第13讲(4)任意角和弧度制
任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=yr ,cos α=xr ,tan α=yx (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(4)三角函数值在各象限内的符号,1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1．象限角角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 22．轴线角4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα(3)特殊角的三角函数值2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =l rα 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=.1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°90°120°135°150°180° 270°360° 角α的弧度数π6π4 π3 π22π 3π 5π6π 3π2π sin α 0 12√22√321 √32√22120 -1 0 cos α 1 √32√22120 -12-√22-√32-1 0 1 tan α√331√3 不 存在-√3 -1-√33不 存在第四2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<04.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.5.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z} C.{α|α=kπ-2π3,k ∈Z}D.{α|α=kπ-π3,k ∈Z}7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－39.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.3210.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.4512．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式断三角函数值的符号． 作用：切化弦，弦切互化．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 22.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1D ．－14.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5126.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .457．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－713，则tan A ＝________.8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．6已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B.2 C.－12 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13 D ．－14考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.14D ．－143.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29C.29D.794.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .345．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:√1-2sin10°cos10°√2=.7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.433.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513D.－12135.已知sin (π3-α)=12,则cos (π6+α)= .6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2; (5)tan(A+B )=-tan C ;(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.提示:(1)π4+α+π4-α=π2,sin (π4+α)=cos (π4-α);(2)(2π3+α)-(π6+α)=π2,sin (2π3+α)=cos (π6+α);(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π4+α)]; (4) (4)(3π4-β)-(π4+α)=π2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π4-β)-(π4+α)].5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.122.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2D.√55．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112D ．－1128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B ．－16 C.12 D.2312.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3313.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.25 14．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.1515．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8916．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tanπ61－tan2π6.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④17.若cos α=13,α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.√63B.-√63C.±√63D.√3318已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.15＋2619.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( )A.725B.15C.-15D.-72520.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.12 考法(一) 给角求值 1.cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－124.cos 165°的值是( ). A.√6-√22B.√6+√22C.√6-√24D.-√6-√245.sin47°-sin17°cos30°cos17°= .6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1B.-15C.57D.173.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=35,cos B=513,则cos C= .考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________.5.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.(2)已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值.6.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.45 1..sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14 B.12C.32 D .12..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－1125.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )1、已知θ是第三象限角，且4459sincos θθ+=，那么2sin θ等于（） A 、3B 、3-C 、23D 、23- 2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－2 4、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠ 可以简记成α; 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了;可以将角分为正角、零角和负角;正角：按照逆时针方向转定的角; 零角：没有发生任何旋转的角; 负角：按照顺时针方向旋转的角; 3、 “象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴;角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角; 例1、1A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B= 填序号. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对2已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、 C 关系是A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：1终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和; 2所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一; 例1、1若θ角的终边与58π角的终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 ;2若βα和是终边相同的角;那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角： 1 210-； 2731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角的终边相同,且[]1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是 ;A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角;如图：AOB=1rad ,AOC=2rad , 周角=2rad 注意：1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是02、角的弧度数的绝对值 rl=αl 为弧长,r 为半径 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同都是0 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用;2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度例3、将下列各角从弧度化成角度 136πrad 2 rad3 rad π533、弧长公式和扇形面积公式orC 2rad1rad rl=2r oAABr l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°0°≤α＜360°, k ∈Z 的形式是A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题的是Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是 A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限的角是A.①B.①②C.①②③D.①②③④ 7、若α是第一象限的角,则-2α是 A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在轴的正半轴上 轴的正半轴上轴或y 轴上 轴的正半轴或y 轴的正半轴上 10、α是一个任意角,则α与-α的终边是A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=2n+1·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=4k ±1·180°,k ∈Z}之间的关系是C.Ｘ=Y ≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β的范围是 °＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0° °＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k πk ∈Z 14、设k ∈Z ,下列终边相同的角是A ．2k +1·180°与4k ±1·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 16、设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于 A ．5πB ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α的终边A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19、“21sin =A ”“A=30o”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°的扇形,它的弧长为2π,则它的内切圆半径为A ．2B ．3C ．1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+－1k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确的是A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角的终边在 . 23、与－1050°终边相同的最小正角是 . 24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α的范围是 .任意角的三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负的有 A. ① B. ② C. ③ D. ④3. 02120sin 等于 A. 23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于 A. 43-B. 34- C. 43D.345．若θ∈错误!,错误!,则错误!等于θ－sin θ θ＋cos θθ－cos θ D.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝错误!,则cos 2θ＋sin θcos θ的值是A.－错误!B.－错误!C. 错误!D.错误!二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确的是_____________________________.3．若角α的终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ . 4．使tan x －xsin 1有意义的x 的集合为 . 5．已知α是第二象限的角,且cos 错误!＝－错误!,则错误!是第 象限的角.三、解答题1. 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +的值.2. 设cos θ＝错误!m ＞n ＞0,求θ的其他三角函数值.3．证明1 错误!＝错误!2tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求1x x 33cos sin +；2x x 44cos sin +的值.。
任意角和弧度制课件PPT
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
§1.1 任意角和弧度制
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上 情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化 成最简的形式.
