高二数学数列模块考试卷+答案详解(试卷版)
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.定义一种运算＆，对于，满足以下性质：（1）2＆2=1，（2）（＆2=（＆2）+3,则2008＆2的数值为【答案】-3008【解析】（＆2=（＆2）+3,即（＆2）=（＆2-3,则 2＆2，4＆2，6＆2，（＆2）构成等差数列，（＆2）=2＆2+（1004-1）*（-3）=-30082.已知等差数列｛an ｝的前n 项和Sn满足S3＝0，S5＝－5．（1）求｛an｝的通项公式；（2）求数列的前n 项和【答案】（1）;（2）【解析】（1）设等差数列的首项，公差分别是，代入公式；（2）将和代入通项公式，整理，第二步是裂项相消，整理．试题解析：（1）因为S3＝0，S5＝－5。
（6分）（2）所以数列的前n项和…+=…+=。
（6分）【考点】1．等差数列的前n项和；2．等差数列的通项公式；3．裂项相消法求和．3.已知数列是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为A．或B．或C．D．【答案】A【解析】显然，则，解得，则成等比数列，其公比为，则其前5项和为或．【考点】等比数列的求和公式．4.已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为,，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）利用进行求解；（2）先利用点在直线上求得的通项，再利用求得，再利用错位相减法进行求和．试题解析：（Ⅰ）（1）（2）（2）-（1）得，即，成等比数列，公比为．．（Ⅱ）由题意得：，成等差数列，公差为．首项，，，当时，，当时，成立，．，令，只需．（3）（4）（3）-（4）得：．为递增数列，且 ,，实数的最大值为．【考点】1．的应用；（2）错位相减法．5.已知正项数列的前项和为，对任意，有．（1）求数列的通项公式；（2）令，设的前项和为，求证：【答案】（1）（2）证明见解析．【解析】第一问根据题中所给的条件，令取时，对应的式子写出，之后两式相减，可得相邻两项的差为常数，从而得到数列为等差数列，令，可得数列的首项，从而求得数列的通项公式，第二问对式子进行分母有理化，化简可得，再求和，中间项就消没了，从而证得结果．试题解析：（1）由可得，，两式相减得，整理得，根据数列是正项数列，所以有，且有，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有；（2）【考点】求数列的通项公式，数列求和问题．6.等差数列中，，则前7项的和（）A．B．28C．63D．36【答案】C【解析】由等差中项可得, ．故C正确．【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和．7.（本小题满分12分）已知是一个等差数列，且。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意有，即，解得或故或．（Ⅱ）由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．2.已知数列的前项和构成数列，若，则数列的通项公式________.【答案】【解析】当时，，当时，，综上所述，，故答案为.【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块．【答案】4n+2【解析】第个图案有块，第个图案有块，第个图案有块，所以第个图案有块【考点】观察数列的通项4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【答案】【解析】由题意可知，解得，所以.【考点】等差数列通项公式．5.在等差数列{an }中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ()．A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.6.已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（１）求数列的通项公式；（２）设，求数列的前项和．【答案】（１）（２）【解析】（１）求等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可，本题可利用等比数列通项公式广义定义求解，即，而是和的等差中项，都转化为：（２）先代入求解，再根据错位相减法求和，注意项的符号变化，项数的确定.试题解析：（１）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）．（２）因为，所以．所以．则，①. ②①－②得，，所以．【考点】等比数列通项公式，错位相减法求和7.等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．【答案】.【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.8.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设此数列为，其符号为其绝对值为，可得通项公式．选B【考点】数列的通项公式9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】该数列为等差数列，且，即，解得.【考点】等差数列，数学文化.10.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）an+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===nan+1=3，②得，，解得n=3故选A【考点】等差数列的前n项和．11.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，该数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以．故选B．【考点】观察法求数列的通项公式．12.数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，值等于( ）A．11B．17C．19D．21【答案】C【解析】由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.【考点】等差数列的基本性质.13.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.14.设数列{an }，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为()A．0B．37C．100D．－37【答案】C【解析】数列{an }和{bn}都是等差数列，所以是等差数列，首项，所以数列是常数列，所以第37项的值为100【考点】等差数列15.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．16.设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】设公差为d，则解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.17.已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和5B．5和6C．6和7D．7和8【答案】C【解析】，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7【考点】数列性质18.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．19.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.【答案】【解析】由题意可得，，即求的最大值，所以当n=3时，，所以，填。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
新高二数列测试题及答案
新高二数列测试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数列中，不是等差数列的是（）。
A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 2, 3, 4, 5D. 1, 3, 6, 10, 15答案：D2. 等比数列{a_n}中，若a_1=2，公比q=3，则a_3等于（）。
A. 6B. 18C. 54D. 162答案：B3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+1，则a_3等于（）。
A. 4B. 7C. 10D. 13答案：B4. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_4等于（）。
A. 9B. 11C. 15D. 17答案：C5. 等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_8=17，则a_1+a_9等于（）。
A. 13B. 27C. 34D. 41答案：B二、填空题（每题5分，共20分）6. 等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=16，则a_5=（）。
答案：87. 等比数列{a_n}中，若a_1=3，公比q=2，则a_4=（）。
答案：248. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=a_n+n，则a_4=（）。
答案：109. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n(n+1)，则a_3=（）。
答案：10三、解答题（每题15分，共40分）10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=50，S_10=200，求a_6。
解：由题意可知，S_5=5a_1+10d=50，S_10=10a_1+45d=200。
解得a_1=2，d=4。
因此，a_6=a_1+5d=2+5×4=22。
答案：2211. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3=7，S_6=28，求a_4+a_5+a_6。
解：由题意可知，S_3=a_1(1-q^3)/(1-q)=7，S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=28。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知等比数列的前项为，，，则= ．【答案】31【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式2.在数列中，已知等于的个位数，则的值是（）A．8B．6C．4D．2【答案】A【解析】根据已知条件可知，，，，，，，，，因此次数列从第三项起，以循环，则为还余下，所以的值为.【考点】简单逻辑连接词.3.观察下列各式：，，则的末两位数字为（）A．01B．43C．07D．49【答案】B【解析】根据题意得，，发现的末两位数字是49，的末两位数字是43，的末两位数字是01，，的末两位数字为43，故选B。
【考点】归纳推理4.数列{an }满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn =log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设，数列{bn }的前n项的和为Tn，求证：．【答案】（Ⅰ）证明如下；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明如下；【解析】（I）由已知可得，，利用构造法，令，则可得，从而可证数列为等比数列；（II）由（I）可先求数列，代入可求；（III）把（II）中的结果代入整理可得，，则代入相消可证；试题解析：（Ⅰ）由得，于是，即，因此是以2为公比的等比数列；（Ⅱ）又，于是，即，因此，即；（Ⅲ）因为，于是，又，即；【考点】•数列的求和 等比关系的确定 数列递推式5.（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列，，满足．（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）将已知条件变形可得,由等差数列的定义可知数列即数列是等差数列．由等差数列的通项公式可求得．（2）由已知可求得,分析的通项公式可知应用错位相减法求数列前项和．试题解析：（1）因为,,所以,即,所以数列是以首相,公差的等差数列,故．（2）由知,于是数列前项和两式相减可得所以【考点】1等差数列的定义,通项公式；2错位相减法求数列的和．6.已知数列满足条件，则．【答案】【解析】,可知数列是以为首相,以1为公差的等差数列．．．【考点】1构造法求数列的通项公式；2等差数列的定义；3等差数列的通项公式．7.设是等差数列的前n项和，若（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等差数列的首项为，由等差数列的性质得：，，∴．【考点】等差数列的性质．8.等差数列中，，则中的最大值是（）A．B．或C．D．【答案】A【解析】因为是等差数列，，又，所以中的最大值是．【考点】等差数列的前项的和9.已知数列满足，，若，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A【考点】递推公式求数列各项10.已知数列满足，则．【答案】【解析】时，当时由得，两式相减得，经验证符合上式，因此通项公式为【考点】数列的通项公式求法11.（本小题满分为10分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的首项和公差表示，通过解方程组得到基本量，从而得到通项公式；（Ⅱ）将数列，的通项公式代入得到，根据特点采用错位相减法求和试题解析：（Ⅰ）由题意有，即，解得或，故或（Ⅱ）由知，故，于是，①∴②∴由①－②可得故【考点】1．等差等比数列通项公式；2．错位相减法求和【方法点睛】在等差等比数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，首项和公差公比表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和12.已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足．（1）求数列、的通项公式；（2）如果，设数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）详见解析．