苏教版高中数学(必修1)1.1《集合的含义及其表示》word同步测试题

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高中数学苏教版必修11.1 集合的含义及其表示小题练习同步作业Word版含答案

1.1 集合的含义及其表示1、把集合{}243|0x x x -+=用列举法表示为( )A. {}1,3B. {}1|,3x x x ==C. {}2430x x -+=D. {}1,3x x ==2、已知集合{}10,A x x a =≤=则a 与集合A 的关系是( )A. a A ∈B. a A ∉C. a A =D. {}a A ∈3、给出下列关系:①12R ∈R ;③3N ∈;④Q .其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.44、下面四个说法中正确的是( )A. 10以内的质数组成的集合是{}0,2,3,5,7B.由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,1,2C.方程2210x x -+=的解集是{}1,1D. 0与{}0表示同一个集合5、已知,x y 为非零实数,则集合{}xy xyM m m x y xy ==++为( )A.{}0,3B.{}1,3C.{}1,3-D.{}1,3-6、对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“⊗”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时, m n m n ⊗=+;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m n mn ⊗=.则在此定义下,集合(){},|16M a b a b =⊗=中的元素个数是( )A.18个B.17个C.16个D.15个7、已知集合{},,A a b c =中任意2个元素的和构成的集合为{}1,2,3,则集合A 中任意2个元素的差的绝对值构成的集合是( )A. {}1,2,3B. {}1,2C. {}0,1D. {}0,1,28、方程组3{1x y x y +=-=-的解集不能表示为( )A. ()3{,}1x y x y x y +=⎧⎨-=-⎩B. ()1{,}2x x y y =⎧⎨=⎩C. {}1,2D. (){,1,2}x y x y ==9、对集合{}1,5,9,13,17用描述法来表示,其中正确的是() A. {x x 是小于18的正奇数} B. {41,,x x k k Z =+∈且5}k < C. {43,,x x t t N =-∈且5}t ≤ D. *{43,,x x s s N =-∈且5}s ≤10、集合(){}1, 2y y x x =-表示( )A.方程21y x =-B.点(),x yC.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.一次函数21y x =-图象上的所有点组成的集合11、若集合2{|10}x ax x ++=有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是___________;12、给出下列说法:①集合{}3|? x N x x ∈=用列举法表示为{}1,0,1-;②实数集可以表示为{|x x 为所有实数}或{} R ;③方程组3,{1x y x y +=-=-的解集为{}1,2?x y ==. 其中不正确说法的个数为__________.13、以方程2560x x -+=和方程220x x --=的根为元素的集合中共有__________个元素.14、已知集合(){}(){},21,,|3|,A x y y x B x y y x a A ==+==+∈,且a B ∈,则a 为________.15、下列命题中正确的是__________(填序号).①0与{}0表示同一集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1;③方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2;④集合{}|25x x <<可以用列举法表示.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：解方程2430x x -+=得1x =或3,应用列举法表示解集即为{}1,32答案及解析：答案：A10,所以a A ∈故选A.3答案及解析：答案：B解析：①12R ∈R ,错误;③3Q ∈正确;④Q ,错误,所以正确的个数为2,故选B4答案及解析：答案：B解析：10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7,故A 错误;由集合元素的互异性知{}1,2,3和{}3,1,2相等,故B 正确;方程2210x x -+=的解集应为{}1故C 错误;由集合的表示方法知0不是集合,故D 错误.故选B,5答案及解析：答案C解析当0x >,0y > 时,3m =;当0x <,0y < 时,1m =-;当0x >,0y < 时,1m =-;当0x <,0y > 时,1m =-.故{}1,3M =-6答案及解析：解析：因为11516+=,21416+=,31316+=,41216+=,51116+=,61016+=,7916+=,8816+=,11616⨯=,集合M 中的元素是有序数对(),a b ,所以集合M 中的元素共有82117⨯+=个,故选B.考点:集合元素的概念、对新定义的理解和计数原理.7答案及解析：答案：B解析：由题意,不妨令 1?23a b b c a c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解得 1?02a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以集合{}0,1,2A =.则集合A 中任意2个元素的差的绝对值是1,2,故集合A 中任意2个元素的差的绝对值构成的集合是{}1,2 :.故选B.8答案及解析：答案：C解析：原方程组的解为1{2x y == 其解集中只含有一个元素,可表示为A,B,D. C 不符合,故选C.9答案及解析：答案：D解析：A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有 3,7,11,15;B 中除给定集合中的元素外,还有-3, -7, -11,…;C 中0t =时,3x =-,不属于给定的集合;只有D 是正确的.故选D.10答案及解析：解析：本题中的集合是点集.其表示一次函数21y x =-图象上的所有点组成的集合.故选D.11答案及解析：答案：{|0a a =或1}4a =解析：12答案及解析：答案：①②③解析：对于①,集合{}3|? x N x x ∈=中的元素是指满足3x x =的自然数,故有0,1x =,用列举法表示即为{}0,1,故错误;对于②,实数集不能表示成{} R ,它表示的是有一个元素的集合,故不正确;对于③,方程的解集为(){}1,2?,故不正确.13答案及解析：答案：3解析：方程2560x x -+=的根是2,3,方程220x x --=的根是1,2-.根据集合中元素的互异性知,以两方程的根为元素的集合中共有3个元素.14答案及解析：答案：()2,5解析：集合,A B 都表示直线上点的集合, a A ∈表示a 是直线21y x =+上的点, a B ∈表示a 是直线3y x =+上的点,所以a 是直线21y x =+与3y x =+的交点,即a 为()2,5.15答案及解析：答案：②解析：对于①,0表示元素与{}0不同;对于③,不满足集合中元素的互异性,故不正确;对于④,无法用列举法表示,只有②满足集合中元素的无序性,是正确的.。

苏教版高中数学必修一学第课集合的含义及其表示测试题(1)

第1课集合的含义及其表示【新知导读】1. 集合的概念是什么？元素与集合的关系有哪几种？集合中的元素有哪些特性？2. 自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集、空集的记号分别是什么？3. 表示集合的常用方式有哪些？【范例点睛】例1 已知集合{}{}2,,2,,,A a a d a d B a aq aq =++=(a 为常数），若A B =，求d 与q 的值。

思路点拨两个集合相等，即两个集合中的元素分别对应相等，列出方程组求解，但要检验，看所得结果是否符合集合元素的互异性。

例2 已知集合{}2320,,A x R ax x a R =∈-+=∈（1）若A =∅，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值并写出这个集合的元素；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；（4）若A 中有两个元素，求a 的取值范围。

思路点拨 1.本题以集合为背景，实际是考查方程的问题，准确进行集合语言与方程语言的转化是解这类题的关键；2.二次项系数含字母的方程利用判别式判别根的个数时，要注意二次项系数不为零，因此要分类讨论。

【随堂演练】1．有下列各组对象：①高一（2）班个子比较高的同学；②所有的小正数；③倒数等于它本身的实数；④函数2y x=的图象上的所有点；其中能构成集合的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列各组集合中，表示同一集合的是（）A ．{}{}(3,2),(2,3)M N ==B ．{}{}2,3,3,2M N ==C ．(){}{},|1,1M x y x y N x y =+==+=D ．{}0,M N ==∅3．下列集合中，是有限集的是（）A ．{}2|10x x -=B ．{}2(,)|1x y y x =-C ．｛等腰直角三角形｝D ．{}|11x x -≤≤4．集合{}1,3,5,7,A =L ，用描述法可表示为（）A ．{}*|,x x n n N =∈B ．{}*|21,x x n n N =-∈C ．{}*|21,x x n n N =+∈D ．{}|2,x x n n N =+∈5．若{}233,21,4a a a -∈---，则实数a 的值组成的集合为（）A ．{}0,1B ．{}0,1-C ．{}0,1,1-D ．{}1,1-6．设,P Q 为两个非空实数集合，定义集合{|,P Q x x a b a P +==+∈，,},{0,2,5},b Q P ∈=若}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的个（）A ．9B ．8C ．7D ．67．分别用列举法表示下列集合：（1）{}2|2520,A x x x x Z =-+=∈= ；（2）12|6B m N N m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭； 8．用描述法表示下列集合：（1）直角坐标平面内第三象限内的点的坐标所组成的集合；（ 2 ）被3除余1的正整数的集合是；9．已知集合{}1,2,23A x x =-+有三个元素，则x 的取值范围是。