明目标、知重点
跟踪训练3 求终边在直线y＝－x上的角的集合S. 解 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～ 360°间所对应的两个角分别是135°和315°， 从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°， k∈Z} ＝ {α|α ＝ 2k·180° ＋ 135° ， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)·180° ＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
明目标、知重点
1234
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 终边落在y轴上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴终边落在坐标轴上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β ＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
高中数学教案《任意角和弧度制》
教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。
2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。
二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。
●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。
●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。
●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。
2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。
●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。
●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。
3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。
●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。
●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。
4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1 《任意角和弧度制》教案【教学目的】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，推断象限角，掌握终边一样角的集合的书写.3.理解弧度制，能进展弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进展简单应用.对弧长公式只要求理解，会进展简单应用，不必在应用方面加深.5.理解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、处理征询题. 【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出征询题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的征询题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，构成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”能够简记为?．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转构成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转构成的角叫做负角；零角：假设一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，那么（1）象限角：假设角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.由于x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边一样的角的集合：由特别角30看出：所有与30角终边一样的角，连同30角本身在内，都能够写成30?k?360??????k?Z?的方式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边一样.从而得出一般规律：所有与角?终边一样的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边一样的角，都能够表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边一样的角不一定相等，相等的角终边一定一样.例1在0与360范围内，找出与以下各角终边一样的角，并推断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，因而，与?120角终边一样的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，因而，与640角终边一样的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????因而，?95012?角终边一样的角是12948?角，它是第二象限角.??例2 假设??k?360??1575?,k?Z，试推断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边一样，因而，?在第三象限.?例3 写出以下各边一样的角的集合S，并把S中适宜不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适宜?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?ZS中适宜?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边一样的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合确实是夹在这两个终边一样的角中间的角的集合，我们表示为：?????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??因而，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．??二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴1?=?180rad?0.01745rad.??180 1rad?57.30?5718.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r180lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S?留意几点：1．今后在详细运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”能够省略，如：3表示3rad ，sin?表示?rad角的正弦；2．一些特别角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推行之后，不管用角度制仍然弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把以下各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)/71? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56变式练习：把以下各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63例7 把以下各角从弧度化为度：（1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把以下各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：由于2R+2R=8,因而R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵敏运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边一样的角”的含义。
教学设计4：任意角、弧度制及任意角的三角函数
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数【教学目标】1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．【基础梳理】 1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为 、 、 ． ②按终边位置不同分为 和 ． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角： 叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小 ，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度． ⑤弧长公式： ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为 ，以比值为 的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的 ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即P ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的 、 、 ．三角函数线有向线段 为正弦线有向线段为余弦线有向线段 为正切线考向分析考向一 角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．提升演练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－125．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案【基础梳理】 1．(1)①正角、负角、零角 ②象限角和轴线角． (3)弧度制①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 ③无关 ④2π π ⑤ l ＝|α|r2．自变量 函数值3．正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线、正弦线、正切线．MPOMAT【例1】►[审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解： (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角． 方法总结： (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .【训练1】【解析】对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 【答案】D【例2】► [审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.方法总结： 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 【训练2】【解析】 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B 【例3】►[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积． 解： (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.方法总结： 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 【训练3】解： 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝⎛⎭⎫2022＝100. 当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大． 【例4】►[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .方法总结： 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． 【训练4】解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．提升演练 1．【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 【答案】C 2．【解析】当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角． 【答案】A 3．【解析】由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 【答案】C 4．【解析】由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55.【答案】A 5．【解析】根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8.【答案】－8。
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
任意角和弧度制和诱导公式
公式四：
角度制表示如下：用弧度制可表示如下：
公式五：
角度制表示如下：用弧度制可表示如下：
sin(90) = cos, sin( ) = cos,
cos(90) = sin. cos( ) = sin.
