(新)北师大版八年级数学下册1.3《线段的垂直平分线》优质课件(共2课时)
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1.3 线段的垂直平分线 课件(共42张PPT)数学北师大版八年级下册
感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系： 两者都可以直接得到两条线段相等 . 区别： 前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的 距离 .
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
(2)用尺规作 BC 边的垂直平分线.(不写作法，保留作 图痕迹)
解：如图所示， 直线MN即为所求．
性质 判定
线段的垂直 平分线
线段的垂 直平分线
三角形三条 边的垂直平 分线
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
感悟新知
知2－练
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：一是定 义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法 进行判定，而利用判定定理判定一条直线 是线段的垂直平分线时，一定要证明直线 上有两点到线段两个端点的距离相等 .
感悟新知
知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC， 点 E 是 AC上一点 . 求证： (1) BE=DE；
感悟新知
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求 的线段向已知条件转化 .
知1－练
解： ∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD. ∴ △ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8 cm. ∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.
(新)北师大版八年级数学下册1.3《线段的垂直平分线》课件(共2课时)
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课堂精讲
【类比精练】 1．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°， AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则 ∠ABD= 35 度．
解：∵在△ABC中，AB=BC， ∠ABC=110°， ∴∠A=∠C=35°， ∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=35°， 故答案为：35．
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课前小测
5.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则 PB= 6 . 6.如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交 AB于E.若CE平分∠ACB，∠B=40°， 则∠A= 60 度.
目录 contents
课堂精讲
Listen attentively
Listen attentively
课后作业
10．如图．AB=AC，MB=MC．求证：直线AM 是线段BC的垂直平分线． 证明：∵AB=AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∵BM= CM， ∴点M在BC的垂直平分线上， ∴直线AM是BC的垂直平分线．
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课后作业
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课堂精讲
【类比精练】 2.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于 点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上． 证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA=PB，PB=PC． ∴PA=PB=PC． ∴点P必在AC的垂直平分线上．
目录 contents
7．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分 线的交点P恰好在AC上，且AC=10 cm，则B点到 P点的距离为 5cm ．
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2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件(新版)北师大版
(2)∵MD⊥AC,NE⊥BC, ∴∠ACB=180°-∠MFN=110°, ∴∠A+∠B=70°, ∵MA=MC,NB=NC, ∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B, ∴∠MCN=40°.
【母题变式】 【变式一】(变换条件) 如图,在△ABC中,AB边的垂直 平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1 与l2相交于点O,连接OB,OC,若△ADE的周长为6 cm, △OBC的周长为16 cm.
1.三角形三条边的垂直平分线的性质
探究:利用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置,
并测量各个交点到三角形顶点的距离.
结论:①锐角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__ __形__内___;直角三角形三边的垂直平分线交点在___斜__边__ __上___;钝角三角形三边的垂直平分线交点在___三__角__形__ __外___.②三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的 距离____相__等___.
【规范解答】∵P为△ABC三边垂直平分线的交点, ∴PA=PC=PB,
……………………三角形三条边的垂直平分线的性质
∴∠PAC=∠PCA=20°, …………等边对等角 ∠PBC=∠PCB=30°, …………等边对等角
∵∠PAB=∠PBA, ∴∠PAB= 1(180°-2×20°-2×30°)
2
……………………三角形内角和等于180°
2
交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为 ( C )
A.7
B.14
C.17
D.20
【学霸提醒】
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.解题时要注 意数形结合思想的应用.
1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件北师大版八年级数学下册
知识点2. 三角形三边的垂直平分线的性质
利用尺规作图. ，我们可以分别作出锐角 三角形、钝角三角形和直角三角形三边 的垂直平分线.
知识点2. 三角形三边的垂直平分线的性质
通过作图，三. 角形三边的垂直平分线相交于一点， 交点到三角形各顶点的距离相等.
如图，在△. ABC中，边AB的垂直平分线与边 BC的垂直平分线相交于点P.
预习方法：阅读教材，完成课后习题，查阅相关资料
预习时间：下节课前完成预习，并做好笔记
新课引入
我们已经学过线段的垂直平分线具有到线段两个端点 距离相等的性质，也能判定一条线段的垂直平分线. 那么，你能用尺规作图作一条线段的垂直平分线吗？
知识点1.用尺规作线段的垂直平分线
如图，已知线段. AB.
求作：直线MN，使MN⊥AB，
且平分. AB.
