大学微积分l知识点总结(二)

【第五部分】不定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。

（2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表⎰⎰+==c x dx dx 1c x dx x +⋅+∂=⋅+∂∂⎰111（α≠1，α为常数） c dx xx +=⋅⎰ln 1 ()()()⎰⎰⎰⎰⎰+-⋅=⋅+-=⋅-+-=⋅++=⋅≠+=⋅cx x x dx x cx x dx x c x arc x dx x c e dx e a a a c a a dx a x x x xln ln arccos arcsin 11cot arctan 1110ln 22或或为常数，，＞ ()c xa xa a dx x a c axa dx x a c axdx x a cx x dx x +-+⋅=⋅-+=⋅++=⋅-+++=⋅+⎰⎰⎰⎰ln 211arctan 11arcsin 11ln 1122222222c x xxd cshx dx chx cchx dx shx +-=-+=⋅+=⋅⎰⎰⎰cos ln cos coscx dx x c x dx x c x dx x +=⋅+=⋅+-=⋅⎰⎰⎰cos ln tan sin cos cos sinc x dx x +=⋅⎰sin ln cotcx dx x x c x dx x x c x dx x c x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x cx x dx x c x x dx x +-=⋅⋅+=⋅⋅+-=⋅+=⋅+--=⋅+-=⋅++=⋅+-=⋅+-=⋅++=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 412cos 2sin 412sin cos csc ln csc tan sec ln sec 222222c x dx ax a x ++=⋅++⎰22ln122（4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则[]⎰⎰⎰⎰⎰⋅±⋅=⋅±⋅⋅=⋅⋅dxx g dx x f dx x g x f dxx f a dx x f a )()()()()()(②①（7）[][]c x F dx x x f +=⋅⎰)()(')(ϕϕϕ复合函数的积分：cb x F dx b x fc b ax F a b axd b ax f a dx b ax f ++=⋅+++⋅=+⋅+⋅=⋅+⎰⎰⎰)()()(1)()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。

（10）不定积分的计算方法①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性ta x dx a x t a x dx a x t a x dx x a tan sec sin 222222⋅=⇒⋅+⋅=⇒⋅-⋅=⇒⋅-⎰⎰⎰ 数乘运算加减运算线性运算（8）③分部积分法：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==duv v u dv u dx x v x u x v x u dx x v x u dx x v x u dx x v x u x v v x u u 简写为：并有：也存在存在，则均可导，且若)()(')()()(')()(')()()(')(),(【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u)du u f du y dy ⋅=⋅=)(''功能：说明：[][][]()[]变性。

这称为一阶微分形式不，均有是自变量还是中间变量因此，无论带入得：因为的微分形式为：为中间变量，自变量为那么复合函数复合函数求导得：，即变量为函数即为复合函数。

自是中间变量，即如果的微分形式为：是自变量，则函数此时如果设函数为du u f dy u duu f dy du dx x g x g u dx x g x g f dx y dy u x g x x g f y x g x g f y x g y x x g u u duu f du y dy u f y u u f y ⋅=⋅==⋅=⋅⋅=⋅===⋅===⋅=⋅===)(')('.)('),(.)(')(''')()().(')('',)(:),()('')(),(（11）c x dx ax a x ++⇒⋅++⎰22ln122（12）分段函数的积分 例题说明：{}dx x ⋅⎰2,1max()需要调整连续的原则，需要说明的一点，依据）＞（）（）＜（）＞（）（）＜（解：321322132222,,1323111-1-3231),1max(111-11-,1max c c c x c x x c x x c x dx x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≤≤++-=⋅⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰（13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一⎰⎰⋅-=⋅x d x dx x dx cos sin sin 23的部分。

如次方处理到最后化简的目的。

并以达到再进行计算或将二者合量将其转化成同一次方要通过三角函数公式尽则需情况同时出现且指数不同的与，若遇到）在做不定积分问题时（,cosx sinx 14 2x cos 2x sin 2sinx sinx 15⋅=的问题，则中，如果单独遇到）在计算不定积分过程（ （16）隐函数求不定积分 例题说明：，带入。