公式六：
角度制表示如下：用弧度制可表示如下：
sin(90+) = cos, sin( +) = cos,
五、弧度制
1．定义：长度1.长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad。读作弧度；这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αrad
探究：
(1)平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
(2)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
, ， ，
则A、B、C的关系是。
5．角 终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角 的集合是。
6．角 ， 的终边关于原点对称，则 ， 满足关系。
7．角 ， 的终边关于 轴对称，则 ， 满足关系。
三、解答题
8．当12点过15分的时候，时钟长短针的夹角是多少度？
9．已知 ， 角的7倍角的终边和 角的终边重合，试求这个角 。
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
π
角度
240°
270°
300°
315°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
7π/4
11π/6
2π
二．选择题。
1．设 ，如果 且 ，则 的取值范围是（）
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
返回
课时精练
知识过关
一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
三角函数-任意角与弧度制
三角函数-任意角与弧度制知识点1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
2. 角的分类为了区别起见，我们规定:（1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角（2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。
3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： {}360,S k k Z ββα==+⋅∈ 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。
4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。
5.弧度与角度的互化（1）弧度制的定义比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。
或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。
因此我们有如下定义：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr（2）. 弧度角的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度单位：rad 。
（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ⋅=α（4）. 角度与弧度的换算3602π=rad ；180π=rad 。
1°＝π180rad ；1 rad ＝(180π)° (3)特殊角的度数与弧度制对应表：（5）. 弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2题型一 终边相同的角的表示【例1】写出与75角终边相同的角的集合，并求在1080~360范围内与75角终边相同的角【例2】写出终边落在如图所示直线上的角的集合．【例3】如图βα，分别是终边落在OA,OB 位置上的两个角.且31560==βα，. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的所有角的集合;(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角θ.且3600≤≤θ的所有角的集合.【过关练习】1.下列各对角中终边相同的角是（ ）。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解
任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一 终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°<45°＋k ×360°＜0°， 得－765°<k ×360°＜－45°， 解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ， 可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二 扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三 三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。
任意角和弧度制
任意角和弧度制
角度制用于衡量任何角在平面上的大小，它以0°-360°范围来表示。
每一个角度都等于1/360圈，等于1π/180弧度。
角度制是最常用的一种
角度表示方式，并且用来做几何计算和几何构图。
弧度制则是以弧度来衡量圆周上的角度。
它利用弧长来表示角度，它
是另一种衡量角度大小的标准，一个圆的弧长等于一个圆的周长（即
2π）。
由此可见，它是以一圆的弧长为基准，所以它是一种可定量衡量
圆周上角度的角度制，它的最小单位是1/2π（也就是半圆的弧长）。
弧
度制往往用来做数学运算，有利于更准确的表示角度大小，尤其是在电子
计算机中，这是一种常见和重要的应用。
任意角和弧度制、任意角的三角函数
一、知识概述（一）、角的概念的推广1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫负角 .没有作任何旋转时称它形成了一个零角 .2、通常在直角坐标系下研究角，体现了数形结合的思想，同时渗透了基本的数学方法——坐标法，为后面研究任意角的三角函数埋下了伏笔。
3、角α与β的终边相同，则α与β相差整数个周角，即β=α＋k·360°，k∈Z. （二）、弧度制1、弧度的定义：长度等于半径长的弧所对圆心角叫1弧度的角，即角α的弧度数的绝对值为|α|=（其中l为弧长，r是圆的半径）.2、弧度与角度的换算.特殊角的度数与弧度数对应表：（三）、任意角的三角函数1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）.它与原点的距离，则：（1）比值叫α的正弦，记作sinα，即sinα=.（2）比值叫α的余弦，记作cosα，即cosα=.（3）比值叫α的正切，记作tanα，即tanα=.（4）比值叫α的余切，记作cotα，即cotα=.（5）比值叫α的正割，记作secα，即secα=.（6）比值叫α的余割，记作cscα，即cscα=.以上六种函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数 .2、三角函数的定义域3、三角函数的象限符号可用“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆。
