高中数学单元训练7概率一含解析北师大版必修7
高中数学第7章概率1随机现象与随机事件1.3随机事件1.4随机事件的运算学案含解析北师大版第一册
1.3 随机事件1.4随机事件的运算学习目标核心素养1。
理解随机事件与样本点的关系．(重点)2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点）1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．1．三种事件的定义事件随机事件一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件,常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个;反之，当这一子集中的一个样本点出现时,这一事件必然发生必然样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本事件点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件不可能事件空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件2。
随机事件的运算事件的运算定义图形表示符号表示交事件一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）并事件一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件）A∪B（或A＋B)3。
互斥事件与对立事件事件的运算定义图形表示符号表示互斥事件一般地，不能同时发生的两个事件A与B（A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件A∩B＝∅对立事件若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作错误!A∩B＝∅且A∪B＝Ω思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝｛出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？提示：A＝C∩D.2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？（指充分性与必要性）提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中两个事件是互斥事件的为(）A．“都是红球”与“至少一个红球"B．“恰有两个红球”与“至少一个白球"C．“至少一个白球”与“至多一个红球”D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”D[A,B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项,两个事件不可能同时发生,是互斥事件．]2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(）A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3C［设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品；②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．其中_______是随机事件；_______是不可能事件．（填序号）①③②［因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件．］事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2）三角形的内角和为180°;（3)没有空气和水，人类可以生存下去;（4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5）从分别标有1,2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签;（6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．［解］（1)购买一注彩票，可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件．（2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．（3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水,人类无法生存，所以是不可能事件．（4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5）任意抽取，可能得到1，2，3,4号标签中的任一张,所以是随机事件．(6）由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．判断一个事件是哪类事件的方法判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．［跟进训练］1．下列事件不是随机事件的是(）A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B［B是必然事件,其余都是随机事件．］事件关系的判断【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1）“恰有1名男生"与“恰有2名男生”；（2)“至少有1名男生”与“全是男生”；（3)“至少有1名男生"与“全是女生”;(4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生"．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生,1男1女．(1)“恰有一名男生"指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．（2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3）“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．（4）“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生"与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的，也可列出全部结果,再进行分析．［跟进训练］2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．（1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；（2)“至少有1件次品"和“全是次品”；(3)“至少有1件正品"和“至少有1件次品"．［解］依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：（1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件,所以它们不是对立事件；同理可以判断（2)中的2个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．事件的运算［探究问题]1．事件的运算与集合的运算有什么对应关系？［提示］由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件,对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B。
高中数学第七章概率质量评估卷练测评含解析北师大版第一册
第七章单元质量评估卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列事件中，随机事件的个数是(）①2020年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④x∈R，则｜x｜的值不小于0.A．1 B．2C．3 D．42．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0。
28,那么摸出黑球的概率是（)A．0。
2 B．0.28C．0。
52 D．0.83．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾" D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”4．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!5．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元,则丙领到的钱数不少于乙、丁的概率是(）A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率为错误!的是（）A．颜色相同B．颜色不全同C．颜色全不同D．无红球7.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形,现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色,则三个图形颜色不全相同的概率为()A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!8．设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!，A发生B 不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是（）A.错误!B.错误!C。
高中数学北师大版第册课练：第七章单元整合含解析
学必求其心得，业必贵于专精
第七章概率
单元整合
1.☉％*＃48#5#9％☉(2020·黄冈中学月考）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2，3,这三张卡片除标记的数字外完全相同。
随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b，c。
(1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
答案:解：由题意知，（a,b，c)所有的可能为（1，1,1)，（1,1,2)，(1，1，3），（1,2,1),(1，2,2）,（1，2,3)，（1,3，1）,（1,3,2）,（1,3，3),(2,1,1）,（2,1，2），（2，1，3）,(2,2，1)，（2,2，2)，(2，2，3)，(2，3，1）,（2，3,2），（2,3,3)，(3，1，1），（3，1，2）,（3,1，3),（3,2,1),（3,2，2）,(3，2，3),（3,3，1）,（3,3,2），(3，3,3），共27种。
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括（1,1，2)，（1,2,3），（2，1，3）,共3种。
所以P(A)=3
27=1
9。
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率为1
9。
(2）求“抽取的卡片上的数字a，b,c不完全相同"的概率。
答案:设“抽取的卡片上的数字a，b,c不完全相同”为事件B，则事件。
新教材高中数学第七章概率本章总结提升课件北师大版必修第一册
解射手甲射击一次,中靶是随机事件,他射击10次可以看作是重复做了10次
试验,而每次试验的结果都是随机的,所以10次的结果也是随机的,这10次
射击可能一次也不中,也可能中一次、二次、…、甚至十次都中.虽然中靶
是随机事件,但却具有一定的规律性,概率为0.9,是说在多次的试验中,中靶
规律方法 相互独立事件概率的求法
(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立),
正确区分“互斥事件”与“对立事件”.当且仅当事件A和事件B相互独立时,才
有P(AB)=P(A)P(B).
(2)某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减
少运算量,提高准确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.
(1)若a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,求函数f(x)在(-∞,-1)上单调递
减的概率;
(2)若a是从集合{1,2,3}中任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}中任取的一个
数,求方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根的概率.
解(1)记“函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减”为事件A.
(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B,B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,
所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)记“命中不足8环”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,所以
2022新教材高中数学第七章概率章末检测含解析北师大版必修第一册
章末检测(七) 概率(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．甲、乙两人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%解析：选D 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D. 2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15 ，身体关节构造合格的概率为14 .从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A ．1320 B ．25 C ．14D ．15解析：选B 设事件A 表示“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B 表示“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45 ，身体关节构造不合格的概率为34 ，所以P (B )＝45 ×34 ＝35 ，故P (A )＝1－P (B )＝1－35 ＝25 .故选B.3．从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选A 设3名女教师为a 1，a 2，a 3，2名男教师为b 1，b 2，从中任选2人的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，选中的2人都是女教师的样本点为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个，因此其概率为P ＝0.3，故选A.4．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是( ) A ．至少有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．恰有一次中靶解析：选B 某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为：①第一次中靶，第二次中靶；②第一次中靶，第二次未中靶；③第一次未中靶，第二次中靶；④第一次未中靶，第二次未中靶．至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶．故选B.5．从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：g)的频数分布表如下：用分层随机抽样的方法从质量在[80，85)和[95，100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则恰有1个苹果的质量在[80，85)内的概率为( )A ．12 B ．13 C ．14D ．16解析：选A 设从质量在[80，85)内的苹果中抽取x 个，则从质量在[95，100]内的苹果中抽取(4－x )个．因为频数分布表中[80，85)，[95，100]两组的频数分别为5，15，所以5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1，即抽取的4个苹果中质量在[80，85)内的有1个，记为a ，质量在[95，100]内的有3个，记为b 1，b 2，b 3.从抽取的4个苹果中任取2个有ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共6个样本点，其中恰有1个苹果的质量在[80，85)内的样本点有ab 1，ab 2，ab 3，共3个，所以所求概率为36＝12.6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49 B ．1927 C ．1127D ．4081 解析：选B 最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13 ＋23 ×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 2×13 ＝1927 ，故选B. 7．A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一个小孩去观看花展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一位妈妈和一个小孩，其中孩子们都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 的车的概率是( )A ．13 B ．12 C ．59D ．23解析：选A 法一：设A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别是a ，b ，c ，d ，则坐车方式有(Ab ，Ba ，Cd ，Dc )，(Ab ，Bd ，Ca ，Dc )，(Ab ，Bc ，Cd ，Da )，(Ac ，Ba ，Cd ，Db )，(Ac ，Bd ，Ca ，Db )，(Ac ，Bd ，Cb ，Da )，(Ad ，Ba ，Cb ，Dc )，(Ad ，Bc ，Ca ，Db )，(Ad ，Bc ，Cb ，Da )，共9种情况，而A 的小孩坐C 的车有3种情况，故所求概率为13.法二：A 的小孩坐B 或D 或C 的车的概率是相等的，所以坐其他三位妈妈的车的概率均为13. 8．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12 ，13 ，14 ，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A ．2324 B ．524 C ．1124D ．124解析：选C 设事件A 是“甲企业购买该机床设备”，事件B 是“乙企业购买该机床设备”，事件C 是“丙企业购买该机床设备”，事件M 是“甲、乙、丙三家企业中恰有1家购买该机床设备”，则P (A )＝12 ，P (B )＝13 ，P (C )＝14 ，则P (M )＝P (A B － C － )＋P (A － B C － )＋P (A － B － C )＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ×13 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×14 ＝1124.故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下面结论正确的是( )A ．若P (A )＋P (B )＝1，则事件A 与B 是互为对立事件 B ．若P (AB )＝P (A )P (B )，则事件A 与B 是相互独立事件C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B －也是互斥事件 D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B －也是相互独立事件解析：选BD 对于A 选项，要使A ，B 为对立事件，除P (A )＋P (B )＝1还需满足P (AB )＝0，也即A ，B 不能同时发生，所以A 选项错误．对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确．对于C 选项，A 包含于B － ，所以A 与B －不是互斥事件，所以C 选项错误．