(苏教版)高中数学必修一(全册)课时同步练习全汇总

（苏教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总第1章集合1.1 集合的含义及其表示A级基础巩固1．下列关系正确的是()①0∈N；②2∈Q；③12∉R；④－2∉Z.A．③④B．①③C．②④D．①解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N；②不正确，因为2是无理数，所以2∉Q；③不正确，因为12是实数，所以12∈R；④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.答案：D2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、第四象限内的点集解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．答案：D4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .答案：B5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1，1)}D ．(1，1)解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案：C6．下列集合中为空集的是( )A ．{x ∈N|x 2≤0}B ．{x ∈R|x 2－1＝0}C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}D ．{0}答案：C7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( )A ．－3或－1或2B ．－3或－1C ．－3或2D ．－1或2解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4时，得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{2，2，4}，不满足互异性；当a＝2时，A＝{2，4，－1}．所以a＝－3或a＝2.答案：C8．下列各组集合中，表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{(3，2)}，N＝{3，2}解析：A中集合M，N表示的都是点集，由于横、纵坐标不同，所以表示不同的集合；B中根据集合元素的互异性知表示同一集合；C中集合M表示直线x＋y＝1上的点，而集合N表示直线x＋y＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合．答案：B9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈PB．a＋b∈QC．a＋b∈MD．a＋b不属于P，Q，M中任意一个解析：因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z.所以a＋b∈Q.答案：B10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3.由题意可知，a＋b＝2.答案：211．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________________．解析：由集合元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1.答案：a∈R且a≠±112．点(2，11)与集合{(x，y)|y＝x＋9}之间的关系为__________________．解析：因为11＝2＋9，所以(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}．答案：(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}13．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A，且a∈B，则a为________．解析：集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y ＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，所以a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2，5)．答案：(2，5)14．下列命题中正确的是________(填序号)．①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．解析：对于①，0表示元素与{0}不同；对于③，不满足集合中元素的互异性，故不正确；对于④，无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的．答案：②B 级能力提升15．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R.集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条y ＝x 2＋1，表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；即满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|点(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 017的值．解：由题知a ≠0，故b a＝0，所以b ＝0.所以a 2＝1，所以a ＝±1.又a ≠1，故a ＝－1.所以a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＋02 017＝1.17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A.因为－1∈A，所以11－（－1）＝12∈A.因为12∈A，所以11－12＝2∈A.所以A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．所以集合A不可能是单元素集合．第1章集合1.2 子集、全集、补集A级基础巩固1．下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是()A．∅B．{0} C．{1} D．{0，1}解析：任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集．答案：D2．(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}解析：因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}，故∁U A＝{2}．答案：B3．若集合A＝{a，b，c}，则满足B⊆A的集合B的个数是() A．1 B．2 C．7 D．8解析：把集合A的子集依次列出，可知共有8个．答案：D4．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，所以∁U A＝{2，4，7}．答案：C5．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N 之间关系的Venn图是()解析：M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，所以N M.答案：C6．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4解析：由A B，结合数轴，得a≥4.答案：D7．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________________．解析：集合A和B的数轴表示如图所示．由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________．解析：由A⊇B，得a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B 的包含关系是________．解析：因为∁U A＝{x|x＜0}，∁U B＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，所以∁U A∁U B.答案：∁U A∁U B10．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．解析：分B＝∅和B≠∅两种情况．答案：{a|a≤1}11．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x|x2－x＋a＝0}，所以方程x2－x＋a＝0有实根．则Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14. 答案：a ≤1412．已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值．解：因为B ⊆A ，A ≠∅，所以B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，所以－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上所述，a ＝0或a ＝12. B 级能力提升13．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，所以C 中必须含有1，2，即求{3，4}的子集的个数，为22＝4.答案：D14．已知：A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．解析：A *B ＝{2，3，4，5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16.答案：5 1615．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}．若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，则a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }，U ＝R ，所以∁U B ＝{x |x ＜a }．要使A ⊆∁U B ，只需a ＞－2(如图所示)．答案：{a |a ＞－2}16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：①若B ＝∅，则应有m ＋1>2m －1，即m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，⇒2≤m ≤3.综上即得m 的取值范围是{m |m ≤3}．17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B A ，求a 的值．解：A ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1，3}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B A .若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a . 由B A ，可知1a ＝－1或1a＝3，即a ＝－1或a ＝13. 综上可知a 的值为0，－1，13. 18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．解：由题意得∁R A＝{x|x≥－1}．(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁R A.(2)若B≠∅，则由B⊆∁R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－12.第1章集合1.3 交集、并集A级基础巩固1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x －2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}．答案：B2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝()A．∅B．{x|－3<x<3}C．{x|－3<x<2} D．{x|2<x<3}答案：C3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩∁U B＝{9}，则A＝()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}答案：D4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B 为()A．{x＝1或y＝2} B．{1，2}C．{(1，2)} D．(1，2)（x，y）|4x＋y＝6，3x＋2y＝7＝{(1，2)}．解析：A∩B＝{}答案：C5．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2解析：因为A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，…}又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}．故A∩B中有2个元素．答案：D6．(2014·辽宁卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}解析：易知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．答案：D7．已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1，2，3}．答案：{1，2，3}8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(∁S A)∩B ＝________．解析：∁S A＝{x|x>1}．答案：{x|1<x≤5}9．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，则a的取值范围为________．解析：如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.答案：{a|1＜a≤3}10．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则pq＝________．解析：因为M∩S＝{3}，所以3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p＝8，q＝6.则pq＝4 3.答案：4 311．满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A的个数是________．解析：A可以是集合{5}，{1，5}，{3，5}或{1，3，5}．答案：412．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{}x |2x ＋a ＞0，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)因为C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，所以－a 2＜2.所以a ＞－4. B 级能力提升13．集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．答案：C14．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB )B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：阴影部分的元素属于集合B 而不属于集合A ，故阴影部分可表示为B ∩(∁U A )．答案：B15．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x＜k ＋1，k ＜2}，且B ∩(∁U A )≠∅，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得∁U A ＝{x |1＜x ＜3}，又B ∩∁U A ≠∅，故B ≠∅，结合图形可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜k ＋1，1＜k ＋1＜3，解得0＜k ＜2. 答案：0＜k ＜216．已知集合A ＝{1，3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？实数x 若存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，使B ∪(∁U B )＝A .所以B A .(1)若x ＋2＝3，则x ＝1符合题意．(2)若x ＋2＝－x 3，则x ＝－1不符合题意．所以存在x ＝1，使B ∪(∁U B )＝A ，此时A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}．17．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .若B ＝∅时，2a ＞a ＋3，则a ＞3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2或a ＞3}．18．设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1. 所以a ＝2或a ≤－12. 所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤－12或a ＝2. (2)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①B ＝∅时，满足B ⊆A ，则2a >a ＋2⇒a >2.②B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4. 解之得a ≤－3或 a ＝2.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3或a ≥2}．章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来．解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求．综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4.又因为因为A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B⊆A，利用数轴所以－p4≤－1.所以p≥4，故实数p的取值范围为{p|p≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N*}，则集合P 的非空子集的个数是()A．2 B．3 C．7 D．8解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N*，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N*.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}．(2)当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R}＝R.综上可知，当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合∁A (A ∩B )＝________．解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |－4<x <1或3<x <4}．所以∁A (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立．当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析：每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：因为Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.答案：B2．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝()解析：由于A是数集，B是点集，故A∩B＝∅.答案：D3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A4．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}解析：因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B ＝{0，2}．答案：C5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0C．0或1 D．以上答案都不对解析：当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k ＝1.故k＝0或k＝1.答案：C6．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误；③不正确，如∅只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确；故只有1个命题正确．答案：B7．(2015·山东卷)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}．则A ∩B ＝( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)解析：易知B ＝{x |1＜x ＜3}，又A ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2，3)．答案：C8．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4. 答案：B9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪∁U B 等于( )A ．{x |x <－1或x >0}B ．{x |x <－1或x >1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |x <－2或x ≥0}解析：∁U B ＝{x |x <－1或x >0}，所以A ∪∁U B ＝{x |x <－1或x >0}．答案：A10．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：由题意A ∪B ＝{1，2，3}，又B ＝{1，2}．所以∁U B ＝{3，4}，故A ∩∁U B ＝{3}．答案：A11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则(∁U A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：因为A ＝{x |x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1}．所以(∁U A )∪B ＝{x |x ＞0}．答案：D12．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2，3)∈A ∩(∁U B )，则下列选项正确的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：由P (2，3)∈A ∩(∁U B )得P ∈A 且P ∉B ，故⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M ∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．答案：{1，3，5}14．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1，2)∈A ∩B ，则a ＋b ＝________．解析：因为(1，2)∈A ∩B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73. 故a ＋b ＝4.答案：415．设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合{x |x ∈A ，且x ∉A ∩B }＝________．解析：A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >3或x <1}，A ∩B ＝{x |3<x <4或－4<x <1}，所以{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}16．设集合M ＝{x |2x 2－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________．解析：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12.若N ⊆M ，则N ＝{3}或⎝ ⎛⎭⎬⎫－12或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2.0，13 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)17．(本小题满分10分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1，2}，所以2a ＝1或2a＝2，从而a ＝1或a ＝2. 故集合C ＝{0，1，2}．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(2)当a ＞1时，满足A ∩C ≠∅.因此a 的取值范围是{a |a ＞1}．19．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B ≠A 时：①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a ＝1或a ≤－1.20．(本小题满分12分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. 所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解：因为B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，所以a 2－3a －10＝0.解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立；当a ＝5时，A ＝{2，3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.22．(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝3，所以集合P ＝{x |4≤x ≤7}．所以∁R P ＝{x |x ＜4或x ＞7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x ＜4}．(2)因为P ∪Q ＝Q ，所以P ⊆Q .①当a ＋1＞2a ＋1，即a ＜0时，P ＝∅，所以P ⊆Q ；②当a ≥0时，因为P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5.所以0≤a ≤2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．第2章函数2.1 函数的概念2.1.1 函数的概念和图象A 级基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案：B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A ．[2a ，a ＋b ]B ．[0，b －a ]C ．[a ，b ]D ．[－a ，a ＋b ] 答案：C5．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：A 、C 、D 的定义域均不同．答案：B6．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1，4]上的值域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(0，3] C ．[－1，3] D ．(－1，3)解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y ≤3.答案：C7．已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．(－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由于f (x )的定义域为(－3，0) 所以－3＜2x －1＜0，解得－1＜x ＜12.故y ＝f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.答案：B8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x 2－1x ＋2的定义域是__________________．解析：要使f (x )有意义，必有⎩⎨⎧x －12≠0，x ＋2＞0，解得x ＞－2且x ≠12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．解析：因为f (x )的定义域为[0，1]，所以0≤x ＋2≤1.所以－2≤x ≤－1，即f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：因为点(－1，4)在y ＝f (x )的图象上，所以4＝－a ＋2.所以a ＝－2. 答案：－211．若f (x )＝ax 2－2，a 为正常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________．解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2，所以f ()f （2）＝a ·(2a －2)2－2＝－ 2. 所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正常数，所以2a －2＝0.所以a ＝22.答案：2212．已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0，所以f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0. 所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. B 级能力提升13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解析：因为f (x )的定义域为[0，2]，所以g (x )＝f （2x ）x －1需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1.所以g (x )的定义域为[0，1)．答案：B14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s 随t 的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A 图比较适合题意．答案：A15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______．解析：因为f (x )＝x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.所以f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f (x )＝2x －1－7x .(1)求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111； (2)求函数的定义域．解：(1)f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝217＝277， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝2111－1－711＝411－411＝0. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，解得⎩⎨⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17. 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤17.17．已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．解：已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)，因为1ax ＋1≥0，a ＜0，所以x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]．因为函数在区间(－∞，1]上有意义，所以(－∞，1]⊆(－∞，－a ]．所以－a ≥1，即a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．18．试画出函数f (x )＝(x －2)2＋1的图象，并回答下列问题： (1)求函数f (x )在x ∈[1，4]上的值域； (2)若x 1＜x 2＜2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小．解：由描点法作出函数的图象如图所示．(1)由图象知，f (x )在x ＝2时有最小值为f (2)＝1，又f (1)＝2，f (4)＝5.所以函数f (x )在[1，4]上的值域为[1，5]． (2)根据图象易知，当x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＞f (x 2)．第2章函数 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法A 级基础巩固1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，所以f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100. 答案：A2．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－3解析：f (f (x ))＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：由题意设f (x )＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a ＋b ＝0，a ＝－b ，故符合条件的是D.答案：D4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.答案：D5．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x 2x 2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15. 答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析：f (－2)＝(－2)2＝4. 所以f (f (－2))＝f (4)＝1－4＝－1. 答案：A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：38.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2))＝________．解析：由图象及已知条件知f (2)＝0，即f (f (f (2)))＝f (f (0))，又f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2. 答案：29．若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地，在B 地停留32h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地．则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________．解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212. 答案：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212 10．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，1x ，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＞a 恒成立．当a ＜0时，f (a )＝1a ＞a ，所以a ＜－1.综上a 的取值范围是a ≥0或a ＜－1. 答案：{a |a ≥0或a ＜－1}11．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，所以9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5. 比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.所以f (x )＝x 2－4x ＋8.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0，1]．B 级能力提升13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：易知f (0)＝2，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：A14．任取x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．答案：D15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( ) A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60， f (A )＝60A＝15⇒A ＝16. 答案：D16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23∉[0，2]，故无解．当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.因此f (x 0)＝8时，x 0的值为4.17．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ，超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？解：(1)设车费为y 元，出租车行驶里程为x km.由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6.所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：t /天 5 15 20 30Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式；(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N.(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N. 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N. 若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125.因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．第2章函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性A 级基础巩固1.函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1，2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1，2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1，4]上是减函数D ．函数f (x )在[2，4]上是增函数解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．答案：A2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则() A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a＋3)＞f(a－2) D．f(6)＞f(a)解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．答案：C3．y＝2x在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是()A．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析：因为函数y＝2x在[2，4]上是单调递减函数，所以y max＝22＝1，y min＝24＝12.答案：A4．函数y＝x2－6x的减区间是() A．(－∞.2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故函数的单调减区间是(－∞，3]．答案：D5．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0知f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，①正确；②③④均不正确．答案：B6．已知函数f (x )＝4x －3＋x ，则它的最小值是( )A ．0B ．1 C.34 D ．无最小值解析：因为函数f (x )＝4x －3＋x 的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，且是增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34. 答案：C7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (2x －1)＞f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：因为f (x )在R 上是减函数，且f (2x －1)＞f (1)，所以2x －1＜1，即x ＜1.答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为直线x ＝1，所以当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1.又因为f (0)＝3，所以f (2)＝3.所以m ≤2.故1≤m ≤2.答案：[1，2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：12011．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2，2]上的单调性．解：因为函数图象的对称轴x ＝2a ＋1，所以当2a ＋1≤－2，即a ≤－32时，函数在[－2.2]上为增函数．当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜12时，函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1，2]上是增函数．当2a ＋1≥2，即a ≥12时，函数在[－2，2]上是减函数． 12．已知f (x )＝x ＋12－x，x ∈[3，5]． (1)利用定义证明函数f (x )在[3，5]上是增函数；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )在区间[3，5]上是增函数，证明如下：设x 1，x 2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12－x 1－x 2＋12－x 2＝3（x 1－x 2）（2－x 1）（2－x 2）. 因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＜0，2－x 2＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间[3，5]上是增函数．(2)因为f (x )在区间[3，5]上是增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值为－4，当x ＝5时，f (x )取得最大值为－2.B 级能力提升13．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40)B ．[40，64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)。