（口诀表示的是三角函数值为正时角的终边所在象限）.4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等.二、重点知识归纳及讲解（一）、弧度与角度的换算例 1、设.（1）将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角.分析：运用角度与弧度的换算方法。
解：（1）∴α1在第二象限，α2在第一象限.（2）由－720°≤k·360°＋108°≤0°（k∈z），得k=－2或k=－1. ∴与β1有相同终边的角是－612°与－252°.同理：β2=－420°，与β2有相同终边的角是－60°.总结：（1）把角度化成弧度时乘以，把弧度化成角度时乘以.（2）－720°～0°指的是[－720°～0°].（二）、弧长公式与扇形面积公式的应用由弧度定义 |α|=可得弧长公式l=|α|·r，进一步可推导出扇形面积公式S=lr.以上公式比角度制下的相应公式要简洁.而且应用起来比较方便.例 2、已知扇形 OAB的圆心角α为120°，半径为6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积.分析：将圆心角用弧度表示后，利用弧长公式和扇形面积公式即可获解 .解：∵α=120°=，r=6（cm）.∴弧长又∴ S弓形=S扇－S△OAB=（三）、任意角的三角函数定义的应用例 3、已知角α的终边与函数的图象重合，求sinα、cosα、tanα.分析：给出α的终边而要求三角函数值，只需在α终边上任取一点 P，再利用定义可直接求解，但必须注意这里的角α的终边有两种情形，应分别求解.解：由题意可知α的终边在第一或第三象限 .若α终边在第一象限，则在终边上任取点 P（2，3）.此时 x=2，y=3，r=.若α终边在第三象限，则在终边上任取点 P（－2，－3），此时 x=－2，y=－3，r=.总结：（1）因为点P的选取与三角函数的值无关，故怎样利于计算就怎样取.（2）解题中遇到不确定因素时，常采用分类讨论的思想方法.三、难点知识剖析（一）、区域角的表示例 4 、写出顶点在原点、始边重合于 x轴非负半轴、终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）.分析：先依照逆时针方向写出一周内边界所对应的角，然后用终边相同的角的写法表示出符合条件的角的范围 .解：（1）选定OA，在－180°～180°间，把图中以OA为终边的角看成－60°，以OB为终边的角看成150°，则：{α|－60°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z} （2）把图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转180°得到的，则{α|120°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}.总结：α＋ k·360°（k∈Z）可看成每旋转360°，即重复出现.同理：α＋k·180°，α＋k·120°，α＋k·90°可分别看成每旋转180°，120°，90°重复出现.例 5、集合，集合，求A∩B.分析：用图示法可表示出 A∩B，注意集合B是每旋转重复出现，而A是每旋转4π重复出现，最后A∩B应是每旋转4π重复出现.解答：∴ A∩B=（二）、三角函数线设角α的终边与单位圆交于点 P，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.过点 A作单位圆的切线，与OP或OP的反向延长线交于点T.则有向线段AT叫做角α的正切线，在有关问题中利用三角函数线则会带来简便.例 6、当α∈（ 0，）时，求证：sinα<α<tanα.分析：利用代数方法很难得证。
第四课：任意角与弧度制
第四课：任意角与弧度制知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠． 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、在单位圆中，长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 练习题：1、用集合表示：终边落在轴右侧的角的集合．2、在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1）；（2）；3、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600； （2）-210；4、 把'3067 化成弧度5、 把rad π53化成度6、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ 1657、如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数‖知识梳理‖1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式|α|＝l r3.三角函数线有向线段MP 为正弦线，有向线段OM 为余弦线，有向线段AT 为正切线| 微 点 提 醒 |1．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(√) (3)不相等的角终边一定不相同．(×) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√) (5)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α>sin α.(√) (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)‖自主测评‖1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π－45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选C 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．故选C.2．(教材改编题)若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由sin θ<0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合，cos θ>0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x 轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．3．(教材改编题)角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C4．(教材改编题)已知角θ的终边过点P (12，－5)，则cos θ的值为________． 解析：因为x ＝12，y ＝－5，所以r ＝x 2＋y 2＝13，所以cos θ＝x r ＝1213.答案：12135．(教材改编题)扇形弧长为20 cm ，中心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π(cm)，所以S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π(cm 2)．