对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确．故选B 、D.10．已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为89的是( )A ．颜色相同B ．颜色不全相同C ．颜色全不相同D ．无红球解析：选ACD 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为327 ＝19 ；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427 ＝89 ；颜色全不相同的结果有6种，其概率为627 ＝29 ；无红球的结果有8种，其概率为827.故选A 、C 、D.11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是12 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12解析：选ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13 ，P (A 2)＝12 ，且A 1，A 2独立．在A 中，2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13 ×12 ＝16 ，A 正确；在B 中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56 ，B 错误；在C 中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P (A － )P (B －)＝1－23×12 ＝23 ，C 正确；2个球中恰有1个红球的概率为13 ×12 ＋23 ×12 ＝12 ，D 正确．故选A 、C 、D.12．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下：以下结论正确的有( ) A ．表中①位置的数据是12 B ．表中②位置的数据是0.3C ．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人D ．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5解析：选AB ①位置的数据为50－(8＋15＋10＋5)＝12，A 正确；②位置的数据为1550＝0.3，B 正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3，2，1，C 错误；设上述6人为a ，b ，c ，d ，e ，f (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的所有情况为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种．记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A ，则事件A 所含的样本点的个数为9.所以P (A )＝915 ＝35 ，故2人中至少有1名是第四组的概率为35，D 错误．故选A 、B.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是________．解析：事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”．答案：至多3个是黑球14．已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )＝16 ，P (B － C )＝18 ，P (AB C －)＝18 ，则P (B )＝________，P (A －B )＝________．解析：∵P (AB C － )＝P (AB )P (C － )＝16 P (C － )＝18 ，∴P (C － )＝34 ，即P (C )＝14.又P (B －C )＝P (B －)P (C )＝18，∴P (B －)＝12 ，P (B )＝12 .又P (AB )＝16 ，则P (A )＝13，∴P (A －B )＝P (A － )P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×12 ＝13.答案：12 1315．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{}0，1，2，…，9 .若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则两人“心有灵犀”的概率为________．解析：a ，b 的可能取值(可重复)共有10×10＝100(种).|a －b |≤1可分两类，当a 取0或9时，b 只能取0、1或8、9，共4种取法；当a 取1～8中的任一数字时，b 有3种取法，共3×8＝24(种)，所以所求概率为P ＝24＋4100 ＝725.答案：72516．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为________．解析：设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A ，B ，C ，依题意，A ，B ，C 相互独立，故所求事件概率为P ＝[P (A B － C － )＋P (A － B C － )＋P (A － B － C )]×0.2＋[P (AB C － )＋P (A －BC )＋P (A B －C )]×0.6＋P (ABC )＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.答案：0.492四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x ；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y .(1)在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点共有几个？试求点(x ，y )落在直线x ＋y ＝7上的概率；(2)规定：若x ＋y ≥10，则小王赢；若x ＋y ≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．解：(1)因x，y都可取1，2，3，4，5，6，故以(x，y)为坐标的点共有36个．记点(x，y)落在直线x＋y＝7上为事件A，则事件A包含(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个样本点，所以事件A的概率P(A)＝636＝16.(2)记x＋y≥10为事件B，x＋y≤4为事件C，用数对(x，y)表示x，y的取值．则事件B包含(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个样本点；事件C包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点．由(1)知样本点总数为36个，所以P(B)＝636＝16，P(C)＝636＝16，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．18．(本小题满分12分)某市2021年4月(共计30天)对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61, 76, 70, 56, 81, 91, 92, 91, 75, 81, 88, 67, 101, 103, 95，91, 77, 86, 81, 83, 82, 82, 64, 79, 86, 85, 75, 71, 49, 45.(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．从这30天中任意选取一天，则该天空气质量为优或良的概率是多少？解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图所示：(3)样本点总数是30，污染指数在0～100之间的有28天，故所求概率为2830 ＝1415 .19．(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意，把抽取的结果记为(a ，b ，c )，则所有可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共有27种可能的结果．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包含的样本点有(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共有3种可能的结果．所以P (A )＝327 ＝19.因此“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包含的样本点有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共有3种可能的结果，所以P (B －)＝327 ＝19.故P (B )＝1－P (B －)＝1－19 ＝89 .因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.20．(本小题满分12分)阶梯水价的原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制订合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，得到数据如下：(单位：吨).郊区：19 25 28 32 34城区：18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42(1)在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率； (2)设该城市郊区和城区的居民户数比为1∶5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一阶梯的居民用户用水价格保持不变，试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．解：(1)从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有样本点为(19，25)，(19，28)，(19，32)，(19，34)，(25，28)，(25，32)，(25，34)，(28，32)，(28，34)，(32，34)，共10个．其中年人均用水量都不超过30吨的样本点为(19，25)，(19，28)，(25，28)，共3个． 设“从郊区的5户居民中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”为事件A ，则P (A )＝310.(2)设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为5a .依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为35×a ＋1720×5a 6a ＝97120＞80%.故此方案符合国家“保基本”政策．21．(本小题满分12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45 ，乙当选的概率为35 ，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则有P (A )＝45 ，P (B )＝35 ，P (C )＝710 .(1)∵A ，B ，C 相互独立，∴ 恰有一名同学当选的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C ) ＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＝45 ×25 ×310＋15 ×35 ×310 ＋15 ×25 ×710 ＝47250. (2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－45 ×35 ×710 ＝83125.22．(本小题满分12分)乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．已知在甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．解：(1)记“第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分”为事件A i ，i ＝0，1，2； “第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分”为事件B i ，i ＝0，1，2； “第3次发球，甲得1分”为事件A ；“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为事件B ， 则B ＝A 0A ∪A 1A －.P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16，P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0A ∪A 1A －)＝P (A 0A )＋P (A 1A －) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A －) ＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4) ＝0.352，即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352.(2)记“开始第5次发球时，甲得分领先”为事件C ，则C ＝A 1B 2∪A 2B 1∪A 2B 2.P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16，P (A 2)＝0.62＝0.36. P (C )＝P (A 1B 2∪A 2B 1∪A 2B 2)＝P (A 1B 2)＋P (A 2B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2，即开始第5次发球时，甲得分领先的概率为0.307 2.。
新教材高中数学第七章概率测评试题北师大版必修第一册
第七章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列事件是必然事件的是()A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.异性电荷相互吸引C.在标准大气压下,水在1 ℃时结冰D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数2.将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是()A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”3.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:则样本数据落在(10,40]上的频率为()A.0.13B.0.39C.0.52D.0.644.某大学外语系有6名志愿者,其中志愿者A1,A2,C只通晓英语,志愿者B1,B2,B3只通晓俄语.现从这6名志愿者中选出2名,组成一个能通晓两种语言的小组,则C被选中的概率为()A.15B.14C.13D.255.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.96.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面向上”,事件B=“第二枚硬币正面向上”,则()A.事件A与事件B互为对立事件B.事件A与事件B为互斥事件C.事件A与事件B相等D.事件A与事件B相互独立7.(2021江苏南通期中)一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为0.1,第二道工序的次品率为0.2,则该件产品的正品率为()A.0.98B.0.72C.0.70D.0.288.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是()A.920B.925C.380D.19400二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,则下列不是对立事件的为()A.恰有1名男生和恰有2名男生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名男生和全是男生D.至少有1名男生和全是女生10.(2022湖南长沙月考)如图所示的电路中,5只盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是()A.A ,B 两个盒子串联后畅通的概率为23 B.D ,E 两个盒子并联后畅通的概率为130 C.A ,B ,C 三个盒子混联后畅通的概率为56D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为2936 11.下列概率模型是古典概型的为( )A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B.同时掷一次两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( ) A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.04,出现丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 .14.(2022广东佛山检测)某种心脏手术成功率为0.7,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.7,故我们用0,1,2表示手术不成功,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功,再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.15.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队,每两队要进行一场比赛,记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5,0.6,0.8,甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3,0.2,0.1,最后得分大于等于7胜出,则甲胜出的概率为.16.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45,35,25,且各轮问题能否正确回答互不影响,则该选手被淘汰的概率为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200千米,遇到红灯个数的概率如下表所示:(1)求表中字母a的值;(2)求至少遇到4个红灯的概率;(3)求至多遇到5个红灯的概率.18.(12分)盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球,其中1号与2号是黑球,3号、4号与5号是红球,从中有放回地每次取出1个球,共取两次.(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率;(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.19.(12分)(2020全国1,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?20.(12分)某单位开展岗前培训期间,甲、乙2人参加了5次考试,成绩统计如下:(1)根据有关统计知识回答问题:若从甲、乙2人中选出1人上岗,你认为选谁合适?请说明理由.(2)根据有关概率知识解答以下问题:若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过3分,则称该次考试两人“水平相当”.由上述5次成绩统计,任意抽查两次考试,求至少有一次考试两人“水平相当”的概率.21.(12分)某中学为了丰富学生的业余生活,开展了一系列文体活动,其中一项是同学们最感兴趣的.且各场比赛互不影响.3对3篮球对抗赛,现有甲、乙两队进行比赛,甲队每场获胜的概率为25(1)若采用三局两胜制进行比赛,求甲队获胜的概率;(2)若采用五局三胜制进行比赛,求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.22.