学九年级数学导学案(2)
鲁教版初中数学九年级上册《确定二次函数的表达式》导学案2
3.5 确定二次函数的表达式一、学习目标：1、经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
2、会利用待定系数法求二次函数的表达式。
二、知识链接：（1）已知，一次函数经过点（2，3）（4，6），求这个一次函数解析式。
可设这个一次函数解析式为_______________,再根据已知条件来求,最后写出函数关系式为______________,这种求函数关系式的方法叫_______法。
（2）二次函数的一般式是_____________ 顶点式是________________。
（3）已知一条抛物线的形状、开口方向都与22x y 的图象相同，且顶点坐标为（3，6），则这个抛物线的解析式为__________________。
反思：用待定系数法求函数解析式的步骤是：一___________________，二_________________，三_______________。
三、探究新知：如图,某建筑物采用薄壳型屋顶,屋顶的横截面形状为一段抛物线(曲线AOB).它的拱宽AB 为6米,拱高CO 为0.9米.试建立适当的直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数的表达式。
反思：1、所建立的坐标系中的抛物线有什么特征？2、求函数关系式需要哪些条件？四、巩固新知：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB 为1.6m ，涵洞顶点O 到水面AB 的距离为2.4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？友情提示：若已知抛物线的顶点是原点，对称轴为y 轴， 通常设2ax y 来求，若已知抛物线的对称轴为y 轴，通常设__________。
五、运用新知： 自我尝试例1、已知一个二次函数的图象的对称轴为x=－2，与y 轴交点的纵坐标为2，且经过点（－3，－1），求这个二次函数的表达式。
例2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（－1，－6），并且图象经过点（2，3） ，求这个函数的表达式。
九年级数学上册导学案7.3用公式法解一元二次方程(2)
徐闻县和安中学◆九年级数学导学案◆◆我们的约定：我的课堂我作主！执笔：林朝清7.3用公式法解一元二次方程导学案（二）1.不解一元二次方程，判断一元二次方程根的情况。
2.通过一元二次方程根的情况，求字母系数的值.3.通对一元二次方程根情况的探究，培养学生从一般到特殊数学思想.1．用公式法解一元二次方程（1）．2x2－x－1=0（2）．x2－6x+9=0(3)．3x2－x+1=02.通过上面三个方程的求解，你们观察到b2－4ac的值有何不同？它的根又有什么特点？二、新课导学※学习探究1.在一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac①．若△＞0，则____________________。
②．若△=0，则_____________________。
③．若△＞0，则____________________。
2.在一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac()22004ax bx c a b ac++=≠-在一元二次方程中，△＝①．若方程有两个不相等的实数根，则_______________________________。
②．若方程有两个不相等的实数根，则_______________________________。
③．若方程有两个不相等的实数根，则_______________________________。
3.定理与逆定理的用途不同①．定理的用途是：不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。
②．逆定理的用途是：用逆定理确定△值的符号，进而求出系数中某些字母的取值范围。
③．注意运用定理和逆定理时，方程必须为______________ （a ）。
※例题剖析例1：不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x2－x－1 =0 （2）2x2＋1= 7x （3）3x2－43x =－4 （4）x2－x+41=0例2：求证关于x的方程（m2+1）x2-2x＋（m2+4）= 0没有实数根例3：已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0．k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?。
九年级数学上册第21章第7课时一元二次方程根与系数的关系(2)导学案(新版)新人教版
第7课时一元二次方程根与系数的关系（2）总结：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则有1212,b cx x x xa a+=-⋅=．这是著名的韦达定理.已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x1•x2﹣x12﹣x22≥0，求k的取值范围.【例2】（2015•丹江口市一模）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．总结：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△的关系如下：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两实数根x1，x2又有如下关系：1212,b cx x x xa a+=-⋅=，所以已知关于x1，x2的关系等式可以求原方程中的字母参数.3. 注意使用1212,b cx x x xa a+=-⋅=的前提是原方程有根，所以必须保证判别式△≥0.练2（2015•广水市模拟）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1、x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为负整数，求出m的值，并解出方程的根．3．根据一元二次方程求含两根的代数式的值【例3】（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，先要把一元二次方程化为它的一般形式，以便确定各项的系数和常数的值.注意1212,b cx x x x a a +=-⋅=中两根之和、两根之积的符号，即和是﹣，积是，不要记混. 如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形式，注意适当变形.常见变形如下：（1）222121212(x x )2x x x x +=+- （2）22121212()(x x )4x x x x -=+-（3）12121211x x x x x x ++=（4）22221121212121212(x x )2x x x x x x x x x x x x ++-+==（5）1(x 1)+21212（x +1）=x x +(x +x )+1（6）2212121212(x x )(x x )4x x x x -=-=+-练3（2015•合肥校级自主招生）已知：关于x 的方程x 2+2x ﹣k=0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求的值.五、课后小测 一、选择题1.（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是－2 B. 2 C. 5 D. 62. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 23.（2013四川泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 二、填空题4．（2015•泸州）设x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值为________．5．（2013贵州省黔西南州）已知x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根，则代数式a 2+b 2+2ab 的值是 ．6.（2015•日照）如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=___________． 三、解答题7．（2015•梅州）已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．8. 已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.9．（2015•南充）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）10．（2015•华师一附中自主招生）已知m ，n 是方程x 2+3x+1=0的两根 （1）求（m+5﹣）﹣的值（2）求+的值．11．（2015•孝感校级模拟）已知x 1，x 2是一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a ，使﹣x 1+x 1x 2=4+x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由．12．（2014•广东模拟）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围； （2）求证：x 1+x 2=2（k ﹣1），；（3）求（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的最小值．13.（2010•黄州区校级自主招生）已知方程x2﹣2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m 的取值范围．