答案：360π…………考点一 象限角及终边相同的角…………………|自主练透型|……………|典题练全|1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 解析：选A 当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A.2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．(一题多解)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝xx ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 解法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .解法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . 4．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样，当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析：如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合． 2．判断象限角的2种方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 3．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在的位置．…………考点二 扇形的弧长、面积公式…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒]运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制.|变式训练|1．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D.3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，所以AM ＝32r ，AB ＝3r ， 所以l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB ︵于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度， 且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中， AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而AB ︵的长为l ＝α·r ＝2sin1.故选C.………………考点三 三角函数的定义………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 利用三角函数的定义求值【例1】 已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( ) A.155B.153C ．－155D ．－153[解析] 因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x <0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.[答案] D角度二 判断三角函数值的符号 【例2】 (1)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] (1)因为π2<2<3<π<4<3π2，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0. 所以sin2·cos3·tan4<0，所以选A. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角. [答案] (1)A (2)C角度三 利用三角函数线比较大小或解不等式【例3】 (1)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α(2)函数y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] (1)如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.故选C.(2)由题意，得sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z 角度四 以三角函数定义为背景的创新题【例4】 如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[解析] 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4. 令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝ 2. 当t ＝π4时，d ＝0，故选C.[答案] C『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2．三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒]若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．3．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1)用边界值定出角的终边位置． (2)根据不等式(组)定出角的范围． (3)求交集，找单位圆中公共的部分． (4)写出角的表达式．|变式训练|1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.2．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1)解析：选D 设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎨⎧ sin π4＝y 2，cos π4＝x 2， 即⎩⎨⎧ x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1,1)．3．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，求cos α，tan α的值． 解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2，所以sin α＝m r ＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 【典例】 在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？[解] 因为△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2， 所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3； 方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3. 由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．[点评] 通过对废料充分利用中扇形面积与弧长的计算，分析比较出最优方案，体现了在解决实际问题中利用数学知识建立数学模型解决问题的素养．。