【解析】（1）由成等比数列可得成等比数列，将其转化为关于公差的方程即可求得公差，由等差数列的通项公式可求得．由公式即可求得与间关系式．由等比数列的定义可知为等比数列，从而可得．（2）由题意可知应用错位相减法求和．比较大小应用作差法即即可．试题解析：解：（1）设数列的公差为，依条件有，即，解得（舍）或，所以．由，得，当时，，解得，当时，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故．（2）由（1）知，，所以①②得．又．所以，所以．【考点】1等差数列的通项公式；2等比数列的定义，通项公式；3错位相减法求和．13.在等比数列{bn }中，S4=4，S8=20，那么S12= ．【答案】84【解析】由等比数列性质可知成等比数列，所以代入已知数据得【考点】等比数列性质14.已知数列满足，．令．（1）求证：数列为等差数列；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）现将代入可得，再展开，两边同除以即可证数列为等差数列；（2）先由（1）可得数列的通项公式，进而可得的通项公式，再利用裂项法可得，进而可证明．试题解析：（Ⅰ），（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由于于是【考点】1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、数列的“裂项”求和；4、不等式的证明．15.已知数列是首项为的等比数列，其前项和为，且，则数列的前5项和为A．或B．或C．D．【答案】D【解析】由可知公比，数列是等比数列，公比为，首项为1，所以【考点】等比数列及求和16.（2015秋•宁德校级期中）已知公差不为零的等差数列{an }，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =2n，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an =1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）Sn=n2+2n+1﹣2．【解析】（1）通过a2=1+d、a5=1+4d，利用a1，a2，a5成等比数列计算可知公差d=2，进而可得结论；（2）分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算，相加即可．解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{an }的前n项和Pn==n2，∵bn=2n，∴数列{bn }的前n项和Qn==2n+1﹣2，∴Sn=n2+2n+1﹣2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．17.函数图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据平面几何切割线定理，从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项，原点做半圆的切线长为设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是，则，设，所以，所以，根据图像分析，或是分别得到或，只有不在范围内，故选B．【考点】1．等比数列的性质；2．切割线定理．18.已知等差数列的公差为，且，若，则（）A．8B．4C．6D．12【答案】A【解析】根据等差数列的性质可知，即，又，所以．【考点】等差数列的性质．19.在数列中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析，，，，，，，故选D．【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为等差数列；（3）每增加“”，就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知在的基础上多出了两项得出结论的．20.已知各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列且，则（）A．16B．8C．4D．2【答案】A【解析】【考点】等比数列等差数列性质21.（2015秋•滑县期末）设等差数列{an }的前n项和为Sn，若a1=﹣3，ak+1=，Sk=﹣12，则正整数k=（）A．10B．11C．12D．13【答案】D【解析】根据数列的概念直接求解．解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a1=﹣3，，∴解得k=13．故选：D．【考点】等差数列的性质．22.（2007•山东）设数列{an }满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=，两式作差求出数列{an}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1an=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴bn=n•3n．∴Sn =3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3Sn =32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2Sn=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2Sn=n•3n+1﹣．∴．【考点】数列的求和；数列递推式．23.已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由利用能求出an=3n；（Ⅱ）先求出再求出中的最大值为,由此能求出实数m的取值范围试题解析：（Ⅰ）当时，，∴，又时，满足上式，所以．（Ⅱ），当时，，当时，，∴时，，时，，时，，∴中的最大值为．要使对于一切的正整数恒成立，只需，∴．【考点】1．数列的求和；2．数列递推式24.已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即；与的等差中项为，可得，得；所以，，得．故选C.【考点】等比数列的通项公式和前n项和公式；等差中项.25.已知等差数列中，等于（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】根据等差数列的性质，得，所以.故选A.【考点】等差数列的性质.26.已知满足，，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：，所以.试题解析：（1）证明：由已知，变形为；且，所以；即数列是首项为4，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以.【考点】等比数列的定义；数列的通项公式.27.若数列满足，若数列的最小项为1，则的值为 .【答案】【解析】由题意得，数列，令，则，由，解得，此时函数单调递增；由，解得，此时函数单调递减，所以对于来说，最小值是或中的最小值，又，所以为的最小值，即，解得.【考点】利用导数研究函数的单调性及其极值（最值）.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，着重考查了转化与化归的思想方法和推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据给定的数列，转化为函数，利用导数研究函数的单调性，确定函数的单调性，得出数列的最小值，列出方程即可求解实数的值.28.已知等差数列中，．（1）求数列的通项公式及前项和的表达式；（2）记数列的前项和为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列的通项公式及前n项和的表达式；（2）由（1）得，由此利用裂项求和法能求出的值试题解析：（1）∵等差数列中，，∴，解得，∴．．（2）由（1）得，∴∴．【考点】数列的求和；等差数列的性质29.等差数列中，，则的值是（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】由题意，根据等差数列的性质得，所以，故选A．【考点】等差数列的性质．30.已知数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）利用当时，和时，，即可求解的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．试题解析：（1）由，得当时，；当时，，．所以，．（2）由（1）知，，．所以，，．故，．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．31.已知等差数列的公差为前n项的和为Sn，若则d = ,= ，Sn= .【答案】; ;.【解析】由题意，可知，可知，所以，.【考点】等差数列的通项公式和前项和.32.等差数列{an }中，，{bn}为等比数列，且b7=a7，则b6b8的值为（）A．4B．2C．16D．8【答案】A【解析】由于是等差数列，所以，所以，或，又是等比数列，所以，．故选A．【考点】等差数列与等比数列的性质．33.已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）实数的最大值为．【解析】（1）利用的关系求出通项公式；（2）通过恒成立转化为求的最小值．试题解析：解：（1）当时，，又各项均为正数；数列是等差数列，；（2），若对于任意的恒成立，则法（一）：令，因，所以数的最大值为【考点】1．利用的关系求出通项公式；2．恒成立问题的转化．34.对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”．类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有”．【答案】【解析】由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是,则等比数列的商是,故应填答案.【考点】类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.35.已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】由是1和3的等差中项，得，则；由数列是等比数列，得.故选D.【考点】等差数列和等比数列的性质.36.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A．B．C．D．【解析】因为等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，所以，得，因此，故选A．【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比、等差数列的性质．37.在等差数列中，．（1）数列的前多少项和最大？（2）求数列的前项和；【答案】（1）数列的前项和最大；（2）．【解析】（1）根据题设条件，列出方程组，求得，利用等差数列的通项公式，求得通项公式，令，得出当时，，当时，，即可得到结论；（2）当，时，求得，当，时，数列的前项和为，即可得出结论．试题解析：（1）由，得，∴，令，得，∴当，时，，当，时，，∴数列的前17项和最大；（2）当，时，；当，时，，∴当，时，数列的前项和为；当，时，数列的前项和为，故．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用、数列的求和，其中解答中着重考查了分类讨论的数学思想、函数与方程思想的应用，以及学生的推理与运算能力和分析问题、解答问题的能力，试题有一点的难度，属于中档试题，本题的解答中，求出数列的通项公式，根据通项公式判断出数列的正项与负项，合理分类讨论是解答的关键．38.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36…的值为（）A．B．C．D．【解析】试题分析:因为且,所以在第行,第个数,因此根据数表的数据的规律可知,应填.【考点】归纳猜想等合情推理及运用．【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为,然后再确定数列中的项是第行,第个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数.39.等差数列的前n项和为，若，则等于（）A．12B．18C．24D．42【答案】C【解析】等差数列的前n项和为，则也成等差数列，即，，有，选C.【考点】等差数列的性质40.在数列中，，，则的值为（）A．49B．50C．51D．52【答案】D【解析】由，得，故数列为首项为，公差为的等差数列，所以．故选 D．【考点】数列递推式．41.若是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有（）①；②；③（，为常数）；④．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据等差数列的定义，对于①当时，不是等差数列；②是常数，故是等差数列；③是常数，故是等差数列；④是常数，故是等差数列．故选：C．【考点】等差关系的确定．【方法点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质以及等差数列的判定，注重强调对基础的考查，属于容易题；一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于一个常数,那么这个数列就是等差数列,通过定义逐个验证；或者由等差数列通项公式的性质：若数列为等差数列，也可得到结果．42.在等差数列中，已知，则=A．10B．18C．20D．28【答案】C【解析】由题意得，设等差数列的公差为，则，则，故选C．【考点】等差数列的通项公式．43.已知数列的前项和为，，等差数列中，，且，又成等比数列.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，利用恒等式构造出两者作差得出，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.试题解析：（1）∵，∴，∴，∴，而，∴.∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴，在等差数列中，∵，∴，又因为成等比数列，设等差数列的公差为，∴，解得或.∵，∴舍去，取，∴，∴.（2）由（1）知，，①，②①-②得，∴.【考点】1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.