14.（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x 的方程（m 2﹣1）x 2﹣3（3m ﹣1）x+18=0有两个正整数根（m 是正整数）．△ABC 的三边a 、b 、c 满足，m 2+a 2m ﹣8a=0，m 2+b 2m ﹣8b=0． 求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积．典例探究答案：【例1】分析：先考虑判别式>0，根据题意得2803k ∆=+>，这说明k 取任意实数，方程都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，代入12122()x x x x +>即可求得k 的取值范围.解：根据题意，得22184(2)033k k ∆=-⨯⨯-=+>， 所以k 为任意实数，方程都有两个不相等的实数根. ∵x 1+x 2=3k ，x 1x 2=-6，且12122()x x x x +>，∴236k ⨯>-，解得k>-1. 综上，k 的取值范围是 k>-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式.练1．【解析】根据根与系数的关系得出x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，变形后代入即可得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=2k+1，x 1•x 2=k 2+2k ，∵x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立，∴x 1•x 2﹣（x 12+x 22）≥0，即x 1•x 2﹣[（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2]≥0， ∴k 2+2k ﹣[（2k+1）2﹣2（2k+1）]≥0， ∴k≤﹣或k≥1.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，解此题的关键是能得出关于k 的不等式．【例2】【解析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3，代入（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=26，计算即可求解．解：（1）根据题意，得△=4（m+1）2﹣4（m 2﹣3）≥0， 解得m≥﹣2；（2）当m≥﹣2时，x 1+x 2=2（m+1），x 1x 2=m 2﹣3．则（x 1﹣x 2）2﹣x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣5x 1x 2=[2（m+1）]2﹣5（m 2﹣3）=26，即m 2﹣8m+7=0，解得m 1=1＞﹣2，m 2=7＞﹣2， 所以m 1=1，m 2=7．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．练2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×2×（m ﹣1）≥0，然后解不等式； （2）先根据根与系数的关系得x 1+x 2=1，x 1•x 2=，把7+4x 1x 2＞x 12+x 22变形得7+6x 1•x 2＞（x 1+x 2）2，所以7+6×＞1，解得m ＞﹣3，于是得到m 的取值范围﹣3＜m≤﹣，由于m 为负整数，所以m=﹣2或m=﹣1，然后把m 的值分别代入原方程，再解方程．解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m﹣1）≥0，解得m≤﹣；（2）根据题意得x1+x2=1，x1•x2=，∵7+4x1x2＞x12+x22，∴7+6x1•x2＞（x1+x2）2，∴7+6×＞1，解得m＞﹣3，∴﹣3＜m≤﹣，∵m为负整数，∴m=﹣2或m=﹣1，当m=﹣2时，方程变形为2x2﹣2x﹣1=0，解得x1=，x2=；当m=﹣1时，方程变形为x2﹣x=0，解得x1=1，x2=0．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+==，然后利用整体代入的方法进行计算．解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴+===﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．练3．【解析】（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解：（1）△=4+4k，∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k＞0∴k＞﹣1（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，αβ=﹣k，∴=，点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 课后小测答案： 一、选择题 1. B 2. B3.【解析】由已知得x 1+x 2＝－3，x 1×x 2＝－3，则原式＝21212212)(x x x x x x -+＝3)3(2)3(2--⨯--＝－5．故选B ．点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法． 二、填空题4．【解析】首先根据根与系数的关系求出x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，然后把x 12+x 22转化为x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，最后整体代值计算．解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根， ∴x 1+x 2=5，x 1x 2=﹣1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+2=27， 故答案为：27． 点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．5. 【解析】将x=1代入到x 2+ax+b=0中求得a+b 的值，然后求代数式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根， ∴12+a+b=0， ∴a+b=﹣1， ∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1． 故答案为：1． 点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．6.【解析】由于m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，可知m ，n 是x 2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n 2=n+3，利用它们可以化简2n 2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n ）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解：由题意可知：m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，所以m ，n 是x 2﹣x ﹣3=0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n 2=n+3，则2n 2﹣mn+2m+2015 =2（n+3）﹣mn+2m+2015 =2n+6﹣mn+2m+2015 =2（m+n ）﹣mn+2021 =2×1﹣（﹣3）+2021 =2+3+2021 =2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值． 三、解答题7．【解析】（1）关于x 的方程x 2﹣2x+a ﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根．解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 8.【解析】：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m 的方程，从而得到m 的值，但前提条件是方程得有实数根.解：原方程可变形为：0)1(222=++-m x m x . ∵1x 、2x 是方程的两个根，∴△≥0,即：4（m +1）2-4m 2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥21-. 又1x 、2x 满足12x x =,∴1x =2x 或1x =-2x , 即△=0或1x +2x =0, 由△=0,即8m+4=0,得m=21-. 由1x +2x =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当12x x =时，m 的值为21-. 点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值. 9．【解析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）要是方程有整数解，那么x 1•x 2=4﹣p 2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解；（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有整数解，∴x1•x2=4﹣p2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．