2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第八章 立体几何与空间向量8.6

大一轮复习讲义第八章立体几何与空间向量§8.6空间向量及其运算NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE名称概念表示零向量模为的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模的向量a ＝b相反向量方向且模的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________的向量a ∥b共面向量平行于同一个的向量知识梳理1.空间向量的有关概念ZHISHISHULI01相等相同相反相等平行或重合平面2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝___________，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.x a ＋y b x a ＋y b ＋z c做向量a ，b 的夹角，记作_________，其范围是_________________，若〈a ，b 〉＝则称a 与b ，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则________________叫做向量a ，b 的数量积，记作____，即a ·b ＝______________.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫0≤〈a ，b 〉≤π互相垂直π2， 〈a ，b 〉|a ||b |cos 〈a ，b 〉a ·b |a ||b |cos 〈a ，b 〉(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝______；②交换律：a ·b ＝____；③分配律：a ·(b ＋c )＝_________.λ(a ·b )b ·a a ·b ＋a ·c向量表示坐标表示数量积a·b共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)模|a |夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)4.空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0【概念方法微思考】1.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.2.零向量能作为基向量吗？提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( )基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面.()(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).()(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()√××√(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.()××题组二教材改编2.[P97A 组T2] 如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c√解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3.[P98T3]正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为______.＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)22 ＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2.题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .解析 由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，√∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，5.已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝______.∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6. 26 解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______. 182题型分类深度剖析PART TWO题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：师生共研设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ， 所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1――→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1――→(1)AP →；解因为P 是C 1D 1的中点，＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .解因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → (2)MP →＋NC 1→.＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.12AB →＋12AD →＋AA 1→ 解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)(2018·金华质检)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于 A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) √解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ).题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点.师生共研(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →；解 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . 由图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12DC →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.证明 由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →，∵EG 与AC 无公共点，∴EG ∥AC ，∵EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ，∴EG ∥平面AB 1C .又∵AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→，∵FG 与AB 1无公共点，∴FG ∥AB 1，∵FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，∴FG ∥平面AB 1C ，又∵FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面AB 1C .三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面证明三点共线和空间四点共面的方法比较思维升华P A →＝λPB →且同过点PMP →＝xMA →＋yMB → 对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB → 对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB → 对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？解 ∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1——→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面.(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，解当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；师生共研由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.证明 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.证明 设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60°＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.→→22思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过|a|＝a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋12＋12＝6， →解 BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值.∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66. 即BD →与AC →夹角的余弦值为63课时作业PART THREE基础保分练A.(0，3，－6)B.(0，6，－20)C.(0，6，－6)D.(6，6，－6)1.已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于√解析 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).2.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中正确命题的个数是√A.0B.1C.2D.3解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝x a＋y b＋z c，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.A.32B.－2C.0D.32或－23.(2018·台州模拟)已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，√∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2.4.在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|P A|＝|PB|，则P点坐标为A.(3，0，0)B.(0，3，0)√C.(0，0，3)D.(0，0，－3)解析设P(0，0，z)，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3.5.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，A.5π6B.2π3C.π3D.π6 √∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32， 又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，A.3B.2C.1D.3－2 √∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.7.(2019·舟山模拟)已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝_____.解析由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9. －98.已知a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝_____________.此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2，2).解析 因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4， (3，－2，2)9.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是_______. 平行又VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .解析 如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .∴VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面.10.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，其中正确的序号是______.①(A 1A →＋A 1D 1――→＋A 1B 1――→)2＝3A 1B 1――→2；②A 1C →·(A 1B 1――→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1――→＋A 1B 1――→)2＝A 1A →2＋A 1D 1――→2＋A 1B 1――→2＝3A 1B 1――→2，故①正确； ②中，A 1B 1――→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确.11.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA→＋OB →＋OC →).(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；解 由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面.。