【方法点睛】本题主要考查的是等差数列的综合,等比数列的综合,错位相减法求数列前项和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于数列中给出的递推关系式求数列的通项公式，我们要熟练掌握常见的九种递推关系式求数列的通项公式的方法，只有求出了通项公式后面才能求数列前项和，另一方面凡是遇到等差数列和等比数列相乘做为一个数列，求这个数列的前项和，只有一个方法，错位相减的方法求解，因此正确求出数列的通项公式是解此类题目的关键.44.已知数列满足，前项和是，则满足不等式的最小正整数为______【答案】7【解析】根据题意，，化简可得；则是首项为，公比为的等比数列，进而可得，即；依题意，即，且n∈N*，分析可得n＞7；即满足不等式的最小正整数n是7【考点】数列的应用；数列的求和45.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的求和公式及性质，可得，所以，同理可得，所以，所以，对任意正整数，都有，则，故选D.【考点】等差数列的求和公式.46.已知函数满足且.（1）当时，求的表达式；（2）设，，求证：…；（3）设，，为的前项和，当最大时，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或时取得最大值．【解析】（1）令，则，得到，即，即可利用等比数列的通项公式，求的表达式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法求解数列的和，即可证明结论；（3）由（1）可得，得到数列是一个首项是，公差为的等差数列，判定出时，当时，当时，即可得出的值.试题解析：（1）令，则，∴，即，∴（3分）（2）证明：设，则（5分）∴∴即（8分）（3）由（1）可得，∴数列是一个首项是4，公差为的等差数列，∴当时，当时，当时（10分）故或时取得最大值18. （12分）【考点】数列的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到抽象函数的性质的应用，等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键.47.在等比数列中，，则（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由等比数列的通项公式，令，解得，故选C．【考点】等比数列的通项公式．48.设数列前项和为，如果那么_____________．【答案】【解析】由，即，所以当时，，两式相减，可得，即，所以，又因为，所以．【考点】数列通项公式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到，进而得到是解答的关键．49.在等差数列中,,,则的前项和（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，即，解得，所以的前项和，故选D.【考点】等差数列的前项和.50.给出下列命题：①是的内角，且，则;②是等比数列，则也为等比数列；③在数列中,如果前项和，则此数列是一个公差为的等差数列；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；则上述命题中正确的有（填上所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】①中，根据三角形的性质可得，再由正弦定理可得，所以是正确的；②中，当等比数列的公比为时，此时，此时数列不是等比数列，所以是错误的；③中，由，则此数列从第二项开始是一个公差为的等差数列，所以是错误的；④中，是所在平面上一定点，动点满足：，，则直线为角的平分线，所以一定通过的内心，所以是正确的，故选①④．【考点】命题的真假判定．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到平面向量的运算、三角形的正弦定理、等比数列的定义、以及等差数列的判定及前项和公式，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，其中熟记数列的概念和向量的基本运算是解答的关键．51.在数列中，已知对任意，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，两式相减得，所以是以为首项，公比为的等比数列，其前项和为.【考点】等比数列.52.设为等差数列的前项和，若，则（）.A．13B．14C．15D．16【答案】C【解析】设等差数列的首项是、公差是，因为，所以，解得，则=-1+8×2=15【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和53.《张邱建算经》是我国古代数学著作，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了五尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加尺．（一月按30天计）【答案】【解析】由题意得，女子织布两构成一个等差等数列，设等差数列的公差为，则一个月的织布总量为，即，解得．【考点】等差数列的求和的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中等差数列数列的通项公式、等差数列的求和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用，本题的解答中把实际问题转化为女子织布两构成一个等差等数列，再根据等差数列的求和公式，求出公差是解答的关键，属于基础题．54.设等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公比为，由，，称等差数列，求解，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知，利用乘公比错位相减法，求解数列的和．试题解析：（1）设数列的公比为，∵，，称等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）设数列的前项和为，则，又，∴，，两式相减得w，∴．【考点】等比数列的通项公式；数列求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列求和，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、等知识点的综合考查，着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生转化与化归思想的应用，本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和，准确计算是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．55.已知数列中，，，其前项和满足．（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设为数列的前项和，求；（3）若对一切恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）利用等差数列的定义证明数列，并求数列的通项公式．（2）利用裂项法求数列的和．（3）将不等式条件转化为，进而求实数的最小值．试题解析：解：⑴由已知，，且，∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴…………3分⑵，………………6分⑶∵，∴，∴，又，∴的最小值为．【考点】1.数列的求和；2.等差数列的性质．56.已知是等差数列，是等比数列，且，，，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)借助题设条件运用等差数列等比数列的有关知识求解；(2)借助题设运用等差数列等比数列的求和公式探求.试题解析：（1）等比数列的公比，所以，，设等差数列的公差为，因为，，所以，即，所以……………………………………………………………………5分（2）由（1）知，，，因此，从而数列的前项和.…………………10分【考点】等差数列等比数列的通项及前项和公式等有关知识的综合运用.57.已知（为常数，且），设是首项为4，公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证：数列是等比数列；(Ⅱ)若，记数列的前n项和为，当时，求；【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)【解析】（1）根据等差数列的通项公式可求得f（x）的解析式，进而求得，进而根据推断出数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）把（1）中的代入求得，把m代入，进而利用错位相减法求得．试题解析：(Ⅰ)由题意即∴∴∵且，∴为非零常数，∴数列是以为首项，为公比的等比数列(Ⅱ)由题意，当∴①①式乘以2，得②②－①并整理，得。
高二数列单元测试题及答案
高二数列单元测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知数列{an}是等差数列，且a3=5，a5=9，则a7的值为：A. 13B. 11B. 9D. 72. 等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，求该数列的第5项b5：A. 486B. 243C. 81D. 1623. 已知数列{cn}的前n项和S(n)=n^2，求第5项c5：A. 14B. 15C. 16D. 174. 若数列{dn}满足d1=1，且对于任意的n≥2，有dn=2dn-1+1，该数列为：A. 等差数列B. 等比数列C. 非等差也非等比数列D. 几何数列5. 对于数列{en}，若e1=2，且en+1=en+n，求e5的值：A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知数列{fn}是等差数列，且f1=3，f3=9，求公差d。
__________7. 已知数列{gn}是等比数列，且g1=8，g3=64，求公比q。
__________8. 若数列{hn}的前n项和S(n)=n^2+n，求第3项h3。
__________9. 已知数列{in}满足i1=1，且对于任意的n≥2，有in=in-1+n，求i3的值。
__________10. 若数列{jn}的前n项和S(n)=n^3，求第2项j2。
__________三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知数列{kn}是等差数列，首项k1=1，公差d=2，求数列的前10项和S(10)。
12. 已知数列{ln}是等比数列，首项l1=1，公比q=4，求数列的前5项和S(5)。
13. 已知数列{mn}的前n项和S(n)=2n^2-n，求数列的第n项mn。
四、综合题（每题25分，共25分）14. 某工厂生产的产品数量按照等差数列增长，若第1年生产100件，每年增长50件。
求第5年的产量，并求前5年的总产量。
答案：一、选择题1. A2. C3. B4. A5. B二、填空题6. d=27. q=48. h3=109. i3=510. j2=9三、解答题11. S(10)=10×1+(10×9)/2×2=11012. S(5)=1+4+16+64+256=34113. mn=2n^2-n-1四、综合题14. 第5年产量为100+4×50=250件，前5年总产量为100+150+200+250+300=1000件。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.在数列{an }中，a1=2，，则an=（）A．2+lnn B．2+(n－1)lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【答案】A【解析】因为根据已知a1=2，，运用累加法可知an=2+lnn 选A.2.在等比数列中，已知，则该数列的前15项的和。
【答案】11【解析】因为在等比数列中，已知，则根据连续三项的和依然成等比数列可知，该数列的前15项的和11.故答案为11.3.三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为 ( )A．b-a=c-b B．b2=acC．a=b=c D．a=b=c≠0【答案】D【解析】由于此数列即是等差数列，又是等比数列，所以此数列是一定是非零常数列，所以a=b=c≠0.4.设数列的前项和为，则 .【答案】1007【解析】.5.已知等比数列满足，且，则当时， .【答案】【解析】因为6.数列的一个通项公式是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】分别观察分子和分母规律可看出通项公式为.7.（本题满分14分）已知数列前项和（1）求数列的通项公式；（2）令，求证：数列{}的前n项和.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】(1)由可求出的通项公式.(2)在(1)的基础上，可知,然后采用裂项求和的方法求和即可.（1）数列的通项公式是（2）由（1）知当时，8.在等比数列中，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
解：由得，所以，，从而=，故选A。
9.在等比数列中，已知，则= （）A．8B．－8C．D． 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：因为，所以，，，故选A。
10.等差数列中，，则等于（）A． 11B． 9C． 9或18D． 18【答案】B【解析】主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
解：由，所以等于9，故选B。
11.。
【答案】2550【解析】主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