高一数学苏教必修同步练习：集合的含义及其表示含答案

1.1 集合的含义及其表示1、下列几组对象可以构成集合的是( )A.充分接近π的实数全体B.善良的人C.某校高一所有聪明的学生D.某单位所有身高在1.7m 以上的人2、考察下列每组对象,能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的正整数;.A.①②B.③④C.②③ D.①③ 3、由大于-3且小于11的偶数组成的集合是( )A.{|311,}x x x -<<∈QB.{|311}x x -<<C.{|311,2,}x x x k k -<<=∈QD.{|311,2,}x x x k k -<<=∈Z4、设集合{(1,2)}M =.则下列关系成立的是( )A.1M ∈B.2M ∈C.()1,2M ∈D.()2,1M ∈5、将集合(){5,21x y x y x y +=⎧⎫⎨⎬-=⎩⎭表示成列举法，正确的是( )A.{}2,3B.(){}2,3C.{2,3}x y ==D.()2,36、已知集合{,,}M a b c =中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7、下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A.{}||1|0x x +=B.{}2|(1)0y y +=C.{}1x =-D.{}1-8、下列各组中集合P 与Q ,表示同一个集合的是( )A.P 是由元素, 1构成的集合, Q 是由元素π,1,构成的集合B. P 是由π构成的集合, Q 是由3.14159构成的集合C. P 是由2,3构成的集合, Q 是由有序数对()2,3构成的集合D. P 是满足不等式11x -≤≤的自然数构成的集合, Q 是方程21x =的解集9、设集合{|,M x R x a =∈≤=则( )A. a M ∉B. a M ∈C. {}a M ∈D. {}a M ∉ 10、下列各式:①{}10,1,2∈;②{}0,1,2∅⊆;③{}{}10,1,2∈;④{}{}0,1,22,0,1=,其中错误的个数是( )A.1B.2C.3D.411、下列说法中:①集合N 与集合*N 是同一个集合;②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素;③集合Q 中的元素都是集合N 中的元素;④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素. 其中正确的个数是 . 12、已知集合(){}(){},|21,,|3A x y y x B x y y x ==+==+,若a A ∈且a B ∈则a 为__________. 13、设集合{}52,n M m m n n *==+∈N，且100m <，则集合M 中所有元素的和为 .14、由实数,x x -所组成的集合里最多含有个元素. 15、若22{|30}x x ax ∈--=,求集合2{|320}x x x a -+=中所有元素的和与积.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：集合的元素具有“确定性”、“互异性”、“无序性”，选项A 、B 、C 均不满足“确定性”故选D.2答案及解析：答案：C解析：①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定,因而不能构成集合;②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定,能构成集合;③“不小于3的正整数”的标准确定.能构成集合;,不能构成集合.3答案及解析：答案：D解析：偶数先必须是整数.4答案及解析：答案：C解析：（1,2)是集合M 中的元素，所以()1,2M ∈.故选C.5答案及解析：答案：B解析：原集合的元素为点或有序数对.6答案及解析：答案：D解析：因集合中的元素全不相同，故三角形的三边各不相同，所以ABC △不可能是等腰三角形.7答案及解析：答案：C解析：由集合的含义知{}{}{}2||1|0|(1)01x x y y +==+==-，而集合{}1x =-表示由方程1x =-组成的集合.故选C.8答案及解析：答案：A解析：由于A 中,P Q 元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合,而B 、C 、D 中元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A.9答案及解析：答案：B解析：((2224270-=-<,∴∴a M ∈.10答案及解析：答案：A解析：①{}10,1,2∈,元素与集合之间用属于符号,故正确;②{}0,1,2∅⊆空集是任何集合的子集,正确;③{}{}10,1,2∈,集合与集合之间不能用属于符号,故不正确④{}{}0,1,22,0,1=,根据集合元素的无序性可知正确故选A11答案及解析：答案：2解析：由数集性质知①③错误，②④正确.12答案及解析：答案：()2,5解析：设a 为(),x y ,∵a A ∈且a B ∈,∴,x y 是方程组213y x y x =+=+⎧⎨⎩的解,解方程组,得25x y ==⎧⎨⎩, ∴a 为()2,5.13答案及解析：答案：231解析：1n =时，15127m =⨯+=， 2n =时，252214m =⨯+=，3n =时，353223m =⨯+=,4n =时，454236m =⨯+=,5n =时，555257m =⨯+=，6n =时，656294m =⨯+=，当7n >时，100m ≥不合要求.故M 中所有元素的和为71423365794231+++++=.14答案及解析：答案：2||,x x ==-15答案及解析：答案：集合中所有元素和为3,积为1.解析：由22{|30}x x ax ∈--=可得22230a --=,解得12a =, 故2320x x a -+=即为2310x x -+=.因为2(3)450--=>,所以方程2310x x -+=有两个不相等的实数根, 设两根为1x ,2x ,则12123,1x x x x +=⋅=,故集合中所有元素的和为3,积为1.。