10．【解析】（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0，然后进行分式的化简，最后整体代入求值；（2）根据m和n小于0化简+为（），然后根据m+n=﹣3，mn=1整体代值计算．解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m=，n=，∴m＜n＜0，原式=•﹣=﹣=﹣6﹣2m﹣=∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，∴m2+3m+1=0，∴原式=0；（2）∵m＜0，n＜0，∴+=﹣m﹣n=+=（），∵m+n=﹣3，mn=1，∴原式=9﹣2=7．点评：本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般．11．【解析】由x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，可得x1+x2=﹣，x1•x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，又由﹣x1+x1x2=4+x2，即可求得a的值．解：存在．∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，△=（2a）2﹣4a（a﹣6）=24a＞0，∴a＞0，∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+x2+x1，即=4﹣，解得：a=24．点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．12．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，然后解不等式即可；（2）利用求根公式得到x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣，然后分别计算x1+x2，x1x2的值即可；（3）利用（2）中的结论得到（x1﹣1）•（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1，然后利用配方法确定代数式的最小值．（1）解：依题意得△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，解得k≤；（2）证明：∵△=4﹣8k，∴x=，∴x1=k﹣1+，x2=k﹣1﹣∴x1+x2=k﹣1++k﹣1﹣=2（k﹣1）；x1•x2=（k﹣1+）（k﹣1﹣）=（k﹣1）2﹣（）2=k2；（3）解：（x1﹣1）•（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=k2﹣2（k﹣1）+1=（k﹣1）2+2，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+2≥2，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）的最小值为2．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．13.【解析】由于方程x2﹣2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．解：根据题意可得△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（m+2）≥0，解得m≤﹣1，而x1+x2=2，x1x2=m+2，①当m≤﹣2时，x1、x2异号，设x1为正，x2为负时，x1x2=m+2≤0，|x1|+|x2|=x1﹣x2==≤3，∴m≥﹣，而m≤﹣2，∴﹣≤m≤﹣2；②当﹣2＜m≤﹣1时，x1、x2同号，而x1+x2=2，∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3，符合题意，m的取值范围为﹣2＜m≤﹣1．故m的取值范围为：﹣≤m≤﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．14.【解析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．。
北师大版九年级上册数学第2课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似参考导学案
第2课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
学习目标：
1、掌握并会推导相似三角形的判定定理2.
2、会用相似三角形的判定定理2进行一些简单的判断、证明和计算.
学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理2证明和解决有关问题．
预设难点：相似三角形的判定定理2的推导和应用.
☆预习导航☆
一、链接
1、三角形一边的直线与其他两边（或）相交，截得的三角形与原三角形 .
2、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似（可简单说成：）.
3、如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边，并且夹角，那么这两个三角形全等（可简单说成：）.
二、导读
结合课本写一写相似三角形的判定定理2的证明过程.
☆合作探究☆
1、如图，在四边形ABCD中，∠A = ∠CBD，AB = 15cm，AD = 20cm，BD = 18cm，BC = 24cm,求CD的长.
2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.
（1）当AC、CD、BD满足什么数量关系时，△ACP∽△PDB?
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.
☆归纳反思☆
本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？
☆达标检测☆
1、如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是( )
A.AC AD
BC BD
= B.
AC AB
BC AD
= C.AB2＝CD·BC D.2
AB＝BD·BC
2、已知：如图，D是△ABC边AB上的一点，且AC2 =AD·AB.
求证：∠ADC=∠ACB.。
九年级数学导学案
九年级数学学科导学案学案编号： 51 编写人：李琳、吴晓梅 审核人 ： 王安民 授课人：李琳、吴晓梅 班级 ：九（1、2、3）班 课题：弧长和扇形面积（2） 一、学习目标：1．了解圆锥的基本概念，理解圆锥各要素与其侧面展开图之间的对应关系； 2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，会计算圆锥的侧面积。
二、学习重、难点重 点：圆锥侧面积和全面积的计算公式． 难 点：探索两个公式的由来． 三、学习过程 （一）、知识网络弧长l= 圆锥的侧面积S 侧= 扇形面积S= =（二）、自学指导在现实生活中你见过哪些锥形物体？你想了解圆锥更多的知识吗？请同学们通过阅读课本第112页，去了解圆锥的基本知识吧！试一试，完成下面的填空。
（1）．如图1，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，其底面是一个 。
我们把连接圆锥 和底面 的线段叫做圆锥的母线，图中的 就是圆锥的母线。
圆锥的母线有 条，它们都 。
连接圆锥顶点与底面 的线段叫圆锥的高，如图中的 就是圆锥的高。
（2）．如图2，沿圆锥的一条母线将它剪开并展平，可以看到，圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径是圆锥的 ，扇形的弧长是圆锥底面圆的 。
若设圆锥底面圆的半径是r ，圆锥母线长是l ，则扇形的半径是 ，扇形的弧长是 ，所以扇形的面积= = ，即圆锥的侧面积= ，所以圆锥的全面积= 。
（利用你手中的扇形纸片体会一下吧。
）（三）、当堂训练1．如图2，圆锥的底面周长为32米，母线长7米，则圆锥的侧面积为 平方米。
2．若圆锥底面半径为3cm ，母线长5，则它的侧面展开图面积是 cm 2。
3．用一个圆心角为1200，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 。
4．圆锥的母线长为13 cm ，底面半径为5 cm ，则此圆锥的高是（ ） A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 5．圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积。
线段的垂直平分线导学案 (2)
榆中三中九年级导学案 姓名 班级
审核人签字
审核日期
课题
1.3-1线段的垂直平分线 课型 导学型 执笔者 滕兆荣 参与者 杨凯 魏万喜 丁萍 教学目标
1．知识目标：①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2．能力目标：①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
3．情感与价值观要求 ：①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重、难点
重点：是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。
难点：两者的应用上的区别及各自的作用。
教学过程
一、情景创设、引入新课
如图，A 、B 表示两个仓库，要在A 、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
你是怎么做的？和同桌交流。
你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?