(12分)(2022贵州贵阳检测)为了推进新高考改革,某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课,同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣,该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动,本次活动共进行两轮比赛,第一轮是综合知识小测验,满分100分,并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题,第二轮从6个难度升级且分别涉及“时事政治”“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”和“逻辑推理”六个方面的题目中随机抽选3个题目进行作答,以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]进行分组绘制而成的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛?(2)已知李华比较擅长“时事政治”类题目,不太擅长“逻辑推理”类题目,若李华成功进入了第二轮比赛,求他刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率.第七章测评1.B四个选项都是随机事件,根据定义可知B选项是必然事件.故选B.2.C对于A,事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于B,事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生,不是互斥事件;对于D,事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”可能同时发生,不是互斥事件;但C中的两个事件不可能同时发生,是互斥事件,故选C.3.C由题意可知频数在(10,40]的有13+24+15=52,由频率=频数÷总数可得0.52.故选C.4.C从这6名志愿者中选出2名组成通晓两种语言的小组的样本点为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(C,B1),(C,B2),(C,B3),共有9个.其中C被选中的样本点有(C,B1),(C,B2),(C,B3),共3个,所以所求概率为39=13.故选C.5.C因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.6.D抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A发生与否与事件B无关,事件B发生与否与事件A无关,所以事件A与事件B相互独立.故选D.7.B该件产品的正品需要满足的条件是第一道工序和第二道工序都是正品,则该件产品的正品率为P=(1-0.1)×(1-0.2)=0.72.故选B.8.D击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中,及甲前两次均未击中、乙第二次才击中,所以其概率为P=14×15×34+14×15×14×45=380+1100=19400,故选D.9.ABC A是互斥事件,不是对立事件,理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.B不是互斥事件,从而也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可同时发生.C不是互斥事件,从而也不是对立事件,理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.D 是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.故选ABC .10.CD A ,B 两个盒子串联后畅通的概率P=(1-12)×(1-13)=13,A 错误;D ,E 两个盒子并联后畅通的概率P=1-15×16=2930,B 错误;A ,B ,C 三个盒子混联后畅通的概率P=1-23×14=56,C 正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率P=2930×56=2936,D 正确.故选CD .11.ABD 古典概型的特点:①一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;②每个样本点发生的可能性是均等的,即等可能性.显然A,B,D 符合古典概型的特征,所以A,B,D 是古典概型;C 选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.故选ABD .12.ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立.在A 中,2个球都是红球为A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B 中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P (A )P (B )=1-23×12=23,C 正确;2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.0.95 记事件A={抽得甲级品},B={抽得乙级品},C={抽得丙级品},因为事件A ,B ,C 互为互斥事件,且三个事件对立,所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为P (A )=1-P (B )-P (C )=0.95.14.0.4 根据题意,10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有569,683,537,989,共4个, 则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4.15.0.446 两队比赛,一队胜、平、负是互斥事件,因此由题意甲平乙、丙、丁的概率分别是0.2,0.2,0.1,所以甲胜的概率为P=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×0.1+0.5×0.2×0.8+0.2×0.6×0.8=0.446.16.101125 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i=1,2,3),则P (A 1)=45,P (A 2)=35,P (A 3)=25. 则该选手被淘汰的概率为P=P (A 1+A 1A 2+A 1A 2A 3)=P (A 1)+P (A 1)P (A 2)+P (A 1)P (A 2)P (A 3)=15+45×25+45×35×35=101125.17.解(1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.(2)设事件A为遇到红灯的个数为4,事件B为遇到红灯的个数为5,事件C为遇到红灯的个数为6个及以上,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯,则至多遇到5个红灯为事件D.则P(D)=1-P(D)=1-0.03=0.97.18.解由题知,共有25个样本点,(1)2个球中恰好1个黑球为13,14,15,23,24,25,再交换一下,共有12个样本点,故概率P=1225. (2)取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球,即全是黑球为11,12,21,22,共4个样本点,即P=1-425=2125.19.解(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-5×20-75×20100=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30×17+0×34-70×21100=10.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务. 20.解(1)甲的平均成绩为x 甲=82+82+79+95+875=85,乙的平均成绩为x 乙=95+75+80+90+855=85,故甲、乙二人的平均水平一样.甲的成绩的方差为s 甲2=15∑i=15(x i -x 甲)2=31.6,乙的成绩的方差为s 乙2=15∑i=15(x i -x 乙)2=50,∴s 甲2<s 乙2,故应派甲合适.(2)从5次考试的成绩中,任意取出2次,所有的样本点有10个,其中,满足至少有一次考试两人“水平相当”的有:(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(82,75)、(79,80)和(95,90)、(87,85)和(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共有7个样本点,故所求事件的概率等于710.21.解设A i (i=1,2,3,4,5)表示甲队在第i 场比赛获胜. (1)所求概率为P (A 1A 2)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=252+35×252×2=44125.(2)所求概率为P (A 1A 2A 3A 4)+P (A 1A 2A 3A 4)+P (A 1A 2A 3A 4)=25×353×3=162625.22.解(1)设学生在第一轮比赛中至少得到x 分才能进入第二轮比赛, ∵0.007×20=0.14<0.2,0.007×20+0.015×20=0.44>0.2, ∴x 在区间[60,80)内,且80-x 20×0.3+0.14=0.2,解得x=76,故估计学生在第一轮比赛中至少得到76分才能进入第二轮比赛. (2)由题意得,李华成功进入了第二轮比赛, 从6个题目中抽选3个题目共有20种不同的可能,刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目,即再从“语言文化”“艺术欣赏”“体育健康”“天文地理”4个题目中选择2个题目,共有6种不同的可能,故李华成功进入了第二轮比赛,刚好抽中“时事政治”类题目,没有抽中“逻辑推理”类题目的概率为P=620=310.。
2023-2024学年江西省高中数学北师大 必修一第七章-概率同步测试-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江西省高中数学北师大 必修一第七章-概率同步测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）72%74%75%76% 1. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ）A. B. C. D. 2. 某机场某时降雨的概率为 ， 在降雨的情况下飞机准点的概率为 ， 则某时降雨且飞机准点的概率为（ ）A. B. C. D.3. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ）A. B. C. D.互斥不对立 对立不互斥互斥且对立 以上答案都不对4. 若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，事件A 与事件B 的关系是（ ）A. B. C. D. 5. 图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（ ）A. B. C. D.每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A. B. C. D.与与与与7. 抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的数是奇数”，事件为“落地时向上的数是偶数”，事件为“落地时向上的数是的倍数”，事件为“落地时向上的数是或 ”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A. B. C. D.互斥但不对立相互对立相互独立独立且互斥8. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与（）A. B. C. D.9. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分.投入壶耳一次得2分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为 .四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（）A. B. C. D.10. 防疫工作，人人有责，某单位选派了甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者到A、B、C三处核酸点参加志愿工作，若每个核酸点至少去1名志愿者，则甲、乙两人派到同一处核酸点参加志愿者工作的概率为（）A. B. C. D..0.03240.04340.05280.056211. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（）A. B. C. D.12. 广雅中学三大社团“乐研社”、“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2019级高一新生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为，，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（）A. B. C. D.得分13. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为种；在事件“高二年级3人相邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为．14. 下列关于概率和统计的几种说法：①10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为c＞a＞b；②样本4，2，1，0，－2的标准差是2；③在面积为S的△ABC内任选一点P ，则随机事件“△PBC的面积小于 ”的概率为；④从写有0，1，2，…，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率是 .其中正确说法的序号有．15. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为．16. 甲、乙、丙、丁名同学被随机地分到三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是．17. 经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：(1) 按分层抽样的方法从质量落在，的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；(2) 以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有黄桃均以20元/千克收购；B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.参考数据：）18. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．(1) 从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；(2) 先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．19. 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决(1) 假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；(2) 在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.20. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：(1) 求的值(2) 求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；(3) 现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.9.10.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)。
2023-2024学年山东省泰安市高中数学北师大 必修一第七章-概率强化训练-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省泰安市高中数学北师大 必修一第七章-概率强化训练(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 一批产品共10件，次品有2个，从中任取2件，则恰好取到一件次品的概率为（ ）A. B. C. D.2. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件 中恰有一个发生的概率是（ ）A. B. C. D. 3. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（ ）A. B. C. D.4. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是不合格的，现从盒中随机地抽取4个，那么恰有两只不合格的概率是（ ）A. B. C. D.至少有1只黑球与都是黑球至少有1只黑球与都是红球至少有1只黑球与至少有1只红球恰有1只黑球与恰有2只黑球5. 从装有2只红球和2只黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. B. C. D. 0.880.70.580.126. 甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4．则密码被破译的概率为（ ）A. B. C. D.7. 有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ ）A. B. C. D.8. 投掷两颗骰子，其向上的点数分别为和 ， 则复数为纯虚数的概率为（ ）A. B. C. D.0.9940.6860.5040.4969. 如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（）．A. B. C. D. 1365石338石169石134石10. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. B. C. D. 11. 今年学校的体育节将于12月3日~5日举行，某班的甲、乙两名同学各自等可能的从100米、200米和跳远三项运动项目中选择2项报名参赛，则他们选择的两项运动项目都相同的概率为（ ）A. B. C. D.12. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）A. B. C. D. 13. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 ，则直线 与圆 有公共点的概率为 .14. 某小组有12位同学，其中有5位男同学，现用抓阄的方法，逐个派出若干位女同学去敬老院，为老人们洗衣服，如果抓到一位男同学就不再派出了，派过的人不再参加以后的抓阉，用X 表示派出的人数，则X 所有可能的值为 ．15. 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：排队人数012345人以上概 率0.10.160.30.30.10.04则排队人数为2或3人的概率为 ．16. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为 .17. 有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．(1) 这种摸球办法是否公平？请说明理由；(2) 若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．18. 为了配合新冠疫情防控，某市组织了以“停课不停学，成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动，为了了解一周内学生的线上学习情况，从该市抽取了1 000名学生进行调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.(1) 为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2名线上学习时间在[200，300)内的概率P，特设计如下随机模拟试验：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…，9的前若干个数字表示线上学习时间在[200，300)内，剩余的数字表示线上学习时间不在[200，300)内；再以每三个随机数为一组，代表线上学习的情况.