A
B
知识点1.用尺规作线段的垂直平分线
经典例题解析
例 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6
，BC=8，点P在线段AC上运动，点D在AB 上，PD始终保持与PA相等，AB的垂直平分 线分别与BC，AB相交于点E，F，连接PE ，DE． (1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由； (2)点运动过程中，是否存在△PDE与 △PCE全等？若存在，求出此时AP的长度； 若不存在，请说明理由．
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且 PA=PB=PC.
A
P
B
C
知识点2. 三角形三边的垂直平分线的性质
归纳总结：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点 到三个顶点的距离相等.
符号语言：
A
.
P
B
C
知识点2. 三角形三边的垂直平分线的性质
新北师大版八年级下册初中数学 课时1 线段的垂直平分线 教学课件
第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线
第一页，共二十七页。
学习目标
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）
第二页，共二十七页。
新课导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
第三页，共二十七页。
新课讲解
知识点1 线段的垂直平分线的性质
线上．
其中正确的是( D )
A．①②③ B．②③④
C．①③④
D．①②③④
第二十六页，共二十七页。
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的 直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如 图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°； 如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得 ∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70° 或20°.
第十五页，共二十七页。
新课讲解
练一练
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上
的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
EC＝ED，
在△ECF和△EDF中，
EF＝EF，
所以△ECF≌△EDF(SSS)．FC＝FD，
所以∠ECF＝∠EDF.
典例分析
例 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直 平 分 线 MN与 AB 交于 点 D ，与 AC 交于 点 E ，则 ∠ BCD ＝ ________． 10°
分析：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
3 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线
第一页，共二十七页。
学习目标
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）
第二页，共二十七页。
新课导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
第三页，共二十七页。
新课讲解
知识点1 线段的垂直平分线的性质
线上．
其中正确的是( D )
A．①②③ B．②③④
C．①③④
D．①②③④
第二十六页，共二十七页。
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的 直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如 图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°； 如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得 ∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70° 或20°.
第十五页，共二十七页。
新课讲解
练一练
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上
的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
EC＝ED，
在△ECF和△EDF中，
EF＝EF，
所以△ECF≌△EDF(SSS)．FC＝FD，
所以∠ECF＝∠EDF.
典例分析
例 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直 平 分 线 MN与 AB 交于 点 D ，与 AC 交于 点 E ，则 ∠ BCD ＝ ________． 10°
分析：在△ABC中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN是线段AC的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
八年级数学下册1.3.2线段的垂直平分线课件新版北师大版
2 性质Biblioteka 3 性质垂直平分线上的所有点到线段两端点的距离相等。
线段垂直平分线是唯一的。
构造垂直平分线的步骤
1. 画出该线段。 2. 以线段中点为圆心，线段一半的长度为半径画圆。 3. 两个交点即为垂直平分线的端点。 4. 画出这条直线即可。
实例演练
根据所给线段构造出其垂直平分线。
步骤1
画出所给的线段。
步骤2
以线段中点为圆心，线段一半的长度为半径画圆。
步骤3
两个交点即为垂直平分线的端点。
步骤4
画出这条直线即可。
总结
1 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线是线段一条特殊直线，具 有一些性质和构造方法。
2 通过实例演练
通过实例演练，掌握了构造垂直平分线的基 本步骤和技巧。
思考题
1 利用垂直平分线
如何利用线段的垂直平分线求解其他几何问题？
八年级数学下册1.3.2线段 的垂直平分线课件新版北 师大版
介绍八年级数学下册1.3.2线段的垂直平分线课件新版北师大版。包括垂直平 分线的定义、性质和构造方法，以及实例演练和思考题。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线指与线段垂直且把线段平均分成两部分的直线。
1 性质
线段两端点到垂直平分线的距离相等。
新北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》教学课件
M
C
D
A
B
N
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
学以致用
做一做
B
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．DE垂
直平分AB，交AC于点E，连接BE．若AE=5，
BC=3．则DE的长为（D ）
A
A.
B.
C.
D.
D
E
C
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
E
B
F
D
C
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
证明：连接AF，
∵AD⊥BC，D为线段CE的中点，
∴AC=AF.
A
∵EF是线段AB的垂直平分线，
E
∴BF=AF.
∴AC=BF.
B
F
D
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第23页“随堂练习”.
第一章 三角形的证明
教学过程——课堂小结
第一章 三角形的证明
两端点距离相等的点的问题. 根据题目要求可知，点P
为线段AB的垂直平分线与公路的交点.
解：点P的位置如图所示，
A
B
∙
P
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
例2 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC
于点E，交AB于点F，AD⊥BC于D，若点D为线段CF
的中点．
求证：AC=BF．
A
记一记
本节课学习了线段垂直平分线的性质和判定.