(好题)高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（ ）. A ．8B ．9C ．11D ．102．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ） A ．1125B ．1250C ．2250D ．25003．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率为3f ，第九个音频率9f ，则93f f 等于（ ） ABCD5．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2056．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1627．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列8．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165D ．51109．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前项和n T 为（ ） A ．310(103)nn -B ．10(103)nn -C ．103nn-D ．10(133)nn -10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130S >，140S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1311．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1B ．6:1C ．7:1D ．9:112．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．200二、填空题13．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______. 14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f =______． 15．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 17．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 18．已知正项等比数列满足：,若存在两项使得,则的最小值为 ．19．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，29a =，且3a 是1a 和4a 的等比中项，则数列{}n a 的前10项和10S =________.20．已知函数()1eex f x x=+（e 是自然对数的底数），设(),2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪-⎝⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1n n b x -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）设()44n n d n a =+，12n n H d d d =+++()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有9n mH >成立的最大整数m 22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记2nn na cb =*n N ∈，证明：122n c c c n +++<.23．已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()312nn n n nb a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 24．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，37S =，且13a +，23a ，34a +成等差数列.数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∀∈满足1112n n T T n n +-=+，且11b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ；25．设数列{}n a 的前n 项和2*,n S n n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若不等式1122318111log n n a a a a a a λ++++≥对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.26．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =，515S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ， 令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=， 即11322n n a a +=-+， 即()11112n n a a +-=--， 又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列，11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 则111632170n n S --=⨯<， 即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭， 又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=， 即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.2．A解析：A 【分析】由题意可知，良马每日行的距离{}n a 以及驽马每日行的距离{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果. 【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为{}n a ，其中1103a =，公差113d =. 驽马每日行的距离成等差数列，记为{}n b ，其中197b =，公差20.5d =-. 设长安至齐为x 里，则1291292a a a b b b x +++++++=，即9813980.521039979225022x ⨯⨯⨯⨯=⨯++⨯-=，解得1125x =. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于得出长安至齐的距离等于良马和驽马九日所行的距离之和的 2倍，并结合题意得知两匹马所行的距离成等差数列，解题时要充分抓住题中信息进行分析，将实际问题转化为数学问题来求解.3．B解析：B 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.【详解】 ①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立；③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.4．A解析：A 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1122q =，由此能求出93f f 的值． 【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ， 则12131=a a q ，且1312=a a ，1122∴=q ，86912316191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭q q f q a a f a a 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等差数列的性质、等比数列的前n项和．2.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．【答案】【解析】一个骰子连续抛掷三次它落地时向上的点数情况共有种, 若落地时向上的点数依次成等差数列时情况有: 可能为连续的三个数组成的递增数列,还可能不连续的三个数组成的递增数列, ．同理可得以上两种情况的递减数列,另外还有可能是三个数相同的常数列,所以共有种情况,所以所求概率为．【考点】1排列组合；2概率．3.在等比数列中，对于任意都有，则．【答案】【解析】令，得；由等比数列的性质，得.【考点】1.赋值法；2.等比数列的性质.4.已知数列满足，则= （）A．B．C．D．【答案】【解析】∵，∴，∴，所以数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，又，故，所以．【考点】递推公式，等比数列，分组求和，等比数列的前项和5.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，或．设公比为，当时，，当时，综上可得．故D正确．【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．6.已知数列中，函数．（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；，且，求证：（2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查数列的通项及前n项和等基础知识，考查学生的运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，通过对两边同时取倒数、变形可知数列是以1为首项、为公比的等比数列，进而计算可得结论；第二问，通过（n∈N*）变形可知，进而累乘得：，进而，通过裂项、放缩可知，并项相加即得结论．试题解析：（1）依题意，，，，由此归纳得出：；证明如下：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴；（2）∵（n∈N*），∴，∴，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴．【考点】数列的求和；归纳推理．7.设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为．求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由可得，，而，则（Ⅱ）由及可得利用错位相减即可求出结果，即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得．．【考点】1．数列的递推公式；2．错位相减法求和．【方法点睛】本题主要考查了利用数列递推公式求出数列的通项公式，在解决此类问题时，一般利用来求数列的通项公式；在数列求和时如果通项公式可换成，其中数列分别是等差数列和等比数列，一般采用错位相减法进行求和．8.（本小题满分12分）已知正项数列的首项为，前项和为满足．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）当时，由代入已知式分解因式可得，由此可证数列是等差数列，并求出数列的通项公式，再由即可求出数列数列的通项公式；（2）由，即用裂项相消法求出，又可得，解之即可．试题解析：（1）当时，，即，数列是首项为，公差为的等差数列，故，故，当时也成立，（6分）（2）, （8分）（10分）又，，解得或，即所求实数的取值范围为（12分）【考点】1．与关系；2．等差数列的定义与性质；3．裂项相消法求和；4．数列与不等式．【名师】本题主要考查数列中与关系、等差数列的定义与性质、裂项相消法求和以及数列与不等式的综合应用等知识．解题时首先利用与关系进行转化，得到数列前后项之间的关系，从而讲明数列是等差数列，进一步求出数列的退项公式；由于数列是等差数列，所以在求数列的前项和为时，可用裂项相消法求解．9.（本小题满分12分）等差数列的前n项和记为，已知，求n．【答案】【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．利用等差数列的通项公式将和展开，列出方程组，解出和d的值，即得到等差数列的通项公式，由，利用等差数列的前n项和得，解方程求得项数n的值．试题解析：由，得方程组，解得，所以．，得，解得或（舍去）．【考点】等差数列的通项公式及前n项和公式．10.数列1，，，，，，，，，……的前100项之和为（）A．10B．C．11D．【答案】A【解析】观察数列特点可知分母为1的有一项，分母为3的有三项，分母为5的有五项，以此类推分母为的有项，所以，即分母为19的分数写完后刚好100项，因此前100项求和时将分母相同的分组求和可得到和为10【考点】数列求和11.在等比数列{an }中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝（）A．80B．90C．95D．100【答案】B【解析】等比数列中【考点】等比数列性质12.（本题满分13分）设数列和满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）当时，不等式恒成立，试求常数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，又因为，所以为首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；由可得当时，两式相减得，，当时也满足，．记，又因为，所以，再将其左右两边同时乘以得，然后利用错位相减得，，可化简得即，，．试题解析：（1），为首项为，公比为的等比数列，又①令令②①-②得，，当时，满足此式。
高二数列练习题及解析
高二数列练习题及解析一、选择题1. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项的和。
A. 20B. 22C. 24D. 26解析：将n从1到5代入通项公式an = 3n + 2，得到前5项分别为5，8，11，14，17。
将这五个数相加，得到答案为C. 24。
2. 数列{bn}的通项公式为bn = 2n^2 - n，求该数列的第10项。
A. 174B. 178C. 182D. 186解析：将n代入通项公式bn = 2n^2 - n，计算得到第10项为180。
答案为C. 182。
3. 如果等差数列{cn}的首项为3，公差为4，求该数列的第15项。
A. 56B. 57C. 58D. 59解析：根据等差数列的性质，第n项可以表示为cn = 3 + (n-1)4。
将n=15代入计算得到第15项为59。
答案为D. 59。
4. 已知等比数列{dn}的首项为2，公比为3，求该数列的前5项的和。
A. 242B. 245C. 248D. 251解析：根据等比数列的性质，前n项和可以表示为Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
将a=2，r=3，n=5代入计算得到前5项和为242。
答案为A. 242。
二、填空题1. 若数列{en}满足通项公式en = 2^n + n，则第3项为________。
解析：将n=3代入通项公式en = 2^n + n，得到第3项为11。
2. 若数列{fn}满足通项公式fn = n^2 - n，则前4项的和为________。
解析：将n从1到4代入通项公式fn = n^2 - n，得到前4项分别为0，2，6，12。
将这四个数相加，得到答案为20。
三、解答题1. 数列{gn}的首项为1，公差为2。
设Sn为该数列的前n项和。
当Sn = 45时，求n的值。
解析：根据等差数列前n项和的公式Sn = (2a + (n-1)d)n / 2，其中a 为首项，d为公差。
