1.3.1 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修2-2

• [例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析] 设 f(x)＝x－ln(1＋x)， 只需证得 f(x)在(1， ＋∞)
1 x 上的函数值恒大于零即可，根据 f′(x)＝1－ ＝ 1＋x 1＋x >0(x>1)， f(x)在(1， 得 ＋∞)上是增函数， 故当 x>1 时， f(x)>f(1) ＝1－ln2>0 恒成立，则原式得证．
• [例4] 已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x， t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增 函数，求t的取值范围． • [分析] 由向量的数量积和运算法则求函 数f(x)的解析表达式，再f′(x)≥0在(－1,1)上 恒成立，求出t的范围．
• [解析] 解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x ＋1) • ＝－x3＋x2＋tx＋t • f′(x)＝－3x2＋2x＋t • ∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数， • ∴f′(x)≥0在x∈(－1,1)上恒成立 • ∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立 • 即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立 1 • 令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1) ∴g(x)∈(－3，5)
• [例1] 判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞) 上的单调性．
[解析] ∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3) 当 a＝0 时， y′＝ 0，函数 在 R上不 具备单 调 性． • [点评] 判断函数单调性的方法有两种： • (1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1， x2 ，且x1<x2 ，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函 数的单调性； • (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调 性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的 符号；③得出结论． • • • •
• [答案]
D
[解析]
由题意可知，当 0≤x<π 时，
1 f(x)＝2(2x－S△AOB)＝x－sinx； 当 π≤x≤2π
1 时，f(x)＝22x＋S△AOB
＝x＋sin(2π－x)＝x－sinx. 因此，当 0≤x≤2π 时，f(x)＝x－sinx.
• 因为当0≤x<π时，f(x)＝x－sinx≤x，所以函 数的图象在y＝x的下方；当π≤x≤2π时，f(x) ＝x－sinx≥x，所以函数的图象在y＝x的上 方．故选D.
• 1．3 导数在研究函数中的应用 • 1．3.1 函数的单调性与导数
• 1．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0 的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的 切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线 的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每 一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该 区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内， f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．
2． 在区间(x1，2)内， x 函数 f(x)的平均变化率即
是经过 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两点直线的斜率
上一定存在一点 P(x0，f(x0))，使在点 P 处的切 f(x2)－f(x1) f′(x0)＝ ，如图． x2－x1
• 因此当区间(x1，x2)很小时，平均变化率可 近似表示函数y＝f(x)在这个区间内的单调 性． • 3．如果函数f(x)在点x0附近，当x＜x0时f′(x) ＜0，当x＞x0时f′(x)＞0，则点(x0，f(x0))我 们称作临界点，通过画图你能观察出f(x0) 与临近点函数值的大小关系吗？同样当x ＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时，f′(x)＜0，再 画图观察f(x0)的值与邻近点的函数值之间 有何关系？
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数 的关系 • 如 果 f′(x) ＞ 0 ， 那 么 函 数 y ＝ f(x) 在 这 个 区 间 内 单调递增 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x) 在这个区间内 单调递减 ．如果f′(x)＝0，那么函 数y＝f(x)在这个区间内为 常数函数 ． • 2．求函数单调区间的步骤 • (1)确定f(x)的定义域； • (2)求导数f′(x)； • (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当 增函数 f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ； 当 f′(x) 减函数 ＜0时，f(x)在相应区间上是 ．
[证明]
1 设 f(x)＝x－ln(1＋x)． 因为 f′(x)＝1－ ＝ x＋1
x ，x>1，所以 f′(x)>0，所以 f(x)在(1，＋∞)上是增函 x＋1 数． 又 f(1) ＝ 1 － ln2>1 － lne ＝ 0 ， 即 f(1)>0 ， 所 以 f(x)>0(x>1)，即 x>ln(1＋x)(x>1)．
• 使f(x)在(－1,1)上是增函数 • 故t的取值范围是t≥5. • [点评] 已知函数的单调性，确定字母的 取值范围是高考考查的重点内容，解决这 类问题的方法主要有两种，其一，转化为 函数求最值，其二，若能比较容易求出函 数的单调区间时，可利用子区间来解 决．特别注意的是，若导函数为二次函数 时，也可借助图象，利用数形结合思想来 解决，如上例中的解法2.
• 故要使t≥3x2 －2x在区间(－1,1)上恒成立，只需 t≥5，即所求t的取值范围为：t≥5. • 解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1) • ＝－x3＋x2＋tx＋t • f′(x)＝－3x2＋2x＋t • ∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数， • ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立 • 又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线 • ∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－ 5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1)上满足 f′(x)＞0
所以 若
2 f(x)在区间－∞，a上是减函数．
2 x∈a，0，则
f′(x)>0，
所以
2 f(x)在区间a，0上是增函数．
若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)<0， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.
[例 2]
求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1 b (2)f(x)＝x＋ (b＞0) x
若
2 x∈0，a，则
f′(x)<0，
所以 若
2 f(x)在区间0，a上是减函数．
2 x∈a，＋∞，则
f′(x)>0，
所以
2 f(x)在区间a，＋∞上是增函数． 2 x∈－∞，a，则
当 a<0 时，若
f′(x)<0，
• [点评] 求函数单调区间时需注意： • 1．步骤：
• 2．含有参数的函数求单调区间时注意正 确运用分类讨论思想． • 3．如果一个函数具有相同单调性的单调 区间不止一个，那么这些单调区间不能用 “∪”连接，而只能用“逗号”或“和” 字隔开．
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3 (2)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π) bx (3)f(x)＝ 2 (－1<x<1，b≠0) x －1
1 3 1 2 若函数 f(x)＝ x － ax ＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)内为 3 2 减函数，在区间(6，＋∞)上增函数，试求实数 a 的取值 范围．
• [解析] f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a －1)] • 当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞) 上为增函数，不合题意． • 当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞， 1)上为增函数，
• ∴f′(x)＝cosx－1＜0恒成立 • ∴函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上是单调递减 函数．
b(x2－1)－bx(2x) －b(x2＋1) (3)f′(x)＝ ＝ 2 (x2－1)2 (x －1)2 x2＋1 因为－1<x<1，所以－ 2 <0， (x －1)2 故当 b>0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减； 当 b<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
3 已知函数 f(x)＝ax －3x ＋1－a，讨论函数 f(x)的单
3 2
调性．
[解析] 由题设知 a≠0，
2
f′(x)＝3ax
2 －6x＝3axx－a.
2 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ . a 当 a>0 时，若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0， 所以 f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；
• [答案] D • [解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0， 故在[a，b]上，f(x)为增函数．且又由图知 f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线 上每一点处切线的斜率先增大再减小，故 选D. • [点评] 本题的关键是正确理解导函数与 函数之间的关系．
• 如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧 AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝ f(x)的图象是( )
• • • •
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1， ＋∞) • 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， • 解得－1＜x＜1. • ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数，
a－1≥4 依题意应有： a－1≤6
，解得 5≤a≤7，