结论：
二、知识梳理
1、要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相
等”’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?．
已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的点．
求证：PA=PB ．． 证明：
N A P B C M。
九年级数学上册导学案7.3用配方法解一元二次方程(2)
徐闻县和安中学 ◆九年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！执笔：林朝清7.3用配方法解一元二次方程（2）导学案1．运用类比思想，推导一元二次方程的配方法的步骤。
2．快速运用配方法解一元二次方程。
一、课前准备 ※预习导学一、预习内容1. 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2. 用直接开平方法解下例方程：（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x3．通过类比的思想，思考如何解下例方程：16442=+-x x二、新课导学※ 学习探究问题 1.请你思考方程(x+3)2=5与x 2+6x+4=0 有什么关系，如何解方程x 2+6x+4=0呢？ 问题2.能否将方程x 2+6x+4=0转化为（(x+m)2=n 的形式呢？ 解：x 2+6x+4=0 移项，得 x 2+6x=-4如何才能将左边配成完全平方形式？方程左右两边应加上一个什么样的数？ x 2+6x+9=-4+9问题已经回到我们上节课所学的(x+m)2=n 的形式。
得到 (x+3)2=5，应用直接开方法可求解。
问题3.对于方程2x 2+4x+1=0，与问题2中方程有何异同点？如何求解？问题 4.你能说出上面解方程的方法及步骤吗？试试看。
结论：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1．先把方程化成 ，并且二次项系数化为 ，再把常数项移到方程右边；2．在方程的两边各加上一次项系数的 ，使左边成为完全平方； 3．方程右边是非负数时可利用直接开平方法求解。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？※ 例题剖析例题1.将下列各进行配方： ⑴．2x ＋8x ＋_____＝（x ＋_____）2⑵．2x －5x ＋_____＝（x －_____）2⑶．2x －x ＋_____＝（x －____）2⑷．22x －62x ＋_____＝（x －____）2例题2.解方程 ： （1）2x －23x ＋3＝0. （2）2x 2-3x+6=0。
九年级数学导学案圆2
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九年级数学导学案
班级_______ 姓名 ___ 课题 课型 学习 目标 24.1 圆 2 复习展示课 __ 小组____ 小组评价 徐磊 李树臣 齐小莲 上课时间 _____ 级部审核 九年级数学组 主备课人 审核人 备课时间
1、理解圆的有关概念 2、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题． 3、体验圆与直线形的联系 1、根据教学目标，结合问题提示，认真预习，仔细研读教科书，回答导学案中的问题。
1.通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？ 2.我的疑惑：在自主探究过程中，我对 存在疑惑和困难。 一 判断： 1 直径是弦，弦是直径。 （ ） 2 半圆是弧，弧是半圆。 （ ） 3 周长相等的两个圆是等圆。 （ ） 二 、解答 1、如图,CD 是⊙O 的直径,∠EOD=84°,AE 交⊙O 于点 B,且 AB=OC,求∠A 的度数. 问题
达 标
2、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是 AC 的中点， 若 OD=4，求 BC。
O A B D C
测 评 3、 如图, AB 是⊙O 的直径, 点 C 在⊙O 上, ∠A=35 , 求∠B 的度数. C A B
0
O
5、如图,CD 是⊙O 的直径,∠EOD=84°,AE 交⊙O 于点 B,且 AB=OC,求∠A 的度数.
教 学 程 序
典型例题 例 1、如图点 A、B 和点 C、D 分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD. ∠C 与∠D 相等吗 2 页
例 2 如图，AB 是⊙O 的弦（非直径） ，C、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD. 求证：OC=OD.