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
任意角弧度制逐字稿
任意角和弧度制一、学习目标1、推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；2、理解任意角以及象限角的概念，掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；3、理解弧度制的意义，能正确的应用弧度与角度之间的换算；二、学习重点1、掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；2、理解弧度制的意义，能正确的应用弧度与角度之间的换算。
三、学习难点1、熟练进行弧度和角度的换算。
我们从小学就学过角了，还记得当时我学角的时候，我觉着量角器真是一个特别好用的工具，随意一个角，我都能量出角的大小，当时简直就有一种量角器在手，天下我有的感觉，直到我有一天遇到361°这个角，从此以后，这个角就一直困惑着我，不知道大家有没有和我一样，有同样的困惑，今天我们一块来学习一下今天的内容，看看是否能解决当初的困惑。
首先我们从定义入手。
因为角是平面图形四、主要内容1．角(1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．始边和终边。
因为旋转的方式有两种，一种是顺时针方向一种是逆时针方向。
所以我们给它规定正方向。
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角课堂小练这是我们对角做了一个小的分类，现在大家看一看课堂小练，1．经过10分钟，分针转了________度．2．分别求出下图中从OA旋转到OB，OB1,OB2时所成角的度数。
B2BA O A B1 O这个没问题我们就接着往下看，既然我们把角是一个平面图形，我们就把它放在平面直角坐标系中对它进行研究。
2.象限角怎么放呢？首先画平面直角坐标系，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角．举例子让学生说象限角30°，120°，190°，280°，-90°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任意角和弧度制
1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ）
A ．3
B ．1
C ．23
D ．3π
2．设集合
,,,22k M x x k Z N x x k k Z πππ⎧⎫⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M 与N 的关系是（ ） A.M N = B.M N ⊆ C.M N ⊇ D.M N =∅
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.1sin 2
C.2sin1
D.sin2
4.在“①160°②480°③960- ④1600- ”这四个角中，属于第二象限的角是( )
A. ①
B. ① ②
C. ① ② ③
D. ① ② ③ ④
5.若α是钝角，则,k k Z θπα=+∈是（ ）
A. 第二象限角
B. 第三象限角
C. 第二象限角或第三象限角
D. 第二象限角或第四象限角
6.设k Z ∈，下列终边相同的角是（ ）
A ． ()21180k + 与()41180k ±
B ． 90k ⋅ 与18090k ⋅+
C ． 18030k ⋅+ 与36030k ⋅±
D ． 18060k ⋅+ 与60k ⋅
7.若角α是第二象限的角，则2α
是（ ）
（A ）第一象限或第二象限的角 （B ）第一象限或第三象限的角
（C ）第二象限或第四象限的角 （D ）第一象限或第四象限的角
8.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度
A ． 1
B ． 2
C ．3
D ． 4
9. 120- 的弧度数是（ ） A.56π- B. 43π C.23π
- D. 34π
-
10．下列命题中，命题正确的是（ ）
A ．终边相同的角一定相等
B ．第一象限的角是锐角
C ．若2()k k z αβπ-=∈，则角α的三角函数值等于角β的同名三角函数值
D ．半径为R ，n 的圆心角所对的弧长为R n ⋅
11.扇形的中心角为π3
2，弧长为π2，则其半径=r ______． 12．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．
13.终边在y 轴上的角的集合是（用弧度制表示）________________.
14.点P 从圆心在原点O 的单位圆上点)0,1(出发，沿逆时针方向运动π6
5弧长，到达点Q ，则点Q 的坐标是_______________. 15.将65π
rad 化为角度是 ．
16.已知扇形的周长为cm 324π+
,其半径为cm 2,则该扇形的圆心角的弧度数为 . 17. 求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1） 210-； （2）731484'- ．
18. 已知角
α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
19. 如图,一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB 和劣弧.
1. 选A 。
设圆的半径为R 。
∴圆心角为R
= 2.
选C 。
集合M 表示终边落在坐标轴上的角的集合，N 表示终边落在y 轴上角的集合。
3. 选B.圆弧的半径为
1sin1，所以圆心角为2sin1。
4. 选C 。
0160是第二象限角，000480360120=+是第二象限角，0009603360120-=-⨯+是第二象限角，000
16005360200-=-⨯+是第三象限角。
5. 选D 。
6.选A 。
终边相同角相差0
360的整数倍。
7.选B 。
∵222k k ππαππ+
<<+，∴422k k παπππ+<<+，∴2α是第一象限或第三象
限角。
8.选B 。
利用扇形面积公式212S r α=
即可。
9.C 10.选C 。
∵2()k k z αβπ-=∈，∴,αβ
的终边相同，∴,αβ的同一三角函数值相等。
11.由l r α=得，223r ππ=，所以3r =。
12.3π 13.{|,}2k k Z πααπ=+∈ 14.角56π的终边与单位圆交点的坐标为5(cos ,sin )66ππ5。
15.216︒ 16.32π
17.
1、（1）∵ 150360210+-=-，∴与 210-终边相同的角的集合为
{}Z k k ∈+⋅=,150360| αα。
其中最小正角为 150，最大负角为
210-。
（2）∵'23315360
5'371484 +⋅-=-，∴与731484'- 终边相同的角的集合为{}Z k k ∈+⋅=,'23315360| αα，其中最小正角为'23315 ，最大负角为'3744 -。
18. ∵ 180********+⋅<<+⋅k k α， ∴ 90180245180+⋅<<+⋅k k α
；
当k 为偶数时，
2α在第一象限，当k 为奇数时，2α在第三象限；即：2
α为第一或第三象限角。
∵
360360221803602+⋅<<+⋅k k α， ∴α2的终边在下半平面。
19. 24
3R S AOB =∆ S 扇形=632122R R ππ=⋅⋅ S 弓形=S 扇形—22212332436R R R S AOB ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=∆ππ.。