定理 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.
最新北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》精品教学课件
点的距离相等.
课堂小结
小结与思考
通过本节课的学习你有什么收获？
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
课堂总结
你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
总结 反思
同学们，我们今天的探索很成功，
但探索远还没有结束，让我们在今后
根据课本第25页例3的已知条件，自己先做一个等腰三角形，再
认真阅读例题的作图步骤，通过该例题掌握线段的垂直平分线
的做法.
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
学以致用
做一做
1.如图，直线CP是线段AB的垂直平分线，其中
∠ACP=60°．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得
AD=DC=DE=CE=EB，其作法如下：
∴ = + .− ，
∴=
.
D
E
B
.
即AE的长为 .
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第26页“随堂练习”.
第一章 三角形的证明
教学过程——课堂小结
第一章 三角形的证明
记一记
本节课学习了三角形三边的垂直平分线的性质.
三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形三个顶
学以致用
做一做
2.如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，为垂足，
交于AC点E，AC=10，BC=5，若点E恰好是AC重点，
则∠A的度数是（ A ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．40°
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
例1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上
课堂小结
小结与思考
通过本节课的学习你有什么收获？
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
课堂总结
你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
总结 反思
同学们，我们今天的探索很成功，
但探索远还没有结束，让我们在今后
根据课本第25页例3的已知条件，自己先做一个等腰三角形，再
认真阅读例题的作图步骤，通过该例题掌握线段的垂直平分线
的做法.
教学过程——新知探究
第一章 三角形的证明
学以致用
做一做
1.如图，直线CP是线段AB的垂直平分线，其中
∠ACP=60°．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得
AD=DC=DE=CE=EB，其作法如下：
∴ = + .− ，
∴=
.
D
E
B
.
即AE的长为 .
C
教学过程——随堂练习
做一做
课本第26页“随堂练习”.
第一章 三角形的证明
教学过程——课堂小结
第一章 三角形的证明
记一记
本节课学习了三角形三边的垂直平分线的性质.
三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三角形三个顶
学以致用
做一做
2.如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，为垂足，
交于AC点E，AC=10，BC=5，若点E恰好是AC重点，
则∠A的度数是（ A ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．40°
教学过程——典例精析
第一章 三角形的证明
听一听
例1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°．在BC，CD上
1.3线段的垂直平分线-北师大版八年级数学下册课件
北师大版数学八年级下册第一章第三节
1.3线段的垂直平分线（2）
学习目标
01.探索并证明三角形三边垂直平分线的性质 02.能用尺规作出已知底边及底边上的高的等 腰三角形 03.能用尺规过一点作已知直线的垂线
复习回顾
垂直平分线的性质与判定
文字语言
性 线段垂直平分线上的点 质 到线段两端点距离相等
几何语言
目标二 尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形
(2)过C、D两点作直线.
∴点P在线段AC的垂直平分线
(1)分别以A、B为圆心，以大于 AB长
思考：需要作出 几条垂直平分线？
三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平 分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.
巩固练习
A
c
P
B
C
例2 图1 a
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
内部（形内） 斜边中点(形上) 外部（形外）
巩固练习
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，
∴点P在线段AC的垂直平分线
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC
B ∴ 点P在AB的垂直平分线上
（1）以P为圆心，以任意长为半
P
C
(2)过C、D两点作直线.
a
锐角三角形 ∴作BC的垂直平分线，并截取高h即可
能用尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形
直角三角形
钝角三角形
内部（形内） 斜边中点(形上) 外部（形外） 目标三 过一点作已知直线的垂线
垂线与斜边相交，交点 必为斜边中点
2 5
目标二 尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形
【例3】已知底边及底边上的高，求作等腰三角形 a
1.3线段的垂直平分线（2）
学习目标
01.探索并证明三角形三边垂直平分线的性质 02.能用尺规作出已知底边及底边上的高的等 腰三角形 03.能用尺规过一点作已知直线的垂线
复习回顾
垂直平分线的性质与判定
文字语言
性 线段垂直平分线上的点 质 到线段两端点距离相等
几何语言
目标二 尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形
(2)过C、D两点作直线.
∴点P在线段AC的垂直平分线
(1)分别以A、B为圆心，以大于 AB长
思考：需要作出 几条垂直平分线？
三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平 分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等.