苏教版数学高一-课堂新坐标必修1试题 1.1集合的含义及其表示

1.1 集合的含义及其表示一、填空题1．下列条件能形成集合的是________．(1)充分小的负数全体 (2)爱好飞机的一些人；(3)某班本学期视力较差的同学 (4)某校某班某一天所有课程．【解析】综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)．【答案】 (4)2．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x －y ＝5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．【解析】因⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝5的解集为方程组的解．解该方程组x ＝72，y ＝－32.则用列举法表示为{(72，－32)}；用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝5. 【答案】 {(72，－32)} ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋y ＝2x －y ＝53．函数y ＝x 2－2x －1图象上的点组成的集合为A ，试用“∈”或“∉”号填空．①(0，－1)________A ；②(1，－2)________A ；③(－1,0)________A .【解析】把各点分别代入函数式，可知(0，－1)∈A ，(1，－2)∈A ，(－1,0)∉A .【答案】 ∈，∈，∉4．(2013·徐州高一检测)若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是________三角形．(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)【解析】由集合中元素的互异性可知a ≠b ≠c ，故该三角形一定不是等腰三角形．【答案】等腰5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是________．图1－1－1【解析】由图可知，所表示的集合为{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}．【答案】 {(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0} 6．(2013·南京高一检测)若集合A ＝{x |3x －a <0，x ∈N }表示二元集，则实数a 的取值范围是________．【解析】由3x －a <0得，x <a 3，又x ∈N 且满足上述条件的只有两个元素，故1<a 3≤2，解得3<a ≤6. 【答案】 3<a ≤67．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则M ＝________.【解析】分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正、两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}．【答案】 {－4,0,4}8．设三元素集A ＝{x ，y x ，1}，B ＝{|x |，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A＝B ，则x 2013－y 2 013的值等于________．【解析】由题意，知{x ，y x，1}＝{|x |，x ＋y,0}． ∵x ≠0，∴y x ＝0，即y ＝0.又∵x ≠1，且|x |＝1，∴x ＝－1，∴x 2 013－y 2 013＝(－1)2 013－0＝－1.【答案】－1二、解答题9．用列举法表示下列集合：(1){y |y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N }；(2)方程x 2＋6x ＋9＝0的解集；(3){20以内的质数}；(4){(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈Z ，y ∈Z }；(5){(x ，y )}|x ∈N ，且1≤x <4，y －2x ＝0}；(6){a |65－a∈N ，且a ∈N }．【解】 (1)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即y ≤4，又y ∈N ，∴y ＝0,1,2,3,4.故{y |y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N }＝{0,1,2,3,4}．(2)由x 2＋6x ＋9＝0得x 1＝x 2＝－3，∴方程x 2＋6x ＋9＝0的解集为{－3}．(3){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．(4)因x ∈Z ，y ∈Z ，则x ＝－1,0,1时，y ＝0,1，－1.那么{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈Z ，y ∈Z }＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}．(5)当x ∈N 且1≤x <4时，x ＝1,2,3，此时y ＝2x ，即y ＝2,4,6，那么{(x ，y )|x ∈N 且1≤x <4，y －2x ＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}．(6)当a ＝－1,2,3,4时，65－a 分别为1,2,3,6，故{a |65－a∈N ，且a ∈N }＝{－1,2,3,4}．10．用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(2)大于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)三角形的全体构成的集合；(5){2,4,6,8}．【解】 (1){x |x ＝5k ＋1，k ∈N }；(2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2，k ∈N }；(3){(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }；(4){x |x 是三角形}或{三角形}；(5){x |x ＝2n,1≤n ≤4，n ∈N }．11．已知p ∈R ，且集合A ＝{x |x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x |x 2－92x －p ＝0}，12∈A ，求集合B 中的所有元素．【解】 ∵12∈A ，∴14－p 2－52＝0，∴p ＝－92.∴B ＝{x |x 2－92x ＋92＝0}．又方程x2－92x＋92＝0的两根为x＝32或x＝3.∴B＝{32，3}.。

苏教版高中数学必修一集合的含义及表示同步练习(1)

单元测试（1）一、选择题：1．集合M=｛1,2, 3｝的子集的个数是（）A.4B.7C.8D.162．① 能够被111整除的偶数的全体构成的集合为｛0,222,444,…,1110,…｝ ;② 能够整除111的偶数的全体构成的集合为φ; ③2∈ R , 0.9∈ R , π∈ Q ;④绝对值不小于3的整数的全体构成的集合是有限集;⑤若集合M=｛x ︱x=2n+1,n ∈Z ｝, 集合N =｛x ︱x=4n+1,n ∈Z ｝,则M=N. 上面描述正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3．下列表示同一集合的是（）A ． M=｛（1,2）｝, N =｛（2,1）｝B ．M=｛1,2｝, N =｛2,1｝C ．M=｛y ︱y=x-1,x ∈R ｝, N=｛y ︱y=x-1,x ∈N ｝D ．M=｛（x,y ）︱21--x y =1,n ∈Z ｝, M=｛（x,y ）︱y-1=x-2｝ 4．已知Z ∈k n m 、、，则∈++)23)(13(n m（）A.｛x |x ＝3k ｝B.｛x |x ＝3k －1｝C.｛x |x ＝3k +1｝D.不确定.5．已知集合I 、P 、Q 满足I = P ∪Q =｛0,1,2,3,4｝, P ∩Q =｛1,3｝,则(Q P ⋃)∩(P ∪Q) = ( ) A ｛0,1,3｝ B ｛1,2,4｝ C ｛0,2,4｝ D ｛1,3,4｝ 6．不等式21≥-xx 的解集为 ( ) A.)0,1[- B.),1[∞+- C.]1,(--∞ D.),0(]1,(∞+--∞Y 7．{}{}为那么集合已知集合N M ,4y x )y ,x (N ,2y x )y ,x (M ⋂=-==+=( ) A. x=3, y= -1 B (3,-1) C.｛3,-1｝ D ｛(3,-1)｝ 8．设全集I=｛(x , y )| x , y ∈R ｝, 集合M=｛(x , y )|123=--x y ｝, N=｛(x , y )| y ≠x +1｝, 那么N M ⋃= ( )A φB ｛( 2,3 )｝C ( 2,3 )D ｛(x , y )| y =x +1｝9．已知集合M=｛a 2, a+1,-3｝, N=｛a -3, 2a -1, a 2+1｝, 若M ∩N=｛-3｝, 则a 的值是( )A -1B 0C 1D 210．设集合M=｛x | x - m <0｝, N=｛y |y=(x -1)2–1, x ∈R ｝, 若M ∩N=φ, 则实数m 的取值范围是 ( ) A m ≥-1 B m >-1 C m ≤-1 D m <-1二、填空题：11．已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={1，3，6，9}，C={3，7，8}，则（A ∩B ）∪C 等于_____________.12．若A ⊆B ，A ⊆C ，B={0，1，2}，C={0，2，4}，则满足上述条件的集合A 的个数为____. 13．若方程02322=+-a ax x 的一根小1，另一根大于1，则实数a 的取值范围是 __. 14．设数集M=｛x | m ≤x ≤m +43｝, N=｛x |n -31≤x ≤n ｝, 且M 、N 都是集合｛x |0≤x ≤1｝的子集, 如果把b -a 叫作集合｛x | a ≤x ≤b ｝的“长度”, 那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是_______________.三、解答题：15．根据图（1）～（4）用集合语言分别表示图中的阴影部分;写在图形下方的横线上:（1） ; （2） ; （3） ;（4） .16.给定集合A 、B ，定义一种新运算： A*B={ x | x ∈A 或x ∈B ，但B A x ⋂∉ }，又已知A={0，1，2，}，B={1，2，3}，用列举法写出A*B.U A B (4)U U17．集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a+1=0｝, C=｛x| x2-mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.18．（本题12分）已知函数y＝2x+ax+b，A＝｛x|2x+ax+b＝2x｝＝｛2｝，试求a、b的值及二次函数y的解析式.19．已知集合{}8x 24x A ≤-≤=，集合{}0a x x B ≥-=。