盘 点 收 获
方法 指导
2、全体同学要主动参与，亲身实践，自觉完成导学案。小组长要督促、检查，确保每位同学及时、认真 地预习。 3、将预习中的疑难问题用红笔标出。课堂上积极思考，大胆质疑，合作探究，扼要点评。
人教版数学九年级上册同步导学案-22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图像和性质(2)导学案
《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（2）》导学案的解析式y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入另一个已知点的坐标，得到关于a的一元一次方程，求出a，从而确定二次函数的解析式.例3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)∵图象过点C(0,3)∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3自主尝试知识1巩固练习：1、若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－1，－3)，则a＝________ .答案：-32、若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(0,2)，B(1,0)，则b＝________，c＝________.答案：-3、23、二次函数的图象与x轴交于A(－3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3.知识2巩固练习：1、如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )DA. y=x2+2B. y=(x-2)2+2C. y=(x-2)2-2D. y=(x+2)2-22、已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为___________ .答案：y=-7(x-3)2+4.3、已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=a(x-1)2+k把（0，-3）（4,5）代入得二次函数解析式为：y=(x-1)2-4即 y=x 2-2x-3 知识3巩固练习：1、 已知抛物线过点A （-3，0）B （1，0）C （2，5），求该抛物线的解析式。
【人教版】九年级数学下册-第2课时 方向角和坡角问题(导学案)
28.2.2 应用举例第2课时方向角和坡角问题一、新课导入1.课题导入情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？问题：怎样由方向角确定三角形的内角？2.学习目标（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.学习重、难点重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P76例5.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.（4）自学参考提纲：①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°，∠B= 34°，PA= 80 .c.作高构造直角三角形：如图所示.d.写出解答过程：在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=72505sin sin34.PCB=︒≈130（n mile）.②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.∴AE=AD·sin60°=12×32=63(海里)＞8海里.∴无触礁的危险.2.自学：结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导. （2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.1.自学指导（1）自学内容：教材P77.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结.（4）自学参考提纲：①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：a.坡角α和β的度数；b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生解答问题的情况.②差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.（2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4 m”，你能求出坝底BC的长吗？（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：三、评价1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.一、基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m，则这两棵树在坡面上的距离AB为5133m．（结果保留根号）3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=513，则这个菱形的面积为65 .4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).解：∵i=115.ACBC=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.∴AB=228125.AC BC+=≈9(m).5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,AB=25×4=100.在Rt△ABC中，BC=12AB=50，AC=32AB=503.在Rt△ACP中，CP=AC=503.∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).二、综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB 的长度（结果保留小数点后两位）.解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=533,BD=103cos303BE=︒≈5.77(m).在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=45°,∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=533+3.40-5.00≈1.29(m).三、拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=12AP=16(n mile).∴PB＜16n mile.∴轮船有触礁危险.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.又∵AP=32，,∴∠PAC=45°,∴α=15°.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。
初中数学九上导学案1-2 矩形的性质与判定(第2课时)