(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a ，{}n b 中满足()1231n n a a n ++=≥，110a =，1n n b a =-，若{}n b 前n 项之和为n S ，则满足不等式16170n S -<的最小整数n 是（ ）. A ．8B ．9C ．11D ．102．数列{}n a 中，112a =，()*,m n m n a a a m n +=∀∈N ，则6a =（ ） A ．116B ．132C ．164D ．11283．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =5．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩6．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（ ） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项 7．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2058．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×201829．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207510．已知等比数列{}n a 的前n 项和()232nn S λλ=+-⋅（λ为常数），则λ=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．211．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12n n n a S n N n++=∈，则n a =（ ） A ．()112n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．200二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-+，则它的通项公式是n a =__________.14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．15．已知、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，数列{}n a 是等差数列，S n 是数列{}n a 的前n 项和．若12012OA a OB a OC =⋅+⋅，则2012S =____________．16．等差数列{}n a 中，若15939a a a ++=，371127a a a ++=，则数列{}n a 前11项的和为__________． 17．已知正项等比数列满足：,若存在两项使得,则的最小值为 ．18．设数列{}n a 满足15a =，且对任意正整数n ，总有()()13344n n n a a a +++=+成立，则数列{}n a 的前2020项和为______.19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列说法： ①6S 为n S 的最大值；②110S >；③120S <；④850S S ->.其中正确的是______.20．已知数列{}n a 中，11a =，()132,n n a a n n N *-=+≥∈，数列{}n b 满足11n n n b a a +=，*n N ∈，则()12lim n n b b b →∞++⋅⋅⋅+=________. 三、解答题21．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.请从①1，②1，③1的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在.并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，若不等式4nn S a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，求实数λ的最小值.22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1212a a +=，34108a a +=， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．23．数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和nT ，并求使21(3)6>-n T m m 对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()()31n n n S a n a -=-． （1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1n T <． 25．已知()f x =． （1）设11a =，()11n n f a a +=，求n a ． （2）设22212,n n S a a a =+++，1nn n b S S +=-，且1223341n n n T b b b b b b b b +=⋅+⋅+⋅++⋅，问是否存在最小正整数m ，使得对任意*n N ∈，都有25n mT <成立．若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由． 26．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设数列{}n b 满足：11b =，()122n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .求证：2n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由123n n a a ++=可求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b ，表示出n S ， 令16170n S -<，即可得到满足不等式16170n S -<的最小整数n . 【详解】解：由题意可知：123n n a a ++=， 即11322n n a a +=-+， 即()11112n n a a +-=--， 又110a =，119a ∴-=，即数列{}1n a -是以首项为9，公比为12-的等比数列， 11192n n a -⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，即11192n n a -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，11192n n n b a -⎛⎫∴=-=⨯- ⎪⎝⎭，12111219661212n nn n S b b b ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴=++⋅⋅⋅+=⨯=-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 则111632170n n S --=⨯<， 即1112510n -⎛⎫<⎪⎝⎭， 又9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴满足不等式16170n S -<的最小整数19n -=， 即10n =. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列{}n a 的通项公式.2．C解析：C 【分析】由,m n 的任意性，令1m =，可得112n n a a +=，即数列{}n a 是首项为12，公比为12得等比数列，即可求出答案. 【详解】由于*,m n ∀∈N ，有m n m n a a a +=，且112a =令1m =，则1112n n n a a a a +==，即数列{}n a 是首项为12，公比为12得等比数列，所以111111222n n n n a a q --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故6611264a ⎛⎫==⎪⎝⎭ 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，解题的关键是特殊值取法，由,m n 的任意性，令1m =，即可知数列{}n a 是等比数列，考查学生的分析解题能力与运算能力，属于一般题.3．B解析：B 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.【详解】 ①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.4．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.5．B解析：B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.7．C解析：C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。
华师一附中高二数学《数列》专题答案
An
Bn1
4n
1 3n2
16
9
1 8
n
3n1
1n
3
9
8
；
当 n 为偶数时，则 Tn c1 c2 cn c1 c3 cn1 c2 c4 cn
An1
Bn
4n
3 3n1
16
9
1 8
n
3n 2
2n
4
9
8
；
综上所述： Tn
4n
4n
13n2
【详解】（1）设等差数列an 的公差为 d 0 ，
3 3d 3q
d 2 d 3
由题意可得： 12 6d 6 d q ，解得 q 3 或 q 2 （舍去），
所以 an 3 2n 1 2n 1,bn 3 3n1 3n .
（2）由（1）可得
Sn
n 3 2n
2
1
n
2
2n
，
当 n 为奇数时，则 cn anbn 2n 1 3n ，
设 An c1 c3 cn 3 3 7 33 2n 1 3n ，
则 9An 3 33 7 35 2n 1 3n2 ，
两式相减得
n1
108 1 9 2
8An 9 4 33 4 35 4 3 n 2n 1 3 n 2 9
4
4 n 1
，变形得到
mTn
n2 1 n 1
n
1
4m 2n
n 1
，假设存在实数
m，使得数列 mTn
n2 1
n
1
为等差数列，从
而根据等差数列的定义得到 m 1 . 2
【详解】（1）
a1 3
a2 5
an 2n 1
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.下列解析式中不是数列，的通项公式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据正负号变化规律，【考点】本题主要考查数列的概念及数列的简单表示法。
点评：集合与数列是两个不同的概念，数列中的数具有有序性，数列可以看做是一个定义域为正整数集（或其有限子集）的函数。
2.已知，，则的第五项为 .【答案】5【解析】因为，，所以，=5.【考点】本题主要考查数列的概念、数列的简单表示法及对数性质。
点评：先求得通项公式，再确定所求项。
具有一定综合性，注意对数性质的应用。
3.已知数列中，，，通项是项数的一次函数，①求的通项公式，并求；②若是由组成，试归纳的一个通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】设,则,解得,∴,∴,又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.【考点】本题主要考查数列的概念、数列的简单表示法及待定系数法。
点评：先利用待定系数法求得式中的k，b，再利用通项公式确定所求项，并归纳出新数列的通项公式。
4.数列{an }中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则a n等于。
【答案】（1－）.【解析】an =a1+（a2－a1）+（a3－a2）+…+（an－an－1）=（1－）。
【考点】本题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
点评：简单题，套用公式。
5.等比数列的前项和Sn= .【答案】【解析】公比为，当，即时，当，即时，，则.【考点】本题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
点评：等比数列的基本问题。
从公比是否为1出发，分析讨论a的多种可能情况是关键。
易忽视，即时的情况。
6.已知等比数列的首项为8，是其前n项和，某同学经计算得，，，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.【答案】；。