假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数，请根据这批随机数估计概率P；907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 393 027 556 438 873 730 113 669 206 232 433 474 53 7 679 138 598 602 231(2) 为了进一步进行调查，用比例分配的分层随机抽样方法从这1 000名学生中抽取20名学生，在抽取的20人中，再从线上学习时间在[350，450]内的同学中任意选择2名，求这2名同学来自同一组的概率.19. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M ，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N ，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p ，在N点投中的概率都为q.且在M ， N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为 .(1) 求p ， q的值；(2) 求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.20. 已知甲箱的产品中有件正品和件次品，乙箱的产品中有件正品和件次品.(1) 若从甲箱中取出件产品，求在件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；(2) 若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出件产品，求取到一件正品的概率.21. 某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1) 求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．(2) 请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年浙江省高中数学北师大 必修一第七章-概率同步测试-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省高中数学北师大 必修一第七章-概率同步测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是 ， 且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（ ）A.B.C.D.红灯黄灯绿灯不能确定2. 一个路口的红绿灯红灯时间是30秒，黄灯时间是5秒，绿灯时间是40秒，当你到达路口时遇到概率最大的情况是（ ）A. B. C. D.3. 甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有人掷硬币的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则进入下一轮，并且按相同的规则继续进行游戏，规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏.则该游戏终止前，至少玩了六局的的概率为（ ）A.B.C.D.4. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（ ）A.B.C.D.5. 有 件产品，其中 件是次品，从中任取 件，若 表示取得次品的件数，则 （ ）A. B. C. D.6. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（ ）A. B. C. D.充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件7. 设是两个随机事件，且， 则“事件相互独立”是“事件互斥”的（ ）A. B. C. D. 8. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A.B.C.D.②③①②③④①④9. 下列正确命题的序号有（ ）①若随机变量 ，且 ，则 ．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件 ， ， ， 的概率分别为，，，，则 与是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有 个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 个白球， 等于 ④由一组样本数据，，得到回归直线方程，那么直线至少经过，，中的一个点．A. B. C. D. 0.90.2 0.7 0.510. 甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（ ）A. B. C. D. 0.80.750.60.4511. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. B. C. D. 12. 连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于6的概率为（ ）A.B.C.D.13. 已知是一个三位数，若的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称为递增数.已知 ，设事件A 为“由 ， ， 组成一个三位数”，事件为“由 ， ， 组成的三位数为递增数”，则.14. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“5局3胜制”，即先胜3局为胜方，比赛结束．已知甲每局获胜的概率均为0.6，则甲开局获胜并且最终以取胜的概率为 ．15. 连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为 ．16. 现有10个灯泡，其中3个不合格品和7个合格品，若从这10个灯泡中任取2个，则至少有一个是不合格品的概率为 .阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元．某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0 .5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4．(1) 求甲比乙付费多的概率；(2) 设甲、乙两人付费之差的绝对值为随机变量，求的分布列和数学期望．18. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.(1) 求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率.19. 某工厂车间有台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责台机器；方案二：由甲乙两人共同维护台机器．(1) 对于方案一，设为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求的分布列与数学期望；(2) 在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高?20. 冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．(1) 求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2) 设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．21. 为加快绍兴制造强市建设，《中国制造2025绍兴实施方案》指出，到2025年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级.某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取10件产品，并分析某项质量指标.根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布.(1) 记表示一天内抽取的10件产品质量指标在之外的件数，求；附：若随机变量服从正态分布，则，(2) 下面是一天内抽取的10件产品的质量指标：9.8510.1210.029.8910.2110.269.9110.1310.179.94若质量指标大于10.10被认定为一等品，现从以上10件产品中随机抽取4件，记为这4件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年西藏拉萨市高中数学北师大 必修一第七章-概率章节测试-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年西藏拉萨市高中数学北师大 必修一第七章-概率章节测试(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进新疆教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五位教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方都有老师去，则两位女教师被分派到同一个地方的概率为（ ）A. B. C. D.2. 饕餮(tāotiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发跳动五次到达点B ，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为（ ）A. B. C. D.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”“取出发酵茶”和“取出龙井”“取出乌龙茶”和“取出铁观音”“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”3. 国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如：龙井、碧螺春)和发酵茶(如：茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取若干盒，判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图， 和 都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 表示事件“豆子落在 内”， 表示事件“豆子落在 内”，则 （ ）A. B. C. D.至少有1个白球；至多有1个白球至少有1个白球；至少有1个黑球至少有1个白球；红､黑球各1个至少有1个白球；没有白球5. 盒子内有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（ ）A. B. C. D. 6. 齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）A. B. C. D.7. 重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为 ，，， 各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（ ）A. B. C. D.互斥相互独立互为对立相等8. 掷两枚质地均匀股子，设A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”则A 与B 的关系为（ ）A. B. C. D. 0组1组2组3组9. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件（ ）①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．其中互斥而不对立的事件共有（ ）A. B. C. D. 10. 书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）A. B. C. D.11. 传说古希腊毕达哥拉斯派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们将， 称为三角形数；将 ， 称为正方形数.现从小于100的三角形数中，随机抽取一个数，则这个数是正方形数的概率为（）A. B. C. D.12. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（）A. B. C. D.13. 某生物实验室有18颗开紫花的豌豆种和24颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开白花的豌豆种的概率为14. 先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数.在第一次向上点数为偶数的条件下两次点数和不小于5的概率为 .15. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为16. 有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率．17. 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．(1) 在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；(2) 已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；(3) 该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1， P2， P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．18. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2) 计算甲班的样本方差；(3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.19. 一批产品成箱包装，每箱6件．一用户在购买这批产品前先取出2箱，再从取出的每箱中抽取2件检验．设取出的第一、二箱中二等品分别装有1件、n件，其余均为一等品．(1) 若n=2，求取到的4件产品中恰好有2件二等品的概率；(2) 若取到的4件产品中含二等品的概率大于0.80，用户拒绝购买，求该批产品能被用户买走的n的值．20. 某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.(1) 若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；(2) 若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.21. 近年来,郑州经济快速发展,跻身新一线城市行列,备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名市民进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中．（I）求的值；（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数,众数,中位数；（Ⅲ）若按照分层抽样从 , 中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在的概率．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)20.(1)(2)21.第 11 页 共 11 页。
2023-2024学年吉林省长春市高中数学北师大 必修一第七章-概率专项提升-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年吉林省长春市高中数学北师大 必修一第七章-概率专项提升(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是（ ）A. B. C. D.①②④③①③2. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是（ ）A. B. C. D. 0.00080.0290.0310.24833. 甲､乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为2%，乙厂加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙两家工厂加工的零件数分别占总数的 .现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．高二1班在5道党史题（2道选择题和3道填空题）依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到填空题”，则 （ ）A. B. C. D.5. 甲乙等 人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A. B. C. D.6. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是（ ）A. B. C. D.7. 设 、 为两个互斥事件，且 ， ，则下列各式错误的是（ ）A. B.C. D.8. 甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件“甲成功破译”，事件“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（ ）A. B. C. D.恰有1名男生与恰有2名女生至少有1名男生与全是男生至少有1名男生与至少有1名女生至少有1名男生与全是女生9. 某数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件是（ ）A. B. C. D. 0.440.400.360.3210. 甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ，C 三种医用外科口罩，甲､乙购买A ，B ，C 三种医用口罩的概率分别如下：购买A 种医用口罩购买B 种医用口罩购买C 种医用口罩甲0.20.4乙0.30.3则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 且互相独立，灯亮的概率为（ ）A. B. C. D.0.0340.0650.0850.3412. 从甲地到乙地共有A 、、、四条路线可走，走路线A 堵车的概率为0.08，走路线堵车的概率为0.1，走路线堵车的概率为0.12，走路线堵车的概率为0.04，若小李从这四条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）A. B. C. D. 13. 分别从集合A ＝{1，2，3，4}和集合B ＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 .14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关15. 已知，，，则P（AB）= ，P（B）= ．16. 小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2014年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是 .17. 为加强进口冷链食品监管，进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果呈阴性，则没有该病毒，对于，（）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次：二是混合检验，将份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份检验的次数共为次，若每份样本没有该病毒的概率为，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的．(1) 求2份样本混合的结果为阳性的概率；(2) 若取得4份样本，考虑以下两种检验方案：方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验．若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由．18. 锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．(1) 当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率（）；(2) 正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布（单位：mm）．㈠梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？（精确到0.001）㈡为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树杆地径均小于235m m，农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由．19. 设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%．现从这批工件中任取一件．(1) 求取到次品的概率；(2) 已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．（精确到0.01）20. 甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响.已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，.(1) 求A被击毁的概率；(2) 求恰有1个目标被击毁的概率.21. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：第二组：第三组：第四组：第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1) 根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；(2) 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.10.11.12.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)第 11 页 共 11 页。