1.2矩形的性质与判定(第2课时)一、问题引入 1、矩形的性质：（1） （2） . 2、矩形的判定方法．矩形判定方法1：______________________________. 矩形判定方法2：_______________________________. 二、基础训练1、已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°，AB=4㎝,则矩形的对角线长为 .2、下列条件 中,不能判定四边形ABCD 为矩形的是( ) A.AB ∥CD,AB=CD,AC=BD B.∠A=∠B=∠D=90° C.AB=BC,AD=CD,∠C=90° D.AB=CD,AD=BC,∠A=90° 三、例题展示例1：已知：如图，在□ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD 是矩形.MDCBA例2：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形，AB=4,求□ABCD的面积.四、课堂检测1、下列说法正确的是（）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形2、满足下列条件（）的四边形是矩形.A．有三个角相等 B.有一个角是直角C.对角线相等且互相垂直D.对角线相等且互相平分ODCB A3、如图，点B 在MN 上，过AB 的中点O 作MN 的平行线，分别交∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点C,D,试判断四边形ACBD 的形状，并证明你的结论.4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，顺次连结E 、F 、G 、H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？说明理由.5、如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC,设MN 交∠BCA 的平HGOE FDCBA第4题图ONMDCBA第3题图分线CE于点E, 交△ABC的外角∠ACD的平分线CF于点F.（1）求证：OE=OF（2）当O点动动到何处时，四边形AECF为矩形？并证明你的结论.O NMEFDCBA第5题图。
九年级数学下册教案导学案第27章第02课时 相似多边形的性质导学案含课堂练习及每课一测
第2课时 相似多边形的性质【教学目标】1．掌握两个相似多边形的特征及两个多边形相似的判定方法. 【知识点梳理】1．对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 （或ad ＝bc ），那么，这四条线段叫做 ，简称 .2．相似多边形的对应角 ，对应边的比 ；若两个多边形的对应角 ，对应边的比 ，那么这两个多边形 .3．相似多边形的对应边的比称为 ；当相似比为1时，两个多边形 ．【问题探究】 例1．（比例尺）球迷小明想知道从淄博到南非首都约翰内斯堡的距离大约是多少，因此他从一张比例尺是1：32000000的地图上量得淄博到约翰内斯堡的图上距离大约为35cm ，则北京到上海的实际距离大约是 km .变式：在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是 km .例2．（比例线段）如图，在等腰△ABC 和等腰△A 1B 1C 1中，底边的长BC =4cm ，B 1C 1=6cm ，它们的周长分别为16cm 和24cm ．这两个等腰三角形的腰与底边是否成比例线段．变式：下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ）A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、3 例3．（相似多边形的性质）小明家有一个矩形相框，其边长为10cm ，20cm ，小明还想做一个与该相框形状完全相同的相框，但手中只有一根作为一边的30cm 长的框料，那么小明还要准备多长的框料？变式：两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，则这两个多边形的相似比可能是 ． 例4．（相似多边形的判定）如图，一幅矩形油画的长为40cm ，宽为25cm ，此幅油画的外围镶有画框，已知画框的宽度为5m ，则画框内外所构成的两个矩形相似吗？说明理由．变式：如图一是一个正六边形，现将A 、D 两点拉长后，图一与图二相似吗？为什么？将图一中DE 、DC 这两条线段向右平移一些后所得图三与图一相似吗？为什么？C1 A B1．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是（）A．1：50 B．1：500 C．1：5000 D．1：500002．（2010上海中考）下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似3. 下列四组线段中，不能成比例的是（）A.a=3，b=6，c=2，d=4B.a=1，b=2，c=6，d=3C.a=4，b=6，c=5，d=10D.a=2，b=5，c=15，d=234．已知矩形ABCD与矩形EFGH相似，若AB=5cm，BC=6cm，EF=10cm，则FG=_____．5．△ABC与△DEF是两个相似三角形，∠A=50°，∠B=70°，∠D=60°，则∠E的度数可以是______．6．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是___________．7．如图是两个相似四边形，根据已知数据，求x、y、α．8．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1 286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为多少千米？一、选择题（每题5分，共25分） 1．某市的两个旅游景区之间的距离为105km ，则在一张比例尺为1∶2 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（ ） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度 D ．一根筷子的长度2．若四边形ABCD 相似于四边形D C B A ''''，且AB ∶B A ''=1∶2 ，已知BC =8，则C B ''的长是（ ）A ．4B ．16C ．24D ．64 3．下列各组线段中，能成比例的是（ ）A ．1cm ，3 cm ，4 cm ，6 cmB ．30 cm ，12 cm ，0.8 cm ，0.2 cmC ．0.1 cm ，0.2 cm ，0.3 cm ，0.4 cmD ．12 cm ，16 cm ，45 cm ，60 cm4．下列说法正确的是（ ）A ．两个矩形相似B ．两个梯形相似C ．两个正方形相似D ．两个平行四边形相似5．将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点的连线对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ） A ．2：1 B ．1:3 C ．1:2 D ．1：1 二、填空题（每题5分，共25分）6．甲，乙二人按2∶5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年赢利14 000元，那么甲应分得 元. 7．如图，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为 .8． 如图，四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，已知∠A =120°，∠B =85°∠C 1=75°，AB =10， A 1B 1=16，CD =18，则∠D 1= ，C 1D 1= ，它们的相似比为 .9．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 .10．如图所示，是比例尺为1：200的铅球场地的意示图，铅球投掷圈的直径为2.135m.体育课上，某生推出的铅球落在投掷区的点A 处，他的铅球成绩为____________m.（精确到0.1m ）三、解答题（每题10分，共50分）11．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．12．已知梯形ABCD 和梯形A B C D ''''中，AD ∥BC ，A D B C ''''∥，∠B ＝∠B ′，∠D ＝∠D ′，且AD BC AB CDA DBC A B C D===''''''''，你能说明梯形ABCD 相似于梯形A B C D ''''吗？13．如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB =4． （1）求AD 的长．（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．14．如果一个图形经过分割，能成为若干个与自身相似的图形，我们称它为“能相似分割的图形”如图所示的等腰三角形和矩形就是能相似分割的图形． (1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形？