【解析】设等比数列的公比为，若计算正确，则有，但此时，与题设不符,故算错的就是,此时, 由可得,且也正确.【考点】本题主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知是等比数列，，则公比q=（）A．B．C．2D．-2【答案】B【解析】由等比数列通项公式可知【考点】等比数列通项公式2.已知正项数列的前项和为，对任意，有．（1）求数列的通项公式；（2）令，设的前项和为，求证：【答案】（1）（2）证明见解析．【解析】第一问根据题中所给的条件，令取时，对应的式子写出，之后两式相减，可得相邻两项的差为常数，从而得到数列为等差数列，令，可得数列的首项，从而求得数列的通项公式，第二问对式子进行分母有理化，化简可得，再求和，中间项就消没了，从而证得结果．试题解析：（1）由可得，，两式相减得，整理得，根据数列是正项数列，所以有，且有，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以有；（2）【考点】求数列的通项公式，数列求和问题．3.在等差数列中，已知，则该数列前11项和＝．【答案】88【解析】∵，∴．【考点】等差数列的性质、等差数列的前n项和．的值为（）4.设数列的前n项和，则a9A．15B．17C．49D．64【答案】B【解析】由已知得，．故选B．【考点】数列项与和的关系，即（）．5.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】因为数列是等差数列，所以∴,则．故选C．【考点】等差中项的应用．【方法点睛】等差数列无难题，只要记住设首项和公差，进行基本量运算即可．但同时注意，对等差数列的性质应熟记并能灵活运用，这样能够快速、准确的求解．例如：本题运用到等差中项，很容易求出，而后运用当n为奇数时，,则．通过本题感受性质运用在解题过程中的作用．6.删除正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2015项是（）A．2058B．2059C．2060D．2061【答案】C【解析】由题意可得，这些数可以写为：，2，3，，5，6，7，8，… 第k个平方数与第k+1个平方数之间有2k个正整数，而数列，2，3，，5，6，7，8，…共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数，即是原来数列的第2060项，即为2060．【考点】数列的概念及简单表示法7.已知数列{an }的前n项和Sn＝a n－1（a是不为零的常数），则数列{an}（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列【答案】C【解析】当时，，，∴数列是等差数列．当时，，∴数列是等比数列．综上所述，数列或是等差数列或是等比数列【考点】等差数列等比数列的判定8.等差数列的首项为，公差为d,若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】数列为递减数列，故选D 【考点】等差数列性质9.设数列则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项【答案】B【解析】由数列前几项可知通项公式为时，为数列第七项【考点】数列通项公式10.已知数列的通项（），我们把使为整数的叫做优数，则在内所有优数的和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以．令（），则．由，得（），所以（），所以所求优数的和为＝＝，故选C．【考点】1、对数的运算；2、换底公式；3、等比数列的前项和．11.已知数列的前项和（），数列的前项和（）．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由，求得，再用裂项法求即可求得数列的前项和；（Ⅱ）先由，求得，再用错位相减法即可求得数列的前项和．试题解析：（Ⅰ）∵＝，又，满足上式，∴．∵，∴数列的前项和为：＝．………6分（Ⅱ）∵＝，又，满足上式，∴，∴，∴数列的前项和为①，②，－②，得=＝＝，∴．【考点】1、数列的通项与前项和的关系；2、裂项法与位相减法求数列的和．【方法点睛】裂项相消法：具体的操作方法是将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加抵消掉中间的许多项．错位相减法：形如的数列，其中是等差数列，是等比数列，则可在求和等式两边同乘的公比，然后两等式错位相减．即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列，求此数列的前项和可利用．12.已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为．【答案】【解析】【考点】1．等比数列性质；2．均值不等式求最值13.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）=n2-（n-1）A．anB．a=n2-1n=C．anD．a=n【答案】C【解析】A、B、D中，当时，均不成立，故选C．【考点】求数列的通项公式．14.已知数列是递增的等比数列，满足，且是．的等差中项，数列满足，其前n项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用是．的等差中项，求出公比，可求数列的通项公式；数列为等差数列，公差d=1，可求数列的通项公式；（2）不等式化为，可得，对一切恒成立，利用不等式，即可得出结论．试题解析：（1）设等比数列的公比为q，则q＞1，，∵是和的等差中项，∴，即．∵q＞1，∴q=2，∴．依题意，数列为等差数列，公差d=1，又，∴，∴，∴∵，∴．不等式化为．∵，∴对一切恒成立．而，当且仅当即n=2时等式成立．∴．【考点】数列与不等式综合【方法点睛】1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值．4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；15.设是数列的前项和，．（1）求的通项；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，由，代入已知整理可得即，结合等差数列的通项公式可求，进而可求当时，在对时求，从而可求（2）由于，可利用裂项求和即可．试题解析：（1）时，，整理得，，∴数列是以2为公差的等差数列，其首项为．（2）由（1）知，．【考点】利用递推公式求解数列的通项公式，裂项求和方法的应用．【方法点睛】（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．16.在等比数列中，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，且为递增数列，若，求证：．【答案】（Ⅰ）当时，，当时，；（Ⅱ）证明见解析．【解析】本题第（1）小题设计为求数列的通项公式，需要对q进行分类讨论，这是本题的亮点进行化简，这类需要结合对数和易错点；第（2）小题设计为数列型不等式的证明，首先要对bn的运算法则，然后利用裂项相消法求数列数列｛c｝前n项和，最后进行放缩法证得不等式．n试题解析：（Ⅰ）当时，．当时，．（Ⅱ）由题意知，，∴．∴．∴．【考点】等比数列的通项公式和前n项和，不等式的证明，对数的运算法则．17.（2015•新余二模）已知等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2D．【答案】A【解析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴an=2n﹣1，∴Sn==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【考点】等差数列的性质．18.在各项均为正数的等比数列中，，则等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为等比数列满足，所以，则，故正确选项为C．【考点】1、等比数列性质的运用；2、对数的运算．19.已知数列满足（），则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时，；当时，．所以，解得，．故D正确．【考点】数列．20.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和为，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先设的首项为，公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式得到关于的方程组进行求解；（2）先求出，再利用等比数列的求和公式进行求解．试题解析：（1）根据已知条件，先设的首项为，公差为，则，得（2）易知：，则有【考点】1．等差数列；2．等比数列．21.已知数列满足，则的前10项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所数列的前项和为，故选C．【考点】等比数列的概念及等比数列前项和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念及等比数列的前项公式的应用，属于基础性试题，解答此类问题的关键首项根据数列的定义判定此数列为等差数列或等比数列，然后利用等差或等比数列的前n项和公式求解，本题的解答中，由，得，可判定数列为公比的等比数列，然后用等比数列的求和公式求解数列的前项和．22.（2015秋•宁德校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinA•sinC的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=另解：b2=ac，=cosB==，由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．故选：A．【考点】余弦定理；正弦定理．23.（2015秋•新余期末）已知等差数列{an }各项均为整数，其公差d＞0，a3=4，且a1，a3，ak（k＞3）成等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an }与{bn}的通项公式；（2）将数列{an }与{bn}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{cn}，数列{cn}的前n项和Sn．求S30．【答案】（1）an =n+1，bn=2n；（2）603．【解析】（1）通过a1，a3，ak（k＞3）成等比数列可知16=（4﹣2d）[4+d（k﹣3）]，化简可知d=2﹣，利用d∈Z可知d=1，进而计算可得结论；（2）利用所求值为数列{an }的前35项和减去数列{bn}的前5项和，进而计算可得结论．解：（1）依题意，=a1ak ，∴16=（4﹣2d）[4+d（k﹣3）]，整理得：d=2﹣，又∵d∈Z，∴k=7或k=1（舍），即d=1，∴an =a3+（n﹣3）d=n+1，又∵等比数列{bn}的公比q==，∴bn=2n；（2）令数列{an }的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn，由（1）可知a1=b1，a3=b2，a7=b3，a15=b4，a31=b5，则S30=A35﹣B5=603．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．24.（2015秋•汕头校级期中）Sn 为数列{an}的前n项和，已知an＞2，且an2+4n=4Sn+1．（1）求证：{an}为等差数列；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和．【答案】（1）见解析；（2）Tn=．【解析】（1）利用递推关系可得，又an＞2，即可证明．（2）利用“裂项求和”即可得出．（1）证明：由，①可得，②②﹣①得，即，∵an ＞2，∴an+1﹣2=an，即an+1﹣an=2，∴{an}为等差数列．（2）解：由已知得a12+4=4a1+1，即，解得a1=1（舍）或a1=3，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，∴bn===，∴数列{bn }的前n项和Tn=+…+==．【考点】数列的求和．25.已知数列是公比为2的等比数列，若，则=（）A．1B．2C．3D．43【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式，可得，显然．故选B．【考点】等比数列的通项公式．26.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝（）A．-4B．-6C．-8D．-10【答案】B【解析】由题意可得【考点】等差数列通项公式27.数列{an }满足：a1=2，an+1=（n∈N*）其前n项积为Tn，则T2014=（）A．﹣6B．﹣C．D．6【答案】A【解析】根据数列{an }满足a1=2，an+1=（n∈N*），可得数列{an}是周期为4的周期数列，且a 1a2a3a4=1，即可得出结论．解：∵a1=2，an+1=（n∈N*），∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴数列{an }是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=﹣6．故选：A．【考点】数列递推式．28.已知数列{an }的前n项和是，则数a4= ．【答案】8【解析】由已知数列的前n项和，结合an =Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求解．解：由，得．故答案为：8．【考点】数列递推式．29.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为（）A．10B．14C．13D．100【答案】B【解析】因为，显然是关于的增函数，又因为，所以第项为，故选B.【考点】数列的通项公式．30.定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，；当时，，验证知当时也成立，；，，.故选C.【考点】数列的通项公式和前n项和.31.已知各项不为零的数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）已知与的关系，可令求得，当时，由可得到数列的递推式：，这正好是一个等比数列，易得通项公式；（2）由于，是一个等差数列与一个等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得，即写出，两边乘以公比，得，两式相减后借助等比数列前项和公式可求得．试题解析：（1）当时，当时，………①………②① -②得数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）两式相减得【考点】已知与关系，求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法．32.设数列的前项和为，且方程有一根为（1）求、；（2）求数列的通项公式.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）分别取，根据方程有一根，，即可求得、；（2）由题设得，，即即当时，，代入上式得，通过计算猜想再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当时，，时，，适合上式，即可求得的通项公式．试题解析：（1）时，有一根，于是，解得.时，有一根，于是，解得.（2）由题设，得，即①当时，，代入①得.②由于（1）知.由②可，由此猜想,下面用数学归纳法证明这个结论.（ⅰ）时，已知结论成立.（ⅱ）假设时结论成立，即，当时，由②得，即，故时结论也成立.综上，由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对所有正整数都成立，于是当时，，又因为时，，所以的通项公式为.【考点】1、数列的通项公式；2、数列的前项和公式；3、数学归纳法.【易错点睛】本题考查数列的通项公式、数列的前项和公式、数学归纳法，意在考查考生的推理论证能力及运算求解能力，属中档题.利用代入即可求得、；由题设得，，即即当时，，此时一定要注意条件，否则容易出错；代入猜想得后利用数学归纳法证明，证明时第二步一定要用到假设，否则容易出错.33.已知等差数列的公差为负数，且，若经重新排列后依次可成等比数列，求（1）数列的通项；（2）数列的前项和的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由知，即，根据三项新排列后依次可成等比数列，分类讨论，即可得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）知，由知前项和最大，即可求解前项和的最大值.