第七章 概率(能力提升)学年高一数学单元测试定心卷(北师大2019版必修第一册)
第七章概率能力提升学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是25，则取得白球的概率等于（）A．15B．25C．35D．45【答案】C【解析】【分析】根据对立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】∵取得红球与取得白球为对立事件，∵取得白球的概率P＝23 155 -=.故选：C【点睛】本小题主要考查利用对立事件计算概率，属于基础题.2．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆内方”的原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 钱币（如图1）做统计概率得到圆周率π的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的近似值为( )A ．14(1)p -B ．11p -C ．114p -D ．41p- 【答案】A【解析】【分析】直接利用几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型：12414S p S ππ-==，解得14(1)p π=-. 故选：A.【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ）A ．0.32B ．0.45C ．0.64 D．0.67 【答案】B原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3【分析】根据白球的概率可求得白球数，用总数减去红球与白球数即可求出对应的概率【详解】由题可知，白球数为：1000.2323⨯=个，则黑球数为100-32-23=45个，对应黑球概率为：450.45100P == 故选：B【点睛】本题考查概率公式的应用，属于基础题.4．同时抛掷两枚均匀的骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率为（ ）A ．118B ．112C ．19D ．16【答案】C【解析】【分析】同时抛掷两枚骰子，样本点总数为36，列出向上点数之差的绝对值为4的情况即可求得概率.【详解】同时抛掷两枚骰子，样本点总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的样本点有()1,5，()2,6，()5,1，()6,2，共4种，故()41369P A ==. 故选：C原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 此题考查求古典概型，关键在于准确求出向上的点数之差的绝对值为4所包含的基本事件个数. 5．一个口袋中装有质地和大小都相同的一个白球和一个黑球,那么“从中任意摸一个球得到白球”这个事件是（ ）A ．随机事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．不能确定 【答案】A【解析】【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念【详解】因为事件“从中任意摸一个球得到白球”可能发生也可能不发生,所以这个事件是随机事件,故选：A.【点睛】本题主要考查了随机事件的概念,属于基础题型.6．若1()9P AB =,2()3P A =,1()3P B =,则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 相互斥又独立【答案】C【解析】【分析】先求得()P A ，然后通过计算得到()()()P AB P A P B =，从而判断出事件,A B 相互独立.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 521()1()133P A P A =-=-=，1()()()09P AB P A P B ∴==≠.∵事件A 与B 相互独立，不是互斥、对立事件.故选：C【点睛】 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的判断，属于基础题.7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15【答案】B【解析】【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∵该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p==故选：B【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )A．频率就是概率B．频率是随机的，与试验次数无关C．概率是稳定的，与试验次数无关D．概率是随机的，与试验次数有关【答案】C【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，事件A出现的次数除以总数，是变化的概率指的是：在大量重复进行同一个实验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件A的概率，是不变的故选：C原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6【点睛】本题考查频率与概率的区别，属基础题.9．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A．518B．49C．59D．79【答案】C【解析】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C=⨯,选C.【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.10．某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是（）．A．13B．15C．25D．12【答案】B【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可得.【详解】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 从这个小组中任选一人当组长，有5种选法，其中选小丽当组长只有一种选法，根据古典概型的概率公式可得所求概率为15. 故选：B【点睛】 本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.11．已知{0,1,2}a ∈,{1,1,35}b ∈-，,则函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率是（ ）A ．512B ．13C ．14D ．16【答案】A【解析】【分析】利用枚举法分情况将所有满足条件的情况举出,再利用古典概型求概率的方法求解即可. 【详解】{0,1,2}a ∈,{1,1,3,5}b ∈-,∵基本事件总数3412n =⨯=.用(,)a b 表示,a b 的取值.若函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数,则∵当0a =时,()2f x bx =-,符合条件的只有(0,1)-,即0a =,1b =-;∵当0a ≠时,则由题意0a >，只需满足1b a,符合条件的有(1,1)-,(1,1),(2,1)-,(2,1),共4种. ∵函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率512P =.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 故选：A【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想以及古典概型求概率的方法,属于中等题型.12．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为( )A ．103B ．165C ．227D ．258【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用均匀随机数的产生和几何概型即可求出结果. 【详解】因为221360sin 1296212100R R π︒⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭≈，所以258π≈. 故选：D.【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，属于基础题. 评卷人 得分 二、填空题13．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．【答案】75%【解析】【分析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,则113a a+=,进而求解即可.【详解】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13 a,因为113a a+=,所以34a=,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为:75%【点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.14．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．【答案】101 125【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11【分析】设事件(1,2,3)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()P A P A P A 的值，可得结果；【详解】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===. 该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯= 故答案为：101125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()P A P A =－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．15．给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则全部装错．的概率为__________________. 【答案】13【解析】 【分析】先求得基本事件的总数，然后求得全部装错包含的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，基本事件的总数为336A=种，全部装错的事件有2种（如下表所示），所以全部装错的概率为21 63 =.收件人1的信封收件人2的信封收件人3的信封装入收件人2的信装入收件人3的信装入收件人1的信装入收件人3的信装入收件人1的信装入收件人2的信故答案为：3【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.16．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．【答案】0.3【解析】【分析】甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率．【详解】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：0.3．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．评卷人得分三、解答题17．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率.【答案】（1）35（2）310【解析】【分析】（1）利用古典概率的求解方法进行求解；（2）利用独立事件同时发生的概率公式求解.【详解】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14依题意，设事件A 表示“第一次取出的是黑球”，事件B 表示“第二次取出的是白球”. （1）黑球有3个，球的总数为5个，所以()35P A =. （2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为()3235410P AB ⨯==⨯. 【点睛】本题主要考查古典概率模型和独立事件的概率求解，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养. 18．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲.乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（∵）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3≤X 的概率； （∵）若小明，小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖更划算？【答案】（∵）1115；（∵）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大. 【解析】 【分析】（∵）求出事件“这2人的累计得分3≤X ”的对立事件，再利用对立事件的概率公式求解即可. （∵）根据二项分布的均值、倍数关系的随机变量的均值关系求解对应的数学期望再判断即可. 【详解】（∵）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25， 两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15则A 事件的对立事件为“5X =”，224(5)3515P X ==⨯=， 11()1(5)15P A P X =-==这两人的累计得分3≤X 的概率为1115. （∵）设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ， 都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为()12E X ， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为()23E X由已知：12~2,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21224~2,,2533X B E X ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭，()224255E X =⨯= ()()118223E X E X ∴==，()()221233,,5E X E X ==()()1223E X E X >他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大. 【点睛】本题主要考查了对立事件求概率的问题，同时也考查了二项分布的均值以及均值的性质.属于中档题. 19．据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、商贸、公司和自主创业等六大行业.2020届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是70人，140人和210人.现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取18人调查学生的就业意向.（1）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16（2）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的18人中，含有“自主创业”就业意向的有6人，且就业意向至少有三个行业的学生有7人.为方便统计，将至少有三个行业就业意向的这7名学生分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，统计如下表：其中“○”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向. ∵试估计该学院2020届毕业生中有自主创业意向的学生人数；∵现从A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 这7人中随机抽取2人接受采访.设M 为事件“抽取的2人中至少有一人有自主创业意向”，求事件M 发生的概率.【答案】（1）应从数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业分别抽取3人、6人、9人（2）∵140∵67【解析】 【分析】（1）毕业生人数之比为1:2:3，根据分层抽样的概念即可得结果；（2）∵利用样本数据能估计该学院2020届毕业生中有自主创业意向的学生人数即可；∵由列举法可得从已知的7人中随机抽取2人的所有结果共有21种，符合条件的所有可能结果有18种，根据古典概型概率计算公式即可得结果.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17【详解】（1）由已知，数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数之比为1:2:3，由于采取分层抽样的方法抽取18人，因此应从数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业分别抽取3人、6人、9人.（2）∵该学院有学生70140210420++=（人），所以估计该学院2020届毕业生中有自主创业意向的人数为642014018⨯=. ∵从已知的7人中随机抽取2人的所有结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.由统计表知，符合条件的所有可能结果为：{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共18种.所以事件M 发生的概率()186217P M ==. 【点睛】本题主要考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.20．如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；（2）用集合的形式表示事件A ，B 以及它们的对立事件； （3）用集合的形式表示事件AB 和事件A B ，并说明它们的含义及关系.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析 【解析】 【分析】注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组()12,x x 表示样本点.这样,确定事件A ,B 所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考虑乙元件的状态. 【详解】解：（1）用12,x x 分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用()12,x x 表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=.（2）根据题意,可得()(){}1,0,1,1A =,()(){}0,1,1,1B =,()(){}0,0,0,1A =,()(){}0,0,1,0B =.