(2)一般的三角形是否“能相似分割的图形”？如果是的话给出一种分割方案，否则说明原因．【参考答案】【要点梳理】 1．b a ＝dc成比例线段 比例线段 2．相等 相等 相等 相等 相似 3．相似比 全等 【问题探究】例1．11200 提示：设坐标到约翰内斯堡的实际距离大约是x km ，根据比例尺=实际距离图上距离，可得x=135320，解得x =11200 km ． 变式：600 例2．分析：要判定四条线段是否成比例，只要找出其中两条线段之比等于另两条线段之比即可.另外，若最长线段与最短线段长度之积等于另两条线段长度之积，则这四条线段成比例.解：因为AB +BC +AC =16cm ，且AB =AC ，BC =4cm ，所以AB =)416(21-=6cm ．同理可求得A 1B 1=9cm ．因为 329611==B A AB ，326411==C B BC ，所以 1111C B BC B A AB =．变式：B 例3．分析：因为两个矩形形状完全相同，所以它们相似，对应边成比例.设相框另一边长为x cm.则有：①2010=30x ； ②2010=x30两种情况，分别求出x ，再计算需准备的框料. 解：因为两个矩形形状完全相同，所以它们相似，对应边成比例.设相框另一边长为x cm ，根据相似的特征有：①2010=30x，解得∴x =15cm ，所以还需准备的框料为：（30+15×2）=60cm ； ②2010=x30，解得∴x =60cm ，所以还需准备的框料为：（30+60×2）=150cm.综上所述，小明还要准备60cm 或150cm 的框料.变式：32 提示：4.5323=.例4．解：外框两边长为45cm ，30cm ；内框两边长为40cm ，25cm.∵45304025≠，∴画框内外所构成的两个矩形的长和宽不构成比例线段.∴两个矩形不相似 变式：解：不相似，因为对应角不相等；不相似，因为对应边不成比例. 【课堂操练】1．B 2．D 3．C 4．12 cm 提示：∵FG ∶BC =EF ∶AB ，∴FG =6×10÷5=12(cm)． 5．0°或70° 提示：∠E 可能和∠A 对应，也可能和∠B 对应，所以∠E 的度数可以是0°或70°． 6．12 提示：设最长边是x ，所以有x ∶6=6∶3，∴x =12． 7．解：由于四边形的内角和等于360°，所以∠C =360°－30°－120°－130°=80°，所以α=80°．由于AB 和GD 是对应边，所以两个相似四边形的相似比是5∶8，BC 的对应边为DE ，所以58BC DE =，即458x =，解得x =6.4．由于AD 与GF 是对应边，所以658y =，解得y =9.6．8．解：飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为x 千米，则3 5.4 3.61286x+=，解得x =3858千米，∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为3858千米． 【每课一测】1．A 提示：设图上距离为x cm ，则1∶2 000 000=x ∶10 500 000，解得x =5.25cm. 2．B 3．D 4．C 5．C6．4 000 7．8cm 8．80°1445 589．8 cm 2 提示：设留下的矩形的宽为xcm ，则有448x=，解得x =2，所以留下矩形的面积为：2×4=8 cm 2．10．5.1 提示：连接AO 并延长交⊙O 于B ，度量AB =3.6cm ，设AB 的实际长度为x cm ，则2001=x6.3，解得x =720，即AB 的实际长度为7.2m.故该生推铅球的实际成绩为7.2-2.135≈5.1m.11．解：圆和正六边形是相似图形，因为它们的形状相同；菱形和长方形不是相似图形，因为它们的形状不一定相同．12．能说明梯形ABCD 相似于梯形A B C D ''''． 13．解：(1)由已知，得MN =AB ，MD =12 AD =12BC ．∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，D M M N A B B C =，∴12AD 2=AB 2，∴由AB =4得，AD(2)矩形DMNC 与矩形ABCD的相似比为2DM AB = 14．例如直角三角形，一组底角是60°、三边相等的等腰梯形． 三角形都是“能相似分割的图形”（提示：顺次连结三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似）B。
九年级数学上册 2.2 圆的对称性导学案(2)(无答案)(新版)苏科版
五、小结反 思
1.收获
2.困惑
六作业
必做;课本 第49页第5题，选做：;课本第 49页第6题.。
反思：
1、亮点：
2、不足 ：
1、改进
你可以发现：_______________________ ____。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
三、拓展提升
例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？
例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心 O到 AB的距离为3。⑴求的半径；⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
3、得出垂径定理:
_______________________ _____________________________.
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中 的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、几何语言:
练习：
（1）判断下列图形是否具有对称性？ 如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对 称轴。
2.(1)将第一个图中的弦AB改为直径（AB与CD相互垂直的条件不变），结果如何？
(2)将第二个图中的直径A B改为怎样的一条弦，它将 变成轴 对称图形？
二、合作探究
1、对学：
任务1：①在圆形纸片上任画一条直径；
②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？
2、群学：
任务2：1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折。 通过折叠活动，
圆的对称性
学习
目标
1、使 学生通过观察实验理解圆的轴对称性；
2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；
九年级数学导学案(全册)整理
九年级数学导学案(全册)整理导学案1单元：有理数综合运用研究目标：- 理解有理数的概念和表示方法- 掌握有理数的加法和减法运算规则- 进一步熟练运用有理数进行混合运算教学内容：1. 有理数的引入和定义2. 有理数的表示方法3. 有理数的加法和减法规则4. 有理数的混合运算练教学步骤：1. 导入：通过实例引导学生认识有理数的概念和意义。
2. 定义：给出有理数的准确定义，并介绍有理数的表示方法。
3. 讲解：详细介绍有理数的加法和减法规则，包括同号相加、异号相减等。
4. 练：通过练题让学生巩固对有理数运算规则的掌握，进行混合运算。
5. 总结：对本节课的研究内容进行总结和归纳。
课后作业：- 完成课堂上的练题- 预下节课的内容，完成预题导学案2单元：平面图形的认识研究目标：- 了解平面图形的种类和属性- 掌握平面图形的命名和分类方法- 进一步熟练绘制和测量平面图形教学内容：1. 平面图形的定义和分类2. 平面图形的命名规则3. 平面图形的性质和特点4. 绘制和测量平面图形的方法教学步骤：1. 导入：利用一个日常生活中的例子引出平面图形的概念和意义。
2. 定义：给出平面图形的准确定义，并介绍不同种类的平面图形。
3. 讲解：通过示意图或实际测量过程，说明平面图形的命名规则和性质。
4. 练：让学生绘制和测量不同种类的平面图形，加深对其属性的理解和掌握。
5. 总结：对本节课研究内容进行总结和归纳。
课后作业：- 练题：根据给定条件，命名和绘制不同种类的平面图形。
- 思考题：举例说明平行线和垂直线的性质和判定方法。
...（后续导学案依次展开）总结该份文档整理了九年级数学导学案的内容，包括有理数综合运用、平面图形的认识等单元内容。