苏教版高中数学必修一学第课集合的含义及其表示测试题

第2课子集、全集、补集 (一)【新知导读】1. 子集定义是什么?2. 空集的定义及表示方法?3. 对于集合A 、B 、C,若,C B B A ⊆⊆、则【范例点睛】例1 已知集合}41|{<≤=x x A , B=}|{a x x <,若B A ⊆,求实数a 的取值范围. 思路点拨将数集A 表示在数轴上,要满足B A ⊆,表示数a 的点必须在表 4的点处或表示4的点的右边.这类问题,数形结合,以形定数,同时注意验证端点值,做到准确无误例2 已知集合},,{xy y x y x A +-=,}0,,{2222y x y x B -+=,且B A = 求实数x 和y 的值及集合B A 和.思路点拨因为集合的元素具有确定性,互异性,无序性,解此题时应注意集合的元素满足这三性,由已知条件B A =,知A ∈0,是解决本题的突破口.【随堂演练】1．给出6个关系式：①{}{}(,)(,)a b b a =； ②{}{},,a b b a =； ③∅{}0； ④{}00∈； ⑤{}0∅∈； ⑥{}0∅=；其中正确的个数为（） A.6 B.5 C.4 D.32．已知集合{}|24A x x =<≤，则下列关系中正确的是（） A ．A π∉ B ．{}A π∈ C ．A π⊆ D ．{}A π⊆3．已知集合{}0,2,3,A =，则A 的子集的个数是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．94．下列各组集合中相等的是（） A ．{}{}20,|10A B x x ==+= B ． {}3(,)|1,(,)|12y A x y y x B x y x -⎧⎫==+==⎨⎬-⎩⎭C ．A =｛n 条边都相等的多边形｝B =｛n 个内角都相等的多边形｝D ．{}{}|31,,|32,A x x n n Z B y y n n Z ==+∈==-∈5. 若集合},3,1{x A =,}1,{2x B =,且A B ⊆,则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 已知集合}0,0|),{(><+=xy y x y x M ,}0,0|),{(<<=y x y x P 那么 ( ) A. P=M B. M P ⊆ C. P M ⊆ D. P M ⊄7. 已知A =｛菱形｝，B ＝｛正方形｝，C ＝｛平行四边形｝则,,A B C 之间的包含关系是8．（1）满足{},a b A ⊆⊂≠{,,,}a b c d 的集合A 可以是；（2）满足⊂≠的集合可以是。

高一数学苏教版必修1课后训练1.1集合的含义及其表示 Word版含解析

集合的含义及其表示练习．给出下列关系：①∈；②；③∈；④∈*，其中正确的个数为．．已知集合＝{，，}中三个元素是△的三边长，那么△一定不是三角形．．由实数，－，所组成的集合最多．．含有个元素．．下列四个集合中，表示空集的是．①{}；②{(，)＝－，∈，∈}；③{＝，∈，}；④{＋－＝，∈}．．用适当的符号填空：已知＝{＝＋，∈}，则有，－．．下列给出的种说法中，正确说法的序号是(填上所有正确说法的序号)．①任意一个集合的正确表示方法都是惟一的；②集合{，－，－}与集合{－，－}相等；③若集合是满足不等式≤≤(∈)的的集合，则这个集合是无限集；④已知∈，则；⑤集合{＝－，∈}与集合{＝＋，∈}相等．．设－∈{－－＝}，试用列举法表示集合＝{－－＝}为．．定义集合*＝{∈且}．已知＝{}，＝{}，则*＝．．已知集合＝{，，}与集合＝{，}恰好相等，试求，的值，并写出这个集合．．已知集合＝{∈－＋＝，∈}，若中元素至多只有一个，求的取值范围．．用集合的形式表示不等式组的解集．．已知集合＝{∈－＝}，当，满足什么条件时，集合是有限集、无限集、空集？参考答案．答案：．答案：等腰．答案：．答案：④．答案：∈．答案：②③⑤．答案：＝{}．答案：{}．解：由条件可得或解得或或其中舍去．从而这个集合为＝＝{}或＝＝．．解：当＝时，原方程为－＋＝，，符合题意；当≠时，方程－＋＝为一元二次方程，由Δ＝－≤，得，即当时，方程－＋＝无实根或有两个相等的实根，符合题意；综上可知，＝或．．解：由不等式(＋)(－)＞(－)，得，由不等式－＜＋，得＜，从而原不等式组的解集为．．解：∵－＝，∴＝．当＝，＝时，∈，就是实数集，集合是无限集．当≠，＝时，＝，＝{}，集合是有限集．当≠，＜时，方程－＝无实根，集合是空集．当≠，＞时，方程－＝有两个不等的实根，，，集合是有限集．当＝，≠时，方程无实根，集合为空集．综上所述，当＝，＝时，集合是无限集；当≠，＜或＝，≠时，集合是空集；当≠，≥时，集合是有限集．。

苏教版数学高一《集合的含义及其表示》同步测试

§1.1集合的含义及其表示（1）
课后训练
【感受理解】
1．给出下列命题(其中N为自然数集)：
①N中最小的元素是1 ②若a∈N则-a N③若a∈N,b∈N，则a+b的最小值是2（4）的解可表示为，其中正确的命题个数为.
2．用列举法表示下列集合.
①小于12的质数构成的集合；
②平方等于本身的数组成的集合；
（2）求证：若，则
（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明理由；
（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素.
7．定义集合运算：，设集合，求集合 .
8．关于的方程，当分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？
9.已知集合 .
(1)证明：任何整数都是的元素；(2)设求证：
【拓展提高】
9 ，
请解答下列问题：
（1）若，则中必有另外两个数，求出这两个数；
③由所确定的实数的集合；
④抛物线 ( 为小于5的自然数)上的点组成的集合.
3.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为
4．由组成一个集合，中含有3个元素，则的取值可以是
【思考应用】
5．由实数所组成的集合里最多有个元素.
6.由“ ”组成的集合与由“ ”组成的集合是同一个集合，则实数的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.