试题解析：（1）设数列的公差为，由知即.①当为等比中项时，求得（舍去）；②. 当为等比中项时，求得或（舍去）；③当为等比中项时，求得或.综上可知，.（2）由知前项和最大，.【考点】等差数列的通项公式即前前项和；等比数列的性质的应用.34.设{an }是等差数列，a1+a3+a5=9，a6=9．则这个数列的前6项和等于（）A．12B．24C．36D．48【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式可得，即，又，所以，则这个数列的前项和，故选B．【考点】等差数列的前项和；等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前项和的应用，其中利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于的方程组，求出和的值是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，试题有一定的基础性，属于基础题，本题的解答中，设等差数列的公差为，列出方程，求得，进而代入等差数列的前项和公式，求出运算结果．35.数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）A．28B．32C．33D．27【答案】B【解析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9，则x﹣20=12，解得x=32，故选B．36.等比数列中,对任意,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故，是首项为，公比为的等比数列，故.【考点】数列.37.设,则（）A．共有项,当时,B．共有项,当时,C．共有项,当时,D．共有项,当时,【答案】D【解析】由题意得，令，则，且共有项，故选D.【考点】数学归纳法的应用.38.数列{an }的前n项和为Sn，若an=，则S100等于（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】解：∵an==2（﹣），∴S100=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=，故选：B【点评】本题主要考查数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．39.已知数列是等比数列，是1和3的等差中项，则=A．B．C．D．【答案】D【解析】由是1和3的等差中项，得，则；由数列是等比数列，得.故选D.【考点】等差数列和等比数列的性质.40.已知在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）；（2）2101.【解析】（1）为等差数列，所以可以根据题中条件列方程组，解得，根据通项公式，可求数列的通项公式为，本问考查等差数列基本公式，基本计算，属于对基础知识的考查，为容易题。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.数列的一个通项公式是A．B．C．D．【答案】D【解析】数列中正负项（先负后正）间隔出现，必有，分母3,5,7,9，……故2n+1，分子3,8,15,24，……恰为，所以数列的一个通项公式是，故选D。
【考点】数列的通项公式。
点评：简单题，利用数列的前几项写出数列的一个通项公式，有时结果不唯一。
2.已知等差数列{an }的前n项的和记为Sn．如果a4＝－12，a8＝－4．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值及其相应的n的值；(3)从数列{an }中依次取出a1，a2，a4，a8，…，，…，构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和．【答案】解：(1)由题意，an＝2n－20．(2)由数列{an}的通项公式可知，当n≤9时，an ＜0，当n＝10时，an＝0，当n≥11时，an＞0．所以当n＝9或n＝10时，由Sn＝－18n＋n(n－1)＝n2－19n得Sn 取得最小值为S9＝S10＝－90．(3)记数列{bn }的前n项和为Tn，由题意可知bn＝＝2×2n－1－20＝2n－20．所以Tn ＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n－20)＝(21＋22＋23＋…＋2n)－20n＝－20n＝2n+1－20n－2【解析】略3.（本小题满分13分）已知等比数列中，．若，数列前项的和为．（1）若，求的值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）首先将转化为用来表示，解方程组解得的值，得到通项，代入后求得，由通项公式可知是等差数列，求得首项，公差代入前n项和公式可得的值（2）将的首项公差代入，建立关于的不等式，求不等式可得的范围，最后取正整数即可试题解析：（1）得是以为首项，２为公差的等差数列．（2）所求不等式的解集为【考点】等差等比数列通项公式求和公式4.（本小题满分12分）数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式；（3）令，求数列的 n项和。
高二数学数列综合应用试题答案及解析
高二数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列的前项和为,,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得：，两式相减可得：当；因为，所以所以，所以．【考点】数列的性质．2. Sn 是数列{an}的前n项和，，则，，，，由此可以归纳出（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】直接根据数列的通项公式及，，，，利用归纳法推理可得.【考点】归纳推理.3.数列的前项和记为，已知．（Ⅰ）求，，的值，猜想的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）假设当时，猜想成立，即.那么当时，，所以当时，猜想成立.【解析】（Ⅰ）根据题设条件，可求，，的值，猜想的表达式．（Ⅱ）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，，.所以猜想；（Ⅱ）证明：（1）当时，，猜想成立.（2）假设当时，猜想成立，即.那么当时，，所以当时，猜想成立.【考点】数学归纳法；数列递推式．4.已知数列满足条件, 则 = ;【答案】6【解析】因为，所以所以答案应填：6.【考点】数列的递推公式.5.已知数列{}满足+=2n+1 （）（1）求出，，的值；（2）由（1）猜想出数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）＝,＝,＝；（2）．【解析】解“归纳-猜想-证明”题的关键环节一般有三步,首先准确计算出前若干项，这是归纳，猜想的基础．而后通过观察，分析，比较，联想，猜想出一般结论．最后用数学归纳法证明．（1）由+=2n+1，逐一求出各项；（2）由前三项猜想出通项公式，用数学归纳法证明过程中，当时，所得式子为，将时代入可证．解:（1）所以＝, 又得＝,同理＝．(2) 猜测,(数学归纳法)①由（1）当n＝1时，＝命题成立；②假设时, 成立,则时, 由已知把及代入化简,,即时,命题成立,由①-②得．【考点】数列的通项公式,数学归纳法．6.已知数列满足，．（1）求的值，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．【答案】（1）猜想，证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）根据递推关系，依次附值即可得到的取值，进而作出猜想，然后再用数学归纳法证明即可；（2）先化简，进而采用放缩法得到，进而将取1，2，3，……，时的不等式相乘即可证明不等式，然后构造函数，确定该函数在区间上的单调性，进而得到在恒成立，从而可得即，问题得以证明.（1）令可知，，猜想，下用数学归纳法证明.（1）时，显然成立；（2）假设时，命题成立.即.当时，由题可知.故时，命题也成立.由（1）（2）可知，.（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即所以.【考点】1.数学归纳法；2.数列不等式的证明——放缩法、构造函数法、数学归纳法等.7.用数学归纳法证明，在验证n=1成立时，等式左边是【答案】【解析】等式的左边是以1为首项，为公比的等比数列的前项的和，观察当时，等式左边等于.【考点】数学归纳法8.设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（2）求数列的通项．【答案】(1) ，；(2) .【解析】（1）令，根据算得,再根据是正整数，算得.当时,同样根据,将代入，得到的范围，根据是正整数，求得. (2）先根据可猜想，再用数学归纳法证明．试题解析：解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）方法一：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．（2）方法二：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得即②由②左式，得，即，因为两端为整数，则．于是③又由②右式，．则．因为两端为正整数，则，所以．又因时，为正整数，则④据③④，即时，成立．由1，2知，对任意，．【考点】1.数列的递推公式；2.数学归纳法.9.已知等差数列中满足，.（1）求和公差；（2）求数列的前10项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】本题是等差数列基本量的计算问题.（1）将题中条件用首项与公差表示，可得，然后求解即可；（2）由（1）中计算得的，结合等差数列的前项和公式计算即可.试题解析：（1）由已知得 3分所以 5分（2）由等差数列前项和公式可得 8分所以数列的前10项的和为 10分.【考点】等差数列的通项公式及其前项和.10.用数学归纳法证明“，”时，从“”到“”左边需要添加的代数式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是，故选D.【考点】数学归纳法．11.已知数列的通项公式为，那么是这个数列的( )A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项【答案】A【解析】这是已知数列的通项公式及项，求项数的问题，只要直接列出关于项数的方程，解之即得．【考点】数列的通项公式．12.设数列的前n项和，则的值为．【答案】15．【解析】考虑数列的前和与项的关系为，当时，，故．【考点】数列的前和与项的关系．13.下列命题中，真命题的序号是 .①中，②数列{}的前n项和，则数列{}是等差数列.③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是.④等差数列{}前n项和为。
高二数学数列测试题(解析版)
高二数学数列测试题（教师版）20221227一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1已知数列{a n}是等差数列，且a3+a13=50，a6=19，则a2=( )A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式及等差数列的性质属于基础题．根据等差数列下标和相等的性质，可求出a8，结合通项公式可求出公差d，进而求出a2即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，因为a3+a13=2a8=50，所以a8=25，所以2d=a8−a6=25−19=6，所以d=3，所以a2=a6−4d=19−12=7．故选C．2.已知数列−1，a，b，−4成等差数列，−1，c，−4成等比数列，则a+bc2的值是．( )A. 1B. 2C. −54D. −52或52【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，等比数列的性质，属于基础题．由等差数列的等差中项的知识可得−1−4=a+b，由等比数列的等比中项知识可得c2= (−1)×(−4)，从而求得a+bc2的值．【解答】解：由等差数列的等差中项知识可得a+b=−5，由等比数列的等比中项知识可得c2=(−1)×(−4)=4，则a+bc2=−54．故选C．3.已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（）A．1460B．1472C．1666D．1678【解答】解：等差数列2，6，10，…，198中，公差为d1＝4，等差数列2，8，14，…，200中，公差为d2＝6，∵4，6的最小公倍数是12，∴新数列{a n}的公差d＝12，首项为2，令2+（n﹣1）×12≤198，解得n≤17，∴n＝17，∴a17＝2+（17﹣1）×12＝194，∴这个新数列的各项之和为．故选：C．4.在等差数列{a n}中，a10<0,a11>0，且a11>|a10|，则使{a n}的前n项和S n<0成立的最大自然数n的值为( )A. 11B. 10C. 19D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的求和以及等差数列的性质，是基础题.由题意可得a10 +a11 >0，由等差数列的性质和求和公式可得结论．【解答】解：由题意得a10 +a11 >0，∴S19=19(a1+a19)2=19×2a102=19a10<0，S20=20(a1+a20)2=10(a10+a11)>0，∴使S n<0成立的最大自然数n的值为：19.故选：C5.若数列{2a n+1}是等差数列，其公差d=1，且a3=5，则a12=( )A. 18B. 172C. 192D. 12【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题．利用等差数列的定义可求得数列{a n}的公差，结合a3=5可计算得出a12的值．【解答】解：由等差数列的定义可知1=d=(2a n+1+1)−(2a n+1)=2(a n+1−a n)，∴a n+1−a n=12，∴数列{a n}为等差数列，且公差为12，∴a12=a3+9×12=5+92=192．故选：C．6记S n为数列{a n}的前n项和.若a n=n(8−n)(n=1,2,⋯)，则( )A. {a n}有最大项，{S n}有最大项B. {a n}有最大项，{S n}有最小项C. {a n}有最小项，{S n}有最大项D. {a n}有最小项，{S n}有最小项【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析{a n}的最大项，再分析{a n}的符号，据此分析可得{S n}的最大项，即可得答案．