每个导学案都设定了学习目标、教学内容、教学步骤和课后作业，以满足学生对数学知识的学习和实践需求。
希望这份文档能为您提供有益的参考，帮助您更好地教授九年级数学课程。
九年级数学导学案：2110二次根式的加减(二)
铜都双语学校高效课堂自主学习型数学日导学稿
班级 90 姓名编号 2110 学科长（签字）: 光敏日期:
比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！
课题：二次根式的加减（二）设计者：九年级数学组自研课（时段：晚自习时间：20分钟）
预习内容：课本第15页的内容。
旧知连接：1、二次根式的化简
2、二次根式加减法法则
检
=
=
=
一、学习目标（2分钟） 1、能较熟练的进行二次根式的加减法运算。
2、会用二次根式的加减法解决实际问题。
完成课本第16页练习的第2、3两小题于规范作业本上。
训练课（时段：晚自习，时间：20分钟）
“日日清巩固达标训练题”自评：师评：
基础题：
（1）（2）
（3（4）
发展题：，经过适当的剪切，可以
(结果精确到0.01cm
1.39
==)
提高题：已知：a,b=a+b的值。
培辅课（时段：大自习附培辅单）
1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
1、病题诊所：
2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
江苏省铜山区清华中学九年级数学上册 1.4 用一元二次
用一元二次方程解决问题学习目标1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力重点难点点学会用列方程的方法解决有关形积问题难点如何找出形积问题中的等量关系学生活动过程教师导学过程一、自主学习（独学）任务1：某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？结论:任务2：某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t，4月份达到7200t，平均每月增长的百分率是多少？结论:小检测：某种服装原价为每件80元,经两次降价,现售价为每件51.2元,求平均每次降价的百分率.1.【情景导入】某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？2.【板书课题】用一元二次方程解决问题（2）3.【学习目标】4.【布置自主学习任务】5.【巡视检查】二、合作探究（对学、群学）1．对学：一对一检查自学、检测情况，交流问题，及时更正，疑难问题，小组交流。
任务1：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536立方厘米，求长方形铁皮的长与宽。
1.群学：某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。
决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。
经结算，这批服装共盈利430元。
如果两次打折相同，每次打了几折？对学中不能解决的问题。
小组讨论交流解决。
三、拓展提升问题1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
考点链接：四、当堂检测：《补充习题》相关练习五、小结反思1.收获__________________________________________________2.困惑___________________________________________________ 六作业书本29页2,3两题教师出示检测题，学生独立完成。
初中数学 导学案2：估算
《估算》导学案【学习目标】1.会估算一个无理数的值（或大致范围），理解它的方法与步骤；2.会比较含有无理数的两个实数的大小；【学习重点】能通过估算比较两个数的大小.【学习难点】掌握估算的方法，能估计一个无理数的大致范围.【课前小测】1、64的算术平方根是_______，平方根是_________，立方根是__________.2、若503=x ，则的近似值是（ ）A 、B 、C 、684.3-D 、【新课学习】1、下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.①≈20; ② ≈;③100000≈500; ④ 3900≈96.2、你能估算它们的大小吗？说出你的方法.①; ②; ③3900.【例题精讲】1、请你估算的大小 （结果精确到）2、生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，（1）他的顶端最多能到达多高（结果到）？（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？【巩固练习】1、试比较下列各组数的大小，并说说理由（1） 2 （2）19_____18 （3）-1 1 归纳：比较两个数中至少有一个带根号，有两种方法：（1）将两个数都变成带根号的数，再比较。
根号内的数越大，该数就越大（2）将两个数都平方（或立方）化成不带根号的数，所得的数越大，则该数越大2、练习：用两种方法比较5.26和的大小，并说明理由3、比较 21 215和-的大小。
（挑战题）、比较 85 215和-的大小，并说明理由并说明理由记住几个常用无理数的近似值：414.12≈，732.13≈，236.25≈【课后作业】1、下列四个不等式中，正确的是（ ）A.3102<<B. 4103<<C. 5104<<D. 6105<<2、下列四个不等式中，正确的是（ ）A ．3.15 3.16<<B ．3.16 3.17<<C ．3.17 3.18<<D ．3.18 3.19<<33的值（ ）A ．在5和6之间B ．在6和7之间C ．在7和8之间D ．在8和9之间4、比较31与313-的大小，并说明理由. 5、请你估算的大小（结果精确到）。
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学九年级数学导学案（2）
九年级班姓名审核
【课题】24.1.2 垂直于弦的直径【课时】第2课时
一、学习目标：
1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。
2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。
二、学习重点、难点：
1. 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。
2. 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
三、学习过程：
（一）温故知新
1.举例说出生活中的圆。
2.你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？
（二）自主学习
阅读课本Ｐ80---P81思考下列问题：
1.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2.教材思考？从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？
3.什么是垂径定理？请默写一遍。
4.由垂径定理又得到了什么推论？试着逻辑证明一下。
（三）合作探究
例2：如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。
（四）巩固练习（教材练习）
（五）达标训练
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．
A．CE=DE B．BC = BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD
(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm
4．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．
5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）6.如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=3，BC=1，则圆环的面积最接近的整数是（）
A.9
B. 10
C.15
D.13。