（3）()()(){}0,1,1,0,1,1AB =,(){}0,0A B =；A B 表示电路工作正常,A B ⋂表示电路工作不正常；AB 和A B⋂互为对立事件.【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19本题主要考查了对立事件的实际运用,属于基础题型.21．石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整； (2)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率.【答案】(1)甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，频率分布直方图答案见解析；(2)35【解析】 【分析】(1)根据茎叶图可得甲、乙两位同学成绩的中位数分别为119，128；计算出同学乙成绩在相应分数范围内的频率与组距的比值，即可将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为,a b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为,,c d e ，列举出事件A 中包含的基本事件和总的基本事件，即可求出事件A 发生的概率. 【详解】(1)甲的成绩的中位数是1161221192+=，乙的成绩的中位数是1281281282+=，同学乙的成绩的频率分布直方图如下：(2)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为,a b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为,,c d e，现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(,)a b，(,)a c，(,)a d，(,)a e，(,)b c，(,)b d，(,)b e，(,)c d，(,)c e，(,)d e共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(,)a c，(,)a d，(,)a e，(,)b c，(,)b d，(,)b e共6种，所以事件A发生的概率63 ()105 P A==.【点睛】本题主要考查由茎叶图求中位数，频率分布直方图的绘制及古典概型的概率计算，属于基础题．22．质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 [)60,75 三等品 10 0.1[)75,90二等品 30 b [)90,105一等品 a 0.4 [)105,120特等品 20 0.2 合计n 1（1）求a ，b ，n ； （2）从质量指标值在[)90,120的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率.【答案】（1）40a =，0.3b =，100n =；（2）35【解析】【分析】（1）根据表格，可以计算出a ,b ,n 的值；（2）列出所有的抽样情况，列出“至少有1件特等品被抽到”的情况，利用古典概型求概率.【详解】（1）由100.1100÷=，得100n = 1000.440∴=⨯=a301000.3∴=÷=b原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 （2）设从“特等品”产品中抽取x 件，从“一等品”产品中抽取y 件，由分层抽样得6602040x y ==，解得2,4x y ==. 即在抽取得6件中，有特等品2件，记为12,A A ，有一等品4件，记为1234,,,B B B B则所有的抽样情况有：1211121314,,,,A A A B A B A B A B21222324,,,A B A B A B A B121314,,B B B B B B2324,B B B B34B B ，共15种.其中至少有1件特等品的情况有：1211121314,,,,A A A B A B A B A B21222324,,,A B A B A B A B共9种，记事件M 为“至少有1件特等品被抽到”，则93()155P M == 【点睛】本题考查频率、频数和样本容量总数之间的关系，分层抽样，古典概型求事件概率问题；考查了数学运算、逻辑推理和数据分析数学核心素养，属于容易题目.23原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！。
高中数学单元训练7概率一含解析北师大版必修7
单元训练（7）概率（一）1、在5张不同的彩票中有2张奖票,5个人依次从中抽取1张,每个人抽到奖票的概率( )A.递减B.递增C.相等D.不确定2、从{}1,3,5,7,9中随机选取一个数为a ,从{}1,3,5中随机选取一个数为b ,则b a >的概率是( ) A.45B. 35C. 25D. 15 3、在5张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5,先将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数字能被2或5整除的概率是( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.84、任取一个三位数的正整数N ,对数2log N 是一个正整数的概率是( ) A.1225B. 3899C. 1300D. 1450 5如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积约为( )6、随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ,点数之和大于5的概率记为2p ,点数之和为偶数的概率记为3p ,则( )A. 123p p p <<B. 213p p p <<C. 132p p p <<D. 312p p p << 7、在区间[]2,3-上随机选取一个数X ,则1X ≤的概率为( )A.45B. 35C. 25D. 15 8、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B. 418C. 518D. 618 A. B.C.D.无法计算答案1.C解析：因为每个人获得奖票的概率均为25,故抽到奖票的概率与抽取顺序无关. 2.D解析：从{}1,3,5,7,9中随机选取一个数有5种选法,从{}1,3,5中随机选取一个数有3种选法,共有5315⨯= (种)选法,而满足b a >的选法有:当5b =时, a 有2种;当3b =时, a 有1种,共有213+= (种)选法.由古典概型知b a >的概率31155P ==,故选D.3.C解析：最后一位数有5种结果,而能被2或5整除的有3种,故其概率为0.6.4.C解析：三位正整数有100~999,共900个,而满足2log N 为正整数的N 只有7892,2,2共3个,故所求事件的概率为31900300=. 5. B解析： 由几何概型的概率计算公式知,而,所以.6.C解析：随机抛掷两枚骰子,它们向上的之和不超过5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个,则11036p =,22636p =,31836p =, ∴132p p p <<,故选C.7.B解析：利用几何概型公式求解.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ,则1X ≤,即21X -≤≤的概率为35. 8.C解析：正方形四个顶点可以确定6条直线,甲乙各自任选一条共有36个基本事件.4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件, 所以概率1053618P ==, 故选C.。
新教材高中数学章末综合测评7概率含解析北师大版必修第一册
章末综合测评(七)概率(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是( )A ．甲、乙两人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院针对一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报某天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% D [概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D.]2．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是( )A ．16B ．13C ．12D ．23B [给三人打电话的顺序有6种可能，其中第一个电话打给甲的可能有2种，故所求概率为26＝13.故选B.]3．从3名女教师和2名男教师中任选2人参加信息技术培训，则选中的2人都是女教师的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6A [设3名女教师为a 1，a 2，a 3,2名男教师为b 1，b 2，从中任选2人的样本点有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，选中的2人都是女教师的样本点为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个，因此其概率为P ＝0.3，故选A.]4．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.70D ．0.68B [记“取到质量小于4.8 g 的羽毛球”为事件E ，“取到质量不小于4.85 g 的羽毛球”为事件F ，“取到质量在[4.8,4.85)范围内的羽毛球”为事件G .易知事件E ，F ，G 互斥，且E ∪F ∪G 为必然事件，所以P (E ∪F ∪G )＝P (E )＋P (F )＋P (G )＝0.3＋0.32＋P (G )＝1，即P (G )＝1－0.3－0.32＝0.38.]5．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个颜色的环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学作为模型进行制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件C [结合互斥事件和对立事件的概念可知C 正确．]6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．1927C ．1127D ．4081B [最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1927，故选B.]7．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A ．13B ．23C ．12D ．34C [记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种，其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.]8．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ，A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，则事件A 发生的概率为( )A ．2pB ．p2C ．1－pD ．1－2pC [根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 1－b ＝p ， ①a 1－b＝1－a b . ②由②知a ＝b ，代入①得a ＝1－p .故选C.]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的是( )A ．根据古典概型概率计算公式P (A )＝n An求出的值是事件A 发生的概率的精确值 B ．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N 和事件A 发生的次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的近似值C ．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率会越来越稳定在某个常数上，即为概率D ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同 ABCD [很明显A 项命题是正确的；随机模拟中得到的值是概率的近似值，则B 项命题正确；频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，C 命题正确；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都是15，D 命题正确；故选ABCD.]10．下列各对事件中，为相互独立事件的是( )A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”ABD [在A 中，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件M ＝{2,4,6}，事件N ＝{3,6}，事件MN ＝{6}，∴P (M )＝36＝12，P (N )＝26＝13，P (MN )＝12×13＝16，即P (MN )＝P (M )P (N )．故事件M 与N 相互独立，A 正确．在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件N 发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确．在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误．在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确．故选ABD.]11．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成绩作为样本，得到频率分布表如下：A ．表中①位置的数据是12B ．表中②位置的数据是0.3C ．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，则第三组抽取2人D ．在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生，则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5AB [①位置的数据为50－(8＋15＋10＋5)＝12，A 正确；②位置的数据为1550＝0.3，B正确；由分层随机抽样得，第三、四、五组参加考核的人数分别为3,2,1，C 错误；设上述6人为a ，b ，c ，d ，e ，f (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的所有情况为ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15种．记“2人中至少有1名是第四组的”为事件A ，则事件A 所含的样本点的个数为9.所以P (A )＝915＝35，故2人中至少有1名是第四组的概率为35，D 错误．故选AB.] 12．2020年“国庆节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )A ．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B ．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h 的概率为0.35C ．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415D ．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13ABC [在A 中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75＋802＝77.5，A 正确；在B 中，车速超过80 km/h 的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B 正确；在C 中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415，即车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误．故选ABC.]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上． 13．一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A ＝{摸出黑球}，事件B ＝{摸出绿球}，事件C ＝{摸出红球}，则P (A )＝________；P (B ∪C )＝________.817 917 [由古典概型的概率计算公式可得P (A )＝817，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝417＋517＝917.] 14．袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 011203 331 100 231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．18[由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0，可得符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P ＝324＝18.]15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．115[不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，试验的样本空间有45个样本点，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以“随机选取两个不同的数，其和等于30”的样本点有3个，故概率为345＝115.]16．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A 开始到出口B ，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集合，设点C 是其中的一个岔路口点．则甲经过点C 的概率为________．13[设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ， 甲选路线2的概率为13，在路线2上从岔路口P 到达点C 的概率为12，这两个事件相互独立，所以选择路线2走到C 的概率P 1＝13×12＝16.同理，选择路线3走到点C 的概率P 2＝13×12＝16.因为选择路线2和路线3两个事件彼此互斥， 所以P (M )＝P 1＋P 2＝16＋16＝13.]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：(2)求至少有3个人培训的概率．[解](1)设有2人及以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P ＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：(1)事件A：螺母的直径在(6.93,6.95]范围内；(2)事件B：螺母的直径在(6.91,6.95]范围内；(3)事件C：螺母的直径大于6.96.[解](1)螺母的直径在(6.93,6.95]范围内的频数为n A＝26＋15＝41，所以事件A的频率为41100＝0.41.(2)螺母的直径在(6.91,6.95]范围内的频数为n B＝17＋17＋26＋15＝75.所以事件B的频率为75100＝0.75.(3)螺母的直径大于6.96的频数为n C＝2＋2＝4，所以事件C的频率为4100＝0.04.19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．[解] (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5×5＝25，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5种情况，∴P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的样本点的个数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225.所以这种游戏规则不公平．20．(本小题满分12分)A ，B 两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．(1)从A ，B x ＝2 的概率； (2)从A ，B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求x ＝0且y ＝2的概率．[解] (1)记事件A ＝{从A ，B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}． 样本点的总个数为6×5＝30，事件A 包含样本点的个数为5. 由古典概型的概率公式得P (A )＝530＝16.则x ＝2的概率为16.(2)记事件B ＝{从A ，B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}． 事件B 包含样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得P (B )＝1030＝13.则x ＝0且y ＝2的概率为13.21．(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品． ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．[解] (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：124579故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7， 则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25. 22．(本小题满分12分)某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表(2)估计该校学生身高在[165,180)的概率；(3)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165,180)内的频率．[解] (1)设高一女生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30， 则700－x x ＝4030，解得x ＝300.因此高一女生的人数为300. (2)由表1和表2可得样本中身高在[165,180)的男、女生人数分别为5＋14＋13,6＋3＋1，其和为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42.样本容量为70. 所以样本中该校学生身高在[165,180)的频率＝4270＝35.估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.(3)由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45，所以这2人中至少有1人的身高在[165,180)内的概率为45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×13＋45×13＝1315.。