所以：所以：解法带入。

，则：令解法确定的隐函数，试求是由方程例题：设∂∂=∂∂+∂=∂=-∂=-⇒=-+-⇒=--=-==-⋅=-⎰cos sin ;cos sin sin sin 1cos )(11)()(2,1,113y-x 1)(2222222232y x yxy x yxy x x y x y t ty t t x t y x dx x y x y y（17）三角有理函数积分的万能变换公式2222222212tan 2tan ,12sin 11cos 12)12,11(2tan )cos ,(sin t t x x t t t x t t x dt t t t t t R x t dx x x R -=→=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⋅+⋅++-=⋅⎰⎰其中：令（18）某些无理函数的不定积分()()() (1111)21141822122221t t 222222222=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=⋅-+-=⋅--⋅⋅+--+=⋅-+=⎰⎰⎰⎰dt t t dt t t t dt t tt t t x x t dx x x x A A 令例如：，即个根号变为（根号），变形时将整①无理函数中带有②欧拉变换at t c b x ax tx a t c bx ax c xt c bx ax c x a t c bx ax a c bx ax -⋅+=+-=++⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++222222222-0-0对于②可得：对于①可得：②，令＞若①，令＞若的积分含有（19）其他形式的不定积分c x f x xf dx x f x f x x df x dx x f x +-=⋅-⋅=⋅=⋅⋅⎰⎰⎰)()(')(')(')(')(''① ()()()()x x I I x dx I I dxx x xI dxxx xI c A x A x A e dx e B x B x B cA x A x A e dx e x c x e A x e A dx x e x x x x x x x cos 2sin ln 21cos 2sin cos cos 2sin sin cos sin sin 212121322122213221221+=+-=⋅=+⋅+=⋅+=++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑤组合法：④③待定系数法②2.补充知识（课外补充）☆【例谈不定积分的计算方法】☆1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。

其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c被积表达式积分变量被积函数积分号→⋅→→→⎰dx x f x x f )()(dxx f k dx x f dxx f k x f ni i i i ni i ⋅⋅=⋅⋅⋅=⎰∑⎰∑==)()()()(11则：推论：若（2）一般积分方法值得注意的问题： 第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。

不能用普通方法积出的积分：()......10sin 1111ln 1sin ,sin ,223422＜＜例如：K dx x k dxx dxxdxx dxx dx x x dx e x⋅⋅⋅-⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-2、特殊类型不定积分求解方法汇总 （1）多次分部积分的规律()dxv u v u v u v u dx v u v u v u dx v u v u dx v u n n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅-++⋅+⋅-⋅==⋅⋅+⋅-⋅=⋅⋅-⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰++----+)1(1)2()1()()1()1()()()()1(1...'''......'''')'sin cos ()sin cos (sin cos sin cos sin cos 2x d x c B x d x c A x b x a dx xd x c xb x a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⎰求解方法为：令的积分）对于（dx xx xx ⋅+-⎰sin cos sin cos 3例如：求即可解：令)'sin (cos )sin (cos sin cos 3x x B x x A x x +++=-（3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分()的最小公倍数是其中令③令②设①n m p b ax t dx b ax b ax x R d cx b ax t dx d cx b ax x R b ax t dx b ax x R pm n n n n n ,,,,,),(+=→⋅++++=→⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=→⋅+⎰⎰⎰[]dxb x a x b x a x b a I k b a dx b x a x dxI ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++-+⋅-=≠-⋅+⋅+=⎰⎰)sin()sin()()(sin )sin(1,)sin()sin(4解法：π其中）求（nnnn n bx a x t dx bx ax b x a x I n dx b x a x dxI --=⋅----=⋅-⋅-=⎰⎰-+令解法：为自然数其中，）求：（,))((1,)()(511tx dx c bx ax x I m 162=⋅++⋅=⎰解法：令）求（c bx b bx a ba e dx bx e I c bxb bx a b a e dx bx e I ax axaxax+⋅+⋅⋅+=⋅⋅=+⋅-⋅⋅+=⋅⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 7222221）统一公式（tx x x t x x x t x x x t x x x cos arccos 1sin arcsin 1sin 1tan 182222=-=-=-=+时，令和④同时出现时，令和③同时出现时，令和②同时出现时，令和①同时出现）计算技巧（dxx a x a x a x a a I dxx a ⋅-⋅+-++⋅=⋅-⎰⎰)()()()(211922解法：令）求（小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。