巩固练习
A
c
P
B
C
例2 图1 a
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
内部（形内） 斜边中点(形上) 外部（形外）
巩固练习
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，
∴点P在线段AC的垂直平分线
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC
B ∴ 点P在AB的垂直平分线上
（1）以P为圆心，以任意长为半
P
C
(2)过C、D两点作直线.
a
锐角三角形 ∴作BC的垂直平分线，并截取高h即可
能用尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形
直角三角形
钝角三角形
内部（形内） 斜边中点(形上) 外部（形外） 目标三 过一点作已知直线的垂线
垂线与斜边相交，交点 必为斜边中点
2 5
目标二 尺规作出已知底边及底边上的高的等腰三角形
【例3】已知底边及底边上的高，求作等腰三角形 a
北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)
实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无 数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有 无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有 两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版 八年级下册 第一章 三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时 ）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并 解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们， 下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决： 如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这 三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考： 以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需 运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．
北师大版八年级下册数学1.3线段的垂直平分线(第2课时)课件
如图所示，这些三角形不都全等．
知识精讲 探究二、尺规作图
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并 且它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧．
题型精讲精练
例题讲练： 例 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
过一点作已知直线的垂线.
知识精讲
探究一、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.
求证：O点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AO，BO，CO． ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等)． 同理OB=OC．∴OA=OC． ∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端
知识精讲
探究二、尺规作图 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作
出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全
等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A
A
A
h
Ba
C
D
B
h a C (D) B
a
h D
C
A1
A1
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O B
A O
C
三角形三条边的垂直平分线的性质定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
几何语言：∵点P是△ABC三边的垂直平分线的交点， ∴A0=BO=CO.
方法小结：已知线段垂直平分线上点，常连接这个点和线段的两个端点.
知识精讲 探究二、尺规作图
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺 规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并 且它们是全等的，分别位于已知底边 的两侧．
题型精讲精练
例题讲练： 例 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
过一点作已知直线的垂线.
知识精讲
探究一、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.
求证：O点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AO，BO，CO． ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两
个端点的距离相等)． 同理OB=OC．∴OA=OC． ∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端
知识精讲
探究二、尺规作图 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作
出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全
等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A
A
A
h
Ba
C
D
B
h a C (D) B
a
h D
C
A1
A1
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O B
A O
C
三角形三条边的垂直平分线的性质定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
几何语言：∵点P是△ABC三边的垂直平分线的交点， ∴A0=BO=CO.
方法小结：已知线段垂直平分线上点，常连接这个点和线段的两个端点.
最新北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线(二)》精品教学课件
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课本母题 知识点2 ：垂直平分线的作图应用 【例2】（课本P26第1题改编）尺规作图：如图1－8－ 6，已知线段a，求作一个底边长度为a，底边上的高也 为a的等腰三角形（要求：写出已知、求作，保留作图 痕迹）.
图1－8－6
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思路点拨：首先要确定出三角形的底边（BC＝a），然 后作底边的垂直平分线，再在底边的垂直平分线上，以 底边中点为端点截取长为a的线段，即可确定等腰三角 形的顶角顶点，由此可得求作的三角形.
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2. （2022春·温江区校级期末）如图1－8－2，△ABC 中，AB＋AC＝6 cm，直线MN为BC的中垂线，交AC于 点D，连接BD，则△ABD的周长为（ C ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 3 cm
图1－8－2
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探究新知 三角形三条边的 垂直平分线 相交于一点，并且
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即2∠A＋2∠B＋50°＝180°.∴∠A＋∠B＝65°.
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠A＋∠AMD＝90°，∠B＋∠BNE＝90°.
∴∠AMD＋∠BNE＝90°＋90°－65°＝115°.
∵∠NMF＝∠AMD，∠MNF＝∠BNE，
∴∠NMF＋∠MNF＝115°.
∴∠F＝180°－（∠NMF＋∠MNF）＝180°－
这一点到三个顶点的距离 相等 .
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对点范例 3. 如图1－8－3所示是一块三角形的草坪，现要在草坪 上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三个顶点的距 离相等，凉亭的位置应选在（ B ）
A. △ABC的三条中线的交点 B. △ABC三边的垂直平分线的交点 C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点图1－8－3Fra bibliotek返回目录
课本母题 知识点2 ：垂直平分线的作图应用 【例2】（课本P26第1题改编）尺规作图：如图1－8－ 6，已知线段a，求作一个底边长度为a，底边上的高也 为a的等腰三角形（要求：写出已知、求作，保留作图 痕迹）.
图1－8－6
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思路点拨：首先要确定出三角形的底边（BC＝a），然 后作底边的垂直平分线，再在底边的垂直平分线上，以 底边中点为端点截取长为a的线段，即可确定等腰三角 形的顶角顶点，由此可得求作的三角形.