苏教版高中数学必修一集合的含义及其表示同步练习一

课时训练1.1集合的含义及其表示（答案）1.下列各组对象不能形成．．．．集合的是__________. ⑴大于6的所有整数； ⑵高中数学的所有难题；⑶被3除余2的所有整数； ⑷函数y ＝1x图象上所有的点. 解：综观⑴⑶⑷的对象是确定的，惟有⑵中的对象不确定，故不能形成集合的是⑵.2.下列条件能形成集合的是______________.⑴充分小的负数全体； ⑵爱好飞机的一些人；⑶某班本学期视力较差的同学； ⑷某校某班某一天所有课程.解：综观⑴⑵⑶的对象不确定，惟有⑷某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是⑷.3.方程组⎩⎨⎧x + y ＝2x －y ＝5的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______. 解：因⎩⎨⎧x + y ＝2x －y ＝5的解集为方程组的解. 解该方程组x ＝72 ，y ＝－32则用列举法表示为{（72 ，－32 ）}；用描述法表示为｛（x ，y ）|⎩⎨⎧x + y ＝2x －y ＝5} 4.{(x ，y)｜x ＋y ＝6，x ，y ∈N }用列举法表示为__________.解：因x ＋y ＝6，x ，y ∈N 的解有：⎩⎨⎧x ＝0y ＝6 ⎩⎨⎧x ＝1y ＝5 ⎩⎨⎧x ＝2y ＝4 ⎩⎨⎧x ＝3y ＝3 ⎩⎨⎧x ＝4y ＝2 ⎩⎨⎧x ＝5y ＝1 ⎩⎨⎧x ＝6y ＝0 故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}5.已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A}，则B ＝___________.解：∵y ∈A ∴y ＝－2，－1，0，1此时｜y ｜＝0，1，2，则有B ＝{0，1，2}.6.用列举法表示下列集合：⑴x 2－4的一次因式组成的集合. ⑵{y ｜y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R,y ∈N }.⑶方程x 2＋6x ＋9＝0的解集. ⑷{20以内的质数}.⑸{（x ，y ）｜x 2＋y 2＝1，x ∈Z ,y ∈Z}. ⑹{大于0小于3的整数}.⑺{x ∈R ｜x 2＋5x －14＝0}.⑻{（x ，y ）}｜x ∈N ，且1≤x ＜4，y －2x ＝0}.⑼{（x ，y ）｜x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }.分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.解：⑴因x 2－4＝（x －2）（x ＋2），故符合题意的集合为{x －2，x ＋2}.⑵y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，即y ≤4，又y ∈N ，∴y ＝0，1，2，3，4.故{y ｜y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R,y ∈N }＝{0，1，2，3，4}.⑶由x 2＋6x ＋9＝0得 x 1＝x 2＝－3 ∴方程x 2＋6x ＋9＝0的解集为{－3}.⑷{20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.⑸因x ∈Z , y ∈Z ，则x ＝－1，0，1时，y ＝0，1，－1.那么{(x ，y)｜x 2＋y 2＝1，x ∈Z ,y ∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.⑹{大于0小于3的整数}＝{1，2}.⑺因x 2＋5x －14＝0的解为x 1＝－7，x 2＝2，则{x ∈R ｜x 2＋5x －14＝0}＝{－7，2}.⑻当x ∈N 且1≤x ＜4时，x ＝1，2，3，此时y ＝2x ，即y ＝2，4，6.那么{（x ，y ）｜x ∈N 且1≤x ＜4，y －2x ＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.⑼{（x ，y ）｜x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N }＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.7.用描述法表示下列集合：⑴方程2x ＋y ＝5的解集. ⑵小于10的所有非负整数的集合.⑶方程ax ＋by ＝0（ab ≠0）的解. ⑷数轴上离开原点的距离大于3的点的集合. ⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.⑹方程组⎩⎨⎧x + y ＝1x －y ＝1的解的集合. ⑺{1，3，5，7，…}. ⑻x 轴上所有点的集合. ⑼非负偶数.⑽能被3整除的整数.分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.解：(1){（x ，y ）｜2x ＋y ＝5}.(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x ｜0≤x ＜10，x ∈Z }.(3)方程ax ＋by ＝0（ab ≠0）的解用描述法表示为{（x ，y ）｜ax ＋by ＝0（ab ≠0）}.(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x ｜x ＞3}.(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x ，y ）｜xy ＜0}.(6)方程组⎩⎨⎧x + y ＝1x －y ＝1 的解的集合用描述法表示为{（x ，y ）｜⎩⎨⎧x + y ＝1x －y ＝1}. (7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x ｜x ＝2k －1，k ∈N*}.(8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为{（x ，y ）｜x ∈R ，y ＝0}.(9)非负偶数用描述法表示为{x ｜x ＝2k ，k ∈N }.(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x ｜x ＝3k ，k ∈Z }.8.方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13}，则a ＝_______，c ＝_______. 解：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，那么12 、13是方程两根即有⎩⎨⎧12 ＋13 ＝－5a 12 ·13 ＝c a得⎩⎨⎧a ＝－6c ＝－1 那么 a ＝－6，c ＝－1 9.集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成，其中k ∈R ，若A 中的元素至多有一个，求k 值的范围.解：由题A 中元素即方程kx 2－3x ＋2＝0(k ∈R )的根若k ＝0，则x ＝23，知A 中有一个元素，符合题设若k ≠0，则方程为一元二次方程.当Δ＝9－8k ＝0即k ＝98 时，kx 2－3x ＋2＝0有两相等的实数根，此时A 中有一个元素.又当9－8k ＜0即k ＞98时,kx 2－3x ＋2＝0无解. 此时A 中无任何元素，即A ＝∅也符合条件综上所述 k ＝0或k ≥98评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.10.若x ∈R ，则{3，x ，x 2－2x}中的元素x 应满足什么条件?解：集合元素的特征说明{3，x ，x 2－2x}中元素应满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x ≠x 2－2x 3≠x 2－2x 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x 2≠3xx 2－2x －3≠0 也就是⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x ≠0x ≠－1 即x ≠－1，0，3满足条件.11.已知x 2∈{1,0,x}，求实数x 的值.解：∵x 2∈{1,0,x}，∴x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x ，解得x ＝±1或x ＝0，经检验x ＝－1.*12.集合A 的元素是由x ＝a ＋b 2 （a ∈Z,b ∈Z ）组成，判断下列元素x 与集合A 之间的关系：0，12－1 ，13－2. 解：因x ＝a ＋b 2 ，a ∈Z ,b ∈Z则当a ＝b ＝0时，x ＝0 又12－1＝ 2 ＋1＝1＋ 2 当a ＝b ＝1时，x ＝1＋ 2又13－2＝ 3 ＋ 2 当a ＝ 3 ，b ＝1时，a ＋b 2 ＝ 3 ＋ 2而此时 3 ∈\Z ，故有：13－2∈\A ，故0∈A ，12－1 ∈A ，13－2∈\A. *13.设集合A ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，C ＝{x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z }，又有a ∈A ，b ∈B ，判断元素a ＋b 与集合A 、B 和C 的关系.解：因A ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，则集合A 由偶数构成，集合B 由奇数构成.即a 是偶数，b 是奇数设a ＝2m ，b ＝2n ＋1（m ∈Z ,n ∈Z ）则a ＋b ＝2（m ＋n ）＋1是奇数，那么a ＋b ∈\A ，a ＋b ∈B又C ＝{x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z }是由部分奇数构成且x ＝4k ＋1＝2·2k ＋1故m ＋n 是偶数时，a ＋b ∈C ；m ＋n 不是偶数时，a ＋b ∈\C.综上a ＋b ∈\A ，a ＋b ∈B ，a ＋b ∈\C.。

苏教版数学高一《集合的含义及其表示》同步检测

二．解答题
13．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．
(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；
(3)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；
(4)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合．
14．已知集合A＝{x| ∈N，x∈N}，试用列举法表示集合A.
二．解答题
13．解：(1)满足条件的数为3,5,7，所以所求集合为B＝{3,5,7}．集合B是有限集．
(2)所求集合可表示为C＝{(x，y)|x<0且y<0}．集合C是无限集．
(3)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，故无实根，所以由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合是空集．
(4)由所有周长等于10cm的三角形组成的集合可表示为P＝{x|x是周长等于10cm的三角形}．P为无限集．
5．已知集合M＝{x|x＝7n＋1，n∈N}，则2010________M,2011________M．(填∈或∉)．
6．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m＝＋＋ }为________．
7．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a的值为________．
2．集合A＝{x2,3x＋2,5y3－x}，B＝{周长等于20 cm的三角形}，C＝{x|x－3＜2，x∈R}，D＝{(x，y)|y＝x2－x－1}，其中用描述法表示集合的有________．
3．已知集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为________．
4．设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是________．

南京市高中数学苏教版必修1 1.1 集合的含义及其表示作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1.(2014·江阴市一中高一期中试题)若1∈{x ，x 2}，则x ＝________．解析：由1∈{x ，x 2}，则x ＝1或x 2＝1，∴x ＝±1，当x ＝1时，x ＝x 2＝1，不符合元素的互异性，∴x ＝－1.答案：－12.给出下列关系：①12∈R ；② 2∉Q ；③|－5|∉N *； ④|－3|∈Q .其中正确的是________．(填序号)解析：|－5|＝5∈N *，故③不正确；|－3|＝3∉Q ，故④不正确．其他两个均正确．答案：①②3.集合A ＝{x 2，3x ＋2，5y 3－x }，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x |x －3＜2，x ∈R }，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．解析：集合A 是用列举法描述的．答案：B 、C 、D4.如图，是用Venn 图表示的集合，用列举法表示为________；用描述法表示为________．解析：其中元素为－2，－1，0，1，2，3.答案：{－2，－1，0，1，2，3} {x |－3<x <4，x ∈Z }5.若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素舍去．故a ＝－1，b ＝0.答案：－1，06.集合A ＝{x |x ＝|a |a ＋|b |b，a ，b 为非零实数}的元素个数为________．解析：若a >0，b >0，则x ＝2；若a <0，b <0，则x ＝－2；若a ，b 异号，则x ＝0.故A ＝{－2，0，2}．答案：3二、解答题7.判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如不能，请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg 的同学；(3)方程x ＋y ＝3的非负整数解；(4)与π非常接近的有理数．解：(1)能．{x |x <5，x ∈Z }．(2)能．{高一年级体重超过75 kg 的同学}．(3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点． 8.用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合．(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合．解：(1)满足条件的数为3，5，7，所以所求集合为B ＝{3，5，7}．集合B 是有限集．(2)所求集合可表示为C ＝{(x ，y )|x <0且y <0}．集合C 是无限集．(3)因为方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，故无实根，所以由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合是空集．[高考水平训练]一、填空题1.(2014·黄桥中学高一期中试题)已知集合M ＝{x 2－5x －5≠1}，则实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2－5x －5≠1，∴x 2－5x －6≠0，∴(x ＋1)(x －6)≠0，∴x ≠－1且x ≠6.故x 的取值范围为{x |x ∈R ，x ≠－1且x ≠6}．答案：{x |x ∈R ，x ≠－1且x ≠6}2.已知集合A ＝{x |x ∈N ，126－x∈N }, 则集合A 用列举法表示为________．解析：∵126－x∈N ，x ∈N ，∴6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.∴集合A ＝{0，2，3，4，5}．答案：{0，2，3，4，5}二、解答题3.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }，a 为实数．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a <0，所以a >1. (2)若A 是单元素集，则①当a ＝0时，此时A ＝{x |2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－12}； ②当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a ＝0，即a ＝1，此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}．所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集或单元素集，所以a ＝0或a ≥1.4.已知集合A ＝{x |x ＝a ＋2b ，a ∈Z ，b ∈Z }，试判断下列元素x 与集合A 间的关系：(1)x ＝0；(2)x ＝12＋1；(3)x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈A；(4)x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈A.解：(1)∵x＝0＝0＋0×2，取a＝b＝0，0∈Z，∴x∈A；(2)∵x＝12＋1＝2－1＝(－1)＋1×2，－1∈Z，1∈Z.∴x∈A；(3)∵x1∈A，x2∈A.∴有a1，a2，b1，b2∈Z，使得x1＝a1＋2b1，x2＝a2＋2b2，则x＝x1＋x2＝(a1＋a2)＋2(b1＋b2)，而a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，∴x∈A；(4)由(3)，x＝x1·x2＝(a1＋2b1)(a2＋2b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋2(a1b2＋a2b1)，而a1a2＋2b1b2∈Z，a1b2＋a2b1∈Z，故x∈A.。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修1 第1章1.1集合的含义及其表示-附答案