2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册专题强化训练7 概 率 Word版含解析
专题强化训练(七）概率(建议用时：40分钟)一、选择题1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌"与“乙分得红牌”是( ）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件B［根据题意,把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分得红牌"与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌"与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]2．小明家的晚报在下午5：30～6：30任何一个时间随机地被送到，他们一家人在下午6：00～7：00任何一个时间随机地开始晚餐．为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率，某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率，他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号，5：30~5:31编号为01，5：31～5：32编号为02，依此类推，6：59～7：00编号为90。
在随机数表中每次选取一个四位数，前两位表示晚报时间，后两位表示晚餐时间，如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义，视为这次读取的为无效数据（例如下表中的第一个四位数7840中的78不符合晚报时间).按照从左向右，读完第一行,再从左向右读第二行的顺序,读完下表，用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为（)错误!错误!C．78D．错误!A［按要求读取到一下共9个数据:1160 5054 3139 5034 3682 4052 5678 5188 0136；其中晚报到达时间早于晚餐时间的是1160 5054 3139 3682 4052 5678 5188 0136共8个数据．∴晚报在晚餐开始之前被送到的概率为错误!。
故选A。
］3．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!D［甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙,丙;甲，丙,乙;丙，甲，乙；丙,乙,甲;乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有3种,故所求概率为错误!.］4．从{a，b，c,d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合｛a，b，c｝子集的概率是( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C[符合要求的是∅,{a},{b｝，{c},{a,b｝,{a,c｝,｛b,c｝，{a,b,c｝共8个，而集合｛a，b，c，d，e}共有子集25＝32个,∴P＝错误!。
高中数学 第七章 概率单元测试卷一课一练(含解析)北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题
第七章概率第七章单元测试卷第Ⅰ部分选择题(共40分)一、选择题(5分×8=40分)1.☉%￥09*#6#6%☉(2020·某某某某八一中学单元检测)今天降雨的概率是80%,某某降雨的概率是20%,下列说法不正确的是()。
A.今天一定降雨,而某某一定不降雨B.某某今天可能降雨,而可能不降雨C.和某某都可能不降雨D.降雨的可能性比某某大答案：A解析：降雨的概率大于某某降雨的概率,说明降雨的可能性比某某大,两个城市可能都降雨,也可能都不降雨,但是不能确定今天一定降雨,某某一定不降雨。
2.☉%4#94*9%☉(2020·某某胶州一中月考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()。
A.至少有1个黑球与都是红球B.至少有1个黑球与都是黑球C.至少有1个黑球与至少有1个红球D.恰有1个黑球与恰有2个黑球答案：D解析： A中的两个事件是对立事件,不符合要求;B中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,不符合要求;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D中是互斥而不对立的两个事件。
故选D。
3.☉%2#*#123%☉下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A ,B 满足P (A )+P (B )=1,则A ,B 是对立事件。
其中错误命题的个数是()。
A.0B.1C.2D.3答案：D解析：①显然正确;当A 与B 互斥时才有P (A ∪B )=P (A )+P (B ),②不正确;P (A ∪B ∪C )不一定等于1,还可能小于1,所以③不正确;④不正确,例如,袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A ={摸到红球或黄球},事件B ={摸到黄球或黑球},显然事件A 与B 不互斥,但P (A )=12,P (B )=12,P (A )+P (B )=1。
2021_2022学年新教材高中数学第七章概率1.4随机事件的运算练习含解析北师大版必修第一册
1．4 随机事件的运算水平11．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．()2．若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()3．事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．()【解析】1.提示：×.有可能不是对立事件．2．√.3．提示：×.有可能A与B有交集．·题组一互斥事件与对立事件1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两件事是() A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【解析】选C.A选项两个可以同时发生，故不是互斥事件．B选项两个可以同时发生，比如两个球一个是黑球一个是红球，故不是互斥事件．C选项恰有一个黑球，为一个黑球一个红球，与两个黑球互斥，但不是对立事件，因为还有两个都是红球的可能．D选项为对立事件．2．抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品【解析】n个的反面是至多有n－1个，事件A为至少有2件次品，故对立事件为至多有1件次品．3．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数．判断下列事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【解析】根据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是全空间，故不是对立事件．(2)比如2件产品都是次品满足两个事件，不是互斥事件，故不是对立事件．(3)比如1件次品1件正品满足两个事件，不是互斥事件，故不是对立事件．·题组二事件关系的运算与含义1．一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件．现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品；并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C，其中正确结论的序号有()A．①② B．③④C．①③ D．②③【解析】A∪B表示的事件：至少有1件次品，即为事件C，所以①正确；事件D∪B表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以②正确；事件A∩B＝∅，③不正确；事件A∩D表示的事件：恰有1件次品，即事件A，所以④不正确．2．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则A B∪A B表示的含义是什么．事件“密码被破译”用字母应如何表示．【解析】A B表示只有乙破译密码，A B表示只有甲破译密码，所以A B∪A B表示的含义是只有一人破译密码．“密码被破译”为至少一人破译密码，所以是A B∪A B∪AB.易错点对立事件与互斥事件区分从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是() A．至少有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是白球【解析】选A.从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件．在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件．在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件．在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件．水平1、2限时30分钟分值50分战报得分______一、选择题(每小题5分，共20分)1．从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是()A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥【解析】C包含事件B，故A，B错误；事件A与事件C没有相同的事件，故C正确，D错误．2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3【解析】选C.由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数为1或2或3.3．某学校计划从3名男生和2名女生中任选3人参加“抗疫”英雄事迹演讲比赛，记事件M为“恰有1名男生参加演讲”，则下列事件中与事件M对立的是()A．恰有2名男生参加演讲B．恰有2名女生参加演讲C．至少有2名男生参加演讲D．至多有2名男生参加演讲【解析】选C.选3人，总共只有2名女生，因此3人中最多只有2名女生，因此可分为恰有1名男生，恰有2名男生，恰有3名男生，从而事件M的对立事件是“至少有2名男生参加演讲”．4．(多选题)抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有()A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件【解析】选ABD.抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，在A中，A与B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A正确；在B中，A与C是互斥事件也是对立事件，故B正确；在C中，A与D能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确．二、填空题(每小题5分，共20分)5．将标有数字3，4，5的三X扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一X，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是什么事件________．【解析】将标有数字3，4，5的三X扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一X，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”，事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”，事件A为：(3，4)，(3，5)，(4，5)，事件B为：(4，3)，(5，3)，事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，所以事件A与事件B是互斥但不对立事件．答案：互斥但不对立事件6．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为________．【解析】有3个白球，4个黑球，从中任取3个球：①是互斥事件，但不是对立事件；②是互斥事件，同时也是对立事件；③既不是互斥事件，也不是对立事件；④既不是互斥事件，也不是对立事件．答案：②7．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有________．①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生．【解析】由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件．答案：①④8．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________．【解析】①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件，也是对立事件；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件，也不是对立事件．答案：③三、解答题9．(10分)如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A ＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．【解析】(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．(2)根据题意，可得A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，A＝{(0，0)，(0，1)}，B＝{(0，0)，(1，0)}．(3)A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，A∩B＝{(0，0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件．5个相同的小球，分别标上数字1，2，3，4，5，依次有放回地抽取两个小球．记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，A∩C，B∩C.【解析】样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，B＝{(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，2)，(5，4)}，C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)}．A∩B＝{(1，2)，(1，4)，(3，2)，(3，4)，(5，2)，(5，4)}，A∩C＝{(2，1)，(2，3)，(2，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)}，B∩C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)}．。
2021_2022学年新教材高中数学第七章概率单元体验闯关练练习含解析北师大版必修第一册
