数学建模与数学实验非线性规划

一般形式:
min f X

（1） En 上的实值函
1
其中 数，简记:
i 1,2,..., m; gi X 0 s .t . j 1, 2 ,..., l . h j X 0 T n X x1 , x 2 , , x n E ，f , g i , h j 是定义在
i 1
m
M
h
j 1
X 2 j
(2)
将问题（ 1）转化为无约束问题：
X E
min T X , M
n

(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 D 时，满 X 足各 i X 0 , hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 D 时， g X
xj x
k j

k j
j 1, , n
X
k 1
求解该线性规划问题，得到最优解
；
( 4)
检验
X
k 1
点对 原 约束 是 否可行 。若X
k 1
对原约束可行，

k j
则 转 步 骤 ( 5 ) ；否 则 ，缩 小 步 长 限 制 ，令

k j
j 1, , n ，
罚函数法的缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，
而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用； 在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大， 可能导致错误．
9
SUTM内点法（障碍函数法）
考虑问题：
设集合 D
0
min f X s .t . g X 0 i
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
12
近似规划法的算法步骤如下
(1) 给 定 初 始 可 行 点 X
1
x1 , x 2 , , x n
1 1 1

， 步 长 限 制
1 j
j 1, , n ，
步 长 缩 小 系 数 0 ,1 ， 允 许 误 差 ， 令 k = 1 ；
பைடு நூலகம்
( 2)
在点
X
k
f : E
n
E ,
1
gi : E
n
E ,
1
hj: E
n
E
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
4
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( E n ) 称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 n D X | g i X 0 , h j X 0 , X E 问题(1)可简记为 min f X ．
1
2 x 2
6 x 2
s.t.
1 1
1 x1 2 2 x 2 2
2、 输入命令：
0 x1 0 x2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3、运算结果为： x =0.6667 1.3333
MATLAB（youh1）
z = -8.2222
16
标准型为： min F(X) s.t AX<=b Ceq(X)=0
2、一般非线性规划
Aeq X beq
V L B G ( X ) 0
X
VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用 Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
X
0
i 1, , m
hjX
h X X
k T j
X
k
0
j 1, , l ；
13
( 3)在 上 述 近 似 线 性 规 划 问 题 的 基 础 上 增 加 一 组 限 制 步 长 的 线 性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高 ，故 需 要 对 变 量 的 取 值 范 围 加 以 限 制 ，所 增 加 的 约 束 条 件 是 ：
X D
定义2
对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切 * * X D，且 X X ，都有 f X * f X ，则称X 是f(X)在D上的 局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X *时，若 f X * f X ， 则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）． 定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 * 时，若 * ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点 X X f X f X （严格全局最优解）． 返回5
i 1
m
1 giX

其中称 r ln g i X
i 1
m

或 r
i 1
m
1 giX

为障碍项，
r 为障碍因子
这样问题（
X D
min I X , rk
0

1）就转化为求一系列极
k
值问题：
得 X （ rk ）
10
内点法的迭代步骤
( 1) 给 定 允 许 误 差
0 ， 取 r1 0 , 0 1 ；
i 1
ln g i X
k
或r
m k

1 giX
i 1

，满
X
X ； 否 则 取 rk 1 rk ， 令 k k 1 ，
11
近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X
和约束条件
giX
0 ( i 1,..., m);
h jX
0 ( j 1, , l )
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从
而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，
把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似． 每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。
1、二次规划
标准型为：
T T Min Z= 1 X HX+c X
2
s.t. AX<=b
Aeq X beq
V L B ≤ X ≤ V UB
用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. x=quadprog(H,C,A,b); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); [x,fval]=quaprog(...); [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 15 [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);

T (X
k
,M k )
；
3、若存在 i 1
i m ，使 g i X
，则取Mk>M(M
k
m
k
k 1
M , 10
)
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * 计算时也可将收敛性判别准则
gi X
i 1
X
k
.
改为 M min 0 , g i X 2 0 .
处 ， 将 f X ， g i X , h j X 按 泰 勒 级 数 展 开 并
取一阶近似，得到近似线性规划问题：
min f X
giX
f X
k
f X X
k T k k T i
X
k

k
g i X h j X
k
g X X
7
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X gi X s .t . h X j
可设： T X , M

i 1,2,..., m; j 1, 2 ,..., l .
l
0 0
(1 )
f X
M
min 0 , g i X 2
min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 T 1 - 1 x1 2 x1 1、写成标准形式：min z ( x , x )
例1
1 2
gi X 必有 0 或 hi X