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2. （2022春·温江区校级期末）如图1－8－2，△ABC 中，AB＋AC＝6 cm，直线MN为BC的中垂线，交AC于 点D，连接BD，则△ABD的周长为（ C ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 3 cm
图1－8－2
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探究新知 三角形三条边的 垂直平分线 相交于一点，并且
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即2∠A＋2∠B＋50°＝180°.∴∠A＋∠B＝65°.
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠A＋∠AMD＝90°，∠B＋∠BNE＝90°.
∴∠AMD＋∠BNE＝90°＋90°－65°＝115°.
∵∠NMF＝∠AMD，∠MNF＝∠BNE，
∴∠NMF＋∠MNF＝115°.
∴∠F＝180°－（∠NMF＋∠MNF）＝180°－
这一点到三个顶点的距离 相等 .
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对点范例 3. 如图1－8－3所示是一块三角形的草坪，现要在草坪 上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三个顶点的距 离相等，凉亭的位置应选在（ B ）
A. △ABC的三条中线的交点 B. △ABC三边的垂直平分线的交点 C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点图1－8－3Fra bibliotek返回目录
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3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一点. 求证：PB=PC
A
P B D C
解：∵AB=AC ∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 A 一点.
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
复习 导入 合作 探究 课堂 小结 随堂 作业
复习导入
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分 线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明
这一结论吗?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等
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合作探究
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所
以以后我们经常也会用这种方法作线段的中点.
合作探究
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直 平分线. 观察这三条垂直平分线,你发现了什么? 结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你想证明这个命题吗? 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
首页
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线
交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求
BC的长. A D
E
B C
解：∵DE为AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∵△BCE的周长等于50 ∴BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 ∴AC+BC=50 ∵AC=27 ∴BC=23 比一比：你的写作过程完整吗？
求证：PB=PC B
P C
D 深入探索：你还有其他的证明方法吗？
4.已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN上 的一点，MN交AB于O，OB=4cm， ∠APB&C
B
P N
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
课堂小结
今天你收获了什么？ 1、线段垂直平分线的定理及证明 2、线段垂直平分线的逆定理及证明 3、两个定理之间的区别与联系
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随堂训练
1.如图,已知AB是线段CD的 垂直平分线,E是AB上的一 C
点,如果EC=7cm,那么ED=
7 cm;如果∠ECD=600,那
A E
D
B
么∠EDC= 60 0.
P
C
B
方法二： 把线段AB的中点记为C,连接PC ∵C为AB的中点 ∴AC=BC ∵PA=PB,PC=PC A ∴△APC≌△BPC(SSS) ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴PC⊥AB 即P在AB的垂直平分线上
P
.C
B
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. P 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), A B ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上( 或直线经过某一点)的根据之一.
首页
C
B
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上. P 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), A B ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上( 或直线经过某一点)的根据之一.
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,（如图）.
求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大AB/2 长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. A
C
B D
想一想：请你说明CD为什么是AB的垂直平 分线,并与同伴进行交流. 特别提示:
P
A B 分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以
先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点,),然后证
明另一个结论正确.
试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？
方法一： 过点P作PC⊥AB,垂足为C ∵PC⊥AB A ∴△APC和△BPC都是Rt△ ∵PC=PC,PA=PB ∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL) ∴AC=BC(全等三角形的对应边相等) ∴ P在AB的垂直平分线上
复习 导入 合作 探究 课堂 小结 随堂 作业
复习导入
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 M
P
意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点 A 到这条线段两个端点距离相等). 老师提示:这个结论是经常用来证明两条N 线段相等的根据之一.
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证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC,PC=PC
M
P
如果点P 与点C重 合，那 么结论 显然成 立.
∴△APC≌△BPC(SAS)
A ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
C
N
B
几何语言描述 如图,
M
P
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意
一点(已知), A ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点距离相等). N C B
且AC=BC,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
A
M P
C
N
B
分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线 段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明
△ APC≌△BPC. 而 △ APC≌△BPC 的 条 件 由 已 知
AC=BC, 且 MN⊥AB, 可推知其能满足三角形全等公 理（SAS).故结论可证. 你能写出它的证明过程吗？
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条 直线）. 你还有其他 证明方法吗？
老师提示:这个结论是经常用来证明两条
线段相等的根据之一.
深入思考：你能写出“定理 线段垂
直平分线上的点到这条
线段两个端点距离相等”的逆
命题吗?
思 考 分 析
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条 线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是,请你证明它.
已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上.