第1章集合1.1 集合的含义及其表示A级基础巩固1．下列关系正确的是()①0∈N；②2∈Q；③12∉R；④－2∉Z.A．③④B．①③C．②④D．①解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N；②不正确，因为2是无理数，所以2∉Q；③不正确，因为12是实数，所以12∈R；④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.答案：D2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、第四象限内的点集解析：集合M为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．答案：D4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .答案：B5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1，1)}D ．(1，1)解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案：C6．下列集合中为空集的是( )A ．{x ∈N|x 2≤0}B ．{x ∈R|x 2－1＝0}C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}D ．{0}答案：C7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( )A ．－3或－1或2B ．－3或－1C ．－3或2D ．－1或2解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4时，得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，A ＝{2，2，4}，不满足互异性；当a ＝2时，A ＝{2，4，－1}．所以a ＝－3或a ＝2.答案：C8．下列各组集合中，表示同一集合的是( )A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{(3，2)}，N＝{3，2}解析：A中集合M，N表示的都是点集，由于横、纵坐标不同，所以表示不同的集合；B中根据集合元素的互异性知表示同一集合；C中集合M表示直线x＋y＝1上的点，而集合N表示直线x＋y＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合．答案：B9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈PB．a＋b∈QC．a＋b∈MD．a＋b不属于P，Q，M中任意一个解析：因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z.所以a＋b∈Q.答案：B10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3.由题意可知，a＋b＝2.答案：211．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________________．解析：由集合元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1.答案：a∈R且a≠±112．点(2，11)与集合{(x，y)|y＝x＋9}之间的关系为__________________．解析：因为11＝2＋9，所以(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}．答案：(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}13．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A，且a∈B，则a为________．解析：集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y ＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，所以a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2，5)．答案：(2，5)14．下列命题中正确的是________(填序号)．①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．解析：对于①，0表示元素与{0}不同；对于③，不满足集合中元素的互异性，故不正确；对于④，无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的．答案：②B级能力提升15．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R.集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条y ＝x 2＋1，表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；即满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|点(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 017的值．解：由题知a ≠0，故b a＝0，所以b ＝0.所以a 2＝1，所以a ＝±1.又a ≠1，故a ＝－1.所以a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＋02 017＝1.17．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A.因为－1∈A，所以11－（－1）＝12∈A.因为12∈A，所以11－12＝2∈A.所以A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．所以集合A不可能是单元素集合．。

苏教版高中数学必修一同步课堂精练-1.1集合的含义及其表示.docx

1．下列对象能构成集合的序号是________．①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R ；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．2．给出下列6个关系：12∈R ，3∈Q ,0∈{0}，tan45°∈Z ，0∈N *，π∈Q ，其中，正确的个数为________．3．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．(2)设集合6{}3A x x=∈∈-N N ，用列举法表示为____________． 4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是________．5．下列结论中，正确的个数是________．①cos30°∈Q ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③方程x 2＋4＝4x 的解集中含有2个元素；④若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；⑤|－3|∈N *.6．下列结论中，正确的序号是________．①若以集合S ＝{a ，b ，c }中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x ＞x 的实数x 组成一个集合；③方程220x y -++=的解集为{2，－2}；④方程(x －1)2(x ＋5)(x －3)＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．7．已知二元素集A ＝{a －3,2a －1}，若－3∈A ，求实数a 的值．8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }．(1)若A 中只有一个元素，求a 的值；(2)若A 中最多有一个元素，求a 的取值范围；(3)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．9. 设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1S ∉；②若a ∈S ，则11S a∈-，请解答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a ∈S ，则11S a -∈；(3)在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由．参考答案1．②③ 解析：①中的“优秀”、④中的“鲜艳”标准不明确，不能构成集合．2．3 解析：12R ∈,0∈{0}，t a n45°＝1∈Z 正确；3Q ∈，0∈N *，π∈Q 不正确． 3．(1){x |x ＝3n ＋1，n ∈Z } (2){0,1,2}4．±1 解析：由A ＝B 得x 2＝1，∴x ＝±1.5．1 解析：只有⑤正确．∵ 3cos302=Q ，∴①不正确．取a ＝0.1，则－0.1N,0.1N ，∴②不正确；∵方程x 2＋4＝4x 的解集中只含有一个元素2，∴③不正确；∵a ∈N *，∴a 的最小值为1，∵b ∈N ，∴b 的最小值为0，∴a ＋b 的最小值为1，故④不正确．6．①②④ 解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x ＞x ，得x 为全体实数．故x 构成实数集R ，②正确；方程220x y -++=的解为x ＝2且y ＝－2，所以方程的解集表示不正确，应为含22x y =⎧⎨=-⎩的单元素集，③错误；④中方程有一个重根x ＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故不正确．7．解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时A ＝{－3，－1}，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3}，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.8．解：(1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0.此时12x =-，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0时，即a ＝1时，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．(2)A 中最多含有一个元素，即A 中有一个元素或A 中没有元素．当Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时，原方程无实数解，结合(1)知，当a ＝0或a ≥1时，A 中最多有一个元素．(3)A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由Δ＞0得a ＜1，结合(1)可知，a ≤1.9.解：(1)∵2∈S,2≠1，∴1112S=-∈-.∵－1∈S，－1≠1，∴111(1)2S=∈--.∵12S∈，112≠，∴12112S=∈-，∴－1，12S∈，即集合S中另外两个数分别为－1和12.(2)证明：∵a∈S，∴11Sa∈-，∴111111Saa=-∈--(a≠0，若a＝0，则111Sa=∈-，不合题意)．(3)集合S中的元素，不能只有一个，理由：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知11aa =-，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴11aa≠-.因此集合S不能只有一个元素．。

