要板书讲解清楚）位置关系：相交于极点（教师也需要提示）数量：无数条学生认真听讲，做好笔记，并画好示意图，记住规律。
学生认真听讲，并做好笔记记住东西半球的分界线过渡：我们要更深入去学习经线，活动 3.小组讨论探究：说出经线的特征（3分钟）出示表格和任务：阅读课本p15 图1.11，根据表格的提示，从这些角度说出经线的特征，并尝试画出示意图。
（讲解时，教师同时要在黑板上板图）过渡：经线有无数条怎么更好区分每一条经线？引出经度的概念出示经线图，利用动画，展示经度的划分圈出两个20°，提问当两条经线度数一样时，我们怎么确定是东经，还是西经？讲解经度的划分规律（难点）利用动画和板图，并让学生尝试画出示意图。
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B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，
①
又xx≤ －82， ≥0，所以2≤x≤8，
②
由①②及x∈N*，得x＝8.
解析 答案
达标检测
1.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它
排列数表示法 乘积式
排列数 公式 阶乘式
性质 备注
Amn Amn ＝__n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_)___
Amn ＝
n！ n－m！
Ann＝ n！，0！＝_1__ n，m∈N*，m≤n
[思考辨析 判断正误]
1.a，b，c与b，a，c是同一个排列.( × ) 2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.( √ ) 3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.
解答
(2)计算2AA5888＋－7AA59 48；
解
2A58＋7A48 A88－A59
2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5
8×7×6×5×8＋7 ＝8×7×6×5×24－9＝1.
解答
(3)求证：Amn＋1－Amn ＝mAmn －1.
解答
类型二 排列的列举问题 例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可 以组成多少个？ 解 由题意作“树状图”，如下.
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个.
解答
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. 解 由题意作“树状图”，如下.
梳理 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定__的__顺__序_ 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识点二 排列数及排列数公式
思考 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？ 答案 4×3×2＝24(个).
梳理
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列 的 个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题
A.1
B.3
C.2√ D.4
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，
结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位
置有关，故是排列问题.
12345
解析 答案
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
第一章 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
学习目标
1.了解排列的概念. 2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际 问题.
内索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动. 思考 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第1步确定上午的同学； 第2步确定下午的同学.
证明
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式， 若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式 Ax8<6A8x－2 的解集为
A.[2,8]
故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd， bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca， dcb.
解答
反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种 比较有效的表示方式. (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素 为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进 行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出 排列.
解答
(2)从集合 M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个 焦点在 x 轴上的椭圆方程ax22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲 线方程ax22－by22＝1?
解答
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条 直线？可确定多少条射线？ 解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
(× ) 4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.
(× )
题型探究
类型一 排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设 来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信.
解答
反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安 排三位客人，又有多少种方法？ 解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队” 问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.