第七章单元体验·闯关练1．(2020·海南高考)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【解析】选C.记喜欢足球的学生为事件A ，喜欢游泳的学生为事件B ，则 P (A ∪B )＝0.96，P (A )＝0.60，P (B )＝0.82，因为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )， 所以P (AB )＝0.60＋0.82－0.96＝0.46.2．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________．【解析】总事件数为6×6＝36，满足条件的事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)， (4，1)共4种，则点数和为5的概率为436 ＝19 . 答案：193．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支付方式不大于2 000元 大于2 000元仅使用A 27人 3人 仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数．(2)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．【解析】(1)由已知，样本中，仅使用A的有27＋3＝30(人)，仅使用B的有24＋1＝25(人)，都不使用的有5人，所以都使用的有100－30－25－5＝40(人)，所以估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为1 000×40100＝400(人).(2)样本中仅使用B的有25人，其中支付金额大于2 000元的有1人，所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为125.(3)参考答案1：不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化．若人数没有变化，则样本中仅使用B的学生有25人，支付金额大于2 000元的有1人，由(2)知，随机抽取1人，支付金额大于2 000元的概率为125，虽然此事件是小概率事件，但也有发生的可能性．这体现了概率的随机性．参考答案2：可以认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化．若人数没有变化，则样本中仅使用B的学生有25人，支付金额大于2 000元的有1人，由(2)知，随机抽取1人，支付金额大于2 000元的概率为125，此事件发生的可能性很小，所以认为有变化．4．(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工 项目ABCDEF子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【解析】(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种；②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种，所以事件M 发生的概率P (M )＝1115 .1．乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12 ，在D 上的概率为13 ；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15 ，在D 上的概率为35 .假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ为3的概率和得分之和ξ为4分的概率．【解析】(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分” (i ＝0，1，3)，则P (A 3)＝12 ，P (A 1)＝13 ，P (A 0)＝1－12 －13 ＝16 ；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15 ，P (B 1)＝35 ，P (B 0)＝1－15 －35 ＝15 .记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0∪A 1B 0∪A 0B 1∪A 0B 3，由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0∪A 1B 0∪A 0B 1∪A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12 ×15 ＋13 ×15 ＋16 ×35 ＋16 ×15 ＝310 ， 所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为310 . (2)P (ξ＝3)＝P (A 3B 0∪A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12 ×15 ＋16 ×15 ＝215 ， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1∪A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12 ×35 ＋13 ×15 ＝1130 .2．某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试．假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为45 ，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m ，n (m >n )，且该同学3门课程都获得优秀的概率为24125 ，该同学3门课程都未获得优秀的概率为6125 ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数． (1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2) 求ξ＝1的概率．【解析】设事件A i 表示：该生语文、数学、英语3门课程取得优秀成绩，i ＝1，2，3. 由题意可知P (A 1)＝45 ，P (A 2)＝m ，P (A 3)＝n .(1)由于事件“该生至少有一门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125 ＝119125 .(2)由题意可知，P (ξ＝0)＝P (A 1·A 2·A 3)＝⎝⎛⎭⎫1－45 (1－m )(1－n )＝6125 ；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45 mn ＝24125 ， 解得m ＝35 ，n ＝25 (m >n ).P (ξ＝1)＝P (A 1·A 2·A 3＋A 1·A 2·A 3＋A 1·A 2·A 3)＝45 (1－m )(1－n )＋15 m (1－n )＋15 (1－m )n ＝37125 .。
新教材适用2023_2024学年高中数学第7章概率测评北师大版必修第一册
第七章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列关于古典概型的说法正确的是( ). ①试验中所有可能出现的样本点个数是有限的; ②每个事件出现的可能性相等; ③每个样本点出现的可能性相等;④样本点总数为n ,若随机事件A 包含k 个样本点,则P (A )=kn.A .②④B .①③④ D .③④2.已知事件A ,B ,若P (A )=15,P (B )=12,P (A ∪B )=710,则A ,B 之间的关系一定为( ). A.两个任意事件 B.互斥事件C.互斥但不对立事件P (A )+P (B )=15+12=710=P (A ∪B ),所以A ,B 之间的关系可能为互斥事件,但A ,B 一定不是.因为P (A )+P (B )≠1.(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数y 1=x -1,y 2=x 2,y 3=3x,y 4=3x ,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是( ). A.1 B.13 C.35 D.341000年发现勾股定理的一个特例,勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年,我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a ,b ,c )称为勾股数.现从(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)这10组勾股数中随机抽取1组,则被抽出的这组勾股数满足2b=a+c 的概率为( ). A .2 B.79 C.78 D.91010组勾股数随机抽取1组,共10种抽取方法,其中满足2b=a+c 的有(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4种,故所求概率P=410=25.,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( ). B .0.28 C .0.3 D .0.7,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为( ). A.1 B.29 C.718 D.49|a-b|≤1.由于a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得样本空间的样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为1636=49.故选D .,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( ). A.1 B.13C.14D.16,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ). A.3 B.418C.518D.6186条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),所以包含10个样本点.故所求概率为518.:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两球,这些球除颜色外均相同.则下列事件能与事件“两球都为白球”互斥而非对立的为( ). A.两球都不是白球 B.两球恰有一个白球 C.两球至少有一个白球,所有的样本点为白白,白红,白黑,,黑黑.除“两球都不是白球”外,还有其他事件可能发生,故A 与“两球都为白球”互斥.B,D 符合,理由同上.两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥,故C 不符合.10.在五件产品中,有三件一等品和两件二等品,从中任取两件,以710为概率的事件不可能是( ). A.恰有一件一等品 B.至少有一件一等品 C.至多有一件一等品1,2,3,两件二等品编号为4,5,从中任取两件有10种取.其中恰有一件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),故恰有一件一等品的概率P 1=35;恰有两件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有两件一等品的概率P 2=310,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率P 3=1-P 2=1-310=710.则至少有一件一等品的概率是P 4=P 1+P 2=910,都不是一等品的概率是P 5=1-P 4=110.( ).A.若P (A )+P (B )=1,则事件A 与B 是对立事件B.若P (AB )=P (A )P (B ),则事件A 与B 是相互独立事件C.若事件A 与B 是互斥事件,则A 与B 也是互斥事件A 与B 是相互独立事件,则A 与B 也是相互独立事件A 选项,要使A ,B 为对立事件,除P (A )+P (B )=1还需满足P (AB )=0,即A ,B 不能同时发生,所以A 选项错误.对于B 选项,根据相互独立事件的知识可知,B 选项正确.对于C 选项,A 包含于B ,所以A 与B 不是互斥事件,所以C 选项错误.对于D 选项,根据相互独立事件的知识可知,D 选项正确..50名学生的成绩作为样本,得到频率分布表如下:以下结论正确的有( ). A.表中①位置的数据是12 B.表中②位置的数据是0.30C.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,则第三组抽取2人D.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生,则2人中至少有1名是 0.550-(8+15+10+5)=12,正确;②位置的数据为1550=0.30,B 正确;由分层随机抽样3,2,1,C 错误;设抽取的6人为a ,b ,c ,d ,e ,f (其中第四组的两人分别为d ,e ),则从6人中任取2人的所有情况为ab ,ac ,ad ,ae ,af ,bc ,bd ,be ,bf ,cd ,ce ,cf ,de ,df ,ef ,共15种.记“2 人中至少有1名是第四组的”为事件A ,则事件A 所含的样本点的个数为9.所以P (A )=915=35,故2人中至少有1名是第四组的概率为3,D 错误,故选AB .:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.口袋中装有100个大小、质地相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,0.23,则摸出黑球的概率为 .摸出红球的概率为45100=0.45,因为摸出红球、摸出白球和摸出黑球两两互斥,因此摸出黑球的1-0.45-0.23=0.32..32,随机出手一次,则甲不输的概率是 .,如图所示.从树状图可以看出,所有可能的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P (甲获胜)=13;P (平局)=13,则玩一局甲不输的概率是13+13=23.5个球,分别标记1,2,3,4,5这5个号码,设号码为x 的球的质量为(x 2-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从口袋里取出.若同时从袋内任意取出2个球,则它们的质量相等的概率是 .2个球的号码分别为m ,n (m ≠n ),则有m 2-5m+30=n 2-5n+30,所以m+n=5. 个球中任意取2个球的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},样本点总数为10.符合题意的只有两种,即2个球的号码分别是1,4或2,3.所以所求概率P=210=15.A,B 两枚质地均匀的小正方体(正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,记小丽掷出A 正方体朝上的数字为x ,小明掷出B 正方体朝上的数字为y ,那么他们各掷一次所确定的点P (x ,y )落在抛物线y=-x 2+4x 上的概率为 .A 正方体一次,小明掷B 正方体一次,出现的结果(x ,y )有36种可能,易得在抛物线y=-(1,3),(2,4),(3,3),共3种.因此所求的概率为336=112.:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)对一批(1)计算表中各次品率;U 盘中任取一个是次品的概率约是多少?表中次品率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(1)计算得到的次品率知,当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率: (1)所得的三位数大于400; .1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651,共6个.设“所得的三位数大于A ,“所得的三位数是偶数”为事件B. 由古典概型的概率公式可得(1)P (A )=46=23. (2)P (B )=26=13.19.(12分)已知关于x 的一元二次方程x 2-2(a-2)x-b 2+16=0,若a ,b 是一枚质地均匀的骰子连续抛,求方程有两个不相等的正实数根的概率.36个,且a ,b ∈{1,2,3,4,5,6}.a-2>0,16-b 2>0,Δ>0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b 2>16. 设“一元二次方程有两个不相等的正实数根”为事件A ,则事件A 所包含的样本点为(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4个.故所求概率为P (A )=436=19.20.(12分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和45,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中,至少有1株成活的概率.A k 表示第k 株甲种大树成活,k=1,2,B l 表示第l 株乙种大树成活,l=1,2,则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立,且P (A 1)=P (A 2)=56,P (B 1)=P (B 2)=45.至少有1株成活的概率P=1-(1-56)2×(1-45)2=899900.21.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据(单位:人)如下表:(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,3名女同学B 1,B 2,B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A 1被选中且B 1未被选中的概率.由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P 1=1545=13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,样本空间Ω={(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),(A 5,B 1),(A 5,B 2),(A 5,B 3)},共15个样本点.根据题意,这些样本点的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的样本点有(A 1,B 2),(A 1,B 3),共2个.因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P 2=215.22.(12分)如图,甲、乙是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字. 小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率;(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则.解:(1)列表法:或树状图:根据列表或树状图可知,共有12种等可能的结果,其中和小于9的可能结果有6种,故小明获胜的概率为P 1=612=12.(2)这个游戏不公平.因为小明获胜的概率为P 1=12,小红获胜的概率为P 2=312=14,显然12≠14,所以,这个游戏规则对小红不公平.设计一种公平的游戏规则:当指针所指区域内的数字之和小于9时,小明获胜;当指针所指区域内的数字之和不小于9时,小红获胜.。
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单元训练（7）概率（一）
1、在5张不同的彩票中有2张奖票,5个人依次从中抽取1张,每个人抽到奖票的概率
( )
A.递减
B.递增
C.相等
D.不确定
2、从{}1,3,5,7,9中随机选取一个数为a ,从{}1,3,5中随机选取一个数为b ,则b a >的概率是( ) A.
45
B. 35
C. 25
D. 15 3、在5张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5,先将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数字能被2或5整除的概率是( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
4、任取一个三位数的正整数N ,对数2log N 是一个正整数的概率是( ) A.
1225
B. 3899
C. 1300
D. 1450 5如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机扔一粒豆子,若它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积约为( )
6、随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ,点数之和大于5的概率记为2p ,点数之和为偶数的概率记为3p ,则( )
A. 123p p p <<
B. 213p p p <<
C. 132p p p <<
D. 312p p p <<
7、在区间[]2,3-上随机选取一个数X ,则1X ≤的概率为( ) A.
45
B. 35
C. 25
D. 15 8、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) A.
318
B. 418
C. 518
D. 618 A. B. C.
D.无法计算答案
1.C 解析：因为每个人获得奖票的概率均为
25,故抽到奖票的概率与抽取顺序无关. 2.D
解析：从{}1,3,5,7,9中随机选取一个数有5种选法,从{}1,3,5中随机选取一个数有3种选法,共有5315⨯= (种)选法,而满足b a >的选法有:当5b =时, a 有2种;当3b =时, a 有1种,共有213+= (种)选法.由古典概型知b a >的概率31155
P ==,故选D.
3.C
解析：最后一位数有5种结果,而能被2或5整除的有3种,故其概率为0.6.
4.C
解析：三位正整数有100~999,共900个,而满足2log N 为正整数的N 只有7892,2,2共3个,故所求事件的概率为
31900300=. 5. B
解析： 由几何概型的概率计算公式知,而,所以.
6.C
解析：随机抛掷两枚骰子,它们向上的之和不超过5的有(1,1),
(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个,则11036p =,22636p =,31836
p =, ∴132p p p <<,故选C.
7.B
解析：利用几何概型公式求解.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ,则1X ≤,即21X -≤≤的概率为
35. 8.C
解析：正方形四个顶点可以确定6条直线,
甲乙各自任选一条共有36个基本事件.
4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种
包括10个基本事件, 所以概率1053618
P =
=, 故选C.。