高一数学苏教版必修1同步练习：1.1集合的含义及其表示 Word版含解析

第1章集合1．1集合的含义及其表示1．判断题：(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“全体著名的文学家”构成一个集合．()(2)小于8且不小于－2的偶数构成的集合是{0,2,4,6}．()(3)集合{0}中不含元素．()(4){0,1}，{1,0}是两个不同的集合．()(5)线段MN 上点的全体构成的集合是无限集．()2．下列对象：①2008年北京残奥会上我国获得的所有金牌；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是__________．3．用符号“∈”或“∉”填空：π________Q ，13________Q ， 0________∅，3________R ，0________N *，32________{0,1,2}，－2________Z .4．用适当的方法表示下列集合．(1)中国古代四大发明的集合；(2)直角坐标平面内第二象限的点集；(3)由大于0小于2的实数组成的集合；(4)绝对值等于1的实数的集合；(5)方程x(x 2＋2x －3)＝0的解集；(6)不等式x 2＋2≤0的解集．5．求不等式4(x ＋1)－3(x －1)>9的解集．课堂巩固1．下列各组对象：①NBA 联盟中所有优秀的球员；②平面上到点O 的距离等于1的点的全体；③2008年度所有的诺贝尔获奖者；④正方形的全体；⑤高一·三班的所有聪明学生；⑥参加2008年北京奥运会的所有运动员．其中能构成集合的有________．(只填序号)2．有下列结论：①由1,1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②{a ，b}＝{b ，a}；③∅＝{0}；④太湖中的鱼所组成的集合是无限集；⑤边长为1的菱形构成的集合是无限集，其中正确的个数是__________．3．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a 满足a ∈A 时6－a ∈A ，则a ＝__________.4．已知A ＝{2，x}，B ＝{xy,1}，若A ＝B ，则x ＋y ＝________.5．下列叙述中，正确的个数是__________．①1是集合N 中最小的数；②若－a ∉N ，则a ∈N ；③若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④方程x 2－4x ＝－4的解集是{2,2}．6．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为__________．(2)集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝5，x ∈N ，y ∈N }，则用列举法表示为A ＝__________.7．(易错题)已知集合A ＝{x|kx 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数k 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求k 的值及集合A.1．下列关系式中，正确的序号是__________．①a ∈{a ，b}②0∈∅③{x|x 2≤0}＝∅④{x|x 2＋2x ＋5＝0}＝∅2．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 一定不．等于__________． 3．集合{x|x －2<3，且x ∈N *}用另一种表示方法应是__________．4．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x|＋y |y|＋z |z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M ，则M ＝________.5．设三元素集A ＝{x ，y x，1}，B ＝{|x|，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A ＝B ，则x 2009－y 2009的值等于__________．6．下列结论中，正确的个数是__________．①若以集合S ＝{a ，b ，c}中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x>x 的实数x 组成一个集合；③方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；④方程(x －1)2(x ＋5)(x －3)＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合是无限集．7．用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________．8．(易错题)已知A＝{a－2,2a2＋5a,6}，且－3∈A，求实数a的值．9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求实数a与b的值．10．(易错题)观察下面三个集合，回答下面问题：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？答案第1章集合1．1集合的含义及其表示课前预习1．(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(1)不满足集合中元素的确定性，错误；(2)“不小于”即“大于或等于”，集合中含“－2”；(3)集合中含有一个元素“0”；(4)是相同集合；(5)线段MN 上的点有无数个，是无限集．2．①③由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．3．∉∈∉∈∉∉∈4．解：(1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．(2)在平面直角坐标系内第二象限的点构成的集合用描述法可表示为{(x ，y)|x<0，且y>0}．(3)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0<x<2}．(4)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x||x|＝1}，用列举法可表示为{－1,1}．(5)方程x(x 2＋2x －3)＝0的解集用描述法可表示为{x|x(x 2＋2x －3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．(6)不等式x 2＋2≤0的解集为∅(列举法)．5．解：由4(x ＋1)－3(x －1)>9，可得x>2，所以原不等式的解集为{x|x>2}．课堂巩固1．②③④⑥①中的“优秀”与⑤中的“聪明”都无明确的界定，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．2．2由集合定义①错误；由集合相等的定义②正确；由空集定义③显然不对；∵太湖中鱼的个数是有限的，∴④不正确；菱形相邻两边夹角不同，则菱形是不同的，∴边长为1的菱形有无数个．故⑤正确．3．2或4∵A ＝{2,4,6}，∴当a ＝2时，6－a ＝4∈A.适合题意；当a ＝4时，6－a ＝2∈A 也适合题意；当a ＝6时，6－6＝0∉A ，不合题意．∴a 的值为2或4.4．3由集合相等的概念有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，xy ＝2，解得x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3. 5．0N 中的最小数为0，故①错误；②可举反例：a ＝13，则－a ＝－13∉N ，但a ＝13∉N ，故③不正确；③可取a ＝1，b ＝0，则a ＋b ＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.6．(1){x|x ＝3n ＋1，且n ∈Z }(2){(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}7．解：(1)A ＝∅，即方程kx 2－3x ＋2＝0无解；若k ＝0，方程有一根x ＝23，不合题意；若k ≠0，方程kx 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，当Δ＝9－8k<0，即k>98时，方程无解；故使A ＝∅的k 的取值范围是k>98. (2)当k ＝0时，由(1)知A ＝{23}，符合题意，当k ≠0时，若A 中只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根，即Δ＝9－8k ＝0，∴k ＝98，此时方程为98x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝43，即A ＝{43}．综上所述，当k ＝0时，A ＝{23}；当k ＝98时，A ＝{43}．点评：集合A 的代表元素x 为方程的解，所以集合中元素的个数问题可转化为探求方程解的个数问题(无解、一解)．因为二次项系数k ∈R ，所以解此类问题一定要注意讨论．当k ＝0时，方程为一元一次方程；当k ≠0时，是一元二次方程，也只有此情况下才能用判别式Δ.课后检测1．①④2．－2,2,1若a 2＝2－a ，则可得a ＝－2，或a ＝1，此时A 中含有1个或2个元素，不合题意；若a 2＝4，则得到a ＝±2，当a ＝－2时，A ＝{4}含一个元素．当a ＝2时，A ＝{0,4}只含2个元素，不合题意；若2－a ＝4，则得a ＝－2，不合题意． ∴a ≠－2,2,1.3．{1,2,3,4}4．{－4,0,4}分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正，两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}．5．－1由题意，知{x ，y x，1}＝{|x|，x ＋y,0}． ∵x ≠0，∴y x＝0，即y ＝0. 又∵x ≠1，且|x|＝1，∴x ＝－1.∴x 2009－y 2009＝(－1)2009－02009＝－1.6．3由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x>x 知x 为全体实数，故能构成实数集R ，②正确；③中x ＝2，y ＝－2应同时成立，解集表示不正确；④中方程有一个重根x ＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故⑤错误．7．{(x ，y)|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}8．解：∵－3∈A ，∴a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3.解得a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. 此时A ＝{－72，－3,6}，适合题意． ∴a ＝－32. 点评：集合中元素的性质既可以用于解题，又可用来检验解的正确性．特别是互异性易被忽视，所以做此类题时必须注意．9．解：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝12.代入检验得所求a 、b 之值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝12.10．解：(1)不是相同的集合．(2)集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许取到的值组成的集合，因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R ；集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象，知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}；集合③是函数y ＝x 2＋1图象上的所有点的坐标组成的集合．如图所示：点评：用描述法表示集合，一定要明确集合的代表元素是什么，弄清集合中元素满足什么条件特征，只有真正搞清其内涵，才能在解此类题时得心应手．本题中虽然条件特征都是y ＝x 2＋1，但代表元素不同：x 为自变量；y 是因变量，即函数值；(x ，y)表示有序数对，即函数y ＝x 2＋1图象上的点．。

高一数学苏教版必修1课后训练：1.1集合的含义及其表示 Word版含解析

集合的含义及其表示练习1∈R；②Q；③4.5∈Q；④0∈N*，其中正确的个数为________．2．已知集合S＝{a，b，c}中三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是__________三角形．3．由实数a，－a，|a|所组成的集合最多．．含有________个元素．4．下列四个集合中，表示空集的是__________．①{0}；②{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}；③{x||x|＝5，x∈Z，x N}；④{x|2x2＋3x－2＝0，x∈N}．5．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则有17__________A，－5__________A．6．下列给出的5种说法中，正确说法的序号是________(填上所有正确说法的序号)．①任意一个集合的正确表示方法都是惟一的；②集合{0，－1,2，－2}与集合{－2，－1,0,2}相等；③若集合P是满足不等式0≤2x≤1(x∈R)的x的集合，则这个集合是无限集；④已知a∈R，则a Q；⑤集合{x|x＝2k－1，x∈Z}与集合{y|y＝2s＋1，s∈Z}相等．7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，试用列举法表示集合A＝{x|x2－4x－a＝0}为__________．8．定义集合A*B＝{x|x∈A且x B}．已知A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B＝__________．9．已知集合A＝{2，a，b}与集合B＝{2a,2，b2}恰好相等，试求a，b的值，并写出这个集合．10．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．11．用集合的形式表示不等式组2(1)(1)(2),3123x x xx x⎧+->-⎪⎨-<+⎪⎩的解集．12．已知集合A＝{x∈R|m2x2－n＝0}，当m，n满足什么条件时，集合A是有限集、无限集、空集？参考答案1．答案：32．答案：等腰3．答案：24．答案：④5．答案：∈6．答案：②③⑤7．答案：A ＝{2}8．答案：{1,7}9．解：由条件可得22,a a b b =⎧⎨=⎩或2,2.a b b a ⎧=⎨=⎩ 解得0,1a b =⎧⎨=⎩或0,0a b =⎧⎨=⎩或1,41.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中00a b =⎧⎨=⎩，舍去．从而这个集合为A ＝B ＝{2,0,1}或A ＝B ＝11224⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，．10．解：当m ＝0时，原方程为－2x ＋3＝0，32x ＝，符合题意；当m ≠0时，方程mx 2－2x ＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m ≤0，得13m ≥，即当13m ≥时，方程mx 2－2x ＋3＝0无实根或有两个相等的实根，符合题意；综上可知，m ＝0或13m ≥． 11．解：由不等式(x ＋1)(x －1)＞(x －2)2，得54x >，由不等式2x －3＜3x ＋1，得x ＜24，从而原不等式组的解集为5244x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩． 12．解：∵m 2x 2－n ＝0，∴m 2x 2＝n ．当m ＝0，n ＝0时，x ∈R ，A 就是实数集，集合A 是无限集．当m ≠0，n ＝0时，x ＝0，A ＝{0}，集合A 是有限集．当m ≠0，n ＜0时，方程m 2x 2－n ＝0无实根，集合A 是空集．当m ≠0，n ＞0时，方程m 2x 2－n ＝0有两个不等的实根，=x ±=A ⎧⎪⎨⎪⎩，集合A 是有限集．当m ＝0，n ≠0时，方程无实根，集合A 为空集．综上所述，当m ＝0，n ＝0时，集合A 是无限集；当m≠0，n＜0或m＝0，n≠0时，集合A是空集；当m≠0，n≥0时，集合A是有限集．。

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集合的含义及其表示
1．下列四个集合中，是空集的是
①}33|{=+x x ②},,|),{(22R y x x y y x ∈-=③}0|{2≤x x ④},01|{2R x x x x ∈=+-
2．下面有四个命题：其中正确命题的个数为
（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；
（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1；
3．下列命题正确的个数
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；
（3）36
11,,,,0.5242
-这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集． 4.方程组⎩⎨⎧=-=+91
22y x y x 的解集是
5.若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是三角形
6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围；若至少有一个元素，则a 的取值范围．
7．已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A ．
8（1）已知A={a+2，( a+1)2，a 2+3a+3}且1∈A ，求实数a
（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值
9. 若a,b ∈R ,集合{},,,0,,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a
b a b a 求b-a 的值
10设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求
参考答案
一、选择题
1． ④ 2． 0 3．0 4．
(){}4,5- 5．等腰 6. 9|,08a a a ⎧
⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩
⎭ 当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；
当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；
当A 中有两个元素时，980a ∆=->； 7. 解：由题意可知6x -是8的正约数，当61,5x x -==；当62,4x x -==；
当64,2x x -==；当68,2x x -==-；而0x ≥，∴2,4,5x =，即 {}5,4,2=A ； 8解（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a 2
+3a+3=1， ∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求
.
（2）由题意知,,21
4100102222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==b a b a b a a b b a b b a a 或或或根据元素的互异性得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==21
4110b a b a 或即为所求. 9解由{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10b a a b b a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10a b a b b a ② 由①得,11⎩
⎨⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b -a =2. 10解：由{}A a =得2x ax b x ++=的两个根12x x a ==，
即2(1)0x a x b +-+=的两个根12x x a ==， ∴12112,3x x a a a +=-==
得，1219x x b ==， ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M。