本题考查数列的函数特性，涉及数列前n项和分析，属于基础题．【解答】解：根据题意，数列{a n}，a n=n(8−n)=8n−n2，对于二次函数，y=−x2+8x，其开口向下，对称轴为x=4，即当x=4时，y=−x2+8x取得最大值，对于{a n}，n=4时，a n最大；且当1≤n<8时，a n>0，当n=8时，a n=0，当n> 8时，a n<0，故当n=7或8时，S n最大，故{a n}有最大项，{S n}有最大项；故选：A．7.设函数f(x)=x+x3，项数为9的等差数列{a n}满足a n∈(−1,1)，且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a9)=0，则当f(a k)=0时，k=( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、数列的函数特征和等差数列的性质，属于拔高题．先研究函数f(x)=x+x3的奇偶性和单调性，然后假设a5>0和a5<0两种情况讨论．【解答】解：易知f(x)=x+x3为奇函数且单调递增，则f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，所以当m+n>0时，有m>−n，则f(m)>f(−n)=−f(n)，从而得到f(m)+f(n)>0．同理可知当m+n<0时，f(m)+f(n)<0．若假设a5>0，则有a1+a9=a2+a8=⋯=2a5>0，所以f(a1)+f(a9)>0，f(a2)+f(a8)>0，…，f(a5)>0，从而得到f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a9)>0，这与f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a9)=0矛盾，a5≤0．若假设a5<0，同样有a1+a9=a2+a8=⋯=2a5<0，所以f(a1)+f(a9)<0，f(a2)+f(a8)<0，…，f(a5)<0，得到f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a9)<0，这与f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a9)=0矛盾，故a5=0.所以当k=5时，有f(a k)=0．故选C．8.已知数列{a n}的前n项和为S n，S1=6,S2=4,S n>0且S2n,S2n−1,S2n+2成等比数列，S2n−1,S2n+2,S2n+1成等差数列，则a2019等于( )A. 3032B. 3029C. 2019D. 2020【答案】A【解析】【分析】本题考查等差、等比数列的性质及等差数列的通项公式以及数列求和，属于难题．先运用等差数列和等比数列的性质，得出数列{√S2n}为等差数列，由S1=6,S2=4，从而得到数列{√S2n}是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出a2019．【解答】解：由S2n,S2n−1,S2n+2成等比数列，得S2n−12=S2n⋅S2n+2，因为S n>0，则有S2n−1=√S2n⋅S2n+2，则有S2n+1=√S2n+2⋅S2n+4，又由S2n−1,S2n+2,S2n+1成等差数列，得2S2n+2=S2n−1+S2n+1，所以2S2n+2=√S2n⋅S2n+2+√S2n+2⋅S2n+4，两边同除去√S2n+2得到：2√S2n+2=√S2n+√S2n+4，故数列{√S2n}为等差数列；因为S1=6,S2=4，S2,S1,S4成等比数列可得S4=9，从而有 √S2 =√4=2， √S4 − √S2 = 3−2=1，所以数列{√S2n}是首项为2，公差为1的等差数列．所以√S 2n =n +1，即S 2n =(n +1)2，则S 2018=10102，又S 2n−1=√S 2n ⋅S 2n+2=(n +1)(n +2)，则S 2019=1011×1012，故a 2019=S 2019−S 2018=1011×1012−10102=1011×1012−(1011−1)2=3032． 故选A ．二、 多选题（本大题共4小题，共20.0分。
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高二数学数列模块考试卷+答案详解（试卷版）总分100分，考试时间90分钟一．选择题（共10小题,共30分）1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S21=42，若记b n=2，则数列{b n}（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列2．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=a72，a2=1，则a1等于（）A．B．C．D．23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S21=42，若记b n=2，则数列{b n}（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列4．已知等比数列{a n}的首项为1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{}的前5项和为（）A．B．2 C．D．5．设{a n}是等差数列，a1+a3+a5=9，a6=9．则这个数列的前6项和等于（）A．12 B．24 C．36 D．486．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=（）A．2 B．4 C．6 D．87．若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12 B．13 C．14 D．158．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣9. 在数列{a n}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )A．成等差数列 B．成等比数列 C．倒数成等差数列 D．不确定10. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158二．填空题（共6小题，共30分）11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10﹣a 12的值为 ． 12．等比数列{a n }中，a 3=2，a 5=6，则a 9= ．13．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣a n =1+（﹣1）n（n ∈N *），则S 10= ．14．已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为 ． 15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为113,6n n S x -=⋅-则x 的值为_______三．解答题（共4小题，共40分）17．已知数列{a n }满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n 对于任意n ∈N *恒成立，且a 1=1，a 3=2，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n +b n =1（n ∈N*） （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （Ⅱ）设c n =a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为T n （1）求T n （2）求满足不等式≤9的所有的n 的值．18．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =（n ∈N*）（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（﹣1）n a n +（﹣1）n a n 2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．19．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知等差数列{a n}满足a2=5，a5+a9=30．{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．答案详解一．选择题（共10小题,共30分）1解：S21=42===，∴a9+a13=4，a11=2，∴a112﹣a9﹣a13=0，∴b n=2=1，∴数列{b n}既是等差数列又是等比数列，故选：C2．解：∵等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=a72，∴=，可得a6=a7，∴公比q=a2=1，则a1===．故选：B．3．解：S21=42===，∴a9+a13=4，a11=2，∴a112﹣a9﹣a13=0，∴b n=2=1，∴数列{b n}既是等差数列又是等比数列，故选：C4．解：等比数列{a n}的首项为1，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴2×2a2=a3+4a1，∴4a1q=a1（q2+4），解得q=2．∴a n=2n﹣1，=．则数列{}的前5项和==．故选：C．5．解：设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=3a1+6d=9，即a1+2d=3；a6=a1+5d=9．∴d=2，a1=﹣1，则这个数列的前6项和s6=6×（﹣1）+×2=24，故选B．6．解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故选B．7．解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．8．解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．9. B10. C二．填空题（共6小题，共30分）11．解：∵a n为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120∴a1+7d=24∵2a10﹣a12=2a1+18﹣a1﹣11d=a1+7d=24 故答案为：2412．解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 5=6， ∴q 2=3，则a 9==6×32=54．故答案为：54．13．解：因为a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣a n =1+（﹣1）n（n ∈N *）， 当n=1时，a 3﹣a 1=0得到a 3=1；当n=2时，a 4﹣a 2=2，所以a 4=4；…得到此数列奇次项为1，偶次项以2为首项，公差为2的等差数列，所以S 10=1×5+5×2+×2=35．故答案为3514．解：由题意a 3=16，故S 5=5×a 3=80，由数列的性质S 10﹣S 5=80+25d ，S 15﹣S 10=80+50d ，S 20﹣S 15=80+75d ， 故S 20=20=320+150d ，解之得d=﹣2又S 10=S 5+S 10﹣S 5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：110 15.{}n a 是等比数列，1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列，又()210203030301010,30,30,7010S S S S -==∴-=∴=答案：70 16.12三．解答题（共4小题，共40分）17．解：（Ⅰ）数列{a n }满足a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n 对于任意n ∈N *恒成立， ∴数列{a n }为等差数列， ∵a 1=1，a 3=2， ∴2d=a 3﹣a 1=2﹣1=1， ∴d=，∴a n =1+（n ﹣1）=（n+1），∵数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足S n +b n =1， 当n=1时，S 1+b 1=1，即b 1=， 当n ≥2时，S n ﹣1+b n ﹣1=1， ∴S n +b n ﹣（S n ﹣1+b n ﹣1）=0 即3b n =b n ﹣1，∴数列{b n }是以为首项，以为公比的等比数列，∴b n=2•（）n，（Ⅱ）由b n=2•（）n，∴S n==1﹣，∴1﹣S n=（）n，∵c n=a n•b n=（n+1）•（）n，∴T n=2•（）1+3•（）2+…+（n+1）•（）n，∴T n=2•（）2+3•（）3+…+n•（）n+（n+1）•（）n+1，∴T n=+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1=+﹣（n+1）•（）n+1=﹣•（）n，∴T n=﹣•（）n，∵≤9，∴﹣•（）n≤9•（）n，∴≤（9+）•（）n，即9+≥•3n，当n=1时，左边=，右边=，成立，当n=2时，左边=，右边=，成立，当n=3时，左边=，右边=，故不成立，综上所述n的值为1，218．解：（Ⅰ）由S n=，得当n=1时，，得a1=1；当n≥2时，，化简得：（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）=0，得a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n=（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n ﹣3）2+（4n﹣1）2]=2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]=2n+8•=8n2+2n．19．解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．20．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a5+a9=30可得，，解得a1=3，d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，∴S n===n（n+2）=n2+2n，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]，=（1+﹣﹣）=﹣﹣【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式和裂项求和，属于中档题。